精品解析：天津市和平区天津益中学校2025-2026学年八年级下学期期末 数学试卷

益中学校2025－2026-2八年级阶段性学情调研 数学学科 本试卷分为第I卷（选择题）、第Ⅱ卷（主观题）两部分，共100分，考试用时100分钟．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！ 第I卷 一、单选题 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象不能反映y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，点为的中点，若，则的长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 4. 2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器成功在月球背面着陆，并首次完成对月球背面土壤采样，对月球探索意义重大．下表记录了甲、乙、丙、丁四种方案所用着陆时间的平均数与方差，要从中选择一种着陆平均时间短且着陆稳定的方案，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（） 15 16 18 15 方差 0.2 0.2 0.3 0.3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（ ） A. 海里/时 B. 海里/时 C. 海里/时 D. 海里/时 7. 如图，在平行四边形中，平分且交于点E，若，，则平行四边形的周长为（ ） A. 16 B. 8 C. 20 D. 10 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对边相等的平行四边形是矩形 9. 下列关于一次函数的说法，错误的是( ) A. 图象经过第一、二、四象限 B. 随的增大而减小 C. 图象与轴交于点 D. 当时， 10. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图能判断分数方差最小、数据最集中的班级是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判断 11. 如图，在中，以点为圆心，以小于线段长的一半为半径画弧分别交边于点，在线段上取一点（点不与点重合），以点为圆心以线段长为半径画弧交线段于点，再以点为圆心，以点之间的距离为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在边长为9的正方形中，动点E，F分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点B落在边上的点G处（点G不与点C，D重合），点A落在点H处，与交于点P，连接．给出下列四个结论：①；②的周长为定值18；③；④如果，那么四边形的面积为32．上述结论中，正确结论的序号有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题 13. 计算的结果为_________． 14. 若多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为______． 15. 将直线向下平移5个单位长度，则平移后的直线解析式为_______． 16. 若一次函数（b为常数）的图像过点，且与的图像平行，则这个一次函数的解析式为______． 17. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 18. 如图，在边长为1的正方形网格中，均为格点，连接线段与线段，交于点，． （1）线段___________； （2）只用无刻度直尺，在网格中构造矩形，使得矩形的面积为8，请画出图象，写出作法，不用说明理由___________________________________________________________________________________ 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 21. 某高校学生会向全校2900名学生发起了“爱心一日捐”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机抽样调查的学生人数为___，图①中m的值是___； (2)求本次你调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； (3)根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 22. 如图，点是菱形对角线的交点，，连接． （1）求证：； （2）如果，，求四边形的周长． 23. 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家，小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 小华离家的距离 ②当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点在第一象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限，射线经过点．         （1）如图①，求点的坐标； （2）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，设，矩形与重叠部分的面积为． ①如图②，当点在轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②在平移的过程中，请直接写出线段的最小值． 25. 如图，在平面直角坐标系中有矩形，交轴于点，对角线交轴于点． （1）直接写出直线的解析式___________；直接写出点的坐标___________； （2）如图①，若沿折叠，点在线段上，点的对应点在线段上，求点的坐标； （3）直接写出点关于直线的对称点的坐标___________； （4）平面内有一点，点的坐标是，连接，与轴交于点，点是线段上一动点（不与点，点重合），将沿所在直线翻折，得到，当与重叠部分的面积是面积的时，直接写出线段的长度___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 益中学校2025－2026-2八年级阶段性学情调研 数学学科 本试卷分为第I卷（选择题）、第Ⅱ卷（主观题）两部分，共100分，考试用时100分钟．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！ 第I卷 一、单选题 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足， 解得． 2. 下列图象不能反映y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查识别图像反映是的函数为问题，掌握函数的定义是解题关键．根据函数的定义，设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，一一排查即可． 【详解】解：A、当x取一值时，y有两个值与其对应，y不是x的函数，故本选项符合题意； B、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 如图，在中，，点为的中点，若，则的长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴． 故选：B． 4. 2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器成功在月球背面着陆，并首次完成对月球背面土壤采样，对月球探索意义重大．下表记录了甲、乙、丙、丁四种方案所用着陆时间的平均数与方差，要从中选择一种着陆平均时间短且着陆稳定的方案，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（） 15 16 18 15 方差 0.2 0.2 0.3 0.3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方差以及平均数的意义，解题的关键是掌握：方差越小数据越稳定、平均数越小时间越短．方差越小数据越稳定、平均数越小时间越短．据此判断即可． 【详解】解：∵平均时间短的着陆方案是甲和丁，着陆稳定的方案甲和乙， ∴选择一种平均时间短且着陆稳定的方案，应该选择甲． 故选：A． 5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可． 【详解】解：，，，，， ，，， 错误，B错误，C正确，D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方． 6. 如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（ ） A. 海里/时 B. 海里/时 C. 海里/时 D. 海里/时 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，，海里，海里，利用勾股定理计算出，进而求出乙船的航速． 【详解】解：由题意可知，，（海里），海里， 在中，（海里）， ∴乙船的航速为（海里/时）． 7. 如图，在平行四边形中，平分且交于点E，若，，则平行四边形的周长为（ ） A. 16 B. 8 C. 20 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据四边形是平行四边形，得出对边平行，对边相等， 结合角平分线的定义，得出，故，即，然后列式计算得出平行四边形的周长，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分且交于点E， ∴， ∴， ∴， 则平行四边形的周长为． 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对边相等的平行四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形、矩形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A错误． B选项，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故B错误． C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合矩形的判定定理，故C正确． D选项，对边相等是所有平行四边形都具有的性质，无法判定该平行四边形是矩形，故D错误． 9. 下列关于一次函数的说法，错误的是( ) A. 图象经过第一、二、四象限 B. 随的增大而减小 C. 图象与轴交于点 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质；由，可知图象经过第一、二、四象限；由，可得随的增大而减小；图象与轴的交点为；当时，； 【详解】解：∵， ∴图象经过第一、二、四象限，选项A正确，不符合题意； ∵， ∴随的增大而减小，选项B正确，不符合题意； 令时，， ∴图象与轴的交点为，选项C不正确，符合题意； 令时，， 当时，，选项D正确，不符合题意； 故选：C． 10. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图能判断分数方差最小、数据最集中的班级是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【详解】解：箱线图中，甲班分数最大值与最小值的差值以及上四分位数与下四分位数的差值最小，数据最集中，方差最小． 11. 如图，在中，以点为圆心，以小于线段长的一半为半径画弧分别交边于点，在线段上取一点（点不与点重合），以点为圆心以线段长为半径画弧交线段于点，再以点为圆心，以点之间的距离为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，平行线的判定和性质，根据作图得到，得到，即可得出结论． 【详解】解：对于D选项，∵根据作图，可知， ∴， ∴．故D选项正确． 对于A选项，得不出，故A选项错误； 对于B选项，只有当F为中点时，才成立，故B选项错误； 对于C选项，点不与点重合，没有条件证明，故C选项错误． 12. 如图，在边长为9的正方形中，动点E，F分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点B落在边上的点G处（点G不与点C，D重合），点A落在点H处，与交于点P，连接．给出下列四个结论：①；②的周长为定值18；③；④如果，那么四边形的面积为32．上述结论中，正确结论的序号有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得，，得到，，可以判定①正确；过点B作于Q，利用三角形全等的判定和性质，等量代换，可以判定②；设，的交点为M，过点E作于点K，利用三角形全等的判定和性质，等量代换，可以判定③正确；设，则，根据勾股定理，得，根据③的结论，得到；四边形的面积为 ，计算可以判定④． 【详解】解：边长为9的正方形， ， ， 根据折叠的性质，得，， ，， ， 故①正确； 如图，过点B作于Q，则， 由①可知：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴． ∴， ∴ 故的周长为定值18； 故②正确； 设，的交点为M，过点E作于点K， 根据题意，得， 故四边形是矩形， ∴， 根据折叠的性质，得，， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； 故③正确； ， ，， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； ∴； ∴四边形的面积为 ； 故④错误． 第Ⅱ卷 二、填空题 13. 计算的结果为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 14. 若多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的外角和等于是解题关键．先求出这个多边形的每个外角都是，再根据多边形的外角和等于求解即可得． 【详解】解：∵这个多边形的每个内角都是， ∴这个多边形的每个外角都是， ∴这个多边形的边数为， 故答案为：9． 15. 将直线向下平移5个单位长度，则平移后的直线解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用“上加下减"的平移规律求解即可． 【详解】解：直线向下平移5个单位长度后：y=2x+3-5，即y=2x-2． 故填：y=-2x-2． 【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和函数解析式之间的关系，灵活运用平移规律“左加右减，上加下减”成为解答本题的关键． 16. 若一次函数（b为常数）的图像过点，且与的图像平行，则这个一次函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】设一次函数的解析式为y=-2x+b，把（1，4）代入解析式，确定b即可． 【详解】∵一次函数（b为常数）的图像过点，且与的图像平行， ∴， 则一次函数的解析式为y=-2x+b， ∴4= -2+b， 解得：b=6， ∴一次函数的解析式为y=-2x+6． 故答案为：y=-2x+6． 【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数图像的平移，熟练掌握待定系数法，平移规律是解题的关键． 17. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解， （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ； （2）延长到点，使，连接 由点向作垂线，垂足为 ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， 在中， ， ， 在中，， 为的中位线， ； 故答案为：2；. 18. 如图，在边长为1的正方形网格中，均为格点，连接线段与线段，交于点，． （1）线段___________； （2）只用无刻度直尺，在网格中构造矩形，使得矩形的面积为8，请画出图象，写出作法，不用说明理由___________________________________________________________________________________ 【答案】 ①. 5 ②. ，取格点M，I，J，连接交于点N，则四边形即为所求； 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）取格点M，I，J，连接交于点N，根据题意可得，则，则可证明，可得，由勾股定理可得，则，由勾股定理可得；可证明四边形是平行四边形，则，可证明，则，则可证明四边形为矩形，且其面积为． 【详解】解：（1）由网格的特点和勾股定理可得； （2）略 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）首先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后合并即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积的面积的面积 ． 21. 某高校学生会向全校2900名学生发起了“爱心一日捐”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机抽样调查的学生人数为___，图①中m的值是___； (2)求本次你调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； (3)根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 【答案】（1）50，32；（2）平均数为16，众数是10，中位数是15；（3）928人 【解析】 【分析】（1）根据捐款数是5元的，所占的百分比是8%，即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得m的值； （2）根据平均数、众数、中位数的定义即可求解； （3）利用总人数2900乘以对应的百分比即可求解． 【详解】解：（1）调查的学生数是：4÷8%=50（人）， m=×100=32． 故答案是：50，32； （2）平均数是： =16（元）， 众数是：10元，中位数是：15元； （3）该校本次活动捐款金额为10元的学生人数是：2900×32%=928（人）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 如图，点是菱形对角线的交点，，连接． （1）求证：； （2）如果，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ∴∠COB=90° 平行四边形是矩形， ． （2）34 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，然后根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后根据矩形的性质即可得证； （2）先根据菱形的性质可得，，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用矩形的周长公式即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ，， ， ， ， 由（1）已证：四边形是矩形， 则四边形的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键． 23. 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家，小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 小华离家的距离 ②当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①，，；② （2） 【解析】 【分析】①根据函数图象解答即可；②分，和，根据函数图象及待定系数法解答即可； 求出的函数解析式，再求出时的值，进而结合图象即可求出不等式的解集． 【小问1详解】 解：①由函数图象可得，小华去书店的速度为， ∴分钟时小华离家的距离为， 又由图象可知时，小华离家的距离为；时，小华离家的距离为； ②由①知，小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图象可知，当时，； 当时，设，把和代入， 得， 解得， ∴； 综上，； 【小问2详解】 解：如图， ∵小华的妈妈以的速度散步直接到公园， ∴， 当时，令， 解得， ∵， ∴符合题意； 令， 解得， ∵， ∴符合题意； 由图象可知，当时，． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点在第一象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限，射线经过点．         （1）如图①，求点的坐标； （2）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，设，矩形与重叠部分的面积为． ①如图②，当点在轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②在平移的过程中，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）过点B作于点T，求出，由三线合一定理得到，证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案； （2）①由平移知，四边形是矩形，得，进而得到，再由重叠部分面积即可求解；②求出点C的坐标为；，，则可推出，可以看成x轴上的一点到点和到点的距离之和，则当点在点与点组成的线段上时有最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点B作于点T， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴； 由平移知，四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如图1所示：此时， 当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如图2所示： 此时， ∴t的取值范围是， 综上所述，； ②∵四边形是矩形， ∴轴， ∵射线经过点B， ∴点C的纵坐标为2，即点C的坐标为； 由（2）①得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵可以看成x轴上的一点到点和到点的距离之和， ∴当点在点与点组成的线段上时有最小值即点和点两点之间组成的线段的长， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 25. 如图，在平面直角坐标系中有矩形，交轴于点，对角线交轴于点． （1）直接写出直线的解析式___________；直接写出点的坐标___________； （2）如图①，若沿折叠，点在线段上，点的对应点在线段上，求点的坐标； （3）直接写出点关于直线的对称点的坐标___________； （4）平面内有一点，点的坐标是，连接，与轴交于点，点是线段上一动点（不与点，点重合），将沿所在直线翻折，得到，当与重叠部分的面积是面积的时，直接写出线段的长度___________． 【答案】（1）； （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入直线的解析式求出y的值即可得到点F的坐标； （2）求出，，则可求出；由折叠的性质可得，则；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）设交于点L，过点L作轴于点R，由轴对称的性质得到；利用等面积法可得，则，同理可得，据此求出；设点H的坐标为，根据中点坐标公式可得，解之即可得到答案； （4）求出直线的解析式为，可得点P的坐标为；则可证明点P为的中点；再分两种情况：点F在下方和点F在上方，分别画出示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 由题意得，， ∴， ∴直线的解析式为； 在中，当时，， ∴点F的坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，设交于点L，过点L作轴于点R， ∵点B和点H关于直线对称， ∴； 由（2）得， ∵， ∴， ∴， 同理可得， 在中，当时，，解得， ∴； 设点H的坐标为， ∵，即点L为的中点， ∴， ∴， ∴点H的坐标为； 【小问4详解】 解：设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； ∵的中点的坐标为，即， ∴点P为的中点； 如图所示，当点F在下方时，设交于点K，连接， 由折叠的性质可得， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴； ∵与重叠部分的面积是面积的， ∴， ∴， ∴点K为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点F在上方时，设交于点K，连接， 由折叠的性质可得，， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴； ∵与重叠部分的面积是面积的， ∴， ∴， ∴点K为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $