精品解析：吉林松原市吉林油田高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

吉林油田高级中学2025-2026学年下学期期末考试卷 高二数学 第一部分(选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A. 1≤a≤3 B. －1≤a≤3 C. 1<a<3 D. 0≤a≤2 3. 如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（ ） A. 17 B. 5 C. 3 D. 2 4. 已知幂函数在上单调递增，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. -1 5. 某学校读书节活动中，甲、乙、丙、丁位同学获奖.现将人排成一排照相，则甲、乙两人相邻的不同排法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ） 附：若，则，． A. 0.1587 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3413 7. 设，，，则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义域为R的奇函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 10. 已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ） A. B. C. 若A，B独立，则 D. 若A，B互斥，则 11. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为 B. 有两个零点 C. 存在使得关于的方程有三个不同的实根 D. 的解集为 第二部分(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线的切线，则实数a的值是______. 13. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为__________. 14. 已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）． 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 男 8 24 32 女 12 6 18 合计 20 30 50 （1）依据的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？ （2）若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 已知函数. （1）若，求的最小值； （2）若存在，使得成立，求的取值范围. 17. 某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克． （1）求的解析式； （2）若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大． 18. 自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列.某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有48人． （1）求； （2）根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数；（结果保留2位小数） （3）公司计划选择1人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率． 19. 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，.（注：，，，，为的导数）已知在处的阶帕德近似为. （1）求实数的值； （2）证明：当时，； （3）设为实数，讨论函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田高级中学2025-2026学年下学期期末考试卷 高二数学 第一部分(选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合，，则 2. 已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A. 1≤a≤3 B. －1≤a≤3 C. 1<a<3 D. 0≤a≤2 【答案】B 【解析】 【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案. 【详解】由题意:命题是假命题, 其否定: 为真命题, 即，解得， 故选：B 3. 如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（ ） A. 17 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的解析式，代入可得. 【详解】设点在函数的图象上，则点在函数的图象上， 所以，即，所以. 4. 已知幂函数在上单调递增，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义以及单调性得出即可. 【详解】由幂函数的定义知，，解得或， 当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，，在上单调递增，故. 故选：C. 5. 某学校读书节活动中，甲、乙、丙、丁位同学获奖.现将人排成一排照相，则甲、乙两人相邻的不同排法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【详解】第一步：将甲、乙全排列有种不同的排法； 第二步：将甲、乙看成一个整体再与丙、丁全排列有种不同的排法； 由分步计数原理得，共有种不同的排法． 故选C． 6. 设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ） 附：若，则，． A. 0.1587 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3413 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数没有零点求出的取值范围，再根据没有零点的概率是，得到，再根据正态曲线的性质得到的值；然后再根据正态曲线的对称性求出的值即可． 【详解】函数没有零点，即二次方程无实根， ，，又没有零点的概率是， ，由正态曲线的对称性知，，，， ，，，， ，， 所以，， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正态分布的曲线的性质，二次方程的解等知识点，考查运算求解能力；解本题的方法是根据没有零点得到，再结合正态分布的图象的对称性得到值，然后再利用正态分布函数图象的性质求解即可；解题的关键点是要熟知正态分布函数图象的对称性． 7. 设，，，则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与幂函数的性质，得到，由对数函数的性质得到，即可求解. 【详解】由对数函数的性质，可得， 又由指数函数的性质，可得， 由幂函数在为单调递增函数，可得，所以， 所以，即. 故选：D. 8. 设是定义域为R的奇函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可 【详解】解：因为是定义域为R的奇函数， 由，得， 该函数的周期为2， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用（为正实数）和基本不等式逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A，由正实数，满足，易得，故A正确； 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，由B项知，则， 即有最小值为，无最大值，故C错误； 对于D，因为，且为正实数，所以， 当且仅当时，有最小值，故D正确. 10. 已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ） A. B. C. 若A，B独立，则 D. 若A，B互斥，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率、独立事件、互斥事件的基本概念，以及对应的概率计算公式可以得到答案. 【详解】因为，A正确，B错误； 由独立事件定义，若A，B独立，则，，C正确； 若A，B互斥，则，，，D正确． 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为 B. 有两个零点 C. 存在使得关于的方程有三个不同的实根 D. 的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】先求导函数，根据正负确定单调性．判断A；运用极大值和极小值都小于，判断B；运用y=f(x)与y=a有三个不同交点，即f(x)=a有三个不同实根，判断C；运用函数单调性判断D． 【详解】函数的定义域为，， 由得或；由得，有极大值，极小值，A正确； 由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确； 当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确； 当时，，此时，D不正确． 故选：AC． 第二部分(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线的切线，则实数a的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合切点既在曲线上，又在切线上即可求解. 【详解】，则， 直线是曲线的切线， 所以，解得， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递减， 则函数在上单调递减，所以，即 又在上单调递减， 因此. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为有且只有一个负整数解，构造函数与，利用导数法求函数的最值，并在同一坐标系中分别作出和的图象，通过数形结合即可求解. 【详解】已知函数， 则有且只有一个负整数，使成立， 可得有且只有一个负整数解. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 当时，取得最小值为. 设，则恒过点， 在同一坐标系中分别作出和的图象，如图所示， 显然，依题意得且， 即且，解得， 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）． 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 男 8 24 32 女 12 6 18 合计 20 30 50 （1）依据的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？ （2）若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联． （2） 【解析】 【分析】（1）计算卡方，即可与临界值比较求解. （2）根据全概率公式即可求解. 【小问1详解】 ， 依据的独立性检验，可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联． 【小问2详解】 从男生样本和女生样本中各选取一人，则两名学生身高不在同一组的概率 16. 已知函数. （1）若，求的最小值； （2）若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，结合指数函数的单调性和二次函数的最值性质进行求解即可； （2）对不等式进行变形，利用基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 ，即， 令，则，， 因为， 所以当时，函数有最小值， 所以当时，函数有最小值； 【小问2详解】 ， 因为， 所以， ，当且仅当时取等号， 即当且仅当时，有最小值. 要想存在，使得成立， 只需， 所以的取值范围为. 17. 某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克． （1）求的解析式； （2）若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大． 【答案】（1）， （2）元千克 【解析】 【分析】（1）依题意可得当时，，当时，，即可得到关于、的方程组，解得即可； （2）设每日销售该商品获利元，即可得到的解析式，再利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而得解. 【小问1详解】 由题意可知，当时，， 当时，， 即，解得， 所以，， 【小问2详解】 设每日销售该商品获利元，则 ， 则， 令，得或舍去， 所以时，，为增函数， 时，，为减函数， 所以时，取得最大值， ， 所以销售价格定为元千克，商家每日获利最大． 18. 自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列.某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有48人． （1）求； （2）根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数；（结果保留2位小数） （3）公司计划选择1人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率． 【答案】（1）0.16；150 （2）4.24 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图面积为1，列出方程可求，再根据运动时长在小时的员工有48人，结合频率可求； （2）根据频率分布直方图平均数的公式求解即可； （3）根据题意设事件，再利用条件概率公式求概率即可． 【小问1详解】 由频率分布直方图可， 解得， 因为运动时长在小时的员工有48人， 所以，解得， 即，． 【小问2详解】 由（1）知， 则平均数为， 所以该公司员工一周运动时长的平均数约为4.24． 【小问3详解】 设选中的员工一周运动时长不少于4小时为事件， 选中的员工一周一周运动时长在区间内为事件， 则， ， ， 所以在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下， 此人一周运动时长在区间内的概率． 19. 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，.（注：，，，，为的导数）已知在处的阶帕德近似为. （1）求实数的值； （2）证明：当时，； （3）设为实数，讨论函数的单调性. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据，可构造方程求得结果； （2）构造函数，利用导数可求得单调性，结合最值可证得结论； （3）求导后，分别在和的情况下，根据正负可求得单调性. 【小问1详解】 由，知：； ，，，， ，，，. 【小问2详解】 由（1）知：； 令， 则，在上单调递增， 又，，即当时，. 【小问3详解】 由题意知：， ； ①当，即时，，， 在上单调递增； ②当，即时，令得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $