2026—2027 学年人教版数学九年级上册期中测试（测试范围：第二十五章—二十七章）

**基本信息** 聚焦一元二次方程、函数等核心知识，结合GDP增长、真空压缩袋等现实情境，设置“理想方程”“不动点函数”等创新问题，梯度分明，检测数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|反比例函数定义、二次函数顶点与平移等|第3题以GDP增长考查增长率方程，体现模型意识| |填空题|6/18|抛物线对称轴、方程一般形式等|第15题无盖方盒制作，融合几何与方程应用| |解答题|8/72|函数探究、跨学科应用等|24题“不动点函数”定义，培养创新意识与推理能力|

2026—2027学年九上期中测试 考试范围：第二十五—二十七章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B B B A D C A D B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 1 12. 13. 14. ， 15. 16. 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 解得；（4分） （2）解： 或 解得．（8分） 18．（8分） 【答案】(1)证明：， 该方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）求出根的判别式即可证明结论成立； （2）先用因式分解法求出方程的根，再根据方程的两根都大于列不等式组求解即可． 【详解】（1）略；（4分） （2）解：由得， 或， ，． 方程的两根都大于， ， 解得， 的取值范围是．（8分） 19．（10分） 【答案】(1) (2)-2 (3) (4)答案不唯一：如函数图象与坐标轴无交点等 (5) 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，分母为，因此只需保证． （2）表格中对应时的函数值，将代入解析式计算即可． （3）该函数是反比例函数，图象为双曲线，分两步作图：①根据表格坐标描点；②用平滑曲线分别连接一、三象限内的点，注意图象无限靠近坐标轴但不与坐标轴相交． （4）反比例函数的常见性质：象限分布、增减性、对称性，任选一条即可． （5）正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称，若一个交点为，另一个交点为．先验证点在反比例函数上，再利用对称直接写出． 【详解】（1）解：函数是分式，分母不能为0， 自变量的取值范围是．（2分） （2）解：把代入， ， ．（4分） （3）解：根据表格给出的、、、、、、、、、在坐标系标出对应点； 用平滑曲线连接第三象限内所有负坐标点，得到第三象限分支；再用平滑曲线连接第一象限内所有正坐标点，得到第一象限分支； 双曲线两支分别在一、三象限，不与轴、轴相交．（6分） （4）解：示例1：图象分布在第一、第三象限； 示例2：在每个象限内，随的增大而减小； 示例3：图象关于原点中心对称； 示例4：函数图象与坐标轴无交点； 示例5：图象关于直线、轴对称． （写出任意一条即可）（8分） （5）解：将代入： ， 即， 正比例与反比例函数交点关于原点对称，点在点左侧， 坐标为．（10分） 20．（8分） 【答案】(1)①③ (2)①不安全，见解析；②平方米 【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的图象及其性质判断即可； （2）①根据，将数值代入判断即可； ②把代入函数解析式，再利用反比例函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：①当为定值时，越大，越小，且p与S是反比例函数关系， ∴函数图象符合规律，是正确的； ②当为定值时，越大，越大，且F与S是正比例函数关系， ∴函数图象不符合规律，是错误的； ③当为定值时，越大，越小，p与F是正比例函数关系， ∴函数图象符合规律，是正确的； 综上，正确的有①③；（4分） （2）解：①不安全，理由如下： 因为， 故不安全； ②把代入， 得， 根据（1）中的图象可知：当时，， 答：为了保证安全，这块薄木板的面积至少平方米．（8分） 21．（8分） 【答案】(1)反比例函数表达式为一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）将代入反比例函数求出，再求出的坐标，将、代入即可求解； （2）由得，即可求解； （3）由在上方的图象对应的函数值较大进行判断，即可求解． 【详解】（1）解：将代入反比例函数得： ， 解得， ， 将点的坐标代入反比例函数关系式得∶ ， 解得：， ， 将、代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为；（2分） （2）解：如图， ， ， ， 解得：， 对于一次函数，当时， ， 解得：， ， ， ， 解得：或1， 的坐标为或；（5分） （3）解：由图象得或．（8分） 22．（8分） 【答案】(1) (2)当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元 【分析】（1）根据“单价每涨1元，销量少2本”,用基础销量减去涨价减少的销量，列出一次函数； （2）单本利润=售价进价，总利润单本利润销量，得到二次函数；二次函数开口向下，对称轴左侧随增大而增大，结合售价上限，取时利润最大． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：．（4分） （2）解：， ，开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ， ∴当时，W最大， 此时（元）， 答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元．（8分） 23．（10分） 【答案】(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或；（3分） （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程；（6分） （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或．（10分） 24．（12分） 【答案】(1)② (2) (3)3 (4) 【分析】（1）根据不动点满足进行判断即可； （2）根据二次函数的性质得到顶点坐标为，再根据不动点的定义得到，即可得到答案； （3）根据题意画出图形，令，代入，得，即可得到答案． （4）根据不动点的定义得到，再由韦达定理得到，求出，再根据方程要有实数根，故，解得，故当时，的最小值，即可得到答案． 【详解】（1）解：不动点满足， ①令，无解，①不存在不动点； ②令，解得，②存在不动点，不动点为； ③令，即， 判别式，无解，③不存在不动点；（3分） （2）解：的顶点横坐标为， 纵坐标为， 即顶点坐标为， 是不动点，故， ；（6分） （3）解：当直线过点时，符合题意， 令， ， 则， 将代入，得， 解得（舍去）或； （9分） （4）解：不动点满足， ， 化简得：， ， ， 方程要有实数根，故， 解得， 二次函数的对称轴为，在时单调递增，故当时， 的最小值．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年九上期中测试 考试范围：第二十五—二十七章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断选项即可，反比例函数的定义为：形如，其中为常数且的函数是反比例函数． 【详解】解：选项A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故A错误； 选项B、符合反比例函数定义，常数，故B正确； 选项C、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故C错误； 选项D、未说明，当时不是反比例函数，故D错误． 2．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线顶点坐标为． 3．临海市2023年总值约为892亿元，2025年总值约为1018亿元，设2023年至2025年底的临海市年平均增长率为x，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵2023年总值为亿元，年平均增长率为， ∴2024年的总值为亿元， ∴2025年的总值为亿元． 又∵2025年总值为亿元， ∴可列方程． 4．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 5．已知反比例函数点，在图象上，则、大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的图像性质解题．先根据判断反比例函数图象所在象限，再根据两点横坐标判断点所在象限，通过和的正负比较大小． 【详解】解： 反比例函数 ， 该反比例函数的图象分布在第二、四象限． 点 的横坐标 ， 点 在第二象限，得 ． 点 的横坐标 ， 点 在第四象限，得 ． ． 6．关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 【答案】D 【分析】先计算根的判别式判断根的个数，再根据两根之积的符号判断根的符号，即可得到结论． 【详解】∵对于一元二次方程，，，， ∴根的判别式， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根为，，由根与系数的关系得， ∴方程的两根异号， ∴方程有两个不相等的异号实数根． 7．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法可求出，再求出时，V的值即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴， 当时，， ∴当压缩后密度是时，其体积是． 8．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 9．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 10．如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先根据抛物线开口、对称轴、与y轴交点判定、、正负，判断①；利用抛物线对称性得到，结合点横坐标范围判断②；由顶点纵坐标公式变形推导验证等式判断③；计算两点到对称轴距离并作差比较远近，结合开口方向判断函数值大小得④；由推出，代入抛物线得到与、关系式，再借助韦达定理验证方程两根之和判断⑤，最后统计正确结论个数选出答案。 【详解】解：由二次函数图象可得： 抛物线开口向下， ； 顶点坐标为，则对称轴为直线， 由对称轴公式， 整理得，结合，得 ； 抛物线与轴交于正半轴， ； 抛物线与轴正半轴交点满足． ， ， 故①错误 根据二次函数轴对称性质：对称轴为，则 将代入解析式： 把代入化简： ，说明直线在交点左侧，此位置抛物线图象在轴上方 ，即 故②错误 ∵顶点坐标为， ∴ 故③正确 抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大． 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 平方作差比较距离大小： ， ， 即，得 点离对称轴更近，， 故④正确 由得，由得 ， ，即， 将代入抛物线解析式： ， 设一元二次方程的两根为，由韦达定理： ， 将代入： ， 故⑤正确 综上所述正确结论一共有3个． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．抛物线的对称轴为直线________． 【答案】1 【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线． 12．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴. 13．若点，都在反比例函数上，且，则，的大小关系是______（用“”连接）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限，再结合判断两点所在象限，根据象限内点的坐标特征比较和的大小. 【详解】解：对于反比例函数， ， 函数图象的两个分支分别位于第二象限和第四象限， ， 点在第二象限，可得， ， 点在第四象限，可得， ，即． 14．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 15．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 16．如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 【答案】 【分析】设直线与轴交于点，先求出，，继而可得，则，设，表示出，，再将点代入反比例函数表达式解方程即可． 【详解】解：设直线与轴交于点 对于一次函数，当时，； 当时，，解得 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵与轴垂直， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得，， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴ 整理得， 解得或（舍） ∴． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 解得；（4分） （2）解： 或 解得．（8分） 18．（8分）设是实数，已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 【答案】(1)证明：， 该方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）求出根的判别式即可证明结论成立； （2）先用因式分解法求出方程的根，再根据方程的两根都大于列不等式组求解即可． 【详解】（1）略；（4分） （2）解：由得， 或， ，． 方程的两根都大于， ， 解得， 的取值范围是．（8分） 19．（10分）小明在自主探究活动中遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质． 下面是小明根据学习函数的经验，对问题进行探究的过程，请你帮助小明补充完整． (1)函数自变量的取值范围是__________； (2)小明取了几组的值，并求出了相对应的值，填写在下表中， … 1 2 3 4 5 … … 6 3 2 … 那么，__________； (3)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (4)写出此函数一条性质： ________________________________________________________________________________________； (5)正比例函数与相交于点，（点在点的左侧），已知点，直接写出点的坐标__________． 【答案】(1) (2)-2 (3) (4)答案不唯一：如函数图象与坐标轴无交点等 (5) 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，分母为，因此只需保证． （2）表格中对应时的函数值，将代入解析式计算即可． （3）该函数是反比例函数，图象为双曲线，分两步作图：①根据表格坐标描点；②用平滑曲线分别连接一、三象限内的点，注意图象无限靠近坐标轴但不与坐标轴相交． （4）反比例函数的常见性质：象限分布、增减性、对称性，任选一条即可． （5）正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称，若一个交点为，另一个交点为．先验证点在反比例函数上，再利用对称直接写出． 【详解】（1）解：函数是分式，分母不能为0， 自变量的取值范围是．（2分） （2）解：把代入， ， ．（4分） （3）解：根据表格给出的、、、、、、、、、在坐标系标出对应点； 用平滑曲线连接第三象限内所有负坐标点，得到第三象限分支；再用平滑曲线连接第一象限内所有正坐标点，得到第一象限分支； 双曲线两支分别在一、三象限，不与轴、轴相交．（6分） （4）解：示例1：图象分布在第一、第三象限； 示例2：在每个象限内，随的增大而减小； 示例3：图象关于原点中心对称； 示例4：函数图象与坐标轴无交点； 示例5：图象关于直线、轴对称． （写出任意一条即可）（8分） （5）解：将代入： ， 即， 正比例与反比例函数交点关于原点对称，点在点左侧， 坐标为．（10分） 20．（8分）在物理中，压强p（）、压力F（N）、受力面积S（）满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有 ．（填写序号） (2)比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 【答案】(1)①③ (2)①不安全，见解析；②平方米 【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的图象及其性质判断即可； （2）①根据，将数值代入判断即可； ②把代入函数解析式，再利用反比例函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：①当为定值时，越大，越小，且p与S是反比例函数关系， ∴函数图象符合规律，是正确的； ②当为定值时，越大，越大，且F与S是正比例函数关系， ∴函数图象不符合规律，是错误的； ③当为定值时，越大，越小，p与F是正比例函数关系， ∴函数图象符合规律，是正确的； 综上，正确的有①③；（4分） （2）解：①不安全，理由如下： 因为， 故不安全； ②把代入， 得， 根据（1）中的图象可知：当时，， 答：为了保证安全，这块薄木板的面积至少平方米．（8分） 21．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点在轴上，连接，，若，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出满足的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数表达式为一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）将代入反比例函数求出，再求出的坐标，将、代入即可求解； （2）由得，即可求解； （3）由在上方的图象对应的函数值较大进行判断，即可求解． 【详解】（1）解：将代入反比例函数得： ， 解得， ， 将点的坐标代入反比例函数关系式得∶ ， 解得：， ， 将、代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为；（2分） （2）解：如图， ， ， ， 解得：， 对于一次函数，当时， ， 解得：， ， ， ， 解得：或1， 的坐标为或；（5分） （3）解：由图象得或．（8分） 22．（8分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元 【分析】（1）根据“单价每涨1元，销量少2本”,用基础销量减去涨价减少的销量，列出一次函数； （2）单本利润=售价进价，总利润单本利润销量，得到二次函数；二次函数开口向下，对称轴左侧随增大而增大，结合售价上限，取时利润最大． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：．（4分） （2）解：， ，开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ， ∴当时，W最大， 此时（元）， 答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元．（8分） 23．（10分）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或；（3分） （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程；（6分） （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或．（10分） 24．（12分）对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的因变量，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点． (1)下列函数的图象上存在不动点的是 ； ①；②；③ (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求、满足的关系式； (3)已知二次函数，直线，将该二次函数在直线上方的图象沿直线翻折到直线的下方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有个“不动点”，求实数的值． (4)若、是函数的两个不动点的横坐标（两不动点可以相等），求的最小值． 【答案】(1)② (2) (3)3 (4) 【分析】（1）根据不动点满足进行判断即可； （2）根据二次函数的性质得到顶点坐标为，再根据不动点的定义得到，即可得到答案； （3）根据题意画出图形，令，代入，得，即可得到答案． （4）根据不动点的定义得到，再由韦达定理得到，求出，再根据方程要有实数根，故，解得，故当时，的最小值，即可得到答案． 【详解】（1）解：不动点满足， ①令，无解，①不存在不动点； ②令，解得，②存在不动点，不动点为； ③令，即， 判别式，无解，③不存在不动点；（3分） （2）解：的顶点横坐标为， 纵坐标为， 即顶点坐标为， 是不动点，故， ；（6分） （3）解：当直线过点时，符合题意， 令， ， 则， 将代入，得， 解得（舍去）或； （9分） （4）解：不动点满足， ， 化简得：， ， ， 方程要有实数根，故， 解得， 二次函数的对称轴为，在时单调递增，故当时， 的最小值．（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年九上期中测试 考试范围：第二十五—二十七章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．临海市2023年总值约为892亿元，2025年总值约为1018亿元，设2023年至2025年底的临海市年平均增长率为x，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数点，在图象上，则、大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 6．关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 7．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 8．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 9．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．抛物线的对称轴为直线________． 12．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 13．若点，都在反比例函数上，且，则，的大小关系是______（用“”连接）． 14．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 15．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 16．如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（8分）设是实数，已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 19．（10分）小明在自主探究活动中遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质． 下面是小明根据学习函数的经验，对问题进行探究的过程，请你帮助小明补充完整． (1)函数自变量的取值范围是__________； (2)小明取了几组的值，并求出了相对应的值，填写在下表中， … 1 2 3 4 5 … … 6 3 2 … 那么，__________； (3)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (4)写出此函数一条性质： ________________________________________________________________________________________； (5)正比例函数与相交于点，（点在点的左侧），已知点，直接写出点的坐标__________． 20．（8分）在物理中，压强p（）、压力F（N）、受力面积S（）满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有 ．（填写序号） (2)比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 21．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点在轴上，连接，，若，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出满足的x的取值范围． 22．（8分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 23．（10分）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 24．（12分）对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的因变量，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点． (1)下列函数的图象上存在不动点的是 ； ①；②；③ (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求、满足的关系式； (3)已知二次函数，直线，将该二次函数在直线上方的图象沿直线翻折到直线的下方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有个“不动点”，求实数的值． (4)若、是函数的两个不动点的横坐标（两不动点可以相等），求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年九上期中测试 考试范围：第二十五—二十七章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．临海市2023年总值约为892亿元，2025年总值约为1018亿元，设2023年至2025年底的临海市年平均增长率为x，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数点，在图象上，则、大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 6．关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 7．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 8．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 9．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．抛物线的对称轴为直线________． 12．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 13．若点，都在反比例函数上，且，则，的大小关系是______（用“”连接）． 14．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 15．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 16．如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（8分）设是实数，已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 19．（10分）小明在自主探究活动中遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质． 下面是小明根据学习函数的经验，对问题进行探究的过程，请你帮助小明补充完整． (1)函数自变量的取值范围是__________； (2)小明取了几组的值，并求出了相对应的值，填写在下表中， … 1 2 3 4 5 … … 6 3 2 … 那么，__________； (3)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (4)写出此函数一条性质： ________________________________________________________________________________________； (5)正比例函数与相交于点，（点在点的左侧），已知点，直接写出点的坐标__________． 20．（8分）在物理中，压强p（）、压力F（N）、受力面积S（）满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有 ．（填写序号） (2)比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 21．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点在轴上，连接，，若，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出满足的x的取值范围． 22．（8分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 23．（10分）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 24．（12分）对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的因变量，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点． (1)下列函数的图象上存在不动点的是 ； ①；②；③ (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求、满足的关系式； (3)已知二次函数，直线，将该二次函数在直线上方的图象沿直线翻折到直线的下方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有个“不动点”，求实数的值． (4)若、是函数的两个不动点的横坐标（两不动点可以相等），求的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $