暑假提升训练：因数和倍数（专项训练）-2025-2026学年数学五年级下册人教版

**基本信息** 以“定义-性质-应用”为主线，通过分层题型系统训练因数和倍数核心概念，融合抽象能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|22题|定义辨析与性质应用（如最大因数=最小倍数=本身）|从因数倍数定义到奇偶性、质数合数概念延伸| |计算应用|4题|乘法算式法找因数、分解质因数求最大公因数/最小公倍数|从单一计算到方法迁移（如短除法适用场景）| |综合实践|6题|奇偶性分析与倍数关系推理（如总数20的质数合数组合）|从数学问题到生活情境（分蛋糕、电影票价格）|

暑假提升训练：因数和倍数 一、填空题 1．在算式中，( )是( )的倍数，( )是( )的因数。 2．一个数是45的因数，又同时是3、5、9的倍数，这个数是( )。 3．18的最大因数是( )；24的最小倍数是( )。 4．24的因数有( )；一个数最小的倍数是15，这个数是( )。 5．一个数，既是16的因数，又是16的倍数，此数是( )，它的因数一共有( )个。 6．一个非0自然数的最小因数是( )，最大因数是( )，它的因数个数是( )的。 7．一个数，既是20的因数，又是5的倍数，这个数可能是( )、( )、( )。 8．一个数的最大因数和最小倍数都是12，这个数是( )；一个数只有1个因数，这个数是( )。 9．一处公园里共有30株迎春花，已开放的迎春花株数的最大因数是14，那么已开放的迎春花株数是( )株，未开放的迎春花株数的最小倍数是( )。 10．晚上，小明正开着灯吃晚饭，顽皮的弟弟按了5下开关，这时灯是( )着的；如果再按8下，这时灯是( )着的。（填“开”或“关”） 11．小琴写出“56”的因数是：1，2，4，6，7，8，28，56。其中( )不是56的因数，她漏写了一个因数是( )。 12．《西游记》是中国古典四大名著之一，是由明代小说家吴承恩整理创作的中国古代浪漫主义的长篇神魔小说。小说中的孙悟空有七十二般变化，72的最小因数是( )，最小倍数是( )。 二、选择题 13．能同时被2、3、5整除的最小三位数是（    ）。 A．102 B．120 C．210 14．73□是一个三位数，使73□既是3的倍数又是5的倍数，□里应填（    ）。 A．0 B．2 C．5 15．妈妈的生日到了，亮亮用零花钱给妈妈买了一件礼物，购买这件礼物的钱数既是56的因数，又是7的倍数。亮亮给妈妈买礼物用的钱数不可能是（    ）元。 A．28 B．42 C．56 16．同学们玩过“数7”的数字游戏吗？从1开始往后数，遇到7的倍数或者含7的数时要说“过”，五（1）班有38人围成一个圈玩这个游戏，一圈数下来一共要说（    ）次“过”。 A．6 B．7 C．8 17．三张数字卡片分别是，把它们组成一个三位数，得到的数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．合数 三、判断题 18．两个质数的积一定是合数。( ) 19．33名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，那么乙队人数也一定是奇数。( ) 20．从1、2、3、4、5、6、7、8、9这九张数字卡片中任意摸出一张，摸到质数的可能性和摸到合数的可能性相同。( ) 21．一个数的最大因数和最小倍数都是18，这个数是18。( ) 22．从1到9这九个数字中，任抽一个，抽出的数为质数和合数的可能性不相等。( ) 四、计算题 23．写出下列数的所有因数。 12的因数有：     16的因数有： 18的因数有：     60的因数有： 24．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 36和10                7和16                45和60                24和30 五、解答题 25．奶奶在家里的花坛里栽种了两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 26．蛋糕店里想把123块小蛋糕进行分装，如果每5块装一盒，能正好装完吗？如果不能，为了充分利用盒子，至少还要再做几个这样的蛋糕就能正好装完了？ 27．截至2025年8月，我国北斗卫星导航系统在轨运行卫星总数为45颗，包括北斗二号和北斗三号卫星。已知北斗二号卫星数量是奇数，那么北斗三号卫星数量是奇数还是偶数？为什么？ 28．五（1）班要建立读书角，老师号召同学们共享图书。全班不到40名同学，每名同学带的书同样多且不到5本，一共带来124本书。每名同学带来多少本书？这个班有多少名同学？ 29．星光电影院某部电影票的价格比5的倍数多2元，该电影票的价格是在30元和40元之间，且是质数，那么该电影票的价格是多少元？ 30．从下面的4张数字卡片中任选几张按要求组数。 (1)同时是3和5的倍数的三位数有哪些？（写出2个即可） (2)同时是2，3，5的倍数的两位数是哪个？ 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 12 4和3 4和3 12 【分析】在整数乘法算式中，积是两个乘数的倍数，两个乘数是积的因数。 【详解】在算式中，积是12，乘数是4和3，所以12是4和3的倍数，4和3是12的因数。 2． 45 【分析】根据因数和倍数的意义，先找出45的所有因数，再求出 3、5、9 的最小公倍数，最后找出同时满足这两个条件的数。 【详解】45的因数有：1、3、5、9、15、45； 因为9是3的倍数，所以3和9的最小公倍数是9，又因为5和9只有公因数1，5×9＝45，所以3、5、9的最小公倍数是45。 即，45既是45的因数，又是3、5、9的倍数。 所以这个数是45。 3． 18 24 【分析】一个数的因数中最大的是它本身；一个数的倍数有无数个，其中最小的是它本身。据此直接求解即可。 【详解】18的因数有1、2、3、6、9、18，其中最大因数是18；24 的倍数有24、48、72……，其中最小倍数是24。故18的最大因数是18；24的最小倍数是24。 4． 1、2、3、4、6、8、12、24 15 【分析】先找出所有乘积为24的整数组合，得出24的全部因数；再根据一个数最小的倍数等于它本身的规律，求出对应的数字。 【详解】24＝1×24 24＝2×12 24＝3×8 24＝4×6 所以24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。 一个数最小的倍数是15，这个数是15。 5． 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，由此确定这个数是 16。然后根据找因数的方法，从1开始，依次找出能整除16的数，最后数出因数的个数即可。 【详解】既是16的因数又是16的倍数的数是16。 因为16÷1＝16，16÷2＝8，16÷4＝4 ，所以 16 的因数有：1、2、4、8、16，一共有5个因数。 6． 1 它本身 有限 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 【详解】如：2的因数：1，2；最小因数是1，最大因数是2； 10的因数：1，2，5，10；最小因数是1，最大因数是10。 一个非0自然数的最小因数是1，最大因数是它本身，它的因数个数是有限的。 7． 5 10 20 【分析】分别求出20的因数和20以内5的倍数，再确定既是20的因数，又是5的倍数的数。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】20＝1×20＝2×10＝4×5 20的因数有1、2、4、5、10、20。 5×1＝5、5×2＝10、5×3＝15、5×4＝20 20以内5的倍数有：5、10、15、20。 既是20的因数，又是5的倍数：5、10、20。 8． 12 1 【分析】一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身；1的因数只有它本身1；据此可以解答。 【详解】由分析可得：一个数的最大因数和最小倍数都是12，这个数是12；一个数只有1个因数，这个数是1。 9． 14 16 【分析】一个数最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身，据此求出已开放的迎春花的株数；再用迎春花的总株数－已经开放的株数，求出未开放的迎春花的株数，进而求出未开放的迎春花株数的最小倍数。 【详解】14的最大因数是14，已开放的迎春花株数是14株。 30－14＝16（株） 16的最小倍数是16，未开放的迎春花株数的最小倍数是16。 10． 关 关 【分析】弟弟按1下时，灯是关着的；按2下时，灯是开着的，按3下时，灯是关着的；按4下时，灯是开着的。由此可知，按奇数下灯是关着的，偶数下灯是开着的，依此解答。 【详解】由分析可知，按奇数下灯是关着的，偶数下灯是开着的。所以顽皮的弟弟按了5下开关，这时灯是关着的，如果再按8下，就是一共按下5＋8＝13下，这时灯是关着的。 11． 6 14 【分析】将56写成两个自然数相乘的形式：从1开始，依次将56分解成两个因数的乘积，所有参与相乘的数都是56的因数，再进行判断。 【详解】56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8，56的因数有1，2，4，7，8，14，28，56。6不是56的因数，漏写的是14。 12． 1 72 【分析】一个整数的最小因数是1，最大因数和最小倍数都是它本身。 【详解】根据分析可知，小说中的孙悟空有七十二般变化，72的最小因数是1，最小倍数是72。 13．B 【分析】同时是2、3、5的倍数特征：个位数字是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。求同时是2、3、5倍数的最小三位数，个位数字是0，百位数字是最小的1，十位上是最小的且与百位上的数字之和能被3整除的数字。据此解答。 【详解】根据分析： 能同时被 2、3、5 整除的最小三位数是 120。 14．C 【分析】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此把选项的数字逐个检验，即可解答。 【详解】A．□里填0；730是5的倍数；7＋3＋0＝10，10不能被3整除，不是3的倍数，□里不应该填0，不符合题意。 B．□内填2；732不是5的倍数；7＋3＋2＝12，12能被3整除，是3的倍数，不符合题意。 C．□里填5；735是5的倍数；7＋3＋5＝15，15能被3整除，是3的倍数，符合题意。 73□是一个三位数，使73□既是3的倍数又是5的倍数，□里应填5。 15．B 【分析】如果（a、b、c均是不为0的自然数），商是整数且没有余数，我们就说a是b和c的倍数，b和c是a的因数； 先找出56的所有因数，再找出7的倍数，确定既是56的因数又是7的倍数的数有哪些，最后对照选项找出不符合条件的数。 【详解】56的因数有：、、、、、、、。 7的倍数有：、、、、、、、、 既是56的因数，又是7的倍数的数有：、、、。 A.28既是56的因数，又是7的倍数，符合条件，可能是28元，此选项错误； B.42是7的倍数，但不是56的因数，不符合条件，不可能是42元，此选项正确； C.56既是56的因数，又是7的倍数，符合条件，可能是56元，此选项错误。 16．C 【分析】本题找出到之间所有的倍数和所有含数字的数，并注意去除重复的数，最后统计总个数。 【详解】，，，，。的倍数有：、、、、，共个。 个位是的数有：、、、。十位是的数最小是，超出，不考虑。所以含数字的数有：、、、，共个。 数既是的倍数，又含数字，在两次统计中重复出现。满足条件的数共有：（个）。具体为：、、、、、、、。所以一共要说次“过”。 17．C 【分析】自然数中，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数；各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；除了1和它本身还有别的因数，这样的数是合数； 三张数字卡片所能组成的三位数是：234、243、324、342、423、432，结合选项判断并选出正确选项。 【详解】234、324、342、432是偶数，243、423是奇数，偶数和奇数都有，排除A和B，答案只能选C； ，9是3的倍数，是3的倍数的数除了3以外其余的都是合数。 组成的三位数都是大于3的数，因此除了1和它本身，一定还有因数3，所以一定是合数，C正确。 18． √ 【分析】质数只有1和它本身两个因数，合数除了1和它本身还有别的因数。两个质数相乘，积的因数除了1和积本身外，还有这两个质数，所以因数个数至少是3个，符合合数的定义。 【详解】质数是指只有1和它本身两个因数的自然数。合数是指除了1和它本身还有别的因数的自然数。设这两个质数分别为和，它们的积是。的因数一定有和。同时，和也是的因数。所以的因数至少有、、、（当时）或、、（当 时）。因数的个数至少是3个，多于2个。根据合数的定义，两个质数的积一定是合数。 故答案为“√” 19．× 【分析】总人数33是奇数，分成甲、乙两队，即甲队人数＋乙队人数＝33；根据“奇数－奇数＝偶数”，若甲队人数为奇数，乙队人数应为偶数，据此判断。 【详解】因为甲队人数＋乙队人数＝总人数，所以乙队人数＝总人数－甲队人数。 已知已知总人数33为奇数，甲队人数为奇数，根据奇偶性运算性质：奇数－奇数＝偶数，所以乙队人数一定是偶数。 例如：甲队1人，乙队（人），32是偶数。原题干说法错误。 故答案为：× 20． √ 【分析】质数就是除了1和它本身没有其他因数的自然数，合数是除了1和它本身还有其他因数的自然数，1既不是质数也不是合数；判断摸到质数和合数的可能性是否相同，关键在于若两者数量相等，则可能性相同。 【详解】在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九张数字卡片中： 质数有：2、3、5、7，共4个； 合数有：4、6、8、9，共4个； 数字1既不是质数也不是合数。 因为质数的个数与合数的个数相等，都是4个 所以在总数一定的情况下，摸到质数的可能性和摸到合数的可能性相同。 故答案为：√ 21．√ 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 【详解】一个数的因数的个数是有限的，其中最大的因数是它本身； 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 因为一个数的最大因数和最小倍数都是18， 根据上述特征，这个数就是18。 故答案为：√ 22．× 【分析】质数是只有1和它本身两个因数的自然数，合数是除了1和它本身还有其他因数的自然数，1既不是质数也不是合数；不确定事件发生的可能性大小与事件本身的数量有关。 【详解】1～9中质数有2，3，5，7共4个；合数有4，6，8，9，共4个，4＝4，所以取出质数的可能性和取出合数的可能性一样大，原题说法错误。 故答案为：× 23．1、2、3、4、6、12；1、2、4、8、16； 1、2、3、6、9、18；1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60 【分析】根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有：1、2、3、4、6、12； 16＝1×16＝2×8＝4×4 16的因数有：1、2、4、8、16； 18＝1×18＝2×9＝3×6 18的因数有：1、2、3、6、9、18； 60＝1×60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×10 60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。 24．最大公因数：2；最小公倍数：180； 最大公因数：1；最小公倍数：112； 最大公因数：15；最小公倍数：180； 最大公因数：6；最小公倍数：120 【分析】根据求最大公因数和最小公倍数的方法，先给每组数中的每个数分解质因数，再找出两个数公有的因数，这几个因数相乘即为最大公因数；这两个数的公因数再与两个数各自的因数相乘，乘积就是这两个数的最小公倍数；据此解答即可。 【详解】 故最大公因数：2，最小公倍数：； 7是质数 故最大公因数：1，最小公倍数：； 故最大公因数：，最小公倍数： 故最大公因数：，最小公倍数： 25．2株、18株，或者5株、15株 【分析】先写出20以内的质数，根据两种花的总数是20株，求出另一种花的数量，验证哪一组是一个质数一个合数，且合数是质数的倍数即可。 【详解】20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19。 质数取2，20－2＝18，18是合数，且是2的倍数，2和18可以； 质数取3，20－3＝17，17不是合数，排除； 质数取5，20－5＝15，15是合数，且是5的倍数，5和15可以； 质数取7，20－7＝13，13不是合数，排除； 当质数取11，13，17，19时，质数大于合数，无法满足合数是质数的倍数，排除。 答：这两种花可能2株、18株，或者5株、15株。 26． 不能正好装完，至少还要再做2个这样的蛋糕 【分析】5的倍数特征是个位为0或5，可通过123的个位特征判断能否正好装完。 若不能正好装完，先计算123除以5的余数，因为要正好装完需要总数是大于123的最小5的倍数，所以用5减去余数即可得到至少还要做的蛋糕数量。 【详解】能正好每5块装完，说明总蛋糕数是5的倍数。5的倍数特征是个位为0或5，123的个位是3，不符合特征，因此不能正好装完； 答：不能正好装完，至少还要再做2个这样的蛋糕就能正好装完了。 27．偶数；根据奇数减奇数的差是偶数的规律，可得北斗三号卫星数量是偶数 【分析】加减法的奇偶运算规律为：奇数减奇数的差是偶数，奇数加偶数的和是奇数。已知总和为奇数、其中一个加数为奇数，依据奇偶运算规律即可推出另一个加数的奇偶性。 【详解】在轨卫星总数量＝北斗二号卫星数量＋北斗三号卫星数量 则北斗三号卫星数量＝总数量－北斗二号卫星数量 已知总数量45是奇数，北斗二号卫星数量是奇数 根据奇数减奇数的差是偶数的规律，可得北斗三号卫星数量是偶数 答：北斗三号卫星数量是偶数。 28．4本；31名 【分析】根据数量关系“书的总本数＝学生人数×每名同学带的本数”，可知学生人数和每名同学带的书数都是124的因数。先列举出124的所有因数，再结合“全班不到40名同学”和“每名同学带的书不到5本”这两个条件进行筛选，排除不符合情况的因数即可得解。 【详解】124的因数有：1，2，4，31，62，124； 因为每名同学带的书同样多且不到5本，所以每名同学带的书可能是1本、2本或4本。 当每名同学带本时，学生人数为：124÷1＝124（名），124＞40，不符合题意； 当每名同学带2本时，学生人数为：124÷2＝62（名），62＞40，不符合题意； 当每名同学带4本时，学生人数为：124÷4＝31（名），31＜40，符合题意。 答：每名同学带来4本书，这个班有31名同学。 29．37元 【分析】用1×5、2×5、3×5……计算出40以内所有5的倍数，选出30和40之间（不含40）5的倍数。再用其加2，计算出的结果是质数（只有1和它本身两个因数的数是质数）的即为该电影票的价格。 【详解】5的倍数有5，10，15，20，25、30，35、40…… 在30和40之间5的倍数是30和35。 30＋2＝32（元） 35＋2＝37（元） 32的因数有1、2、4、8、16、32，所以32不是质数。 37的因数只有1和37，所以37是质数。 答：该电影票的价格是37元。 30．(1)570，750（答案不唯一） (2)60 【分析】（1）3的倍数的特征：各位上的数字之和是3的倍数，5的倍数的特征：个位上的数字是0或5。同时是3和5的倍数的三位数，个位上是0或5，且三个数位上的数字之和是3的倍数。满足以上条件即可。 （2）2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8，同时是2，3，5的倍数的两位数，个位上是0，且十位和个位上的数字之和是3的倍数。 【详解】（1）根据分析，这样的三位数可以是570、750。 答：同时是3和5的倍数的三位数有570、750。（答案不唯一） （2）同时是2，3，5的倍数的两位数，个位上是0，那么十位上的数字只能是3的倍数，5、6、7中只有6是3的倍数，所以这个两位数是60。 答：同时是2，3，5的倍数的两位数是60。 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $