2026-2027学年人教版数学九年级上册月考综合检测卷（一元二次方程+二次函数）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，通过交通安全、打水漂游戏等生活情境设计，实现基础巩固与综合应用的梯度检测，适配九年级月考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数开口方向、方程解法、根的判别式|第5题结合表格数据估算方程根范围，培养数据分析能力| |填空题|6/24|函数性质、利润模型、换元法|第13题构建海产品销售利润函数，体现模型观念| |解答题|6/66|方程求解、函数应用、几何综合|第21题以头盔销售为背景，考查方程与函数综合应用；第22题结合直线与抛物线，发展推理意识|

卷7 九上数学月考综合检测卷（一元二次方程+二次函数） （时间:90分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2025秋•任泽区期中）已知二次函数y＝□x2+x+3的图象开口向上，则□可能是（　　） A．2x2 B．﹣2 C．0 D．5 【分析】二次函数开口方向由二次项系数决定，大于0则开口向上． 【解答】解：设“□”为a，a为常数，则函数为y＝ax2+x+3， 由条件可知a＞0． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键． 2．（2025•深圳模拟）下列方程不能用直接开平方法求解的是（　　） A．x2﹣4＝0 B．（x﹣1）2﹣9＝0 C．x2+3x＝0 D．（x﹣1）2＝（2x+1）2 【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，因式分解法进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、x2﹣4＝0， x2＝4， x1＝2，x2＝﹣2， 故A不符合题意； B、（x﹣1）2﹣9＝0， （x﹣1）2＝9， x﹣1＝±3， x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3， x1＝4，x2＝﹣2， 故B不符合题意； C、x2+3x＝0， x（x+3）＝0， x＝0或x+3＝0， x1＝0，x2＝﹣3， 故C符合题意； D、（x﹣1）2＝（2x+1）2， x﹣1＝±（2x+1）， x﹣1＝2x+1或x﹣1＝﹣（2x+1）， x1＝﹣2，x2＝0， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 3．（2025秋•番禺区校级期中）关于x的方程x2﹣2kx+k2＝0根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：由题知，Δ＝（﹣2k）2﹣4k2＝0， 所以有两个相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 4．（2025秋•江宁区校级月考）当a＝1，b＝m，c＝﹣15时，若代数式的值为3，则代数式的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得． 【解答】解：∵一元二次方程为的两个根为，， ∴ ， ∵代数式的值为3， ∴代数式的值为﹣5， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 5．（2025秋•蜀山区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c中部分x和y的值如下表所示： x ﹣0.3 ﹣0.4 ﹣0.5 ﹣0.6 ﹣0.7 y ﹣0.31 ﹣0.04 0.25 0.56 0.89 则方程ax2﹣2ax+c＝0的一个较大的根的范围是（　　） A．﹣0.4＜x＜﹣0.5 B．﹣0.5＜x＜﹣0.6 C．2.4＜x＜2.5 D．2.5＜x＜2.6 【分析】先求得对称轴为直线x＝1，再根据表格数据得ax2﹣2ax+c＝0的较小的根的范围为﹣0.5＜x＜﹣0.4，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【解答】解：依题意，函数y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为直线x1， 由表格数据可得： 当x＝﹣0.4时，y＝﹣0.04＜0；当x＝﹣0.5时，y＝0.25＞0； ∴ax2﹣2ax+c＝0的较小的根的范围为﹣0.5＜x＜﹣0.4， ∵函数y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为直线x＝1， 则1﹣（﹣0.4）+1＝2.4，1﹣（﹣0.5）+1＝2.5， ∴ax2﹣2ax+c＝0的较大的根的范围是2.4＜x＜2.5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 6．（2026•七星关区校级模拟）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】联立函数得，解得x＝0或x＝1，得到二次函数与一次函数相交于点（1，0）和（0，﹣a），即可得出答案． 【解答】解：联立得：， ∴ax2﹣a＝ax﹣a， ∴x2﹣x＝0， 解得：x＝0或x＝1， 当x＝0时，y＝﹣a，当x＝1时，y＝0， ∴二次函数与一次函数相交于点（1，0）和（0，﹣a）， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象与交点问题，掌握相关知识是解题的关键． 7．某店销售一批户外帐篷，经调查，当每顶帐篷的利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降10元，平均每天可多售出4顶．已知该店想要平均每天盈利12160元，可列方程为（200﹣x）（604）＝12160，则下列表述中，正确的是（　　） A．帐篷的单价为x元 B．降价后平均每天可售出（200﹣x）顶帐篷 C．帐篷的单价应降低x元 D．降价后每顶帐篷的利润为（604）元 【分析】利用总利润＝每顶帐篷的销售利润×日销售量，可找出（200﹣x）及（604）的意义，进而可找出x的意义，再对照四个选项，即可得出结论． 【解答】解：∵每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶，单价每降价10元，每天可多售出4顶， ∴所列方程中（200﹣x）表示每顶帐篷的利润，（604）表示平均每天售出帐篷的数量， ∴x表示每顶帐篷单价降低的钱数． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（2021•河东区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根（　　） A．线段BC的长 B．线段AD的长 C．线段EC的长 D．线段AC的长 【分析】根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可． 【解答】解：由勾股定理得，AB， ∴ADa， 解方程x2+2ax﹣b2＝0得x±a， ∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根． 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键． 9．（2024秋•武汉期中）抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点，则k的值不可能是（　　） A．2 B． C．13 D．4π+1 【分析】首先将抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16联立，解出两个解x1和x2，然后根据抛物线在直线下方图象上有五个横坐标为整数的点这一条件，列出不等式组，求出k的范围，再检验选项是否符合题意即可作出判断． 【解答】解：将抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16联立， 得x2+kx+4k＝16，即x2+kx+4k﹣16＝0， ∴， 化简，得， 解得x1＝﹣4，x2＝﹣k+4， 当﹣k+4＞﹣4时， ∵抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点， ∴这五个点的横坐标为﹣3，﹣2，﹣1，0，1， ∴， 解得3＜k≤2， ∴k的值可以是2，， 故选项A，B不符合题意； 当﹣k+4＜﹣4时， ∵抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点， ∴这五个点的横坐标为﹣5，﹣6，﹣7，﹣8，﹣9， ∴， 解得13＜k≤14， ∴k的值不可以是13，可以是4π+1， 故选项C符合题意，选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象，一元二次方程解法的应用，一元一次不等式组的解法和应用，无理数大小估计，掌握相关知识的应用是解题的关键． 10．（2026•雷州市模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）过点（4，﹣2），且对于符合﹣2＜x1＜0，6＜x2＜8的任意实数x1，x2，其对应的函数值y1，y2始终满足y1y2＜0，则抛物线顶点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】抛物线经过点（4，﹣2）和（0，﹣2），则该抛物线的对称轴为直线x＝2．根据题意可知a＞0，y1＜0，y2＞0．抛物线经过点（﹣2，0）和（6，0），不妨设该抛物线的函数表达式为y＝a（x+2）（x﹣6），代入（0，﹣2）求得a，进一步即可求得顶点的纵坐标． 【解答】解：由条件可知二次函数与y轴交于（0，﹣2）， ∵该抛物线经过点（4，﹣2）和（0，﹣2）， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝2． ∴点（﹣2，0）关于该对称轴对称的点的坐标是（6，0）． ∵对于符合﹣2＜x1＜0，6＜x2＜8的任意实数x1，x2，其对应的函数值y1，y2始终满足y1y2＜0， ∴a＞0，y1＜0，y2＞0． ∴该抛物线经过点（﹣2，0）和（6，0）． ∴不妨设该抛物线的函数表达式为y＝a（x+2）（x﹣6）． 代入（0，﹣2），得﹣2＝a×（0+2）×（0﹣6）， 解得， ∴当x＝2时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，能够理解题意，明确抛物线经过点（﹣2，0）和（6，0）是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2025秋•镇原县期中）请你写出一个一元二次方程，使其一个根为0，另一个根为3：x2﹣3x＝0（答案不唯一）　 ． 【分析】计算出0与3的和、积，然后利用根与系数的关系写出满足条件的方程． 【解答】解：因为0+3＝3，0×3＝0， 所以根为0和3的一元二次方程可为x2﹣3x＝0． 故答案为：x2﹣3x＝0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，能从方程的根写出方程，注意答案的不唯一性是解题的关键． 12．（2025秋•榆树市月考）若点A（﹣2，y1）和点B（1，y2）均在二次函数y＝﹣2x2+m的图象上，则y1　＜　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】根据A（﹣2，y1）关于y轴的对称点为（2，y1），当x＞0时，y随x的增大而减小，且2＞1，可得y1＜y2． 【解答】解：∵y＝﹣2x2+m对称轴为y轴，开口向下， ∴点A（﹣2，y1）关于y轴的对称点为（2，y1）， ∵2＞1，当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查比较二次函数的函数值大小，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 13．（2026•平定县一模）宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克x元，公司每天直播销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为y＝﹣10x2+1500x﹣44000　 ． 【分析】根据公司每天直播销售的利润＝销售每千克的利润×销售数量，即可得出y与x之间的函数关系式． 【解答】解：根据题意得：y＝（x﹣40）[500+（60﹣x）×10]＝﹣10x2+1500x﹣44000． 故答案为：y＝﹣10x2+1500x﹣44000． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解题意和能正确表示出月销售量是解题的关键． 14．（2025秋•黄浦区期中）若x、y为实数，且（x2+y2）（x2+y2+4）＝21，则x2+y2＝ 　3　 ． 【分析】根据换元法，先设x2+y2＝t≥0，可得一元二次方程t（t+4）＝21，然后解一元二次方程并检验即可求解． 【解答】解：设x2+y2＝t≥0，则方程（x2+y2）（x2+y2+4）＝21为：t（t+4）＝21， ∴t2+4t﹣21＝0， 解方程得：t1＝﹣7（不符合题意，舍去），t2＝3， ∴x2+y2＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程是解题的关键． 15．（2024秋•田家庵区校级月考）如图，P为抛物线y＝﹣2x2+3x+4上第一象限内的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB的周长的最大值为 　12　 ． 【分析】设点P的坐标为（x，y），x＞0，y＞0，根据四边形OAPB的周长得到C＝﹣4（x﹣1）2+12，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【解答】解：设点P的坐标为（x，y），x＞0，y＞0， 由题意可知：四边形OAPB的周长C＝OA+AP+BP+BO＝2x+2y， ∴C＝2x+2（﹣2x2+3x+4）＝﹣4x2+8x+8＝﹣4（x﹣1）2+12， ∴当x＝1时，C有最大值12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图象上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键． 16．（2025春•海淀区校级月考）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示： x ﹣4 m b b+5 d b 根据二次函数图象的相关性质可知：m＝ 　4　 ，d﹣b＝ 　5　 ． 【分析】先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【解答】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当x＝﹣4时，y1＝4a＝b，即b＝4a； y2＝36a＝d，即d＝36a； 当x＝m时，， 代入b＝4a得，a（m+2）2＝4a+5， ，代入b＝4a得a（m﹣2）2＝4a， 化简得，（m﹣2）2＝4， 解得：m＝4或m＝0； 若m＝0，代入y1则可得4a＝4a+5，此情况不存在， 当m＝4时，代入y1则可得36a＝4a+5， 解得，符合a＞0， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握该知识点是关键． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（12分）（2025春•广饶县校级月考）按要求解方程． （1）x2+6x+4＝0．（配方法）； （2）9（x﹣1）2＝（2x+1）2； （3）x2﹣2x＝15； （4）x（x﹣2）＝3x﹣6． 【分析】（1）先移项，再利用配方法求解方程的解即可； （2）先移项再利用因式分解的方法求解方程的解即可； （3）利用十字相乘的方法求解方程的解即可； （4）先移项再利用因式分解的方法求解方程的解即可． 【解答】解：（1）原方程移项得x2+6x＝﹣4， x2+6x+9＝﹣4+9， （x+3）2＝5， ， 解得：，； （2）原方程移项得9（x﹣1）2﹣（2x+1）2＝0， （3x﹣3+2x+1）（3x﹣3﹣2x﹣1）＝0， 即（5x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴5x﹣2＝0，x﹣4＝0， 解得：，x2＝4； （3）x2﹣2x＝15， x2﹣2x﹣15＝0， （x﹣5）（x+3）＝0， ∴x﹣5＝0，x+3＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣3； （4）x（x﹣2）＝3x﹣6， x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0，x﹣3＝0， 解得：x1＝2，x2＝3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． 18．（8分）（2025春•荣成市校级期末）关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由题意可得Δ＞0，且m≠0，解不等式即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，代入解方程，再由（1）中m＜2，且m≠0判断即可得到答案． 【解答】解：（1）由条件可知，且m≠0， 解得m＜2，且m≠0； （2）不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于0， 理由如下： 设关于x的方程的两个不相等的实数根为x1，x2， 则， ∵方程的两个实数根的倒数之和等于0， ∴， 则， 解得m＝4， 由（1）知，m＜2，且m≠0， ∴不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于0． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根⇔Δ＞0；当一元二次方程有两个相等的实数根⇔Δ＝0；当一元二次方程无实数根⇔Δ＜0；一元二次方程根与系数的关系：．熟记一元二次方程根的情况与判别式关系、根与系数的关系，得出方程求解是解决问题的关键． 19．（10分）（2024秋•岚山区期中）打水漂是小伙伴们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点O）第一次飞起，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半： （1）求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式； （2）若此次水漂可以在水面上飞越2次，且第一次击打水面时距离河岸1米，问水漂能否飞过8米宽的河面． 【分析】（1）设水漂第一次飞越时的函数解析式为y＝a（x﹣2）2+0.5，由经过点（4，0），求出a，再设水漂第二次飞越时的函数解析式为，求解即可得相应抛物线； （2）由飞越距离OB＝OA+AB，OA＝4，可得 ，从而求出，再求出总共飞越距离为，最后再比较即可． 【解答】解：（1）由题意，水漂第一次飞越时，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起， ∴OA＝4米，第一次飞越时的函数的顶点坐标为（2，0.5），且经过点（4，0）， 设水漂第一次飞越时的函数解析式为y＝a（x﹣2）2+0.5，代入得： ∴a（4﹣2）2+0.5＝0， 解得， ∴水漂第一次飞越时的函数解析式为 ∵水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． ∴设水漂第二次飞越时的函数解析式为， ∵经过点（4，0），代入得： ∴， 解得或（舍去）， ∴水漂第二次飞越时的函数解析式为； （2）∵飞越两次，飞越距离OB＝OA+AB，OA＝4， ∴， ∴， ∴总共飞越距离为， ∵， ∴水漂能不能飞过8米宽的河面． 【点睛】本题考查了二次函数的应用；利用顶点式得到所求抛物线解析式是解决本题的关键；得到水漂第二次飞越时的函数解析式是解决本题的难点． 20．（12分）（2025•井研县模拟）如图，抛物线过点（4，0），顶点为Q，抛物线（其中t为常数，且t＞2），顶点为P． （1）求出a的值和点Q的坐标； （2）佳佳说：无论t取何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上； 琪琪说：无论t为何值，C2总经过一个定点； 请选择一人的说法进行说理； （3）当t＝4时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的坐标． 【分析】（1）将点（4，0）代入抛物线解析式，求出a的值，再利用利用配方法化为顶点式，即可得到点Q的坐标； （2）选择佳佳：根据平移的性质得到对应点的坐标，再代入抛物线C2，即可证明；选择琪琪：将抛物线C2整理，得到x＝0时，y＝﹣2，即可证明； （3）①将t＝4代入抛物线C2，从而得到顶点P的坐标，再利用待定系数法求出直线PQ的解析式即可；②根据平行设设直线l的解析式为y＝4x+n，再根据直线l与C2的交点到x轴的距离与抛物线C2的顶点坐标，确定l与C2的交点的纵坐标为﹣6，从而求出对应的横坐标，再分别代入直线l解析式求解即可． 【解答】（1）解：∵抛物线过点（4，0），顶点为Q，将点（4，0）代入得： 16a﹣8＝0， 解得：， ∴抛物线， ∴点Q的坐标为（2，﹣2）； （2）证明：选择佳佳： 将C1的顶点Q（2，﹣2）向左平移2个单位长度，得到的点坐标为（0，﹣2）， 当x＝0时，得：， ∴点（0，﹣2）在抛物线C2上， ∴佳佳的说法是正确的； 选择琪琪： ， 当x＝0时，y＝﹣2， ∴无论t为何值，C2总经过一个定点（0，﹣2）， ∴琪琪的说法是正确的； （3）解：①当t＝4时，， ∴顶点P的坐标为（4，6）， 设直线PQ的解析式为y＝kx+b，将点P，点Q的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线PQ的解析式为y＝4x﹣10； ②∵直线l∥PQ，直线l与C2的交点到x轴的距离恰为6，直线PQ的解析式为y＝4x﹣10， ∴设直线l的解析式为y＝4x+n， ∴l与C2的交点的纵坐标为|6|， ∵顶点P的坐标为（4，6）， ∴l与C2的交点的纵坐标为﹣6， 令y＝﹣6，得：， 解得：， 当直线l经过点时，， 解得：， ∴直线l解析式为， 令y＝0，则， 解得：， 即l与x轴交点的坐标为； 当直线l经过点时，， 解得：， ∴直线l解析式为， 令y＝0，则， 解得：， 即l与x轴交点的坐标为； 综上所述，l与x轴交点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的图象和性质，平移的性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 21．（12分）（2025秋•江津区期末）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． （1）求第一批购入A、B两款头盔的数量； （2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 【分析】（1）设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为（4x+300）个，根据共用去资金43500元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为（1500﹣50y）本，根据最终花费的总资金比第一批增加了9000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为（4x+300）个， 由题意得：20（4x+300）+45x＝43500， 解得：x＝300， ∴4x+300＝4×300+300＝1500， 答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； （2）设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为（1500﹣50y）本， 根据题意得：（20+y）（1500﹣50y）+45×300×（1）＝9000+43500， 整理得：y2﹣10y＝0， 解得：y1＝10，y2＝0（不符合题意，舍去）， 答：A款头盔的单价上涨了10元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22．（12分）（2024秋•仁化县期末）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的一点，使得S△MBC＝S△OBC，请求出点M的坐标； （3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）S△MBC＝S△OBC，过点O作直线m∥BC交抛物线于点M，则点M为所求点，即可求解； （3）点D在抛物线上，则点D（2，3），连接CD，过点D作DT⊥CB于点TA，交PB于点H，∠PBC＝∠DBC，点T是DH的中点，得到H（0，1），即可求解． 【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3）， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）∵S△MBC＝S△OBC， ∴过点O作直线m∥BC交抛物线于点M，则点M为所求点， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 则直线m的表达式为：y＝﹣x， 联立上式和抛物线的表达式得：﹣x＝﹣x2+2x+3，则x， 即点M（，）或（，）， 当M在BC上方时， 同理可得直线m的表达式为：y＝﹣x+6， 联立上式和抛物线的表达式得：6﹣x＝﹣x2+2x+3，此方程无解； 故点M（，）或（，）； （3）点D在抛物线上，则点D（2，3），连接CD， 过点D作DT⊥CB于点TA，交PB于点H， ∵∠PBC＝∠DBC， 则点T是DH的中点， 由（1）知，BC的表达式为：y＝﹣x+3， 则直线DT的表达式为：y＝（x﹣2）+3＝x+1， 联立上式和BC得表达式得：x+1＝﹣x+3，则x＝1， 即点T（1，2）， 由中点坐标公式得，点H（0，1）， 由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：yx+1， 联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+2x+3x+1，则x＝3（舍去）或， 则点P（，）． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷7 九上数学月考综合检测卷（一元二次方程+二次函数） （时间:90分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2025秋•任泽区期中）已知二次函数y＝□x2+x+3的图象开口向上，则□可能是（　　） A．2x2 B．﹣2 C．0 D．5 2．（2025•深圳模拟）下列方程不能用直接开平方法求解的是（　　） A．x2﹣4＝0 B．（x﹣1）2﹣9＝0 C．x2+3x＝0 D．（x﹣1）2＝（2x+1）2 3．（2025秋•番禺区校级期中）关于x的方程x2﹣2kx+k2＝0根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 4．（2025秋•江宁区校级月考）当a＝1，b＝m，c＝﹣15时，若代数式的值为3，则代数式的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 5．（2025秋•蜀山区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c中部分x和y的值如下表所示： x ﹣0.3 ﹣0.4 ﹣0.5 ﹣0.6 ﹣0.7 y ﹣0.31 ﹣0.04 0.25 0.56 0.89 则方程ax2﹣2ax+c＝0的一个较大的根的范围是（　　） A．﹣0.4＜x＜﹣0.5 B．﹣0.5＜x＜﹣0.6 C．2.4＜x＜2.5 D．2.5＜x＜2.6 6．（2026•七星关区校级模拟）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．某店销售一批户外帐篷，经调查，当每顶帐篷的利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降10元，平均每天可多售出4顶．已知该店想要平均每天盈利12160元，可列方程为（200﹣x）（604）＝12160，则下列表述中，正确的是（　　） A．帐篷的单价为x元 B．降价后平均每天可售出（200﹣x）顶帐篷 C．帐篷的单价应降低x元 D．降价后每顶帐篷的利润为（604）元 8．（2021•河东区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根（　　） A．线段BC的长 B．线段AD的长 C．线段EC的长 D．线段AC的长 9．（2024秋•武汉期中）抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点，则k的值不可能是（　　） A．2 B． C．13 D．4π+1 10．（2026•雷州市模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）过点（4，﹣2），且对于符合﹣2＜x1＜0，6＜x2＜8的任意实数x1，x2，其对应的函数值y1，y2始终满足y1y2＜0，则抛物线顶点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2025秋•镇原县期中）请你写出一个一元二次方程，使其一个根为0，另一个根为3：　 　 ． 12．（2025秋•榆树市月考）若点A（﹣2，y1）和点B（1，y2）均在二次函数y＝﹣2x2+m的图象上，则y1　 　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 13．（2026•平定县一模）宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克x元，公司每天直播销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为　 　 ． 14．（2025秋•黄浦区期中）若x、y为实数，且（x2+y2）（x2+y2+4）＝21，则x2+y2＝ 　 　 ． 15．（2024秋•田家庵区校级月考）如图，P为抛物线y＝﹣2x2+3x+4上第一象限内的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB的周长的最大值为 　 　 ． 16．（2025春•海淀区校级月考）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示： x ﹣4 m b b+5 d b 根据二次函数图象的相关性质可知：m＝ 　 　 ，d﹣b＝ 　 　 ． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（12分）（2025春•广饶县校级月考）按要求解方程． （1）x2+6x+4＝0．（配方法）； （2）9（x﹣1）2＝（2x+1）2； （3）x2﹣2x＝15； （4）x（x﹣2）＝3x﹣6． 18．（8分）（2025春•荣成市校级期末）关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 19．（10分）（2024秋•岚山区期中）打水漂是小伙伴们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点O）第一次飞起，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半： （1）求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式； （2）若此次水漂可以在水面上飞越2次，且第一次击打水面时距离河岸1米，问水漂能否飞过8米宽的河面． 20．（12分）（2025•井研县模拟）如图，抛物线过点（4，0），顶点为Q，抛物线（其中t为常数，且t＞2），顶点为P． （1）求出a的值和点Q的坐标； （2）佳佳说：无论t取何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上； 琪琪说：无论t为何值，C2总经过一个定点； 请选择一人的说法进行说理； （3）当t＝4时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的坐标． 21．（12分）（2025秋•江津区期末）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． （1）求第一批购入A、B两款头盔的数量； （2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 22．（12分）（2024秋•仁化县期末）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的一点，使得S△MBC＝S△OBC，请求出点M的坐标； （3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 1 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