专题02 13.2与三角形有关的线段（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形线段核心考点，以题型为载体系统提炼解题方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三边关系应用|5题型（含等腰三角形）+4典例|三边关系判断/范围确定/分类讨论/化简求值|从基本关系到等腰三角形综合应用| |三线概念及计算|5题型（中线/角平分线/高）+6典例|三线概念辨析/面积法/周长差结论/角平分线计算|从概念定义到性质推导及面积周长计算|

专题02 与三角形有关线段 （题型突破·举一反三） 题型01 判断能否组成三角形 题型02 利用三边关系解决问题 题型03 等腰三角形边长与周长 题型04 利用三边关系化简求值 题型05 三角形的稳定性 题型06 三角形中线、角平分线、高线概念有关问题 题型07 与三角形的高有关的计算 题型08 三角形中线分周长问题 题型09 三角形中线平分面积问题 题型10 与三角形角平分线有关的计算和证明 ▌题型01 判断能否组成三角形 1．三角形三边满足的条件 三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边 符号语言： ；； ;; 方法指导：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形. 【典例1】以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证两条较短边长的和是否大于最长边长，若满足则可以构成三角形，反之则不能． 【详解】选项A：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项B：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项C：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项D：，满足两边之和大于第三边，能构成三角形． 【变式1-1】下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（     ） A．1，1，1，3 B．2，2，2，3 C．1，3，2，6 D．2，2，2，7 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据构成四边形的条件“最长线段的长度小于另外三条线段的长度和”，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．最长边为， ，故不能构成四边形，不符合题意； B．最长边为，，故能构成四边形，符合题意； C．最长边为， ，故不能构成四边形，不符合题意； D．最长边为， ，故不能构成四边形，不符合题意． 【变式1-2】现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成_____个． 【答案】7 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ； ； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 【变式1-3】已知线段，，． (1)判断和的大小，并说明理由； (2)用、、能构成三角形吗？为什么？ 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】求一元一次不等式的解集、构成三角形的条件 【分析】（1）根据题意可得线段，再利用作差法即可解答； （2）得到，再利用作差法得到，结合三角形三边关系即可判断． 【详解】（1），理由： ， 线段， ， ， （2）不能构成三角形，理由： ， ， ， ， ，即、、不能构成三角形 ▌题型02 利用三边关系解决问题 已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。 【典例2】已知的边，边的长度分别是不等式组的最大整数解与最小整数解，且的周长为奇数，则的第三条边的长度的最小值为_____． 【答案】3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，三角形三边关系，解题的关键在于能够准确求出不等式组的解集． 先求出不等式组的解集，然后根据解集求出其最大整数解与最小整数解，根据三边关系求出范围，再结合的周长是奇数求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组最大的整数解为8，最小整数解为6． ∵的周长是奇数，是偶数， 且， 则的第三条边的长度的最小值为3， 故答案为：3． 【变式2-1】已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长． 【答案】(1)等边三角形 (2)13或14或15． 【知识点】绝对值非负性、确定第三边的取值范围、三角形的分类 【分析】（1）根据非负数的性质得出，整理得，进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为正数得出c的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解： ，，， ，． ． ． ． 是等边三角形； （2）解：，，， ， 为整数， 可以取5，6，7． 当时，的周长为 ； 当时，的周长为 ； 当时，的周长为 ； 的周长为13或14或15． 【变式2-2】按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】不等式的性质、三角形三边关系的应用、求一元一次不等式的解集、确定第三边的取值范围 【分析】（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （2）设，则，根据三角形的三边关系得出，结合的周长，求出的取值范围． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可得， ， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 同理（1）可得，， ∴， 解得， ∵的周长， ∴． 【变式2-3】已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式的求解，解题的关键是根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式（组）． （1）根据三边关系，列求解； （2）先根据三边关系列不等式组确定的初步范围，再结合周长不超过24的条件，进一步确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， 由三角形三边关系得：，即， 答：的取值范围是． （2）解：由三角形三边关系：， 化简得，解得． 又∵周长，即， ， ，解得， 综上，， 答：的取值范围是． ▌题型03 等腰三角形的边长和周长 等腰三角形相关概念：相等的两条边都叫腰，另一边叫作底. 熟练掌握等腰三角形的性质，未明确底和腰时，要注意分类讨论，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形 【典例3】（1）已知，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为________． (2)等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为_________ (3)若等腰三角形一边长为，且腰长是底边长的，则这个三角形的周长为_________ (4) 等腰三角形的三边长分别为3x-2,4x-3,6-2x,则该三角形的周长为_________ 【答案】19或22 5cm 或 9或8.5 【知识点】绝对值非负性、等腰三角形的定义、构成三角形的条件 【分析】(1)先利用平方和绝对值的非负性求出，的值，再分情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，最后计算符合条件的周长即可． (2)分两种情况：①当腰长为时，②当底边长为时，再结合三角形的三边关系解答即可． (3) 本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；分两种情况：当腰为时，当底边为时，分别讨论即可求解，理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【详解】(1) 解：，且，， ，， 解得，， 分两种情况讨论： 当等腰三角形腰长为，底边长为时， ，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时等腰三角形的周长为，； 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 此时等腰三角形的周长为， 综上所述：等腰三角形的周长为19或． (2)解：①当腰长为时，则底边长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，舍去； ②当底边长为时，则腰长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； 综上，该等腰三角形的腰长为． (3) 解：当腰为时，底边长，， 则此时，这个三角形的周长为； 当底边为时，腰长，， 则此时，这个三角形的周长为； 综上，这个三角形的周长为或， (4) 解：①当3x﹣2是底边时，则腰长为：4x﹣3，6﹣2x． ∵三角形为等腰三角形， ∴4x﹣3=6﹣2x，∴x=1.5，∴4x﹣3=3，6﹣2x=3，∴3x﹣2=2.5， ∴等腰三角形的周长=3+3+2.5=8.5． ②当4x﹣3是底边时，则腰长为：3x﹣2，6﹣2x． ∵三角形为等腰三角形， ∴3x﹣2=6﹣2x，∴x=1.6，∴3x﹣2=2.8，6﹣2x=2.8，∴4x﹣3=3.4， ∴等腰三角形的周长=2.8+2.8+3.4=9． ③当6﹣2x是底边时，则腰长为：3x﹣2，4x﹣3． ∵三角形为等腰三角形， ∴3x﹣2=4x﹣3，∴x=1，∴3x﹣2=1，4x﹣3=1，∵1=1， ∴6﹣2x=4， ∵1+1＜4， ∴不能构成三角形． 故周长为：8.5或9，故选C． 点睛：此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，注意利用三角形的三边关系进行检验． 【变式3-1】等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题分3为腰长和3为底边长两种情况讨论，计算对应边长后求出“优美比”，同时根据三角形三边关系验证能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵等腰的周长为， ∴底边长 ， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； ②当为底边长时， ∵等腰的周长为， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； 综上，该等腰三角形的“优美比”是或． 【变式3-2】用一条长为24cm细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为6cm的等腰三角形吗？为什么？ (3)若等腰三角形的腰长为acm，求a的取值范围？ 【答案】(1)cm，cm，cm (2)能，理由见解析 (3)． 【知识点】等腰三角形的定义、几何问题(一元一次方程的应用)、构成三角形的条件、三角形三边关系的应用 【分析】（1）设底边长为cm，则腰长为cm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长； （2）题中没有指明6cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验． （3）根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】（1）解：设底边长为cm， ∵腰长是底边的2倍， ∴腰长为cm， ∴，解得，cm， ∴cm， ∴各边长为：cm，cm，cm． （2）解：①当6cm为底时，腰长cm； ②当6cm为腰时，底边cm， ∵， ∴不能构成三角形，故舍去； ∴能构成有一边长为6cm的等腰三角形，另两边长为9cm，9cm． （3）解：由题意得：， 解得：． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解． 【变式3-3】王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔已知第一条边长为米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍少4米． （1）请用表示第三条边长； （2）问第一条边长可以为7米吗？为什么？请说明理由，并求出的取值范围； （3）能否使得围成的小圈是等腰三角形形状？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）第一条边长可以为7米，理由见解析，；（3）能使得围成的小圈是等腰三角形形状，三边分别为：或 【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先得到第二条边，再由周长表达出第三边即可； （2）根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，列出不等式即可得到； （3）根据a的取值范围，分情况讨论，得出三角形的三边长度． 【详解】解：（1）由题意可知，第二边为：， ∴第三边为：， ∴第三条边长为： （2）当a=7时，第二、三条边分别为：10，13， ∵， 故可以构成三角形， ∴第一条边长可以为7米， 由， 解得：， （3）能使得围成的小圈是等腰三角形形状， ①若a与2a-4为腰，则a=2a-4，解得a=4，不符合； ②若a与34-3a为腰，则a=34-3a，解得，符合a的取值范围 此时三边为： ③若2a-4与34-3a为腰，则2a-4=34-3a，解得，符合a的取值范围 此时三边为： 综上所述：能否使得围成的小圈是等腰三角形形状，三边分别为：或． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系及一元一次不等式组的应用、等腰三角形的概念，解题的关键是熟知三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”． ▌题型04 利用三边关系化简求值 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出线段取值范围，再去绝对值进行化简求值 【典例4】．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）按要求完成下列各小题． (1)在中，，，的长为偶数，求的周长； (2)已知的三边长分别为3，7，m，化简． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用、带有字母的绝对值化简问题 【分析】（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，结合为偶数确定的长度，再计算三角形周长； （2）先根据三角形三边关系得到的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，化简整式得到结果． 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴ ，即． 又∵为偶数， ∴． ∴的周长为． （2）解：∵的三边长分别为，，， ∴，即． ∴，，． ∴原式 ． 【变式4-1】已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、三角形三边关系的应用、整式的加减运算 【分析】先利用三角形三边关系，判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质，去掉绝对值符号，化简即可． 【详解】解：∵、、是的三边长， ∴，， ∴，． ∴． 【变式4-2】已知的三边长分别为a，b，c，化简__________． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、三角形三边关系的应用、整式的加减运算 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，得 ，，， ，，， ∴原式 ． 【变式4-3】已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 【答案】(1)等边三角形 (2) 【知识点】绝对值非负性、带有字母的绝对值化简问题、乘方的应用、三角形三边关系的应用 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：∵， ，且， ， 为等边三角形． （2）解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴：． ▌题型05 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 怎样判断一个图形是否具有稳定性 从整体上看，如果这个图形全部是由三角形组成的，一般情况下，这个图形就具有稳定性；如果这个图形中除含有三角形外，还含有其他图形（如四边形），那么一般情况下，这个图形不具有稳定性 【典例5】如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 【变式5-1】为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】首先确定斜拉木条后木框形成的新的几何图形．因为钉斜拉木条的目的是防止木框变形，即提升结构的稳定性，所以对应寻找该几何图形的相关性质，匹配选项中对应的几何原理． 【详解】解：A选项、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据． B选项、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据． C选项、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形． D选项、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据． 【变式5-2】下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用 【详解】 解：根据三角形的稳定性可得，具有稳定性的是． 【变式5-3】三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（　　）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：过五边形的一个顶点作对角线，有条对角线，所以至少要钉上2根木条． ▌题型06 三角形中线、角平分线、高线概念有关问题 1、定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。 ★三角形的高是线段，而垂线是直线 几何语言： ∵是中边上的高(已知) ∴或或 (三角形高的定义) 2、定义：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。 ★三角形的中线是线段 几何语言： ∵是中边上的中线(已知) ∴ (三角形中线的定义) 3、定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. ★角平分线是射线，三角形的角平分线是线段 几何语言： ∵是中的平分线(已知) ∴(三角形角平分线的定义) 【典例6】如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 【变式6-1】下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫作重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】重心的概念、画三角形的高、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义，以及三角形相关交点的名称，逐一判断每个说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：对四个说法逐一判断： ① 三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，角平分线是三角形内角平分线与对边相交，顶点到交点的线段，高是三角形顶点到对边所在直线的垂线段，因此三者都是线段，故①正确； ② ∵钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高在三角形的边上，∴②错误； ③ ∵直角三角形有三条高，两条直角边本身就是两条高，还有一条斜边上的高，∴③错误； ④ ∵三角形三条中线的交点叫作重心，三条角平分线的交点不是重心是内心，∴④错误； 综上，只有1个说法正确，故选A． 【变式6-2】下列叙述正确的个数为（　　）． ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积、画三角形的高、三角形角平分线的定义 【分析】由三角形的面积、角平分线、中线和高分别对各个结论进行判断即可． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，故①不正确； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，故②正确； ③三角形的三条高是线段，不一定交于一点，故③不正确； ④三角形的三条角平分线交于一点，故④正确． 【变式6-3】如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义判断即可． 【详解】解：∵是高线， ∴，故选项A正确； ∵是角平分线， ∴，故选项B正确； ∵是中线， ∴，故选项C正确； 无法证明，故选项D错误． ▌题型07 与三角形的高有关计算 1.三角形的面积 可利用面积相等（面积不一定要求出具体值）作桥梁求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法” 2.等底,等高的三角形面积相等 3.等底不等高的三角形面积之比等于高之比； 4.等高不等底的三角形面积之比等于底之比. 【典例7】八年级上册课本上有一道题：如图1， （1）在中，，，,求CE的长 （2）在中，，，则的高与的比是多少？ 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (3)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (4)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1)3 (2) (3)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (4) 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出 （2）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （3）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （4）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】(1) 解：∵， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． （3）略 （4）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 【变式7-1】(1)在中，为边上的高，，，则是___________度． (2)已知是的高，，．若的面积为6，则的长为______． 【答案】(1)40或80/80或40 (2) 2或3 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】(1)根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解． (2)分两种情况：当点D在线段上时，或当点D在线段的延长线上时，分别求出结论即可． 【详解】解：(1)根据题意，分三种情况讨论： ①高在三角形内部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； ②高在三角形边上，如图所示： 可知， ， 故此种情况不存在，舍弃； ③高在三角形外部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． (2)解：如图所示，当点D在线段上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， 解得：； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， ∴； 综上，的长为2或3． 【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键． 【变式7-2】(1)如图，在中，为的中线，其中．若的面积为60，，则中，边上的高是______． (2) 如图，在中，为的中点，，，且，则为____． 【答案】(1)8,(2)3 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】(1)设中，边上的高是h，根据三角形中线的性质可得的面积，再由，可得的面积，即可求解． (2) 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出，再根据得出，，即可求出的面积，再由，即可求出的面积 【详解】(1)解：设中，边上的高是h， ∵的面积为60，为的中线， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴， 解得：， 即中，边上的高是8． (2)解：为的中点，， ， ， ，， ， ， ． 【变式7-3】在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴ ▌题型08 三角形中线分周长问题 ∵,, ∴ 结论：三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差 【典例8】（1）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． （2）在中，为边上的中线,把的周长分成两部分，若周长之差为，求的长 【答案】（1）17 （2）5或11 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】（1）首先由三角形中线的定义得到，然后求出，然后求解即可． （2）由三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形另外两边之差，推得两边之差为3，再分类讨论 分类讨论 【详解】（1）解：∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长为20， ∴，即， ∴， ∴的周长． （2）解：∵在中，为边上的中线， ∴， ∴若周长之差为或 ∵ ∴或 【变式8-1】在△ABC中，AB＜AC，BC边上的中线AD将△ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm，AB与AC的和为13cm，则AC的长为 _____． 【答案】9cm 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长差是与的差，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：如图 ∵是边上的中线， ∴， ∵中线将分成的两个新三角形的周长差为，AB＜AC ∴， ∴， ∵与的和为， ∴， ∴． 故答案为：9cm． 【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解答本题的关键． 【变式8-2】已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求这个等腰三角形的底边BC的长 【答案】11cm或7cm 【知识点】三角形中线 【分析】分两种情况讨论：当AB+AD＝12，BC+DC＝15或AB+AD＝15，BC+DC＝12，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为8，8，11或10，10，7．所以BC的长为7cm或11cm． 【详解】如图， 设AD＝xcm，则当2x+x＝12时，x＝4，即AB＝AC＝8cm， ∵周长是12+15＝27cm， ∴BC＝11cm； 当2x+x＝15时，x＝5，即AB＝AC＝10cm， ∵周长是12+15＝27cm， ∴BC＝7cm， 综上可知，底边BC的长为7cm或11cm． 故答案为40°或140°；7cm或11cm． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 【变式8-3】如图，在中，，边上的中线把的周长分成80和60两部分，求和的长． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、代入消元法、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，解二元一次方程组等知识点，正确理解三角形三边关系是解题的关键．分两种情况讨论，列方程组求解，根据三角形三边关系判断即可求解． 【详解】解：是边上的中线， ， 设, 则， 存在两种情况： ①， 则， 解得， 即， 则 此时符合三角形三边关系 ② 则 解得 即 则，与已知矛盾，不符合题意，舍去． 综上所述． ▌题型09 三角形中线平分面积问题 1.中线分面积 ∵,, ∴ 结论:三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分 2.拓展推论：如图AD, BE, CF分别为▲ABC边BC, AC, AB边上的中线， 则（1） （2） （3）,,任意三角形都有三条中线，并且都在三角形内部交于一点。（交点又叫三角形的重心，顶点到重心的距离=重心到对边中点的距离的2倍） 【典例9】如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【答案】D 【知识点】重心的概念、根据三角形中线求面积 【分析】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 【详解】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 【变式9-1】 (1)如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． (2) 如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，．若的面积为，则的面积为_______． (3)如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． (4) 如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ． 【答案】8 8 3 【知识点】重心的概念、根据三角形中线求面积 【分析】(1)根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解． (2) 根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解 (3) 根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解 (4)根据三角形面积公式，利用 得到 ，利用点 、 分别为 、 的中点得到 ，，所以阴影部分的面积 ． 【详解】(1)解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． (2) 解： ， ， 又点E为线段的中点， ． (3)解：点、、分别是、、的中点， 、、， 是的中线， ， ， ． (4) 解：， ， ， 点 、 分别为 、 的中点， ，， ， 即阴影部分的面积 ． 【变式9-2】如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是_________ 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线性质，熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 连接，由题意得，，由三角形的中线性质即可得出的面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， ∴，，， ∴． 【变式9-3】如图，D、E分别是边、上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则的值为_____________ 【答案】1 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键知道当高相等时，面积的比等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出面积差即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． ▌题型10 与三角形角平分线有关的计算和证明 角平分线→得角的一半→结合其他条件计算 【典例10】已知：如图，于，于，． 求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、三角形角平分线的定义 【详解】证明：，． ，（垂直的定义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） 又 平分（角平分线的定义） 【变式10-1】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E．若∠AED=50°，则∠D的度数为______． 【答案】25° 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据平行线的性质求得∠ACB度数，然后根据角平分线的定义求得∠DCB的度数，然后利用两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：∵DE∥BC，∠AED=50°， ∴∠ACB=∠AED=50°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACB=25°， ∵DE∥BC， ∴∠D=∠BCD=25°， 故答案为25°． 【点睛】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目． 【变式10-2】如图，直线，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分，则的度数为_________°． 【答案】60 【知识点】三角形角平分线的定义、两直线平行内错角相等 【分析】根据角平分线的定义可求出的度数，即可得到的度数，再利用平行线的性质即可解决问题． 【详解】一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式10-3】如图，是角平分线，，交于点E，点F是上一点且，那么平分吗？ 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、内错角相等两直线平行、三角形角平分线的定义 【分析】先根据角平分线定义得；再由平行线性质得；结合已知条件，利用内错角相等判定两直线平行；再由平行线性质得同位角相等，等量代换后证得EF平分． 【详解】证明：∵是角平分线（已知）， ∴ ， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， ∵ （已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， ∴ （等量代换）． ∴平分． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与三角形有关线段 （题型突破·举一反三） 题型01 判断能否组成三角形 题型02 利用三边关系解决问题 题型03 等腰三角形边长与周长 题型04 利用三边关系化简求值 题型05 三角形的稳定性 题型06 三角形中线、角平分线、高线概念有关问题 题型07 与三角形的高有关的计算 题型08 三角形中线分周长问题 题型09 三角形中线平分面积问题 题型10 与三角形角平分线有关的计算和证明 ▌题型01 判断能否组成三角形 1．三角形三边满足的条件 三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边 符号语言： ；； ;; 方法指导：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形. 【典例1】以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-1】下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（     ） A．1，1，1，3 B．2，2，2，3 C．1，3，2，6 D．2，2，2，7 【变式1-2】现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成_____个． 【变式1-3】已知线段，，． (1)判断和的大小，并说明理由； (2)用、、能构成三角形吗？为什么？ ▌题型02 利用三边关系解决问题 已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。 【典例2】已知的边，边的长度分别是不等式组的最大整数解与最小整数解，且的周长为奇数，则的第三条边的长度的最小值为_____． 【变式2-1】已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长． 【变式2-2】按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【变式2-3】已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． ▌题型03 等腰三角形的边长和周长 等腰三角形相关概念：相等的两条边都叫腰，另一边叫作底. 熟练掌握等腰三角形的性质，未明确底和腰时，要注意分类讨论，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形 【典例3】（1）已知，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为________． (2)等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为_________ (3)若等腰三角形一边长为，且腰长是底边长的，则这个三角形的周长为_________ (4) 等腰三角形的三边长分别为3x-2,4x-3,6-2x,则该三角形的周长为_________ 【变式3-1】等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3-2】用一条长为24cm细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为6cm的等腰三角形吗？为什么？ (3)若等腰三角形的腰长为acm，求a的取值范围？ 【变式3-3】王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔已知第一条边长为米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍少4米． （1）请用表示第三条边长； （2）问第一条边长可以为7米吗？为什么？请说明理由，并求出的取值范围； （3）能否使得围成的小圈是等腰三角形形状？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由． ▌题型04 利用三边关系化简求值 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出线段取值范围，再去绝对值进行化简求值 【典例4】．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）按要求完成下列各小题． (1)在中，，，的长为偶数，求的周长； (2)已知的三边长分别为3，7，m，化简． 【变式4-1】已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知的三边长分别为a，b，c，化简__________． 【变式4-3】已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． ▌题型05 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 怎样判断一个图形是否具有稳定性 从整体上看，如果这个图形全部是由三角形组成的，一般情况下，这个图形就具有稳定性；如果这个图形中除含有三角形外，还含有其他图形（如四边形），那么一般情况下，这个图形不具有稳定性 【典例5】如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【变式5-1】为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【变式5-2】下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．B． C． D． 【变式5-3】三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（　　）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 ▌题型06 三角形中线、角平分线、高线概念有关问题 1、定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。 ★三角形的高是线段，而垂线是直线 几何语言： ∵是中边上的高(已知) ∴或或 (三角形高的定义) 2、定义：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。 ★三角形的中线是线段 几何语言： ∵是中边上的中线(已知) ∴ (三角形中线的定义) 3、定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. ★角平分线是射线，三角形的角平分线是线段 几何语言： ∵是中的平分线(已知) ∴(三角形角平分线的定义) 【典例6】如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫作重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】下列叙述正确的个数为（　　）． ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． ▌题型07 与三角形的高有关计算 1.三角形的面积 可利用面积相等（面积不一定要求出具体值）作桥梁求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法” 2.等底,等高的三角形面积相等 3.等底不等高的三角形面积之比等于高之比； 4.等高不等底的三角形面积之比等于底之比. 【典例7】八年级上册课本上有一道题：如图1， （1）在中，，，,求CE的长 （2）在中，，，则的高与的比是多少？ 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (3)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (4)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【变式7-1】(1)在中，为边上的高，，，则是___________度． (2)已知是的高，，．若的面积为6，则的长为______． 【变式7-2】(1)如图，在中，为的中线，其中．若的面积为60，，则中，边上的高是______． (2) 如图，在中，为的中点，，，且，则为____． 【变式7-3】在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． ▌题型08 三角形中线分周长问题 ∵,, ∴ 结论：三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差 【典例8】（1）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． （2）在中，为边上的中线,把的周长分成两部分，若周长之差为，求的长 【变式8-1】在△ABC中，AB＜AC，BC边上的中线AD将△ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm，AB与AC的和为13cm，则AC的长为 _____． 【变式8-2】已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求这个等腰三角形的底边BC的长 【变式8-3】如图，在中，，边上的中线把的周长分成80和60两部分，求和的长． ▌题型09 三角形中线平分面积问题 1.中线分面积 ∵,, ∴ 结论:三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分 2.拓展推论：如图AD, BE, CF分别为▲ABC边BC, AC, AB边上的中线， 则（1） （2） （3）,,任意三角形都有三条中线，并且都在三角形内部交于一点。（交点又叫三角形的重心，顶点到重心的距离=重心到对边中点的距离的2倍） 【典例9】如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【变式9-1】 (1)如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． (2) 如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，．若的面积为，则的面积为_______． (3)如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． (4) 如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ． 【变式9-2】如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是_________ 【变式9-3】如图，D、E分别是边、上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则的值为_____________ ▌题型10 与三角形角平分线有关的计算和证明 角平分线→得角的一半→结合其他条件计算 【典例10】已知：如图，于，于，． 求证：平分． 【变式10-1】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E．若∠AED=50°，则∠D的度数为______． 【变式10-2】如图，直线，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分，则的度数为_________°． 【变式10-3】如图，是角平分线，，交于点E，点F是上一点且，那么平分吗？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $