13.3.2 三角形的外角 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦三角形外角的定义、性质（等于不相邻两内角和）及外角和（360°），以“小猫围捕老鼠”情境导入，衔接内角和、邻补角知识，通过两直线相交到三直线相交的递进构建外角概念学习支架。 资料特色在于用情境激发数学眼光，“实验探究→猜想→证明”过程培养逻辑推理（数学思维），例2飞镖模型一题多解及五角星模型转化体现数学语言应用。启发式与探究式教学结合，助学生掌握转化思想，教师可直接使用提升教学效率。

教案：13.3.2 三角形的外角 课题 13.3.2 三角形的外角 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 教学方法 启发式教学、探究式学习、一题多解 教学用具 多媒体课件、三角板、直尺 教材分析：本节是人教版八年级上册第十三章第三节第2课时，核心内容包括三角形的外角定义、外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）以及三角形的外角和（等于360°）。外角性质是三角形内角和定理的重要推论，体现了"内外转化"的数学思想。外角性质在几何证明和角度计算中有广泛应用，如"飞镖模型""8字形"等基本图形模型。外角和的证明（两种证法）进一步巩固了转化思想。本节是三角形内角知识的延伸，为后续学习多边形外角和打下基础。 学情分析：学生已学习了三角形内角和定理（∠A+∠B+∠C=180°）、直角三角形的性质与判定，具备"邻补角"和"对顶角"等基础知识。但学生对"外角"概念和"不相邻内角"的理解可能不够准确，容易混淆外角与不相邻内角、外角与邻补角的关系。外角性质的证明（过顶点作平行线）与内角和定理的证明方法类似，学生有迁移基础。外角和的两种证法需要灵活运用平角定义和内角和定理，对学生的综合运用能力有一定要求。 一、核心素养目标 1. 数学抽象 能从两直线相交、三直线相交的角的关系出发，抽象出三角形外角的概念，明确外角是"三角形的一边与另一边的延长线组成的角"。 能用数学符号语言表述三角形外角的性质：∠ACD=∠A+∠B，以及外角和定理：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°。 2. 逻辑推理 能利用三角形内角和定理和平行线的性质，严格证明三角形外角等于不相邻两内角之和（外角性质）。 能用两种方法（利用内角和推论、利用平角定义）证明三角形的外角和等于360°，体会一题多证的数学思想。 3. 直观想象 能准确识别三角形同一顶点处的四个角，区分内角、外角、对顶角和邻补角。 能在复杂图形中识别外角，并利用外角性质进行"化外为内"或"化内为外"的转化推理。 4. 数学运算 能运用外角性质进行角度计算，解决"已知两内角求外角"或"已知外角和一内角求另一内角"的问题。 能综合运用外角性质、内角和定理、平行线性质等知识解决多角求和问题（如飞镖模型、五角星模型）。 二、教学重难点 教学重点：三角形外角的概念、性质（外角等于不相邻两内角之和）及外角和定理（外角和等于360°）。 教学难点：在复杂图形中识别外角并运用外角性质进行转化推理；外角和的两种证法的灵活运用。 三、教学过程 环节一：情境导入（4分钟） 【教师活动】同学们，请看大屏幕。两只小猫在A处发现有一只老鼠在O处觅食。小猫打算用迂回的方式，由一只先从A前进到C处，然后再折回至B处，截住老鼠返回墙洞的去路，另一只则直接从A处扑向老鼠。已知∠BAC=40°，∠ABC=70°。请问：小猫在C处需要转动多大的角度，才能从AC方向转向CB方向？ 【教师活动】这个问题中，小猫在C处转弯的角度，实际上就是三角形ABC中∠ACB的什么角？ 【学生活动】是∠ACB的外角！ 【教师活动】很好！这个角就是三角形的一个外角。那么，外角究竟有什么性质？外角与三角形的内角之间有什么关系？能不能用内角和定理求出这个外角？带着这些问题，我们进入今天的学习——三角形的外角。 【设计意图】以小猫围捕老鼠的趣味情境引入，激发学生兴趣，同时让学生直观感受外角在实际问题中的出现，自然引出"外角"这一核心概念。 环节二：三角形外角的定义（8分钟） 【过渡语】要研究外角的性质，首先要明确什么是三角形的外角。我们从简单到复杂，逐步探究。 1. 回顾：两直线相交的角 【教师活动】首先，请同学们任意画两条直线，使它们相交。会出现四个角，这些角之间有什么关系？ 【学生活动】有对顶角关系（∠1=∠3，∠2=∠4）和邻补角关系（∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°等）。 【教师活动】回忆得很清楚。对顶角相等，邻补角互补，这是角的基本关系。 2. 三直线两两相交的角 【教师活动】如果在刚才的图形中再画一条直线，使得三条直线两两相交，形成了更多的角。这些角之间又有什么关系呢？ 【学生活动】（思考讨论）形成了三角形和多个外角，角之间的关系更加复杂。 【教师活动】对。三条直线两两相交形成了一个三角形，三角形每个顶点处除了内角之外，还有由一边和另一边的延长线组成的角——这就是我们今天要研究的三角形的外角。 3. 外角的定义 【教师活动】请同学们观察三角形同一顶点处的四个角。其中，∠2是三角形的内角，那么∠1、∠3、∠4分别是什么角？ 【学生活动】∠1和∠2是邻补角，∠3和∠2也是对顶角...不对，∠3是∠2的对顶角，∠1和∠4都是∠2的邻补角，其中∠1和∠4是三角形一边与另一边的延长线组成的角。 【教师活动】那么，哪个是三角形的外角呢？ 【学生活动】∠1和∠4都是外角！因为三角形的外角是三角形的一边与另一边的延长线组成的角。∠1是边AC与边BC的延长线组成的角，∠4是边BC与边AC的延长线组成的角。 【知识点】三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。例如：∠ACD是△ABC中∠ACB的外角。 4. 外角的特征与辨析 【教师活动】三角形外角有哪些特征？请同学们归纳。 【学生活动】①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形另一边的延长线。 【教师活动】很好！那一个三角形有几个外角？ 【学生活动】每个顶点处有两个外角（它们是对顶角，相等），三个顶点共六个外角。但通常我们研究的是每个顶点处取一个外角，共三个外角。 易错提示：外角不是"三角形外面的角"。判断外角的关键是看：这个角是否由三角形的一边和另一边的延长线组成。顶点必须在三角形的一个顶点上。 【教师活动】现在请同学们判断：下列各图中，∠1是△ABC的外角的是哪个？ 【学生活动】选D。A选项中∠1的顶点不是三角形的顶点，B选项中∠1不是由一边和延长线组成的，C选项中∠1的边不是三角形的边，只有D选项符合外角定义。 【教师活动】判断正确！外角的三个条件缺一不可：顶点在三角形顶点上、一条边是三角形的一边、另一条边是另一边的延长线。 【设计意图】从两直线相交→三直线相交→三角形外角，由浅入深地构建外角概念，通过辨析练习强化对外角定义的理解，避免常见错误。 【过渡语】外角的定义已经清楚了，那么外角与三角形的内角之间有什么数量关系呢？下面我们来探究外角的性质。 环节三：三角形外角的性质（10分钟） 1. 实验探究 【教师活动】如图，∠ACD是△ABC的一个外角。请同学们说说图中角的关系。 【学生活动】∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和），∠ACD+∠ACB=180°（邻补角互补）。 【教师活动】从这两组关系，你能发现∠ACD与∠A、∠B之间有什么关系？ 【学生活动】∠ACD=180°-∠ACB，而∠A+∠B=180°-∠ACB，所以∠ACD=∠A+∠B。 【教师活动】非常好！如果∠A=70°，∠B=60°，∠ACD等于多少？ 【学生活动】∠ACD=70°+60°=130°。 【教师活动】那∠ACD与∠A相比，哪个大？与∠B相比呢？ 【学生活动】∠ACD=130°>70°=∠A，∠ACD=130°>60°=∠B。 【教师活动】所以外角不仅等于不相邻两内角之和，还大于任意一个不相邻的内角。 【教师活动】改变∠A、∠B的度数，这个关系还成立吗？请同学们完成表格。 【学生活动】（动手计算并填表）无论∠A和∠B的度数如何变化，∠ACD始终等于∠A+∠B。 【知识点】三角形外角的性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。即∠ACD=∠A+∠B。 【知识点】三角形外角的性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。即∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。 2. 严格证明 【教师活动】实验结论需要严格证明。已知：△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B。 【教师活动】回顾内角和定理的证明方法，我们是如何把分散的角转化到一起的？ 【学生活动】通过作平行线！ 【教师活动】很好！过C作CE∥AB，则∠1和∠B有什么关系？∠2和∠A呢？ 【学生活动】∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）。 【教师活动】所以∠ACD等于什么？ 【学生活动】∠ACD=∠2+∠1=∠A+∠B。证毕！ 【知识点】几何语言：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠B。 重点强调：外角性质中的"不相邻"三个字很关键。外角与相邻的内角是邻补角关系（和为180°），外角等于不相邻的两个内角之和。这是两类不同的关系，不能混淆。 【设计意图】通过"实验探究→发现猜想→严格证明"的完整过程，让学生经历数学定理的发现与论证过程，同时巩固"作平行线转化角"的证明方法。 【过渡语】外角的性质我们已经掌握了，下面通过例题来学习如何灵活运用。 环节四：例题精讲（8分钟） 例1 【教师活动】例1：如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数。 【教师活动】∠BEC是哪个三角形的外角？ 【学生活动】∠BEC是△AEC的一个外角。 【教师活动】由外角性质，∠BEC等于什么？ 【学生活动】∠BEC=∠A+∠ACE=42°+18°=60°。 【教师活动】求出了∠BEC=60°，接下来∠BFC是哪个三角形的外角？ 【学生活动】∠BFC是△BEF的一个外角。 【教师活动】由外角性质，∠BFC等于什么？ 【学生活动】∠BFC=∠ABD+∠BEF=∠ABD+∠BEC=28°+60°=88°。 【教师活动】非常好！这道题两次运用了外角性质，把外角作为"桥梁"，实现了角度的逐层转化。 【知识点】例1方法：两次运用外角性质，∠BEC作为△AEC的外角，∠BFC作为△BEF的外角，逐层转化为已知角。 例2（一题多解） 【教师活动】例2：如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数。 【教师活动】这道题有多种解法，我们一起来探究。 解法一：连接AD并延长到点E 【教师活动】在△ABD中，∠3和∠B、∠1有什么关系？ 【学生活动】∠3是△ABD的外角，所以∠3=∠1+∠B。 【教师活动】在△ACD中，∠4和∠C、∠2有什么关系？ 【学生活动】∠4是△ACD的外角，所以∠4=∠2+∠C。 【教师活动】∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC等于什么？ 【学生活动】∠BDC=(∠1+∠B)+(∠2+∠C)=(∠1+∠2)+(∠B+∠C)=∠BAC+∠B+∠C=51°+20°+30°=101°。 【教师活动】你有没有发现一个重要的结论？ 【学生活动】∠BDC=∠A+∠B+∠C！也就是说，这个"飞镖形"图形中，凹进去的角等于另外三个角的和。 解法二：延长BD交AC于点E 【教师活动】延长BD交AC于E，∠1是哪个三角形的外角？ 【学生活动】∠1是△ABE的外角，所以∠1=∠B+∠A=20°+51°=71°。 【教师活动】∠BDC是哪个三角形的外角？ 【学生活动】∠BDC是△ECD的外角，所以∠BDC=∠1+∠C=71°+30°=101°。 【教师活动】解法二更简洁！两种解法殊途同归，都运用了外角性质。 解法三：连接CD并延长交AB于F 【教师活动】解法三的思路与解法二完全类似，只是辅助线的位置不同，同学们可以课后自己尝试。 解题技巧：飞镖模型（四边形ABCD中∠BDC凹进去）：∠BDC=∠A+∠B+∠C。这个结论可以直接记住，在选择题和填空题中快速使用。证明方法：延长BD交AC于E，两次运用外角性质。 【设计意图】例1是外角性质的基本应用，例2通过一题多解（三种解法）展示了外角性质在不同辅助线下的灵活运用，培养学生的发散思维和模型意识。 【过渡语】现在我们回到课前那只小猫的问题，看看外角性质如何帮助我们解决实际问题。 环节五：解决情境问题与外角和（5分钟） 1. 情境问题解决 【教师活动】回到小猫的问题：已知∠BAC=40°，∠ABC=70°，小猫在C处需要转动的角度∠ECB是多少？ 【学生活动】∠ECB是△ABC的外角，所以∠ECB=∠BAC+∠ABC=40°+70°=110°。 【教师活动】完美！利用外角性质，一步就解决了问题。这就是数学知识在实际问题中的魅力。 2. 三角形的外角和 【教师活动】我们研究了三角形一个外角的性质，那么三角形的三个外角（每个顶点取一个）的和是多少呢？ 【教师活动】例3：如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 证法一：利用外角性质 【教师活动】由外角性质，∠BAE、∠CBF、∠ACD分别等于什么？ 【学生活动】∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2。 【教师活动】那么三个外角的和等于什么？ 【学生活动】∠BAE+∠CBF+∠ACD=(∠2+∠3)+(∠1+∠3)+(∠1+∠2)=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°。 证法二：利用平角定义 【教师活动】∠BAE+∠1等于多少？∠CBF+∠2呢？∠ACD+∠3呢？ 【学生活动】∠BAE+∠1=180°，∠CBF+∠2=180°，∠ACD+∠3=180°（邻补角互补）。 【教师活动】三个式子相加，得到什么？ 【学生活动】(∠BAE+∠CBF+∠ACD)+(∠1+∠2+∠3)=540°。因为∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°。 【教师活动】两种证法都得出相同的结论：三角形的外角和等于360°。 【知识点】三角形的外角和：三角形的外角和等于360°。即∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°。 理解要点：三角形的外角和是一个定值360°，与三角形的形状无关。注意：外角和是指每个顶点处取一个外角，三个外角的和。 【设计意图】回扣情境问题，体现数学的应用价值。外角和的两种证法进一步巩固了转化思想，同时为后续学习多边形外角和做好准备。 【过渡语】知识已经全部学完，现在通过练习题来检验学习效果。 环节六：课堂练习（8分钟） 【教师活动】练习1：如图，AB∥CD，∠A=37°，∠C=63°，那么∠F等于（　） A. 26°　　B. 63°　　C. 37°　　D. 60° 【学生活动】选A。因为AB∥CD，所以∠FEC=∠A=37°（两直线平行，内错角相等）。∠FEC是△CEF的外角，所以∠FEC=∠F+∠C，即37°=∠F+63°，得∠F=37°-63°？不对。∠FEC是△CEF的外角，所以∠FEC=∠F+∠C。但∠FEC=37°，∠C=63°，37°=∠F+63°不成立。再想想：AB∥CD，∠A=37°，所以∠FEC=∠A=37°。∠FEC是△CEF的外角，所以∠F+∠C=∠FEC，即∠F+63°=37°，∠F=37°-63°=-26°，不可能。让我重新分析：AB∥CD，所以∠FEB=∠C=63°（同位角相等）。∠FEB是△AEF的外角，所以∠FEB=∠A+∠F，即63°=37°+∠F，∠F=26°。选A。 【教师活动】分析得很详细！注意：AB∥CD，∠FEB与∠C是同位角，所以∠FEB=63°。而∠FEB是△AEF的外角，所以∠FEB=∠A+∠F。 【教师活动】练习2：如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______。 【学生活动】360°。利用外角性质，可以将多个角转化到三角形中。在△ACE中，∠A+∠C+∠E=180°；在△BDF中，∠B+∠D+∠F=180°，所以总和为360°。 【教师活动】思路正确！利用外角性质将分散的角集中到三角形中，是解决多角求和问题的常用方法。 【教师活动】练习3：如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。 【教师活动】∠1是哪个三角形的外角？ 【学生活动】∠1是△FBE的外角，所以∠1=∠B+∠E。 【教师活动】∠2呢？ 【学生活动】∠2是△GAD的外角，所以∠2=∠A+∠D。 【教师活动】在△CFG中，∠C+∠1+∠2等于多少？ 【学生活动】∠C+∠1+∠2=180°（三角形内角和）。代入∠1=∠B+∠E，∠2=∠A+∠D，得∠C+∠B+∠E+∠A+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。 【教师活动】非常精彩！利用外角性质将五个角转化到同一个三角形中，是这道题的巧妙之处。 解题思路：多角求和问题的通用策略：①利用外角性质将多个角"合并"（如∠B+∠E=∠1）；②将合并后的角放入三角形中，利用三角形内角和180°求解；③对于更复杂的图形，可能需要多次使用外角性质进行转化。 【设计意图】三道练习题由浅入深，覆盖了基本外角计算、多角求和（六角星）、五角星模型等经典题型，全面检验学生对三角形外角性质的掌握程度和转化能力。 环节七：课堂小结（3分钟） 【教师活动】同学们，今天我们学习了三角形的外角。让我们来回顾一下。 【教师活动】什么是三角形的外角？ 【学生活动】三角形的一边与另一边的延长线组成的角。三个条件：顶点在三角形顶点上、一条边是三角形的一边、另一条边是另一边的延长线。 【教师活动】三角形外角有什么性质？ 【学生活动】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。用公式表示：∠ACD=∠A+∠B。 【教师活动】三角形的外角和是多少？ 【学生活动】360°。两种证法：利用外角性质（2×180°）或利用平角定义（3×180°-180°）。 【教师活动】很好！外角性质是解决多角求和问题的利器，也是后续几何证明中"化外为内"的重要工具。请同学们课后完成课本习题，巩固今天所学内容。 知识框架：1. 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角 2. 外角性质：∠ACD=∠A+∠B（等于不相邻两内角之和） 3. 外角大于任意一个不相邻的内角：∠ACD>∠A，∠ACD>∠B 4. 外角和定理：三个外角之和等于360° 5. 核心方法：化外为内、化零为整（利用外角合并多个角） 【设计意图】通过回顾总结，帮助学生梳理外角的知识体系，强化"外角性质"和"外角和"两大核心结论，为后续学习多边形外角和打下基础。 四、板书设计 13.3.2 三角形的外角 一、外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角 特征：顶点在三角形顶点上、一边是三角形一边、另一边是延长线 每个顶点有两个外角（对顶角相等），共六个外角 二、外角的性质 外角等于不相邻两内角之和：∠ACD=∠A+∠B 证明：过C作CE∥AB → 同位角、内错角 外角大于任意一个不相邻内角：∠ACD>∠A，∠ACD>∠B 三、外角和定理 三角形的外角和等于360° 证法一：外角性质 → 2(∠1+∠2+∠3)=360° 证法二：平角定义 → 3×180°-180°=360° 四、典型模型 飞镖模型：∠BDC=∠A+∠B+∠C 五角星模型：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° 方法：化外为内，化零为整 课题：人教版 八年级上册 13.3.2 三角形的外角 五、教学反思 1. "小猫围捕老鼠"的情境导入是否有效激发了学生的探究兴趣？学生是否能自然地从情境问题中识别出三角形的外角？ 2. 从两直线相交→三直线相交→三角形外角的概念构建过程是否自然？学生对"外角"与"三角形外面的角"的区分是否到位？ 3. 外角性质的证明（过C作CE∥AB），学生是否能从内角和定理的证明方法中迁移过来？是否需要强调"化外为内"的转化思想？ 4. 例2的一题多解（三种解法），学生是否能理解不同辅助线下的统一本质（都是两次运用外角性质）？ 5. 外角和的两种证法，学生更倾向于哪种？两种证法分别体现了什么数学思想？ 6. 五角星模型中"∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°"的证明，学生是否能独立完成外角的转化推理？ 学科网（北京）股份有限公司 $