专题02：因数和倍数（专项训练）五升六年级数学暑假专项提升（人教版）

五年级数学暑假专项提升（人教版） 专题02：因数和倍数 知识点01：认识因数和倍数 1.因数和倍数的概念 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 又如整数a能被b整除（a÷b=c）,那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 【注意】为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括 0）。 2.找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 3.一个数的因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4.表示一个数的因数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 5.找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 6.一个数的倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 7.表示一个数的倍数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 知识点02：2.5.3的倍数的特征 1.2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 （1）偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）； （2）奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 2.5的倍数特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。 3.3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4.既是2又是5的倍数特征：个位上是0。 5.既是2又是3的倍数特征：个位上是0, 2, 4, 6, 8并且各数位的数之和又是3的倍数。 6.既是5又是3的倍数特征：个位上是0或5,并且各数位的数之和又是3的倍数。 7.既是2和3的倍数，又是5的倍数特征：个位上是0,并且各数位的数之和是3的倍数。 知识点03：质数和合数 1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 2.一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 3.1不是质数，也不是合数。 4.最小的质数是2，最小的合数是4。 5.质数×质数＝合数 6.100以内的质数表（共25个）：2.3.5.7.11.13.17.19、23.29、31.37.41.43.47.53.59、61.67.71.73.79、83.89、97。 知识点04：探究和的奇偶性 奇数＋奇数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数 偶数＋偶数＝偶数 【规律】同奇偶加减必得偶数，异奇偶加减必得奇数。 一、填空题 1．第十五届全国运动会由国家体育总局主办，广东、香港、澳门三地联合承办，于2025年11月9日在广州开幕。该届运动会设竞技项目有34个大项（含游泳、海岸赛艇等7项增项）群众项目有23个大项。 （1）上面画横线的数中：奇数有（ ），偶数有（ ），质数有（ ）。 （2）34的因数有（ ）。 2．从下面的四张卡片中按要求取出三张，组成三位数。 最小的奇数：（ ）。 最大的偶数：（ ）。 2的倍数的最小的数：（ ）。    5的倍数的最大的数：（ ）。 3的倍数的最小的数：（ ）。 既是2的倍数，又是3的倍数的最大的数：（ ）。 3．一个五位数，最高位上的数是最小的质数，百位上是最小的奇数，个位是最小的合数，其余数位上的数是0，这个数写作（ ）。 4．将48个鸡蛋分装到盒子里，每盒鸡蛋同样多。选择哪种分法刚好装完？请在方框内打“√”。 5．立春为二十四节气之首，2026年春节联欢晚会上一首《立春》火爆全网，歌中唱到“溪水“唱哗啦啦，人间向暖草木发。”2026年立春在A月B日，A月为一年中天数最少的那个月，B恰好是最小的合数。那么立春这一天在（ ）月（ ）日。 6．周一李老师让我们帮忙记她的手机密码。她告诉我们，密码是一个四位数：千位是最小的质数，百位是最小的奇数，十位是最小的偶数，个位是最小的合数。我算了一下，密码就是（ ）。 7．刘华今年的年龄是个两位数，个位上既是奇数又是合数，十位上既不是质数也不是合数。他今年（ ）岁，至少再过（ ）年，他的年龄是2、3和5的倍数。 8．有一列数照这样的规律排列：4、7、10、13、16… 甲说：“这列数中，依次增加3，所以这列数中至少有一个数是3的倍数”。 乙说：“这列数中，随便你怎么找，都不会是3的倍数”。 你认为（ ）的说法正确。说说你的理由：____________ 9．“古稀”“耄耋”是表达年龄称谓的词，七十岁为“古稀”，八九十岁为“耄耋”。李爷爷已过古稀未及耄耋，年龄既是2的倍数又有因数3，李爷爷最小（ ）岁。 10．在57的左右两侧各补一个数字，使所得的四位数同时是2、3、5的倍数。这样的四位数有（ ）个。 11．有一个三位数45A。如果这个三位数既是2的倍数，又是3的倍数，那么A是（ ）；如果这个三位数同时是2、3、5的倍数，那么A是（ ）。 12．某市护城河部分河段已经完成升级改造，并对市民开放。护城河沿线一共铺设了18km步道，种植银杏树89棵，放置长椅120个，建设了7座桥梁，30个水上平台，21个球类运动场，15处儿童活动场所，4处喷泉景点等，成为网红打卡地。画线的数中，（ ）是质数，（ ）是合数；（ ）既是2的倍数，又是3的倍数，（ ）同时是2，3，5的倍数。 13．38至少加上（ ）就是3的倍数，至少减去（ ）就是5的倍数。 14．如图，一个杯子杯口朝上放在桌子上，翻动1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上。按这样的规律翻动下去，翻动97次杯口朝（ ）。 15．第七届中国国际进口博览会（以下简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在上海举办。本届“进博会”吸引了297家世界500强和行业龙头企业参展，数量创历史新高，400多项代表性新产品、新技术将在这里亮相。 （1）画横线的数中，质数有（ ）个，合数有（ ）个。 （2）画横线的数中，（ ）是3的倍数，（ ）既是2的倍数又是5的倍数。 16．一个三位数52，当中填（ ）时，既是2的倍数，又是5的倍数；一个四位数490既是2和5的倍数，又是3的倍数，中最大填（ ）。 二、判断题 17．根据。可知和是因数，是倍数。（ ） 18．一个三位数同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是300。（ ） 19．一个三位数，百位上的数是最小的质数，十位上的数是最小的合数，个位上的数既不是质数也不是合数且大于0，这个数是241。（ ） 20．16、24都是8的倍数，16与24的和一定是8的倍数。（ ） 21．两个奇数的和是奇数。（ ） 三、选择题 22．下面的成语中所含的数都是合数的是（     ）。 A．十拿九稳 B．九牛一毛 C．七上八下 D．三心二意 23．运动会，五（1）班学生参加入场式和团体操表演。入场时的队形如下图，团体操表演时变换了队形。下面四个团体操表演的队形中，（     ）可能是五（1）班。 A． B． C． D． 24．下列描述正确的是（     ）。 A．一个数的倍数一定比它的因数大。 B．如果一个数是3的倍数，那么这个数一定是6的倍数。 C．奇数×偶数＝偶数。 D．连续两个自然数的乘积一定是合数。 25．聪聪在计数器上拨了一个数，如果在这个数的基础上继续拨数，用完选项（     ）中的全部珠子可以拨出3的倍数。 A． B． C． D． 26．若a□b是一个三位数，已知a＋b＝14，且a□b是3的倍数，则□中最小的数是（     ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 四、解答题 27．下面是趣味运动会“绑腿跑”比赛报名统计表。 项目 两人组 三人组 五人组 报名人数 27 36 40 按项目类型分组，哪些项目能刚好分完没有剩余？ 28．某小区物业为了美化小区环境，需要用篱笆围一个长方形的花坛种植月季。花坛的长和宽都是以米为单位的质数，且篱笆总长为42米。这个花坛的面积是多少平方厘米？ 29．“逢七过”是一个有趣的数字游戏。游戏规则如下：从1开始按顺序报数，当遇到7的倍数或者个位数是7时，就要喊“过”。现在请你思考：在1到40的数字中，有多少个数字需要喊“过”？请把这些数字都列出来。 30．农场要围一块长方形的草莓种植区，围栏的总长度是60米。要求种植区的长和宽都是大于10的质数。这块长方形种植区的最大面积是多少平方米？ 31．在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的9.3阅兵训练中，有42名队员组成一个长方形阵列，要求每行的人数相同，那么可以排几行？有几种排法？（不能排成一行或一列） 32．请阅读以下材料，再解决问题。 123各位上的数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？ 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 （1）先判断下面各数是否为9的倍数（是的在后面画“√”），并写出9的倍数的特征。 90（     ）        693（     ）        239（     ）        990（     ） 9的倍数特征：（                                  ）。 （2）请仿照阅读材料，说明判断693是不是9的倍数的方法的道理。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级数学暑假专项提升（人教版） 专题02：因数和倍数 知识点01：认识因数和倍数 1.因数和倍数的概念 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 又如整数a能被b整除（a÷b=c）,那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 【注意】为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括 0）。 2.找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 3.一个数的因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4.表示一个数的因数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 5.找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 6.一个数的倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 7.表示一个数的倍数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 知识点02：2.5.3的倍数的特征 1.2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 （1）偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）； （2）奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 2.5的倍数特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。 3.3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4.既是2又是5的倍数特征：个位上是0。 5.既是2又是3的倍数特征：个位上是0, 2, 4, 6, 8并且各数位的数之和又是3的倍数。 6.既是5又是3的倍数特征：个位上是0或5,并且各数位的数之和又是3的倍数。 7.既是2和3的倍数，又是5的倍数特征：个位上是0,并且各数位的数之和是3的倍数。 知识点03：质数和合数 1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 2.一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 3.1不是质数，也不是合数。 4.最小的质数是2，最小的合数是4。 5.质数×质数＝合数 6.100以内的质数表（共25个）：2.3.5.7.11.13.17.19、23.29、31.37.41.43.47.53.59、61.67.71.73.79、83.89、97。 知识点04：探究和的奇偶性 奇数＋奇数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数 偶数＋偶数＝偶数 【规律】同奇偶加减必得偶数，异奇偶加减必得奇数。 一、填空题 1．第十五届全国运动会由国家体育总局主办，广东、香港、澳门三地联合承办，于2025年11月9日在广州开幕。该届运动会设竞技项目有34个大项（含游泳、海岸赛艇等7项增项）群众项目有23个大项。 （1）上面画横线的数中：奇数有（ ），偶数有（ ），质数有（ ）。 （2）34的因数有（ ）。 【答案】（1） 2025、11、9、7、23 34 11、7、23 （2）1、2、17、34 【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 （2）列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】（1）奇数有：2025、11、9、7、23； 偶数有：34； 质数有：11、7、23。 （2）1×34＝2×17＝34 34的因数有：1、2、17、34。 2．从下面的四张卡片中按要求取出三张，组成三位数。 最小的奇数：（ ）。 最大的偶数：（ ）。 2的倍数的最小的数：（ ）。    5的倍数的最大的数：（ ）。 3的倍数的最小的数：（ ）。 既是2的倍数，又是3的倍数的最大的数：（ ）。 【答案】 205 752 250 750 207 750 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数； 个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数； 个位上的数字是0或5的数是5的倍数； 一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】组成的所有三位数有：570、507、572、527、502、520、750、705、702、720、752、725、257、275、250、205、270、207。 奇数有：507、527、705、725、257、275、205、207，最小的奇数：205。 偶数有：570、572、502、520、750、702、720、752、250、270，最大的偶数：752。 2的倍数有：570、572、502、520、750、702、720、752、250、270，2的倍数的最小的数：250。    5的倍数有：570、520、750、705、720、725、275、250、205、270，5的倍数的最大的数：750。 3的倍数有：570、507、750、705、702、720、270、207，3的倍数的最小的数：207。 既是2的倍数，又是3的倍数有：570、750、702、720、270，既是2的倍数，又是3的倍数的最大的数：750。 3．一个五位数，最高位上的数是最小的质数，百位上是最小的奇数，个位是最小的合数，其余数位上的数是0，这个数写作（ ）。 【答案】20104 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；奇数是指不能被2整除的整数。据此可得出答案。 【详解】万位是最小的质数，即为2；百位是最小的奇数，即为1；个位是最小的合数，即为4；其余数位上是0即千位和十位上是0。因此这个数是20104。 4．将48个鸡蛋分装到盒子里，每盒鸡蛋同样多。选择哪种分法刚好装完？请在方框内打“√”。 【答案】见详解 【分析】将48个鸡蛋平均分装到盒子里，每盒鸡蛋数量相同，需要判断给出的每盒鸡蛋数（4个、6个、8个、10个、12个）能否刚好装完48个鸡蛋，也就是判断48能否被这些数整除，若能整除则这种分法刚好装完。 【详解】48÷4＝12，没有余数，说明48能被4整除，每盒4个鸡蛋时刚好装完； 48÷6＝8，没有余数，说明48能被6整除，每盒6个鸡蛋时刚好装完； 48÷8＝6，没有余数，说明48能被8整除，每盒8个鸡蛋时刚好装完； 48÷10＝4……8，有余数8，说明48不能被10整除，每盒10个鸡蛋时不能刚好装完； 48÷12＝4，没有余数，说明48能被12整除，每盒12个鸡蛋时刚好装完。 所以在每盒4个、每盒6个、每盒8个、每盒12个对应的方框内打“√”。 5．立春为二十四节气之首，2026年春节联欢晚会上一首《立春》火爆全网，歌中唱到“溪水“唱哗啦啦，人间向暖草木发。”2026年立春在A月B日，A月为一年中天数最少的那个月，B恰好是最小的合数。那么立春这一天在（ ）月（ ）日。 【答案】 2 4 【分析】一年中一月、三月、五月、七月、八月、十月、十二月每月有31天，四月、六月、九月、十一月每月有30天，平年二月有28天，闰年二月有29天。一个大于1的自然数，除以1和它本身外，还有别的因数，这样的数叫做合数。最小的合数是4。 【详解】一年中天数最少的月份是2月，即A等于2。 最小的合数是4，即B等于4。 2026年立春这一天在2月4日。 6．周一李老师让我们帮忙记她的手机密码。她告诉我们，密码是一个四位数：千位是最小的质数，百位是最小的奇数，十位是最小的偶数，个位是最小的合数。我算了一下，密码就是（ ）。 【答案】2104 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；据此解答。 【详解】根据分析： 最小的质数是2，所以千位是2； 最小的奇数是1，所以百位是1； 最小的偶数是0，所以十位是0； 最小的合数是4，所以个位是4。 因此，密码就是2104。 7．刘华今年的年龄是个两位数，个位上既是奇数又是合数，十位上既不是质数也不是合数。他今年（ ）岁，至少再过（ ）年，他的年龄是2、3和5的倍数。 【答案】 19 11 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】1既不是质数，也不是合数，所以十位上是1；一位数中，既是奇数又是合数的数是9。所以刘华今年19岁。 2、3和5的倍数最小两位数是30。 30－19＝11（年） 8．有一列数照这样的规律排列：4、7、10、13、16… 甲说：“这列数中，依次增加3，所以这列数中至少有一个数是3的倍数”。 乙说：“这列数中，随便你怎么找，都不会是3的倍数”。 你认为（ ）的说法正确。说说你的理由：____________ 【答案】 乙 第一个数4不是3的倍数，以后每个数都比前一个数多3，所以都不是3的倍数。 【分析】先看这列数的规律，数列是：4、7、10、13、16…，后一个数＝前一个数＋3，也就是每次都加3。因为3本身就是3的倍数，给一个数加上3，就相当于给这个数除以3的余数，加上了一个“不会改变余数的数”。 这列数的第一个数是4，除以3余1；后面每个数都比前一个数多3，3是3的倍数，所以每个数除以3的余数永远是1。 【详解】因为3本身就是3的倍数，给一个数加上3，就相当于给这个数除以3的余数，所以不管加多少次3，余数永远和第一个数一样。第一个数是4，，余数是1，所以甲错误。 ，后面每个数都比前一个数多3，3是3的倍数，所以每个数除以3的余数永远是1，不可能被3整除。所以乙正确。 9．“古稀”“耄耋”是表达年龄称谓的词，七十岁为“古稀”，八九十岁为“耄耋”。李爷爷已过古稀未及耄耋，年龄既是2的倍数又有因数3，李爷爷最小（ ）岁。 【答案】72 【分析】李爷爷已过“古稀”，未及“耄耋”，说明李爷爷的年龄在71岁～79岁之间。年龄是2的倍数，说明年龄是偶数，71～79 之间的偶数有 72、74、76、78；有因数3：说明年龄能被3整除，判断一个数能否被3整除的方法是各位数字之和能被3整除。 【详解】李爷爷的年龄在71岁～79岁之间。 71～79 之间的偶数有 72、74、76、78； 7＋2＝9，能被3整除； 所以李爷爷最小72岁。 10．在57的左右两侧各补一个数字，使所得的四位数同时是2、3、5的倍数。这样的四位数有（ ）个。 【答案】3 【分析】2和5的倍数特征为：个位数字是0，又因为四位数也是3的倍数，所以各位上数字和也要是3的倍数，由此解题。 【详解】四位数是2和5的倍数，个位数字只能是0； ，要满足各位上数字和是3的倍数，千位上数字可以是3、6或9。 所以，这个四位数是3570、6570或9570，有3个。 11．有一个三位数45A。如果这个三位数既是2的倍数，又是3的倍数，那么A是（ ）；如果这个三位数同时是2、3、5的倍数，那么A是（ ）。 【答案】 0或6 0 【分析】2的倍数个位是0、2、4、6、8，3的倍数各位数字之和是3的倍数，5的倍数个位是0或5。先根据2的倍数特征确定A的可能取值，再结合3的倍数特征，计算三位数45A各位数字的和，判断A需要满足的条件；要同时是2、3、5的倍数，先根据2和5的倍数特征确定个位必须是0，再验证是否满足3的倍数特征即可。 【详解】2的倍数：个位是0、2、4、6、8，A可能为0、2、4、6、8； 3的倍数：4＋5＋A＝9＋A是3的倍数，A只能是0或6。 同时是2和5的倍数：个位只能是0，A＝0； 验证3的倍数：4＋5＋0＝9，是3的倍数，符合条件。 12．某市护城河部分河段已经完成升级改造，并对市民开放。护城河沿线一共铺设了18km步道，种植银杏树89棵，放置长椅120个，建设了7座桥梁，30个水上平台，21个球类运动场，15处儿童活动场所，4处喷泉景点等，成为网红打卡地。画线的数中，（ ）是质数，（ ）是合数；（ ）既是2的倍数，又是3的倍数，（ ）同时是2，3，5的倍数。 【答案】 89、7 18、120、30、21、15、4 18、120、30 120、30 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。 个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】这些数中，质数有89、7 合数有18、120、30、21、15、4 既是2的倍数，又是3的倍数的数有18、120、30 同时是2，3，5的倍数的数有120、30 13．38至少加上（ ）就是3的倍数，至少减去（ ）就是5的倍数。 【答案】 1 3 【分析】（1）3的倍数特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 （2）5的倍数特征：一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。 【详解】根据分析可知： （1）先计算38各个数位的数字之和：3＋8＝11，根据乘法口诀“三三得九”、“三四十二”可知，比11大的最小的3倍数是12，12－11＝1，所以38至少加上1就是3的倍数。 （2）根据乘法口诀“五七三十五”、“五八四十”可知，比38小的最大的5倍数是35，38－35＝3，所以至少减去3就是5的倍数。 14．如图，一个杯子杯口朝上放在桌子上，翻动1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上。按这样的规律翻动下去，翻动97次杯口朝（ ）。 【答案】下 【分析】翻动1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上，翻动3次杯口朝下，翻动4次杯口朝上，翻动5次杯口朝下，翻动6次杯口朝上，……，也就是说翻动次数是奇数时杯口朝下，翻动次数是偶数时杯口朝上。 【详解】97是奇数，此时杯口朝下。 15．第七届中国国际进口博览会（以下简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在上海举办。本届“进博会”吸引了297家世界500强和行业龙头企业参展，数量创历史新高，400多项代表性新产品、新技术将在这里亮相。 （1）画横线的数中，质数有（ ）个，合数有（ ）个。 （2）画横线的数中，（ ）是3的倍数，（ ）既是2的倍数又是5的倍数。 【答案】（1） 2 5 （2） 297 10、500和400 【分析】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 （2）2的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是2的倍数。 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。 【详解】（1）画横线的数中，除了11和5只有1和它们本身两个因数外，其余的数的因数除了1和它们本身以外都有其它因数，所以画横线的数中，质数有11，5，共有2个；合数有2024，10，297，500，400，共5个。 （2）2＋0＋2＋4＝4＋4＝8，8不是3的倍数，所以2024不是3的倍数； 1＋1＝2，2不是3的倍数，所以11不是3的倍数； 5不是3的倍数； 1＋0＝1，1不是3的倍数，所以10不是3的倍数； 2＋9＋7＝11＋7＝18，18是3的倍数，所以297是3的倍数； 5＋0＋0＝5，5不是3的倍数，所以500不是3的倍数； 4＋0＋0＝4，4不是3的倍数，所以400不是3的倍数； 个位是0的数有10、500和400。 画横线的数中，297是3的倍数，10、500，400既是2的倍数又是5的倍数。 16．一个三位数52，当中填（ ）时，既是2的倍数，又是5的倍数；一个四位数490既是2和5的倍数，又是3的倍数，中最大填（ ）。 【答案】 0 8 【分析】既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】 一个三位数52，因为2和5的倍数的个位上的数字一定是0，所以当中填0时，既是2的倍数，又是5的倍数；一个四位数490既是2和5的倍数，又是3的倍数，4＋9＋0＝13，百位最小填15－13＝2，还可以填2＋3＝5、5＋3＝8，中最大填8。 二、判断题 17．根据。可知和是因数，是倍数。（ ） 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的定义（在乘法算式（均为非零的自然数）中，就是的因数，是的倍数）以及关系（因数和倍数是成对出现）进行判断即可。 【详解】题目中根据。可知和是因数，是倍数。这种表述缺少参照对象。 正确说法应是：和是的因数，是和的倍数。 故答案为：× 18．一个三位数同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是300。（ ） 【答案】× 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位是0或5；3的倍数特征：各个数位的数字之和是3的倍数。同时是2、3、5的倍数的数，个位必须是0，且各位数字之和是3的倍数。据此解答。 【详解】同时是2、3、5的倍数最小是120；所以原题说法错误。 故答案为：× 19．一个三位数，百位上的数是最小的质数，十位上的数是最小的合数，个位上的数既不是质数也不是合数且大于0，这个数是241。（ ） 【答案】√ 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数。 【详解】最小的质数是2，所以百位上的数是2； 最小的合数是4，所以十位上的数是4； 既不是质数也不是合数，且大于0的数是1，所以个位上的数是1。 组合起来这个三位数就是241。 故答案为：√ 20．16、24都是8的倍数，16与24的和一定是8的倍数。（ ） 【答案】√ 【分析】要判断16与24的和是不是8的倍数，用16与24的和除以8，看有没有余数，从而判断16与24的和是不是8的倍数。 【详解】 没有余数，所以16与24的和一定是8的倍数。 故答案为：√ 21．两个奇数的和是奇数。（ ） 【答案】× 【分析】根据奇数和偶数的运算性质，奇数＋奇数＝偶数，举例说明即可。 【详解】两个奇数的和是偶数，如3和5都是奇数，3＋5＝8，8是偶数，原题说法错误。 故答案为：× 三、选择题 22．下面的成语中所含的数都是合数的是（     ）。 A．十拿九稳 B．九牛一毛 C．七上八下 D．三心二意 【答案】A 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。“0”“1”既不是质数也不是合数。 【详解】A．十拿九稳中，10和9都是合数，符合题意。 B．九牛一毛中，1既不是质数也不是合数，不符合题意。 C．七上八下中，7是质数不是合数，不符合题意。 D．三心二意中，3和2都是质数，不符合题意。 上面的成语中所含的数都是合数的是十拿九稳。 23．运动会，五（1）班学生参加入场式和团体操表演。入场时的队形如下图，团体操表演时变换了队形。下面四个团体操表演的队形中，（     ）可能是五（1）班。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干中的图片，先不看最前面1人，后面是两行，两行的人数是相等的，就是2的倍数，是偶数，再加上前面的1人，可知五（1）班的人数是奇数。 【详解】A． 总人数：6×5＝30（人），30是偶数。 B．总人数：6×5＋2＝30＋2＝32（人），32是偶数。 C．总人数：5×5＋3＝5＋3＝28（人），28是偶数。 D．总人数：7×4＋3＝28＋3＝31（人），31是奇数。 24．下列描述正确的是（     ）。 A．一个数的倍数一定比它的因数大。 B．如果一个数是3的倍数，那么这个数一定是6的倍数。 C．奇数×偶数＝偶数。 D．连续两个自然数的乘积一定是合数。 【答案】C 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数；整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。最小的偶数是0，没有最大的偶数，最小的奇数是1，也没有最大的奇数。偶数×奇数＝偶数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此通过举例分析各选项即可解答。 【详解】A．如数字5，5的最大因数是5，最小倍数也是5，倍数可以和因数相等，描述错误； B．例如：9是3的倍数，但不是6的倍数，描述错误； C．例如3×4＝12，奇数×偶数＝偶数，描述正确。 D．例如1×2＝2，2是质数不是合数，描述错误。 25．聪聪在计数器上拨了一个数，如果在这个数的基础上继续拨数，用完选项（     ）中的全部珠子可以拨出3的倍数。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。以拨珠子和新增珠子数字和是的3的倍数，就可以拨出3的倍数，据此分析。 【详解】A．1＋2＋3＋2＋1＋1＝10，不能被3整除，不是3的倍数，不符合题意。 B．1＋2＋3＋2＋3＝11，11不能被3整除，不是3的倍数，不符合题意。 C．1＋2＋3＋2＋4＝12，12能被3整除，是3的倍数，符合题意。 D．1＋2＋3＋2＋5＝13，13不能被3整除，不是3的倍数，不符合题意。 聪聪在计数器上拨了一个数，如果在这个数的基础上继续拨数，用完的全部珠子可以拨出3的倍数。 26．若a□b是一个三位数，已知a＋b＝14，且a□b是3的倍数，则□中最小的数是（     ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据3的倍数的特征，一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。已知，要使三位数是3的倍数，需满足14与的和是的倍数，据此求出的最小值并与选项对照。 【详解】已知a＋b＝14，且a□b是3的倍数，则14＋□必须是3的倍数，如果□＝1，则14＋□＝15，15是3的倍数，符合题意，则□中最小的数是1。 四、解答题 27．下面是趣味运动会“绑腿跑”比赛报名统计表。 项目 两人组 三人组 五人组 报名人数 27 36 40 按项目类型分组，哪些项目能刚好分完没有剩余？ 【答案】三人组和五人组的项目能刚好分完没有剩余。 【分析】根据各项目报名人数是否能被对应的组别人数整除，能被整除就刚好被分完没有剩余，不能被整除则不能刚好分完；据此解答即可。 【详解】27÷2＝13（组）……1（人） 36÷3＝12（组） 40÷5＝8（组） 答：三人组和五人组的项目能刚好分完没有剩余。 28．某小区物业为了美化小区环境，需要用篱笆围一个长方形的花坛种植月季。花坛的长和宽都是以米为单位的质数，且篱笆总长为42米。这个花坛的面积是多少平方厘米？ 【答案】380000平方厘米 【分析】篱笆的长度是长方形花坛的周长，根据长方形周长＝计算长与宽的和是21。 长和宽都是质数，两个质数相加等于21，两个质数就分别作为长和宽。 确定了长和宽，那么根据长方形面积＝长宽计算出面积，最后将面积单位从平方米换算为平方厘米。 【详解】42÷2＝21（米） 2＋19＝21 花坛长19米，宽2米 19×2＝38（平方米）＝380000（平方厘米） 答：这个花坛的面积是380000平方厘米。 29．“逢七过”是一个有趣的数字游戏。游戏规则如下：从1开始按顺序报数，当遇到7的倍数或者个位数是7时，就要喊“过”。现在请你思考：在1到40的数字中，有多少个数字需要喊“过”？请把这些数字都列出来。 【答案】8个；7，14，17，21，27，28，35，37 【分析】先找出1到40之间所有7的倍数；再找出1到40之间所有个位数字是7的数；最后将两组数合并，注意去掉同时满足两个条件的重复数字，统计总个数并列出所有符合条件的数字。 【详解】找出1到40之间7的倍数： 7×1＝7 7×2＝14 7×3＝21 7×4＝28 7×5＝35 7×6＝42（超过40，舍去） 符合条件的倍数有：7，14，21，28，35，共5个。 找出1到40之间个位是7的数： 符合条件的数有：7，17，27，37，共4个。 观察发现，数字7既是7的倍数，个位也是7，在两组中均出现，属于重复数据。 总个数为：5＋4－1＝8（个） 将所有数字按从小到大排列列为：7，14，17，21，27，28，35，37。 答：有8个数字需要喊“过”，分别是7，14，17，21，27，28，35，37。 30．农场要围一块长方形的草莓种植区，围栏的总长度是60米。要求种植区的长和宽都是大于10的质数。这块长方形种植区的最大面积是多少平方米？ 【答案】221平方米 【分析】除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。长方形周长÷2＝长＋宽，据此找到长和宽都大于10的所有情况，确定都是质数的情况，根据长方形面积＝长×宽，分别计算出面积，比较即可。 【详解】60÷2＝30（米） 30＝10＋20＝11＋19＝12＋18＝13＋17＝14＋16＝15＋15 其中都是质数的有11和19、13和17 19×11＝209（平方米） 17×13＝221（平方米） 209＜221 答：这块长方形种植区的最大面积是221平方米。 31．在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的9.3阅兵训练中，有42名队员组成一个长方形阵列，要求每行的人数相同，那么可以排几行？有几种排法？（不能排成一行或一列） 【答案】可以排2行、3行、6行、7行、14行、21行；6种 【分析】长方形阵列中，行数×每行人数＝42，每行的人数相同，就是求42的因数，通过乘法配对求出42的所有因数，（不能排成一行或一列，1和42不符合题意），再进一步解答即可。 【详解】1×42＝42 2×21＝42 3×14＝42 6×7＝42 42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，排除1和42后，符合要求的行数为2行、3行、6行、7行、14行、21行。 答：可以排2行、3行、6行、7行、14行、21行，有6种排法。 32．请阅读以下材料，再解决问题。 123各位上的数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？ 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 （1）先判断下面各数是否为9的倍数（是的在后面画“√”），并写出9的倍数的特征。 90（     ）        693（     ）        239（     ）        990（     ） 9的倍数特征：（                                  ）。 （2）请仿照阅读材料，说明判断693是不是9的倍数的方法的道理。 【答案】（1）90（√）；693（√）；239（  ）；990（√） 各位上的数的和能被9整除 （2） 6×99和9×9一定是9的倍数，剩下部分为“6＋9＋3”，也就是“各位上的数的和”，6＋9＋3＝18，18是9的倍数，所以693是9的倍数。 【分析】（1）先计算出各数的各位数字之和，如果和是9的倍数，则这个数就是9的倍数。 （2）将693拆分成百位、十位、个位对应的数值和，即693＝6×100＋9×10＋3，再把100改写为99＋1，10改写为9＋1，算式变为6×（99＋1）＋9×（9＋1）＋3，利用乘法分配律展开算式，分析每项是否是9的倍数，即可判断693是不是9的倍数。 【详解】（1）90：9＋0＝9，9是9的倍数，所以90是9的倍数； 693：6＋9＋3＝18，18是9的倍数，所以693是9的倍数； 239：2＋3＋9＝14，不是9的倍数，所以239不是9的倍数； 990：9＋9＋0＝18，18是9的倍数，所以990是9的倍数； 9的倍数特征：各位上的数的和能被9整除。 （2）693＝6×100＋9×10＋3 ＝6×（99＋1）＋9×（9＋1）＋3 ＝6×99＋6＋9×9＋9＋3 6×99和9×9一定是9的倍数，剩下部分为“6＋9＋3”，也就是“各位上的数的和”，6＋9＋3＝18，18是9的倍数，所以693是9的倍数。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $