2025-2026学年北师大版数学九年级上册第三次月考模拟试卷（B）卷

2025年秋季学期第三次月考模拟试卷（B）卷 九年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：九年级上册全册【北师大版】 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．某积木零件如图所示，则它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图，掌握知识点是解题的关键． 根据三视图的定义，逐个分析判断即可． 【详解】 解：该图形的左视图为． 故选D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的性质，由已知条件可得的值，再代入所求表达式化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．等腰三角形一边长为4，另一边是方程的根，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．6或10 B．8 C．10 D．8或10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，先解方程得到根，排除负根，得到正根为2，等腰三角形一边为4，另一边为2，分情况讨论哪两边相等，并验证是否符合三角形三边关系，只有腰为4、底为2的情况成立，计算周长即可． 【详解】解：由方程得：或， ∵三角形边长必须为正， ∴取，即另一边长为2， ∴等腰三角形一边为4，另一边为2， 若腰为4，底为2，则三边为4、4、2， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时三角形的周长为：， 若腰为2，底为4，则三边为2、2、4， ∵，不满足三角形三边关系， ∴2、2、4三边不能构成三角形； 综上，这个等腰三角形的周长为10． 故选：C． 4．大自然是美的设计师，即使是一片小小的银杏叶，也蕴含着最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为）．如图，银杏叶主脉可看作线段，P是黄金分割点（），若这片银杏叶主脉的长度为，则的长约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割的定义，理解黄金分割的定义是解题的关键．先根据黄金分割的定义确定与的数量关系 ，再代入的长度计算的长度即可求解． 【详解】解：由黄金分割的定义 知：， ， 故选：A． 5．一个不透明的盒子中有9个黄球和个红球，这些球除颜色外完全相同，从盒中任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子摇匀，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计该盒子中红球的个数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据频率估计概率，通过概率计算数量，通过概率公式列出方程是解题关键．根据频率稳定在概率附近，摸到黄球的概率等于黄球数量与总球数的比值，据此建立方程求解． 【详解】解：∵摸到黄球的频率稳定在， ∴摸到黄球的概率为， ∴， 即， 两边同时乘以 ， ， ， ， ， ∴， 经检验是原方程的根， 故红球个数为3． 故选：A． 6．已知方程的两根分别是、，则的值为（   ） A． B． C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论． 本题考查了根与系数的关系以及代数式求值，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：方程的两根分别是、， ，， 故选：D. 7．如图，菱形的两条对角线相交于点，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题关键．由菱形的性质得到，，，再利用勾股定理求出，即可得到的长． 【详解】解：菱形的两条对角线相交于点，， ，，， 在中，， ， 故选：C． 8．下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查特殊四边形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定条件是解题关键，注意对角线相等的四边形不一定是矩形． 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵ A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确； ∵ B：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故错误； ∵ C：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确； ∵ D：顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，正确； ∴ 不正确的是B． 故选：B． 9．如图，，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是掌握平行线分线段成比例定理并能运用来求解． 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，在平行四边形中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接．若，则四边形的面积为（    ） A．24 B． C． D．48 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．根据平行四边形和垂直平分线的性质，得到，再结合全等三角形的性质，可证四边形是菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ， 是的垂直平分线， ，，，， ， ， ， ， 又，， ， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形的面积， 故选：B． 11．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，设点D的坐标为：，则，可得，再根据，再建立方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵四边形为矩形，的中点为D， ∴设点D的坐标为：，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 12．我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度．比如，通过下列步骤可测量山的高度（如图）： （1）测量者在水平线上的处竖立一根竹竿，沿射线方向走到处，测得山顶、竹竿顶端及在一条直线上； （2）将该竹竿竖立在射线上的处，沿原方向继续走到处，测得山顶、竹竿顶端及在一条直线上； （3）设竹竿与，的长分别为，，，可得公式：． 则上述公式中，表示的是（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质． 根据相似三角形的判定与性质证明，经过计算即可得出答案． 【详解】解：如图： 由题意可得：， 四边形，四边形，四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．2025年是中国人民抗日战争胜利80周年，如图为中国人民银行发行的抗战80周年纪念币，兴趣小组做抛掷纪念币的试验获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 499 利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．直接利用频率估计概率即可得． 【详解】解：，，，，， 由此可知，抛掷一枚该纪念币正面朝上的稳定在附近， 所以可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为， 故答案为：． 14．如图是西周丞相周公旦设置的一种以测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．其表在圭上形成的投影属于 投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】平行 【分析】本题考查视图与投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影． 【详解】解：太阳光线下形成的投影是平行投影． 故答案为：平行． 15．如图，已知和是以点为位似中心，位似比为的位似图形，若点的对应点的横坐标为，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换的性质、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出是解题的关键． 设点横坐标为，过作轴于点，过作轴于点N，根据平行线分线段成比例定理得到，根据相似三角形的性质求出，计算即可． 【详解】设点横坐标为，如图，过作轴于点，过作轴于点N ， ， ， ∵和是位似比为的位似图形， 即， 解得， 点横坐标为． 16．如图，在矩形中，，为上一点，且，为的中点，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，由矩形的性质可得，即得，又由直角三角形的性质得，即得，即可判定①；由得是等边三角形，即得，再根据等腰三角形的性质可得，得到，即可判定②；由矩形的性质得，，即可判定③；设，则，利用勾股定理可得，得到，即得到，又可得，即可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，为的中点， ∴， ∴，故①正确； ②由①可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分，故②正确； ③∵，， ∴，故③错误； ④设，则， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的序号是①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．（12分）（1）解方程：      ． （2）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：    第一步 ，    第二步 ，    第三步 ，    第四步 ，        第五步 ．        第六步 ①任务一：以上运算步骤中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______； ②任务二：请写出正确的解答过程． 【答案】（1）；， ；(2) ①四；去括号时符号错误；②见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次方程和解一元一次不等式的解法，能正确求解． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程即可；利用因式分解法解方程即可； （2）①一元一次不等式的去分母步骤，其理论依据是不等式的基本性质，对每一步的运算进行规则校验，尤其是去括号的“符号法则”； ②通过解一元一次不等式得到这个不等式组正确的解集 ． 【详解】解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 整理得 或 解得，． （2） 去分母，得 整理，得 去括号，得 移项、合并同类项，得，    系数化为1，得 小颖的解答过程中，第四步开始出现了错误，产生错误的原因是去括号时符号错误； 故答案为：四，去括号时符号错误． 18．（10分）如图，已知，、分别是、边上的中点，于点，点在的延长线上，，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 根据中位线的性质证得，结合，证得四边形是平行四边形，根据，从而得出结论； 在中，证得、，进而证得和，过点作于点，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：D、分别是、边上的中点， 是的中位线， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解： 在中，， 、 点是的中点， 过点作于点 在中，， 在中，， 由勾股定理得，． 19．（10分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求概率，用树状图（列表）求概率， 对于（1），用概率公式计算即可； 对于（2），列表得出所有结果，再根据概率公式得出答案． 【详解】（1）解：一共有4种手工艺品的图片，青神竹编有1种， 所以恰好选中青神竹编的概率是； 故答案为：； （2）解： 第一次          第二次 A B C D A B C D 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有2种，所以两人恰好选中A和D的概率是． 20．（10分）如图，在中，，分别是边上两点，交的延长线于点F，连接，． (1)求证： (2)当，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、等边对等角、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，，利用平行线的性质得到，，再利用两角对应相等判定三角形相似即可证明； （2）利用相似三角形对应边成比例的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， ，， ， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 21．（10分）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)20万元 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及直接开平方法解一元二次方程、十字相乘法分解因式解一元二次方程等知识，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则，直接开平方求解即可得到答案； （2）设下调后每辆汽车降低万元，由等量关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则， ， 则或， 解得（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%； （2）解：设下调后每辆汽车降低万元， 则， 整理得， ， 则或， 解得， 此次销售尽量让利于顾客， 应取， （万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 22．（10分）光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度（Lux）．智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．某学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出关于的函数表达式； (2)若室内所需的照度为，则此时该智能玻璃的透明度为多少？ 【答案】(1) (2)此时该智能玻璃的透明度为 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，利用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）由“反比例函数”设，代入已知点求，即得表达式； （2）将照度（即）代入表达式，解方程得即可得出． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 把代入中，得， 解得， ∴关于的函数表达式为； （2）由题意可知：， 将代入，得， 解得， ∴此时该智能玻璃的透明度为． 23．（12分）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 24．（12分）阅读与思考． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，∴且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握各类求解方法是解题关键． （1）由题意得，推出或，即可求解； （2）两边同时平方得：，解得：，；结合且，即可求解． 【详解】（1）解： 因式分解，得   ∴或； 即：或 解得：，， （2）解：两边同时平方得：， 整理得：； 解得：， ∵且， ∴ ∴原方程的解为． 25．（12分）【新知定义】对于平面内的任意两点，在该平面内将其中一个点绕另一个点逆时针旋转后得到一个新点，则称新点为其中一个点关于另一个点的“逆垂点” 【新知探究】 如图，在正方形中，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． （1）如图1，若点与线段的中点重合，点是点关于点的逆垂点，则线段与线段的关系是_____； 【变式应用】 （2）如图2，点在正方形的边延长线上，连接，过点作交射线于点， ①求证：点是点关于点的逆垂点； ②猜想、、的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）点在射线上，点是点关于点的逆垂点，射线与射线交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）①见解析；②，理由见解析； （3） 【分析】本题考查了新定义“逆垂点”的应用、正方形的性质及几何变换中的全等与数量关系推导，解题的关键是结合“逆垂点”的旋转定义，利用正方形的边、角特征证明全等或推导数量关系． （1）根据“逆垂点”的旋转定义，结合正方形边长与对角线的关系，分析线段与的长度和垂直关系； （2）①通过证明（正方形中），验证是关于逆时针旋转得到的点；②结合正方形对角线的长度，推导、与的数量关系； （3）根据的条件，结合“逆垂点”的位置特征，利用相似或全等推导的值． 【详解】（1）． 设正方形的边长为，则． 根据“逆垂点”定义，点是点关于点逆时针旋转得到的点， 因此，且． 在中，，故． 由，，可得，因此，即． （2）①证明：四边形是正方形， ． ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， 点是点关于点的逆垂点； ② 证明：， ， 四边形是正方形， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ． （3）或 解：如图2延长交于点， 设， ， ， ， 四边形是正方形，即， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； 如图3当点在上时，延长交的延长线于点， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， 四边形是正方形， ，即， ， ， ， ， ； 综上所述： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期第三次月考模拟试卷（B）卷 九年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：九年级上册全册【北师大版】 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．某积木零件如图所示，则它的左视图是（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．等腰三角形一边长为4，另一边是方程的根，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．6或10 B．8 C．10 D．8或10 4．大自然是美的设计师，即使是一片小小的银杏叶，也蕴含着最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为）．如图，银杏叶主脉可看作线段，P是黄金分割点（），若这片银杏叶主脉的长度为，则的长约为（    ）． A． B． C． D． 5．一个不透明的盒子中有9个黄球和个红球，这些球除颜色外完全相同，从盒中任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子摇匀，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计该盒子中红球的个数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．已知方程的两根分别是、，则的值为（   ） A． B． C．7 D．8 7．如图，菱形的两条对角线相交于点，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 8．下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 9．如图，，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平行四边形中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接．若，则四边形的面积为（    ） A．24 B． C． D．48 11．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．2 12．我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度．比如，通过下列步骤可测量山的高度（如图）： （1）测量者在水平线上的处竖立一根竹竿，沿射线方向走到处，测得山顶、竹竿顶端及在一条直线上； （2）将该竹竿竖立在射线上的处，沿原方向继续走到处，测得山顶、竹竿顶端及在一条直线上； （3）设竹竿与，的长分别为，，，可得公式：． 则上述公式中，表示的是（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．2025年是中国人民抗日战争胜利80周年，如图为中国人民银行发行的抗战80周年纪念币，兴趣小组做抛掷纪念币的试验获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 499 利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为 ． 14．如图是西周丞相周公旦设置的一种以测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．其表在圭上形成的投影属于 投影．（填“中心”或“平行”） 15．如图，已知和是以点为位似中心，位似比为的位似图形，若点的对应点的横坐标为，则点的横坐标为 ． 16．如图，在矩形中，，为上一点，且，为的中点，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的序号是 ． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．（12分）（1）解方程：      ． （2）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：    第一步 ，    第二步 ，    第三步 ，    第四步 ，        第五步 ．        第六步 ①任务一：以上运算步骤中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______； ②任务二：请写出正确的解答过程． 18．（10分）如图，已知，、分别是、边上的中点，于点，点在的延长线上，，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，，求的长． 19．（10分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 20．（10分）如图，在中，，分别是边上两点，交的延长线于点F，连接，． (1)求证： (2)当，时，求的值． 21．（10分）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 22．（10分）光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度（Lux）．智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．某学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出关于的函数表达式； (2)若室内所需的照度为，则此时该智能玻璃的透明度为多少？ 23．（12分）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 24．（12分）阅读与思考． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，∴且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 25．（12分）【新知定义】对于平面内的任意两点，在该平面内将其中一个点绕另一个点逆时针旋转后得到一个新点，则称新点为其中一个点关于另一个点的“逆垂点” 【新知探究】 如图，在正方形中，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． （1）如图1，若点与线段的中点重合，点是点关于点的逆垂点，则线段与线段的关系是_____； 【变式应用】 （2）如图2，点在正方形的边延长线上，连接，过点作交射线于点， ①求证：点是点关于点的逆垂点； ②猜想、、的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）点在射线上，点是点关于点的逆垂点，射线与射线交于点，若，直接写出的值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025年秋季学期第三次月考模拟试卷(B)卷（评分参考） 九年级 数学 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 3 4 5 6 7 8 10 11 12 A C A A D B C B B 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13.0.5. 14.平行. 15.-y. 16.①②④ 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明) 17.(12分) 【详解】解：①2x-1)=3 去括号，得2x-2=3 移项，得2x=3+2 合并同类项，得2x=5 系数化为1，得x=(4分) ②x2-3x+2=0 整理得(x-1)(x-2)=0 .x-1=0或x-2=0 解得x1=1,X2=2.(8分) (2)9-②9≤-1 去分母，得3(x+3)-5(2x-5)≤-15 整理，得(3x+9)-(10x-25)≤-15 去括号，得3x+9-10x+25≤-15 移项、合并同类项，得-7x≤-49， 系数化为1，得x≥7 小颗的解答过程中，第四步开始出现了错误，产生错误的原因是去括号时符号错误： 试卷第1页，共3页 故答案为：四，去括号时符号错误.(12分) 18.(10分) 【详解】(1)证明：：D、G分别是AB、AC边上的中点， :DG是△ABC的中位线， ·DG‖CE,即DF‖CE, DF=EC, ·四边形DECF是平行四边形， :DE⊥BC, ·四边形DECF是矩形；(4分) (2)解：：DF=EC :EC=6 :DE⊥BC ∠DEB=90° 在Rt△BDE中，∠B=45°，DE=4 ·BE=4、BD=V42+42=42 :BC=BE+CE=4+6=10 :D点是AB的中点， :AB =2BD=82 过点A作AH⊥BC于点H D 在△AHB中，∠AHB=90°，∠B=45 BH=AH=AB:sin45°=8V2×号=8 :CH=BC-BH=10-8=2 在△AHC中，∠AHC=90°， 由勾股定理得，AC=V82+22=217.(10分) 试卷第1页，共3页 19.(10分) 【详解】(1)解：一共有4种手工艺品的图片，青神竹编有1种， 所以恰好选中青神竹编的概率是子； 故答案为：章：(4分) (2)解： 第一次 A B C D 第二次 40 (A,B) (A C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A (D,B) (D,c) 共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有2种，所以两人恰好选中A和D 的概率是最=言.(10分) 20.(10分) 【详解】(1)证明：：AB=AC,AD=FD, ÷∠B=∠C,∠DAF=∠F, AFIIBC, ·∠ADB=∠DAF,∠EDC=∠F, ·∠ADB=∠EDC, ·△ABD△ECD;(5分) (2)解：：DE:EF=1:2,AD=FD, :DE=2FD=青FD=青AD, 0=3, :△ABDM△ECD, …器=部=3， :CD=专BD=吉X6=2.(10分) 试卷第1页，共3页 21.(10分) 【详解】(1)解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x, 则30(1+x)2=36.3, (x+1)2=0=1.21, 则x+1=1.1或x+1=-1.1, 解得x1=0.1=10%2=-2.1（负值不符合题意，舍去)， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%；(5分) (2)解：设下调后每辆汽车降低a万元， 则(25-a-12)(8+2a)=144, 整理得a2-9a+20=0, ：(a-5)(a-4)=0, 则a-5=0或a-4=0, 解得a1=5,a2=4, :此次销售尽量让利于顾客， ÷a应取5， 425-a=25-5=20(万元)， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元.(10分) 22.(10分) 【详解】(1)解：设y关于x的函数表达式为y=会， 把(30,2000)代入y=奈中，得2000=斋， 解得k=60000 :关于x的函数表达式为y=,(5分) (2)由题意可知：y=4000, 将y=4000代入y=0,，得4000=000， 解得x=15, :此时该智能玻璃的透明度为15%.(10分) 23.(12分) 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： 试卷第1页，共3页 DEBC, ∠ACB=∠ADE,∠ABC=∠AED, .△ACBM△ADE, :船=脂，即=器， :DE的距离为5a,BC的距离为2a,BE之间的距离大约为27m, “架=高， AB 解得：AB=18, 经检验，AB=18是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米. 24.(12分) 【详解】(1)解：3x3+x2-2x=0 因式分解，得x(3x2+x-2)=0 ∴x=0或3x2+x-2=0; 即：x=0或(x+1)(x-号)=0 解得：=0，X2=-1,x3=号(6分) (2)解：两边同时平方得：4x+9=(x+1)2, 整理得：x2-2x-8=0; 解得：X1=-2,X2=4 :4x+9≥0且x+1≥0， x2-1 ∴.原方程的解为x=4.(12分) 25.(12分) 【详解】(1)BE=AC,BE⊥AC, 设正方形ABCD的边长为a,则AC=V2a: 根据“逆垂点”定义，点E是点B关于点A逆时针旋转90·得到的点， 因此AE=AB=a,且∠BAE=90°. 在△ABE中，BE=VAB2+AB2=Va2+a2=V2a,故BE=AC. 试卷第1页，共3页 由∠BAE=90°，∠BAC=45°，可得∠AEB=45°，因此∠APD=90°，即BE⊥AC.(3分) (2)①证明：：四边形ABCD是正方形， ·AD=DC,∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°. ÷∠DCN=180°-∠DCB=180°-90°=90°， ·∠BAD=∠DCN=90o. :DN⊥DM, ∠MDN=90o, ·∠ADC=∠MDN=90°， ·∠ADC-∠MDC=∠MDN-∠MDC, ÷∠ADM=∠CDN, :△DAM≌△DCN(ASA), :DM=DN, :DN⊥DM, ·点N是点M关于点D的逆垂点；(5分) ②BN-BM=V2AC 证明：：△DAM兰△DCN, :AM=CN, :四边形ABCD是正方形， ·AB=BC :BN-BM=BC+CN-BM=BC+AM-BM=BC+AC=2AB, :∠ABC=90°，AB=BC, ·由勾股定理得：AC=AB2+BC=V2AB2=V2AB, AAB=号AC, ÷BN-BM=V2AC.(7分) (3)哥或 解：如图2延长DC交MN于点G, 试卷第1页，共3页 D B G M FA 图2 设BC=CD=a, BN-BM=2AC=2x2AB=2AB =2a,BN=3BM, 2BM=2a·BM=a,BN=3a, ·CN=BN-BC=3a-a=2a, :四边形ABCD是正方形：DC‖AB,即CGIBM, ÷∠NCG=∠NBM, :∠CNG=∠BNM, :△NCG∽△NBM, “器=骺，即等=器， CG=号a, BMDG, :∠FBM=∠FDG, :∠F=∠F, ·△FBM∽△FDG, 器=器==昌，(9分) 如图3当点M在AB上时，延长NM交DA的延长线于点H, :四边形ABCD是正方形， ·AD=DC,∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°， M 图3 试卷第1页，共3页 ÷∠DCN=180°-∠DCB=180°-90°=90°， ·∠BAD=∠DCN=90°， :DN⊥DM, ÷∠MDN=90°， ·∠ADC=∠MDN=90°， ·∠ADC-∠MDC=∠MDN-∠MDC, ·∠ADM=∠CDN, ÷△DAM≌△DCN(ASA), ÷AM=CN, :BN+BM=BC+CN+AB-AM=2BC=2a; BN=3BM, :.4BM=2a,:BM=a,BN=a:.AM=BM=a, :四边形ABCD是正方形， ·AD BC,即HA‖BN, ∠H=∠MNB,:∠AMH=∠BMN,AM=BM, △HAM≌△NBM(AAS), HA=BN=a,:HD=HA+AD=号a十a=a, :∠HMA=∠BMN,∠AMH=∠BMN, ·△BFNM△DFH …器=器=程= 综上所述：器=(12分) 试卷第1页，共3页 2025年秋季学期第三次月考模拟试卷（B）卷 九年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：九年级上册全册【北师大版】 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．某积木零件如图所示，则它的左视图是（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．等腰三角形一边长为4，另一边是方程的根，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．6或10 B．8 C．10 D．8或10 4．大自然是美的设计师，即使是一片小小的银杏叶，也蕴含着最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为）．如图，银杏叶主脉可看作线段，P是黄金分割点（），若这片银杏叶主脉的长度为，则的长约为（    ）． A． B． C． D． 5．一个不透明的盒子中有9个黄球和个红球，这些球除颜色外完全相同，从盒中任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子摇匀，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计该盒子中红球的个数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．已知方程的两根分别是、，则的值为（   ） A． B． C．7 D．8 7．如图，菱形的两条对角线相交于点，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 8．下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 9．如图，，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平行四边形中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接．若，则四边形的面积为（    ） A．24 B． C． D．48 11．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．2 12．我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度．比如，通过下列步骤可测量山的高度（如图）： （1）测量者在水平线上的处竖立一根竹竿，沿射线方向走到处，测得山顶、竹竿顶端及在一条直线上； （2）将该竹竿竖立在射线上的处，沿原方向继续走到处，测得山顶、竹竿顶端及在一条直线上； （3）设竹竿与，的长分别为，，，可得公式：． 则上述公式中，表示的是（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．2025年是中国人民抗日战争胜利80周年，如图为中国人民银行发行的抗战80周年纪念币，兴趣小组做抛掷纪念币的试验获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 499 利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为 ． 14．如图是西周丞相周公旦设置的一种以测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．其表在圭上形成的投影属于 投影．（填“中心”或“平行”） 15．如图，已知和是以点为位似中心，位似比为的位似图形，若点的对应点的横坐标为，则点的横坐标为 ． 16．如图，在矩形中，，为上一点，且，为的中点，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的序号是 ． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．（12分）（1）解方程：      ． （2）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：    第一步 ，    第二步 ，    第三步 ，    第四步 ，        第五步 ．        第六步 ①任务一：以上运算步骤中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______； ②任务二：请写出正确的解答过程． 18．（10分）如图，已知，、分别是、边上的中点，于点，点在的延长线上，，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，，求的长． 19．（10分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 20．（10分）如图，在中，，分别是边上两点，交的延长线于点F，连接，． (1)求证： (2)当，时，求的值． 21．（10分）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 22．（10分）光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度（Lux）．智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．某学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出关于的函数表达式； (2)若室内所需的照度为，则此时该智能玻璃的透明度为多少？ 23．（12分）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 24．（12分）阅读与思考． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，∴且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 25．（12分）【新知定义】对于平面内的任意两点，在该平面内将其中一个点绕另一个点逆时针旋转后得到一个新点，则称新点为其中一个点关于另一个点的“逆垂点” 【新知探究】 如图，在正方形中，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． （1）如图1，若点与线段的中点重合，点是点关于点的逆垂点，则线段与线段的关系是_____； 【变式应用】 （2）如图2，点在正方形的边延长线上，连接，过点作交射线于点， ①求证：点是点关于点的逆垂点； ②猜想、、的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）点在射线上，点是点关于点的逆垂点，射线与射线交于点，若，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $