第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试-2026年新高一数学暑期衔接进阶（人教A版）

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次函数、方程和不等式核心内容，通过基础辨析、实际应用及新定义题型，全面检测知识掌握与素养发展，适配高中数学单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|不等式性质、基本不等式、充分条件|第8题货箱安排问题，体现数学眼光观察现实世界| |多选|3/18|不等式命题判断、新定义运算|第11题定义新运算，考查数学思维的逻辑推理| |填空|3/15|最值问题、实际应用|第13题矩形栅栏问题，培养数学语言表达实际情境| |解答|5/77|解不等式、最值证明、新定义探究|第19题“上位点”“下位点”定义，融合创新应用与逻辑论证，契合核心素养要求|

第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，由，得，故A错误； 对于B，当时，有，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，若，，则，不满足，故D错误. 2．已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【答案】D 【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25． 3．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】； . 因为“”是“”的必要不充分条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 4．已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 由，解得，即. 故. 5．已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：A 6．已知，，都是正数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．8 D．9 【答案】C 【解析】由题意得，， 等号成立时， 则的最小值为. 故选：C 7．已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的根为和， 所以，解得， 所以. 故选：B 8．火车站有某公司待运的甲种货物306吨，乙种货物230吨．现计划用、两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列方案满足要求的是（   ） A．货箱27节，货箱23节 B．货箱26节，货箱24节 C．货箱31节，货箱19节 D．货箱30节，货箱20节 【答案】D 【解析】设安排种型号的货箱节，种型号的货箱节， 则，，， 则， 解得，， 解得， 所以，则或或，共3种方案， 满足题意的只有D选项． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 10．已知正实数满足，且，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，因为正实数满足，且，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，但等号不能取得，故C正确； 对于D，令，则，故D错误. 故选：ABC 11．定义运算（其中），则下列结论正确的是（    ） A． B．对任意 C．对任意，，都有 D．对任意，都有 【答案】ACD 【解析】先化简定义的运算， 所以，故选项A正确； 当时， ，所以选项B错误； 因为， 即对任意，，都有，故选项C正确； 因为， 又因为，所以，即， 即对任意，都有，故选项D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【解析】由，等式两边平方得：展开得. 由于对任意实数，有， 将其代入上式：，则. 当且仅当时取等号，代入,解得或，此时，满足取等条件,因此的最大值为1. 13．某校欲在100米长的围墙边用栅栏围成一个18平方米的矩形区域，作为天鹅的地面栖息地，矩形区域的一条边为围墙（如图）.则至少需要______米栅栏. 【答案】12 【解析】设矩形区域与围墙垂直的一边长为米，与围墙平行的一边长为米 ，则. 由题可知. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为，即最少需要12米栅栏. 故答案为12. 14．已知，，且，则的值为____________． 【答案】 【解析】由已知条件，，， 可得：当时，取到最大值， ； 当时，取到最小值为， . 因此，而题设给出， 故必有，当且仅当或时成立. 当时，，，，； 当时，，，，. 因此，的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解下列不等式： (1)； (2) 【解析】（1）由，得，解得，故原不等式的解集为. （2）由得， 等价于，解得，故原不等式的解集为. 16．（15分） 已知正实数满足 (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【解析】（1）因为正实数满足， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. （2）因为正实数满足， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 17．（15分） （1）若关于的不等式的解集是，求的值． （2）解关于的不等式 【解析】（1）因为不等式的解集是， 所以是方程的两个实数根，且， 将代入方程中得， 则原不等式为为，即， 所以不等式的解集为， 从而得出，所以，． （2）方程的根为，， 当即时，不等式为，解集为； 当即时，不等式解集为； 当即时，不等式解集为； 综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为． 18．（17分） 已知正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时即时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值： (2)若实数满足，求证：； (3)求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【解析】（1）正实数满足，，， 当且仅当且时取等号，解得， 的最小值为. （2），， ，当且仅当时等号成立， ， . （3），，解得， ， 根据均值不等式可得， 当且仅当时等号成立，解得， ， ，， 最大值为，此时的值为. 19．（17分） 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 【解析】（1）由， 根据题意的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和. （2）点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 因为点是点的“上位点”，所以， 因为， 所以，所以点是点的“下位点”， 因为， 所以，所以点是点的“上位点”； 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”； （3）若正整数满足条件，在，时恒成立， 即， 所以所以， 所以，在，时恒成立， 所以， 又由（2）中的结论可知，，时，满足条件， 因此，的最小值为4039． 第2页，共10页 第3页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 3．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知，，都是正数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．8 D．9 7．已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 8．火车站有某公司待运的甲种货物306吨，乙种货物230吨．现计划用、两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列方案满足要求的是（   ） A．货箱27节，货箱23节 B．货箱26节，货箱24节 C．货箱31节，货箱19节 D．货箱30节，货箱20节 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知正实数满足，且，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．定义运算（其中），则下列结论正确的是（    ） A． B．对任意 C．对任意，，都有 D．对任意，都有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知实数，满足，则的最大值为________． 13．某校欲在100米长的围墙边用栅栏围成一个18平方米的矩形区域，作为天鹅的地面栖息地，矩形区域的一条边为围墙（如图）.则至少需要______米栅栏. 14．已知，，且，则的值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解下列不等式： (1)； (2) 16．（15分） 已知正实数满足 (1)求的最大值； (2)求的最小值． 17．（15分） （1）若关于的不等式的解集是，求的值． （2）解关于的不等式 18．（17分） 已知正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时即时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值： (2)若实数满足，求证：； (3)求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 19．（17分） 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $