暑假专项应用题 长方体和正方体（专项训练）2025-2026学年人教版五年级下册数学

**基本信息** 聚焦长方体和正方体表面积与体积的系统性应用，通过25道梯度题构建“概念-方法-应用”逻辑链，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |表面积计算|6题（如1、4、13题）|侧面积=底面周长×高；拼合减少2个面面积；无盖表面积=底面积+侧面积|从棱长总和到表面积公式推导，延伸至切割/拼合情境下的表面积变化| |体积计算|8题（如2、10、11题）|排水法：物体体积=容器底面积×水面上升高度；体积单位换算|从基本体积公式到不规则物体体积测量，建立“等积变形”思想| |展开与拼合|3题（如3、18题）|展开图中长宽高关系分析；小正方体拼合后尺寸确定|平面展开图与立体图形的转化，培养空间想象能力| |实际应用|8题（如7、17、24题）|包装最省纸=减少最大面拼接；容积与体积辨析|结合生活场景（游泳池、包装、水箱），体现数学应用意识|

暑假专项应用题 长方体和正方体（专项训练）2026年人教版五年级下册数学 1．一个长方体饼干盒，底面是周长为40厘米的正方形，高12厘米。如果在它的侧面贴一圈商标纸，这张商标纸的面积至少是多少平方厘米？ 2．科学实验室有一个长方体玻璃缸，从里面测量长为6分米、宽为2分米、高为4分米。玻璃缸内原来有一些水，放入4个同样大小的玻璃球后，水面上升了0.2分米，并且没有流出水，每个玻璃球的体积是多少立方分米？ 3．下图是一个长方体的展开图，这个长方体的长、宽、高分别是多少？ 4．用两个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体。拼成后的长方体的表面积和原来两个正方体的表面积总和相比较。表面积减少了多少平方厘米？ 5．用一根铁丝正好能围成一个棱长是8厘米的正方体框架，如果用这根铁丝围成一个长10厘米，宽9厘米的长方体框架，这个长方体框架的高是多少厘米？ 6．小老鼠杰瑞做了一些奶酪，汤姆想：“一定很好吃，我要吃大的。”汤姆选择哪一种才能吃到更多的奶酪呢？（尺寸如图，单位：厘米） 7．学校要建一个长60米，宽25米，深20分米的长方体游泳池。 （1）如果在游泳池的底面和内壁抹上一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）按最高水位线18分米注水，应注水多少立方米？ 8．一个长方体水箱，从里面量它的长是1.2分米，宽是40厘米，高是8分米，这个水箱最多能装水多少升？ 9．一个长方体的长是4米，宽是2米，高是50分米，那么它的体积是多少立方米？ 10．阿基米德是希腊著名的哲学家、数学家和物理学家，他在两千多年前测量皇冠就发现了用排水法可以测量不规则物体的体积。小辉尝试用排水法测量一个不规则物体的体积，他进行了如下实验。 ①他准备了一个长10厘米、宽8厘米、高15厘米的长方体玻璃缸。 ②他往缸里倒入一些水，此时水面高度是8厘米。 ③他把一个苹果完全放入水中，水面上升到11厘米。 这个苹果的体积是多少立方厘米？ 11．园博园工作人员在开展瓯越园景观标本整理工作时，使用了一个棱长为11厘米的正方体小玻璃缸（无盖），玻璃缸内已注入清水，水深7厘米。随后，工作人员将一枚从园区内采集的铁制苹果标本，完全浸入玻璃缸的清水中，浸入后玻璃缸内的水位上升至9厘米。 (1)制作这个正方体小玻璃缸（无盖）至少需要多少平方厘米的玻璃？ (2)这个铁制苹果标本的体积是多少立方厘米？ 12．10月18日是倩倩妈妈的生日，倩倩用平时积攒的零花钱给妈妈买了一个蛋糕。用彩带将蛋糕盒捆扎起来，打结处用去18厘米，共用彩带多少厘米？ 13．一个长方体的长是12厘米，宽是8厘米。沿长边的中点处将其切成两个相等的长方体，这两个长方体的表面积之和比原长方体的表面积增加了48平方厘米（如图）。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 14．一种牛奶用塑料盒密封包装（如图）。从外面量长是6cm，宽是5cm，高是10cm。盒上注明“净含量：350mL”，请分析注明的内容是否真实。     15．修建一个长8米，宽5米，深1.8米的无盖水池。 （1）这个水池的占地面积是多少平方米？ （2）这个水池最多能装水多少立方米？ 16．目前，口罩依然是人们的生活常用物品。为进一步做好废弃口罩的安全处置，确保人民群众的身体健康和生命安全，某小区为每栋楼安置了废弃口罩回收箱（如下图长方体）。这个回收箱的占地面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 17．庐山茶饼是中国十大传统名饼，其色泽金黄，具有小而精，素以薄而脆，酥而甜，香而美的特点。张阿姨特意购买了三盒茶饼作为伴手礼，每盒茶饼长2分米，宽0.5分米，高2分米，如何一起包装这三盒茶饼，才最省包装纸？至少需多少平方分米的包装纸？请你写一写、算一算。（不考虑粘贴等损耗） 18．下图是一个长方体的表面展开图，根据图上有关线段的长度，计算这个长方体的体积是多少？ 19．小岚的小卧室长4米、宽3.5米、高3米，她打算把自己小卧室的四壁（除去门窗面积1.5平方米）贴上墙纸。她看中了一款20元/平方米的墙纸，买墙纸至少需要多少元？ 20．一个长6厘米的长方体木块，如果纵向把它切成两个小长方体（如图1），表面积就增加40平方厘米，如果横向把它切成两个小长方体（如图2），表面积就增加48平方厘米，原来这个长方体木块的表面积是多少？ 21．一个无盖的长方体玻璃缸，从里面量长8分米，宽6分米，高3分米。 （1）制作这样的一个玻璃缸，需要多少平方分米的玻璃？ （2）缸内水深2.8分米，如果竖直放入一块棱长为3分米的正方体铁块，缸里的水会溢出吗？请说明理由。 22．五年级的数学课上，老师给每组学生一个无盖的长方体玻璃鱼缸、120升的水和一块假山石，要求研究鱼缸的制作材料，假山石的体积等，小红一组测量出鱼缸的长8分米，宽5分米，高6分米。请你继续研究，完成以下问题。 (1)做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ (2)如果向鱼缸中注入120升水，水深多少分米？ (3)再往水中放入一块假山石（完全浸没），水面上升了2厘米，假山石的体积是多少立方分米？ 23．如图，一个棱长为8厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长为2厘米的小正方体，做成一种玩具。该玩具的表面积是多少平方厘米？ 24．要粉刷一个长24米、宽10米、高3.5米的礼堂的上面和四周墙壁，礼堂的门窗面积是64平方米。如果每平方米的涂料费是0.6元，那么粉刷礼堂上面和四周墙壁要花费多少钱？ 25．如图，从一块长方形铁皮的四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形后，做成一个无盖的长方体盒子，这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 参考答案 1．480平方厘米 【分析】商标纸围绕侧面粘贴，所求面积即为长方体的侧面积。根据侧面积＝底面周长×高，代入数值即可解答。 【详解】40×12＝480（平方厘米） 答：这张商标纸的面积至少是480平方厘米。 2．0.6立方分米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽 ×高，计算出水面上升了0.2分米这部分水的体积，也就是放入4个同样大小的玻璃球的体积之和，代入相应数值计算即可。 【详解】6×2×0.2＝2.4（立方分米） 2.4÷4＝0.6（立方分米） 答：每个玻璃球的体积是0.6立方分米。 【点睛】解答本题的关键是要掌握水面上升后，上升这部分水的体积也就是等于放入4个同样大小的玻璃球的体积之和。 3．长8cm，宽6cm，高4cm 【分析】由图可知，长方体的长是8cm，宽是6cm，两条高的长度＋长＝16cm。据此计算即可。 【详解】（16－8）÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 答：这个长方体的长是8cm，宽是6cm，高是4cm。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征。 4．18平方厘米 【分析】用两个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体，拼在一起的2个面被遮住了。所以，长方体的表面积比原来2个正方体表面积之和少正方体的2个面的面积。用棱长乘棱长算出一个面的面积，再乘2即可。 【详解】3×3×2＝18（平方厘米） 答：表面积减少了18平方厘米。 5．5厘米 【分析】首先根据正方体的棱长总和的计算方法求出棱长总和（铁丝的长度），长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，由此列式解答。 【详解】（厘米） （厘米） 答：这个长方体框架的高是5厘米。 【点睛】解决问题的关键是掌握长方体和正方体棱长总和的计算方法。 6．选择②。 【分析】计算两块奶酪的体积，比大小即可确定汤姆选择哪一个吃的更多。长方体的体积＝长×宽×高；正方体的体积＝边长×边长×边长。 【详解】8×10×6 ＝80×6 ＝480（立方厘米） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 480＜512 答：汤姆选择②才能吃到更多的奶酪。 7．（1）1840平方米 （2）2700立方米 【分析】（1）求抹水泥的面积，实际是求长方体的1个底面和4个侧面的面积之和，根据长方体的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入数据即可求出抹水泥的面积。 （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出应注水的体积。 【详解】（1）20分米＝2米 60×25＋60×2×2＋25×2×2 ＝1500＋240＋100 ＝1840（平方米） 答：抹水泥的面积是1840平方米。 （2）18分米＝1.8米 60×25×1.8 ＝1500×1.8 ＝2700（立方米） 答：应注水2700立方米。 【点睛】这是一道关于长方体表面积和体积的实际应用，在计算表面积时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 8．38.4升 【分析】先统一单位，再根据长方体的容积公式：V＝abh，代入数据，即可求出这个长方体水箱的容积，最后根据1立方分米＝1升，换算单位后即是这个水箱最多能装水的体积。 【详解】40厘米＝4分米， 1.2×4×8＝38.4（立方分米） 38.4立方分米＝38.4升 答：这个水箱最多能装水38.4升。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的容积公式以及单位之间的换算。 9．40立方米 【分析】统一单位后，利用长方体的体积公式：V＝abh，代入数据，即可求出长方体的体积。 【详解】50分米＝5米 4×2×5＝40（立方米） 答：长方体的体积是40立方米。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的体积公式求解。 10．240立方厘米 【分析】利用排水法测量不规则物体体积，苹果完全浸没在水中后，水面上升的那部分水的体积就等于苹果的体积。用放入苹果后的水面高度减去原来的水面高度，求出水面上升的高度。再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出上升部分水的体积，也就是苹果的体积。 【详解】10×8×（11－8） ＝10×8×3 ＝80×3 ＝240（立方厘米） 答：这个苹果的体积是240立方厘米。 11．(1)605平方厘米 (2)242立方厘米 【分析】（1）根据题意，求需要多少平方厘米的玻璃，也就是求正方体的表面积，因为无盖，所以用正方体一个面的面积乘5，即可求出答案。 （2）当不规则物体完全浸入水中时，上升的水的体积就等于不规则物体的体积。根据不规则物体的体积：容器的底面积×水面变化的高度。代入数据即可。 【详解】（1）11×11×5＝605（平方厘米） 答：制作这个正方体小玻璃缸（无盖）至少需要605平方厘米的玻璃。 （2）11×11×（9－7） ＝11×11×2 ＝121×2 ＝242（立方厘米） 答：这个铁制苹果标本的体积是242立方厘米。 12．288cm 【分析】根据图可知，共用的彩带的长度＝2个长＋4个宽＋6个高＋打结处的长度。据此解答即可。 【详解】50×2＋20×4＋15×6＋18 ＝100＋80＋90＋18 ＝288（cm） 答：共用彩带288厘米。 13．288立方厘米 【分析】沿长边中点切割后，表面积增加的部分是两个相同的长方形面，长方形的长是原长方体的宽（8厘米），宽是原长方体的高。已知表面积增加了48平方厘米，即两个新增长方形面的面积和为48平方厘米，那么一个面的面积是48÷2＝24平方厘米。又因为这个面的长是8厘米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，可得高为24÷8＝3厘米。根据长方体体积公式V＝长×宽×高，原长方体长12厘米、宽8厘米、高3厘米，把数据代入计算即可。 【详解】48÷2＝24（平方厘米） 24÷8＝3（厘米） 12×8×3＝288（立方厘米） 答：原来长方体的体积是288立方厘米。 14．不真实 【分析】净含量是指盒子内部能装的牛奶体积，也就是盒子的容积；长方体的体积＝长×宽×高，先根据盒子外部的长、宽、高算出盒子的体积，再根据“1cm3＝1mL”进行单位换算；盒子的容积一定小于它的体积（因为塑料盒本身有厚度），将盒子的体积和标注的净含量比较，判断是否真实即可。 【详解】6×5×10＝300（cm3） 300cm3＝300mL 300＜350 答：注明的内容不真实。 15．（1）40平方米 （2）72立方米 【分析】（1）求这个水池的占地面积，相当于求这个水池的底面积，根据长方形的面积公式，用长乘宽即可求出这个水池的占地面积。 （2）根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，代入数据，即可求出这个水池的容积。 【详解】（1）8×5＝40（平方米） 答：这个水池的占地面积是40平方米。 （2）8×5×1.8 ＝40×1.8 ＝72（立方米） 答：这个水池最多能装水72立方米。 【点睛】此题主要考查长方体的底面积、体积（容积）的计算方法。 16．20平方分米；240立方分米 【分析】求回收箱的占地面积就是求长方体的底面积，长方体的底面积＝长×宽，再根据“长方体的体积＝底面积×高”求出回收箱的体积，据此解答。 【详解】5×4＝20（平方分米） 20×12＝240（立方分米） 答：这个回收箱的占地面积是20平方分米，体积是240立方分米。 【点睛】熟练掌握长方形的面积和长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 17．沿宽拼接；20平方分米 【分析】将三个茶饼盒拼接成一个大长方体，使表面积最小。要让拼接后的大长方体的长、宽、高尽可能接近，从而减少表面积。通过分析不同拼接方式，选择表面积最小的方案。 沿宽拼接：将三个茶饼盒的宽边（0.5分米）相接，形成大长方体尺寸为长2分米、宽1.5分米（0.5×3）、高2分米。 沿长拼接：长6分米（2×3）、宽0.5分米、高2分米。 沿高拼接：长2分米、宽0.5分米、高6分米（2×3）。 然后根据表面积的计算公式S＝（ab ＋ ah ＋ bh）×2（其中a为长， b为宽， h为高），把数据代入公式计算。并相比较即可解答。 【详解】沿宽拼接： 0.5×3＝1.5（分米） （2×1.5＋2×2＋2×1.5）×2 ＝（3＋4＋3）×2 ＝10×2 ＝20（平方分米） 沿长拼接：2×3＝6（分米） （6×0.5＋6×2＋0.5×2）×2 ＝（3＋12＋3）×2 ＝18×2 ＝36（平方分米） 沿高拼接：2×3＝6（分米） （2×0.5＋2×6＋0.5×6）×2 ＝（1＋12＋3）×2 ＝16×2 ＝32（平方分米） 20＜32＜36 答：沿宽拼接包装这三盒茶饼，才最省包装纸；至少需20平方分米的包装纸。 18．144cm3 【详解】（22-8-8）÷2=3（cm） 8×6×3=144（cm3） 19．870元 【分析】根据题意可知，贴墙纸的面积是长方体的四个面，求出四个面的面积后，因为门窗不能贴，所以用四个面的面积之和减去门窗的面积1.5平方米，再用求得面积与墙纸价格相乘，即可得到买墙纸需要的钱数。 【详解】（4×3×2＋3.5×3×2－1.5）×20 ＝（24＋21－1.5）×20 ＝43.5×20 ＝870（元） 答：买墙纸至少需要870元。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的表面积公式求解。 20．148平方厘米 【分析】图2中切开之后的表面积比原来增加了2个切面的面积，先求出一个切面的面积，切面是原来长方体长和宽所组成的面，根据“”求出原来长方体的宽；图1中切开之后的表面积也比原来增加了2个切面的面积，先求出一个切面的面积，切面是原来长方体宽和高所组成的面，根据“”求出原来长方体的高；最后根据“”求出原来这个长方体木块的表面积。 【详解】长：6厘米 宽：48÷2÷6 ＝24÷6 ＝4（厘米） 高：40÷2÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） （6×4＋6×5＋4×5）×2 ＝（24＋30＋20）×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 答：原来这个长方体木块的表面积是148平方厘米。 21．（1）132平方分米；（2）会溢出，因为水和铁块的体积之和大于玻璃缸的体积 【分析】（1）玻璃缸是无盖的，没有上面，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”列式求出需要多少平方分米的玻璃； （2）根据长方体体积＝长×宽×高，先分别求出玻璃缸和水的体积。根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体铁块的体积。将水的体积加上铁块的体积，求出和，再和玻璃缸的体积做对比。如果水和铁块的体积之和更大，那么水会溢出，反之则不会溢出。 【详解】（1）8×6＋8×3×2＋6×3×2 ＝48＋48＋36 ＝132（平方分米） 答：制作这样的一个玻璃缸，需要132平方分米的玻璃。 （2）玻璃缸体积：8×6×3＝144（立方分米） 水的体积：8×6×2.8＝134.4（立方分米） 铁块体积：3×3×3＝27（立方分米） 134.4＋27＝161.4（立方分米） 161.4＞144 答：缸里的水会溢出，因为水和铁块的体积之和大于玻璃缸的体积。 22．(1)196平方分米 (2)3分米 (3)8立方分米 【分析】（1）鱼缸无盖，说明只需要计算5个面的面积，即1个底面加上前后、左右4个侧面。根据长方体表面积公式进行计算。 （2）已知水的体积和鱼缸的长、宽，根据“长方体体积＝底面积×高”，用水的体积除以底面积即可求出水深。注意容积单位升与体积单位立方分米的换算，1升＝1立方分米。 （3）假山石完全浸没在水中，水面上升的体积即为假山石的体积。根据“体积＝底面积×上升的高度”计算。注意统一长度单位，将厘米换算为分米，1分米＝10厘米。 【详解】（1） （平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃196平方分米。 （2）120升＝120立方分米 （分米） 答：水深3分米。 （3）2厘米＝0.2分米 （立方分米） 答：假山石的体积是8立方分米。 23．平方厘米 【分析】根据题意，结合图示，每挖去一个棱长为2厘米的小正方体，原来的大正方体的表面就会减少一个小正方形的面积，但会重新露出5个小正方形的面，将最里面的小正方形往外平移至与大正方体的面相平，就会将原来的大正方体的外表面全部补齐，这样每挖去一个小正方体就会增加4个小正方形的面积，要在6个面各挖掉这样的一个正方体，就要增加个小正方形的面积。所以这个玩具的表面积＝原来大正方体的表面积＋增加的小正方形的面积。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方形的面积＝边长×边长。 【详解】大正方体的表面积： （平方厘米） 增加的面积： （平方厘米） （个） （平方厘米） 玩具的表面积： （平方厘米） 答：该玩具的表面积是480平方厘米。 24．248.4元 【分析】先根据“长×宽＋（长×高＋宽×高）×2”求出上面和四周的面积和；再用上面和四周的面积和减去门窗的面积求出需要粉刷的面积；再用需要粉刷的面积乘每平方米涂料的费用可求出要花费的总钱数。 【详解】[24×10＋（24×3.5＋10×3.5）×2－64]×0.6 ＝[240＋（84＋35）×2－64]×0.6 ＝[240＋119×2－64]×0.6 ＝[240＋238－64]×0.6 ＝[478－64]×0.6 ＝414×0.6 ＝248.4（元） 答：粉刷礼堂上面和四周墙壁要花费248.4元钱。 【点睛】此题考查了长方体的表面积，解题时要注意地面不需要粉刷。 25．950平方厘米；2500立方厘米 【分析】（1）求这个盒子用了多少铁皮，就是求切掉四个角之后的面积。 （2）求盒子的容积，就是求盒子的体积，要先求出盒子的长宽高，根据题意，盒子的长就是原长方形的长减去2个正方形的边长，盒子的宽就是原长方形的宽减去2个正方形的边长，盒子的高就是正方形的边长。 【详解】35×30－5×5×4 ＝1050－25×4 ＝1050－100 ＝950（平方厘米） （35－5×2）×（30－5×2）×5 ＝（35－10）×（30－10）×5 ＝25×20×5 ＝500×5 ＝2500（立方厘米） 答：这个盒子用了950平方厘米铁皮，它的容积是2500立方厘米。 【点睛】本题考查长方体的表面积、体积的综合应用，确定盒子的长宽高是解答此题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $