26.1二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过矩形面积、球队比赛场次、产量增长三个实际问题导入，引导学生列出函数关系式，观察共同点后抽象出二次函数定义，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以实际问题为载体发展数学眼光中的抽象能力，通过概念辨析题和实例应用强化数学思维中的推理意识，课堂小结结构化呈现定义、系数及应用助力数学语言表达。学生能提升抽象与判断能力，教师可获得清晰的教学流程与丰富资源。

第二十六章 二次函数 26.1二次函数的概念 1. 会通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式，体会二次函数的意义，提高抽象能力. 2. 了解二次函数的概念，能准确判断一个函数关系是不是二次函数关系，并能说出二次函数各项的系数. 学习目标 2 在现实世界中，变量之间的关系多种多样.作为描述变量之间关系的函数，其种类也很丰富. 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y（单位：m²）会随矩形一边长 x（单位：m）的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？ 解：矩形的一边长 x 和面积 y 都是变量. 而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数. 根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为 y=x(20-x)，即 20x. ① 这是一个不同于一次函数的新函数. 课堂导入 问题1 n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛. 比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ 每支球队都要与其他 (n-1) 支球队各比赛 1 场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数 n(n-1)，即 ② ②式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. 课堂导入 问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由的值确定，与之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t. 再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量y=20(1+x)2，即 y=20x2+40x+20. ③ ③式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 课堂导入 思考：观察函数①②③，它们有什么共同点？ y=-x2+20x. ① m ② y=20x2+40x+20. ③ 共同点: (1)含有自变量的代数式是整式； (2)化简后自变量的最高次数是2； (3)二次项系数不为0. 知识点 二次函数的概念 新知讲解 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 知识点 二次函数的概念 新知讲解 例1 下列函数中，一定是二次函数的有（ ） ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ① ，是二次函数； ② ，由于  不是整式，所以不是二次函数； ③ ，不是二次函数； ④ ， 的最高次数是 3，不是二次函数； ⑤ y=ax2+bx+c，当 a=0 时，y=bx+c不是二次函数. A 知识点 二次函数的概念 新知讲解 判断二次函数的步骤 一化：将函数解析式化为y=ax2+bx+c的形式； 二看：含自变量的代数式是否为整式，二次项系数是否为0； 三判：判断所给函数是否为二次函数. 知识点 二次函数的概念 新知讲解 (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. (2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 .写出两年后该产品的年销售量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式. 解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以 ，即 (2) 一年后该产品的年销售量为 8(1-x) 万件，两年后该产品的年销售量为8(1-x)(1-x)万件,所以y=8(1-x)2.即 y=8x2-16x+8. 例2 知识点 二次函数的概念 新知讲解 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 y=8x2−16x+8 y=x2 y=−x2+5x y=2(x−1)2−5=2x2−4x−3 8 1 - 2 -16 0 5 -4 8 0 0 -3 解： 随堂练习 如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为 y m2. 写出 y 关于 x 的函数解析式. 解：由图形知，扩充后绿地的长为(30+x) m，宽为(20+x) m， 则y=(30+x)(20+x)， 即y=x2+50x+600. 30 m x m 20 m x m 随堂练习 3.下列关于x的函数中，一定是二次函数的为( ) A.y=ax2+bx+c B.y2=x2-4x+1 C.y=x2 D.y=2+ C 随堂练习 4.二次函数y=2x2+2x-4的二次项系数与常数项的和为( 　 ) A.1 B.-2 C.7 D.-6 B 随堂练习 5.函数 y=(m-n)x2+mx+n (m,n是常数)是二次函数的条件是( ) A.m≠0 B.n≠0 C.m≠n D.m,n为任何实数 C 随堂练习 定义 应用 二次函数的概念 系数 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数 其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 根据实际问题的数量关系，构建二次函数模型 课堂小结 $