1.3 空间向量的坐标表示及运算课后练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（暑假高一升高二衔接）

课后训—空间向量的坐标表示及运算- 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 空间中点、向量的坐标表示】 1．（24重庆高二上期末康德卷）已知空间直角坐标系中的一点，则点Q在平面上的射影点的坐标为 ． 【答案】 【分析】作边长为1的正方体，建立空间直角坐标系观察可得. 【详解】以棱长为1的正方体的共顶点的三条棱所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图，由图可知，点Q在平面上的射影为点P，坐标为.    故答案为： 2．（1）如图1，直三棱柱的所有棱长都是，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点的坐标是 ． （2）在如图2所示的空间直角坐标系中，四边形是正方形，则PD的中点M的坐标为 .    （图1） （图2） 【答案】（1） （2） 【分析】根据给定的空间直角坐标系，求出的坐标即可得解. 【详解】（1） ,即顶点的坐标是 （2）依题意，，则， 则点，而点， 所以PD的中点M的坐标为. 故答案为： 3．（24广东广州高二上开学）（多选）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及其已知可得，点的坐标为 点关于点对称的点为 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为 点关于平面对称的点为 故选：ACD 4．（24北京丰台高二上期中）在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性求出点、的坐标，再利用空间向量的坐标运算可求得向量的坐标. 【详解】因为点关于轴的对称点为点，则， 因为点关于平面的对称点为点，则， 因此，. 故选：A. 5．（24江苏南京高二下期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终点坐标减去起点坐标，即为所求向量的坐标，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 6．（24江苏盐城高二上期末）（多选）在空间直角坐标系中，已知某平行四边形三个顶点的坐标分别为 ，，，则第四个顶点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分列式计算即可. 【详解】设第四个顶点的坐标为， ①，与，的中点重合， 则，解得， ②，与，的中点重合， 则，解得， ②，与，的中点重合， 则，解得， 所以第四个顶点的坐标为或或. 故选：ABD. 【题组二 空间向量坐标运算——加减、数乘、数量级、平行与垂直】 7．（25江苏南京高二下期中）已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 【答案】A 【分析】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 8．（25福建漳州高二下期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 【答案】-1 【分析】表达出，，，根据四点共面得到，列出方程，求出答案. 【详解】依题意，得，，． 若四点共面，则，即， 所以，所以． 故答案为：-1 9．（25江苏连云港高二下月考）设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由有存在，即可解得，又得解得，进而求解. 【详解】由有存在，所以， 由有，所以，所以， 故选：D. 10．（24吉林高二上月考）已知，，当时，实数的值为 ． 【答案】6 【分析】由题意依次算得的值，然后根据列方程即可求解. 【详解】因为，， 所以 ， 因为， 所以， 解得. 故答案为：6. 11．（25甘肃天水高二下期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 【答案】(1)的坐标为或 (2)； 【分析】（1）由已知可设，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）先求向量，再根据投影定义求. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为向量与平行， 所以可设，， 所以，因为， 所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； （2）因为，，， 所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量， 所以. 【题组三 空间向量坐标运算——模长、夹角、投影】 12．（25江苏常州高二下月考）向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的关系列式求解，的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模公式计算得出结果. 【详解】由，，则，解得， ，， ， . 故选：C. 13．（25甘肃兰州高二下期中）（多选）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AD 【分析】求出即可判断A，利用向量的数量积的坐标运算即可判断B，由在上的投影向量为计算即可判断C，计算夹角公式即可判断D. 【详解】，故A正确； ， 所以，所以与不垂直，故B错误； 在上的投影向量为，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 14．（25福建莆田高二下期中）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量 共线，求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）首先设，再根据条件列出方程组，即可求解； （2）根据（1）的结果，确定向量，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）设，则由题可知， 解得或， 所以或． （2）因为向量与向量共线，所以． 又，，所以，， 所以，且，， 所以与夹角的余弦值为． 15．（24安徽巢湖高二上期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先求出，，根据向量共线得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 【题组四 合理建系下的坐标运算】 16．（24北京丰台高二上期中）在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O，则OP =（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，确定点O，P的坐标，利用空间两点间的距离公式，即可求得答案. 【详解】由题意知在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1， 不妨设该顶点为D，以D点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则，根据正方体的对称性，可取， 故. 故选：D 17．（24北京高二上月考）在正方体中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出相关图象，建立空间坐标系，利用空间向量求解直线与直线夹角的余弦值，即可求解. 【详解】由题意作出相关图象，如下图， 以点D为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，    则 ，，，， 连接，易得与相似，又由正方体性质， 所以，从而可得， 故，， 所以， 设直线与直线夹角为，则，故A正确. 故选：A. 18．（24江西高二上联考）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，是的中点，． (1)求． (2)证明：． (3)求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题设条件建立空间直角坐标系，求出的坐标后可取； （2）利用向量垂直的坐标形式可证明； （3）求出的坐标后利用夹角公式可求的值． 【详解】（1） 因为底面，底面是正方形，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 而，故， 故. （2）因为，故，故， 所以，所以. （3）由（1）、（2）可得，而， 故，故， 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后训—空间向量的坐标表示及运算- 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 空间中点、向量的坐标表示】 1．（24重庆高二上期末康德卷）已知空间直角坐标系中的一点，则点Q在平面上的射影点的坐标为 ． 2．（1）如图1，直三棱柱的所有棱长都是，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点的坐标是 ． （2）在如图2所示的空间直角坐标系中，四边形是正方形，则PD的中点M的坐标为 . （图1） （图2）    3．（24广东广州高二上开学）（多选）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 4．（24北京丰台高二上期中）在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24江苏南京高二下期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24江苏盐城高二上期末）（多选）在空间直角坐标系中，已知某平行四边形三个顶点的坐标分别为 ，，，则第四个顶点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【题组二 空间向量坐标运算——加减、数乘、数量级、平行与垂直】 7．（25江苏南京高二下期中）已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 8．（25福建漳州高二下期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 9．（25江苏连云港高二下月考）设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 10．（24吉林高二上月考）已知，，当时，实数的值为 ． 11．（25甘肃天水高二下期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 【题组三 空间向量坐标运算——模长、夹角、投影】 12．（25江苏常州高二下月考）向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 13．（25甘肃兰州高二下期中）（多选）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 14．（25福建莆田高二下期中）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量 共线，求向量与夹角的余弦值． 15．（24安徽巢湖高二上期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【题组四 合理建系下的坐标运算】 16．（24北京丰台高二上期中）在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O，则OP =（    ） A． B． C．2 D． 17．（24北京高二上月考）在正方体中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 18．（24江西高二上联考）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，是的中点，． (1)求． (2)证明：． (3)求的值． 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$