第二十七章 反比例函数（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学反比例函数复习讲义通过思维导图系统梳理知识体系，将概念、解析式、图象性质及实际应用分模块呈现，用对比表格归纳正比例函数与反比例函数的异同，重点标注增减性、k的几何意义等核心内容，构建清晰的知识脉络。 讲义特色在于分层练习设计，涵盖确定解析式、图象性质分析、与一次函数综合等题型，如通过“已知交点求k值”典例培养推理意识，结合电路电阻与电流关系应用题发展模型意识。A/B/C组习题满足不同学生需求，教师可精准教学，助力学生系统提升解题能力。

第二十七章 反比例函数复习讲义 教学目标 1.理解反比例函数的概念，研究其图象（双曲线）和性质（增减性）； 2.掌握利用待定系数法求反比例函数解析式的方法； 3.运用反比例函数分析和解决实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）反比例函数的图象与性质； （2）待定系数法求反比例函数解析式及系数k的几何意义； （3）反比例函数的实际应用。 2.难点 （1）反比例函数增减性的理解及跨象限比较函数值大小； （2）实际背景下的反比例函数建模与取值范围求解； （3）反比例函数与一次函数的综合问题。 知识点01 反比例函数的概念 1.反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数。 2.形式的变形 ①标准分式形式： ②隐含乘积形式： ③负指数幂形式： 知识点02 反比例函数的解析式 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法。由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式。 知识点03 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象与性质 对于反比例函数 (k为常数,k≠0) 当k>0时：象限：两支曲线分别位于第一、第三象限；增减性：在每一个象限内，y随x的增大而减小。 当k<0时：象限：两支曲线分别位于第二、第四象限；增减性：在每一个象限内，y随x的增大而增大。 注意：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号 2.反比例函数k的几何意义 ①反比例函数 (k≠0)双曲线上的点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积等于。 ②反比例函数 (k≠0)双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为。 3.正比例函数与反比例函数的性质比较 　 正比例函数 反比例函数 解析式 (k≠0) 图 象 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线） 位 置 ，一、三象限； ，二、四象限 ，一、三象限 ，二、四象限 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而增大 知识点04 应用反比例函数解决实际问题 ①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。 ②列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。 题型01 确定反比例函数的解析式 【典例1】已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数k的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】如图，反比例函数的图像的一个分支上有一点A，平行于x轴，交y轴于点B，的面积是1，则反比例函数的表达式是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与函数的图象交于点A，B．若，则k的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式3】若是反比例函数图象上一点，那么下列各点不在其图象上的是（ ） A． B． C． D． 【中考链接】如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ） A． B． C． D．3 题型02 反比例函数的图象及性质 【典例1】如图，把函数和函数的图象画在同一平面直角坐标系中，则坐标系的原点可能是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】点在函数图象上，下列说法正确的是（ ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【变式2】关于反比例函数下列说法不正确的是（ ） A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上 【变式3】在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点作轴，分别交反比例函数，的图像于点，．则下列说法错误的是（ ） A．若点A的横坐标为2，则点C的纵坐标为 B．若，则 C．若，则的图像关于轴对称 D．当时， 【中考链接】已知点，点，点都在反比例函数的图象上，则，，的关系是（ ） A． B． C． D． 题型03 反比例函数与一次函数综合 【典例1】如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【变式1】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，，则不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为______． 【变式3】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，点的坐标为，过点作轴，垂足为，． (1)求点坐标和反比例函数关系式； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积。 【中考链接】如图，直线与双曲线交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在x轴上，，求点P的坐标． 题型04 反比例函数的实际应用 【典例1】某电路图如图1所示．结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（　　） A．最大电流是36A B．最大电流是27A C．最小电流是36A D．最小电流是27A 【变式1】中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律，十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为，频率为，选取组数对，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【变式3】蓄电池电压为定值，使用此电源时，电流（安）与电阻（欧）之间关系图象如图所示，若点在图象上，当电流为安时电阻为________欧． 【中考链接】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． A组·基础过关 1．已知点，则下列各点与点A在同一反比例函数图像上的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为______． 3．已知点，点，点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（ ） A． B． C．6 D．12 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数关系式； (2)连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． B组·能力提升 6．对于反比例函数，下列结论中错误的是（ ） A．该函数的图象与坐标轴无交点 B．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 C．若点在该函数的图象上，则 D．满足的的取值范围为 7．如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 8．如图，点在反比例函数的图象上，且轴于点，连接，则下列说法错误的是（ ） A．点到轴的距离为1 B．当时，随的增大而减小 C．点也在反比例函数的图象上 D． 9．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8；②点C的坐标为；③当时，． 其中结论正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流（单位：）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A．最大电流是 B．最大电流是 C．最小电流是 D．最小电流是 C组·拓展延伸 11．如图，在第一象限内，点A，B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，轴，轴，若，，则k的值为（ ） A．18 B．21 C．24 D．27 12．已知点、、、是函数图像上的点，且，则的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 13．函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．如下结论中不正确的是（ ） A．与的面积相等 B．与始终相等 C．四边形的面积大小不会发生变化 D． 14．如图，已知点在直线上，双曲线经过点A． (1)求双曲线的函数表达式； (2)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围； (3)点B在线段上（不与A点重合），将点A绕着点B顺时针旋转得到点C，当点C恰好落在双曲线上时，求点C的坐标． 15．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数复习讲义 教学目标 1.理解反比例函数的概念，研究其图象（双曲线）和性质（增减性）； 2.掌握利用待定系数法求反比例函数解析式的方法； 3.运用反比例函数分析和解决实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）反比例函数的图象与性质； （2）待定系数法求反比例函数解析式及系数k的几何意义； （3）反比例函数的实际应用。 2.难点 （1）反比例函数增减性的理解及跨象限比较函数值大小； （2）实际背景下的反比例函数建模与取值范围求解； （3）反比例函数与一次函数的综合问题。 知识点01 反比例函数的概念 1.反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数。 2.形式的变形 ①标准分式形式： ②隐含乘积形式： ③负指数幂形式： 知识点02 反比例函数的解析式 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法。由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式。 知识点03 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象与性质 对于反比例函数 (k为常数,k≠0) 当k>0时：象限：两支曲线分别位于第一、第三象限；增减性：在每一个象限内，y随x的增大而减小。 当k<0时：象限：两支曲线分别位于第二、第四象限；增减性：在每一个象限内，y随x的增大而增大。 注意：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号 2.反比例函数k的几何意义 ①反比例函数 (k≠0)双曲线上的点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积等于。 ②反比例函数 (k≠0)双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为。 3.正比例函数与反比例函数的性质比较 　 正比例函数 反比例函数 解析式 (k≠0) 图 象 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线） 位 置 ，一、三象限； ，二、四象限 ，一、三象限 ，二、四象限 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而增大 知识点04 应用反比例函数解决实际问题 ①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。 ②列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。 题型01 确定反比例函数的解析式 【典例1】已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数k的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出的坐标是解题关键．根据对称性求出点的坐标，将点的坐标代入反比例函数解析式中即可求出结论． 【详解】解：∵与关于y轴对称， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，反比例函数的图像的一个分支上有一点A，平行于x轴，交y轴于点B，的面积是1，则反比例函数的表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的性质及三角形面积的计算；掌握利用坐标表示线段长度并结合面积公式求出的绝对值是解题的关键．通过设点A坐标，利用反比例函数性质得到，结合平行于轴确定点B坐标，再根据三角形面积公式求出，进而得到 ，确定反比例函数表达式． 【详解】设点A的坐标为，因为点A在反比例函数的图像上，所以满足，即， 由于平行于x轴且交y轴于点B，则点B与点A的纵坐标相同（均为b），且点B在y轴上（横坐标为0），因此点B的坐标为， 的三个顶点坐标分别为、、， 的长度为点A与点B的水平距离，即； 点O到的垂直距离为所在直线到原点的距离，即， 根据三角形面积公式，的面积为：面积底高， 化简得：， 由于，因此，即或， 反比例函数的表达式为或， 结合选项，因此最合理的表达式为． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与函数的图象交于点A，B．若，则k的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，待定系数法求解析式，掌握正比例函数与反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据反比例函数与正比例函数的图象关于原点对称，设，则，根据勾股定理求得的长度，根据，求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B两点， ∴设，则，， 则， ， ， 解得（负值舍去）， ， ， 故选A． 【变式3】若是反比例函数图象上一点，那么下列各点不在其图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象上点的坐标特征．先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再逐个选项判断即可． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式，得：， ∴反比例函数解析式为：． 当时，，故选项A不符合题意； 当时，，故选项B不符合题意； 当时，，故选项C不符合题意； 当时，，故选项D符合题意； 故选：D． 【中考链接】如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作轴于H，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，则，，即可得到点在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接， ∵原点为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上， ∴点在双曲线上， 又∵点E也在双曲线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选：A． 题型02 反比例函数的图象及性质 【典例1】如图，把函数和函数的图象画在同一平面直角坐标系中，则坐标系的原点可能是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据同一个自变量对应的函数值的大小即可判断出函数图象离横轴的距离． 【详解】解：∵当时，， ∴函数的图象比函数离横轴远，且都不与横轴相交， ∴坐标系的原点可能是点， 故选：D． 【变式1】点在函数图象上，下列说法正确的是（ ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，包括函数的增减性、对称性和点的坐标关系，解题的关键在于理解反比例函数的基本性质，特别是函数图像的分布特点和对称性，以及通过给定的点验证其他点是否满足函数关系，从而判断各选项的正确性．结合点在图象上的条件，逐一分析选项的正确性． 【详解】解：A、反比例函数，在每个象限内y随x的增大而增大，选项说法不正确，不符合题意； B、反比例函数，图象分布在第二、四象限，图象关于原点对称，选项说法不正确，不符合题意； C、点在函数图象上，所以点和点都在图象上，选项说法正确，符合题意； D、当时，，选项说法不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】关于反比例函数下列说法不正确的是（ ） A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是掌握反比例函数图象的性质并熟练运用． 根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】解：反比例函数，， 图象位于第一、三象限， A选项是正确的，不符合题意； 根据反比例函数的图象可知，图象与坐标轴无交点， C选项是正确的，不符合题意； 对于B：当时，， 增大，减小， 随的增大而减小，故B是错误的，符合题意； 对于D：若点在图象上，则，代入点，有， ，成立，故D是正确的，不符合题意． 故选：B． 【变式3】在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点作轴，分别交反比例函数，的图像于点，．则下列说法错误的是（ ） A．若点A的横坐标为2，则点C的纵坐标为 B．若，则 C．若，则的图像关于轴对称 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质及点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图像与性质． 根据反比例函数的图像与性质逐项判断即可． 【详解】解：A．将代入得， ∴点C的坐标为， 故A正确； B．由题意可知， ， ， ， ， 故B错误； C．若，则， ∴的图象关于x轴对称，故C正确； D．当时，， ∵反比例函数的函数值随的增大而增大， ∴当时，，故D正确． 故选：B． 【中考链接】已知点，点，点都在反比例函数的图象上，则，，的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数的性质直接判断． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∵， ∴函数图象在一三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵， ∴． 题型03 反比例函数与一次函数综合 【典例1】如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．先把P点的纵坐标代入一次函数中可确定P点坐标，然后把P点坐标代入双曲线中可计算出k的值． 【详解】解：∵， ∴P点的纵坐标为2， 把代入得， 所以P点坐标为， 把代入得， 解得． 故k的值为． 故选：D． 【变式1】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，，则不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查利用函数图像解不等式，将函数值的大小关系转化为图像的上下关系即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴图像在的上方， ∴图像在交点A的左侧和y轴于点B之间， 即或． 故选：C． 【变式2】如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数系数的几何意义，设点坐标为，用表示的坐标，再根据两点距离公式与已知，便可得的方程． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点、， 则， 设点坐标为， ∵点分别是直线与的交点， 当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 则， 解得，， ， ， 故答案为：5． 【变式3】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，点的坐标为，过点作轴，垂足为，． (1)求点坐标和反比例函数关系式； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积。 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理，待定系数法求反比例解析式及一次函数解析式，利用割补法求三角形面积．（1）由，设，则，在中，根据勾股定理列出关于的方程，可得到的值，进而得到的坐标，把的坐标代入即可确定出解析式；（2）把的横坐标代入（1）中求出的反比例解析式，确定的坐标，把和的坐标代入即可确定解析式；（3）令解析式中求出的值，进而得到的长，而把分为两个三角形，底边都为，高为和到轴的距离，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：（1）由，设，则，又， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得或（舍去）， 所以，， 则的坐标为， 把的坐标代入反比例解析式得：， 则反比例函数的解析式为； （2）（2）把的横坐标代入反比例解析式得：， 所以的坐标为，又 ， 将和的坐标代入解析式得：， 解得：， 则一次函数解析式为：； （3）令，解得，即， 则 ． 【中考链接】如图，直线与双曲线交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在x轴上，，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵双曲线经过点，， ∴， ∴， ∴，反比例函数解析式为：， ∵直线经过点，点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵点P在x轴上，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 题型04 反比例函数的实际应用 【典例1】某电路图如图1所示．结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（　　） A．最大电流是36A B．最大电流是27A C．最小电流是36A D．最小电流是27A 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入求得I的值即可． 【详解】根据电压电流电阻，设， 将点代入得，解得， ； 若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是， 故选A． 【变式1】中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律，十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为，频率为，选取组数对，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，即，根据反比例函数的图象即可得到答案． 【详解】解：∵十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为x，频率为y， ∴， 即， 根据反比例函数的图象可知，只有选项D符合题意． 【变式2】如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，设，过四个点作坐标轴的垂线，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，依题意得：，，，分别为1班、2班、3班、4班的优秀人数．于是得到结论． 【详解】解：设， 分别过四个点作坐标轴的垂线， 则与原点围成的矩形面积即为，也就是优秀人数， 由矩形面积可得， 即：4班优秀人数1班优秀人数3班优秀人数2班优秀人数， 故选：D． 【变式3】蓄电池电压为定值，使用此电源时，电流（安）与电阻（欧）之间关系图象如图所示，若点在图象上，当电流为安时电阻为________欧． 【答案】 【分析】设反比例函数图象设解析式为I= ，根据反比例函数图象经过点（3，12），利用待定系数法求解反比例函数的解析式，再把I=2安代入求得R的值即可.. 【详解】解：设反比例函数图象设解析式为I= ， 由图得，反比例函数上一点坐标为（3，12）代入I=， ∴12= 解得k=36，又题中实际意义需R＞0． ∴I= （R＞0）． 把I=2安代入得，2=， 解得R=18欧． 故答案为18． 【中考链接】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】（1）20；（2）能，见解析 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值 （2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论 【详解】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上， ∴， ∴．将x=45代入 将x=45代入得： 点对应的指标值为． （2）设直线的解析式为，将、代入中， 得，解得． ∴直线的解析式为． 由题得，解得． ∵， ∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. A组·基础过关 1．已知点，则下列各点与点A在同一反比例函数图像上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标的关系，应该满足函数解析式，即点的横纵坐标的积等于比例系数k，把各个点代入检验即可． 【详解】解：∵，，，， ∴只有A选项和点在同一反比例函数图像上． 故选：A． 2．如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，点坐标特点等．根据题意利用反比例函数点坐标分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴， ∴点的横坐标等于点的横坐标等于，点的纵坐标大于点的纵坐标， ∵点在反比例函数和的图象之间，点在反比例函数上， ∴点的纵坐标小于时，的值，即点的纵坐标小于， ∴符合条件的点的横坐标为2，纵坐标大于1小于即可， 故答案为：（答案不唯一）． 3．已知点，点，点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质． 将点，点，点分别代入反比例函数，求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】解：点，点，点在反比例函数的图象上， ，，， ， ． 故选：． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（ ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，设点A的坐标为，则，，，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得． 【详解】解：设点A的坐标为，则，，， ∵是的中位线， ∴，， ∵的面积为3，， ∴，即， ∴， 故选：A． 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数关系式； (2)连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数解析式为； (2)点的坐标为或 【分析】本题考查的知识点是反比例与几何综合，待定系数法求函数解析式，解题关键是正确利用待定系数法求出对应的函数解析式． （1）把点坐标代入反比例函数解析式中可求出的值，把点和点代入一次函数解析式中可求出和的值即可得到一次函数解析式； （2）根据一次函数解析式求出点坐标，再根据求出点的纵坐标即可得解． 【详解】（1）解：把点代入得， 反比例函数解析式为， 把点，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：对于，当时，， ， ， ， ， ， ， ， 为反比例函数图象上一点， 点的坐标为或． B组·能力提升 6．对于反比例函数，下列结论中错误的是（ ） A．该函数的图象与坐标轴无交点 B．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 C．若点在该函数的图象上，则 D．满足的的取值范围为 【答案】C 【分析】根据可判断A正确；根据可得B正确；根据解方程求出的值，可得C错误；结合函数图象即可得D正确． 【详解】解：对于反比例函数，， ∴该函数的图象与坐标轴无交点，则选项A正确； 若点在该函数的图象上，则， ∴， ∴点也在该函数的图象上，则选项B正确； ∵点在该函数的图象上， ∴， 解得或，则选项C错误； 对于反比例函数， 当时，， 当时，，且随的增大而减小， 令，则， ∴结合函数图象可知，满足的的取值范围为，则选项D正确． 7．如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．设，即可求出点A，点B的坐标从而求出面积． 【详解】解： P在反比例函数图象上， 设， 点A，点B在反比例函数图象上， 过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B， ， ， ． 故选C． 8．如图，点在反比例函数的图象上，且轴于点，连接，则下列说法错误的是（ ） A．点到轴的距离为1 B．当时，随的增大而减小 C．点也在反比例函数的图象上 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，反比例函数的几何意义，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据，即可判断A选项，根据反比例函数的图象即可判断B选项，求得，进而判断C选项，根据k的几何意义，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解∶A、点在反比例函数的图象上， ，解得，经检验得是原方程的解， ． 点到轴的距离为1，故该选项正确，不符合题意； B、根据函数图象，可知，当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； C．当时，，则点也在反比例函数，上的图象上，故该选项正确，不符合题意； D． ，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 9．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8；②点C的坐标为；③当时，． 其中结论正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，再根据图象法判断③即可． 【详解】解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点， ∴， ∴；故①正确； 联立， 解得或（舍去）； ∴点的坐标为，故②正确； 由图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 即，故③错误； ∴综上，结论正确的个数是2个． 故选：C． 10．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流（单位：）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A．最大电流是 B．最大电流是 C．最小电流是 D．最小电流是 【答案】A 【分析】可设，将点代入函数解析式，即可求得的值，再代入求的值，最后根据增减性判断最值． 【详解】解：由图象可知，符合反比例函数， 设函数解析式为， 将点代入得， 解得：， ∴该函数解析式为． 若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的最大电流是． 故选：A． C组·拓展延伸 11．如图，在第一象限内，点A，B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，轴，轴，若，，则k的值为（ ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】D 【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征用函数的代数式表示出来，并找出点、的坐标，根据题意即可得出， ，解方程组即可得出结论； 【详解】解：设， 在反比例函数的图象上， ， 轴，且点在反比例函数的图象上， ，． 轴， ，， 又，， ， 解得或（舍去）， 故选：． 12．已知点、、、是函数图像上的点，且，则的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再将、、代入解析式，得到的大小关系． 【详解】将代入反比例函数， ， 解得， 所以反比例函数解析式为， ， ， ， 故选：C． 13．函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．如下结论中不正确的是（ ） A．与的面积相等 B．与始终相等 C．四边形的面积大小不会发生变化 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出各点的坐标是关键． 根据反比例函数系数的几何意义，可知，，代入即可判断选项、，设，则，，，可得，，，由此可判断选项、． 【详解】解：、点、是反比例函数的图象上的点，，故选项正确； 、设，则，，，则，，令，即，解得（负值舍去），故当点横坐标为时，与才相等，故选项错误； 、因为是反比例函数的图象上一动点，所以，故，故选项正确； 、设，则，，则，，所以，故选项正确； 故选：． 14．如图，已知点在直线上，双曲线经过点A． (1)求双曲线的函数表达式； (2)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围； (3)点B在线段上（不与A点重合），将点A绕着点B顺时针旋转得到点C，当点C恰好落在双曲线上时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象确定函数值的取值范围，全等三角形的判定和性质，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）把代入可得，即；把代入求得k的值即可解答； （2）先求出两函数图象交点的纵坐标，然后根据函数图象即可解答； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，，可得，则设点，，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值，继而得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 把代入得， 双曲线的函数表达式为； （2）直线与双曲线交于点， ∴ 另一个交点为， ∵ 点分别在直线和双曲线上， 观察图象， 当时，或； （3）解：如图 ，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， ∵ 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， ∴ 点， ∵ 点在反比例函数图象上， ， 解得（舍去）， ， ∴ 点． 15．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)和 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键： （1）联立解析式，进行求解即可； （2）作点的关于轴的对称点，连接，得到当点在线段上时，的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分点在点左侧和点在点右侧，两种方法进行求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）作点的关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为，将点，代入， 得：，解得：，， ∴直线的解析式为，使直线与轴的交点为， ∴当点的坐标为时，有最小值，此时的周长最小． （3）设点坐标为， ①如图2，当点在点左侧时，过点作轴垂线，垂足为点， 过点作轴的垂线，与相交于点，则：，点的横坐标为3， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点坐标为； ②如图3，当点在点右侧时，过点，作轴的平行线与过点作轴的垂线交于点，； 同理可证：，可得：， 即：，解得：． ∴点坐标为； 综上所述：点坐标为和．11．如图，在第一象限内，点A，B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，轴，轴，若，，则k的值为（ ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】D 【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征用函数的代数式表示出来，并找出点、的坐标，根据题意即可得出， ，解方程组即可得出结论； 【详解】解：设， 在反比例函数的图象上， ， 轴，且点在反比例函数的图象上， ，． 轴， ，， 又，， ， 解得或（舍去）， 故选：． 12．已知点、、、是函数图像上的点，且，则的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再将、、代入解析式，得到的大小关系． 【详解】将代入反比例函数， ， 解得， 所以反比例函数解析式为， ， ， ， 故选：C． 13．函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．如下结论中不正确的是（ ） A．与的面积相等 B．与始终相等 C．四边形的面积大小不会发生变化 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出各点的坐标是关键． 根据反比例函数系数的几何意义，可知，，代入即可判断选项、，设，则，，，可得，，，由此可判断选项、． 【详解】解：、点、是反比例函数的图象上的点，，故选项正确； 、设，则，，，则，，令，即，解得（负值舍去），故当点横坐标为时，与才相等，故选项错误； 、因为是反比例函数的图象上一动点，所以，故，故选项正确； 、设，则，，则，，所以，故选项正确； 故选：． 14．如图，已知点在直线上，双曲线经过点A． (1)求双曲线的函数表达式； (2)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围； (3)点B在线段上（不与A点重合），将点A绕着点B顺时针旋转得到点C，当点C恰好落在双曲线上时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象确定函数值的取值范围，全等三角形的判定和性质，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）把代入可得，即；把代入求得k的值即可解答； （2）先求出两函数图象交点的纵坐标，然后根据函数图象即可解答； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，，可得，则设点，，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值，继而得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 把代入得， 双曲线的函数表达式为； （2）直线与双曲线交于点， ∴ 另一个交点为， ∵ 点分别在直线和双曲线上， 观察图象， 当时，或； （3）解：如图 ，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， ∵ 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， ∴ 点， ∵ 点在反比例函数图象上， ， 解得（舍去）， ， ∴ 点． 15．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)和 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键： （1）联立解析式，进行求解即可； （2）作点的关于轴的对称点，连接，得到当点在线段上时，的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分点在点左侧和点在点右侧，两种方法进行求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）作点的关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为，将点，代入， 得：，解得：，， ∴直线的解析式为，使直线与轴的交点为， ∴当点的坐标为时，有最小值，此时的周长最小． （3）设点坐标为， ①如图2，当点在点左侧时，过点作轴垂线，垂足为点， 过点作轴的垂线，与相交于点，则：，点的横坐标为3， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点坐标为； ②如图3，当点在点右侧时，过点，作轴的平行线与过点作轴的垂线交于点，； 同理可证：，可得：， 即：，解得：． ∴点坐标为； 综上所述：点坐标为和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $