专题4.1整式（知识点总结+8大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

4.1整式 【题型1】单项式的概念辨析与判定 1.核心知识点总结 单项式是由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数（如-5、0）或一个字母（如a、x）也属于单项式。 单项式中仅含乘法（含乘方）运算，不含加法、减法及分母含字母的除法运算。 2.高频考点梳理 常见考查形式：从代数式中筛选单项式（如区分（是）与（否））。 易混淆场景：判断含的式子（是常数，如是单项式）、单独的常数。 3.易错点警示 误将含加法的式子归为单项式（如是多项式，非单项式）。 误将分母含字母的式子归为单项式（如是分式，非单项式）。 4.解题技巧拆解 第一步：观察式子是否含加法、减法运算，若含则非单项式。 第二步：检查分母是否含字母（除外），若含则非单项式；若仅为数字与字母的积或单独的数/字母，则为单项式。 【例题1】．（2024-2025•沅江市期末）在0，3x+1，x2，﹣5a中，属于单项式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-1】．（2024-2025•衡山县期末）下列式子不是单项式的是（　　） A．4x B．a C．2+x D．3.14 【变式题1-2】．（2024-2025•保定期末）在式子﹣3x2y，x+y，0，，，中，是单项式的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式题1-3】．（2024-2025•渝中区校级期末）下列各式：2a，，2x（x﹣1），πr2，，，，中，是单项式的有（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【题型2】单项式系数与次数的精准提取 1.核心知识点总结 单项式的系数：指单项式中的数字因数，包含前面的正、负号（如的系数是-3）。 单项式的次数：指一个单项式中所有字母的指数的和（如的次数是）。 2.高频考点梳理 系数相关：带分数系数需化为假分数（如的系数是）；参与的单项式，计入系数（如的系数是）。 次数相关：单个字母的次数为1（如的次数是1，非0）；常数项（不含字母）的次数为0（如5的次数是0）。 3.易错点警示 忽略系数的符号（如将的系数误记为1，实际是-1）。 计算次数时漏算字母的指数1（如将的次数误算为2，实际是）。 4.解题技巧拆解 提取系数：去掉单项式中的所有字母，剩余的数字及符号即为系数（若系数为1或-1，通常省略，需补出）。 计算次数：逐个找出每个字母的指数，将所有指数相加，结果即为次数。 【例题2】．（2024-2025•长沙校级期末）单项式的系数和次数分别是（　　） A．，3 B．，4 C．，﹣4 D．，4 【变式题2-1】．（2024-2025•淄博期末）单项式的系数是　 　 ，次数是　 　 ． 【变式题2-2】．（2024-2025•平舆县校级期末）单项式的次数是　 　 ，系数是　 　 ． 【变式题2-3】．（2024-2025•荔城区期末）下列说法中，正确的是（　　） A．0不是单项式 B．﹣a2b3的系数是﹣1，次数是5 C．6πx3的系数是6 D．的系数是﹣2，次数是3 【题型3】多项式的项、项数与次数及最高次项的综合判定 1.核心知识点总结 多项式是几个单项式的和，组成多项式的单项式（带符号）称为“项”，不含字母的项是“常数项”，项的总数为“项数”。 多项式的次数是最高次项的次数，次数最高的项（带符号）是“最高次项”；“关于某字母的多项式”中，仅该字母的指数计入次数。 2.高频考点梳理 拆项需带符号（如的项是、)，项数含常数项。 多字母项次数为字母指数和(如次数为5)；“不含某次数项”则该次项系数为0(如不含二次项则二次项系数=0)。 3.易错点警示 拆项漏符号(如将的项误记为、)。 混淆“项的次数”与“多项式次数”(如误判次数为4)。 误判“关于某字母的多项式”的次数(如将视为关于x的三次多项式）。 4.解题技巧拆解 第一步：按“+”“-”拆项，数项数、找常数项（带符号）。 第二步：算每一项次数，定最高次项与多项式次数。 第三步：验证特殊条件（如不含某次数项则系数=0）。 【例题3】．（2024-2025•河南期末）下列说法正确的是（　　） A．的系数为 B．﹣22xy2z次数是6 C．x2﹣4x+5是一个二次三项式 D．2x2﹣3x+1一次项的系数为3 【变式题3-1】．（2024-2025•平舆县校级期末）多项式x2y+xy﹣8是　 　 次　 　 项式． 【变式题3-2】．（2024-2025•香河县期末）对于多项式x2﹣5x﹣6，下列说法正确的是（　　） A．它是三次三项式 B．它的常数项是6 C．它的一次项系数是﹣5 D．它的二次项系数是2 【变式题3-3】．（2024-2025•郸城县期末）多项式的各项分别是（　　） A． B． C． D． 【题型4】利用单项式次数条件求未知字母取值(提升) 1.核心知识点总结 若单项式为“n次单项式”，则所有字母的指数和等于n；若为“关于x、y的n次单项式”，则x、y的指数和等于n。 若单项式系数不为0(如“五次单项式”需保证系数≠0，否则次数可能降低)。 2.高频考点梳理 含绝对值的字母次数：如“单项式是三次单项式”，需满足且，解得。 多字母次数关联：如“单项式与次数相同”，需，解得。 3.易错点警示 忽略系数不为0的条件(如“是三次单项式”，易漏，导致的错误解)。 绝对值方程解不完整(如，只取，漏)。 4.解题技巧拆解 第一步：根据单项式次数定义，列指数和方程(如n次单项式，指数和=n)。 第二步：若系数含字母，补充“系数≠0”的条件(避免单项式退化为常数或低次)。 第三步：解方程(含绝对值方程需考虑正负解)，验证解是否满足所有条件。 【例题4】．（2024-2025•洪洞县期末）如果32a2b|m|是六次单项式，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．±4 【变式题4-1】．（2024-2025•兴平市期末）若单项式xmy3与﹣4xyn+5的和仍是单项式，则m+n的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣2 【变式题4-2】．（2024-2025•东坡区期末）已知单项式（m﹣1）x|m|y4的次数是5，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1 【变式题4-2】．（2025春•青浦区期末）已知关于x，y的单项式﹣3πx2b+1y2与的次数相同，则b＝　 　 ． 【题型5】依据多项式次数与项数求未知字母参数(提升) 1.核心知识点总结 若多项式为“m次n项式”，则最高次项的次数为m，项数为n；若“不含某次数项”，则该次数项的系数为0。 多字母多项式：如“关于x的多项式”，仅需考虑x的指数，其他字母视为常数(如是关于x的二次二项式)。 2.高频考点梳理 不含某项的条件：如“多项式不含二次项”，则，解得。 多参数联立：如“多项式是二次三项式”，需(不含四次项)且，解得、。 3.易错点警示 混淆“关于x的多项式”中字母的处理(如将视为关于x的三次多项式，实际y视为常数，是二次多项式)。 漏项数条件(如“五次三项式”，易只满足次数为5，漏项数为3的条件)。 4.解题技巧拆解 第一步：明确多项式的“次数要求”(最高次项次数=指定次数)和“项数要求”(单项式个数=指定项数)。 第二步：若不含某次数项，令该次项系数=0；若含高次项需消去，令高次项系数=0。 第三步：联立方程求解参数，验证是否满足所有条件(次数、项数、系数不为0等)。 【例题5】．（2024-2025•高唐县期末）若代数式5x|m|+4x2﹣2xy是三次多项式，单项式3x4+myn与该多项式的次数相同，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 【变式题5-1】．（2024-2025•玉山县期末）若多项式是关于x的五次三项式，则m的值是（　　） A．5 B．﹣3 C．﹣5 D．5或﹣5 【变式题5-2】．（2024-2025•和平区校级期末）若关于x的多项式（a﹣3）2x3+x|b|﹣2x+b+1的次数与单项式﹣2xy的次数相同，则a＝　 　 ；b＝　 　 ． 【变式题5-3】．（2024-2025•惠城区三模）已知多项式（2m﹣5n）x3﹣3x6n﹣2m+x﹣3的次数为2，则m+2n的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【题型6】多项式按指定字母的升幂与降幂规范排列(提升) 1.核心知识点总结 升幂排列：按指定字母的次数从低到高排列(常数项次数视为0，排最前)。 降幂排列：按指定字母的次数从高到低排列(常数项排最后)，排列时项的符号随项一起移动。 2.高频考点梳理 指定单字母排列：如将按x降幂排列，先标x的次数：(x次数0)、(x次数3)、(x次数2)、(x次数1)，排列为。 含常数项的排列：常数项在升幂中排最前，降幂中排最后(如按x升幂排列为)。 3.易错点警示 移动项时漏带符号(如将按x降幂排列，误写为，漏的负号)。 混淆“指定字母”(如按x排列却误按y的次数排列)。 4.解题技巧拆解 第一步：给多项式每一项标注指定字母的次数(常数项次数为0)。 第二步：按“升幂(低→高)”或“降幂(高→低)”的顺序，将项依次排列。 第三步：检查每一项的符号是否随项移动，确保排列后多项式与原多项式相等(可代入特殊值验证)。 【例题6】．（2024-2025•东方期末）把多项式2a2+b2﹣4ab2﹣2a3，按a的升幂排列正确的是（　　） A．b2﹣4ab2+2a2﹣2a3 B．b2+4ab2+2a2﹣2a3 C．﹣2a3+2a2﹣4ab2+b2 D．b2﹣4ab2﹣2a3+2a2 【变式题6-1】．（2024-2025•东坡区期末）将多项式﹣3x3y4﹣x4y2+6x﹣1+2x2y按字母x的升幂排列为 　 　 ． 【变式题6-2】．（2024-2025•沙坪坝区期末）多项式2y2﹣2x3y﹣6x+3x2y3按x的降幂排列正确的是（　　） A．3x2y3﹣2x3y+2y2﹣6x B．2y2﹣6x+3x2y3﹣2x3y C．﹣2x3y+3x2y3﹣6x+2y2 D．2x3y+3x2y3﹣6x+2y2 【变式题6-2】．（2025秋•闵行区校级月考）把整式﹣6xy2﹣5x2y3+x3y﹣3按x降幂排列：　 　 ． 【题型7】单项式系数与次数的数字规律探究(培优) 1.核心知识点总结 单项式规律通常涉及三部分：符号规律(正负交替，常用或表示，n为序号)、系数绝对值规律(如2n、2n-1等)、次数规律(如与序号n相等、2n-1等)。 常见规律模型：如、、、…，符号为，系数绝对值为n，次数为n，通项为。 2.高频考点梳理 系数绝对值为奇/偶数：如、、…，系数绝对值为，符号为，通项为。 次数与系数关联：如、、…，系数为，次数为，通项为。 3.易错点警示 符号规律判断错误(如序号1为负，序号2为正，易误写为，实际应为)。 系数与次数规律混淆(如将系数规律误记为次数规律)。 4.解题技巧拆解 第一步：列出前3-5个单项式，分别拆解“符号”“系数绝对值”“次数”三部分。 第二步：分别找三部分与序号n的关系(符号用调节，系数和次数用整式表示)。 第三步：合并三部分，写出第n个单项式的通项公式，代入序号验证(如n=3，看是否与第三个单项式一致)。 【例题7】．（2024-2025•睢县期末）观察下列板式： 22﹣12＝2+1＝3；32﹣22＝3+2＝5； 42﹣32＝4+3＝7；52﹣42＝5+4＝9；62﹣52＝6+5＝11；… 若字母n表示自然数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来：　 　 ． 【变式题7-1】．（2024-2025•拱墅区校级期末）观察多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+⋯的构成规律，则： （1）它的第5项是　 　 ； （2）当x＝1时，多项式前200项的和为　 　 ． 【变式题7-2】．（2024-2025•郯城县期末）按一定规律排列的单项式：﹣2x，4x4，﹣6x9，8x16，﹣10x25，……，则第7个单项式是（　　） A．7x7 B．﹣7x7 C．14x49 D．﹣14x49 【变式题7-3】．（2024-2025•望城区期末）按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣7a2，9a3，⋯，则第9个单项式是　 　 ． 【题型8】整式背景下创新定义问题的求解(培优) 1.核心知识点总结 创新定义问题通常给出新规则(如“对称多项式”“齐次多项式”)，需结合整式的概念(单项式、多项式、次数、系数)理解规则，再按规则解题。 常见新定义：如“对称多项式”指(如)；“齐次多项式”指所有项的次数相同(如是三次齐次多项式)。 2.高频考点梳理 新定义判断：如“判断是否为对称多项式”，需验证，，二者相等，故是。 新定义计算：如“若多项式是‘一次齐次多项式’，求a、b、c满足的条件”，则所有项次数为1，故、、。 3.易错点警示 误解新定义关键词（如“齐次多项式”误理解为“含齐次项”，实际是所有项次数相同）。 忽略新定义中的限制条件（如“关于x的创新多项式”，漏“仅含x字母”的限制）。 4.解题技巧拆解 第一步：精读新定义，提取关键规则（如“对称”→变量交换后相等，“齐次”→所有项次数相同）。 第二步：将新规则转化为整式的数学语言（如“对称”→，“齐次”→每一项次数=指定次数）。 第三步：结合整式知识（次数、系数、项数）按规则解题，验证结果是否符合新定义。 【例题8】．（2024-2025•竞秀区开学）已知多项式x2﹣8kxy． （1）它是 　 　 次多项式； （2）若式子中不含xy项，按一种新定义运算：a*b，则2*k＝ 　 　 ． 【变式题8-1】．（2024-2025•沈阳校级期末）定义：若一个多项式有两项且两项的次数相同，则这样的多项式就叫做“齐次二项式”．若关于a，b的多项式﹣2amb3+na3b2是“齐次二项式”，在数轴上表示n的点在表示﹣2的点的右侧距离5个单位长度处，则mn＝ 　 　 ． 【变式题8-2】．（2024-2025•厦门期末）定义运算：m※n＝（m﹣1）（n+2）．若A※B＝mn，其中A为含m的多项式，B为含n的多项式，写出一组符合条件的A和B：　 　 ． 【变式题8-3】．（2024-2025•东港市期中）定义：f（x，y）是关于x，y的多项式，如果f（x，y）＝f（y，x），那么f（x，y）叫做“对称多项式”．例如：f（x，y）＝x2+x+y+y2，则f（y，x）＝y2+y+x+x2，显然f（x，y）＝f（y，x），所以f（x，y）＝x2+x+y+y2是“对称多项式”． （1）试说明f（x，y）＝x2﹣2xy+y2是“对称多项式”； （2）请写出一个“对称多项式”：f（x，y）＝ 　 　 （不多于四项）； （3）如果f1（x，y）和f2（x，y）均为“对称多项式”，那么f1（x，y）+f2（x，y）一定是“对称多项式”吗？如果一定是请说明理由，如果不一定是，请举例说明． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．下列说法正确的是（　　） A．1是单项式 B．5πR2的系数是5 C．23a2是5次单项式 D．x2y的系数是0 2．代数式4ab2的次数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．单项式﹣2x2yz2的系数和次数分别是（　　） A．﹣2，4 B．﹣2，5 C．2，4 D．2，5 4．下列说法中，正确的是（　　） A．单项式的系数是 B．单项式32x3y的次数是6 C．0是单项式 D．多项式﹣x2y+xy﹣7是五次三项式 5．在代数式中，整式的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题（共6小题） 6．单项式的系数为　 　 ． 7．请写出一个含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式：　 　 ． 8．如果代数式2b+2a3﹣（p﹣3）b为单项式，则p的值为　 　 ． 9．多项式x2y+3xy2﹣2xy+3的次数是 　 　 ． 10．若代数式是五次二项式，则a的值为　 　 ． 11．将多项式3y2﹣4﹣2xy﹣x2y3按字母y降幂排列：　 　 ． 三．解答题（共7小题） 12．已知关于x，y的多项式的次数是8，单项式5xny6﹣m的次数与该多项式的次数相同，求m，n的值． 13．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是单项式﹣3xy3的次数，求5（a+b）+3cd﹣m的值． 14．已知多项式（m﹣3）x|m|﹣2y3+x2y﹣2xy2是关于x，y的四次三项式． （1）求m的值； （2）当x，y＝﹣1时，求此多项式的值． 15．已知m、n均为常数，若（x+3）2（x2+mx+n）的乘积既不含有二次项又不含有一次项，则m+n的值是多少？ 16．已知多项式，m是该多项式的次数，n是四次项系数的倒数，求mn的值． 17．已知多项式﹣3x2ym+2xy+x﹣y2的次数是5，n是单项式﹣2xy2的系数，求mn的值． 18．一个含有x的二次三项式，二次项系数的平方等于4，一次项系数的绝对值等于3，常数项的倒数是它本身． （1）请写出满足条件的所有多项式，并要求每个多项式按x的次数由高到低排列； （2）满足条件的多项式一共有多少个？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1整式 【题型1】单项式的概念辨析与判定 1.核心知识点总结 单项式是由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数（如-5、0）或一个字母（如a、x）也属于单项式。 单项式中仅含乘法（含乘方）运算，不含加法、减法及分母含字母的除法运算。 2.高频考点梳理 常见考查形式：从代数式中筛选单项式（如区分（是）与（否））。 易混淆场景：判断含的式子（是常数，如是单项式）、单独的常数。 3.易错点警示 误将含加法的式子归为单项式（如是多项式，非单项式）。 误将分母含字母的式子归为单项式（如是分式，非单项式）。 4.解题技巧拆解 第一步：观察式子是否含加法、减法运算，若含则非单项式。 第二步：检查分母是否含字母（除外），若含则非单项式；若仅为数字与字母的积或单独的数/字母，则为单项式。 【例题1】．（2024-2025•沅江市期末）在0，3x+1，x2，﹣5a中，属于单项式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【解答】解：式子0，x2，﹣5a，符合单项式的定义，是单项式； 式子3x+1，是多项式． 故单项式有3个． 故选：C． 【点评】本题考查单项式的定义，较为简单，要准确掌握定义． 【变式题1-1】．（2024-2025•衡山县期末）下列式子不是单项式的是（　　） A．4x B．a C．2+x D．3.14 【答案】C 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【解答】解：A.4x，是单项式； B．a，是单项式； C.2+x，是多项式； D.3.14，是单项式． 故选：C． 【点评】本题考查单项式的定义，较为简单，要准确掌握定义． 【变式题1-2】．（2024-2025•保定期末）在式子﹣3x2y，x+y，0，，，中，是单项式的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，由此判断即可． 【解答】解：所给式子中单项式有：﹣3x2y，0，中，共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了单项式的知识，解答本题的关键是熟练单项式的定义． 【变式题1-3】．（2024-2025•渝中区校级期末）下列各式：2a，，2x（x﹣1），πr2，，，，中，是单项式的有（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D． 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【解答】解：式子2a，πr2，，，符合单项式的定义，是单项式； 式子，，分母中含有字母，不是单项式； 式子2x（x﹣1），，是多项式． 故单项式有4个． 故选：D． 【点评】本题考查单项式的定义，较为简单，要准确掌握定义． 【题型2】单项式系数与次数的精准提取 1.核心知识点总结 单项式的系数：指单项式中的数字因数，包含前面的正、负号（如的系数是-3）。 单项式的次数：指一个单项式中所有字母的指数的和（如的次数是）。 2.高频考点梳理 系数相关：带分数系数需化为假分数（如的系数是）；参与的单项式，计入系数（如的系数是）。 次数相关：单个字母的次数为1（如的次数是1，非0）；常数项（不含字母）的次数为0（如5的次数是0）。 3.易错点警示 忽略系数的符号（如将的系数误记为1，实际是-1）。 计算次数时漏算字母的指数1（如将的次数误算为2，实际是）。 4.解题技巧拆解 提取系数：去掉单项式中的所有字母，剩余的数字及符号即为系数（若系数为1或-1，通常省略，需补出）。 计算次数：逐个找出每个字母的指数，将所有指数相加，结果即为次数。 【例题2】．（2024-2025•长沙校级期末）单项式的系数和次数分别是（　　） A．，3 B．，4 C．，﹣4 D．，4 【答案】A． 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，3． 故选：A． 【点评】本题考查了单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型． 【变式题2-1】．（2024-2025•淄博期末）单项式的系数是　　 ，次数是　7　 ． 【答案】，7． 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，7． 故答案为：，7． 【点评】本题考查了单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型． 【变式题2-2】．（2024-2025•平舆县校级期末）单项式的次数是　4　 ，系数是　　 ． 【答案】4，． 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的次数与系数分别是4，． 故答案为：4，． 【点评】本题考查了单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型． 【变式题2-3】．（2024-2025•荔城区期末）下列说法中，正确的是（　　） A．0不是单项式 B．﹣a2b3的系数是﹣1，次数是5 C．6πx3的系数是6 D．的系数是﹣2，次数是3 【答案】B 【分析】直接利用单项式的次数与系数的确定方法分析得出答案． 【解答】解：A．数字0是单项式，此选项不符合题意； B．﹣a2b3的系数是﹣1，次数是5，此选项符合题意； C．6πx3的系数是6π，原说法错误，此选项不符合题意； D． 的系数是，次数是3，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的相关概念是关键． 【题型3】多项式的项、项数与次数及最高次项的综合判定 1.核心知识点总结 多项式是几个单项式的和，组成多项式的单项式（带符号）称为“项”，不含字母的项是“常数项”，项的总数为“项数”。 多项式的次数是最高次项的次数，次数最高的项（带符号）是“最高次项”；“关于某字母的多项式”中，仅该字母的指数计入次数。 2.高频考点梳理 拆项需带符号（如的项是、)，项数含常数项。 多字母项次数为字母指数和(如次数为5)；“不含某次数项”则该次项系数为0(如不含二次项则二次项系数=0)。 3.易错点警示 拆项漏符号(如将的项误记为、)。 混淆“项的次数”与“多项式次数”(如误判次数为4)。 误判“关于某字母的多项式”的次数(如将视为关于x的三次多项式）。 4.解题技巧拆解 第一步：按“+”“-”拆项，数项数、找常数项（带符号）。 第二步：算每一项次数，定最高次项与多项式次数。 第三步：验证特殊条件（如不含某次数项则系数=0）。 【例题3】．（2024-2025•河南期末）下列说法正确的是（　　） A．的系数为 B．﹣22xy2z次数是6 C．x2﹣4x+5是一个二次三项式 D．2x2﹣3x+1一次项的系数为3 【答案】C 【分析】表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，根据以上定义逐一判断即可． 【解答】解：A、的系数为，故本选项不符合题意； B、﹣22xy2z次数是4，故本选项不符合题意； C、x2﹣4x+5是一个二次三项式，故本选项符合题意； D、2x2﹣3x+1一次项的系数为﹣3，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了单项式、多项式，解题的关键在于能够熟知相关定义． 【变式题3-1】．（2024-2025•平舆县校级期末）多项式x2y+xy﹣8是　三　 次　三　 项式． 【答案】三，三． 【分析】根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【解答】解：多项式x2y+xy﹣8由三个单项式组成，最高次项是x2y，次数是3． 故答案为：三，三． 【点评】本题考查多项式的项数，次数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数． 【变式题3-2】．（2024-2025•香河县期末）对于多项式x2﹣5x﹣6，下列说法正确的是（　　） A．它是三次三项式 B．它的常数项是6 C．它的一次项系数是﹣5 D．它的二次项系数是2 【答案】C 【分析】利用多项式相关定义进行解答即可． 【解答】解：A、它是二次三项式，故原题说法错误； B、它的常数项是﹣6，故原题说法错误； C、它的一次项系数是﹣5，故原题说法正确； D、它的二次项系数是1，故原题说法错误； 故选：C． 【点评】此题主要考查了多项式，关键是掌握几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 【变式题3-3】．（2024-2025•郸城县期末）多项式的各项分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】根据多项式项的概念解答． 【解答】解：多项式的各项分别是：﹣x2，，﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了多项式项的定义．多项式中每个单项式叫做多项式的项，写项的时候注意应把系数和符号包括在内． 【题型4】利用单项式次数条件求未知字母取值(提升) 1.核心知识点总结 若单项式为“n次单项式”，则所有字母的指数和等于n；若为“关于x、y的n次单项式”，则x、y的指数和等于n。 若单项式系数不为0(如“五次单项式”需保证系数≠0，否则次数可能降低)。 2.高频考点梳理 含绝对值的字母次数：如“单项式是三次单项式”，需满足且，解得。 多字母次数关联：如“单项式与次数相同”，需，解得。 3.易错点警示 忽略系数不为0的条件(如“是三次单项式”，易漏，导致的错误解)。 绝对值方程解不完整(如，只取，漏)。 4.解题技巧拆解 第一步：根据单项式次数定义，列指数和方程(如n次单项式，指数和=n)。 第二步：若系数含字母，补充“系数≠0”的条件(避免单项式退化为常数或低次)。 第三步：解方程(含绝对值方程需考虑正负解)，验证解是否满足所有条件。 【例题4】．（2024-2025•洪洞县期末）如果32a2b|m|是六次单项式，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．±4 【答案】D 【分析】根据单项式的次数的定义求解即可． 【解答】解：∵32a2b|m|是六次单项式， ∴2+|m|＝6， ∴|m|＝4， ∴m＝±4， 故选：D． 【点评】此题考查了单项式，解题的关键是熟悉一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【变式题4-1】．（2024-2025•兴平市期末）若单项式xmy3与﹣4xyn+5的和仍是单项式，则m+n的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣2 【答案】C． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知m＝1，n+5＝3， 解得m＝1，n＝﹣2， ∴m+n＝1+（﹣2）＝﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【变式题4-2】．（2024-2025•东坡区期末）已知单项式（m﹣1）x|m|y4的次数是5，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1 【答案】A 【分析】根据单项式的概念即可得到答案． 【解答】解：∵单项式（m﹣1）x|m|y4的次数是5， ∴|m|+4＝5， ∴|m|＝1， ∴m＝±1， ∵m﹣1≠0， ∴m≠1， ∴m＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的概念是解题的关键． 【变式题4-3】．（2025春•青浦区期末）已知关于x，y的单项式﹣3πx2b+1y2与的次数相同，则b＝　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意列出方程计算即可． 【解答】解：∵关于x，y的单项式﹣3πx2b+1y2与的次数相同， ∴2+2b+1＝1+3， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式，熟知一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键． 【题型5】依据多项式次数与项数求未知字母参数(提升) 1.核心知识点总结 若多项式为“m次n项式”，则最高次项的次数为m，项数为n；若“不含某次数项”，则该次数项的系数为0。 多字母多项式：如“关于x的多项式”，仅需考虑x的指数，其他字母视为常数(如是关于x的二次二项式)。 2.高频考点梳理 不含某项的条件：如“多项式不含二次项”，则，解得。 多参数联立：如“多项式是二次三项式”，需(不含四次项)且，解得、。 3.易错点警示 混淆“关于x的多项式”中字母的处理(如将视为关于x的三次多项式，实际y视为常数，是二次多项式)。 漏项数条件(如“五次三项式”，易只满足次数为5，漏项数为3的条件)。 4.解题技巧拆解 第一步：明确多项式的“次数要求”(最高次项次数=指定次数)和“项数要求”(单项式个数=指定项数)。 第二步：若不含某次数项，令该次项系数=0；若含高次项需消去，令高次项系数=0。 第三步：联立方程求解参数，验证是否满足所有条件(次数、项数、系数不为0等)。 【例题5】．（2024-2025•高唐县期末）若代数式5x|m|+4x2﹣2xy是三次多项式，单项式3x4+myn与该多项式的次数相同，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 【答案】A 【分析】根据多项式的次数和单项式的次数的定义即可得出m，n，相加可得答案． 【解答】解：∵5x|m|+4x2﹣2xy是三次多项式， ∴|m|＝3，解得m＝±3， 又∵3x4+myn与5x|m|+4x2﹣2xy的次数相同， 即单项式3x4+myn的次数为3， 故4+m+n＝3， 当m＝3时，n＝﹣4，不符合题意，舍去， 当m＝﹣3时，n＝2，符合题意， ∴m＝﹣3，n＝2， 故m+n＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了多项式的次数和单项式的次数的定义，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•玉山县期末）若多项式是关于x的五次三项式，则m的值是（　　） A．5 B．﹣3 C．﹣5 D．5或﹣5 【答案】C． 【分析】根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【解答】解：∵多项式是关于x的五次三项式， ∴|m|＝5，m﹣5≠0， ∴m＝﹣5． 故选：C． 【点评】本题考查多项式的项数，次数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数． 【变式题5-2】．（2024-2025•和平区校级期末）若关于x的多项式（a﹣3）2x3+x|b|﹣2x+b+1的次数与单项式﹣2xy的次数相同，则a＝　3　 ；b＝　±2　 ． 【答案】3；±2． 【分析】根据多项式的次数，单项式的次数求解即可． 【解答】解：根据题意可知，a﹣3＝0，|b|＝2， ∴a＝3，b＝±2． 故答案为：3；±2． 【点评】本题考查了多项式，绝对值，单项式，掌握相应的定义是关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•惠城区三模）已知多项式（2m﹣5n）x3﹣3x6n﹣2m+x﹣3的次数为2，则m+2n的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据多项式次数为2的条件，确定各项次数并建立方程组求解m和n的值． 【解答】解：由题得原式的次数为2， ∴， 解得m＝5，n＝2， 验证：代入后多项式为﹣3x2+x﹣3，次数为2，符合条件， ∴m+2n＝5+2×2＝9， 故选：B． 【点评】此题考查了多项式的系数和次数，二元一次方程组的应用，正确列出二元一次方程组是关键． 【题型6】多项式按指定字母的升幂与降幂规范排列(提升) 1.核心知识点总结 升幂排列：按指定字母的次数从低到高排列(常数项次数视为0，排最前)。 降幂排列：按指定字母的次数从高到低排列(常数项排最后)，排列时项的符号随项一起移动。 2.高频考点梳理 指定单字母排列：如将按x降幂排列，先标x的次数：(x次数0)、(x次数3)、(x次数2)、(x次数1)，排列为。 含常数项的排列：常数项在升幂中排最前，降幂中排最后(如按x升幂排列为)。 3.易错点警示 移动项时漏带符号(如将按x降幂排列，误写为，漏的负号)。 混淆“指定字母”(如按x排列却误按y的次数排列)。 4.解题技巧拆解 第一步：给多项式每一项标注指定字母的次数(常数项次数为0)。 第二步：按“升幂(低→高)”或“降幂(高→低)”的顺序，将项依次排列。 第三步：检查每一项的符号是否随项移动，确保排列后多项式与原多项式相等(可代入特殊值验证)。 【例题6】．（2024-2025•东方期末）把多项式2a2+b2﹣4ab2﹣2a3，按a的升幂排列正确的是（　　） A．b2﹣4ab2+2a2﹣2a3 B．b2+4ab2+2a2﹣2a3 C．﹣2a3+2a2﹣4ab2+b2 D．b2﹣4ab2﹣2a3+2a2 【答案】A 【分析】找出每一项中a的次数，按照升幂排列即可． 【解答】解：把多项式2a2+b2﹣4ab2﹣2a3，按a的升幂排列正确的是b2﹣4ab2+2a2﹣2a3． 故选：A． 【点评】此题考查了多项式．解题的关键是掌握多项式的次数的定义，按照多项式的次数从大到小来排列该多项式，就是将多项式2a4+4a3b4﹣5a2b+2a按a的降幂排列． 【变式题6-1】．（2024-2025•东坡区期末）将多项式﹣3x3y4﹣x4y2+6x﹣1+2x2y按字母x的升幂排列为 　﹣1+6x+2x2y﹣3x3y4﹣x4y2　 ． 【答案】﹣1+6x+2x2y﹣3x3y4﹣x4y2． 【分析】先分清各项，再根据多项式升幂排列的定义解答． 【解答】解：多项式﹣3x3y4﹣x4y2+6x﹣1+2x2y按字母x的升幂排列：﹣1+6x+2x2y﹣3x3y4﹣x4y2． 故答案为：﹣1+6x+2x2y﹣3x3y4﹣x4y2． 【点评】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•沙坪坝区期末）多项式2y2﹣2x3y﹣6x+3x2y3按x的降幂排列正确的是（　　） A．3x2y3﹣2x3y+2y2﹣6x B．2y2﹣6x+3x2y3﹣2x3y C．﹣2x3y+3x2y3﹣6x+2y2 D．2x3y+3x2y3﹣6x+2y2 【答案】C． 【分析】先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【解答】解：多项式2y2﹣2x3y﹣6x+3x2y3按x的降幂排列：﹣2x3y+3x2y3﹣6x+2y2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键． 【变式题6-3】．（2025秋•闵行区校级月考）把整式﹣6xy2﹣5x2y3+x3y﹣3按x降幂排列：　x3y﹣5x2y3﹣6xy2﹣3　 ． 【答案】x3y﹣5x2y3﹣6xy2﹣3． 【分析】先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【解答】解：﹣6xy2﹣5x2y3+x3y﹣3按x降幂排列：x3y﹣5x2y3﹣6xy2﹣3． 故答案为：x3y﹣5x2y3﹣6xy2﹣3． 【点评】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键． 【题型7】单项式系数与次数的数字规律探究(培优) 1.核心知识点总结 单项式规律通常涉及三部分：符号规律(正负交替，常用或表示，n为序号)、系数绝对值规律(如2n、2n-1等)、次数规律(如与序号n相等、2n-1等)。 常见规律模型：如、、、…，符号为，系数绝对值为n，次数为n，通项为。 2.高频考点梳理 系数绝对值为奇/偶数：如、、…，系数绝对值为，符号为，通项为。 次数与系数关联：如、、…，系数为，次数为，通项为。 3.易错点警示 符号规律判断错误(如序号1为负，序号2为正，易误写为，实际应为)。 系数与次数规律混淆(如将系数规律误记为次数规律)。 4.解题技巧拆解 第一步：列出前3-5个单项式，分别拆解“符号”“系数绝对值”“次数”三部分。 第二步：分别找三部分与序号n的关系(符号用调节，系数和次数用整式表示)。 第三步：合并三部分，写出第n个单项式的通项公式，代入序号验证(如n=3，看是否与第三个单项式一致)。 【例题7】．（2024-2025•睢县期末）观察下列板式： 22﹣12＝2+1＝3；32﹣22＝3+2＝5； 42﹣32＝4+3＝7；52﹣42＝5+4＝9；62﹣52＝6+5＝11；… 若字母n表示自然数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来：　（n+1）2﹣n2＝2n+1　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】观察各式，发现：运用了平方差公式，其中由于两个数相差是1，差等于1，所以最后结果等于两个数的和． 【解答】解：第n个式子：（n+1）2﹣n2＝2n+1． 故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1． 【点评】此题考查数字的变化规律，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•拱墅区校级期末）观察多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+⋯的构成规律，则： （1）它的第5项是　9x5　 ； （2）当x＝1时，多项式前200项的和为　﹣200　 ． 【答案】（1）9x5； （2）﹣200． 【分析】（1）由原多项式，观察其x的指数由一次到二次……次数逐渐增大，次数为连续的自然数，系数的绝对值为连续的奇数，在奇次项为正数，偶次项为负数，从而得到结果； （2）当x＝1时，得到1﹣3+5﹣7+……+397﹣399，共400个数相加，相邻两个数之和为﹣2，共分为100组，从而得到结果． 【解答】解：（1）∵多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+⋯ ∴经观察可知：x的指数由一次到二次……次数逐渐增大，次数为连续的自然数， 系数为1，﹣3，5，﹣7……系数的绝对值为连续的奇数，在奇次项为正数，偶次项为负数， ∴多项式的第5项是9x5， 故答案为：9x5； （2）∵当x＝1时，多项式的前200项和为1﹣3+5﹣7+……+397﹣399， ∴1﹣3+5﹣7+……+397﹣399 ＝（1﹣3）+（5﹣7）+……+（397﹣399） ＝﹣2×100 ＝﹣200． 故答案为：﹣200． 【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•郯城县期末）按一定规律排列的单项式：﹣2x，4x4，﹣6x9，8x16，﹣10x25，……，则第7个单项式是（　　） A．7x7 B．﹣7x7 C．14x49 D．﹣14x49 【答案】D 【分析】通过观察题意可得：奇数项的系数为负，偶数项的系数为正，且系数的绝对值是连续偶数，次数是项数的平方，由此可解出本题． 【解答】解：∵第1个单项式为﹣2x＝（﹣1）×（2×1）， 第2个单项式为4x4＝（﹣1）2×（2×2）， 第3个单项式为﹣6x9＝（﹣1）3×（2×3）， ……， 第7个单项式为（﹣1）7×（2×7）14x49． 故选：D． 【点评】此题考查了单项式，数字变化类﹣规律型，关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． 【变式题7-3】．（2024-2025•望城区期末）按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣7a2，9a3，⋯，则第9个单项式是　﹣19a8　 ． 【答案】﹣19a8． 【分析】根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断． 【解答】解：∵﹣3，5a，﹣7a2，9a3，⋯， ∴符号的排列规律为：奇数个数的符号为“﹣”，偶数个数的符合为“+”， 系数的排列规律为：3，5，7，9，⋯，2n+1， 指数的排列规律为：0，1，2，3，⋯，n﹣1， ∴9个单项式中奇数个数的符号为“﹣”，系数为2n+1＝2×9+1＝19，指数为n﹣1＝9﹣1＝8， 故第9个单项式是：﹣19a8． 故答案为：﹣19a8． 【点评】本题考查单项式，能根据题中给出的单项式正确找到规律是解题关键． 【题型8】整式背景下创新定义问题的求解(培优) 1.核心知识点总结 创新定义问题通常给出新规则(如“对称多项式”“齐次多项式”)，需结合整式的概念(单项式、多项式、次数、系数)理解规则，再按规则解题。 常见新定义：如“对称多项式”指(如)；“齐次多项式”指所有项的次数相同(如是三次齐次多项式)。 2.高频考点梳理 新定义判断：如“判断是否为对称多项式”，需验证，，二者相等，故是。 新定义计算：如“若多项式是‘一次齐次多项式’，求a、b、c满足的条件”，则所有项次数为1，故、、。 3.易错点警示 误解新定义关键词（如“齐次多项式”误理解为“含齐次项”，实际是所有项次数相同）。 忽略新定义中的限制条件（如“关于x的创新多项式”，漏“仅含x字母”的限制）。 4.解题技巧拆解 第一步：精读新定义，提取关键规则（如“对称”→变量交换后相等，“齐次”→所有项次数相同）。 第二步：将新规则转化为整式的数学语言（如“对称”→，“齐次”→每一项次数=指定次数）。 第三步：结合整式知识（次数、系数、项数）按规则解题，验证结果是否符合新定义。 【例题8】．（2024-2025•竞秀区开学）已知多项式x2﹣8kxy． （1）它是 　三　 次多项式； （2）若式子中不含xy项，按一种新定义运算：a*b，则2*k＝ 　　 ． 【答案】（1）三； （2）． 【分析】（1）观察组成多项式的最高次项，然后根据它的次数求出多项式的次数即可； （2）根据多项式中不含xy项，列出关于k的方程，解方程求出k，再根据已知条件中的定义，把k值代入进行计算即可． 【解答】解：（1）∵多项式x2﹣8kxy的最高此项的次数是三， ∴这个多项式是三次多项式， 故答案为：三； （2）x2﹣8kxy ， ∵多项式中不含xy项， ∴， 解得：， ∵a*b， ∴2*k ＝2* ． 【点评】本题主要考查了多项式和有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式的次数定义和理解已知条件中的新定义． 【变式题8-1】．（2024-2025•沈阳校级期末）定义：若一个多项式有两项且两项的次数相同，则这样的多项式就叫做“齐次二项式”．若关于a，b的多项式﹣2amb3+na3b2是“齐次二项式”，在数轴上表示n的点在表示﹣2的点的右侧距离5个单位长度处，则mn＝ 　8．　 ． 【答案】8． 【分析】根据多项式﹣2amb3+na3b2是“齐次二项式”求出m，再根据在数轴上表示n的点在表示﹣2的点的右侧距离5个单位长度处，求出n，再代入计算即可． 【解答】解：根据题意可知，m+3＝3+2， 解得：m＝2， ∵在数轴上表示n的点在表示﹣2的点的右侧距离5个单位长度处， ∴n＝﹣2+5＝3， ∴mn＝23＝8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了多项式，数轴，掌握多项式的定义是关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•厦门期末）定义运算：m※n＝（m﹣1）（n+2）．若A※B＝mn，其中A为含m的多项式，B为含n的多项式，写出一组符合条件的A和B：　A＝m+1，B＝n﹣2　 ． 【答案】A＝m+1，B＝n﹣2． 【分析】先根据新定义和已知条件，求出A※B＝（A﹣1）（B+2），A※B＝mn，从而求出答案即可． 【解答】解：∵m※n＝（m﹣1）（n+2）， ∴A※B ＝（A﹣1）（B+2） ∵A※B＝mn， ∴A﹣1＝m，B+2＝n， A＝m+1，B＝n﹣2， 故答案为：A＝m+1，B＝n﹣2． 【点评】本题主要考查了多项式，解题关键是熟练掌握已知条件中的新定义． 【变式题8-3】．（2024-2025•东港市期中）定义：f（x，y）是关于x，y的多项式，如果f（x，y）＝f（y，x），那么f（x，y）叫做“对称多项式”．例如：f（x，y）＝x2+x+y+y2，则f（y，x）＝y2+y+x+x2，显然f（x，y）＝f（y，x），所以f（x，y）＝x2+x+y+y2是“对称多项式”． （1）试说明f（x，y）＝x2﹣2xy+y2是“对称多项式”； （2）请写出一个“对称多项式”：f（x，y）＝ 　f（x，y）＝x3+xy+y3（答案不唯一）　 （不多于四项）； （3）如果f1（x，y）和f2（x，y）均为“对称多项式”，那么f1（x，y）+f2（x，y）一定是“对称多项式”吗？如果一定是请说明理由，如果不一定是，请举例说明． 【答案】（1）解答过程见解析部分； （2）f（x，y）＝x3+xy+y3（答案不唯一）； （3）f1（x，y）+f2（x，y）不一定是“对称多项式”，令f1（x，y）＝x+y，f2（x，y）＝﹣x﹣y． 【分析】（1）根据新定义，验证得到f（x，y）＝f（y，x），从而得到结果； （2）根据新定义及示例，仿照示例写出一个对称多项式即可； （3）根据新定义验证即可． 【解答】解：（1）∵f（x，y）＝x2﹣2xy+y2， ∴f（y，x）＝y2﹣2xy+x2， ∴f（x，y）＝f（y，x）， ∴f（x，y）＝x2﹣2xy+y2是“对称多项式”； （2）∵f（x，y）＝x3+xy+y3， ∴f（y，x）＝y3+xy+x3， ∴f（x，y）＝f（y，x）， ∴f（x，y）＝x3+xy+y3是“对称多项式”， 故答案为：f（x，y）＝x3+xy+y3（答案不唯一）； （3）f1（x，y）+f2（x，y）不一定是“对称多项式”，理由如下： 令f1（x，y）＝x+y，f2（x，y）＝﹣x﹣y， 则f1（x，y）+f2（x，y）＝0，不是多项式． 【点评】本题考查了新定义的应用，熟练掌握新定义并加以应用是解题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 A C． B C C． 一．选择题（共5小题） 1．下列说法正确的是（　　） A．1是单项式 B．5πR2的系数是5 C．23a2是5次单项式 D．x2y的系数是0 【答案】A 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：A、1是单项式，符合题意； B、5πR2的系数是5π，不符合题意； C、23a2是2次单项式，不符合题意； D、x2y的系数是1，不符合题意． 故选：A． 【点评】此题考查了单项式有关概念，解题的关键是灵活掌握单项式的系数和次数的定义． 2．代数式4ab2的次数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 【分析】根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式定义得：4ab2的次数为：1+2＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了单项式次数的定义．确定单项式的次数时，找准单项式中每一个字母的指数，是确定单项式的次数的关键．注意指数是1时，不要忽略． 3．单项式﹣2x2yz2的系数和次数分别是（　　） A．﹣2，4 B．﹣2，5 C．2，4 D．2，5 【答案】B 【分析】单项式就是数与字母的乘积，数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，据此即可求解． 【解答】解：单项式﹣2x2yz2的系数是﹣2，次数是：2+1+2＝5， 故选：B． 【点评】本题主要考查了单项式的系数与次数的定义，在说系数时，注意不要忘记前边的符号是解答此题的关键． 4．下列说法中，正确的是（　　） A．单项式的系数是 B．单项式32x3y的次数是6 C．0是单项式 D．多项式﹣x2y+xy﹣7是五次三项式 【答案】C 【分析】根据单项式、多项式、整式的概念即可求出答案． 【解答】解：A、单项式的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意； B、单项式32x3y的次数是4，原说法错误，故此选项不符合题意； C、0是单项式，原说法正确，故此选项符合题意； D、多项式﹣x2y+xy﹣7是三次三项式，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是正确理解单项式、多项式、整式之间的关系． 5．在代数式中，整式的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子3x﹣2y，，，，﹣1，符合整式的定义，是整式； 式子分母中含有字母，不是整式． 故整式有5个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 二．填空题（共6小题） 6．单项式的系数为　　 ． 【答案】． 【分析】根据单项式系数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数． 【解答】解：根据单项式的系数的定义可知：的系数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式系数的定义．确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数的关键． 7．请写出一个含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式：　﹣2a3b（答案不唯一）　 ． 【答案】﹣2a3b（答案不唯一）． 【分析】根据单项式的系数和次数的意义解答即可． 【解答】解：一个含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式：﹣2a3b， 故答案为：﹣2a3b（答案不唯一）． 【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的意义是解题的关键． 8．如果代数式2b+2a3﹣（p﹣3）b为单项式，则p的值为　5　 ． 【答案】5． 【分析】将代数式化为2a3+（5﹣p）b，根据单项式的概念即可得到答案． 【解答】解：2b+2a3﹣（p﹣3）b＝2a3+（2﹣p+3）b＝2a3+（5﹣p）b， 如果代数式2b+2a3﹣（p﹣3）b为单项式，则只可能为2a3，即（5﹣p）b＝0， 故p＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查单项式的概念，熟练掌握单项式的概念是解题的关键． 9．多项式x2y+3xy2﹣2xy+3的次数是 　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据多项式次数的定义求解． 【解答】解：多项式x2y+3xy2﹣2xy+3中最高次项是x2y、3xy2，次数是3． 故答案为：3． 【点评】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 10．若代数式是五次二项式，则a的值为　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据多项式的次数定义得出a2﹣1+2＝5且a+2≠0，即可求得a的值． 【解答】解：由题意可得：a2﹣1+2＝5且a+2≠0， ∴a＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了多项式的次数与项数的定义，熟记定义是解题的关键． 11．将多项式3y2﹣4﹣2xy﹣x2y3按字母y降幂排列：　﹣x2y3+3y2﹣2xy﹣4　 ． 【答案】﹣x2y3+3y2﹣2xy﹣4． 【分析】先分清各项，再根据多项式幂的排列的定义解答． 【解答】解：多项式3y2﹣4﹣2xy﹣x2y3按字母y降幂排列：﹣x2y3+3y2﹣2xy﹣4． 故答案为：﹣x2y3+3y2﹣2xy﹣4． 【点评】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键． 三．解答题（共7小题） 12．已知关于x，y的多项式的次数是8，单项式5xny6﹣m的次数与该多项式的次数相同，求m，n的值． 【答案】m，n的值分别5，7． 【分析】根据多项式的次数是8，求出m＝5；根据单项式5xny6﹣m的次数与该多项式的次数相同，求出n＝7． 【解答】解：由条件可知m+1+2＝8， 解得：m＝5， ∵单项式5xny6﹣m的次数与该多项式的次数相同， ∴6﹣m+n＝8， ∴6﹣5+n＝8， 解得：n＝7， 答：m，n的值分别5，7． 【点评】本题主要考查了单项式的次数和多项式的次数，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式次数的定义． 13．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是单项式﹣3xy3的次数，求5（a+b）+3cd﹣m的值． 【答案】﹣1， 【分析】由a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是单项式﹣3xy3的次数可得a+b＝0，cd＝1，m＝4，代入进行计算即可． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是单项式﹣3xy3的次数， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝4， ∴5（a+b）+3cd﹣m＝5×0+3×1﹣4＝3﹣4＝﹣1． 【点评】本题考查了相反数的定义、倒数的定义、单项式的相关概念、求代数式的值，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解题的关键． 14．已知多项式（m﹣3）x|m|﹣2y3+x2y﹣2xy2是关于x，y的四次三项式． （1）求m的值； （2）当x，y＝﹣1时，求此多项式的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接利用多项式的次数的确定方法得出m的值； （2）将x，y的值代入求出答案． 【解答】解：（1）∵多项式（m﹣3）x|m|﹣2y3+x2y﹣2xy2是关于xy四次三项式， ∴|m|﹣2+3＝4，m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3， （2）当x，y＝﹣1时，此多项式的值为： ﹣6（﹣1）3+（）2×（﹣1）﹣2（﹣1）2 ＝93 ． 【点评】此题主要考查了多项式以及绝对值，正确得出m的值是解题关键． 15．已知m、n均为常数，若（x+3）2（x2+mx+n）的乘积既不含有二次项又不含有一次项，则m+n的值是多少？ 【答案】1． 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算（x+3）2（x2+mx+n），再根据乘积既不含有二次项又不含有一次项，列出关于m，n的方程组，解方程组求出m，n，再代入m+n进行计算即可． 【解答】解：（x+3）2（x2+mx+n） ＝（x2+6x+9）（x2+mx+n） ＝x4+mx3+nx2+6x3+6mx2+6nx+9x2+9mx+9n ＝x4+（m+6）x3+（n+6m+9）x2+（6n+9m）x+9n， ∵（x+3）2（x2+mx+n）的乘积既不含有二次项又不含有一次项， ∴， 方程组化简为：， ②×2得：4n+6m＝0③， ③﹣①得：n＝3， 把n＝3代入①得：m＝﹣2， ∴m+n＝﹣2+3＝1． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 16．已知多项式，m是该多项式的次数，n是四次项系数的倒数，求mn的值． 【答案】﹣3． 【分析】根据已知条件求出m、n的值，进而得出答案． 【解答】解：由已知可得，m＝2+4＝6，n， 则mn＝6×（）＝﹣3． 【点评】本题主要考查多项式、倒数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17．已知多项式﹣3x2ym+2xy+x﹣y2的次数是5，n是单项式﹣2xy2的系数，求mn的值． 【答案】﹣6． 【分析】根据多项式的次数定义，和单项式的系数定义解答即可． 【解答】解：∵多项式﹣3x2ym+2xy+x﹣y2的次数是5， ∴2+m＝5， ∴m＝3， ∵n是单项式﹣2xy2的系数， ∴n＝﹣2， ∴mn＝3×（﹣2）＝﹣6． 【点评】本题考查了多项式，单项式，掌握多项式的次数，单项式的系数定义是解题的关键． 18．一个含有x的二次三项式，二次项系数的平方等于4，一次项系数的绝对值等于3，常数项的倒数是它本身． （1）请写出满足条件的所有多项式，并要求每个多项式按x的次数由高到低排列； （2）满足条件的多项式一共有多少个？ 【答案】（1）2x2+3x+1、2x2+3x﹣1、2x2﹣3x﹣1、2x2﹣3x+1，﹣2x2+3x+1，﹣2x2+3x﹣1，﹣2x2﹣3x+1，﹣2x2﹣3x﹣1． （2）8个． 【分析】满足条件的所有多项式，并要求每个多项式按x的次数由高到低排列． 【解答】解：（±2）2＝4，|±3|＝3，1的倒数是1，﹣1的倒数是﹣1， （1）2x2+3x+1、2x2+3x﹣1、2x2﹣3x﹣1、2x2﹣3x+1，﹣2x2+3x+1，﹣2x2+3x﹣1，﹣2x2﹣3x+1，﹣2x2﹣3x﹣1． （2）这样的多项式一共有8个． 【点评】本题考查多项式的排序，并根据题目给定的信息求解符合条件的多项式，培养了学生对数据的提取和加工能力． 学科网（北京）股份有限公司 $