第二十七章 反比例函数 单元复习讲义2026—2027 学年人教版数学九年级上册-

该初中数学反比例函数单元复习讲义通过思维导图系统梳理知识体系，以“概念-图象性质-实际应用”为主线，用表格对比k的符号与图象位置、增减性，清晰呈现反比例函数的三种形式、判定条件及k的几何意义等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础定义辨析到优质几何最值问题，如“反比例函数与特殊四边形结合”题型，培养数学思维和空间观念。实际应用模块涵盖面积、压强等模型，强化模型意识，助力学生从数学角度解决问题，教师可据此实施分层教学提升复习效率。

第二十七章 反比例函数 思维导图 27.1 反比例函数的概念 反比例函数的定义 一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 除了上述标准形式外，反比例函数还有两种常见的等价形式： 1. （）：这是将改写为负指数幂的形式，核心特征是x的次数为，系数不为0。 2. （）：这种形式可以更方便地判断两个变量是否成反比例关系，只要两个变量的乘积是不为零的常数，就说明这两个变量成反比例，对应函数就是反比例函数。 反比例函数的判定 判定一个函数是否为反比例函数，需要满足两个核心条件： 1. 形式符合上述三种形式之一； 2. 比例系数。 例如：函数是反比例函数，；函数不是反比例函数，因为自变量x出现在分母的减数位置，不符合的结构；若函数是反比例函数，则需要满足，解得。 反比例函数中自变量与函数的实际取值范围 在纯数学问题中，反比例函数的自变量，因此函数值也不可能等于0；在实际问题中，需要结合实际意义确定自变量的取值范围，比如如果x表示矩形的长度，那么x必须取正数。 27.2 反比例函数的图象和性质 反比例函数图象的画法 反比例函数的图象是双曲线，画法分为三个步骤： 1. 列表：自变量x取值要选取对称的互为相反数的值，多取几组，方便描点，同时要注意x不能取0； 2. 描点：根据表格中的坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点； 3. 连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线连接各点，得到双曲线的两支，注意图象不与坐标轴相交，只会无限靠近坐标轴。 反比例函数的图象特征 反比例函数的图象是双曲线，具有以下特征： 1. 图象由两支曲线组成，当k>0时，两支曲线分别位于第一、第三象限；当k<0时，两支曲线分别位于第二、第四象限； 2. 图象关于原点中心对称，即如果点(a,b)在反比例函数的图象上，那么点一定也在这个反比例函数的图象上；同时，图象也关于直线和轴对称； 3. 双曲线的两支无限靠近x轴和y轴，但永远不会和坐标轴相交，因为，。 反比例函数的性质 反比例函数的性质由比例系数k的符号决定，具体如下： | k的符号 | 图象位置 | 增减性（每个象限内） | k>0 | 第一、第三象限 | y随x的增大而减小| | k<0 | 第二、第四象限 | y随x的增大而增大| 特别注意：描述增减性时必须强调“在每个象限内”，不能直接说“当k>0时，y随x的增大而减小”，因为当x从负数变为正数时，y会从负数变为正数，实际上是增大的，只有同一象限内的点满足上述增减规律。 比例系数k的几何意义 过反比例函数图象上任意一点，分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|；若连接该点和原点，得到的直角三角形的面积为。 这个性质是反比例函数中的常考内容，无论点在图象上怎么移动，围成的矩形面积始终不变，都等于|k|。例如，若反比例函数图象上一点围成的矩形面积为3，且图象在第二、四象限，则。 反比例函数解析式的确定 确定反比例函数的解析式一般用待定系数法，因为反比例函数只有一个未知系数k，所以只需要知道图象上一个点的坐标，就可以求出k的值，具体步骤： 1. 设出反比例函数解析式：； 2. 将已知点的坐标(x,y)代入解析式，得到关于k的方程； 3. 解方程求出k的值； 4. 将k的值代入所设解析式，得到最终的函数解析式。 27.3 实际问题与反比例函数 利用反比例函数解决实际问题的步骤 1. 分析实际问题中的变量关系，判断两个变量是否成反比例关系； 2. 设出反比例函数解析式，确定比例系数k； 3. 根据实际问题确定自变量的取值范围； 4. 利用反比例函数的图象和性质解决实际问题，得到问题的答案。 常见的反比例函数实际模型 1. 面积一定的矩形：矩形面积S一定时，长a和宽b满足，a是b的反比例函数； 2. 体积一定的柱体：柱体体积V一定时，底面积S和高h满足，S是h的反比例函数； 3. 路程一定的运动：路程s一定时，速度v和时间t满足，v是t的反比例函数； 4. 总工作量一定的工程问题：总工作量W一定时，工作效率w和工作时间t满足，w是t的反比例函数； 5. 压力一定的压强问题：压力F一定时，压强p和受力面积S满足，p是S的反比例函数； 6. 电学中的欧姆定律：电压U一定时，电流强度I和电阻R满足，I是R的反比例函数。 【类型一】反比例函数的定义及求参 1．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 2．若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 3．令，其中为整数，为常数且． （1）若时，是关于的反比例函数，则________． （2）下列结论正确的是________．（填写正确结论的序号） ①若是关于的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ②若是关于的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ③若是关于的二次函数，则其与一次函数的图象一定有两个不同的交点． 【类型二】反比例函数表示变量关系 1．下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 2．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 【类型三】反比例函数的图象与性质 1．对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．y随x的增大而减小 2．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 3．已知点，若反比例函数的图像的一支与线段有交点，则的值可以是__________．（写出一个即可） 【类型四】反比例函数的对称性 1．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．已知正比例函数（k为常数，且）的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．函数和函数的图象相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是________． 【类型五】反比例函数的增减性 1．已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 3．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 【类型六】一次函数与反比例函数图象结合 1．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 2．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 3．如图是函数，和在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断和间的大小关系为 _____________．    【类型七】求反比例函数的值 1．已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 2．已知是的反比例函数，且当时，． (1)求与的函数解析式； (2)当时，求的值． 3．已知与成反比例，当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【类型八】画反比例函数图象 1． 如图为一次函数的图象，它与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的表达式． (2)在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并直接写出当时，的取值范围． (3)连接， ，求出的面积． 2．下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． (1)直接写出各字母表示的数值：_______；______；______； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点、连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，并直接写出当时自变量x的取值范围． 3．已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时自变量的取值范围． 【类型九】反比例函数应用—装载问题 1．在九三阅兵筹备阶段，某军工企业需向阅兵训练基地运送一批高精度装备配件．运输时，配件需用专用包装箱封装，已知每批运输使用的包装箱数量y（单位：个，）与每个包装箱的实际装载重量x（单位：）成反比例关系．当使用40个包装箱时，每个包装箱的实际装载重量为，且每个包装箱的最大安全装载重量为． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)该企业每次运输这批配件的总运输费用由两部分组成：一是固定运输费800元，二是按包装箱数量计算的耗材费，每个包装箱的耗材费为15元．若某次运输的总费用不超过1550元，求每个包装箱的最少装载重量． 2．码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？ 3．码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间是装载货物速度的反比例函数，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)如果要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为多少（精确到）？ 【类型十】反比例函数应用—杠杆问题 1．【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂=动力×动力臂，如图1，即），受桔槔汲水的启发，小明同学组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．      10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B对绳子的拉力为______N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小明同学准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的拉力为，的长度为．则： ①y关于x的函数解析式是____________． ②完成表格：______；______． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）中所求函数的图象上存在点C，当阻力臂移动到某个位置时，点C到原点O的距离最小，请确定点C的坐标，并说明理由． 2．【综合实践】 如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即） … b … … 8 a 2 … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则： ①y关于x的函数关系式是 ． ②完成表格： ； ． ③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点A的坐标为，点B的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得，请求出点C的坐标． 3．杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为． (1)求动力F与动力臂l的函数关系式． (2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？ 【类型一】已知k求面积 1．如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【类型二】已知面积求k 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 3．如图，在平面直角坐标系中，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是6，则的值为_______． 【类型三】正、反比例的求值关系 1．已知，其中与成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求关于的函数解析式． 2．已知，与成正比例，与成反比例，当、时，的值都为1，求和之间的函数解析式以及当时的值． 3．已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，，当时，，求y关于x的函数解析式． 【类型四】一次函数与反比例函数的关系式 1．如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 【类型五】一次函数与反比例函数的不等式 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； 2．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若是直线上的一个动点，的面积为35，求点坐标． 【类型六】一次函数与反比例函数的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量的取值范围为________； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 2．如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、 ． (1)求 、 的值和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 3．已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 【类型七】反比例函数应用—力的问题 1．根据牛顿第二定律，物体所受的力与物体的质量，物体的加速度有如下关系：．所以，当物体所受的力一定时，物体的加速度是它的质量的反比例函数，其函数表达式为．在光滑的地面上摆着两辆一样的小车，一辆是空车，另一辆装有石头．用同样大小的力，向同一个方向，已知小车的质量，用（单位：N）的力推空车时，测得．求当这辆小车上装石块时，用同样大小的力（单位：）推车，求此时加速度的值． 2．在对某物体做功一定的情况下，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，且当时，． (1)试确定与之间的函数表达式； (2)求当力时，物体在力的方向上移动的距离． 3．在对物体做功一定的情况下，力（单位：N）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：m）成反比例函数关系，其图象如上图所示，点在其图象上． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)当力达到10N时，求物体在力的方向上移动的距离． 【类型八】反比例函数应用一行程的问题 1．A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． (1)①写出y与x的函数关系式； ②如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ (2)若某车从A地驶往B地，先以的平均速度行驶，余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍，两段路程共用，求a的值． 2．“苏超”是一项具有独特魅力和积极意义的业余足球赛事．小明一家准备去如皋奥体中心观看南通对阵盐城的比赛．已知小明家国产新能源汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）成反比例关系，行驶过程中汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）关系如图所示． (1)求s与x的函数关系式； (2)若小明家到比赛场馆的距离是2百公里，小明以百公里平均耗电量的速度到达场馆，返程时考虑到车流量比较大，小明降低速度，此时百公里平均耗电量是原来的1.25倍，如果返程始终以此速度行驶，不充电能否回家？如果不能，至少需要充电多少？ 3．今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 【类型九】反比例函数应用一压强的问题 1．最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； (2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 2．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 3．如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 受力面积 1 0.5 _____ 0.125 桌面所受压强 200 400 800 1600 (1)根据表中数据，求出桌面所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式并直接补全表格． (2)将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同质量的长方体分别按图2和图3所示的方式放置于用玻璃制作的桥上，按图2放置时，桥完好无损，按图3方式放置时，玻璃桥破裂，请求出玻璃桥能够承受的最大压强的范围．（超过最大压强时玻璃破裂） 【类型一】反比例函数中的几何最值 1．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点．的面积为若动点在轴上，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点是反比例函数图象上一点，点B为直线上一点，点C为x轴上一点，则周长的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 3．如图，点都在双曲线上，点分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为_____． 【类型二】反比例函数中的增减性最值 1．已知：，，，则下列说法中正确的是 （   ） A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值 C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值 2．已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 3．已知反比例函数，对于正数m，当自变量x满足时，函数y的最小值为a，则当时，函数y的最小值为_______，最大值为_______．（用含a的式子表示） 【类型三】反比例函数与几何运动结合 1．如图，四边形是正方形，点E，G分别是边上的动点，且，分别作，，与交于点F，设，，则下列图象能反映y与x函数关系的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知▱ABCD中，AB=4，AD=2，E是AB边上的一动点（动点E与点A不重合，可与点B重合），设AE=x，DE的延长线交CB的延长线于点F，设CF=y，则下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，是以点为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接，为的中点．若线段长度的最大值为，则的值为____． 【类型四】反比例函数中的绝对值 1．项目主题：探究反比例型绝对值函数的图象与性质 任务背景：某学校在操场直线跑道旁安装广播喇叭，用于运动会通知．为简化分析，将跑道视为一条数轴，喇叭的安装点定为原点．声音在跑道上不同位置的响度与听众到喇叭的距离有关．在简化模型中，某一位置的声音响度与到声源距离的绝对值成反比．因此，我们建立函数模型，本次项目将以函数为例，通过描点作图、数据分析、性质归纳等方式，深入理解这类函数的图象特征与实际意义． 任务一：自变量分析与数据采集 （1）函数中自变量的取值范围是_____； （2）补全数据表： ．．． 1 1．5 2 4 6 ．．． ．．． 1 3 _____ 6 6 4 _____ 1 ．．． 任务二：图象绘制与对称性探究 （3）绘制图象 在平面直角坐标系中，描出上表中所有点，并用光滑曲线连接，画出函数图象． （4）图象分析 该函数图象_____轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为_____． 任务三：函数性质归纳与应用（综合拓展） （5）数值估算 当时，对应的自变量的值约为_____（保留一位小数）． （6）性质总结 请根据画出函数图象，归纳出函数的性质：_____（写出一条即可）． （7）变式探究 我们将函数一般化，对于函数，当时，试写出其一条性质． 2．某同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： （1）绘制函数图象 ①列表：下表是与的几组对应值，其中____________； 1 2 3 ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整．    （2）探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①____________________________________； ②____________________________________． （3）运用图象和函数性质 当时，写出自变量的取值范围____________． 3．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数的性质．小明结合已有的经验探究了函数的图象及性质． x … 0 1 2 3 4 … y … 1 m n 2 1 …    (1)绘制函数图象①列表：上表是x与y的部分对应值，其中 ， ． ②描点：根据表中的数值描点． ③连接线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象． (2)探究函数性质：请写出函数的两条性质：① ；② ． (3)运用函数图象及性质，根据函数图象，写出不等式，解集是 ． 【类型五】反比例函数中的特殊三角形 1．已知：如图，点、是双曲线在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． (1)求点的坐标； (2)点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 2．如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作于点，求的值； （3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 【类型六】反比例函数中的特殊四边形 1．如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．      (1)________，________； (2)求反比例函数表达式； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标． 2．在平面直角坐标系中，平行四边形的两个顶点、落在反比例函数的图像在第一象限内的一支上，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上． (1)如图1，若点，，直接写出、两点的坐标； (2)如图2，分别过点、作两条坐标轴的平行线，轴，分别与轴交于、两点，轴，分别与轴交于、两点，与交于点，与交于点．根据“出入相补”原理，我们知道能使矩形和矩形面积相等的点，一定在矩形的对角线上．记点和点的横坐标分别为、，试从直线经过点的角度验证这个结论； (3)如图3，若直线是一次函数的图像，平行四边形有无可能是菱形？若可能，求出菱形对应的一次函数；若不可能，请简述理由． 3．如图1，直线的图象与轴、轴分别交于两点，点是线段上一点，过点分别作的垂线，垂足分别是，矩形的面积为，且． (1)求点坐标； (2)将矩形以个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形，记平移时间为秒． ①如图2，当矩形的面积被直线平分时，求的值； ②矩形的边与反比例函数的图象有两个交点，记为，若梯形的面积是矩形的面积的，求的值． 【类型七】反比例函数中的角度问题 1．【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C． (1)求k的值及直线的解析式； (2)点D为x轴正半轴上一点，连接，当的面积为6时，与反比例函数图象交于点E．点P，Q均为x轴上的动点，点P在点Q的左侧，且，取的中点F，连接，求点E的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，点M为反比例函数图象上的一点，射线与直线交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数在第二象限相交于点，直线：与反比例函数在第二象限相交于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，若点是线段上一动点，当的面积为6时，求点的坐标； (3)如图3，若点是线段上一动点，连接，当时，求点的坐标． 【类型八】反比例函数中的定值问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求出反比例函数的表达式和点的坐标； (2)取第二象限内反比例函数上一点（点在点右侧、直线上方），连接，当的面积为30时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接，其中与轴、轴分别交于点M、P，与轴、轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 2．已知反比例函数，及两定点，． (1)设是反比例函数图像上任意一点，请证明为一定值，并求出该定值． (2)设直线与反比例函数图像在第一象限的部分交于两点，． （2.1）若直线经过点，求出线段长度的最小值，以及此时直线的斜率． （2.2）若与轴交于点，与轴交于点，请证明为一定值，并求出该定值． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转至点B，恰好落在反比例函数的图像上，连接OA，OB，过点B作轴交于点C，点是第一象限内双曲线上一动点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，求P的坐标； (3)如图2，连接PO并延长交双曲线于，平面内有一点，PQ与GA的延长线交于点H； ①若，求点H的坐标； ②当时，记H的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由． 【类型九】反比例函数中的新定义应用 1．【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 2．【定义】在平面直角坐标系中，对“经纬值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“经纬值”．函数图象上所有点的“经纬值”中的最大值称为函数的“最优经纬值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“经纬值”为；函数图象上所有点的“经纬值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优经纬值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“经纬值”为 ； ②求出函数（k为常数且，）的“最优经纬值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优经纬值为8，求c的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优经纬值为3，直接写出b的值． 3．【概念定义】中国象棋棋盘上双方的分界处也称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线，在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线l：满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”． 例如：如图1，直线l：是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”． (1)【初步应用】：在直线①，②，③，④中，是图1函数的图象与正方形的“楚河汉界线”的有_____（填序号）； (2)【深入探究】：如图2，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是，若与的“楚河汉界线”有且只有一条，此时的半径为_____，请求出此“楚河汉界线”的表达式； (3)【拓展延伸】：正方形的边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心，直线是函数的图象与正方形的“楚河汉界线”． ①若，“楚河汉界线”有且只有一条时，求t的值； ②若存在“楚河汉界线”，请求出t的取值范围． 1．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列函数是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西吕梁·阶段检测）下列四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，已知点A在反比例函数图象上，垂足为点B，轴，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A． B． C．2 D．4 4．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别位于轴、轴的正半轴上，分别是的中点，反比例函数经过点，若四边形的面积为，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）若点，在反比例函数的图象上，则____________（填“”或“”或“=”） 6．（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）已知反比例函数 的图象如图所示，结合图象可得：当时，y的取值范围是_________ 7．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）如图，点A、B分别为轴、轴上一点，点为中点，反比例函数的图象经过点，若的面积为6，则的值为__________． 8．（25-26九年级下·四川自贡·阶段检测）已知y与成反比例，且其函数图象经过点．求y与x的函数关系式； 9．（25-26九年级上·云南德宏·阶段检测）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应不低于多少？ 10．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，一次函数和反比例函数分别交于点， ．  (1)求反比例函数和一次函数的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 1．（25-26八年级下·海南海口·期中）若，，都在函数的图像上，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）物体匀速下落过程中，下落高度与下落时间成函数关系，下列变量对应关系中，属于反比例函数的是（　　）． A．路程一定，速度与时间 B．圆的面积与半径 C．正方形周长与边长 D．匀速行驶路程与时间 3．（25-26八年级下·山西临汾·期中）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则，0，之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数（）的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数（）的图象上，则的值为（     ） A．5 B． C． D．4 5．（25-26九年级下·河南周口·期中）物理中压强公式 （F为压力，S为受力面积），若压力F恒定，则压强p与受力面积S成________比例关系． 6．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴上任意一点，连接，，则的面积为________． 7．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为______． 8．（25-26八年级下·北京东城·期中）已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 9．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)若点是点关于轴的对称点，求的面积； (3)点，分别在直线和双曲线上，当时，直接写出的取值范围． 10．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”． (1)反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； (2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式． 1．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）已知变量与成反比例，当时，；那么当时，的值是（     ） A．2 B． C． D．3 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．y的值随x值的增大而增大 C．图象位于一、三象限 D．图象关于原点中心对称 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期末）酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 5．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 8．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． (3)结合图象直接写出中的取值范围． 9．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 思维导图 27.1 反比例函数的概念 反比例函数的定义 一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 除了上述标准形式外，反比例函数还有两种常见的等价形式： 1. （）：这是将改写为负指数幂的形式，核心特征是x的次数为，系数不为0。 2. （）：这种形式可以更方便地判断两个变量是否成反比例关系，只要两个变量的乘积是不为零的常数，就说明这两个变量成反比例，对应函数就是反比例函数。 反比例函数的判定 判定一个函数是否为反比例函数，需要满足两个核心条件： 1. 形式符合上述三种形式之一； 2. 比例系数。 例如：函数是反比例函数，；函数不是反比例函数，因为自变量x出现在分母的减数位置，不符合的结构；若函数是反比例函数，则需要满足，解得。 反比例函数中自变量与函数的实际取值范围 在纯数学问题中，反比例函数的自变量，因此函数值也不可能等于0；在实际问题中，需要结合实际意义确定自变量的取值范围，比如如果x表示矩形的长度，那么x必须取正数。 27.2 反比例函数的图象和性质 反比例函数图象的画法 反比例函数的图象是双曲线，画法分为三个步骤： 1. 列表：自变量x取值要选取对称的互为相反数的值，多取几组，方便描点，同时要注意x不能取0； 2. 描点：根据表格中的坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点； 3. 连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线连接各点，得到双曲线的两支，注意图象不与坐标轴相交，只会无限靠近坐标轴。 反比例函数的图象特征 反比例函数的图象是双曲线，具有以下特征： 1. 图象由两支曲线组成，当k>0时，两支曲线分别位于第一、第三象限；当k<0时，两支曲线分别位于第二、第四象限； 2. 图象关于原点中心对称，即如果点(a,b)在反比例函数的图象上，那么点一定也在这个反比例函数的图象上；同时，图象也关于直线和轴对称； 3. 双曲线的两支无限靠近x轴和y轴，但永远不会和坐标轴相交，因为，。 反比例函数的性质 反比例函数的性质由比例系数k的符号决定，具体如下： | k的符号 | 图象位置 | 增减性（每个象限内） | k>0 | 第一、第三象限 | y随x的增大而减小| | k<0 | 第二、第四象限 | y随x的增大而增大| 特别注意：描述增减性时必须强调“在每个象限内”，不能直接说“当k>0时，y随x的增大而减小”，因为当x从负数变为正数时，y会从负数变为正数，实际上是增大的，只有同一象限内的点满足上述增减规律。 比例系数k的几何意义 过反比例函数图象上任意一点，分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|；若连接该点和原点，得到的直角三角形的面积为。 这个性质是反比例函数中的常考内容，无论点在图象上怎么移动，围成的矩形面积始终不变，都等于|k|。例如，若反比例函数图象上一点围成的矩形面积为3，且图象在第二、四象限，则。 反比例函数解析式的确定 确定反比例函数的解析式一般用待定系数法，因为反比例函数只有一个未知系数k，所以只需要知道图象上一个点的坐标，就可以求出k的值，具体步骤： 1. 设出反比例函数解析式：； 2. 将已知点的坐标(x,y)代入解析式，得到关于k的方程； 3. 解方程求出k的值； 4. 将k的值代入所设解析式，得到最终的函数解析式。 27.3 实际问题与反比例函数 利用反比例函数解决实际问题的步骤 1. 分析实际问题中的变量关系，判断两个变量是否成反比例关系； 2. 设出反比例函数解析式，确定比例系数k； 3. 根据实际问题确定自变量的取值范围； 4. 利用反比例函数的图象和性质解决实际问题，得到问题的答案。 常见的反比例函数实际模型 1. 面积一定的矩形：矩形面积S一定时，长a和宽b满足，a是b的反比例函数； 2. 体积一定的柱体：柱体体积V一定时，底面积S和高h满足，S是h的反比例函数； 3. 路程一定的运动：路程s一定时，速度v和时间t满足，v是t的反比例函数； 4. 总工作量一定的工程问题：总工作量W一定时，工作效率w和工作时间t满足，w是t的反比例函数； 5. 压力一定的压强问题：压力F一定时，压强p和受力面积S满足，p是S的反比例函数； 6. 电学中的欧姆定律：电压U一定时，电流强度I和电阻R满足，I是R的反比例函数。 【类型一】反比例函数的定义及求参 1．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数是关于的反比例函数． 【详解】解：∵选项A中是正比例函数，不符合反比例函数定义； 选项C中是一次函数，不符合反比例函数定义； 选项D中是二次函数，不符合反比例函数定义； 选项B中符合反比例函数的定义． 2．若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 3．令，其中为整数，为常数且． （1）若时，是关于的反比例函数，则________． （2）下列结论正确的是________．（填写正确结论的序号） ①若是关于的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ②若是关于的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ③若是关于的二次函数，则其与一次函数的图象一定有两个不同的交点． 【答案】 ①②/②① 【分析】（1）根据反比例函数定义列方程求解即可； （2）分别结合一次函数、二次函数的定义，利用函数性质和联立方程判断各结论是否成立． 【详解】解：（1）当时，， ∵是反比例函数， ∴， 解得； （2）①若是关于的一次函数， ∵， ∴， ∴， 当时，即时，， ∴函数恒过定点，该点在第二象限， ∴函数图象一定经过第二象限，故①正确； ②若是关于的二次函数， ∴， ∴， 当时，， ∴函数过点， ∴函数图象一定经过第二象限，故②正确； ③联立得，， 整理得：， ∴当时，，此时方程有两个相同的实数根 ∴此时只有一个交点，故③错误． 综上所述，正确的结论是①②． 【类型二】反比例函数表示变量关系 1．下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【答案】B 【分析】本题考查了反比例关系； 判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意； B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意； C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意； D．圆的周长与半径成正比，不符合题意； 故选：B． 2．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量关系”是解题的关键． 根据“总成本每只成本数量”的等量关系，列出与的关系式． 【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为元，数量为只， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】连接，利用的两种表示方法来推导函数解析式，再确定自变量的取值范围． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 即， ∴． 当点与点重合时，，此时最短； 当点与点重合时，，此时最长； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题关键是作辅助线，找到等量关系． 【类型三】反比例函数的图象与性质 1．对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．y随x的增大而减小 【答案】B 【详解】解：A、当时，，点不在该函数图象上，A错误； B、反比例函数中，，则该函数的图象分别位于第二、第四象限，B正确； C、当时，，可得，即，不符合，C错误； D、时，反比例函数仅在每个象限内满足随的增大而增大，对全体x不满足y随x增大而减小，D错误． 2．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐个判断各选项的说法，即可得到答案． 【详解】解：A选项：将代入，得，所以点在图象上；将代入，得，所以点也在图象上，A说法正确，不符合题意； B选项：因为，所以反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意； C选项：令，代入得，解得，因为，在第四象限内随增大而增大，所以当时，的取值范围是，C说法正确，不符合题意； D选项：反比例函数仅在每个象限内满足随增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，例如取，，满足，此时，，有，不满足，D说法错误，符合题意． 3．已知点，若反比例函数的图像的一支与线段有交点，则的值可以是__________．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】先求出线段所在直线的解析式，联立反比例函数解析式，根据交点横坐标在线段的横坐标范围内，求出的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：设直线的解析式为． 将，代入解析式 得 解得 因此直线的解析式为，线段上点的横坐标满足． 联立 得，整理得． 因为反比例函数图像与线段有交点，所以交点横坐标满足， 因此， 即． 解得． 任取该范围内一个值即可． 故答案为（答案不唯一）． 【类型四】反比例函数的对称性 1．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 2．已知正比例函数（k为常数，且）的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的中心对称性，得到交点坐标的关系，再结合反比例函数图象上点的坐标特征计算即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两函数的交点，关于原点对称， 可得，， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， 将，代入得： ． 3．函数和函数的图象相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是________． 【答案】 【分析】两个函数的图象均关于原点中心对称，则两交点关于原点中心对称，再利用关于原点对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， 两函数图象的交点、关于原点中心对称， 关于原点中心对称的点的横、纵坐标互为相反数，点的坐标为， 点的坐标为． 【类型五】反比例函数的增减性 1．已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 2．在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断函数图象位置与增减性，再求出的值，分点在第三象限和第一象限两种情况讨论，即可得到的取值范围． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点在第三象限，，结合第三象限内随增大而减小，可得； ② 当时，点在第一象限，，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 3．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征，得到关于的表达式，再根据已知条件列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， 将点坐标代入解析式得，， ， ，即，解得：． 【类型六】一次函数与反比例函数图象结合 1．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 2．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 3．如图是函数，和在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断和间的大小关系为 _____________．    【答案】 【分析】根据正比例函数图象的性质：时，图象经过一、三象限；时，图象经过二、四象限，可判断．根据反比例函数图象的性质：时，图象位于一、三象限；时，图象位于二、四象限，k的绝对值越大，图象越远离坐标轴，可判断，即可求解． 【详解】解：由函数图象可知正比例函数经过第二、四象限， ∴， 又∵反比例函数和图象在第一象限，且更远离坐标轴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数的性质，根据函数图象判断出k的取值范围是解题的关键． 【类型七】求反比例函数的值 1．已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查了反比例函数自变量的取值范围、反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答． 【详解】（1）由反比例函数的定义和分式的意义可知，． （2）将代入中，得． （3）将代入中，得，解得． 2．已知是的反比例函数，且当时，． (1)求与的函数解析式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，已知自变量求函数值， （1）设，将，代入求出即可； （2）将代入解析式求出的值． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 当时，， ， 与的函数解析式为； （2）当时，． 3．已知与成反比例，当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的关系式． （1）根据与成反比例关系，且当时，求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式； （2）把代入求出x的值即可 【详解】（1）解：∵与成反比例关系， ∴， ∵当时，，即， 解得， ∴y与x的关系式为； （2）解：∵由（1）知y与x的关系式为， ∴当时，， 解得：． 【类型八】画反比例函数图象 1． 如图为一次函数的图象，它与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的表达式． (2)在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并直接写出当时，的取值范围． (3)连接， ，求出的面积． 【答案】(1) (2)如图即为所求： 由图可知，当时，或 (3) 【分析】（1）将点代入一次函数解析式求出点坐标，再代入反比例函数解析式计算值，即可得到反比例函数表达式； （2）对反比例函数取对应值列表，在坐标系中描点、平滑连线得到图象；结合两函数交点横坐标，以交点和原点为分界，根据一次函数图象位于反比例函数图象下方即可确定当时的取值范围； （3）先求出一次函数与轴的交点坐标，将拆分为以该交点到原点的线段为公共底的两个三角形，分别以、纵坐标的绝对值为高计算面积，求和即可得到的面积． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴， 把点代入，得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：函数， 在平面直角坐标系中，依次描出表格中对应的点： 、、、、、、、， 用平滑的曲线分别连接第二象限内的个点、第四象限内的个点，即可得到反比例函数的图象； 一次函数与反比例函数的交点为、，当时，即一次函数图象位于反比例函数图象下方时，的取值范围是：或； （3）解：如图，设一次函数与轴交于点， 令，则，解得， ∴， 又、， ∴． 2．下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． (1)直接写出各字母表示的数值：_______；______；______； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点、连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，并直接写出当时自变量x的取值范围． 【答案】(1)；2； (2) (3)，或 【分析】（1）根据表格数据先求得，进而分别将，代入解析式求得的值； （2）根据表格数据，描点，连线，即可求解； （3）过与两点画出直线，再根据函数图象，写出一次函数在反比例函数图象上方时的自变量取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵时， ∴， 当时，， 当时，； （2）略 （3）直线图略 当时自变量x的取值范围为，或 3．已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时自变量的取值范围． 【答案】(1)，图见解析； (2)或． 【分析】（1）将代入求出反比例函数解析式，再列表格，画出函数图象的另一支图象即可； （2）当时，；当时，由，可求，即可求解． 【详解】（1）把点代入，即， 解得：， 反比例函数的表达式为， 补充其函数图象如下： 列表格： （2）由图象得： 当时，， ∴， 当时，， 解得， 则时，， 当，且时，或． 【类型九】反比例函数应用—装载问题 1．在九三阅兵筹备阶段，某军工企业需向阅兵训练基地运送一批高精度装备配件．运输时，配件需用专用包装箱封装，已知每批运输使用的包装箱数量y（单位：个，）与每个包装箱的实际装载重量x（单位：）成反比例关系．当使用40个包装箱时，每个包装箱的实际装载重量为，且每个包装箱的最大安全装载重量为． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)该企业每次运输这批配件的总运输费用由两部分组成：一是固定运输费800元，二是按包装箱数量计算的耗材费，每个包装箱的耗材费为15元．若某次运输的总费用不超过1550元，求每个包装箱的最少装载重量． 【答案】(1)函数表达式为，自变量x的取值范围是 (2)每个包装箱的最少装载重量为 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出解析式，代入已知条件求出系数，结合题干给出的最大装载重量确定自变量的取值范围； （2）根据总费用的限制条件列出不等式，代入反比例解析式求解，即可得到x的最小值． 【详解】（1）解：由题意知，y与x成反比例关系， ∴设， 将，代入得，， 解得， ∵每个包装箱的最大安全装载重量为，且， ∴y与x之间的函数表达式为，自变量x的取值范围为． （2）解：根据题意，总运输费用满足不等式：， 将代入不等式得：， 解得， 即每个包装箱的最少装载重量为． 2．码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？ 【答案】(1) (2)100吨 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）把代入函数解析式，求出函数值，再根据图象，即可解答． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的表达式为， 根据题意，得，解得， 这个反比例函数的表达式为． （2）解：当时，． 由图象可知当时，． 答：平均每天至少要装载100吨货物． 3．码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间是装载货物速度的反比例函数，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)如果要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为多少（精确到）？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设与之间的函数表达式为，把时，代入即可求解 （2）利用函数关系式，当时，求出x，即可求解 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为 ∵ 当时， ∴     ∴ ∴ （2）当时， 解得 根据反比例函数的性质，随的增大而减小 ∴要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为3.34 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出解析式，再根据题意解答． 【类型十】反比例函数应用—杠杆问题 1．【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂=动力×动力臂，如图1，即），受桔槔汲水的启发，小明同学组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．      10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B对绳子的拉力为______N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小明同学准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的拉力为，的长度为．则： ①y关于x的函数解析式是____________． ②完成表格：______；______． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）中所求函数的图象上存在点C，当阻力臂移动到某个位置时，点C到原点O的距离最小，请确定点C的坐标，并说明理由． 【答案】(1) (2)①②4，（或1.6）③见解析 (3)点C坐标为或，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． （1）根据题意，直接根据求解即可； （2）①由公式可得关于的函数解析式；②将和代入①中解析式中求解即可；③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象； （3）由题意，设点C的坐标为，可得点C到原点的距离：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴重物B所受拉力为， （2）解：①由得，则， ∴y关于x的函数解析式为， 故答案为：； ②当时，； 当时，，故答案为：4，（或1.6）； ③列表如下． … 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … 描点：3．连线，可得该函数的图象，如下图即为所求： （3）解：∵点C在函数的图像上； ∴设点C的坐标为； 则点C到原点的距离： 当且仅当，时，d取最小值为（或）； ∴（或）； ∴点C坐标为或； 2．【综合实践】 如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即） … b … … 8 a 2 … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则： ①y关于x的函数关系式是 ． ②完成表格： ； ． ③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点A的坐标为，点B的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得，请求出点C的坐标． 【答案】(1) (2)①；②4；； ③函数图象如下所示： ； (3)点C的坐标为或 【分析】（1）根据公式进行计算即可； （2）①根据公式即可得到；②根据①求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图像即可； （3）设，连接，，，根据三角形的面积求出a的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴重物B所受拉力为， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴，即， 故答案为：； ②由①得，， 填表如下： … … … 8 4 2 … 故答案为：4，； ③略 （3）解：点A的坐标为，B的坐标为，C为反比例函数上一点， 设，连接，，， ∴ ， ∵， ∴， 整理得：， 解得，， 经检验，或是原方程的根， ∴时；时，， ∴点C的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，反比例函数的性质和图像，正确理解题意是解题的关键． 3．杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为． (1)求动力F与动力臂l的函数关系式． (2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？ 【答案】(1)动力F与动力臂l的函数关系式为 (2)小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为 【分析】本题考查了列代数式，理解成反比例关系的定义是解题关键．根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求解即可得到结论． 【详解】（1）依题意，得． ∴． 答：动力F与动力臂l的函数关系式为． （2）当时， 解得． ∵小华最多能使出的力， ∴． 答：小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为． 【类型一】已知k求面积 1．如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，则，，作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点，易得四边形为矩形，分割法求出阴影部分的面积即可. 【详解】解：∵A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，设， ∴，， 作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点， ∵轴于点M，轴于点N， ∴四边形为矩形， ∴， ∴阴影部分的面积为. 2．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 3．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，，设与轴交于点，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， 轴， ，轴， 点A，B分别为反比例函数与图象上的点， ，， ． 【类型二】已知面积求k 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是等腰直角三角形，证明，设，则，点D在反比例函数图象上，则，根据，，即可求出的值． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∵、在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 【详解】解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是6，则的值为_______． 【答案】4 【分析】过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得． 【类型三】正、反比例的求值关系 1．已知，其中与成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求关于的函数解析式． 【答案】 【分析】题考查了待定系数法求函数的解析式，正比例函数与反比例函数的性质，根据题意，设，根据当时，；当时，，待定系数法求得，即可求解． 【详解】解：设， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：； ∴关于的函数解析式为． 2．已知，与成正比例，与成反比例，当、时，的值都为1，求和之间的函数解析式以及当时的值． 【答案】，当时，． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解方程组，算术平方根，反比例与正比例等知识点，根据题意设,然后把、时，的值都为1，分别代入得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，然后代入即可得解，能正确设出函数表达式是解决此题的关键． 【详解】解：设， ， 把，分别代入上式得， ， 解之得， ， 当时，． 3．已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，，当时，，求y关于x的函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式．根据正比例与反比例的定义设出函数关系式，再根据待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：设，， ， 当时，；当时，， ， ， 故关于的函数解析式为． 【类型四】一次函数与反比例函数的关系式 1．如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点，点，过点 作 轴于点 ，则 ，根据，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴点， ∵ 轴于点 ， ∴ ， ． ∵一次函数与轴交于点 ， 令，解得， ∴点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，找到的图象在的图象上方部分的图象所对应的自变量取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入得， ∴反比例函数的表达式为， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）根据图象，当时，也就是的图象在的图象上方，所以在点A的左侧及y轴和点B之间的图象，即或． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将代入求出反比例函数的表达式，进而求出，将，代入计算即可； （2）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，解得：， ∴反比例函数的表达式为； 将代入得，解得：， ∴， 将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：由函数图象可知，当时，或． 【类型五】一次函数与反比例函数的不等式 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）直线在双曲线上方时交点的横坐标的取值范围即为不等式的解集． 【详解】（1）解：由题意可得：点在反比例函数图象上， 则， ∴反比例函数的解析式为； 将代入得： 即， 将A，B代入一次函数解析式中，得 ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由图可得或时，，即． 2．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 【答案】(1)，4 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，将点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得n的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由函数图象知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围，结合两点的坐标即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 解得：， ∴一次函数为． 如图，记与轴的交点为， ∴， ∵，， ∴的面积为． （2）解：∵，， 结合图象可得不等式的解集为：或． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若是直线上的一个动点，的面积为35，求点坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）依题意把代入，得出，进而把代入中得出，再待定系数法求一次函数解析式，即可求解； （2）根据交点的横坐标，结合函数图象，即可求解； （3）记直线与直线的交点为得出，设点，根据三角形的面积公式建立绝对值方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意把代入，得出， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 把代入中，得出， ， 则把和分别代入， 得出， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． 则结合图象，当时，则或； （3）解：如图，记直线与直线的交点为 ∵， ∴当时，则， ， ∵是直线上的一个动点， ∴设点， ∵的面积为35， ∴， 即 ∴ 解得或， ∴点坐标为或． 【类型六】一次函数与反比例函数的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量的取值范围为________； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为 (3) 【分析】（1）直接由图象法求解即可； （2）把点、代入一次函数得：，解得：，即可求解； （3）根据直线，得，设直线与y轴交于点G，再由，即，求得，则，把代入，得即可确定平移后的函数解析式，再由一次函数的平移即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A、点B的横坐标分别是和3． ∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或； （2）解：∵点 、点的横坐标分别是和3， ∴点、， 将点、代入一次函数得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为； （3）解：∵直线， ， 设直线与y轴交于点G， 令，则， ∴， 又， ， 即， 解得， ∴， ∴ 设平移后的函数解析式为： 把代入，得， 直线的表达式为， ∵直线向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数解析式为：， ∴， 解得：． 2．如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、 ． (1)求 、 的值和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) ，； (2) 【分析】（1）将、代入一次函数解析式即可求出 、 的值，再将点P的坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可； （2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出A点坐标，再根据计算求解． 【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过点、， ，， 解得 ，， 、， ∵反比例函数的图象经过点， ， ∵反比例函数的表达式为； （2）解：如图，设一次函数 与 轴相交于点， 令，则，即：， ， 又，， ． 3．已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）先根据一次函数求出点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）①先求出的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式，再求出C、D两点的坐标，再根据，代入计算即可；②根据函数图象即可写出不等式的解集． 【详解】（1）解：直线过点， ， 将代入函数中，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：①由（1）知，反比例函数的解析式为， 点，在的图象上， ，， ，， 由平移得，平移后直线的解析式为， 将代入中，得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ； ②，， 结合图象，可得不等式的解集为或． 【类型七】反比例函数应用—力的问题 1．根据牛顿第二定律，物体所受的力与物体的质量，物体的加速度有如下关系：．所以，当物体所受的力一定时，物体的加速度是它的质量的反比例函数，其函数表达式为．在光滑的地面上摆着两辆一样的小车，一辆是空车，另一辆装有石头．用同样大小的力，向同一个方向，已知小车的质量，用（单位：N）的力推空车时，测得．求当这辆小车上装石块时，用同样大小的力（单位：）推车，求此时加速度的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键． 先根据当时，求出反比例函数表达式，再求出当时的函数值即可． 【详解】解：由题意，得． ∵当时，． ∴． ∴函数表达式是． ∵车上装石块时． ∴． ∴． ∴加速度a的值为． 2．在对某物体做功一定的情况下，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，且当时，． (1)试确定与之间的函数表达式； (2)求当力时，物体在力的方向上移动的距离． 【答案】(1) (2)当力时，物体在力的方向上移动的距离为 【分析】本题考查的是反比例函数系数等于函数图象上点的横纵坐标的积，比较简单． （1）设函数关系式为，再利用待定系数法计算即可得出答案； （2）把代入函数关系式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系， 其函数关系式为， 点是反比例函数图象上的点， ∴． 此函数的解析式为； （2）解：把代入函数关系式得：， ． 即当力时，物体在力的方向上移动的距离为． 3．在对物体做功一定的情况下，力（单位：N）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：m）成反比例函数关系，其图象如上图所示，点在其图象上． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)当力达到10N时，求物体在力的方向上移动的距离． 【答案】(1) (2)当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离为1.2m 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的性质是解题关键． （1）设，把P（4，3）代入求解即可； （2）把代入（1）中关系式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可设． 将代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，， 解得． 故当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离为1.2m． 【类型八】反比例函数应用一行程的问题 1．A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． (1)①写出y与x的函数关系式； ②如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ (2)若某车从A地驶往B地，先以的平均速度行驶，余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍，两段路程共用，求a的值． 【答案】(1)①；② (2)70 【分析】本题考查反比例函数的应用，分式方程的应用，从实际问题中抽象出函数解析式是解题的关键． （1）①根据时间路程除以速度列出函数解析式即可； ②把代入反比例函数解析式，求出y的值，根据反比例函数性质得出答案即可； （2）根据两段路程共用，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）①解：根据题意，得：， 答：y与x的函数表达式为； ②把代入得， ∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ∵汽车的平均速度不超过， ∴汽车从A地到B地至少需要； （2）解：余下路程的行驶平均速度是，根据题意得： ， 解得：， 经检验是所列方程的解， ∴的值为70． 2．“苏超”是一项具有独特魅力和积极意义的业余足球赛事．小明一家准备去如皋奥体中心观看南通对阵盐城的比赛．已知小明家国产新能源汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）成反比例关系，行驶过程中汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）关系如图所示． (1)求s与x的函数关系式； (2)若小明家到比赛场馆的距离是2百公里，小明以百公里平均耗电量的速度到达场馆，返程时考虑到车流量比较大，小明降低速度，此时百公里平均耗电量是原来的1.25倍，如果返程始终以此速度行驶，不充电能否回家？如果不能，至少需要充电多少？ 【答案】(1) (2)不能，至少需要充电 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，反比例函数的图象与性质，以及反比例函数关系式的求解，解决本题的关键是正确求解出s与x的函数关系式． （1）设总路程s与平均耗电量x关系式为，将点代入求解即可； （2）分别求解出去场馆和返回家总耗电量，再由总电量求解即可． 【详解】（1）解：设总路程s与平均耗电量x关系式为， ∵将点代入函数关系式，可得， 解得， ∴s与x的函数关系式为； （2）解：不能，至少需要充电， 去场馆时的耗电量为：； ∵汽车总电量为， ∴剩余电量为， 返程时百公里平均耗电量是原来的1.25倍， ∴返程时百公里平均耗电量为：， 返程所需电量为：， ∵， ∴不充电不能回家，至少需要充电． 3．今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 【答案】(1) (2)学生步行的平均速度至少为 (3)②③ 【分析】（1）由题意知，是的反比例函数，设，代入，即可求解； （2）将代入，求得，结合题意，即可求解； （3）根据函数图象分析即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，是的反比例函数，设 当时， ∴ ∴ （2）把代入，得 ∴学生步行的平均速度至少为 （3）解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为，故①不正确； ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确； ③学生从学校到补给点所走路程为，故③正确． 【类型九】反比例函数应用一压强的问题 1．最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； (2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】(1) (2)9.6×10-3 m2 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入， 得， ∴地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）解：将代入时， 则， ∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为平方米． 2．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． 3．如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 受力面积 1 0.5 _____ 0.125 桌面所受压强 200 400 800 1600 (1)根据表中数据，求出桌面所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式并直接补全表格． (2)将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同质量的长方体分别按图2和图3所示的方式放置于用玻璃制作的桥上，按图2放置时，桥完好无损，按图3方式放置时，玻璃桥破裂，请求出玻璃桥能够承受的最大压强的范围．（超过最大压强时玻璃破裂） 【答案】(1)．补全表格为； (2)玻璃桥能够承受的最大压强的范围为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键． （1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）结合图2和图3所示的放置方式求出受力面积，再分别求出压强，即可求解． 【详解】（1）解：由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数， 设， 将代入上式，得， ， 即所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式为． 当时，，解得 则补全表格内容为0.25． （2）解：图2中， 图3中， 玻璃桥能够承受的最大压强的范围为． 【类型一】反比例函数中的几何最值 1．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点．的面积为若动点在轴上，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质以及反比例函数可得，即、．再根据的面积为10列方程可求得，即；再利用轴对称和勾股定理求最值即可． 【详解】解：∵正方形的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6， ∴， ∴，． ∵的面积为10， ∴， 解得：， ∴． 如图：作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则，的最小值为的长． ∴，， ∴． 2．如图，点是反比例函数图象上一点，点B为直线上一点，点C为x轴上一点，则周长的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，轴对称的性质，两点间距离公式等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点坐标，再过点作直线的对称点，作轴的对称点，连接，得到，，，由，可知点共线时，周长取得最小值，即为，即可求解． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴将点代入，则， ∴， 过点作直线的对称点，作轴的对称点，连接， 则，， ∵反比例函数图象也是轴对称图形，且对称轴为直线，点在反比例函数图象上， ∴点关于直线的对称点也在反比例函数图象上， 设， ∴点的中点在直线上， ∴， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴， ∴， 当点共线时，周长取得最小值，即为的长， ∴， 故选：C． 3．如图，点都在双曲线上，点分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、坐标与图形变化——轴对称、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据反比例函数的性质求出，根据勾股定理求出，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质得到，，，，再利用两点之间线段最短的性质即可求出四边形周长的最小值． 【详解】解：代入点到，得； 代入点到，得； ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接， 则，，，， ∴，， ∴， ∴四边形周长， ∴四边形周长的最小值为． 故答案为：． 【类型二】反比例函数中的增减性最值 1．已知：，，，则下列说法中正确的是 （   ） A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值 C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值和根据反比例函数的增减性求最值，解题的关键是用函数思想解决问题；根据函数的增减性求出最值，再结合不等式的性质求n的范围，进而可求n的最值； 【详解】由题意得，， ， 当时，m 有最小值，当时，m有最大值， ， ，， 当时，n随着b的增大而减小， 当时，n 有最小值1， 当时，n有最大值4， ， ， ， ， 解得：， ， ， n有最大值3，最小值1； 故选：C． 2．已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据反比例函数中，可知反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小，又因为当时，有最大值，最大值为，可以求出，得到反比例函数的解析式为，从而可知当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小， 在第一象限， 当时，有最大值，最大值为， ， 解得：， 反比例函数的解析式为， 在第三象限， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 当时，函数有最小值． 故选：B ． 3．已知反比例函数，对于正数m，当自变量x满足时，函数y的最小值为a，则当时，函数y的最小值为_______，最大值为_______．（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键．根据反比例函数的性质，可知图象在第一、三象限，在每个象限内， 随的增大而减小，再根据对于一个正数，当自变量满足时，函数的最小值为，求出解析式为，再根据反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵对于一个正数，当时，函数的最小值为， 则时，， ∴， ∴， 当时， 当时，函数的最小值为：， 当时，函数的最大值为：． 故答案为：；． 【类型三】反比例函数与几何运动结合 1．如图，四边形是正方形，点E，G分别是边上的动点，且，分别作，，与交于点F，设，，则下列图象能反映y与x函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明四边形是正方形，则四边形的周长为，则可得到，根据点E在上，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴四边形的周长为， ∵， ∴， ∵点E在上， ∴， ∴， ∴只有B选项中的函数图象符合题意． 2．如图，已知▱ABCD中，AB=4，AD=2，E是AB边上的一动点（动点E与点A不重合，可与点B重合），设AE=x，DE的延长线交CB的延长线于点F，设CF=y，则下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题各个x的取值范围都不同，所以只需从x的取值考虑即可． 【详解】∵动点E与点A不重合，可与点B重合，AB=4，AE=． ∴0＜≤4．即包括4； 故选B． 【点睛】考核知识点：本题考查动点函数图象的问题． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，是以点为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接，为的中点．若线段长度的最大值为，则的值为____． 【答案】 【分析】连接，根据直线与双曲线是中心对称图形，可知与关于原点对称，得到点是的中点，又根据点为的中点，可确定是的中位线；由的最大值为，得的最大值为5，进而得出的最大值为4；然后，由点，的坐标及辅助线构造，利用勾股定理可建立关于的方程，进而求出；最后，由点在双曲线上，即可求得的值． 【详解】如图，连接，过点作轴，过点作交于点． 根据反比例函数的对称性可得点是的中点， 点为的中点， ∴是的中位线． 当、、三点共线时，最大，则最大． ∵的最大值为， ∴的最大值为． ∴，即的最大值为4． 设点． ∵点， ∴易知，． 在中，由勾股定理，得，即， 解得． ∵点在双曲线上， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的中位线定理、动点最值问题、圆的性质及勾股定理．充分利用反比例函数与一次函数的图象和性质、三角形的中位线定理及勾股定理，并能根据 “三点共线”求最短线段是解题的关键． 【类型四】反比例函数中的绝对值 1．项目主题：探究反比例型绝对值函数的图象与性质 任务背景：某学校在操场直线跑道旁安装广播喇叭，用于运动会通知．为简化分析，将跑道视为一条数轴，喇叭的安装点定为原点．声音在跑道上不同位置的响度与听众到喇叭的距离有关．在简化模型中，某一位置的声音响度与到声源距离的绝对值成反比．因此，我们建立函数模型，本次项目将以函数为例，通过描点作图、数据分析、性质归纳等方式，深入理解这类函数的图象特征与实际意义． 任务一：自变量分析与数据采集 （1）函数中自变量的取值范围是_____； （2）补全数据表： ．．． 1 1．5 2 4 6 ．．． ．．． 1 3 _____ 6 6 4 _____ 1 ．．． 任务二：图象绘制与对称性探究 （3）绘制图象 在平面直角坐标系中，描出上表中所有点，并用光滑曲线连接，画出函数图象． （4）图象分析 该函数图象_____轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为_____． 任务三：函数性质归纳与应用（综合拓展） （5）数值估算 当时，对应的自变量的值约为_____（保留一位小数）． （6）性质总结 请根据画出函数图象，归纳出函数的性质：_____（写出一条即可）． （7）变式探究 我们将函数一般化，对于函数，当时，试写出其一条性质． 【答案】（1）；（2）4，3；（3）见解析；（4）是，0；（5）1．2或；（6）函数图像关于轴对称（不唯一）．（7）图象分别位于三、四象限（不唯一）． 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、绝对值、画反比例函数图像等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义即可解答； （2）将，代入函数解析式求解即可； （3）按照描点、连线的步骤解答即可； （4）根据（3）所得的函数图像解答即可； （5）根据（3）所得的函数图像解答即可； （6）根据（3）所得的函数图像解答即可； （7）类比的图像进行解答即可； 【详解】解：（1）由反比例函数的定义可知：； 故答案为：； （2）当时，；当时，； 故答案为：4，3； （3）根据题意：画出函数图像如下： （4）由（3）函数图像可得：该函数图象是轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为0． 故答案为：是，0； （5）由（3）函数图像可得：该当时，对应的自变量的值约为1．2或． 故答案为：1．2或； （6）由（3）函数图像可得：该函数图像关于轴对称（不唯一）． 故答案为：函数图像关于轴对称； （7）对于函数，当时，该函数图像分别位于三、四象限（不唯一）． 2．某同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： （1）绘制函数图象 ①列表：下表是与的几组对应值，其中____________； 1 2 3 ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整．    （2）探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①____________________________________； ②____________________________________． （3）运用图象和函数性质 当时，写出自变量的取值范围____________． 【答案】（1），图象见解析； （2）①函数的图象关于y轴对称， ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （3）或． 【分析】（1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象； （2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）根据图象得出答案． 【详解】解：（1）把代入得， ， ∴， 画出图象如图：    故答案为； （2）通过观察图象，得到： 性质1：函数的图象关于轴对称； 性质2：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； 故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （3）由图象可知，当时，自变量x的取值范围为或， 【点睛】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． 3．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数的性质．小明结合已有的经验探究了函数的图象及性质． x … 0 1 2 3 4 … y … 1 m n 2 1 …    (1)绘制函数图象①列表：上表是x与y的部分对应值，其中 ， ． ②描点：根据表中的数值描点． ③连接线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象． (2)探究函数性质：请写出函数的两条性质：① ；② ． (3)运用函数图象及性质，根据函数图象，写出不等式，解集是 ． 【答案】(1)①2，4；②见解析；③见解析 (2)①该函数的图象关于直线对称；②当时该函数有最大值，最大值为4 (3) 【分析】（1）①将和分别代入即可求m和n；②描点、连线，画出函数图象即 （2）写出两条符合图象的性质即可； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 画出函数图象如下：   ； 故答案为：，； （2）解：性质1：该函数的图象关于直线对称； 性质2：当时该函数有最大值，最大值为4． （3）解：观察图象可知，不等式的解集是． 【点睛】本题考查了函数的图形及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质． 【类型五】反比例函数中的特殊三角形 1．已知：如图，点、是双曲线在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． (1)求点的坐标； (2)点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）过点B作于点H，易得，设，求出，进而得到，设，代入双曲线，即可求解； （2）设，求出，分或或，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：过点B作于点H， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点B在第一象限， ∴设， ∵点在双曲线上， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵轴， ∴设， ∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵是等腰三角形， ∴或或， 当时，则，即， ∴， 解得或（与点重合，舍去）， ∴； 当时，则，即， ∴， 解得或， ∴或； 当时，则，即， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 2．如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作于点，求的值； （3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3），，． 【分析】（1）根据题意为等腰直角三角形，过点分别作轴于，轴于，则设，根据一次函数的图像经过点,求得的值，进而求得的坐标,即可求得反比例函数解析式； （2）根据在中，①，在中，②，①－②即可求得； （3）分三种情况讨论①若，，如图，连接，证明，进而求得，从而求得的坐标，即可求得点的坐标；②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为，证明，设，由，可得，解方程即可求得点坐标；③若，如图，过点作轴于，过作轴于，证明，设，则，由，可得，解方程即可求得点坐标；综合①②③即可求得所有的坐标． 【详解】（1）过点分别作轴于，轴于，如图， 四边形是矩形， 是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ， 设， 点在直线上， ， 解得， ， 反比例函数（）的图像经过点， ， ， 反比例函数的解析式为； （2） , 把代入，解得， ， ， 在中，①， 在中，②， ①-②,得， （3）①若，，如图，连接， 在与中， ， ， ， 又， ， 即， ， ， 把代入，得， ， ②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为， 在与， ， ， ， 设，则， 由， 可得， 解得， 经检验，m是原方程的解， ， ， ， ③若，如图，过点作轴于，过作轴于， 在与中， ， ， ， 设，则， 由， 可得， 解得， 经检验，m是原方程的解， ， ， ， 综上所述，存在点符合题意，其坐标为，，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，解可化为一元二次方程的分式方程，掌握以上知识是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)当为直角三角形时，点P的坐标为或 【分析】（1）先得出，然后可得反比例函数解析式，进而联立函数关系式可得点B的坐标； （2）根据图象可直接进行求解； （3）由题意可设，则有，根据两点间距离公式可得：，，，然后可分当时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可把点代入直线得：， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：由图象及（1）可知：不等式的解集为或； （3）解：由题意可设， 把代入直线得：，解得：， ∴， ∵， ∴根据两点间距离公式可得：，，， 当为直角三角形时，则可分： 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：当为直角三角形时，点P的坐标为或． 【类型六】反比例函数中的特殊四边形 1．如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．      (1)________，________； (2)求反比例函数表达式； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)；；； 【分析】（1）根据二次根式的非负性、平方数的非负性求解即可； （2）为中点，且点E的横坐标为0，设点D的横坐标为，设，根据中点坐标公式可用含t的式子表示出点D的坐标，根据平行四边形的性质可表示出点C的坐标，将点代入反比例函数解析式求解即可； （3）设，，①当为边时：分为平行四边形和为平行四边形两种情形画出图形，再根据平行四边形的性质求解即可；②当为对角线时：利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，， ∴，． （2）解：由（1）可知，，， ∴，， ∴ ∵为中点，且点E的横坐标为0，设点D的横坐标为， ∴， ∴，设， 如图，过点D作轴于点F，过点C作于点G， ∴轴， ∴， ∴，且，， ∴， ∴，， ∴， ∵点，都在双曲线的图像上， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵在双曲线上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：设，， ①当为边时： 第一种情况：如图所示，若为平行四边形，则，，即轴 ， ∴点P的纵坐标为，即，解得：， ∴，即， ∴，解得：， ∴； 第二种情况：如图所示，若为平行四边形， ∴，解得：， ∴； ②当为对角线时：如图所示， ∵， ∴点P、B的横坐标相同，即，解得：， ∴，即， ∴， ∴，解得：， ∴． 综上，；；． 2．在平面直角坐标系中，平行四边形的两个顶点、落在反比例函数的图像在第一象限内的一支上，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上． (1)如图1，若点，，直接写出、两点的坐标； (2)如图2，分别过点、作两条坐标轴的平行线，轴，分别与轴交于、两点，轴，分别与轴交于、两点，与交于点，与交于点．根据“出入相补”原理，我们知道能使矩形和矩形面积相等的点，一定在矩形的对角线上．记点和点的横坐标分别为、，试从直线经过点的角度验证这个结论； (3)如图3，若直线是一次函数的图像，平行四边形有无可能是菱形？若可能，求出菱形对应的一次函数；若不可能，请简述理由． 【答案】(1)， (2)证明详见解析 (3)不可能，理由详见解析 【分析】（1）设点C坐标为，点D坐标为，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点公式构建方程组，解出c和d的值即可； （2）根据平行关系可以用c和d表示出点I和点P的坐标，设直线的一次函数解析式，可以证出点I在该一次函数的图像上．根据反比例函数k的几何意义可以得到，此时矩形和矩形面积相等，结论得证； （3）先假设存在，用字母表示出A、B、C、D四点的坐标．根据菱形对角线互相平分和邻边相等的性质，求出字母间的关系，并构建方程，化简后可求得点A和点C的坐标之间的关系，从而验证假设是否成立． 【详解】（1）解：设点C坐标为，点D坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分， ∴， 代入坐标得，， 将①代入②得，， 化简得，， 解得，，（负值舍去）， 将代入①得，， ∴， ∴点C坐标为，点D坐标为； （2）∵点、点落在反比例函数图像上， 又∵点和点的横坐标分别为、， ∴点C坐标为，点D坐标为， ∵轴，且点、点在y轴上， ∴点的坐标为，点的坐标为， 同理，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵，， 又∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在对角线上， ∴结论成立； （3）假设四边形是菱形，设点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为， 如图，作轴，垂足为E， ∵直线是一次函数的图像，且点A在y轴上， ∴点A坐标为， ∵轴，且点E在y轴上， ∴点E坐标为， ∵四边形是菱形， ∴对角线与互相平分，， ∴， 代入坐标得，， 变形得，， 由勾股定理可得，，， ∵， ∴， 将①和②代入得，， 提取公因式得，， 由非负数的性质得，， 两边同除以得，， 去分母得，， 移项后因式分解得，， ∵点C在第一象限，即， ∴， 将代入②得，，则点A与点C的纵坐标相同， ∴轴，此时一次函数的，与题干矛盾， ∴假设不成立，平行四边形不可能是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质以及勾股定理，熟练掌握四边形的性质并能结合函数图像上点的特征是解题关键． 3．如图1，直线的图象与轴、轴分别交于两点，点是线段上一点，过点分别作的垂线，垂足分别是，矩形的面积为，且． (1)求点坐标； (2)将矩形以个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形，记平移时间为秒． ①如图2，当矩形的面积被直线平分时，求的值； ②矩形的边与反比例函数的图象有两个交点，记为，若梯形的面积是矩形的面积的，求的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）假设，利用矩形的面积为以及可求出点坐标； （2）①设，根据矩形的面积被直线平分可列方程求解即可； ②设，根据梯形的面积是矩形的面积的，列方程求解即可. 【详解】（1）解：设， ∵矩形的面积为， ∴， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵， ∴，即； （2）①设、和直线分别交于点，， 设， 则， ∴， ∵矩形的面积被直线平分， ∴， ∴， 即：， 解得：； ②设， ∵由题意可知：， ∴， 解得：（舍）， ∴． 【类型七】反比例函数中的角度问题 1．【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为； (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据证明，结合全等三角形性质推出点坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，结合一次函数图象与性质，以及全等三角形性质推出点的坐标，再设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）设点的坐标为，过点作于点，过点作于点，根据点是直线上的一点，分两种情况①当点在轴上方时，②当点在轴下方时，结合全等三角形性质与判定，以及勾股定理分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 点， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：过点作轴于点， 由题知， 由（1）同理可证，， 一次函数的图象交轴于点，交轴于点， 且当时，，当时，， ，即， ， ， ， 设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为， 则， 反比例函数的表达式为， 又有， 解得， 直线的函数表达式为； （3）解：设点的坐标为， 过点作于点，过点作于点， ①当点在轴上方时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为； ②当点在轴下方时， 同理可求得， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C． (1)求k的值及直线的解析式； (2)点D为x轴正半轴上一点，连接，当的面积为6时，与反比例函数图象交于点E．点P，Q均为x轴上的动点，点P在点Q的左侧，且，取的中点F，连接，求点E的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，点M为反比例函数图象上的一点，射线与直线交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)， (2)，的最大值为 (3)或 【分析】（1）先将点，代入求出，再由待定系数法求解直线的表达式； （2）先由求解点的坐标，然后根据中点坐标公式求解点，再联立直线与反比例函数表达式求解点坐标，再根据平移以及对称的性质求解最大值即可； （3）连接，过点作轴于点，当点在点上方时，记为，此时点记为，证明出，然后通过联立直线与求解点；当点在点下方时，记为，此时点记为，此时，则，可得，通过中点坐标公式求解点，再通过联立直线与求解点即可． 【详解】（1）解：∵点，是反比例函数图象上的两点， ∴， ∴， ∴，反比例函数表达式为， 设直线， 则代入点、可得， 解得， ∴直线； （2）解：在中，当时，则， 解得， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵的中点是， ∴，即， 设直线， 则代入、同理可求直线， 联立得，， 解得， ∴； 将点向右平移1个单位得到，再过点作轴的对称点，连接，，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由对称可得， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最大值为， ∵, ∴的最大值为； （3）解：连接，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 当点在点上方时，记为，此时点记为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴同理可求直线， ∴设直线， 代入点可得，，解得， ∴直线， 联立可得，， 解得，（舍去）， ∴； 当点在点下方时，记为，此时点记为， 此时， ∴， ∵， ∴， 联立直线与直线得，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴同理可求直线， 再联立可得，， 解得，（舍去）， ∴； 综上：符合条件的点M的坐标为或． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数在第二象限相交于点，直线：与反比例函数在第二象限相交于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，若点是线段上一动点，当的面积为6时，求点的坐标； (3)如图3，若点是线段上一动点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先，求得点C的坐标，然后，求得反比例函数的解析式，最后，联立直线与反比例函数的解析式组成方程组，解方程组，再由点D所在的象限即可得出答案； （2）如图2，过点作轴交于点，首先，求得直线的解析式，然后，设，则，再由，的面积为6，代入数据转换为关于a的方程，解方程即可求得a的值，进而可得点P的坐标； （3）如图3，设交轴于，过作轴交轴于，过作交的延长线于，首先，证得是等腰直角三角形，得，再由，得，进而证得，得，可得点M的坐标，然后，可得直线的解析式，最后，联立直线与直线的解析式可得点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵直线：与反比例函数交于点， ∴，即点， 又∵反比例函数在第二象限内的图象过点， ，即反比例函数的解析式为， 联立：， 解得或， 在第二象限， ∴； （2）解：如图2，过点作轴交于点， 设直线的解析式为：， 把、，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：， ∴设，则， ， ∵的面积为6， ， 解得， ∴， ； （3）解：如图3，设交轴于，过作轴交轴于，过作交的延长线于， ∵，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ，， ． ，， 又∵， ， ∴， ∴， ． 设直线的解析式为， 把、，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立：，解得， ． 【类型八】反比例函数中的定值问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求出反比例函数的表达式和点的坐标； (2)取第二象限内反比例函数上一点（点在点右侧、直线上方），连接，当的面积为30时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接，其中与轴、轴分别交于点M、P，与轴、轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3)是定值，该定值是2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平面直角坐标系中面积问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用A点坐标求出一次函数和反比例函数表达式，再联立函数解析式求另一交点B坐标即可； （2）用割补法表示出的面积，设参求解即可； （3）先求出直线解析式，得到点Q和点N坐标，再求出直线解析式，得到点P和点M坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入直线得， ， 解得， 再将代入得，          联立得：， 解得：（舍去）， ∴； （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴ ， 解得（舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：是定值 设点， 设直线解析式为，将C、D坐标代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 令得，即， 令，则 解得， 即， 同理可得直线解析式为， 令得，即， 令得，即， ∴， ∴为定值． 2．已知反比例函数，及两定点，． (1)设是反比例函数图像上任意一点，请证明为一定值，并求出该定值． (2)设直线与反比例函数图像在第一象限的部分交于两点，． （2.1）若直线经过点，求出线段长度的最小值，以及此时直线的斜率． （2.2）若与轴交于点，与轴交于点，请证明为一定值，并求出该定值． 【答案】(1) 证明：∵是反比例函数图像上任意一点， ∴设， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴固定不变； (2)（2.1）线段长度的最小值为，； （2.2）固定不变 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根与系数关系，二次根式的混合运算； （1）设，根据距离公式表示出、，再求出，，最后根据计算即可； （2）（2.1）设直线解析式为，与反比例函数解析式联立整理得到，，，然后根据求最小值即可； （2.2）设直线解析式为，与反比例函数解析式联立整理得到，得到，再求出，，最后表示出，整理后代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：（2.1）设直线解析式为，，， ∵直线经过点， ∴，解得， ∴， 联立整理得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当时，最小，此时，即线段长度的最小值为， ∵直线与反比例函数图像在第一象限的部分交于两点，， ∴， ∴， ∴； （2.2）设直线解析式为，，， 联立整理得，， ∴，， ∵当时，，则， 当时，，解得，则，， ∴ ， ∴固定不变． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转至点B，恰好落在反比例函数的图像上，连接OA，OB，过点B作轴交于点C，点是第一象限内双曲线上一动点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，求P的坐标； (3)如图2，连接PO并延长交双曲线于，平面内有一点，PQ与GA的延长线交于点H； ①若，求点H的坐标； ②当时，记H的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为（1，2）或 (3)①点H（0，5）；②（a+2）（b-4）=2，为定值． 【分析】（1）过点A作AH⊥x轴于点H，根据旋转的性质易证△AHO≌△OCB（AAS），根据全等三角形的性质可得点B坐标，进一步即可求出反比例函数解析式； （2）设点P坐标为（p，），表示出△POC的面积，当点P在点B左侧的双曲线上，当点P在点B右侧的双曲线上，分别表示出△PBC的面积，根据S△POC=4S△PBC，列方程，求解即可； （3）①先求出点P坐标，进一步求出点G和点Q坐标，待定系数法求直线AG和直线PQ的解析式，联立两直线解析式即可求出交点H的坐标； ②先待定系数法求出直线AG和直线PQ的解析式，联立两解析式求出交点H的坐标，可得a=m-2，b=n+4，进一步即可求出（a+2）（b-4）的值． 【详解】（1）解：过点A作AH⊥x轴于点H，如图所示： 则∠AHO=90°， ∴∠HAO+∠AOH=90°， ∵BC⊥x轴， ∴∠BCO=90°， ∴∠AHO=∠BCO， ∵点A（-1，2）绕原点顺时针旋转90°至点B， ∴AO=BO，∠AOB=90°，AH=2，OH=1， ∴∠AOH+∠BOC=90°， ∴∠HAO=∠BOC， ∴△AHO≌△OCB（AAS）， ∴OC=AH=2，BC=OH=1， ∴点B坐标为（2，1）， 将点B坐标代入反比例函数， 得k=2×1=2， ∴反比例函数解析式：； （2）设点P坐标为（p，）， 则S△POC＝×2×=， 当点P在点B左侧的双曲线上， S△PBC＝×1×(2−p)， ∵S△POC=4S△PBC， ∴=4×， 解得p1=p2=1， ∴点P坐标为（1，2）； 当点P在点B右侧的双曲线上， S△PBC＝×1×(p−2)= ， ∵S△POC=4S△PBC， ∴=4×， 解得（不符合题意，舍去）， ∴点P坐标为， ∴符合条件的点P坐标为（1，2）或； （3）①当m=2时， 根据题意，可得mn=2， 即2n=2， ∴n=1， ∴点P坐标为（2，1），点G坐标为（-2，-1），点Q坐标为（1，3）， 设直线GA的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将点A和点G坐标代入解析式， 得， 解得， ∴直线AG的解析式为y=3x+5， 设直线PQ的解析式为， 将点P和点Q坐标代入解析式， 得， 解得， ∴直线PQ的解析式为y=-2x+5， 联立， 解得， ∴点H坐标为（0，5）； ②（a+2）（b-4）是定值， ∵P（m，n），G（-m，-n），A（-1，2），Q（m-1，n+2）， 设直线AG的解析式为y=dx+c（d≠0）， 代入点A和点G的坐标，得， 解得， ∴直线AG的解析式为， 设直线PQ的解析式为y=ex+f（e≠0）， 代入点P和点Q坐标，得， 解得， ∴直线PQ的解析式为y=-2x+2m+n， 联立， 解得， ∴点H（m-2，n+4）， ∵记H的坐标为（a，b）， ∴a=m-2，b=n+4， ∴（a+2）（b-4）=mn， ∵点P（m，n）是第一象限内双曲线上一动点， ∴mn=2， ∴（a+2）（b-4）=2． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，全等三角形的性质和判定，一次函数的交点，旋转的性质，三角形的面积，定值问题等，本题综合性较强，难度较大． 【类型九】反比例函数中的新定义应用 1．【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答． （2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答． （3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答． 【详解】（1）解：∵点B是函数图象上任意一点， ∴， ∴点B在该函数图象上的“积值”为； 故答案为：； （2）解：∵点在函数图象上， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 则点在函数图象上的“积值”为； （3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上， ∴， ∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为， ∴， ∵， 函数开口向上，则对称轴为， ∵， ∴对称轴， ∴当时，随的增大而减小， ∴时，有最小值，最小值为， ∴， 即． 2．【定义】在平面直角坐标系中，对“经纬值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“经纬值”．函数图象上所有点的“经纬值”中的最大值称为函数的“最优经纬值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“经纬值”为；函数图象上所有点的“经纬值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优经纬值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“经纬值”为 ； ②求出函数（k为常数且，）的“最优经纬值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优经纬值为8，求c的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优经纬值为3，直接写出b的值． 【答案】(1)①9；②当时，“最优经纬值”为；当时，“最优经纬值”为； (2) (3)b的值为5或． 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解最优经纬值的定义是解题的关键． （1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出，分和两种情况讨论，即可求解； （2）先确定函数的解析式为，再由的最优经纬值为8，得到，即可求解； （3）先求，再分类讨论若，若，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：①由题意得：点的“经纬值”为， 故答案为：9； ②， ∵， 当时，的“最优经纬值”为； 当时，的“最优经纬值”为； （2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵最优经纬值为8， ∴， ∴； （3）解：， 当时，二次函数的最优经纬值为3， 若，则当时，； 即：， 解得：或（舍去）； 若，则当时，； 即：， 解得（舍）或； 综上所述：b的值为5或． 3．【概念定义】中国象棋棋盘上双方的分界处也称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线，在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线l：满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”． 例如：如图1，直线l：是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”． (1)【初步应用】：在直线①，②，③，④中，是图1函数的图象与正方形的“楚河汉界线”的有_____（填序号）； (2)【深入探究】：如图2，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是，若与的“楚河汉界线”有且只有一条，此时的半径为_____，请求出此“楚河汉界线”的表达式； (3)【拓展延伸】：正方形的边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心，直线是函数的图象与正方形的“楚河汉界线”． ①若，“楚河汉界线”有且只有一条时，求t的值； ②若存在“楚河汉界线”，请求出t的取值范围． 【答案】(1)①④ (2)2，“楚河汉界线”的解析式为 (3)①②的取值范围为或者 【分析】（1）将几个函数图像在平面直角坐标系中画出来，根据“楚河汉界线”的定义找出正确答案； （2）根据条件可知“楚河汉界线”是的切线，且点为切点，利用切点的性质求出的切线，再根据双垂直得到，利用相似求得点的坐标，根据待定系数法求出“楚河汉界线”的解析式； （3）根据“楚河汉界线”的定义，分成抛物线在“楚河汉界线”上方和抛物线在“楚河汉界线”下方两种可能，找出的取值范围，取的特殊值，从而解出的取值范围． 【详解】（1）解：根据“楚河汉界线”的定义知，“楚河汉界线”在图像的下方，在图像的上方， ∴在平面直角坐标系中将①，②，③，④画出来，如下图所示： 由图像可知，满足条件； （2）解：∵与的“楚河汉界线”有且只有一条， ∴“楚河汉界线”是与相切且切点为点的直线， ∴为的半径， 如图所示，连接，过点作轴交轴于点， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 在中，， ∴的半径为； 过点作的切线交轴于点，交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴点的坐标为， 设所在直线的解析式为， 将点分别代入， 得，解得， ∴“楚河汉界线”的解析式为； （3）解：∵正方形的边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心， ∴正方形的边长为2， ∴点； 二次函数开口向下， 顶点横坐标为，将代入，解得， ∴顶点坐标为， 将代入中，解得， 将代入中，解得， ∴二次函数的两个端点坐标为； ①当时，正方形在函数的下方，如下图所示： ∵“楚河汉界线”有且只有一条， ∴“楚河汉界线”经过点，点， 将代入中，得，解得， ∴“楚河汉界线”的解析式为， 将代入，得，解得； ②当正方形在“楚河汉界线”的上方，函数在“楚河汉界线”的下方， 则点在“楚河汉界线”的上方， 即，解得， 二次函数在“楚河汉界线”的下方， 联立，解得， 此时，两条线有一个交点或者无交点， ∴，解得；， 随的变化而变化，取“楚河汉界线”临界值，即， ∴， ∴； 当正方形在“楚河汉界线”的下方，函数在“楚河汉界线”的上方， 则点在“楚河汉界线”的下方， 即，解得， 二次函数在“楚河汉界线”的上方， 即，解得， 随的变化而变化，取“楚河汉界线”临界值，即， ∴， ∴； 综上所述，的取值范围为或者． 1．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列函数是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案．即反比例函数的定义为：形如 （ 是不为 的常数）的函数是反比例函数． 【详解】解： A、是正比例函数，不符合反比例函数定义； B、是一次函数，不符合反比例函数定义； C、中，符合反比例函数定义； D、是正比例函数，不符合反比例函数定义． 2．（25-26八年级下·山西吕梁·阶段检测）下列四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将依次代入各选项计算函数值， 选项A，，，，不符合题意； 选项B，，，满足函数值为的条件，符合题意； 选项C，，，，不符合题意： 选项D，，，，不符合题意． 3．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，已知点A在反比例函数图象上，垂足为点B，轴，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：由题意，矩形的面积为， ∵反比例函数过二，四象限， ∴， ∴. 4．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别位于轴、轴的正半轴上，分别是的中点，反比例函数经过点，若四边形的面积为，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】连接，易得四边形，均为矩形，矩形的面积等于四边形的面积，根据值的几何意义即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴，，， ∵分别是的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴四边形，均为矩形， ∴， ∴四边形的面积， ∵反比例函数经过点， ∴， ∵反比例函数过第一象限， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）若点，在反比例函数的图象上，则____________（填“”或“”或“=”） 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合两点横坐标的大小关系比较纵坐标和的大小． 【详解】解：反比例函数中，比例系数 ， ， ， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 点，的横坐标都小于，两点都在第二象限，且， ． 6．（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）已知反比例函数 的图象如图所示，结合图象可得：当时，y的取值范围是_________ 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质． 根据反比例函数 在第一象限内 随 的增大而减小，结合图象上点 的坐标，确定 时对应的函数值范围． 【详解】解：由反比例函数解析式 可知 ． 图象位于第一、三象限，在每一象限内， 随 的增大而减小． 当 时，． 观察图象可知，当 时，图象位于直线 的右侧． 此时函数值 小于 时的函数值 ，且大于 ． 所以 的取值范围是 ． 7．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）如图，点A、B分别为轴、轴上一点，点为中点，反比例函数的图象经过点，若的面积为6，则的值为__________． 【答案】 【分析】先根据的面积求出的值，再利用中点坐标公式表示出点的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征求出，最后根据图象所在象限确定的符号. 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为 ， 点在轴上，点在轴上 ，， ， ， 点为线段的中点 ， 点的横坐标为，纵坐标为，即， 点在反比例函数的图象上 ， ， ， 由图象可知，反比例函数图象位于第二象限 ， ． 8．（25-26九年级下·四川自贡·阶段检测）已知y与成反比例，且其函数图象经过点．求y与x的函数关系式； 【答案】 【分析】先根据反比例关系设出函数解析式，再将已知点的坐标代入解析式，求出待定系数，进而得到与的函数关系式． 【详解】解：y与成反比例， ∴设， ∵函数图象经过点， ∴， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 9．（25-26九年级上·云南德宏·阶段检测）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应不低于多少？ 【答案】(1) (2)以上的范围内． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． （1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，将点代入，利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【详解】（1）解：电流I与电阻R是反比例函数，设， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即用电器可变电阻应控制在以上的范围内． 10．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，一次函数和反比例函数分别交于点， ．  (1)求反比例函数和一次函数的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1） 根据题意，运用待定系数法求解即可； （2） 设直线与x轴交于点，令得到，根据代入计算即可； （3）根据函数图象求不等式解集即可． 【详解】（1）解： 点与点 在反比例函数图象上，  ，即反比例函数的解析式为， 当时，，即， 点与点在一次函数图象上， ，  解得：，  一次函数解析式为； （2）解：如图所示，设直线与x轴交于点， ∴当时，，  ，  ； （3）解：由图象可得，当或时，． 1．（25-26八年级下·海南海口·期中）若，，都在函数的图像上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据比例系数判断函数的象限分布和增减性，再结合各点横坐标的范围比较纵坐标大小． 【详解】解：∵对于函数，比例系数 ， ∴反比例函数图像位于第一，三象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 ∵点的横坐标都小于 0，两点在第三象限，且， ∴ 又∵点的横坐标大于 0，点 C 在第一象限， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）物体匀速下落过程中，下落高度与下落时间成函数关系，下列变量对应关系中，属于反比例函数的是（　　）． A．路程一定，速度与时间 B．圆的面积与半径 C．正方形周长与边长 D．匀速行驶路程与时间 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据题意写出各选项变量的函数关系式，结合反比例函数定义（为常数，）判断即可． 【详解】首先明确反比例函数定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数， 选项A中，设路程为，为定值且，速度为，时间为，由变形得，符合反比例函数定义，是反比例函数，A符合题意； 选项B中，圆面积，是二次函数，不是反比例函数，B不符合题意； 选项C中，正方形周长，是正比例函数，不是反比例函数，C不符合题意； 选项D中，匀速行驶时，设速度为定值，路程，是正比例函数，不是反比例函数D不符合题意． 3．（25-26八年级下·山西临汾·期中）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则，0，之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k的符号确定函数图象所在象限，再结合点的横坐标范围得到纵坐标的大小关系. 【详解】解：∵反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵，点在反比例函数图象上， ∴点在第三象限，； ∵，点在反比例函数图象上， ∴点在第一象限，； ∴. 4．（25-26九年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数（）的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数（）的图象上，则的值为（     ） A．5 B． C． D．4 【答案】B 【分析】首先利用两点间距离公式求出，得到菱形的边长，结合菱形性质确定点A的坐标，进而求出反比例函数解析式，最后根据平移规律和点在函数图象上列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，轴， ∴，， ∵点在反比例函数（）的图象上， ∴，即， ∴反比例函数为， ∵将菱形向右平移个单位， ∴点D平移后的点坐标为， ∵点刚好落在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 5．（25-26九年级下·河南周口·期中）物理中压强公式 （F为压力，S为受力面积），若压力F恒定，则压强p与受力面积S成________比例关系． 【答案】反 【分析】根据正反比例的定义，对给定公式变形，结合恒定的条件，即可判断与的比例关系． 【详解】解：由压强公式，变形可得， 根据正反比例的定义，若两个变量的乘积为定值，则两个变量成反比例关系， 已知压力恒定，即与的乘积为定值，因此压强与受力面积成反比例关系． 6．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴上任意一点，连接，，则的面积为________． 【答案】3 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴． 7．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】直接利用图象法进行求解即可. 【详解】解：∵反比例函数在第一象限， ∴的图象过一、三象限， 观察可知，不等式的解集为或. 8．（25-26八年级下·北京东城·期中）已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则， 解得． 9．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)若点是点关于轴的对称点，求的面积； (3)点，分别在直线和双曲线上，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)32 (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式求出k，再求出点B的坐标，把点A、点B的坐标代入一次函数的解析式中，可得结论； （2）根据（1）一次函数的解析式求得点C的坐标，由轴对称的性质求得点E的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）作直线，上下移动与和相交，结合函数图象分析确定即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴， ∴一次函数解析式，反比例函数解析式； （2）解：令，则， ∴， ∵点E是点C关于x轴的对称点， ∴， ∴， ∴； （3）解：作直线，上下移动与和相交，如图， 点，分别在直线和双曲线上，当时，由图可得在点上方且在轴下方或点上方时符合条件， 此时或． 10．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”． (1)反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； (2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式． 【答案】(1)是，见解析 (2)或 【分析】（1）根据“闭函数”的定义以及反比例函数的性质解答即可； （2）根据“闭函数”的定义可得当时，，然后分两种情况，结合一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：反比例函数是闭区间上的“闭函数”，理由如下： ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 当时，；当时，， ∴此时， ∴反比例函数是闭区间上的“闭函数”； （2）解：∵一次函数是闭区间上的“闭函数”， ∴当时，， 当时，此时满足时，，时，， 即， 解得：， 此时函数的解析式为； 当时，此时满足时，，时，， 即， 解得：， 此时函数的解析式为； 综上所述，此函数的解析式为或． 1．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）已知变量与成反比例，当时，；那么当时，的值是（     ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】先根据反比例函数的定义设出函数解析式，再利用已知条件求出反比例函数的比例系数，最后代入的值求解即可． 【详解】解：∵与成反比例， ∴设反比例函数解析式为，即， 把，代入得， ∴反比例函数解析式为， 当 时，代入得， 解得． 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．y的值随x值的增大而增大 C．图象位于一、三象限 D．图象关于原点中心对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，结合逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴． 对于选项A，当时，，∴图象经过点，不经过点，故A错误． 对于选项B，时，仅在每个象限内的值随值的增大而增大，选项未限定象限，故B错误． 对于选项C，∵，∴反比例函数图象位于第二、四象限，故C错误． 对于选项D，所有反比例函数的图象都关于原点中心对称，故D正确． 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期末）酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 【答案】D 【详解】解：A、由图象得，当时，，故A正确； B、图象整体呈下降趋势，随的增大而减小，故B正确； C、图象中每一个值都有唯一确定的值与之对应；是的函数，故C正确； D、当、时，；当、时，，不为定值，该曲线不是反比例函数的图象，故D不正确． 5．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知对应值求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得：， 因此与之间的函数关系式为． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 【答案】4 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质分别求出点、的坐标，进而计算． 【详解】解：对于一次函数，时，， ∴； 将点代入一次函数， 有， 解得， ∴， 将代入反比例函数， 有， 解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴，即， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴． 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 【答案】/ 【分析】过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点，先证明是等腰直角三角形，设，证明，求得，作轴于点，作轴于点，则四边形是矩形，再证明，求得，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点， ∵， ∴， ∵在中，， ∴与平行，，， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，即，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 作轴于点，作于点，则四边形是矩形，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵、在函数图象上， ∴，， ∵在函数图象上， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． (3)结合图象直接写出中的取值范围． 【答案】(1)， (2)15 (3)或 【分析】本题考查了求反比例函数，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据的面积为4．得出，又因为反比例函数图象在第二、四象限，得出，再分别求出，，最后代入，求解出，即可作答． （2）先求出，再分别把数值代入的面积计算，即可作答． （3）运用数形结合思想，得出符合题意的的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴； ∴； ∵，的面积为4． ∴ 解得， 即， 把代入，得， 解得， ∴； 把和代入， 得 解得 ∴； （2）解：连接，如图所示： 由（1）得，，， 令则， 解得， 则 ∴， 则的面积 ； （3）解：∵， ∴， 依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点， 则当时，或， 即结合图象当时的取值范围为或， 9．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图象如图所示： y与x之间的函数关系为 (2)托盘与点的距离是 (3)在移动前托盘B中的砝码质量为 【分析】（1）根据表格描点、连线即可，然后根据图象求函数表达式即可； （2）利用（1）函数表达式直接求解即可； （3）根据函数表达式求解即可，需要注意托盘运动前后仪器始终平衡． 【详解】（1）解：画图略； 观察图象可知，函数可能是反比例函数，设， 把的坐标代入，得， ∴， 经检验，其余各个点的坐标均满足 ∴该函数表达式为； （2）解：由（1）可知函数表达式为 ∴当时，代入函数表达式得， 解得， ∴托盘与点的距离是； （3）解：设移动前托盘中的砝码质量为，托盘与点的距离为， 由题意，得，， 解得， ∴在移动前托盘中的砝码质量为． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）通过解一元二次方程得到m，n的值，得到点的坐标，再根据矩形的性质即可得到点B的坐标，然后代入反比例函数即可解答； （2）根据中点的定义得到，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，，分3种情况讨论：①与互相平分；②与互相平分；③与互相平分，分别列出方程组，求出的值，即可得到Q点的坐标； （3）先利用A、D两点坐标求出直线解析式，联立直线与反比例函数，通过一元二次方程判别式算出双曲线与线段有一个交点时的临界；再求出双曲线过点B时的临界，分区间分析双曲线与四边形边的交点数量，得到恰好有两个交点时k的取值范围。 【详解】（1）解：， ， 解得：，， 由题意得，，， ，， ，， 四边形是矩形， ， 点的坐标为； 将代入，得． （2）解：存在， 点是的中点，， ， ， 反比例函数的解析式为， 设，， 以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形， 下面分3种情况讨论： ①当与互相平分，则 解得， ； ②当与互相平分，则 解得， ； ③当与互相平分，则 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． （3）已知，，设直线解析式为， 将两点代入得： 把代入，得 ， 解得， 直线的解析式为． 当的图象与直线恰好有一个交点时，联立方程： 两边同乘整理得：， 只有一个交点， 一元二次方程判别式， ， 解得． 当反比例函数图象经过点时，， 此时双曲线仅与四边形交于点，只有1个交点． 当时，双曲线与线段产生2个交点，交点总数超过2个，不符合题意； 当时，双曲线仅与线段、线段各有1个交点，恰好共2个交点； 当时，双曲线与四边形无交点． 反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点时，． 学科网（北京）股份有限公司 $