暑假提升训练：长方体和正方体应用题（专项训练）-2025-2026学年数学五年级下册人教版

**基本信息** 以生活场景为载体，系统覆盖长方体和正方体棱长、体积、表面积核心计算，提炼公式应用、排水法等解题方法，构建“概念-方法-应用”逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |棱长与基础计算|2题|棱长总和公式互推|从棱长关系切入，建立空间基本度量认知| |体积与排水法|8题|排水法求不规则体积|由规则体积计算过渡到转化思想应用| |表面积与实际应用|9题|表面积分类计算（无盖/部分面）|结合生活场景（包装/建筑）强化空间观念| |综合问题解决|6题|单位换算与多公式联用|整合体积、表面积知识解决复杂实际问题|

暑假提升训练：长方体和正方体应用题 1．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，已知长方体的长、宽、高分别是6厘米、4厘米、5厘米，正方体的棱长是多少厘米？ 2．驻马店西平棠溪宝剑是知名非遗文化瑰宝，工匠打造一根长方体宝剑剑胚，长3米，横截面是一个边长为5厘米的正方形，这把剑胚的体积是多少立方厘米？如果每立方厘米钢材重7.8克，这把剑胚重多少千克？ 3．乐乐发现在一个长为25厘米、宽为16厘米、高为20厘米的长方体玻璃容器中，浸没着一块棱长为10厘米的正方体实心铁块，这时水深为16厘米。将这块铁块从容器中取出来后，容器中的水深为多少厘米？ 4．有一个高是12厘米的长方体，如果把长方体横切成3个大小相等的小正方体（如图所示），这3个小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 5．一个长方体的玻璃缸，从里面量长8分米，宽6分米，高5分米，水深2.8分米，如果竖直放入一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？ 6．瑞安一家粽子铺为端午节精心制作了一种长方体粽子礼盒，盒身由硬纸板制成。已知礼盒的长是2分米，宽是1.5分米，高是0.8分米。制作这样一个礼盒，至少需要多少平方分米的硬纸板？ 7．“十字系法”是最基本的捆扎礼盒的方法，优雅且对称。下图是一个长方体礼盒，把它按“十字系法”捆扎（打结处用去15厘米的彩带）。至少需要多少厘米的彩带？ 8．一个游泳池，长30米，宽20米，池深2.5米，池中水深2米。 (1)这个游泳池占地多少平方米？ (2)池中水有多少立方米？ 9．某荔枝合作社计划建一个长方体保鲜冷库，从内部测量长18米，宽12米，高4米。四周与顶面需要喷涂保温防水材料，除去门的面积22平方米，需要喷涂的面积是多少平方米？ 10．科学实验课上，淘淘把一块岩石完全浸没在一个长、宽都是2分米，水深2.5分米的长方体水槽中，结果水槽中水面上升了1.5厘米，如果每立方厘米的石头重2.98克，那么这块岩石重多少克？ 11．元宵佳节，军军和爷爷一起用60分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都糊上了安全阻燃纸，至少需要多少平方分米的安全阻燃纸？ 12．用铁皮做一根长方体流水管，管口是边长为3分米的正方形。一根流水管长2.5米。 (1)做5根这样的流水管至少需要多少平方分米的铁皮？ (2)如果水流速度是2米/秒，那么1分钟会有多少立方米的水从水管流出？（铁皮厚度忽略不计） 13．户外研学用到正方体储水容器，棱长4分米，水深2.5分米。 (1)容器内原有水的体积是多少立方分米？ (2)放入石块完全浸没后水面达3分米，石块体积是多少立方分米？ 14．在一个长方体玻璃缸中放入一个棱长是20厘米的正方体铁块，铁块完全没入水中（如图），水面会上升多少厘米？ 15．小丽想知道一个粽子的体积有多大，于是利用“排水法”测量粽子的体积。她将一个粽子完全浸没在一个盛有水的长方体玻璃容器中，容器的长是12厘米，宽是8厘米，水面上升了2厘米。这个粽子的体积是多少立方厘米？ 16．随着科技发展，VR（虚拟现实）技术越来越普及。某科技馆内有一台VR体验设备，其外形近似一个长方体，长6米，宽4米。高1.5米。 (1)这台设备的占地面积是多少平方米？ (2)要给这台设备做一个布罩（底面不罩），至少需要多少平方米的布？ 17．笑笑从水果超市买来一些芒果，她想测量其中一个芒果的体积，她找来一个长方体玻璃缸，从里面量得长是15厘米，宽是8厘米，高是10厘米。她先往缸中注入720毫升水，再将这个芒果放入水中，这时水完全淹没芒果，量得水面高7.5厘米，这个芒果的体积是多少立方厘米？ 18．学校为科技小组制作了一个长2米、宽0.8米、高1.6米的长方体展台，除底面外，其他面需要贴科技蓝的墙纸。 (1)贴墙纸的面积一共是多少平方米？ (2)如果每平方米墙纸需要12元，那么贴完这个展台需要花费多少元？ 19．实验小学有一间多媒体教室，长9米，宽6米，高3米。教室离地1米以下墙面贴墙裙、不需要粉刷；现要粉刷离地1米以上的四面墙壁与天花板。已知门窗、黑板全部位于粉刷区域内，总面积共23.5平方米，需要粉刷的面积是多少平方米？ 20．将一块长20分米，宽14分米的长方形铁皮四个角各切掉一个边长4分米的正方形（如下图），然后做成一个无盖的长方体水槽（焊接处忽略不计），这个水槽的容积是多少？ 21．雅典奥林匹克水上运动中心的主游泳池，长是50米，宽是25米，深是2.2米。如果每小时注水250立方米，往游泳池里注1.8米深的水，需要多少小时？ 22．母亲节前，学校手工社团举办制作活动，丽丽给妈妈买了礼物，需要制作一个礼盒来包装。制作的礼盒（如图），需要多少平方分米纸板？（重叠部分和提手需4.8平方分米的纸板） 23．小明好奇家里放的假山的体积，做了如图实验。观察他的实验过程，可以得到结论：放入石头后，水面升高了，这个石头的体积是多少？（单位：厘米） 24．一个长方体游泳池，长为25米，宽为15米，深为20米。 (1)这个游泳池的占地面积是多少平方米？ (2)如果将这个游泳池的四周和底面贴上瓷砖，那么一共需要多少平方米的瓷砖？ (3)这个游泳池的体积是多少立方米？ 25．新能源产业园原有正方体电池仓储库，棱长6m；现计划扩建为同底面的长方体仓储库，高度增加2m。 (1)原正方体仓储库的容积是多少立方米？ (2)扩建后的长方体仓储库表面积比原来增加多少平方米？ (3)每立方米仓储空间可存放12组储能电池，扩建后仓库一共能存放多少组电池？ 第8页，共8页 第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．5厘米 【分析】根据长方体的棱长总和公式：，先求出长方体的棱长总和；因为长方体和正方体的棱长总和相等，再根据正方体的棱长总和公式：，用总和除以12即可求出正方体的棱长。 【详解】 （厘米） 答：正方体的棱长是5厘米。 2．7500立方厘米；58.5千克 【分析】长方体长3米，横截面是一个边长为5厘米的正方形，则长方体的宽和高都是5厘米。根据长方体的体积＝长×宽×高，先统一单位后，再代入数据计算即可。根据乘法的意义，用每立方厘米钢材的重量乘求出的剑胚的体积，即可求出它的重量。 【详解】3米＝300厘米 300×5×5＝7500（立方厘米） 7500×7.8＝58500（克）＝58.5千克 答：这把剑胚的体积是7500立方厘米。这把剑胚重58.5千克。 3．13.5厘米 【分析】铁块浸没在水中时，水和铁块的总体积等于长方体容器底面积乘此时的水深；取出铁块后，减少的体积就是正方体铁块的体积。先根据正方体体积公式V＝a3求出铁块的体积，再用铁块体积除以容器底面积，求出水面下降的高度，最后用原来的水深减去下降的高度，即可求出取出铁块后的水深。 【详解】正方体铁块的体积：10×10×10＝1000（立方厘米） 容器的底面积：25×16＝400（平方厘米） 水面下降的高度：1000÷400＝2.5（厘米） 取出铁块后的水深：16－2.5＝13.5（厘米） 答：容器中的水深为13.5厘米。 4．64平方厘米 【分析】根据题意可知，横切成3个大小相同的正方体，则小正方体的棱长是（12÷3）厘米；横切成3个大小相同的正方体，增加4个横截面的面积，根据正方体一个面的面积＝棱长×棱长，求出1个横截面的面积，再乘4，即可解答。 【详解】12÷3＝4（厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（平方厘米） 答：这3个小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了64平方厘米。 5．19.4升 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出正方体铁块的体积，再根据长方体体积＝长×宽×高，分别求出长方体玻璃缸内空白部分的体积，再用正方体铁块的体积－长方体玻璃缸空白部分的体积，即可求出溢出水的体积，注意单位换算。 【详解】5×5×5－8×6×（5－2.8） ＝5×5×5－8×6×2.2 ＝125－105.6 ＝19.4（立方分米） 19.4立方分米＝19.4升 答：缸里的水会溢出19.4升。 6． 平方分米 【分析】根据题意，制作礼盒所需的硬纸板面积即为该长方体礼盒的表面积。已知长方体的长、宽、高，直接利用长方体表面积公式，将数值代入公式进行计算即可。 【详解】 （平方分米） 答：至少需要平方分米的硬纸板。 7．59厘米 【分析】由图可知，环绕部分的彩带长度等于2条长、2条宽和4条高的长度之和，再加上打结处用去的15厘米，即为所需彩带的总长度。 【详解】8×2＋6×2＋4×4＋15 ＝16＋12＋16＋15 ＝28＋16＋15 ＝44＋15 ＝59（厘米） 答：至少需要59厘米的彩带。 8．(1)600平方米 (2)1200立方米 【分析】（1）游泳池占地面积是指游泳池底面的面积，底面为长方形，根据长方形面积＝长×宽进行计算。 （2）池中水的体积相当于一个长方体的体积，其长和宽与游泳池相同，高为水深。根据长方体体积＝底面积×高进行计算。 【详解】（1）30×20＝600（平方米） 答：这个游泳池占地600平方米。 （2）600×2＝1200（立方米） 答：池中水有1200立方米。 9．434平方米 【分析】需要喷涂的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门的面积，据此把数据代入计算即可。 【详解】 （平方米） 答：需要喷涂的面积是434平方米。 10．1788克 【分析】根据排水法原理，岩石完全浸没在水中，岩石的体积等于水槽中上升部分水的体积。先统一长度单位，将分米换算成厘米，再利用长方体体积＝长×宽×高计算上升部分水的体积，最后乘每立方厘米的质量求出岩石重量。题干中水深为多余条件，不参与计算。 【详解】2分米＝20厘米 ＝1788（克） 答：这块岩石重1788克。 11．125平方分米 【分析】根据题意，铁丝的长度即为正方体灯笼框架的棱长总和。正方体有12条棱，且每条棱长度相等，用棱长总和除以12可求出棱长。灯笼除了底面外其他面糊上安全阻燃纸，说明需要糊5个面。再根据正方形面积公式：正方形面积＝边长×边长，而正方形的边长就是这个正方体的棱长，所以求出1个面的面积，再乘5即可求出所需安全阻燃纸的总面积。 【详解】边长：（分米） （平方分米） 答：至少需要125平方分米的安全阻燃纸。 12．(1)1500平方分米 (2)10.8立方米 【分析】（1）流水管是没有上下底面的长方体，求需要的铁皮面积就是求它的侧面积。先统一单位，再用底面周长×管长求出1根流水管的侧面积，最后乘5求出5根的总面积。 （2）水在管内流动形成的是长方体，体积用“横截面积×水流长度”计算。先统一单位，求出水管的横截面积，再用水流速度×时间求出1分钟水流的长度，最后两者相乘求出水的体积。 【详解】（1）2.5米＝25分米 3×25×4×5 ＝75×4×5 ＝300×5 ＝1500（平方分米） 答：做5根这样的流水管至少需要1500平方分米的铁皮。 （2）1分钟＝60秒 3分米＝0.3米 0.3×0.3×2×60 ＝0.09×2×60 ＝0.18×60 ＝10.8（立方米） 答：1分钟会有10.8立方米的水从水管流出。 13．(1)40立方分米 (2)8立方分米 【分析】（1）因为容器是正方体，底面积为棱长乘棱长，水的形状是长方体，所以用长方体体积公式：体积＝底面积×水深，即可计算原有水的体积。 （2）因为石块完全浸没在水中，所以石块体积等于水面上升部分的水的体积，先计算水面上升的高度，再用底面积乘上升高度得到石块体积。 【详解】（1）4×4×2.5 ＝16×2.5 ＝40（立方分米） 答：容器内原有水的体积是40立方分米。 （2）水面上升的高度：3－2.5＝0.5（分米） 4×4×0.5 ＝16×0.5 ＝8（立方分米） 答：石块体积是8立方分米。 14．2厘米 【分析】正方体铁块的体积等于上升的那部分水的体积。正方体的体积棱长棱长棱长，用体积除以底面积可以求出上升的高度。 【详解】 （厘米） 答：水面会上升厘米。 15．192立方厘米 【分析】水面上升的体积就是这个粽子的体积，这个粽子的体积＝容器的长×宽×水面上升的高度。 【详解】12×8×2＝192（立方厘米） 答：这个粽子的体积是192立方厘米。 16．(1) 24平方米 (2) 54平方米 【分析】（1）设备的占地面积是指长方体底面的面积，根据长方形面积公式“”代入数据进行计算。 （2）给设备做布罩且底面不罩，需要计算长方体5个面的面积之和，即上面、前面、后面、左面、右面的面积总和。上面面积等于底面面积，前后两面面积相等，左右两面面积相等。 【详解】（1）（平方米） 答：这台设备的占地面积是24平方米。 （2） （平方米） 答：至少需要54平方米的布。 17．180立方厘米 【分析】根据题意，芒果完全浸没在水中，芒果的体积等于水面上升部分水的体积。首先进行单位换算，将毫升转化为立方厘米；其次，根据长方体体积公式的逆运算，利用水的体积和玻璃缸的底面积求出放入芒果前水面的高度；然后，用放入芒果后的水面高度减去放入前的水面高度，得到水面上升的高度；最后，利用玻璃缸的底面积乘水面上升的高度，计算出上升部分水的体积，即为芒果的体积。需注意玻璃缸的高度为10厘米，放入芒果后水面7.5厘米，未溢出。 【详解】720毫升＝720立方厘米 玻璃缸的底面积： （平方厘米） 放入芒果前水面的高度： （厘米） 水面上升的高度： （厘米） 芒果的体积： （立方厘米） 答：这个芒果的体积是180立方厘米。 18．(1) 10.56平方米 (2) 126.72元 【分析】（1）展台是一个长方体，贴墙纸的部分不包括底面，因此需要计算的是长方体5个面的面积之和，即1个顶面面积加上前、后、左、右4个侧面的面积。 （2）总花费等于贴墙纸的总面积乘每平方米墙纸的单价。 【详解】（1） （平方米） 答：贴墙纸的面积一共是10.56平方米。 （2）（元） 答：贴完这个展台需要花费126.72元。 19． 90.5 平方米 【分析】需要粉刷的面包括 1个天花板和4个墙壁面（扣除墙裙部分）。先分别求出天花板的面积和四面墙壁需要粉刷的面积，相加得到总表面积，最后减去门窗和黑板的面积。天花板的面积是1个长乘宽的面积。四面墙壁需要粉刷的面积，是2个长加宽的和乘墙壁粉刷的高度，注意墙壁粉刷的高度是教室高度减去墙裙高度。 【详解】天花板的面积：（平方米） 墙壁需要粉刷的高度：（米） 四面墙壁需要粉刷的面积：（平方米） 需要粉刷的总面积：（平方米） 答：需要粉刷的面积是 90.5 平方米。 20．288立方分米 【分析】用长方形的长减去4的2倍算出长方体水槽的长；用长方形的宽减去4的2倍算出长方体水槽的宽；长方体水槽的高是4分米。根据长方体的容积＝长×宽×高解决。 【详解】 ＝20－8 ＝12（分米） ＝14－8 ＝6（分米） 容积：（立方分米） 答：这个水槽的容积是288立方分米。 21．9小时 【分析】计算注水体积时，所使用的“高”应该是注水的深度1.8米，而不是游泳池的总深度2.2米。首先根据长方体体积公式“长方体的体积＝长×宽×高”求出需要注入的水的体积，然后根据“时间＝体积÷每小时注水量”求出所需的时间。 【详解】 （小时） 答：需要9小时。 22．39.8平方分米 【分析】观察图形可知，这个礼盒是一个无盖的长方体，即只有长方体的下面、前后面和左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出5个面的面积之和，再加上重叠部分和提手需要纸板的面积，即是制作这个礼盒需要纸板的总面积。 【详解】3×1＋3×4×2＋1×4×2 ＝3＋24＋8 ＝35（平方分米） 35＋4.8＝39.8（平方分米） 答：需要39.8平方分米纸板。 23．750立方厘米 【分析】根据题意，水面升高的高度＝放入石块的水面高度－放入前水面的高度。升高的水的体积就是石头的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求解即可。 【详解】15×10×（15－10） ＝15×10×5 ＝150×5 ＝750（立方厘米） 答：这个石头的体积是750立方厘米。 24．(1)375平方米 (2)1975平方米 (3)7500立方米 【分析】（1）泳池的占地面积就是这个长方体的底面积，等于长乘宽。 （2）瓷砖的面积等于下面、左面、右面、前面和后面5个面的面积之和。 （3）长方体的体积＝长×宽×高。 【详解】（1）25×15＝375（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是375平方米。 （2）25×15＋25×20×2＋15×20×2 ＝375＋1000＋600 ＝1975（平方米） 答：一共需要1975平方米的瓷砖。 （3）25×15×20＝7500（立方米） 答：这个游泳池的体积是7500立方米。 25．(1)216立方米 (2)48平方米 (3)3456组 【分析】（1）根据正方体容积公式，代入棱长数据计算即可。 （2）扩建是同底面扩建，说明底面积和顶面积不变，增加的表面积实际上是四周侧面增加的部分。增加的部分可以看作是底面周长乘增加的高度。 （3）先求出扩建后的长方体容积，即底面积乘新高度，再乘每立方米存放的电池组数。注意新高度是原棱长加上增加的高度。 【详解】（1）（立方米） 答：原正方体仓储库的容积是216立方米。 （2）（平方米） 答：扩建后的长方体仓储库表面积比原来增加48平方米。 （3）扩建后的高度：（米） 扩建后的容积：（立方米） 总电池组数：（组） 答：扩建后仓库一共能存放3456组电池。 答案第2页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $