暑假提升训练：长方体和正方体（专项训练）-2025-2026学年数学五年级下册人教版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体的棱长、表面积、体积核心知识，通过基础计算、拼接切割、实际应用等题型，系统提炼公式转化、空间想象、优化策略等解题方法，逻辑链从概念到应用递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与计算|填空1-2、5-9等|单位换算、公式逆用|从棱长/单位概念到棱长总和/表面积/体积公式推导| |拼接与切割|填空3、11-12等|重叠面分析、表面积变化规律|从单个正方体到多体拼接的空间关系构建| |实际应用|解答24-29等|排水法、优化包装策略|从公式直接应用到生活情境问题解决|

暑假提升训练：长方体和正方体 一、填空题 1．在括号里填合适的单位。 一个文具盒的体积约是300( )；一瓶矿泉水的净含量约为500( )。 2．把3个棱长是的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是( )m。 3．把三个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方厘米。拼成的长方体表面积相当于( )个正方形面的面积，每个正方体的表面积是( )平方厘米。 4．吴老师买了一套新房，客厅长6m，宽4m，高3m。吴老师准备粉刷客厅的四周墙壁和顶面，门窗、电视墙等有10m2不粉刷，实际粉刷的面积是( )m2。 5．一个长方体的棱长总和是36厘米，长是4厘米，宽是3厘米，高是( )厘米。 6．将一个长方体的侧面展开，正好是一个正方形。已知这个长方体的底面是边长为2cm的正方形，这个长方体的体积是( )cm3。 7．瑞瑞用一根铁丝裁剪后刚好搭成一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体（接头不计），这根铁丝长( )厘米。若她想用这根铁丝刚好搭成一个正方体，搭成的正方体棱长是( )厘米。 8．一根铁丝正好可以围成一个棱长为6厘米的正方体，把它改成一个长8厘米、宽6厘米的长方体。这个长方体的表面积是( )平方厘米。 9．用一根54厘米长的铁丝，正好可以焊接成一个长是6厘米，宽是2厘米，高是( )厘米的长方体模具。 10．下面是一个长方体，这个长方体的体积是( )立方厘米；当h＝8时，这个长方体的体积是( )立方厘米。 （单位：厘米） 11．一根长方体形状的钢材，长是0.8米。工人师傅要把它加工成两段，于是沿着与长垂直的方向锯开，锯完后发现钢材的表面积比原来增加了32平方厘米。这根钢材原来的体积是( )立方厘米。 12．如图，5个棱长都是2分米的正方体纸箱放在墙角，露在外面的面积是( )平方分米；至少还需要再添( )个这样的正方体纸箱，才能搭成一个更大的正方体。 二、选择题 13．一个物体的长、宽、高分别是26cm、18.5cm、0.5cm，这个物体可能是（    ）。 A．橡皮 B．数学书 C．黑板 D．粉笔盒 14．一个长方体，如果高增加3厘米就变成一个棱长为8厘米的正方体。原来长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．512 B．27 C．320 D．125 15．一个长方体的棱长总和是80dm，长是10dm，宽是5dm，高是（    ）dm。 A．5 B．20 C．25 D．65 16．一根长方体木料长8dm，锯成4段，表面积增加了24dm2，这根长方体木料的体积是（    ）dm3。 A．24 B．48 C．32 D．64 17．用4个棱长1cm正方体搭成立体图形，新搭成的立体图形表面积与原来4个小正方体的表面积之和相比，减少最多的是（    ）。 A． B． C． D． 三、判断题 18．把一个正方体橡皮泥捏成长方体，它的体积和表面积都改变。( ) 19．长方体相对的面完全相同，相对的棱长度相等。( ) 20．如图，将6个小正方体放在墙角处，有11个面露在外面。( ) 21．表面积是96平方分米的正方体，体积是64平方分米。( ) 22．体积相等的长方体和正方体，表面积也一定相等。( ) 四、计算题 23．计算下面几何体的表面积和体积。 五、解答题 24．用一根长36厘米的铁丝做一个正方体框架，这个正方体的体积是多少立方厘米？ 25．工厂要将3包相同的纸巾（如图）包成一包售卖，如何包装最节省包装纸，请你算出最少需要的包装纸的面积。（接口处不计） 26．一个长方体玻璃鱼缸，长5分米、宽3分米、高4分米，里面水深2.5分米。放入一块假山石后，水面上升到3.2分米，这块假山石的体积是多少立方分米？ 27．驻马店西平棠溪宝剑是知名非遗文化瑰宝，工匠打造一根长方体宝剑剑胚，长3米，横截面是一个边长为5厘米的正方形，这把剑胚的体积是多少立方厘米？如果每立方厘米钢材重7.8克，这把剑胚重多少千克？ 28．一个棱长50厘米的正方体募捐箱，除了顶部开一个长20厘米、宽5厘米的投币口外，其余各面都贴上红纸。 (1)需要贴红纸的面积是多少平方厘米？ (2)如果在所有棱上粘贴一圈胶带，一卷长6米的胶带够用吗？ 29．李老师做了一个无盖的玻璃鱼缸，鱼缸长12分米、宽6分米、高8分米。 (1)至少需要玻璃多少平方分米？ (2)如果往这个鱼缸中注入6分米深的水，需要多少升水？ 试卷第4页，共4页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． cm3/立方厘米 mL/毫升 【分析】描述文具盒的体积，要在立方厘米、立方分米、立方米中选择匹配的：一颗骰子的体积是1立方厘米，成年人1个拳头的体积是1立方分米，一台小型洗衣机的体积大约是1立方米； 描述矿泉水的净含量要用容积单位，那么在毫升、升中选择匹配的；很小的口服液一小勺体积是1毫升，2瓶矿泉水的体积约是1升。 【详解】文具盒属于较小的物体，体积用立方厘米作单位合适，300立方厘米符合文具盒的实际大小； 瓶装矿泉水的容量较小，计量液体容积通常用毫升作单位，500毫升符合一瓶矿泉水的净含量实际。 一个文具盒的体积约是300立方厘米；一瓶矿泉水的净含量约为500毫升。 2．80 【分析】把3个棱长是的正方体拼成一个长方体，则该长方体的长为4×3＝12m，宽和高都为4m，然后根据长方体的棱长总和公式：L＝（a＋b＋h）×4，据此代入数值进行计算即可。 【详解】4×3＝12（m） （12＋4＋4）×4 ＝20×4 ＝80（m） 则这个长方体的棱长总和是80m。 3． 14 150 【分析】（1） 1个正方体有6个正方形面，3个正方体原本共有 3×6＝18 个正方形面。 三个正方体拼成长方体时，一共会有2处拼接，每处拼接会遮住2个正方形面，一共遮住 2×2＝4个面。 （2）已知长方体表面积是350平方厘米，可得1个正方形面的面积， 1个正方体有6个正方形面，再乘6即可求出每个正方体的表面积。 【详解】3×6－2×2 ＝18－4 ＝14（个） 350÷14×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 拼成的长方体表面积相当于14个正方形面的面积，每个正方体的表面积是150平方厘米。 4．74 【分析】求粉刷的面积，就是求长方体房子的5个面的面积和，再减去门窗、电视墙的面积，根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此解答。 【详解】6×4＋（6×3＋4×3）×2－10 ＝6×4＋（18＋12）×2－10 ＝6×4＋30×2－10 ＝24＋60－10 ＝84－10 ＝74（m2） 5．2 【分析】长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，高＝棱长总和÷4－长－宽，据此解答。 【详解】36÷4－4－3 ＝9－4－3 ＝5－3 ＝2（厘米） 6．32 【分析】长方体侧面展开为正方形，长方体侧面展开图的一边长度等于底面周长，另一边长度等于长方体的高，所以侧面展开为正方形时底面周长与高长度相等。 已知底面是边长为2厘米的正方形，根据正方形周长公式计算底面周长，即可得到长方体的高。 已知长方体底面边长和高，根据长方体体积公式，代入对应数值即可求解。 【详解】 这个长方体的体积是32cm³。 7． 72 6 【分析】长方体有12条棱，分为4条长、4条宽、4条高，所以可以用长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4计算铁丝总长度； 正方体12条棱长度都相等，且铁丝总长度和搭长方体的长度一致，所以用铁丝总长除以12即可得到正方体的棱长。 【详解】 （厘米） （厘米） 这根铁丝长72厘米。若她想用这根铁丝刚好搭成一个正方体，搭成的正方体棱长是6厘米。 8． 208 【分析】一根铁丝正好可以围成一个棱长为6厘米的正方体，把它改成一个长8厘米、宽6厘米的长方体。根据铁丝长度不变，即正方体棱长总和等于长方体棱长总和，再利用棱长总和公式求出长方体的高，再代入表面积公式计算。正方体棱长总和＝棱长×6，由长方体棱长和＝4×（长＋宽＋高）可得高＝棱长和÷4－长－宽，求得长方体的高是4厘米，再根据长方体表面积公式＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高）求得长方体的表面积。 【详解】12×6＝72（厘米） 72÷4－8－6 ＝18－8－6 ＝10－6 ＝4（厘米） （8×6＋8×4＋6×4）×2 ＝（48＋32＋24）×2 ＝（80＋24）×2 ＝104×2 ＝208（平方厘米） 所以这个长方体的表面积是208平方厘米。 9．5.5 【分析】铁丝的长度即为长方体的棱长总和。长方体有12条棱，相对的棱长度相等，可分为4组，每组包含长、宽、高各一条。根据公式“棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”，已知棱长总和、长和宽，可以先用棱长总和除以4求出一组长、宽、高的和，再减去长和宽的和，即可求出高。 【详解】54÷4＝13.5（厘米） 13.5－（6＋2） ＝13.5－8 ＝5.5（厘米） 高是5.5厘米。 10． 60h 480 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，代入数值计算即可。之后再把h＝8时，代入数据。 【详解】这个长方体的体积：10×6×h＝60×h＝60h（立方厘米） 当h＝8时，60h＝60×8＝480（立方厘米）。 11．1280 【分析】根据题意，一根长方体形状的钢材沿着与长垂直的方向锯开，那么表面积会增加两个截面的面积；用增加的表面积除以2，求出一个截面的面积；再根据长方体的体积公式V＝Sh，求出这根钢材原来的体积。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】0.8米＝80厘米 32÷2＝16（平方厘米） 16×80＝1280（立方厘米） 12． 40 3 【分析】先计算单个正方形面的面积，使用正方形面积公式，其中a为棱长。 分别从正面、上面、侧面三个方向观察组合体，正面能看到3个面、右面能看到3个面、上方能看到4个面，求和得到总面露数，因为露在外面的总面积等于单个面面积乘以总面露数，所以可据此计算第一空结果。 观察图形可知，长、宽、高方向最多都有2个小正方体，要搭成的大正方体的棱长最少由2个小正方体的棱长组成，再根据棱长个数×棱长个数×棱长个数计算出总个数，减去已有的5个，得到需要添加的数量。 【详解】（平方分米） （个） （平方分米） （个） （个） 露在外面的面积是40平方分米；至少还需要再添3个这样的正方体纸箱，才能搭成一个更大的正方体。 13．B 【分析】根据生活经验可知：题干中物体的长为 26cm，宽为 18.5cm，高为 0.5cm。这是一个比较薄且大小适中的长方体物体。 【详解】A．橡皮的长度一般在5cm左右，远小于26cm，此选项错误。 B．小学数学书的长约为26cm，宽约为18cm，厚度约为0.5cm至1cm，与题干数据相符，此选项正确。 C．黑板的长和宽通常以米（m）为单位，大概长4m，远大于26cm，此选项错误。 D．粉笔盒通常是正方体或较厚的长方体，边长或高一般在10cm左右，厚度远大于0.5cm，此选项错误。 综上所述，这个物体可能是数学书。 14．C 【分析】根据题意，长方体的高增加3厘米后变成棱长为8厘米的正方体，说明原来长方体的长与宽都等于正方体的棱长，即8厘米；原来长方体的高等于正方体的棱长减去增加的高度，即：（8－3）厘米，根据长方体的体积公式 ，列综合算式计算即可求得长方体的体积；对比各个选项，作出判断。 【详解】求原来长方体的体积： 原来长方体的长和宽均为：8厘米 高为：厘米。 原来长方体的体积为： （立方厘米） 15．A 【分析】根据公式“棱长总和 ”，可知“”，代入题干数据计算即可求出高。 【详解】 即高是5dm。 16．C 【分析】根据题意，将长方体木料锯成4段，需要锯3次，每锯一次增加2个横截面，共增加3×2＝6个横截面。增加的表面积即为这6个横截面的面积之和。用增加的表面积除以6个求出横截面面积（即底面积）后，再根据长方体体积公式“体积＝底面积×高”即可求出体积。 【详解】锯的次数：4－1＝3（次） 增加的面数：3×2＝6（个） 横截面面积：24÷6＝4（dm2） 木料体积：4×8＝32（dm3） 17．B 【分析】两个物体拼接在一起，几处拼接就减少2乘对应拼接处的面的个数的面积，逐项分析各个选项减少面的面积，再进行比较，即可解答。 【详解】A．有3处拼接，减少：1×1×3×2＝6（cm2） B．有4处拼接，减少：1×1×4×2＝8（cm2） C．有3处拼接，减少：1×1×3×2＝6（cm2） D．有3处拼接，减少：1×1×3×2＝6（cm2） 减少最多的是。 18．× 【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积。把一个正方体橡皮泥捏成长方体，形状改变了，但橡皮泥的多少没有变，所占空间的大小也没有变，所以体积不变；形状改变后，面的形状和数量组合会变化，表面积会发生改变。 结合两个判断结果，得出题目的说法是否正确。 【详解】把正方体橡皮泥捏成长方体，只是形状发生了改变，橡皮泥所占空间的大小（即体积）不变，只有表面积会随着形状改变而变化，因此原题说法错误。 故答案为：× 19．√ 【分析】长方体的特征，长方体有6个面，12条棱，8个顶点，其中相对的面完全相同，相对的棱长度相等。据此对题干说法进行判断。 【详解】根据长方体的特征可知：长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面形状相同、面积相等，即完全相同；长方体有12条棱，可以分为3组，每组4条棱的长度相等，即相对的棱长度相等。 故答案为：√ 20．√ 【分析】从三个方向进行观察：从前面看、从上面看、从右面看，分别数出这三个方向看到的面的数量，然后相加即可得出露在外面的总面数，最后与题干中的数据进行对比判断。 【详解】从前面看，可以看到4个面；从上面看，可以看到4个面；从右面看，可以看到3个面； 露在外面的面一共有：4＋4＋3＝11（个），所以原题说法正确。 故答案为：√ 21．× 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，则棱长×棱长＝表面积÷6，求出正方体一个面的面积。再根据正方形面积＝边长×边长，据此求出正方体的棱长，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的体积，再进行比较。 【详解】96÷6＝16（平方分米） 4×4＝16，所以正方体棱长是4分米。 4×4×4＝64（立方分米） 表面积是96平方分米的正方体，体积是64立方分米。 故答案为：× 22．× 【分析】，，，； 采用赋值法，先设定相同的体积数值，分别计算对应正方体的棱长、表面积，再构造一个体积和该数值相等的长方体，计算其表面积。 对比两者的表面积结果，如果存在表面积不相等的情况，就可以判断原说法不成立。 【详解】假设正方体的棱长是2厘米 （立方厘米） （平方厘米） 假设长方体的长、宽、高分别是4厘米、2厘米、1厘米 （立方厘米） （平方厘米） ，体积相等； ，表面积不相等； 所以体积相等的长方体和正方体，表面积不一定相等。 故答案为：× 23．表面积：224平方厘米；体积：208立方厘米 【分析】观察图可知，从棱长为6厘米的正方体的上方挖去一个棱长为2厘米的小正方体，表面积先减少了2个小正方形面的面积，但又增加了4个小正方形面的面积，所以表面积增加了2个小正方形的面，再根据正方体的表面积公式：S＝，计算出正方体的表面积后再加上2个小正方形的面积。图形的体积＝大正方体的体积－小正方体的体积，根据正方体的体积公式：V＝，据此进行计算即可。 【详解】6×6×6＋2×2×2 ＝36×6＋4×2 ＝216＋8 ＝224（平方厘米） 6×6×6－2×2×2 ＝36×6－4×2 ＝216－8 ＝208（立方厘米） 下面几何体的表面积是224平方厘米；体积是208立方厘米。 24． 27立方厘米 【分析】先根据“正方体的棱长＝棱长总和÷12”求出正方体的棱长；再根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”计算体积。 【详解】（厘米） （立方厘米） 答：这个正方体的体积是27立方厘米。 25．把长7厘米，宽5厘米的面叠在一起最省纸；214平方厘米 【分析】多个长方体拼合包装，重叠的面越大，遮住的面积就越多，所用包装纸越少。先算出纸巾三种面的面积，分三种重叠方式拼出新长方体，分别算出表面积后对比，数值最小的就是最省纸的方案。 【详解】重叠长7厘米，宽5厘米的面，新长7厘米、宽5厘米、高2×3＝6（厘米）： （7×5＋7×6＋5×6）×2 ＝（35＋42＋30）×2 ＝107×2 ＝214（平方厘米） 重叠长7厘米，宽2厘米的面，新长7厘米、宽5×3＝15（厘米）、高2厘米： （7×15＋7×2＋15×2）×2 ＝（105＋14＋30）×2 ＝149×2 ＝298（平方厘米） 重叠长5厘米，宽2厘米的面，新长7×3＝21（厘米）、宽5厘米、高2厘米： （21×5＋21×2＋5×2）×2 ＝（105＋42＋10）×2 ＝157×2 ＝314（平方厘米） 214＜298＜314 答：把7厘米×5厘米的面叠在一起最省纸，最少需要214平方厘米包装纸。 26． 10.5立方分米 【分析】根据题意，假山石完全浸没在水中，水面上升部分的体积即为假山石的体积。上升部分水的形状为长方体，其长和宽等于鱼缸的长和宽，高等于水面上升的高度。再根据长方体体积＝长×宽×高列式计算即可 【详解】 （立方分米） 答：这块假山石的体积是10.5立方分米。 27．7500立方厘米；58.5千克 【分析】长方体长3米，横截面是一个边长为5厘米的正方形，则长方体的宽和高都是5厘米。根据长方体的体积＝长×宽×高，先统一单位后，再代入数据计算即可。根据乘法的意义，用每立方厘米钢材的重量乘求出的剑胚的体积，即可求出它的重量。 【详解】3米＝300厘米 300×5×5＝7500（立方厘米） 7500×7.8＝58500（克）＝58.5千克 答：这把剑胚的体积是7500立方厘米。这把剑胚重58.5千克。 28．(1)14900平方厘米 (2)刚好够用 【分析】募捐箱是一个正方体，通常有6个面。题目要求除了顶部的投币口外，其余各面都贴上红纸，这意味着需要计算正方体6个面的总面积，然后减去投币口的面积； 需要在所有棱上粘贴胶带，即求正方体的棱长总和。正方体有12条棱，且长度相等。计算出棱长总和后，需要统一单位，再与胶带的长度进行比较。 【详解】（1） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：需要贴红纸的面积是14900平方厘米。 （2）（厘米） 600厘米＝6米 6＝6所以胶带够用。 答：一卷长6米的胶带够用。 29．(1)360平方分米 (2)432升 【分析】（1）鱼缸无盖，说明只需要计算个面的面积，即S五个面＝ab＋（ah＋bh）×2，据此代入数据计算即可。 （2）求需要多少升水，即求水的体积。水的形状是长方体，长和宽与鱼缸相同，高为水深分米。根据长方体体积公式计算体积，注意立方分米升。 【详解】（1） ＝72＋（96＋48）×2 ＝72＋144×2 ＝72＋288 ＝360（平方分米） 答：至少需要玻璃平方分米。 （2） ＝72×6 ＝432（立方分米） 立方分米升 答：需要升水。 答案第12页，共12页 答案第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $