13.3.1 三角形的内角(第1课时)（分层作业）数学人教版2024八年级上册

13.3.1.1 三角形的内角(1) 1．如图，△ABC缺了一个角∠C，若∠A＝76°，∠B＝20°，则∠C的度数是（　　） A．96° B．86° C．84° D．66° 【分析】根据三角形内角和定理可得∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，由此即可求出答案． 【解答】解：根据三角形内角和定理可得：∠C＝180°﹣76°﹣20°＝84°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握该知识点是关键． 2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD是△ABC的角平分线，则∠ABD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ABC的度数，再结合角平分线的定义，即可求出∠ABD的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°， 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD∠ABC80°＝40°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 3．将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝62°，则∠EDB的度数为（　　） A．12° B．13° C．17° D．18° 【分析】由三角板的特征得出∠DEF＝45°，∠ABC＝30°，即可求出∠BED、∠ABE的度数，在△BED中根据三角形内角和定理即可求出∠EDB的度数． 【解答】解：根据题意得，∠DEF＝45°，∠ABC＝30°， ∵∠FEB＝62°， ∴∠BED＝∠FEB﹣∠DEF＝62°﹣45°＝17°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣30°＝150°， ∴∠EDB＝180°﹣∠ABE﹣∠BED＝180°﹣150°﹣17°＝13°， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，一副三角板的特征，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 4．若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状． 【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4， ∴三个内角分别是180°40°，180°60°，180°80°． 所以该三角形是锐角三角形． 故选：A． 【点评】此题考查三角形的内角和定理以及三角形的分类：三角形的内角和180°． 5．如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形组成，这样做的数学根据是（　　） A．三角形的内角和等于180° B．三角形两边的和大于第三边 C．三角形两边的差小于第三边 D．三角形具有稳定性 【分析】从安全角度和三角形的稳定性质进行分析即可得出答案． 【解答】解：从安全角度讲，塔吊机需要特别稳固，框架设计成很多个三角形是利用了三角形具有稳定性， 故选：D． 【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，解题的关键是灵活运用三角形的性质． 6．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝30°，则∠C＝ 　110　 °． 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠C的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣30°＝110°． 故答案为：110． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 7．如图，△ABC中，ED∥AC，∠B＝55°，∠DEB＝90°，则∠A的度数为　35°　 ． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠D，再根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：∵∠B＝55°，∠DEB＝90°， ∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB＝180°﹣55°﹣90°＝35°， ∵ED∥AC， ∴∠A＝∠BDE＝35°， 故答案为：35°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，熟记以上知识点是解题的关键． 8．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A′DB的度数为 　120°　 ． 【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠B，根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE＝∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE＝∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解． 【解答】解：∵∠C＝135°，∠A＝15°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣15°﹣135°＝30°， ∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′， ∴∠ADE＝∠B＝30°， ∠A′DE＝∠ADE＝30°， ∴∠A′DB＝180°﹣30°﹣30°＝120°． 故答案为120°． 【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 9．如图，∠A＝60°，∠B＝40°． （1）求∠1的度数； （2）若∠BCD＝140°，求证：AB∥CD． 【分析】（1）在△ABC中，由∠1＝180°﹣∠A﹣∠B，再代入数据计算即可； （2）先得出∠BCD+∠B＝180°，再根据平行线的判定即可得证． 【解答】（1）解：∵在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°， ∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， 即∠1的度数为80°； （2）证明：∵∠BCD＝140°，∠B＝40°， ∴∠BCD+∠B＝180°， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查三角形内角和，平行线的判定，解题的关键是掌握：三角形的内角和为180°、同旁内角互补，两直线平行． 10．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（　　） A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180° C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90° 【分析】根据角平分线的性质可得，∠DBC，∠DCB，由∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB，可得∠DBC，，由三角形内角和定理可得∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，由三角形外角的性质可得∠E+∠EBC+∠ECB＝180°，从而可求得∠D与∠E的数量关系． 【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点D， ∴∠DBC，∠DCB ∵∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠DBC，， ∵∠D+∠DBC+∠DCB＝180°， ∴∠D， ∵∠E+∠EBC+∠ECB＝180°， ∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠E， ∴∠D， 整理得3∠E﹣2∠D＝180°， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和定理是解题的关键． 11．如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 【分析】连接EF，利用三角形的内角和定理结合整体思想即可解决问题． 【解答】解：如图，连接EF， ∵∠B+∠C＝60°， ∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°， ∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣∠A＝60°． ∵∠D＝70°， ∴∠DEF+∠DFE＝180°﹣∠D＝110°， ∵∠1+∠AEF＝∠DEF，∠2+∠AFE＝∠DFE， ∴∠1+∠2＝∠DEF+∠DFE﹣（∠AEF+∠AFE）＝110°﹣60°＝50°． 故选：A． 【点评】本题考查三角形内角和定理，熟知三角形的内角和定理及巧用整体思想是解题的关键． 12．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（　　） A．45°或36° B．72°或36° C．45°或72° D．45°或36°或72° 【分析】分设三角形底角为α，顶角为2α或设三角形的底角为2α，顶角为α，根据三角形的内角和为180°，得出答案． 【解答】解：①设三角形底角为α，顶角为2α， 则α+α+2α＝180°， 解得：α＝45°， ②设三角形的底角为2α，顶角为α， 则2α+2α+α＝180°， 解得：α＝36°， ∴2α＝72°， ∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°， 故选：C． 【点评】本题是新定义题，主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，运用分类思想是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F． （1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数； （2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）． 【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数； （2）过点A作AG∥BC，则∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β，依此即可求解． 【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝120°， ∴∠EBC＝60°，∠AEF＝60°， 又∵BD平分∠EBC， ∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°， 又∵∠BDA＝90°， ∴∠EDA＝60°， ∴∠BAD＝60°； （2）如图2： 过点A作AG∥BC， 则∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β， 则∠FAD+∠C＝β﹣∠DBC＝β∠ABC＝βα． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键． 14．问题解决 问题 三角形内角和为什么等于180° 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误差，不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于180°呢？ 思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？ 思考•尝试 请过三角形的顶点A添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于说明三角形内角等于180°，要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线； 2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述． 逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于180°的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在△ABC边AB上任意取一点P（不与点A重合），如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”． （1）完成“思考•尝试”中的操作与描述； （2）写出“逻辑说理”中的说理过程； （3）写出“触类旁通”中的说理过程． 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据平行线的性质以及平角的定义进行解答即可； （3）过点P作△ABC边的平行线，由平行线的性质以及平角的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）第一种方法：如图2，过点A作直线MN∥BC， 第二种方法：如图3，延长BA到P，过点A作AQ∥BC； （2）若选第一种方法： ∵MN∥BC， ∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C， ∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°； 若选第二种方法： ∵AQ∥BC， ∴∠PAQ＝∠B，∠QAC＝∠C， ∵∠PAQ+∠BAC+∠QAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°； （3）如图4，过点P作PD∥BC，PE∥AC，交AC，BC于点D、E， ∵PD∥BC， ∴∠APD＝∠B，∠DPE＝∠PEB， 又∵PE∥AC， ∴∠PEB＝∠C，∠BPE＝∠A， ∵∠APD+∠DPE+∠BPE＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握平行线的性质以及平角的定义是正确解答的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3.1.1 三角形的内角(1) 1．如图，△ABC缺了一个角∠C，若∠A＝76°，∠B＝20°，则∠C的度数是（　　） A．96° B．86° C．84° D．66° 2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD是△ABC的角平分线，则∠ABD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 3．将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝62°，则∠EDB的度数为（　　） A．12° B．13° C．17° D．18° 第1题图 第2题图 第3题图 4．若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形组成，这样做的数学根据是（　　） A．三角形的内角和等于180° B．三角形两边的和大于第三边 C．三角形两边的差小于第三边 D．三角形具有稳定性 第5题图 第7题图 第8题图 6．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝30°，则∠C＝ 　 　 °． 7．如图，△ABC中，ED∥AC，∠B＝55°，∠DEB＝90°，则∠A的度数为　 　 ． 8．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A′DB的度数为 　 　 ． 9．如图，∠A＝60°，∠B＝40°． （1）求∠1的度数； （2）若∠BCD＝140°，求证：AB∥CD． 10．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（　　） A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180° C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90° 第10题图 第11题图 11．如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 12．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（　　） A．45°或36° B．72°或36° C．45°或72° D．45°或36°或72° 13．如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F． （1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数； （2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）． 14．问题解决 问题 三角形内角和为什么等于180° 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误差，不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于180°呢？ 思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？ 思考•尝试 请过三角形的顶点A添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于说明三角形内角等于180°，要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线； 2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述． 逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于180°的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在△ABC边AB上任意取一点P（不与点A重合），如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”． （1）完成“思考•尝试”中的操作与描述； （2）写出“逻辑说理”中的说理过程； （3）写出“触类旁通”中的说理过程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$