1.5 两条直线的交点坐标-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．若直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为(　　) A．(1，－4) B．(0，－2) C．(－1，0) D．(0，) 解析：选C．易知直线2x＋y＋2＝0的斜率为－2，由两直线垂直可得直线ax＋4y－2＝0的斜率－＝，解得a＝－2.联立解得即交点坐标为(－1，0).故选C． 2．已知直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点坐标为(2，－1)，则m＋n的值为(　　) A．12 B．10 C．－8 D．－6 解析：选B．因为直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点坐标为(2，－1).所以将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0，得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5，将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0，得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5，所以m＋n＝10.故选B． 3．过直线x＋y＋1＝0和x－2y＋4＝0的交点，且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程是(　　) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y＋5＝0 C．x＋2y－4＝0 D．2x－y－3＝0 解析：选B．联立方程解得 所以交点坐标为(－2，1).因为直线x＋2y－3＝0的斜率为－，故所求直线的斜率为2，由点斜式方程得，所求直线方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0.故选B． 4．若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　) A．k>－ B．k<2 C．－<k<2 D．k<－或k>2 解析：选C．方法一：由直线l1，l2有交点，得k≠－2.由得即交点坐标为(，).又交点在第一象限内，所以 解得－<k<2. 方法二：由题意知，直线l1：y－2＝k(x＋1)过定点P(－1，2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4).若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括点A，B).因为kPA＝－，kPB＝2，所以－<k<2.故选C． 5．已知点A(1，2)，B(a，b)，C(c，d)，若A是直线l1：ax＋by＋1＝0和l2：cx＋dy＋1＝0的公共点，则直线BC的方程为(　　) A．x＋2y－1＝0 B．x＋2y＋1＝0 C．2x＋y－1＝0 D．2x＋y＋1＝0 解析：选B．由点A(1，2)在l1：ax＋by＋1＝0上可知，a＋2b＋1＝0，同理，由点A(1，2)在l2：cx＋dy＋1＝0上可知c＋2d＋1＝0，故点B(a，b)与C(c，d)均满足方程x＋2y＋1＝0，由于两点确定一条直线，因此直线BC的方程为x＋2y＋1＝0.故选B． 6．(多选)已知两直线(m＋2)x－y＋m＝0，x＋y＝0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．0 解析：选ABD．由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点． 于是解得m≠－2且m≠－3且m≠0.故选ABD． 7．(2024·江西南昌月考)过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，且与直线3x＋4y－2＝0平行的直线方程是_________________________． 解析：联立解得故交点坐标为(0，2)，设直线方程为3x＋4y＋m＝0，m≠－2，将点(0，2)代入得8＋m＝0，解得m＝－8，故所求直线方程为3x＋4y－8＝0. 答案：3x＋4y－8＝0 8．若三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10，2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为____________________________________． 解析：由解得又点(4，－2)在直线ax＋2y＋8＝0上，所以4a＋2×(－2)＋8＝0，解得a＝－1. 答案：－1 9．经过点P(1，0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程为__________________________． 解析：设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0，点P(1，0)在直线上，所以1－2＋λ(3＋2)＝0，解得λ＝，所以所求直线方程为x＋2y－2＋×(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0. 答案：x＋y－1＝0 10．(2024·安徽宿州期中)已知△ABC的顶点A(3，1)，AB边上的高所在的直线方程为4x－y－13＝0，AC边上的中线所在的直线方程为5x－2y－12＝0. (1)求直线AB的方程； (2)求点C的坐标． 解：(1)设AB边上的高为CE，因为CE⊥AB，且直线CE的方程为4x－y－13＝0，故斜率为4，所以直线AB的斜率为－，因为A(3，1)，所以直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋4y－7＝0. (2)设D为AC的中点，且D(a，b)，则C(2a－3，2b－1)，BD所在直线的方程为5x－2y－12＝0，由题意得 解得即点C的坐标为(5，7). 11．(2024·安徽亳州期中)已知一条光线从点P(－1，5)射出，经直线x－y＝0反射后经过点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．2x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－17＝0 C．4x＋3y－17＝0 D．3x＋2y－12＝0 解析：选C．设点P(－1，5)关于直线x－y＝0的对称点为P′(a，b)，则化简得解得故反射光线过点P′(5，－1)与点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为＝，即4x＋3y－17＝0.故选C． 12．(多选)已知直线l1：xsin α＋y＝0与直线l2：x＋3y＋c＝0，则下列结论中正确的是(　　) A．直线l1与直线l2可能相交 B．直线l1与直线l2可能重合 C．直线l1与直线l2可能平行 D．直线l1与直线l2可能垂直 解析：选ABC．直线l1：xsin α＋y＝0的斜率为－sin α，过定点(0，0)，直线l2：x＋3y＋c＝0的斜率为－，过点(－c，0)，若直线l1与直线l2相交，则sin α≠，而－1≤sin α≤1，即sin α≠可以成立，故A正确；若直线l1与直线l2重合，则c＝0，且sin α＝，而－1≤sin α≤1，可以有sin α＝，故B正确；若直线l1与直线l2平行，则sin α＝且c≠0，而－1≤sin α≤1，可以有sin α＝，故C正确；若直线l1与直线l2垂直，则sin α＝－1，则sin α＝－3，与－1≤sin α≤1矛盾，直线l1与直线l2不可能垂直，故D错误．故选ABC． 13．已知△ABC的顶点B(－5，－2)，C(1，－2)，一条角平分线所在直线为x－y－1＝0，则点A的坐标为________． 解析：如图所示，易知点A在直线x－y－1＝0上，设点D(xD，yD)为点C(1，－2)关于直线x－y－1＝0的对称点．由于直线CD与直线x－y－1＝0垂直，且线段CD的中点在直线x－y－1＝0上，则解得因此点D的坐标为(－1，0).根据对称性可知点D(－1，0)在直线AB上，又点B的坐标为(－5，－2)，于是直线AB的方程为＝，即x－2y＋1＝0.联立 解得得点A的坐标为(3，2). 答案：(3，2) 14．已知△ABC的顶点A(2，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x＋y－1＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－y＝0，求直线BC的方程． 解：由题意知，点B在直线x－y＝0上，则可设B(m，m)，所以AB的中点为M(，)，所以2×＋－1＝0，解得m＝－1，所以B(－1，－1).因为BH⊥AC，所以kAC＝－1，所以直线AC的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，联立解得即C(－2，5)，所以直线BC的方程为＝，即6x＋y＋7＝0. 15．使三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0，2x－3my－4＝0不能围成三角形的实数m的值最多有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 解析：选B．要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，则＝，即m＝4，经验证，满足要求；若mx＋y＝0，2x－3my－4＝0平行，则＝，无解；若4x＋y－4＝0，2x－3my－4＝0平行，则＝，即m＝－，经验证，满足要求；若三条直线交于一点，则 解得m＝或m＝－1；经检验知，m∈均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个．故选B． 16．已知直线l过点P(3，2)且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点． (1)若直线l的斜率为－2，求△AOB的面积； (2)若△AOB的面积S满足12≤S<，求直线l的斜率k的取值范围． 解：(1)因为直线l的斜率为－2，所以直线l的方程为y－2＝－2(x－3)，整理得y＝－2x＋8，所以直线与x轴、y轴正半轴的交点为A(4，0)，B(0，8)，故△AOB的面积S＝×4×8＝16. (2)根据题意，直线l的斜率k存在且k≠0，所以直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k≠0)，整理得y＝kx＋2－3k，所以直线与x轴、y轴正半轴的交点分别为A(，0)，B(0，2－3k)，所以解得k<0，所以△AOB的面积S＝··(2－3k)＝＝－(＋)＋6，由于△AOB的面积S满足12≤S<，所以6≤－(＋)<，整理得24k≥－18k2－8>51k，解不等式得－<k<－，故直线l的斜率k的取值范围是(－，－). 学科网（北京）股份有限公司 $