13.2 与三角形有关的线段（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦三角形有关线段的核心知识点，系统梳理三角形三边关系（任意两边之和大于第三边、之差小于第三边）、稳定性，以及中线、高线、角平分线的概念、画法与性质（如重心、面积关系），构建从基础概念到应用的递进学习支架。 该资料以“知识点+即学即练+题型分类+典例精析+变式巩固”为特色，通过图形示例与符号语言培养几何直观和抽象能力，结合生活实例（如斜拉索桥梁）发展应用意识，助力教师突破重难点，学生课后可分层练习查漏补缺，提升知识运用能力。

第十三章 三角形 13.2 三角形有关的线段 课标要点 1.探索并说明（或证明）三角形任意两边之和大于第三边，能运用该关系判断三条线段能否构成三角形，或已知两边求第三边的取值范围。 2.理解三角形中线、高线、角平分线的概念，能画出任意三角形（锐角、直角、钝角）的中线、高线、角平分线。 3.了解三角形重心的概念（三角形三条中线交于一点即重心）。 4.了解三角形的稳定性及其在生产生活中的简单应用。 学习重难点 重点： 1.三角形三边关系的理解与运用（判断、求取值范围）。 2.三角形高、中线、角平分线的概念及画法（特别是钝角三角形高的位置）。 3.三角形稳定性的直观认识及应用举例。 难点： 1.钝角三角形高的画法与前两高的位置辨析​,钝角三角形中，两条高落在三角形外部，学生容易画错或找不到垂足。 2.三边关系中"任意"二字的理解及逆向应用​,已知两边长求第三边取值范围时，易忽略需同时满足三个不等式（或忘记用"两边之差＜第三边＜两边之和"）。 3.用符号语言规范表述中线、角平分线、高等比例关系与等量关系 知识点一 三角形的三边关系 1．三角形三边满足的条件 三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边 符号语言： ；； ;; 方法指导： 特别提醒 只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形. 即学即练 1． 下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．3，3，6 B．2，5，8 C．3，5，7 D．9，2，2 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，逐项判断即可，只需比较较短两边的和与最长边的大小即可快速判断． 【详解】解：选项A：，等于第三边，不能组成三角形； 选项B：，和小于第三边，不能组成三角形； 选项C：，满足三边关系，能组成三角形； 选项D：，和小于第三边，不能组成三角形 2．下列各组线段，无法构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】只需比较较小两条边的和与最长边的大小，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、∵ ，∴ 可以构成三角形. B、∵ ，，∴ 可以构成三角形. C、∵ ，，∴ 可以构成三角形. D、∵ ，不满足三边关系，∴ 无法构成三角形． 3．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 【答案】2 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 故答案为：2． 知识点二 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 特别提醒 怎样判断一个图形是否具有稳定性 从整体上看，如果这个图形全部是由三角形组成的，一般情况下，这个图形就具有稳定性；如果这个图形中除含有三角形外，还含有其他图形（如四边形），那么一般情况下，这个图形不具有稳定性 即学即练 1． 北盘江第一桥是世界上最高的桥梁，原名是尼珠河大桥，位于云贵两省交界处．这座宏伟的桥梁一共设计了112对224根斜拉索，设计斜拉索所运用的几何原理是（     ）． A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用 【详解】解：斜拉桥的斜拉索、桥塔和桥面构成了三角形结构， 设计斜拉索所运用的几何原理是三角形的稳定性． 2．列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（    ） A．活动衣架 B．拉杆 C．三脚架 D．太阳能热水器 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】解：A．没有应用到三角形的稳定性，故该选项符合题意， B．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意， C．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意， D．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意． 3． 下列图形中具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】根据三角形具有稳定性、多边形不具有稳定性解答即可． 【详解】解：A、四边形具有不稳定性，不符合题意； B、三角形具有稳定性，符合题意； C、四边形不具有稳定性，不符合题意； D、长方形不具有稳定性，不符合题意． 知识点三 三角形中线、角平分线、高线 一、高 1、定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。 ★三角形的高是线段，而垂线是直线 几何语言： ∵是中边上的高(已知) ∴或或 (三角形高的定义) 2.三角形的面积 可利用面积相等（面积不一定要求出具体值）作桥梁求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法” 3.等底,等高的三角形面积相等 4.等底不等高的三角形面积之比等于高之比； 5.等高不等底的三角形面积之比等于底之比. 二、中线 1、定义：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。 ★三角形的中线是线段 几何语言： ∵是中边上的中线(已知) ∴ (三角形中线的定义) 2、∵,, ∴ 结论：三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差 3、中线分面积 ∵,, ∴ 结论:三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分 4.拓展推论：如图AD, BE, CF分别为▲ABC边BC, AC, AB边上的中线， 则（1） （2） （3）,,任意三角形都有三条中线，并且都在三角形内部交于一点。（交点又叫三角形的重心，顶点到重心的距离=重心到对边中点的距离的2倍） 三、角平分线 1、定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. ★角平分线是射线，三角形的角平分线是线段 几何语言： ∵是中的平分线(已知) ∴(三角形角平分线的定义) 四、三角形的中线、角平分线、高的数量和位置 即学即练 1． （24-25八年级上·重庆大足·阶段检测）如图，的角平分线、中线相交于点，则 是的角平分线； 是的中线； 是的中线； ，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形角平分线的定义 【分析】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴平分， ∴是的角平分线，原说法正确； ∵是的中线，中线是顶点与对边中点的连线， ∴， ∴不是的中点， ∴不是的中线，原说法错误； ∵是的中线， ∴， ∴是的中线，原说法正确； ∵是的中线， ∴，原说法正确， ∴有个是正确的． 2．如图，在中，，分别是，边上的中线．已知，，且的周长为15，边上的高为3.96，求的面积． 【答案】9.9 【知识点】根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据三角形中线的定义求出AB、AC，再利用三角形的周长的定义列式计算即可得BC，再用三角形面积公式即可的解． 【详解】解：∵，分别是，边上的中线，，， ∴， ． ∵的周长为15， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中线和高，熟记概念并准确识图是解题的关键． 3．已知为的中线，为线段上一点． （1）如图1，若，的周长为10，求的周长； （2）若的面积为20，，请在图2 中作的边上的高，并求出点到直线的距离； （3）如图3，若，，射线平分，点是射线上一点，且直线与的一条边所在的直线垂直，请直接写出的度数． 【答案】（1）13；（2）图见解析，5；（3）20°，70°，90° 【知识点】点到直线的距离、三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】(1)根据三角形的中线的定义得到 根据三角形的周长公式计算，得到答案; (2)根据三角形的高的概念作出EF,根据三角形的面积公式求出EF，得到点E到直线BC的距离； (3)分三种情况，根据垂直的定义、三角形内角和定理计算即可. 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴． ∵， ∴， 即的周长的周长． ∵的周长为10， ∴的周长为13． （2）如图，即为所作． ∵的面积为20，即，且， ∴，即点到直线的距离为5． （3）∵ ，BE平分∠ABD, ①时， , ②时,； ③时, , ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的周长和面积的计算、三角形的中线和高的概念、垂直的定义，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键. 题型01 利用三边关系解决问题 解题贴士 已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。 典｜例｜精｜析若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足，则第三边长c的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：∵a、b满足， ∴，， ∴，， ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴，即． 变｜式｜巩｜固 1．（2022八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，，，，用小钉子把木棒和，和分别在端点，处连接起来，用橡皮筋把连接起来． （1）设橡皮筋的长为，则的最大值是________，最小值是_______． （2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长的取值范围是________． （3）连接，若，的长为整数，则的长是_______． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】（1）最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； （2）当大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据（1）中的最大值和最小值即可确定的取值范围； （3）先根据三角形的三边关系求出的范围，再结合的长为整数的条件即可求解． 【详解】解：（1）要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 要求的最小值，即将绕点顺时针方向旋转，使其与共线；将绕点逆时针方向旋转，使其与共线，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 综上，的最大值是，最小值是． （2）由（1）可知，要围成四边形，则的取值范围为：． （3）在中，，， ，即， ，， ，即， ， 的长为整数， ． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知的三边分别为a，b，c，且，． (1)若c的长为小于6的偶数，求c的长； (2)在（1）的条件下，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义 【分析】（1）先利用三角形三边关系确定的取值范围，再结合为小于的偶数的条件求出的值； （2）根据边长特征判断三角形形状． 【详解】（1）解：∵在中，三边长为，，，且，， ∴ ，即 ， ∵为小于的偶数， ∴，即的长为； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴是等腰三角形． 题型02 等腰三角形的边长与周长 解题贴士 等腰三角形相关概念：相等的两条边都叫腰，另一边叫做底. 熟练掌握等腰三角形的性质，未明确底和腰时，要注意分类讨论，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形 典｜例｜精｜析（1）等腰三角形的两条边长分别为4和7，则这个等腰三角形的周长是_____ （2）如果等腰三角形一边长为3，周长为13，那么此三角形的腰长为______． （3）已知一个等腰三角形的三边长分别为，，7，则这个等腰三角形的周长为__________ 【答案】15或18 5 或23 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】（1）本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分两种情况讨论：当腰为3时和当腰为7时，根据三角形两边之和大于第三边，判断哪种情况成立，从而计算周长即可． （2）由于条件未明确该边是腰还是底边，因此需要分情况讨论，再利用三角形三边关系验证能否构成三角形即可． (3) 分三种情况讨论∶ 当是底边时，当是底边时，当7是底边时，即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰三角形的两边分别为3和7， ∴可能情况：①腰为3，底为7；②腰为7，底为3； 对于①：因为，不满足三角形三边关系，舍去； 对于②：因为，满足三角形三边关系； 故周长为， （2）解：分两种情况： 当边长为腰长时，底边长为， ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去； 当边长为底边长时，腰长为， 此时满足三角形三边关系，能构成三角形， 因此腰长为． (3) 解：①当是底边时，则腰长为：，7， ， ， ， 等腰三角形的周长； ②当是底边时，则腰长为：，7， ， ， ， 等腰三角形的周长； ③当7是底边时，则腰长为：，， ， ， ，， ， 不能构成三角形． 则三角形的周长为或23． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形，并注意利用分类讨论思想解答是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 3.（22-23八年级上·天津南开·期中）在等腰三角形中，，一腰上的中线将三角形的周长分成和两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长； 【答案】这个等腰三角形的腰长为，底边长为或腰长为，底边长为； 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义、等边对等角、根据三角形中线求长度 【分析】根据三角形中线的定义可得，再设，则，然后分两种情况：分别进行计算即可解答； 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴设，则， 分两种情况： ①， 解得：， ∴， ∴这个等腰三角形的腰长为，底边长为， ②， 解得：， ∴， ∴这个等腰三角形的腰长为，底边长为， 综上所述：这个等腰三角形的腰长为，底边长为或腰长为，底边长为， 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的定义，分情况讨论是解题的关键． 4.用一根长度为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果所围等腰三角形的腰长是底边长的3倍，求各边长； (2)所围成的等腰三角形的一边长为，求另两边长． (3)若所围成的等腰三角形的腰长为，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)三角形三边长为3，9，9； (2)三角形另外两边长都是； (3)． 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】（1）设等腰三角形底边长为，则腰长为，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长； （2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解，并利用三角形三边关系进行检验； （3）根据题意不等式组即可得到结论． 【详解】（1）解：设等腰三角形底边长为，则腰长为，根据题意，得 ，     解方程，得， 所以三角形三边长为3，9，9． （2）若底边长为，设腰长为，根据题意，得， 解方程，得， 若腰长为，设底边长为，根据题意，得 ， 解方程，得 ， 由于，可知为腰长不能构成周长的等腰三角形． 所以三角形另外两边长都是． （3）∵等腰三角形的腰长为， ∴等腰三角形的底边长为，由，得， ∴的取值范围为：． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 题型03 利用三边关系化简求值 解题贴士 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出线段取值范围，再去绝对值进行化简求值 典｜例｜精｜析已知2，，4是三角形的三边长，化简______． 【答案】4 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、确定第三边的取值范围 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，进而得到化简结果． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 即． ∴． 变｜式｜巩｜固 5.（25-26七年级下·广东梅州·期中）已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形三边关系得到三边满足的不等式关系，判断绝对值内各式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可求解． 【详解】，，是三角形的三边， 根据三角形三边关系可得，， ，，， ． 6.（25-26七年级下·重庆万州·期中）已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为____． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、三角形三边关系的应用、整式的加减运算 【分析】先根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简绝对值，最后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴， ∴ ． 题型04 三角形中线、角平分线、高线概念有关问题 解题贴士 本题考查了三角形的基本性质与相关概念，解题的关键是准确掌握三角形三边关系、角平分线、高、中线及重心的定义 典｜例｜精｜析（25-26八年级上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（    ） A．任意三条线段都可以围成三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条高一定相交于一点 D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心 【答案】D 【知识点】重心的概念、构成三角形的条件、画三角形的高、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的基本性质与相关概念，解题的关键是准确掌握三角形三边关系、角平分线、高、中线及重心的定义． 逐一分析每个选项，结合三角形的相关定义和性质判断其正确性． 【详解】解：A、根据三角形三边关系，任意两条线段长度之和必须大于第三条线段，并非任意三条线段都能围成三角形，此选项不符合题意； B、三角形的角平分线是线段，而非射线，此选项不符合题意； C、三角形的三条高所在的直线相交于一点，但钝角三角形的高会交于三角形外部，并非高本身一定相交于一点，此选项不符合题意； D、三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，此选项符合题意． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 7.（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 8.（25-26七年级下·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【答案】B 【知识点】画三角形的高、三角形角平分线的定义 【分析】根据不同类型三角形的特征逐一判断选项即可． 【详解】解：∵钝角三角形只有1条高在三角形内部，2条高在三角形外部， ∴ A选项错误； ∵钝角三角形有2条高不在三角形内部，直角三角形有2条高在三角形边上（不在内部），锐角三角形3条高都在三角形内部，不存在3条高都不在三角形内部的情况， ∴三角形三条高至多有两条不在三角形内部，B选项正确； ∵直角三角形三条高的交点在直角顶点，即交点在三角形边上，既不在三角形内部，也不在三角形外部， ∴C选项错误； ∵任意三角形内角平分线的交点都在三角形内部， ∴ D选项错误． 题型05 与三角形的高有关的计算 解题贴士 1.三角形的面积 可利用面积相等（面积不一定要求出具体值）作桥梁求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法” 2.等底,等高的三角形面积相等 3.等底不等高的三角形面积之比等于高之比； 4.等高不等底的三角形面积之比等于底之比. 典｜例｜精｜析（22-23八年级上·湖北恩施·期中）如图，，是三角形的两条高，，，，的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴，解得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的高，根据同一个三角形面积相等列方程是解答本题的关键． 变｜式｜巩｜固 9．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）中，，边上的高，，则的面积是___________． 【答案】或/或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式、分类讨论进行画图是解题的关键．由题意，分别讨论在内部和在外部两种情况，求出的长度，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图所示，当在内部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 如图所示，当在外部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 综上，的面积是或， 故答案为：或． 10．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在中，，，，，则长为________． 【答案】/ 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积，由可求得的长度，再根据即可求出，解答的关键是熟记三角形的面积公式． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型06 三角形中线分周长问题 解题贴士 ∵,, ∴ 结论：三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差 典｜例｜精｜析（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图所示，在中，为边上的中线， （1）若，，则的周长比的周长多__________． （2）的周长为24，则的周长为__________． （3）的周长是，的周长是，，则______． (4)如图，的三边长均为整数，且周长为22，D为边的中点，的周长比的周长长2，求边的长． 【答案】（1）2 （2）26 （3）2 (4) 4，6，8，10 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】（1）根据三角形的周长的计算方法得到的周长和的周长的差就是与的差． （2）先计算的长度，由中线的定义得，进而即可求解． （3）根据三角形中线的定义可得，再根据三角形周长公式表示出和的周长，利用作差法建立等式即可求出的长． (4) 依据的周长为22，的周长比的周长长2，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到的长． 【详解】（1）解：∵是中边上的中线， ∴， ∴ ． （2）解： 的周长为24， ， ， 是的中线， ， ， ， 即的周长为26． （3）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴的周长的周长 ， ∵， ∴ (4)解：∵D为边的中点， ∴， ∵的周长为22， ∴，即, ∵的周长比的周长长2， ∴，即， ∵， ∴，解得：， 又∵△ABC的三边长均为整数，，即：， ∴边长为偶数， ∴． 变｜式｜巩｜固 11.已知等腰三角形的底边长为，一边的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么三角形的腰长为________． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、根据三角形中线求长度、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】设，则，根据题意，得，得，根据一部分比另一部分长，建立方程求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 当时，根据题意，得分成的两部分为，与其中一部分比另一部分长，不一致，不符合题意； 当时，根据题意，得分成的两部分为， 设，则， 根据题意，得， 故， 由其中一部分比另一部分长， 故或， 解得或， 故三角形的腰长为或． 12.如图，在中，，边上的中线把的周长分成70和50两部分，求和的长．    【答案】， 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】先根据和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系． 【详解】解：设，则， 边上的中线把的周长分成70和50两部分，， ①当，时， ， 解得：， ， ， ， ，满足条件 ，满足三边关系， ，； ②当，时， ， 解得：， ， ， ， ， 不满足三角形的三边关系， 不合题意，舍去， ，． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程． 题型07 三角形中线平分面积问题 解题贴士 1.中线分面积 ∵,, ∴ 结论:三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分 2.拓展推论：如图AD, BE, CF分别为ABC边BC, AC, AB边上的中线， 则（1） （2） （3）,,任意三角形都有三条中线，并且都在三角形内部交于一点。（交点又叫三角形的重心，顶点到重心的距离=重心到对边中点的距离的2倍） 典｜例｜精｜析（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，点，，分别是的中点，若阴影部分的面积为4，则的面积是（   ） A．32 B．36 C．28 D．30 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积与中线的关系，根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵D，E，F分别是，，的中点， ∴，， ， ∵， ∴， 故选A． 变｜式｜巩｜固 13．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据中线平分三角形面积，结合题意得到，再根据三角形面积的计算求解即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∴， ∵是的高，， ∴， ∴ ． 14．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】重心的概念、根据三角形中线求面积、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底之比． 延长交于，设，则根据重心的概念可得是中线，通过面积转换可得，，，，最后在中，求解x即可． 【详解】解：延长交于，如图， 设． ∵是的重心， ∴是中线， ∴D是中点，则和等底同高， ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵是中点，和等底同高， ∴ ∴ 解得， 在中， 解得， ∴ ， ∴． 故选A． 题型08 与三角形角平分线有关的计算和证明 解题贴士 角平分线→得角的一半→结合其他条件计算 典｜例｜精｜析（25-26八年级上·阶段测试）如图，已知，，平分，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：平分， ． ， ， ； (2)证明：由（1）得， ， ， ， ． 【知识点】内错角相等两直线平行、根据平行线判定与性质证明、三角形角平分线的定义 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再结合角度的关系可得，根据内错角相等，两直线平行证明即可； （2）由平行的性质可得，进而得到，根据同位角相等，两直线平行证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 变｜式｜巩｜固 15.（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 【答案】D 【知识点】三角形角平分线的定义、折叠问题 【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可． 【详解】解：如图， ∵由折叠的性质可知， ∴AD是的角平分线， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键． 16（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，，，是的角平分线，试说明：． 【答案】角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；同角的补角相等 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形角平分线的定义 【分析】由角平分线的定义可得，结合题意得出，从而可得，再证明出，即可得证． 【详解】解：∵是的角平分线（已知） ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 基础通关 1．（25-26七年级下·河南郑州·期末）小明手里有两根塑料吸管，一根长，另一根长，他想通过剪开其中一根吸管，和另一根拼成一个三角形框架．下列做法正确的是（     ） A．只能剪开的吸管 B．只能剪开的吸管 C．两根吸管剪开后都能拼成三角形 D．两根吸管剪开后都不能拼成三角形 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，分两种情况讨论剪开哪根吸管，根据三边关系判断即可. 【详解】解：根据三角形三边关系，分两种情况讨论： 情况1：剪开的吸管，设剪开后两段长为，，则，第三边长为，，不满足三边关系，剪开的吸管不能拼成三角形. 情况2：剪开的吸管，设剪开后两段长为，，则，第三边长为，，将代入得，同理可得， 只要将的吸管剪成两段都大于，即可满足三边关系拼成三角形. 2.（25-26八年级上·陕西商洛·期末）已知三角形的三边分别是3，7，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集、确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，解一元一次不等式组，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：A． 3.（2022·四川绵阳·模拟预测）已知a，b是等腰三角形的两边长，且，则此等腰三角形的周长是（     ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 【答案】D 【知识点】加减消元法、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，再根据等腰三角形的腰的不同分类讨论，结合三角形的三边关系计算周长即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 解得， ①当是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为，满足三角形的三边关系，此时它的周长为； ②当是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为，满足三角形的三边关系，此时它的周长为； 综上，此等腰三角形的周长是7或8． 4.（25-26八年级下·河南郑州·期中）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】B 【知识点】重心的概念 【分析】匀质薄板保持平衡的支点为三角形的重心，明确三角形不同特殊点的定义即可解答. 【详解】解：∵ 匀质三角形薄板平衡时支点对应三角形的重心，三角形重心是三条中线的交点， ∴ 这个支点一定是三角形三条中线的交点. 5.（21-22七年级下·陕西西安·期中）在中，边上的中线将分成的两个新三角形的周长差为，与的和为，则的长为________． 【答案】或 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】根据三角形的中线的概念得到，分、两种情况，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的中线， ， 当时，， ， ，， 当时， 同理：，， 综上所述，的长为或， 故答案为：或．    【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 6.（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是20，则的面积是________． 【答案】5 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分求解即可． 【详解】解：∵是的中线，的面积是20， ∴， ∵是的中线， ∴，即是的中线， ∴，即的面积是5． 7．（25-26七年级下·湖南株洲·期末）如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是，则与之间的距离是__________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、两直线平行内错角相等 【分析】过点作于，交于，可得，利用“等积法”可求出，进而求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于，交于，则， ∵， ∴， ∵点到的距离是， ∴， ∵，，，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴与之间的距离是． 8.（24-25七年级下·陕西汉中·期末）中，，，且的周长为偶数，求整数的长． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系得到第三边的取值范围，再满足周长为偶数即可． 【详解】解：中，，， ，即，且为整数， ∴或或， 的周长为偶数， . 9.如图所示，已知是的边上的中线．    (1)作出的边上的高； (2)若的面积为，求的面积； (3)若的面积为，且边上的高为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】根据三角形中线求面积、画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据三角形高的尺规作图，即可； （2）根据是的边上的中线，则，再根据，，即可求出的面积； （3）根据的面积为，且边上的高为，则，求出，再根据，即可． 【详解】（1）过点作交于点， 如图所示，为的边上的高．    （2）∵是的边上的中线 ∴， ∵， ∴． （3）∵的面积为，且边上的高为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形高的尺规作图，三角形的中线的性质，三角形的面积． 素养提升 1．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在梯形中，，对角线与相交于点，若的面积是，的面积是，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据等底等高的三角形面积相等，得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2.（25-26八年级上·浙江湖州·期中）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据等腰三角形分一边为，分是腰长或底边长两种情况讨论． 【详解】解： 等腰周长为，一边长为， 当为腰长时，底边长为， 和谐比为：； 当为底边长时，腰长为， 和谐比为：． ∴ 和谐比为或． 故选：C． 3.（25-26八年级下·全国·暑假作业）若一个等腰三角形的三条边长均为整数且周长为，其底边长的所有取值为（     ） A．，， B．，，， C．， D． 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】设底边长和腰长，根据周长得到两者关系，结合三角形三边关系和边长为整数的条件，求出所有符合条件的底边长即可． 【详解】设等腰三角形底边长为，腰长为，，均为正整数， 周长为， ， ，， ， 根据三角形三边关系可得， ，解得， ， 是正整数， 或， 当时，； 当时，； 即该等腰三角形的底边长为和． 4.（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是的中线，，，E，F分别是垂足．已知，，则的长度为____________ 【答案】6 【知识点】根据三角形中线求面积、根据三角形中线求长度 【分析】此题考查了三角形中线的性质：平分三角形的面积． 根据三角形中线的性质得到的面积的面积，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：是的中线， 的面积的面积， ，， ， ， ， ， ， ． 5.（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，的面积是2，AD是的中线，，，则的面积为____________ 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据中线的性质即可求出S△ACD，然后根据等高时，面积之比等于底之比，即可依此求出S△CDF，S△CDE． 【详解】解：∵△ABC的面积是2，AD是△ABC的中线， ∴S△ACD＝S△ABC＝1， ∵AF＝AD， ∴DF＝AD， ∴S△CDF＝S△ACD＝×1＝， ∵CE＝EF， ∴CE＝CF ∴S△CDE＝S△CDF＝×＝． 【点睛】此题考查的是三角形的面积关系，掌握中线的性质和等高时，面积之比等于底之比是解决此题的关键． 6.（24-25八年级上·江西新余·阶段检测）李大爷准备用一段长 的篱笆围成一个三角形形状的场地用于饲养鸡，已知第一条边长为．由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3． (1)第二条边长为________________ ，第三条边长为_______________ （用含的式子表示）； (2)第一条边长能否为 ？为什么？ (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)不能．理由见解析 (3) 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、列代数式、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了列代数式，三角形三边关系的应用，一元一次不等式组的应用．熟练掌握列代数式，三角形三边关系的应用，一元一次不等式组的应用是解题的关键． （1）由题意知，第二条边长为，则第三条边长为，整理作答即可； （2）若第一条边长为 ，则第二条边长为，第三条边长为，由，可判断不能构成三角形； （3）由题意知，三角形的三边长分别为，则，可求；由三角形两边之和大于第三边，可得，可求；进而可确定的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，第二条边长为． ∴第三条边长为， 故答案为：； （2）解：不能．理由如下： 若第一条边长为 ，则第二条边长为，第三条边长为， ∵，不符合三角形任意两边之和大于第三边， 不能构成三角形， 第一条边长不能为． （3）解：由题意知，三角形的三边长分别为， ∴， 解得； ∵三角形两边之和大于第三边， ∴， 解得； 综上所述，的取值范围是． 7.如图，的高，，点在上，连接．设的长为，的面积为，解答下列问题： (1)求与之间的关系式； (2)若，当为多少时，的面积比的面积大？ 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题(实际应用)、代数式 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系． （1）表示出线段的长，根据三角形的面积公式作为等量关系即可求解； （2）表示出两个三角形的面积，利用面积之差为即可求解． 【详解】（1）解：，的长为， ， 的高， 的面积， 与之间的关系式为：； （2）解：， ， 的面积， 的面积比的面积大， ， 解得：， 当时，的面积比的面积大． 迁移创新 1.（25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，中，点是边的中点，是边上靠近点的三等分点，点在上，且满足，连接、，若四边形的面积为，则的面积为______． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据中点、三等分点、线段倍数关系得到各部分三角形面积与面积的比例，再结合四边形面积为建立等式，进而求出的面积． 【详解】解：连接，四边形可拆分为和， 设的面积为， 点是的中点， ， ∵和等高 ， 是上靠近的三等分点， ， 和等高， ， ，， ， 和等高， ， ∵， ， 解得：． 2.（25-26七年级上·山东烟台·期中）【阅读理解】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边BC的“中偏度值”为 【尝试应用】如图2，在中，，， （1）边的长为______，边上的高的值为______； （2）求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】如图3，点A为直线l上方一点，点A到直线l的距离，点B在直线l上，且，若点C在直线l上，且 （3）请直接写出的边BC的“中偏度值”． 【答案】（1）10，；（2）的边BC的“中偏度值”为；（3）的边BC的“中偏度值”为6或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的综合应用，主要考查勾股定理及应用，解答本题的关键是掌握分类讨论的思想方法． （1）根据题意和题目中的数据，可以计算出， 中边上的高和该边上的中点到的距离， （2）根据“中偏度值”的定义即可求解； （3）分两种情况：当在外部时，当在内部时，画出图形，分别计算即可． 【详解】解：（1）在中，，，， ， 设BC边上的高为h， ， ， 故答案为：10，； （2）作的中线，高线，如图， 由（1）知，，， 为斜边上的中线，， ， ， 则的边BC的“中偏度值”为； （3）①当在外部时，作的中线，如图， ，，，， ，， ， 为的中线， ， ， 即点E到的距离为2， 则的边BC的“中偏度值”为； ②当在内部时，作的中线，如图， ，，，， ，， ， 为的中线， ， ， 即点E到的距离为7， 则的边的“中偏度值”为； 综上所述，的边的“中偏度值”为6或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 13.2 三角形有关的线段 课标要点 1.探索并说明（或证明）三角形任意两边之和大于第三边，能运用该关系判断三条线段能否构成三角形，或已知两边求第三边的取值范围。 2.理解三角形中线、高线、角平分线的概念，能画出任意三角形（锐角、直角、钝角）的中线、高线、角平分线。 3.了解三角形重心的概念（三角形三条中线交于一点即重心）。 4.了解三角形的稳定性及其在生产生活中的简单应用。 学习重难点 重点： 1.三角形三边关系的理解与运用（判断、求取值范围）。 2.三角形高、中线、角平分线的概念及画法（特别是钝角三角形高的位置）。 3.三角形稳定性的直观认识及应用举例。 难点： 1.钝角三角形高的画法与前两高的位置辨析​,钝角三角形中，两条高落在三角形外部，学生容易画错或找不到垂足。 2.三边关系中"任意"二字的理解及逆向应用​,已知两边长求第三边取值范围时，易忽略需同时满足三个不等式（或忘记用"两边之差＜第三边＜两边之和"）。 3.用符号语言规范表述中线、角平分线、高等比例关系与等量关系 知识点一 三角形的三边关系 1．三角形三边满足的条件 三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边 符号语言： ；； ;; 方法指导： 特别提醒 只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形. 即学即练 1． 下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．3，3，6 B．2，5，8 C．3，5，7 D．9，2，2 2．下列各组线段，无法构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 知识点二 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 特别提醒 怎样判断一个图形是否具有稳定性 从整体上看，如果这个图形全部是由三角形组成的，一般情况下，这个图形就具有稳定性；如果这个图形中除含有三角形外，还含有其他图形（如四边形），那么一般情况下，这个图形不具有稳定性 即学即练 1． 北盘江第一桥是世界上最高的桥梁，原名是尼珠河大桥，位于云贵两省交界处．这座宏伟的桥梁一共设计了112对224根斜拉索，设计斜拉索所运用的几何原理是（     ）． A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 2．列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（    ） A．活动衣架 B．拉杆 C．三脚架 D．太阳能热水器 3． 下列图形中具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 知识点三 三角形中线、角平分线、高线 一、高 1、定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。 ★三角形的高是线段，而垂线是直线 几何语言： ∵是中边上的高(已知) ∴或或 (三角形高的定义) 2.三角形的面积 可利用面积相等（面积不一定要求出具体值）作桥梁求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法” 3.等底,等高的三角形面积相等 4.等底不等高的三角形面积之比等于高之比； 5.等高不等底的三角形面积之比等于底之比. 二、中线 1、定义：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。 ★三角形的中线是线段 几何语言： ∵是中边上的中线(已知) ∴ (三角形中线的定义) 2、∵,, ∴ 结论：三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差 3、中线分面积 ∵,, ∴ 结论:三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分 4.拓展推论：如图AD, BE, CF分别为▲ABC边BC, AC, AB边上的中线， 则（1） （2） （3）,,任意三角形都有三条中线，并且都在三角形内部交于一点。（交点又叫三角形的重心，顶点到重心的距离=重心到对边中点的距离的2倍） 三、角平分线 1、定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. ★角平分线是射线，三角形的角平分线是线段 几何语言： ∵是中的平分线(已知) ∴(三角形角平分线的定义) 四、三角形的中线、角平分线、高的数量和位置 即学即练 1． （24-25八年级上·重庆大足·阶段检测）如图，的角平分线、中线相交于点，则 是的角平分线； 是的中线； 是的中线； ，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在中，，分别是，边上的中线．已知，，且的周长为15，边上的高为3.96，求的面积． 3．已知为的中线，为线段上一点． （1）如图1，若，的周长为10，求的周长； （2）若的面积为20，，请在图2 中作的边上的高，并求出点到直线的距离； （3）如图3，若，，射线平分，点是射线上一点，且直线与的一条边所在的直线垂直，请直接写出的度数． 题型01 利用三边关系解决问题 解题贴士 已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。 典｜例｜精｜析若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足，则第三边长c的取值范围是_____． 变｜式｜巩｜固 1．（2022八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，，，，用小钉子把木棒和，和分别在端点，处连接起来，用橡皮筋把连接起来． （1）设橡皮筋的长为，则的最大值是________，最小值是_______． （2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长的取值范围是________． （3）连接，若，的长为整数，则的长是_______． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知的三边分别为a，b，c，且，． (1)若c的长为小于6的偶数，求c的长； (2)在（1）的条件下，判断的形状． 题型02 等腰三角形的边长与周长 解题贴士 等腰三角形相关概念：相等的两条边都叫腰，另一边叫做底. 熟练掌握等腰三角形的性质，未明确底和腰时，要注意分类讨论，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形 典｜例｜精｜析（1）等腰三角形的两条边长分别为4和7，则这个等腰三角形的周长是_____ （2）如果等腰三角形一边长为3，周长为13，那么此三角形的腰长为______． （3）已知一个等腰三角形的三边长分别为，，7，则这个等腰三角形的周长为__________ 变｜式｜巩｜固 3.（22-23八年级上·天津南开·期中）在等腰三角形中，，一腰上的中线将三角形的周长分成和两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长； 4.用一根长度为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果所围等腰三角形的腰长是底边长的3倍，求各边长； (2)所围成的等腰三角形的一边长为，求另两边长． (3)若所围成的等腰三角形的腰长为，请直接写出a的取值范围． 题型03 利用三边关系化简求值 解题贴士 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出线段取值范围，再去绝对值进行化简求值 典｜例｜精｜析已知2，，4是三角形的三边长，化简______． 变｜式｜巩｜固 5.（25-26七年级下·广东梅州·期中）已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 6.（25-26七年级下·重庆万州·期中）已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为____． 题型04 三角形中线、角平分线、高线概念有关问题 解题贴士 本题考查了三角形的基本性质与相关概念，解题的关键是准确掌握三角形三边关系、角平分线、高、中线及重心的定义 典｜例｜精｜析（25-26八年级上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（    ） A．任意三条线段都可以围成三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条高一定相交于一点 D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 变｜式｜巩｜固 7.（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 8.（25-26七年级下·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 题型05 与三角形的高有关的计算 解题贴士 1.三角形的面积 可利用面积相等（面积不一定要求出具体值）作桥梁求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法” 2.等底,等高的三角形面积相等 3.等底不等高的三角形面积之比等于高之比； 4.等高不等底的三角形面积之比等于底之比. 典｜例｜精｜析（22-23八年级上·湖北恩施·期中）如图，，是三角形的两条高，，，，的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 变｜式｜巩｜固 9．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）中，，边上的高，，则的面积是___________． 10．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在中，，，，，则长为________． 题型06 三角形中线分周长问题 解题贴士 ∵,, ∴ 结论：三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差 典｜例｜精｜析（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图所示，在中，为边上的中线， （1）若，，则的周长比的周长多__________． （2）的周长为24，则的周长为__________． （3）的周长是，的周长是，，则______． (4)如图，的三边长均为整数，且周长为22，D为边的中点，的周长比的周长长2，求边的长． 变｜式｜巩｜固 11.已知等腰三角形的底边长为，一边的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么三角形的腰长为________． 12.如图，在中，，边上的中线把的周长分成70和50两部分，求和的长．    题型07 三角形中线平分面积问题 解题贴士 1.中线分面积 ∵,, ∴ 结论:三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分 2.拓展推论：如图AD, BE, CF分别为▲ABC边BC, AC, AB边上的中线， 则（1） （2） （3）,,任意三角形都有三条中线，并且都在三角形内部交于一点。（交点又叫三角形的重心，顶点到重心的距离=重心到对边中点的距离的2倍） 典｜例｜精｜析（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，点，，分别是的中点，若阴影部分的面积为4，则的面积是（   ） A．32 B．36 C．28 D．30 变｜式｜巩｜固 13．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．12 14．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 题型08 与三角形角平分线有关的计算和证明 解题贴士 角平分线→得角的一半→结合其他条件计算 典｜例｜精｜析（25-26八年级上·阶段测试）如图，已知，，平分，证明： (1)； (2)． 变｜式｜巩｜固 15.（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 16（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，，，是的角平分线，试说明：． 基础通关 1．（25-26七年级下·河南郑州·期末）小明手里有两根塑料吸管，一根长，另一根长，他想通过剪开其中一根吸管，和另一根拼成一个三角形框架．下列做法正确的是（     ） A．只能剪开的吸管 B．只能剪开的吸管 C．两根吸管剪开后都能拼成三角形 D．两根吸管剪开后都不能拼成三角形 2.（25-26八年级上·陕西商洛·期末）已知三角形的三边分别是3，7，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（2022·四川绵阳·模拟预测）已知a，b是等腰三角形的两边长，且，则此等腰三角形的周长是（     ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 4.（25-26八年级下·河南郑州·期中）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 5.（21-22七年级下·陕西西安·期中）在中，边上的中线将分成的两个新三角形的周长差为，与的和为，则的长为________． 6.（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是20，则的面积是________． 7．（25-26七年级下·湖南株洲·期末）如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是，则与之间的距离是__________． 8.（24-25七年级下·陕西汉中·期末）中，，，且的周长为偶数，求整数的长． 9.如图所示，已知是的边上的中线．    (1)作出的边上的高； (2)若的面积为，求的面积； (3)若的面积为，且边上的高为，求的长． 素养提升 1．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在梯形中，，对角线与相交于点，若的面积是，的面积是，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 2.（25-26八年级上·浙江湖州·期中）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 3.（25-26八年级下·全国·暑假作业）若一个等腰三角形的三条边长均为整数且周长为，其底边长的所有取值为（     ） A．，， B．，，， C．， D． 4.（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是的中线，，，E，F分别是垂足．已知，，则的长度为____________ 5.（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，的面积是2，AD是的中线，，，则的面积为____________ 6.（24-25八年级上·江西新余·阶段检测）李大爷准备用一段长 的篱笆围成一个三角形形状的场地用于饲养鸡，已知第一条边长为．由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3． (1)第二条边长为________________ ，第三条边长为_______________ （用含的式子表示）； (2)第一条边长能否为 ？为什么？ (3)求的取值范围． 7.如图，的高，，点在上，连接．设的长为，的面积为，解答下列问题： (1)求与之间的关系式； (2)若，当为多少时，的面积比的面积大？ 迁移创新 1.（25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，中，点是边的中点，是边上靠近点的三等分点，点在上，且满足，连接、，若四边形的面积为，则的面积为______． 2.（25-26七年级上·山东烟台·期中）【阅读理解】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边BC的“中偏度值”为 【尝试应用】如图2，在中，，， （1）边的长为______，边上的高的值为______； （2）求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】如图3，点A为直线l上方一点，点A到直线l的距离，点B在直线l上，且，若点C在直线l上，且 （3）请直接写出的边BC的“中偏度值”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $