期末提升02：因数和倍数解决问题(专项训练）2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 以知识点梳理为基础，通过固本拓能训练，系统构建因数和倍数的问题解决体系，强化从概念到应用的逻辑链条，培养抽象能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|4个核心知识点|因数与倍数关系、特征及分类的系统梳理|从基础关系到特征再到分类，形成概念生成-原理推导-应用拓展链条| |基础达标|15题|分组/装盒问题用因数概念，付钱问题用倍数性质，奇偶性判断用运算规律|对应知识点直接应用，强化基础方法迁移| |能力进阶|15题|综合应用因数倍数、质合性解决复杂问题，如连续奇数求和、因数和问题|深化知识点内在联系，培养推理意识与创新意识|

期末专项提升训练02：因数和倍数 解决问题 【知识点梳理+固本拓能训练】 知识点梳理 1.因数与倍数的关系 基础关系： 如果 （ 均为非0自然数），那么 和 是 的______， 是 和 的______。 个数特征： 一个数的因数个数是______的（最小是1，最大是它本身）；一个数的倍数个数是______的（最小是它本身，没有最大）。 2.2、3、5的倍数特征 2的倍数： 个位上是 ______ 的数。 5的倍数： 个位上是 ______ 的数。 3的倍数： 各个数位上的数字之和是 ______ 的倍数。 6的倍数： 必须同时是 ______ 和 ______ 的倍数（即个位是0/2/4/6/8且数字和是3的倍数）。 3.自然数的分类 奇偶性： 奇数 奇数 ______ 偶数 偶数 ______ 奇数 偶数 ______ 奇数 奇数 ______ 偶数个奇数相加 ______；奇数个奇数相加 ______ 质合性： 质数：只有 ______ 和 ______ 两个因数。 合数：除了1和它本身，还有别的因数（最小的合数是 ______）。 特殊：1 ______ 质数也不是合数。 4.解决问题技巧 分组/装盒问题： 通常利用 ______ 的概念（如：正好分完，则总数是每份数量的倍数）。 付钱/找零问题： 通常利用 ______ 的性质进行验证（如：单价是整数，总价应是数量的倍数）。 参考答案 1.因数与倍数的关系 因数；倍数 有限；无限 2.2、3、5的倍数特征 0、2、4、6、8 0 或 5 3 2；3 3.自然数的分类 偶数；偶数；奇数；奇数；偶数；奇数 1；它本身；4；既不是 固本拓能训练 一、基础达标 1．pin是奥运会期间的纪念品，2024巴黎奥运会上，中国设计生产的熊猫pin憨态可掬、广受喜爱。乐乐收集了24枚熊猫pin，将它们分别放在多个相同的盒子中，每盒中熊猫pin的个数相同，且不少于2枚，可以分成几盒，每盒多少枚？有几种分法？请列出算式说明。 【答案】可以分成2盒，每盒12枚；可以分成3盒，每盒8枚；可以分成4盒，每盒6枚；可以分成6盒，每盒4枚。可以分成8盒，每盒3枚；可以分成12盒，每盒2枚； 一共有6种分法。 【分析】由题意知：把24枚熊猫pin分别放在多个相同的盒子中，每盒中熊猫pin的个数相同，根据24枚÷盒子的数量＝每个盒子熊猫pin的数量，24枚一定能盒子数量整除，也就是盒子的数量一定是24的因数，再据此分析并列式解答即可。 【详解】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24 又知：每个盒子熊猫pin的数量不少于2枚，且要多个盒子：则符合条件的有2盒、3盒、4盒、6盒、8盒、12盒。 24÷2＝12（枚） 24÷3＝8（枚） 24÷4＝6（枚） 24÷6＝4（枚） 24÷8＝3（枚） 24÷12＝2（枚） 答：可以分成2盒，每盒12枚；可以分成3盒，每盒8枚；可以分成4盒，每盒6枚；可以分成6盒，每盒4枚。可以分成8盒，每盒3枚；可以分成12盒，每盒2枚；一共有6种分法。 2．每年4月22日是世界地球日，这天学校组织35名同学去发“保护地球”宣传单。 (1)如果把这些同学分成甲、乙两队，甲队人数为偶数，那么乙队人数是奇数还是偶数？为什么？ (2)如果有1名同学请假未到，其余同学去4个社区发宣传单，要保证每个社区的人数都是奇数，能做到吗？为什么？ 【答案】(1)奇数，因为奇数－偶数＝奇数。 (2)能，因为奇数＋奇数＝偶数，4个奇数的和是偶数，34是偶数。 【分析】（1）总人数 35 是奇数，甲队人数是偶数，根据“奇数－偶数＝奇数”的性质判断乙队人数的奇偶性。 （2）先求出实际去发宣传单的人数，判断其奇偶性。再根据“奇数＋奇数＝偶数”的性质，推导4个奇数之和的奇偶性。若总人数的奇偶性与4个奇数之和的奇偶性一致，则能做到，否则不能。 【详解】（1）因为总人数 35 是奇数，甲队人数为偶数。根据奇数和偶数的运算性质：奇数－偶数＝奇数，所以乙队人数＝总人数－甲队人数，结果是奇数。 答：乙队人数是奇数，因为奇数－偶数＝奇数。 （2）实际去发宣传单的人数：35－1＝34（名）。34是偶数。如果要保证每个社区的人数都是奇数，4个社区的人数之和即为4个奇数相加。因为奇数＋奇数＝偶数，所以4个奇数相加的和一定是偶数。实际总人数34是偶数，与4个奇数之和的奇偶性相同。（例如：4 个社区的人数可以分别是 1 人、1 人、1 人、31 人，和为 34 人，且都是奇数）所以能做到。 答：能做到，因为奇数＋奇数＝偶数，4个奇数的和是偶数，34是偶数。 3．下面是趣味运动会“绑腿跑”比赛的报名统计表。按项目类型分组，哪些项目能刚好分完没有剩余？请说明理由。 项目 两人组 三人组 五人组 报名人数 27 18 50 【答案】三人组和五人组 【分析】根据2、3、5倍数特点判断：个位是0、2、4、6、8是2的倍数，各位数字相加的和是3的倍数，个位是0或5是5的倍数，是倍数就能刚好分完。 【详解】两人组：2的倍数看个位，27个位不是0、2、4、6、8，不能刚好分完； 三人组：3的倍数看数字的和，1＋8＝9是3的倍数，可以刚好分完； 五人组：5的倍数看个位，50个位符合，可以刚好分完。 答：三人组和五人组能刚好分完没有剩余。 4．小红和小丽打乒乓球，小红先发球，假设两人接球没有间断。那么第8次接球的是谁？第19次接球的是谁？ 【答案】 小红；小丽 【分析】通过列举前几次接球的情况，可以发现奇数次接球的是小丽，偶数次接球的是小红，据此判断第8次和第19次接球的人选。 【详解】第1次接球：小红发球，小丽接球； 第2次接球：小丽发球，小红接球； 第3次接球：小红发球，小丽接球…… 由此发现：接球次数为奇数时，是小丽接球；接球次数为偶数时，是小红接球。 8是偶数，19是奇数。 答：第8次接球的是小红，第19次接球的是小丽。 5．奇数＋偶数＝（    ）（填奇数或偶数）。用你喜欢的方式验证你的结论。（小提示：可以举例验证，但至少要举3个例子。还可以画图验证，或者字母推理说明。） 【答案】奇数；验证见详解 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此举例、画图或者字母推理说明即可。 【详解】奇数＋偶数＝奇数 （1）举例验证：通过具体的例子来验证结论。例如，1＋2＝3，3是奇数；3＋4＝7，7也是奇数；5＋4＝9，9是奇数。这些例子初步验证了“奇数＋偶数＝奇数”的结论。 （2）画图法验证：。 （3）用字母表示数验证：设偶数为2a（a为整数），奇数为2a＋1。计算奇数和偶数的和：（2a＋1）＋2a＝4a＋1，4a能被2整除，但4a＋1除以2的余数是1，说明结果是奇数。 6．五（1）班同学参加社区举行的“保护家乡的青山绿水”活动，已经有35人来到社区广场，要是每8人一组，至少再来几人正好分完？ 【答案】5人 【分析】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此先求出比35大的8的最小倍数，再减去35即可求解。 【详解】8×1＝8、8×2＝16、8×3＝24、8×4＝32、8×5＝40 比35大的8的最小倍数是40。 40－35＝5（人） 答：至少再来5人正好分完。 7．张阿姨做了57个蛋挞，准备送给亲朋好友品尝，用哪种包装盒能正好装完？为什么？ 【答案】3个装；因为3是57的因数 【分析】根据题意可知，如果包装盒正好能装完蛋挞，则盒子的数量×每个盒子蛋挞的个数＝57个，根据因数的定义，5、3、2哪个是57的因数，对应的包装盒正好能装完。 【详解】57÷5＝11……2 57÷3＝19 57÷2＝28……1 答：用3个装的包装盒能正好装完，因为3是57的因数。 8．小商品市场里，有五种小商品的单价分别是1元、3元、5元、7元和9元。乐乐说：“我买了4件小商品，总价是29元。”园园说：“我买了5件小商品，总价是29元。”谁说得对？为什么？ 【答案】园园说得对。因为小商品的单价均是奇数，偶数个奇数的和应是偶数，只有奇数个奇数的和才是奇数。 【分析】由奇偶数的性质可知：奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数；据此解答。 【详解】乐乐买了4件小商品，商品的个数为偶数，商品的单价都是奇数，偶数个奇数和是偶数，所以乐乐说的不对； 圆圆买了5件小商品，商品的个数为奇数，商品的单价都是奇数，奇数个奇数的和是奇数，所以圆圆说的对 答：圆圆说的对。因为小商品的单价均是奇数，偶数个奇数的和应是偶数，只有奇数个奇数的和才是奇数。 9．乐乐在文具店买了2支水笔和6个笔记本，付给营业员50元，营业员找给他5元钱，乐乐看到水笔和笔记本的价格都是整元数，就说营业员给他算错了，请你说说理由。 【答案】理由见详解 【分析】根据总价＝单价×数量可知：2支水笔的总价＝水笔的单价×2，6个笔记本的总价＝笔记本的单价×6，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，据此可知：2支水笔和6个笔记本的总价都是偶数，偶数＋偶数＝偶数，据此可知：乐乐买文具花的总钱数一定是偶数，找回的钱数＝乐乐付的钱数－花去的钱数，又因为偶数－偶数＝偶数，所以乐乐付给营业员50元，找回的钱数一定是偶数，据此判断。 【详解】答：乐乐说得对，营业员算错了，因为乐乐买2支水笔和6个笔记本花去的钱数都是偶数，付给营业员的钱数50元也是偶数，则找回的钱数应该也是偶数，而实际找回的钱数5是奇数，所以营业员算错了。 10．某个电影院电影票的价格比7的倍数多5.如果电影票的价格是在40和50之间，且是质数，那么电影票的价格可能是多少元？ 【答案】47元 【分析】先确定40~50之间7的倍数，分别加5得到候选数，排除超出范围的数，再筛选出其中的质数，即为电影票价格。 【详解】40~50之间7的倍数： 7×6＝42 7×7＝49 比7的倍数多5的数： 42＋5＝47 49＋5＝54 54大于50，不符合范围，舍去。 47是质数，满足所有条件。 答：电影票的价格可能是47元。 11．小玲带了50元去文具店买笔，有3种类型的笔可供选择。她买了一些笔后，店员找给她13元，小玲就说店员找错了，请说明理由。 铅笔：2元/支 马克笔：6元/支 水笔：4元/支 【答案】见详解 【分析】三种笔的单价都是偶数，根据“偶数×a（a是自然数）＝偶数，偶数＋偶数＝偶数”可知，无论怎么买，花的总钱数一定是偶数，用总钱数减找零得到总花费，判断总花费是奇数还是偶数即可。 【详解】观察发现：三种笔的单价都是偶数，无论怎么买，总花费也一定是偶数 50－13＝37（元） 总花费37不是偶数，所以店员找错了。 答：总花费是奇数与实际不符合，所以店员找错了。 12．某超市把一些苹果打包装进盒子里，每盒装4个苹果，正好装完；每盒装3个苹果，则多出2个。已知苹果的数量不超过30个，这些苹果可能有多少个？ 【答案】8个或20个 【分析】根据题意，苹果总数既是4的倍数，又满足除以3余2的条件，且数量不超过30。解题思路是先找出30以内4的倍数，再从中筛选出除以3余2的数。 【详解】因为每盒装4个苹果正好装完，所以苹果总数是4的倍数。 30以内4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28。 因为每盒装3个苹果多出2个，所以苹果总数除以3余2。 4÷3＝1……1 8÷3＝2……2 12÷3＝4 16÷3＝5……1 20÷3＝6……2 24÷3＝8 28÷3＝9……1 答：这些苹果可能有8个或20个。 13．龙龙是一位航天追梦人，他为未来发现的一颗小行星命名：HH□□。□□代表一个两位数，这个两位数的相关信息如下。你能猜到这颗小行星的名字吗？ ①它是一个奇数； ②它有一个因数是7； ③它的所有因数的和是48。 【答案】HH35 【分析】在两位数10到99之间用列乘法算式法找出所有7的倍数，再根据个位数字是1、3、5、7、9的数是奇数，筛选出既是7的倍数又是奇数的两位数。最后用列乘法算式法找到因数和是48，符合条件的两位数，进而得到小行星的名字。 【详解】7×2＝14，7×3＝21，7×4＝28，7×5＝35，7×6＝42，7×7＝49，7×8＝56，7×9＝63，7×10＝70，7×11＝77，7×12＝84，7×13＝91，7×14＝98，所以7的倍数且是两位数的有14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98。其中是奇数的有21、35、49、63、77、91。 21＝3×7，21＝1×21，21的因数有：1，3，7，21。 因数和：1＋3＋7＋21＝32，不符合题意。 35＝5×7，35＝1×35，35的因数有：1，5，7，35。 因数和：1＋5＋7＋35＝48，符合题意。 49、63、77和91的因数均包含1、其自身，因数和显然大于48，不符合题意。 答：这颗小行星的名字是HH35。 14．你玩过“过7”的游戏吗？游戏规则：任意一人从1开始轮流按1，2，3，4，5，…的顺序依次报数，报数是含7的数（比如17，27，…）或7的倍数的人要喊“过”，下一个人接着按顺序报数。40名同学围成一圈做游戏，在不出错的情况下一圈要喊多少个“过”？ 【答案】8个 【分析】报数的范围是1至40，分别找出该范围内满足“含有数字7”和“是7的倍数”这两个条件的数。由于数字7同时满足这两个条件，在统计总数时需要注意去重，避免重复计算。采用列举法将所有符合条件的数一一列出，最后统计个数即可。 【详解】1至40中含有数字7的数：7， 17， 27， 37，共4个。 1至40中7的倍数：7， 14， 21， 28， 35，共5个。 数字7既含有数字7，又是7的倍数，在上述两步中重复出现，只能计算一次。 所有需要喊“过”的数为：7， 14， 17， 21， 27， 28， 35， 37。 4＋5－1＝8（个） 答：一圈要喊8个“过”。 15．老师出了一道题：1＋2＋3＋4＋5＋…＋20的和是偶数还是奇数？安安和辰辰的观点如下，你支持谁的观点？并说明支持的理由。 【答案】支持安安的观点；理由见详解 【分析】任意个偶数相加得偶数；偶数个奇数相加得偶数；奇数个奇数相加得奇数；据此解答。 【详解】支持安安的观点。 因为1~20中，有10个奇数，有10个偶数； 10个奇数相加和是偶数，10个偶数相加和是偶数； 偶数＋偶数＝偶数，所以1＋2＋3＋4＋5＋…＋20的和是偶数。 二、能力进阶 16．杨老师带领班里的44名学生到公园划船，公园有3人船、4人船、5人船、6人船可租。如果每条船上坐的人一样多，租几条船正好坐完而没有剩余？一共有几种租船的方法？ 【答案】 15条或9条；2种 【分析】解题关键在于准确计算总人数，注意不能遗漏杨老师。总人数为44145（人）。题目要求每条船坐的人数一样多且正好坐完，说明每条船坐的人数必须是总人数的因数。据此解答即可。 【详解】划船的总人数：44145（人） 在3、4、5、6四个数中45的因数有3和5； 45315（条） 4559（条） 答：租3人船15条或租5人船9条，符合要求的租船方案有2种。 17．小明的爸爸去进货，售货员给他介绍了5种价位的产品，这5种价位是5个连续的奇数，和是105，这5个奇数分别是多少呢？ 【答案】17；19；21；23；25 【分析】先用总和除以个数求出中间的那个奇数，再根据相邻两个奇数相差2的规律，依次求出其余4个奇数。 【详解】105÷5＝21 21－2＝19 19－2＝17 21＋2＝23 23＋2＝25 答：这5个奇数分别是17，19，21，23，25。 18．李奶奶在我县某超市购买了一些土豆和豆芽，营业员计算后告诉李奶奶需要支付14元钱，营业员说得对吗？请你举例说明理由。 豆芽：2元/份 香菜：3元/份 土豆：5元/份 【答案】营业员说得对；理由见详解 【分析】豆芽的单价是2元，则豆芽的总价是2的倍数即偶数；支付总价是14元也是偶数，由偶数＋偶数＝偶数可知，土豆的单价是5元即奇数，要使土豆的总价是偶数，则土豆购买的数量应该是偶数，因此我们直接找出一种符合要求的购买方案来验证即可。 【详解】买2份土豆：5×2＝10（元），买4份土豆：5×4＝20（元），20＞14，不符合。 剩余钱数：14－10＝4（元） 购买豆芽的数量：4÷2＝2（份） 答：营业员说得对。理由是：可以买2份豆芽和2份土豆就需要支付14元。 19．李明一家三口去剧院看话剧。他们三个人的座位号是三个连续的偶数，和是72，李明一家的三个座位分别是多少号？写出思考过程。 【答案】22号；24号；26号 【分析】三个连续偶数的和是72，用和除以3得到中间的偶数，再分别减2、加2得到另外两个偶数。 【详解】72÷3＝24（号） 24－2＝22（号） 24＋2＝26（号） 答：李明一家的三个座位分别是22号、24号、26号。 20．春节期间，爸爸在家人群里发了65元的拼手气红包，一共有4个人抢，前3个数都是奇数，第4个抢到的钱数一定是奇数还是偶数？ 【答案】偶数 【分析】根据奇数＋奇数＝偶数、奇数－奇数＝偶数，据此解答。 【详解】奇数＋奇数＋奇数 ＝偶数＋奇数 ＝奇数 65是奇数，奇数－奇数＝偶数，所以第4个抢到的钱数一定是偶数。 答：第4个抢到的钱数一定是偶数。 21．学校开展阅读比赛，五年级几个班（班级个数＜10）都组织同学积极参加，且参加的人数相同。 (1)对于五年级参加的总人数几位同学的说法不一：小薇说有59人；小慧说有61人；小萌说有65人；小昕说有67人。他们只有一人说对了，谁说对了？请你说明理由。 (2)推算一下每班有多少人参加比赛？ 【答案】(1) 小萌说对了 (2) 13人 【分析】根据题意，总人数等于班级个数乘每班人数。因为班级个数小于10且为“几个班”，说明班级个数是2到9之间的整数。这意味着总人数必须是一个合数，且拥有一个在2到9之间的因数。通过验证59、61、65、67这四个数的因数情况，排除质数，找到符合条件的合数，即可确定正确的总人数和每班人数。 【详解】（1）因为每班参加的人数相同，所以总人数是班级个数的倍数。 已知班级个数小于10，且“几个班”表示班级个数大于1，所以班级个数是2至9之间的整数。 这说明总人数除了1和它本身外，至少还有一个小于10的因数，即总人数应为合数。 59的因数只有1和59，是质数； 61的因数只有1和61，是质数； 67的因数只有1和67，是质数； 65的因数有1、5、13、65，是合数，且含有因数5，5小于10。 所以总人数是65人，小萌说对了。 （2）由（1）可知，总人数为65人，班级个数为5个。 （人） 答：每班有13人参加比赛。 22．下面是趣味运动会“绑腿跑”比赛的报名统计表。 项目 两人组 三人组 五人组 报名人数 27 18 30 按项目类型分组，哪些项目能刚好分完没有剩余？请说明理由。 【答案】三人组和五人组；见详解 【分析】要想刚好分完没有剩余，报名人数必须是每组人数的倍数。两人组需判断是否为2的倍数，三人组需判断是否为3的倍数，五人组需判断是否为5的倍数。根据2、3、5的倍数特征进行分析判断。 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】两人组：27的个位是7，不是2的倍数，不能刚好分完； 三人组：1＋8＝9，根据乘法口诀“三三得九”，9是3的倍数，所以18是3的倍数，能刚好分完； 五人组：30的个位是0，是5的倍数，能刚好分完。 答：三人组和五人组的项目能刚好分完，没有剩余。 理由：两人组人数不是2的倍数，不能刚好分完；三人组人数是3的倍数，能刚好分完；五人组人数是5的倍数，能刚好分完。 23．水墨画是中国绘画的代表，其特点是近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富。林叔叔绘制了一幅长方形水墨画，周长是60分米，它的长与宽是两个质数，这幅水墨画的面积可能是多少平方分米？ 【答案】161平方分米，或209平方分米，或221平方分米 【分析】根据长方形的周长公式，周长除以 2 即可求出长与宽的和。已知长与宽的和是30分米，且长和宽都是质数，需要找出和为30的两个质数有哪些组合。确定长和宽的具体数值后，再利用长方形的面积公式计算出可能的面积。 【详解】长与宽的和： 60÷2＝30（分米） 和为30的两个质数： 30以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。 将30拆分成两个质数相加，可能的组合有： 7＋23＝30 11＋19＝30 13＋17＝30 分别计算长方形的面积： 7×23＝161（平方分米） 11×19＝209（平方分米） 13×17＝221（平方分米） 答：这幅水墨画的面积可能是161平方分米，或209平方分米，或221平方分米。 24．有735名选手报名参加了这次马拉松比赛，比赛活动承办方打算将参赛选手分成4个小组，并且要求每个小组的人数都是奇数。你觉得能按要求分配吗？请说明理由。 【答案】不能；理由见详解 【分析】奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数。先推导4个奇数相加的和的奇偶性，然后判断总人数是奇数还是偶数，最后通过比较两者是否矛盾得出结论。 【详解】因为要把参赛选手分成4个小组，且每个小组的人数都是奇数，根据奇数＋奇数＋奇数＋奇数＝偶数，所以4个小组的人数之和应该是偶数，而参赛选手总人数735名是奇数，不是偶数，所以不能按要求分配。 答：不能按要求分配。因为奇数＋奇数＋奇数＋奇数＝偶数，总人数735是奇数，所以不能按要求分配。 25．探索6的倍数的特征，把你探索的过程与结果记录下来（可以结合2、5和3的倍数特征的研究过程，先举例写出部分6的倍数，然后观察、比较、分析，总结出6的倍数特征）。 【答案】见详解 【分析】6是2和3的倍数，一个数如果是6的倍数，那么它必须同时是2和3的倍数；可以先列举出多个6的倍数，然后分别对照2的倍数特征（个位上是0、2、4、6、8）和3的倍数特征（各个数位上的数字之和是3的倍数）进行观察和分析，从而归纳出6的倍数的特征。 【详解】6的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72…… 通过观察，6的倍数末尾是6、2、8、4、0； 6的各个数位上的数字之和是6，6是3的倍数，所以6是3的倍数； 12的各个数位上的数字之和是1＋2＝3，3是3的倍数，所以12是3的倍数； 18的各个数位上的数字之和是1＋8＝9，9是3的倍数，所以18是3的倍数； 24的各个数位上的数字之和是2＋4＝6，6是3的倍数，所以24是3的倍数； 30的各个数位上的数字之和是3＋0＝3，3是3的倍数，所以30是3的倍数； …… 通过观察，6的倍数的每一个数各个数位上的数字之和都是3的倍数。 答：6的倍数的特征是个位上是0、2、4、6、8，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 26．自然数N的因数从小到大排列是a、b、c、d、e、f，已知a＋c＝6。对于N是什么数，三个小朋友有三种猜测。 南南：N一定是奇数。阳阳：N的结尾一定是0。宛宛：N一定是5的倍数。 (1)谁猜的正确，请写出你的理由。 (2)如果a＋f＝46，则d＋e＝( )。 (3)从小到大写出三个不同合数的所有因数。 (4)例如：N的所有因数从小到大排列是：a、b、c、d、e、f，把前后对称位置上的数相乘算出积：a×f，b×e，c×d，用第（3）题中的数据验证，我发现：（    ）。 【答案】(1)宛宛猜的正确，因为N的最小因数是1，所以a＝1，由a＋c＝6可知：c＝5；N的因数中有5，所以N一定是5的倍数 (2)24 (3)见详解 (4)把一个合数的所有因数从小到大排列，前后对称位置上的数相乘的积都等于这个合数。 【分析】（1）根据因数的特征，一个自然数最小的因数是1。已知，可求出c。因为5是的因数，所以一定是5的倍数。南南猜测奇偶性不确定（取决于是否有因数 2），阳阳猜测末尾是0也不确定（取决于是否有因数2），只有宛宛猜测是5的倍数是必然成立的。 （2）已知，且，可求出最大因数，即。找出45的所有因数并排序，确定和的值，最后求和。 （3）合数：除了1和它本身，还有别的因数的自然数。任选三个不同的合数，按照从小到大的顺序列出它们的所有因数。 （4）利用第（3）题列出的因数，计算对称位置因数的乘积，观察规律得出结论。结论应符合因数成对出现的性质。 【详解】（1）因为自然数的因数从小到大排列，最小的因数一定是1。 已知，所以 因为5是的因数，所以一定是5的倍数。 南南猜测是奇数，若有因数2则为偶数，不一定正确； 阳阳猜测的结尾是0，若没有因数2则结尾不是0，不一定正确； 宛宛猜测是5的倍数，因为5是因数，所以一定正确。 （2）因为，且，所以 ，因为是最大的因数，所以。45的因数从小到大排列是：1， 3， 5， 9， 15， 45，对应关系为：，所以 （3）选合数15，因数有：1，3，5，15； 选合数24，因数有：1，2，3，4，6，8，12，24； 选合数36，因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 （答案不唯一） （4）15的因数有：1，3，5，15 对称位置相乘：1×15＝15、3×5＝15； 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24 对称位置相乘：1×24＝24、2×12＝24、3×8＝24、4×6＝24 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36 对称位置相乘：1×36＝36、2×18＝36、3×12＝36、4×9＝36 我发现：把一个合数的所有因数从小到大排列，前后对称位置上的数相乘的积都等于这个合数。 27．玲玲到文具店买一款彩色笔，单价（整数元）已看不清楚，她买了3盒，付给售货员150元，找回16元。玲玲认为找回的钱不对。请你对玲玲的理由作出解释。 【答案】理由见详解 【分析】根据“总价＝单价×数量”，已知数量是3盒，单价是整数元，所以总价应该是3的倍数。通过付出的钱数减去找回的钱数求出实际总价，再判断该总价是否是3的倍数即可。 【详解】150－16＝134（元） 因为彩色笔的单价是整数元，买了3盒，所以总花费应该是3的倍数。 1＋3＋4＝8 8不是3的倍数，所以134不是3的倍数。 答：因为134不是3的倍数，所以售货员找回的钱不正确。 28．在一次红色文化宣传活动中，志愿者要把36份红色宣传手册平均分给若干个小组，每个小组至少分3份，有多少种不同的分法？ 【答案】7种 【分析】要把36份手册平均分给若干个小组，表示每个小组分得的份数是36的因数，每个小组至少分3份，找出大于或等于3的因数，据此解答。 【详解】36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36 每个小组至少分3份，所以每个小组分得的份数必须大于或等于3 大于或等于 3 的数有：3，4，6，9，12，18，36。 具体分法： 1. 每个小组分3份，分给12个小组； 2. 每个小组分4份，分给9个小组； 3. 每个小组分6份，分给6个小组； 4. 每个小组分9份，分给4个小组； 5. 每个小组分12份，分给3个小组； 6. 每个小组分18份，分给2个小组； 7. 每个小组分36份，分给1个小组； 答：一共有7种不同的分法。 29．乐乐在一家花店买了8枝玫瑰，9枝康乃馨，付给店长阿姨100元，找回了15元。乐乐发现玫瑰的价格是3元1枝，每枝康乃馨的价格是整元数，就说：“阿姨，您把账算错了。”乐乐是如何判断出店长阿姨算错的？请说明理由。 【答案】理由是：玫瑰总价8×3＝24元，付款100元找回15元，康乃馨总价100−15−24＝61元；61是质数，不能被9整除，而康乃馨买了9枝且单价为整元数，总价应是9的倍数，故账算错了。 【分析】康乃馨的价格是整元数，则总价必须是数量9的倍数。首先通过付款金额和找回金额计算出实际花费，再减去玫瑰的总价得到康乃馨的总价，最后验证该总价是否为9的倍数即可得出结论。 【详解】100－15＝85（元） 8×3＝24（元） 85－24＝61（元） 因为，，61不是9的倍数。 已知每枝康乃馨的价格是整元数，则康乃馨的总价应是9的倍数。 所以店长阿姨把账算错了。 30．对于任意两个正整数，定义某种运算（用表示），当都是正偶数或正奇数时，当中一个为正奇数，一个为正偶数时，，则上述定义下，满足的不同数对，共有多少个？ 【答案】15个 【分析】根据运算规则进行分类讨论：第一种情况是奇偶性相同（同奇或同偶），此时运算为加法，需找出和为12的正整数对；第二种情况是奇偶性不同（一奇一偶），此时运算为乘法，需找出积为12且奇偶性不同的正整数对，最后将两种情况的数量相加即可。 【详解】根据定义，分两种情况讨论： （1）当都是正偶数或都是正奇数时，。 若均为奇数，满足条件的数对有： （1，11），（3，9），（5，7），（7，5），（9，3），（11，1），共6个； 若均为偶数，满足条件的数对有： （2，10），（4，8），（6，6），（8，4），（10，2），共5个。 此种情况共有：6＋5＝11（个） （2）当中一个为正奇数，一个为正偶数时，。 积为12的正整数对有：（1，12），（2，6），（3，4），（4，3），（6，2），（12，1）； 筛选出奇偶性不同的数对：（1，12），（3，4），（4，3），（12，1），共4个。 此种情况共有4个。 综上所述，满足条件的不同数对共有：11＋4＝15（个） 答：满足的不同数对共有15个。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专项提升训练02：因数和倍数 解决问题 【知识点梳理+固本拓能训练】 知识点梳理 1.因数与倍数的关系 基础关系： 如果 （ 均为非0自然数），那么 和 是 的______， 是 和 的______。 个数特征： 一个数的因数个数是______的（最小是1，最大是它本身）；一个数的倍数个数是______的（最小是它本身，没有最大）。 2.2、3、5的倍数特征 2的倍数： 个位上是 ______ 的数。 5的倍数： 个位上是 ______ 的数。 3的倍数： 各个数位上的数字之和是 ______ 的倍数。 6的倍数： 必须同时是 ______ 和 ______ 的倍数（即个位是0/2/4/6/8且数字和是3的倍数）。 3.自然数的分类 奇偶性： 奇数 奇数 ______ 偶数 偶数 ______ 奇数 偶数 ______ 奇数 奇数 ______ 偶数个奇数相加 ______；奇数个奇数相加 ______ 质合性： 质数：只有 ______ 和 ______ 两个因数。 合数：除了1和它本身，还有别的因数（最小的合数是 ______）。 特殊：1 ______ 质数也不是合数。 4.解决问题技巧 分组/装盒问题： 通常利用 ______ 的概念（如：正好分完，则总数是每份数量的倍数）。 付钱/找零问题： 通常利用 ______ 的性质进行验证（如：单价是整数，总价应是数量的倍数）。 固本拓能训练 一、基础达标 1．pin是奥运会期间的纪念品，2024巴黎奥运会上，中国设计生产的熊猫pin憨态可掬、广受喜爱。乐乐收集了24枚熊猫pin，将它们分别放在多个相同的盒子中，每盒中熊猫pin的个数相同，且不少于2枚，可以分成几盒，每盒多少枚？有几种分法？请列出算式说明。 2．每年4月22日是世界地球日，这天学校组织35名同学去发“保护地球”宣传单。 (1)如果把这些同学分成甲、乙两队，甲队人数为偶数，那么乙队人数是奇数还是偶数？为什么？ (2)如果有1名同学请假未到，其余同学去4个社区发宣传单，要保证每个社区的人数都是奇数，能做到吗？为什么？ 3．下面是趣味运动会“绑腿跑”比赛的报名统计表。按项目类型分组，哪些项目能刚好分完没有剩余？请说明理由。 项目 两人组 三人组 五人组 报名人数 27 18 50 4．小红和小丽打乒乓球，小红先发球，假设两人接球没有间断。那么第8次接球的是谁？第19次接球的是谁？ 5．奇数＋偶数＝（    ）（填奇数或偶数）。用你喜欢的方式验证你的结论。（小提示：可以举例验证，但至少要举3个例子。还可以画图验证，或者字母推理说明。） 6．五（1）班同学参加社区举行的“保护家乡的青山绿水”活动，已经有35人来到社区广场，要是每8人一组，至少再来几人正好分完？ 7．张阿姨做了57个蛋挞，准备送给亲朋好友品尝，用哪种包装盒能正好装完？为什么？ 8．小商品市场里，有五种小商品的单价分别是1元、3元、5元、7元和9元。乐乐说：“我买了4件小商品，总价是29元。”园园说：“我买了5件小商品，总价是29元。”谁说得对？为什么？ 9．乐乐在文具店买了2支水笔和6个笔记本，付给营业员50元，营业员找给他5元钱，乐乐看到水笔和笔记本的价格都是整元数，就说营业员给他算错了，请你说说理由。 10．某个电影院电影票的价格比7的倍数多5.如果电影票的价格是在40和50之间，且是质数，那么电影票的价格可能是多少元？ 11．小玲带了50元去文具店买笔，有3种类型的笔可供选择。她买了一些笔后，店员找给她13元，小玲就说店员找错了，请说明理由。 铅笔：2元/支 马克笔：6元/支 水笔：4元/支 12．某超市把一些苹果打包装进盒子里，每盒装4个苹果，正好装完；每盒装3个苹果，则多出2个。已知苹果的数量不超过30个，这些苹果可能有多少个？ 13．龙龙是一位航天追梦人，他为未来发现的一颗小行星命名：HH□□。□□代表一个两位数，这个两位数的相关信息如下。你能猜到这颗小行星的名字吗？ ①它是一个奇数； ②它有一个因数是7； ③它的所有因数的和是48。 14．你玩过“过7”的游戏吗？游戏规则：任意一人从1开始轮流按1，2，3，4，5，…的顺序依次报数，报数是含7的数（比如17，27，…）或7的倍数的人要喊“过”，下一个人接着按顺序报数。40名同学围成一圈做游戏，在不出错的情况下一圈要喊多少个“过”？ 15．老师出了一道题：1＋2＋3＋4＋5＋…＋20的和是偶数还是奇数？安安和辰辰的观点如下，你支持谁的观点？并说明支持的理由。 二、能力进阶 16．杨老师带领班里的44名学生到公园划船，公园有3人船、4人船、5人船、6人船可租。如果每条船上坐的人一样多，租几条船正好坐完而没有剩余？一共有几种租船的方法？ 17．小明的爸爸去进货，售货员给他介绍了5种价位的产品，这5种价位是5个连续的奇数，和是105，这5个奇数分别是多少呢？ 18．李奶奶在我县某超市购买了一些土豆和豆芽，营业员计算后告诉李奶奶需要支付14元钱，营业员说得对吗？请你举例说明理由。 豆芽：2元/份 香菜：3元/份 土豆：5元/份 19．李明一家三口去剧院看话剧。他们三个人的座位号是三个连续的偶数，和是72，李明一家的三个座位分别是多少号？写出思考过程。 20．春节期间，爸爸在家人群里发了65元的拼手气红包，一共有4个人抢，前3个数都是奇数，第4个抢到的钱数一定是奇数还是偶数？ 21．学校开展阅读比赛，五年级几个班（班级个数＜10）都组织同学积极参加，且参加的人数相同。 (1)对于五年级参加的总人数几位同学的说法不一：小薇说有59人；小慧说有61人；小萌说有65人；小昕说有67人。他们只有一人说对了，谁说对了？请你说明理由。 (2)推算一下每班有多少人参加比赛？ 22．下面是趣味运动会“绑腿跑”比赛的报名统计表。 项目 两人组 三人组 五人组 报名人数 27 18 30 按项目类型分组，哪些项目能刚好分完没有剩余？请说明理由。 23．水墨画是中国绘画的代表，其特点是近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富。林叔叔绘制了一幅长方形水墨画，周长是60分米，它的长与宽是两个质数，这幅水墨画的面积可能是多少平方分米？ 24．有735名选手报名参加了这次马拉松比赛，比赛活动承办方打算将参赛选手分成4个小组，并且要求每个小组的人数都是奇数。你觉得能按要求分配吗？请说明理由。 25．探索6的倍数的特征，把你探索的过程与结果记录下来（可以结合2、5和3的倍数特征的研究过程，先举例写出部分6的倍数，然后观察、比较、分析，总结出6的倍数特征）。 26．自然数N的因数从小到大排列是a、b、c、d、e、f，已知a＋c＝6。对于N是什么数，三个小朋友有三种猜测。 南南：N一定是奇数。阳阳：N的结尾一定是0。宛宛：N一定是5的倍数。 (1)谁猜的正确，请写出你的理由。 (2)如果a＋f＝46，则d＋e＝( )。 (3)从小到大写出三个不同合数的所有因数。 (4)例如：N的所有因数从小到大排列是：a、b、c、d、e、f，把前后对称位置上的数相乘算出积：a×f，b×e，c×d，用第（3）题中的数据验证，我发现：（    ）。 27．玲玲到文具店买一款彩色笔，单价（整数元）已看不清楚，她买了3盒，付给售货员150元，找回16元。玲玲认为找回的钱不对。请你对玲玲的理由作出解释。 28．在一次红色文化宣传活动中，志愿者要把36份红色宣传手册平均分给若干个小组，每个小组至少分3份，有多少种不同的分法？ 29．乐乐在一家花店买了8枝玫瑰，9枝康乃馨，付给店长阿姨100元，找回了15元。乐乐发现玫瑰的价格是3元1枝，每枝康乃馨的价格是整元数，就说：“阿姨，您把账算错了。”乐乐是如何判断出店长阿姨算错的？请说明理由。 30．对于任意两个正整数，定义某种运算（用表示），当都是正偶数或正奇数时，当中一个为正奇数，一个为正偶数时，，则上述定义下，满足的不同数对，共有多少个？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $