专题1.4 两条直线的平行与垂直（高效培优讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册

专题1.4 两条直线的平行与垂直 教学目标 1. 记住两条直线平行与垂直的条件. 2. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 3. 能利用两直线平行或垂直的条件解决有关问题. 教学重难点 1.重点 (1) 掌握两条直线平行与垂直的判定方法； (2) 能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2.难点 (1)利用直线方程的一般式判断两直线的位置关系； (2)理解两直线平行或垂直的判定方法． 知识点01 两条直线平行（重点） 1. 两条不重合直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，若l1 ∥l2，则k1＝k2；反之，若k1＝k2，则l1 ∥l2，如图所示. 2. 如果不重合的两直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是90°，从而它们互相平行. 【知识剖析】 探究两条直线平行与斜率的关系 l1 ∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件有两个：①两条直线的斜率都存在；②这两条直线不重合. 【即学即练】 1．（24-25高一上·甘肃武威·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 【答案】A 【分析】由两直线的位置关系进行判断． 【解析】两直线的斜率都是2，但在轴上的截距分别为：3，-5， 故两直线平行， 故选：A 2．判断下列直线是否平行,并说明理由. (1)l1:y=2x+k,l2:y=2x+; (2)l1:x+5=0,l2:x-4=0. 【解析】 (1)由方程可知两直线的斜率k1=k2=2,在y轴上的截距b1=k,b2=,所以当k≠时,两直线平行;当k=时,两直线重合. (2)由方程可知直线l1与l2的斜率都不存在,且不重合.故l1∥l2. 主编点评 对于l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,l1∥l2⇔k1=k2,b1≠b2. 知识点02 两条直线垂直（重点） 1. 设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2. 若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，若k1·k2＝－1，则l1⊥l2 . 2. 对于直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，由于l1⊥x轴，l2⊥y轴，所以l1⊥l2. 3. 若两条直线中的一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两直线垂直. 4. 已知两条直线l1：Ax＋By＋C＝0和l2：Bx－Ay＋C2＝0，它们的法向量分别是(A，B)和(B，－A)，法向量互相垂直则两条直线互相垂直. 【知识剖析】 两条直线垂直的判定可简述为: l1⊥l2⇔k1·k2=-1或一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0. 【即学即练】 1．两直线的斜率分别是方程x2+2025x－1=0的两个根，则这两条直线的位置关系是（　　　） A.垂直　　　B.相交但不垂直 C.平行 D.重合 【答案】A 【解析】设两直线的斜率分别为k1,k2, 因为k1,k2是方程程x2+2025x－1=0的两个根, 利用根与系数的关系得k1k2=－1, 所以两直线的位置关系是垂直. 2．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【解析】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 3．（24-25高二上·天津河北·期末）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解． 【解析】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率，由，得， 所以，即，又，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：B． 知识点03 平行、垂直的直线系方程（拓展） 1.平行的直线系方程 （1）斜率为的直线系方程为为常数，为参数. （2）与定直线平行的直线系方程为 ， 为参数，）. （3）过点，且平行于直线 的直线系方程是 ． 2．垂直直线系方程 （1）与直线垂直的直线系方程为（为参数）． （2）与定直线垂直的直线系方程为 （ 为参数）． （3）过点 ，且垂直于直线的直线系方程是 . 【即学即练】 1．求直线l的方程： （1）过点P(2，－1)且与直线3x－2y－6=0平行； （2）过点P(1，－1)且与直线2x+3y+1=0垂直. 【解析】（1）因已知直线与所求直线平行，故所求直线可设为3x－2y+m=0，由点P(2，－1) 在直线上解得m=－8，故所求直线方程为3x－2y－8=0. （2）因已知直线与所求直线垂直，故所求直线可设为3x－2y+m=0，由点P(1，－1)在直线上解得C=－5，故所求直线方程为3x－2y－5=0. 知识点04 利用方程的一般式判断两直线位置关系（拓展） 1.两条直线平行或重合的判定 一般地,设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. (1)当B1≠0,B2≠0时,k1=-,b1=-;k2=-,b2=-;因为l1∥l2,所以-=-,且-≠-,即A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0. (2)当B1=0,B2=0时,x1=-,x2=-;因为l1∥l2,所以-≠-,即A1C2-A2C1≠0. 综上所述,l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0. (3)仿两直线平行可推导出:l1与l2重合⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1=0,A1C2-A2C1=0. 2.两条直线垂直的判定 仿两直线平行的推导方法可得:设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 3.两条直线相交的判定 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,若l1与l2相交,则l1与l2不平行且不重合,而l1∥l2或l1与l2重合⇔A1B2-A2B1=0,故有:l1与l2相交⇔A1B2-A2B1≠0. 4利用系数比判断两直线的位置关系 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0).则有: (1)l1∥l2⇔=≠; (2)l1与l2重合⇔==; (3)l1⊥l2⇔×=-1; (4)l1与l2相交⇔≠. 【即学即练】 1．（23-24高二下·山东济南·期末）直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【答案】A 【解析】利用系数进行判断，因为，所以直线与直线垂直. 2．（24-25高二上·云南·期中）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（   ） A．若，的斜率相等，则，平行 B．若，则，的倾斜角相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，则，的斜率乘积等于 【答案】D 【分析】由两直线斜率相等可得平行，选项A正确；由两直线平行可得倾斜角相等，选项B正确；由两直线斜率之积等于可得两直线垂直，选项C正确；当两直线垂直时，其中一条直线斜率可能不存在，选项D错误. 【解析】根据两直线的位置关系可知若，斜率相等且不重合，则，平行，A正确. 由，可得，的倾斜角相等，B正确. 由，的斜率乘积等于，可得，垂直，C正确. 当与轴平行，与轴平行时，，但直线的斜率不存在，D错误. 故选：D. 题型01 两条直线平行的判定 【典例1】（23-24高二上·北京·期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断． 【解析】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确； 由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确， 所以正确的命题个数是4． 故选：D． 【典例2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线的位置关系的判定方法，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 对于B中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线平行，符合题意； 对于C中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 对于D中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 故选：B. 判断两条直线平行的方法： (1)斜率法：已知l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，则l1 ∥l2. (2)系数法：设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0，l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0. (3)系数比法：设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0).则有l1∥l2⇔=≠. 特别地，当两直线斜率都不存在时，两直线要么平行，要么重合. 【变式1】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合 【答案】B 【解析】两直线方程系数比间具有如下关系：，所以这两直线平行. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【答案】A 【分析】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【解析】对于A，因为，所以，故A对； 对于B，因为，所以直线不平行，故B错； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行，故D错. 故选：A. 【变式3】（24-25高二·江西·课后作业）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） ①的斜率为2，过点，； ②经过点，，平行于轴，但不经过点； ③经过点，，经过点，． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】从斜率是否相等以及直线是否重合两个角度逐项分析即可. 【解析】根据两点间的斜率公式知①中的斜率为2，但是不能保证，有可能两条直线重合； ②③中的两条直线斜率相等但不重合，可以保证． 故选：B. 题型02 两条直线垂直的判定 【典例】判断所给直线的位置关系: (1)3x-y+m=0与6x-2y+5=0; (2)2x-3y+2=0与3x+2y-1=0. 【解析】(1)解法一: 将3x-y+m=0与6x-2y+5=0化为斜截式得y=3x+m与y=3x+, 由方程可知,两直线的斜率k1=k2=3,b1=m,b2=, 所以当m≠时,两直线平行;当m=时,两直线重合. 解法二:显然=,则当m≠时,两直线平行;当m=时,两直线重合. (2)解法一:直线2x-3y+2=0的斜率k1=,直线3x+2y-1=0的斜率k2=-,所以k1k2=×=-1,所以两直线垂直. 解法二:因为2×3+(-3)×2=0,所以两直线垂直. 判断两条直线垂直的方法： (1)斜率法：已知l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，则l1∥l2； (2)系数法：设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0，l1l2⇔A1A2+B1B2=0. 【变式1】（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）若直线的倾斜角为45°，直线经过点P（-2，-1），Q（3，-6），则直线与的位置关系是（  ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【答案】A 【分析】由倾斜角可得直线的斜率，由斜率公式可得直线的斜率，可判断垂直关系. 【解析】由题可知直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线与垂直 故选：A. 【变式2】（23-24高二下·山东济南·期末）直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【答案】A 【分析】分和讨论，其中时，写出两直线斜率，计算其乘积即可判断. 【解析】当时，直线，直线，此时两直线垂直， 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为，则两直线垂直， 综上两直线位置关系是垂直， 故选：A. 【变式3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为两直线垂直，即可判断. 【解析】对于A：直线的斜率为，直线的斜率为， 故两直线平行，故A错误； 对于B：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故B错误； 对于C：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故C错误； 对于D：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积为，即两直线垂直，故D正确； 故选：D. 题型03 根据两直线位置关系求参——斜率法 【典例】 已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2). (1)若l1∥l2,求a的值; (2)若l1⊥l2,求a的值. 【解析】直线l2的斜率k2==-. (1)若l1∥l2,则k1=k2,又直线l1的斜率k1==, ∴=-,解得a=1或a=6. 经检验,当a=1或a=6时,l1∥l2. (2)若l1⊥l2. ①当k2=0时,a=0,k1=-,不符合题意. ②当k2≠0时,l1的斜率存在,此时k1=. 由k1k2=-1,可得a=3或a=-4. ∴当a=3或a=-4时,l1⊥l2. 【易错警示】写解答题的步骤时要注意过程的严谨性，如本例要注意先求出直线l2的斜率,在解决第(2)小题时，要讨论k2＝0和k2≠0两种情况，最后还需将讨论的结果综合在一起. (1)已知l1∥l2求参数时,应首先考虑斜率是否存在.若存在,则k1=k2,还应排除两条直线重合的情况;若有一条直线斜率不存在,则两条直线斜率都不存在. (2)由l1⊥l2求参数时,既要考虑是否有一直线的斜率存在,又要考虑是否有一直线的斜率为0. 【变式1】（2025·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助垂直直线斜率的关系计算即可得. 【解析】由题意可得，解得. 故选：A. 【变式2】已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)． (1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值． 【解析】kl1＝kAB＝＝. (1)若l1∥l2，则3＋a≠2，且kl2＝kMN＝＝＝， 即a≠－1且a2＝5，∴a＝±. (2)当a＋3＝2，即a＝－1时，l2无斜率，此时kl1＝－1，∴l1与l2不垂直； 当a＋3≠2，即a≠－1时，kl2＝，由l1⊥l2，得kl1·kl2＝·＝－1，即a＝0. 题型04 根据两直线位置关系求参——系数法 【典例】已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0, 求当m为何值时,直线l1与l2: (1)相交;(2)平行;(3)重合;(4)垂直. 【分析】可利用系数比求解，此时需分类讨论；也可利用各位置关系的等价条件求解. 【解析】由题意得方程组 (1)解法一:当m=0时,直线l1:x+6=0,l2:-2x+3y=0, ∴l1,l2相交; 当m=2时,直线l1:x+2y+6=0,l2:3y+4=0,∴l1,l2也相交; 当m≠0且m≠2时,=,=,=. 若=,则m=-1或m=3;若=,则m=3. ∴当m≠-1且m≠3时,方程组有唯一解,l1,l2相交. 解法二:∵两条直线相交的条件为A1B2-A2B1≠0, ∴3-m(m-2)≠0,解得m≠3且m≠-1. (2)当m=-1时,方程组无解,l1,l2平行. (3)当m=3时,方程组有无数解,l1,l2重合. (4)解法一:当m-2+3m=0,即m=时,l1与l2垂直. 解法二:∵两直线垂直的条件为A1A2+B1B2=0, ∴(m-2)+3m=0,解得m=. 利用直线的位置关系求参数的值 (1)利用斜率求解时,要注意根据斜率存在与否分类讨论. (2)利用系数求解时,有两种具体策略:一种是利用系数比构造方程或不等式求解,但此时要注意对分母是否为0进行讨论;另一种是利用各种位置关系与方程系数有关的等价关系式进行求解,此时不需分类讨论,前一种策略对应的条件容易记忆,后一种策略对应的条件较难记忆. 【变式1】（24-25高二下·山西·期中）若直线与直线垂直，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用两条直线互相垂直列式求解. 【解析】由直线与直线垂直，得，所以. 故选：C 【变式2】（2025·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助垂直直线斜率的关系计算即可得. 【解析】由题意可得，解得. 故选：A. 【变式3】（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得. 【解析】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 题型05 求与已知直线平行的直线 【典例】（2025·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【分析】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【解析】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C. 根据直线平行求直线方程的方法 (1)根据两直线平行，可先确定出待求直线的斜率,再根据待求直线上点的坐标或其他条件求解直线方程. (2)根据平行直线系方程，设出待求直线的方程，再利用待定系数法求解. 【变式1】（24-25高二上·广东江门·期末）过点与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据直线与平行设出直线方程，根据过点即可求解. 【解析】设直线方程为，因为直线过点， 所以，所以直线方程为. 故选C. 【变式2】（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据直线平行，令直线为，再由所过的点求参数，即可得方程. 【解析】令直线为，且过点， 所以，即，故直线的方程为. 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】求出线段AB中点的坐标，根据直线间的平行关系设所求直线方程，代入所过点坐标求得参数，即得答案. 【解析】由点，，得线段AB中点的坐标为， 故过点且与直线平行的直线的方程可设为， 代入点，可得，故所求直线方程为， 故选：B. 题型06 求与已知直线垂直的直线 【典例】已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线m的方程. (1)m与l平行, 且过点(－1,3) ; (2) m与l垂直, 且m与两轴围成的三角形面积为4. 【解析】 (1)解法一:直线l的斜率为, 又,所以, 所以直线m的方程为,即3x+4y-9=0. [7] 解法二:由条件, 可设l′的方程为 3x+4y+m=0, 点(-1,3)在直线上,所以3×(－１)+4×3+m=0,解得m=－9, ∴直线m′的方程为 3x+4y－9=0. (2) 由条件, 可设l′的方程为4x－3y+n=0, 令y=0, 得 令x=0, 得 于是三角形面积 解得. ∴直线m′的方程是 根据直线垂直求直线方程的方法 (1)根据两直线垂直，可先确定出待求直线的斜率,再根据待求直线上点的坐标或其他条件求解直线方程. (2)根据平行直线系方程，设出待求直线的方程，再利用待定系数法求解. 【变式1】（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系设出直线的方程，代入点求出答案. 【解析】直线与直线垂直， 设直线的方程是 将代入直线中，，解得， 故直线的方程为. 故选：D. 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知点A(－1，0)，B(5，2)，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是（    ） A．3x＋2y－8＝0 B．3x－2y－4＝0 C．2x－3y－1＝0 D．2x＋3y－7＝0 【答案】B 【解析】由题意，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直， 则直线l的斜率为， 又AB的中点为(2，1)， 所以直线l的方程为y－1＝ (x－2)，即3x－2y－4＝0. 故选：B. 【变式3】（24-25高二上·广西南宁·开学考试）已知的三个顶点，，，求： (1)边上的高所在直线的方程； (2)的垂直平分线所在直线的方程． 【分析】(1)由斜率公式易知，由垂直关系可得直线的斜率，代入点斜式易得方程； (2)根据可得，再由中点坐标公式可得线段的中点，可得方程． 【解析】（1）由斜率公式易知，直线的斜率． 又直线过点，代入点斜式得直线的方程为：． （2），．又线段的中点为， 所在直线的方程为， 整理得所求的直线方程为：． 题型07利用两直线垂直或平行处理几何问题 【典例】（24-25高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【解析】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 1.证明平面几何中的垂直或平行问题 对于平面几何中的垂直或平行问题,常构建直角坐标系,将涉及垂直或平行的直线用方程表示出来,于是便可用本节所学的直线平行或垂直的判定方法进行证明. 2.判断多边形的形状 利用直线的平行或垂直判断多边形邻边是否垂直、对边是否平行,从而确定多边形的形状. 【变式1】（24-25高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 【分析】根据题意，结合直线斜率的坐标计算公式，分别判断直线是否平行与垂直即可. 【解析】四边形是矩形．证明如下： 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形． 又， 所以，所以四边形是矩形． 又，， 令，即，无解， 所以与不垂直，故四边形是矩形． 【变式2】（24-25高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可. 【解析】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线与直线一定（   ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】求得两直线的斜率，根据斜率关系判断直线的位置关系. 【解析】由直线得，, 由直线得，, 因为，故两直线相交但不垂直. 故选：D. 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线位置关系与斜率的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，所以甲是乙的充分条件； 若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 3．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解. 【解析】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即， 故选：A. 4．（24-25高二上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】两直线平行，斜率相等，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可以设为Ax＋By＋＝0，代入经过的点，即可求出﹒ 【解析】令与直线平行的直线方程为， 由题意可得，点在直线上，所以 解得， 所以所求直线的方程为： 故选：B. 5．（24-25高二上·河南·月考）已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（    ） A． B．1 C．或1 D．0或2 【答案】C 【分析】根据直线平行可得，结合向量平行的坐标表示运算求解即可. 【解析】因为，， 若，可知， 则，解得或. 故选：C. 6．（24-25高二上·上海金山·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【解析】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 7.（2025辽宁沈阳高二上联考）已知点 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论哪个角是直角，再用垂直关系列式求解. 【解析】若角O为直角，由点A在y轴上知点B在x轴上，故即不能组成三角形; 若角A为直角，则根据A、B纵坐标相等，得； 若角B为直角，则有所以， 得. 故. 8．（2024高三·全国·专题练习）四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 【答案】D 【分析】分别求出四边形四条边所在直线的斜率，利用对边和邻边斜率之间的关系从而确定直线的位置的关系，最后确定四边形的形状即可. 【解析】由， ，，， ，， ，与不平行， 则四边形为梯形， 又 ， 四边形为直角梯形， 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若 ，则或 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则 【分析】应用直线平行、垂直的判定列方程求参数，注意验证即可得答案. 【解析】已知直线， 若 ，则，求得或， 经检验或都满足条件，故A正确，B不正确. 若，则，得，故C不正确，D正确. 故选：AD. 10．（24-25高二下·四川内江·开学考试）设直线，则（ ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线：一定垂直 C．直线过定点 D．当点在直线的右下方时， 【答案】CD 【分析】令计算直线在轴上的截距可得选项A错误；利用两直线垂直公式可得选项B错误；直线方程变形可得选项C正确；数形结合可得选项D正确. 【解析】A.令得，， 当时，直线在轴上无截距，当时，，直线在轴上的截距为，A错误. B.，当时，直线与直线不垂直，B错误. C.直线可化为， 由得，，故直线过定点，C正确. D.由点在直线的右下方得，. 由得， ∴，解得，D正确. 故选：CD. 11．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【分析】根据定点判断A，根据直线垂直及重合求参判断B，结合直线的定点及斜率判断D. 【解析】过定点，故选项A正确； 当时，重合，故选项B错误； 由，得或2，故选项C正确； 当时，始终过，斜率为负，不会过第三象限，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12.（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线，若且，则的值为 . 【答案】5 【解析】因为，，所以， 因为，所以，解得， 所以. 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知集合}，若，则 k的值为 . 【答案】或 【分析】集合中的元素都是直线上的点，可将“交集为空集”转化成“两条直线没有交点”，根据两直线间的位置关系可求得结果. 【解析】由题意，集合中，可整理成， 所以，集合表示直线上的点集，集合表示直线上的点集. 因为，所以直线与直线平行或有一个交点， 当两直线平行时，；当两直线交点为时，. 故答案为：或. 14.（2025四川成都高一上联考）将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝______. 【答案】 【解析】由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是　解得　故m＋n＝. 四、解答题 15．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【解析】（1）因为 ，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 16．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 【分析】（1）根据可求出结果； （2）根据可求出结果. 【解析】（1）因为直线AC与直线BD平行，所以， 所以，经检验两直线不重合， 所以 （2）因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在， 所以， 所以， 17．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标. 【分析】（1）根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）根据题意，设点，根据，可得出，求出的值，即可得出点的坐标. 【解析】（1）设所求直线方程为， 将点的坐标代入得，所以， 所以所求直线方程为. （2）因为点在直线上，设点， 因为，且直线的斜率为，故，解得， 所以点的坐标为. 18.（24-25高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【分析】（1）求出中点，则可得到中线的直线方程； （2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到边上的高的直线方程； （3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程. 【解析】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 19．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 【分析】（1）运用直线的斜率相等构造方程组计算D坐标； （2）运用直线斜率乘积判断，进而判断菱形； （3）运用两点式得到直线AD方程. 【解析】（1）设，因为四边形为平行四边形， 所以 所以解得，所以 （2）因为 所以， 所以.所以为菱形. （3）由于则直线AD方程为：，化简得到直线AD方程为:. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 两条直线的平行与垂直 教学目标 1. 记住两条直线平行与垂直的条件. 2. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 3. 能利用两直线平行或垂直的条件解决有关问题. 教学重难点 1.重点 (1) 掌握两条直线平行与垂直的判定方法； (2) 能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2.难点 (1)利用直线方程的一般式判断两直线的位置关系； (2)理解两直线平行或垂直的判定方法． 知识点01 两条直线平行（重点） 1. 两条不重合直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，若l1 ∥l2，则 ；反之，若k1＝k2，则 ，如图所示. 2. 如果不重合的两直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是 ，从而它们互相平行. 【知识剖析】 探究两条直线平行与斜率的关系 l1 ∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件有两个：①两条直线的斜率都存在；②这两条直线不重合. 【即学即练】 1．（24-25高一上·甘肃武威·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 2．判断下列直线是否平行,并说明理由. (1)l1:y=2x+k,l2:y=2x+; (2)l1:x+5=0,l2:x-4=0. 知识点02 两条直线垂直（重点） 1. 设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2. 若l1⊥l2，则k1·k2＝ ；反之，若k1·k2＝－1，则 . 2. 对于直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，由于l1⊥ 轴，l2⊥ 轴，所以l1⊥l2. 3. 若两条直线中的一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两直线垂直. 4. 已知两条直线l1：Ax＋By＋C＝0和l2：Bx－Ay＋C2＝0，它们的法向量分别是 ，法向量互相垂直则两条直线 . 【知识剖析】 两条直线垂直的判定可简述为: l1⊥l2⇔k1·k2=-1或一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0. 【即学即练】 1．两直线的斜率分别是方程x2+2025x－1=0的两个根，则这两条直线的位置关系是（　　　） A.垂直　　　B.相交但不垂直 C.平行 D.重合 2．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 3．（24-25高二上·天津河北·期末）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 知识点03 平行、垂直的直线系方程（拓展） 1.平行的直线系方程 （1）斜率为的直线系方程为为常数，为参数. （2）与定直线平行的直线系方程为 ， 为参数，）. （3）过点，且平行于直线 的直线系方程是 ． 2．垂直直线系方程 （1）与直线垂直的直线系方程为 （为参数）． （2）与定直线垂直的直线系方程为___________（ 为参数）． （3）过点 ，且垂直于直线的直线系方程是_____________ 【即学即练】 1．求直线l的方程： （1）过点P(2，－1)且与直线3x－2y－6=0平行； （2）过点P(1，－1)且与直线2x+3y+1=0垂直. 知识点04 利用方程的一般式判断两直线位置关系（拓展） 1.两条直线平行或重合的判定 一般地,设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. (1)当B1≠0,B2≠0时,k1=-,b1=-;k2=-,b2=-;因为l1∥l2,所以-=-,且-≠-,即A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0. (2)当B1=0,B2=0时,x1=-,x2=-;因为l1∥l2,所以-≠-,即A1C2-A2C1≠0. 综上所述,l1∥l2⇔ . (3)仿两直线平行可推导出:l1与l2重合⇔ . 2.两条直线垂直的判定 仿两直线平行的推导方法可得:设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2⇔ . 3.两条直线相交的判定 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,若l1与l2相交,则l1与l2不平行且不重合,而l1∥l2或l1与l2重合⇔ ,故有:l1与l2相交⇔ . 4利用系数比判断两直线的位置关系 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0).则有: (1) ⇔=≠; (2) ⇔==; (3) ⇔×=-1; (4) ⇔≠. 【即学即练】 1．（23-24高二下·山东济南·期末）直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 2．（24-25高二上·云南·期中）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（   ） A．若，的斜率相等，则，平行 B．若，则，的倾斜角相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，则，的斜率乘积等于 题型01 两条直线平行的判定 【典例1】（23-24高二上·北京·期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 判断两条直线平行的方法： (1)斜率法：已知l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，则l1 ∥l2. (2)系数法：设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0，l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0. (3)系数比法：设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0).则有l1∥l2⇔=≠. 特别地，当两直线斜率都不存在时，两直线要么平行，要么重合. 【变式1】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合 【变式2】（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【变式3】（24-25高二·江西·课后作业）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） ①的斜率为2，过点，； ②经过点，，平行于轴，但不经过点； ③经过点，，经过点，． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型02 两条直线垂直的判定 【典例】判断所给直线的位置关系: (1)3x-y+m=0与6x-2y+5=0; (2)2x-3y+2=0与3x+2y-1=0. 判断两条直线垂直的方法： (1)斜率法：已知l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，则l1∥l2； (2)系数法：设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0，l1l2⇔A1A2+B1B2=0. 【变式1】（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）若直线的倾斜角为45°，直线经过点P（-2，-1），Q（3，-6），则直线与的位置关系是（  ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【变式2】（23-24高二下·山东济南·期末）直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【变式3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型03 根据两直线位置关系求参——斜率法 【典例】 已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2). (1)若l1∥l2,求a的值; (2)若l1⊥l2,求a的值. (1)已知l1∥l2求参数时,应首先考虑斜率是否存在.若存在,则k1=k2,还应排除两条直线重合的情况;若有一条直线斜率不存在,则两条直线斜率都不存在. (2)由l1⊥l2求参数时,既要考虑是否有一直线的斜率存在,又要考虑是否有一直线的斜率为0. 【变式1】（2025·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)． (1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值． 题型04 根据两直线位置关系求参——系数法 【典例】已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0, 求当m为何值时,直线l1与l2: (1)相交;(2)平行;(3)重合;(4)垂直. 利用直线的位置关系求参数的值 (1)利用斜率求解时,要注意根据斜率存在与否分类讨论. (2)利用系数求解时,有两种具体策略:一种是利用系数比构造方程或不等式求解,但此时要注意对分母是否为0进行讨论;另一种是利用各种位置关系与方程系数有关的等价关系式进行求解,此时不需分类讨论,前一种策略对应的条件容易记忆,后一种策略对应的条件较难记忆. 【变式1】（24-25高二下·山西·期中）若直线与直线垂直，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（2025·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型05 求与已知直线平行的直线 【典例】（2025·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 根据直线平行求直线方程的方法 (1)根据两直线平行，可先确定出待求直线的斜率,再根据待求直线上点的坐标或其他条件求解直线方程. (2)根据平行直线系方程，设出待求直线的方程，再利用待定系数法求解. 【变式1】（24-25高二上·广东江门·期末）过点与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型06 求与已知直线垂直的直线 【典例】已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线m的方程. (1)m与l平行, 且过点(－1,3) ; (2) m与l垂直, 且m与两轴围成的三角形面积为4. 根据直线垂直求直线方程的方法 (1)根据两直线垂直，可先确定出待求直线的斜率,再根据待求直线上点的坐标或其他条件求解直线方程. (2)根据平行直线系方程，设出待求直线的方程，再利用待定系数法求解. 【变式1】（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知点A(－1，0)，B(5，2)，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是（    ） A．3x＋2y－8＝0 B．3x－2y－4＝0 C．2x－3y－1＝0 D．2x＋3y－7＝0 【变式3】（24-25高二上·广西南宁·开学考试）已知的三个顶点，，，求： (1)边上的高所在直线的方程； (2)的垂直平分线所在直线的方程． 题型07利用两直线垂直或平行处理几何问题 【典例】（24-25高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    1.证明平面几何中的垂直或平行问题 对于平面几何中的垂直或平行问题,常构建直角坐标系,将涉及垂直或平行的直线用方程表示出来,于是便可用本节所学的直线平行或垂直的判定方法进行证明. 2.判断多边形的形状 利用直线的平行或垂直判断多边形邻边是否垂直、对边是否平行,从而确定多边形的形状. 【变式1】（24-25高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 【变式2】（24-25高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线与直线一定（   ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 3．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南·月考）已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（    ） A． B．1 C．或1 D．0或2 6．（24-25高二上·上海金山·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.(2025辽宁沈阳高二上联考)已知点 A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 二、多选题 9．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若 ，则或 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高二下·四川内江·开学考试）设直线，则（ ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线：一定垂直 C．直线过定点 D．当点在直线的右下方时， 11．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 三、填空题 12.（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线，若且，则的值为 . 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知集合}，若，则 k的值为 . 14.（2025四川成都高一上联考）将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝______. 四、解答题 15．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 16．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 17．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标. 18.（24-25高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 19．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$