专题13 反比例函数中比例系数k的几何意义 专项训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦反比例函数k的几何意义，通过四类题型系统训练面积计算与k值互求，结合几何图形变式与规律探究，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知k求面积|9题|单k或双k背景下三角形、矩形等面积计算|从基础图形面积到多函数交点面积，逐步提升复杂度| |由面积求k|6题|结合正方形、菱形等图形面积反推k值|强化面积与k的互化，渗透方程思想| |面积关系探究|4题|比较不同点构成图形的面积关系|深化k的几何意义本质，培养推理意识| |面积规律探究|12题|多点列、矩形序列等规律探究及综合运用|从具体到抽象，发展数学抽象与模型意识|

专题13 反比例函数中比例系数k的几何意义 类型一 已知系数k求图形面积 （一）已知一个比例系数k求图形面积 1．如图，A，B是反比例函数y在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2026•雁塔区校级四模）如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），若平行四边形ABCO的面积为4，则实数k的值为 　 　 ． 3．（2025秋•永寿县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过原点O，且与反比例函数的图象交于点A，B，以AB为对角线作矩形ACBD，则矩形ACBD的面积为　 　 ． （二）已知两个比例系数k求图形面积 4．（2026春•南关区校级月考）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．3 B．1.5 C．2 D．1 5．（2026•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数y和y在第二象限内的图象依次为C1，C2．已知点P在C1上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为　 ． 6．（2026•邵阳校级模拟）双曲线y1，y2在第一象限的图象如图所示，其中y1，y2的解析式分别为，，过y1图象上的任意一点A，作x轴的平行线交y2的图象于点B，交y轴于点C，连接OA，OB．则△AOB的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025秋•船营区期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为 　 　 ． 8．（2026•桂林模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y（x＞0），y（x＜0）的图象于C，B两点，若△ABC的面积是6，则k的值是（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．﹣5 9．（2026•达川区一模）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且点C恰为AB的中点，连接OA，OB，则△AOB的面积是（　　） A．4 B．5 C．6.5 D．8 类型二 由图形面积求系数k 10．（2026•黑龙江一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的顶点B，E都在第一象限，OA，AD都在x的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，点F在AB边上，反比例函数的图象过点B，E．若△CDF的面积为2，则k的值为（　　） A．10 B． C． D．8 11．（2025秋•无为市期末）如图，菱形OABC，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，反比例函数的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为2，则k的值为　 　 ． 12．（2026春•东城区月考）如图，已知反比例函数和的图象分别为C1，C2，A是C1上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D．若△AOD的面积为2，则k的值为　 　 ． 13．（2025秋•绵阳期末）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交，的图象于B，C两点，若△ABC的面积为3，则k值为 　 　 ． 14．（2026•沈河区一模）如图，A，B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为　 　 ． 15．（2025秋•合肥期末）如图是反比例函数，在x轴上方的图象，平行四边形OABC的面积是5，若点A在x轴上，点B在的图象上，点C在的图象上，则k2﹣k1的值为 　 　 ． 类型三 由比例系数k探究图形面积关系 16．（2026•吉林校级模拟）如图，在函数的图象上取三点A、B、C，由这三点分别向x轴、y轴作垂线，设矩形AA1OA2、BB1OB2、CC1OC2的面积分别为SA、SB、SC，则下列正确的是（　　） A．SA＜SB＜SC B．SA＞SB＞SC C．SA＝SC＝SB D．SA＜SC＜SB 17．（2025秋•裕安区校级期末）如图，已知点A，点C在反比例函数y（k＞0，x＞0），AB⊥x轴，若CD＝3OD，则△BDC与△ADO的面积比为　 ． 18．（2026•海门区校级模拟）下列图形中，阴影部分的面积相等的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 19．（2025春•工业园区校级期中）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，其中OA：AB：BC＝1：2：3，若S2＝4，则S1+S3＝（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 类型四 已知系数k探究几何图形的面积规律 20．（2022秋•安化县期末）在反比例函数y（x＞0）的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，An，An+1，若A1的横坐标为2，以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过A1，A2，A3，…，An，An+1分别作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则S1＝　 　 ，S1+S2+S3+…+Sn＝　 ． 21．如图，点B1在反比例函数y（x＞0）的图象上，过点B1分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C1和A，得到第一个矩形AOC1B1，点C1的坐标为（1，0）；取x轴上一点C2（，0），过点C2作x轴的垂线交反比例函数图象于点B2，过B2作线段B2A1⊥B1C1，交B1C1于点A1，得到第二个矩形A1C1C2B2；依次在x轴上取点C3（2，0），C4（，0）…按此规律作矩形，则第10个矩形A9C9C10B10的面积为　 ． 22．（2025秋•临泉县期末）如图，在x轴的正半轴依次截取OA1＝A1A2＝A2A3，过点A1，A2，A3分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点P1，P2，P3，得△OP1A1，△A1P2A2，△A2P3A3，并设其面积分别为S1，S2，S3，以此类推，若，则k的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．4 23．（2024秋•怀来县校级期末）如图，在反比例函数的图象上有P1，P2，P3，P4四点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，若S1+S2+S3+S4＝4，则k的值为　 ． 24．（2025•韶关模拟）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3…，过A1、A2、A3分别作x轴的垂线与反比例函数的图象交于点P1、P2、P3…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则Sn的值为 　 （n为正整数）． 类型四 比例系数k的综合运用 25．（2024秋•清远期末）反比例函数y（a＞0，a为常数）和y在第一象限内的图象如图所示，点M在y的图象上，MC⊥x轴于点C，交y的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y的图象于点B，当点M在y的图象上运动时，以下结论：①S△ODB＝S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论的序号是　 ． 26．（2025秋•蜀山区校级月考）如图，以菱形OABC的顶点O为原点，边OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，OA＝2，，过C点的反比例函数部分图象交AB于点D，则点D的横坐标为　1　 ． 27．（2024春•同步）已知正方形OABC的面积为4，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图象上，点P（m，n）是函数的图象上任意一点．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．若设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．求当S＞1时，求m的取值范围． 28．（2025秋•扶绥县校级月考）如图，点A与点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，A点的纵坐标为2，BB′与AA′均垂直于x轴，B′，A′是垂足． （1）求A点的坐标； （2）求△BOB′的面积； （3）若B点的横坐标为2，求△OAB的面积． 29．（2026•越秀区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）． （1）求k的值． （2）设点M在反比例函数图象上，连接AM，DM，若△AMD的面积与菱形ABCD的面积相等，求点M的坐标． 30．（2025秋•庐阳区校级期中）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，线段AB的延长线交x轴于点C，过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，已知M为ON的中点，△AOC的面积为4． （1）若M（﹣1，0），则点C的坐标是　 　 ． （2）k的值为　 ． 31．（2024秋•营口校级期末）小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF． （1）求k值； （2）计算图形阴影部分面积之和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 反比例函数中比例系数k的几何意义 类型一 已知系数k求图形面积 （一）已知一个比例系数k求图形面积 1．如图，A，B是反比例函数y在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 思路点拨：先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC＝S△BOD4＝2．根据S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB＝S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC（BD+AC）•CD（1+2）×2＝3，从而得出S△AOB＝3． 解：∵A，B是反比例函数y在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4， ∴当x＝2时，y＝2，即A（2，2）， 当x＝4时，y＝1，即B（4，1）． 如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC＝S△BOD4＝2． ∵S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC， ∴S△AOB＝S梯形ABDC， ∵S梯形ABDC（BD+AC）•CD（1+2）×2＝3， ∴S△AOB＝3． 故选：B． 点睛：本题考查了反比例函数中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积． 2．（2026•雁塔区校级四模）如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），若平行四边形ABCO的面积为4，则实数k的值为 　﹣7　 ． 【分析】作BD⊥x轴，垂足为点D，作AE⊥x轴，垂足为点E，根据平行四边形的性质、反比例函数k值的几何意义解答即可． 【解答】解：如图，作BD⊥x轴，垂足为点D，作AE⊥x轴，垂足为点E， ∵点B（﹣1，3），平行四边形ABCO的面积为4， ∴OC•BD＝4，即3OC＝4， ∴OC＝AB， ∴A（﹣1，3）， ∵反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A， ∴k＝3×（）＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数k值的几何意义，熟练掌握以上知识点是关键． 3．（2025秋•永寿县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过原点O，且与反比例函数的图象交于点A，B，以AB为对角线作矩形ACBD，则矩形ACBD的面积为　8　 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为四边形ACBD是矩形，A，B两点在反比例函数的图象上， 所以四边形ANOM是矩形， 则S矩形ANOM＝2， 所以S矩形ACBD＝4S矩形ANOM＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查考查了反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质是解题的关键． （二）已知两个比例系数k求图形面积 4．（2026春•南关区校级月考）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．3 B．1.5 C．2 D．1 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用S△POA﹣S△BOA进行计算即可． 【解答】解：由条件可知，， ∴S△POB＝2﹣1＝1． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 5．（2026•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数y和y在第二象限内的图象依次为C1，C2．已知点P在C1上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为　4　 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵PM⊥x轴，PN⊥y轴且点A和点B在反比例函数y的图象上， ∴S△AOM＝S△BON＝1． 又∵点P在反比例函数y的图象上， ∴S矩形PMON＝6， ∴四边形OAPB的面积为：6﹣1×2＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的图象及反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 6．（2026•邵阳校级模拟）双曲线y1，y2在第一象限的图象如图所示，其中y1，y2的解析式分别为，，过y1图象上的任意一点A，作x轴的平行线交y2的图象于点B，交y轴于点C，连接OA，OB．则△AOB的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由点B在的图象上可得出S△BOC，由点A在的图象上可得出S△AOC，再根据S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC即可求出答案． 【解答】解：过y1图象上的任意一点A，作x轴的平行线交y2的图象于点B，交y轴于点C， ∵点B在的图象上， ∴， ∵点A在的图象上， ∴， ∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC＝4﹣2＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变是解题的关键． 7．（2025秋•船营区校级期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为 　2　 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S矩形PCOD＝8，S△AOC＝S△BOD＝3，然后利用四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD进行计算． 【解答】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，两个函数图象都在第一象限， ∴S矩形PCOD＝8，S△AOC＝S△BOD3， ∴四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD＝8﹣3﹣3＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键． 8．（2026•桂林校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y（x＞0），y（x＜0）的图象于C，B两点，若△ABC的面积是6，则k的值是（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．﹣5 【分析】连接OB、OC，因为BC∥x轴，可以得出S△ABC＝S△BOC，结合反比例函数k的几何意义即，可求出k的值． 【解答】解：如图所示：连接OB、OC， 由条件可知S△ABC＝S△BOC， ∵， 又∵△ABC的面积是6， ∴， ∴k＝±3， 又∵图象在第二象限， ∴k＝﹣3． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键． 9．（2026•达川区一模）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且点C恰为AB的中点，连接OA，OB，则△AOB的面积是（　　） A．4 B．5 C．6.5 D．8 【分析】令点A坐标为，点B坐标为，可得点C坐标为，由点C在y轴上，可得a＝﹣b，代入△AOB的面积公式，即可得出结果． 【解答】解：令点A坐标为，点B坐标为， ∴点C坐标为，即， ∴△AOB的面积为， ∴， 即a＝﹣b， 代入上式面积公式得． 补充方法：如图，作AE⊥y轴、BF⊥y轴，垂足分别为E、F， ∵AC＝BC， ∴S△ACE＝S△BCF， ∴S△AOB＝S△AOE+S△BOF4． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 类型二 由图形面积求系数k 10．（2026•黑龙江一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的顶点B，E都在第一象限，OA，AD都在x的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，点F在AB边上，反比例函数的图象过点B，E．若△CDF的面积为2，则k的值为（　　） A．10 B． C． D．8 【分析】设正方形OABC和正方形ADEF的边长分别为a和1b，表示出C（0，a）、D（a+b，0）、F（a，b）等各点坐标，用待定系数法求出直线CD的解析式，求出CD与边AB的交点G，将△CDF沿AB分割为△CFG和△DFG，以FG为底a和b分别为高求出两个三角形面积之和，由S△CDF＝2求出b，再由B，E两点在上得k＝a2＝（a+b）b，求出k值． 【解答】解：设正方形OABC的边长为a，正方形ADEF的边长为b， ∴B（a，a）C（0，a）D（a+b，0）F（a，b）E（a+b，b）， 设直线CD的解析式为y＝mx+n， 将C（0，a）代入，得n＝a， 将D（a+b，0）代入，得0＝m（a+b）+a， ∴， ∴直线CD的解析式为， 设CD交AB于点G， 将x＝a代入得， ∴， ∴， S△CDF＝S△CFG+S△DFG以FG为底， 点C到AB的距离为a，点D到AB的距离为b， ∴， ∴， ∴b＝2， ∴k＝a2＝（a+b）b即a2＝ab+b2， 将b＝2代入，得a2﹣2a﹣4＝0， 解得，， ∵a＞0， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数是k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 11．（2025秋•无为市期末）如图，菱形OABC，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，反比例函数的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为2，则k的值为　2　 ． 【分析】过点A作AE⊥OC于E，由菱形的性质可得AO∥CB，OA＝OC，可证△AOC是等边三角形，且AE⊥OC，可得，即可求解． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥OC于E， 由条件可知AO∥CB，OA＝OC，且∠AOC＝60°， ∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC， ∴， ∵OA∥BC， ∴S△OAD＝S△OAC＝2， ∴， ∴k＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上的点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 12．（2026春•东城区月考）如图，已知反比例函数和的图象分别为C1，C2，A是C1上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D．若△AOD的面积为2，则k的值为　﹣5　 ． 【分析】根据反比例函数k值的几何意义及其基本模型计算即可． 【解答】解：由条件可得，， ∴， ∴|k|＝5， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点睛】本题考查反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 13．（2025秋•绵阳期末）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交，的图象于B，C两点，若△ABC的面积为3，则k值为 　4　 ． 【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB＝S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义，即可作答． 【解答】解：连接OC、OB，如图， ∵BC∥x轴， ∴S△ACB＝S△OCB， 而， ∴， 而k＞0， ∴k＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 14．（2026•沈河区一模）如图，A，B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为　﹣4　 ． 【分析】用“空白面积+阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积，根据反比例函数的几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【解答】解：如图，设过点A，B作x轴和y轴的垂线的垂足分别为G，C，E，F，BF与AG交于点D，两个空白的矩形面积分别表示为S1，S2， ∵点A、B是双曲线上的点， ∴S矩形ACOG＝S矩形BEOF＝|k|， 即S1+S阴影DGOF＝k，S2+S阴影DGOF＝k， ∴S1+S2+2S阴影DGOF＝2|k|， ∵图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6， ∴6+2×1＝2|k|， 又∵反比例函数图象经过第二象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，反比例函数的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 15．（2025秋•合肥期末）如图是反比例函数，在x轴上方的图象，平行四边形OABC的面积是5，若点A在x轴上，点B在的图象上，点C在的图象上，则k2﹣k1的值为 　﹣5　 ． 【分析】由平行四边形OABC，点B在的图象上，点C在的图象上，设B（，m），C（，m），得BC，由平行四边形OABC的面积是5，得（）•m＝5，即可得k2﹣k1＝﹣5． 【解答】解：由平行四边形OABC，点B在的图象上，点C在的图象上， 设B（，m），C（，m）， 得BC， 由平行四边形OABC的面积是5， 得（）•m＝5， 得k2﹣k1＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解题关键是正确应用反比例函数系数的几何意义． 类型三 由比例系数k探究图形面积关系 16．（2026•吉林校级模拟）如图，在函数的图象上取三点A、B、C，由这三点分别向x轴、y轴作垂线，设矩形AA1OA2、BB1OB2、CC1OC2的面积分别为SA、SB、SC，则下列正确的是（　　） A．SA＜SB＜SC B．SA＞SB＞SC C．SA＝SC＝SB D．SA＜SC＜SB 【分析】设出点A、B、C的坐标，各矩形的面积等于各点的横纵坐标的积，把相关数值代入即可． 【解答】解：设点A的坐标为（x，y）；点B的坐标为（a，b）；点C的坐标为（m，n）， ∵点A在反比例函数解析式上， ∴xy＝1， ∴矩形AA1OA2的面积为1， 同理可得另两个矩形的面积也为1， ∴SA＝SC＝SB， 故选：C． 【点睛】考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数． 17．（2025秋•裕安区校级期末）如图，已知点A，点C在反比例函数y（k＞0，x＞0），AB⊥x轴，若CD＝3OD，则△BDC与△ADO的面积比为　1：5　 ． 【分析】过C作CE⊥x轴于E，依据AB⊥x轴于点B，即可得出S△AOD＝S四边形BDCE，设△BDO的面积为S，即可得到△BDC的面积为3S，△BOC的面积为4S，进而得到四边形BDCE的面积为12S+3S＝15S，即△AOD的面积为15S，即可得出△BDC与△ADO的面积比． 【解答】解：如图所示，过C作CE⊥x轴于E， ∵AB⊥x轴于点B， ∴S△AOB＝S△COE， ∴S△AOD＝S四边形BDCE， 设△BDO的面积为S， ∵CD＝3OD， ∴△BDC的面积为3S，△BOC的面积为4S， ∵BD∥CE， ∴BE＝3OB， ∴△BCE的面积为12S， ∴四边形BDCE的面积为12S+3S＝15S， 即△AOD的面积为15S， ∴△BDC与△ADO的面积比为3：15＝1：5， 故答案为：1：5． 【点睛】此题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键． 18．（2026•海门区校级模拟）下列图形中，阴影部分的面积相等的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质，求出4个阴影部分的面积，然后进行比较即可得出结论． 【解答】解：①中直线y＝x+2与坐标轴的交点为（0，2）、（2，0）． ∴三角形的底边长和高都为2， 则三角形的面积为2×2＝2； ②中三角形的底边长为1，当x＝1时，y＝3， ∴三角形的高为3， 则面积为1×3； ③中三角形的高为1，底边长正好为抛物线与x轴两交点之间的距离， ∴底边长＝|x1﹣x2|2， 则面积为2×1＝1； ④设A的坐标是（x，y）， 代入解析式得：xy＝2， 则面积为2＝1， ∴阴影部分面积相等的是③④． 故选：D． 【点睛】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质，是一道难度中等的题目． 19．（2025春•工业园区校级期中）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，其中OA：AB：BC＝1：2：3，若S2＝4，则S1+S3＝（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】设反比例函数解析式为，根据OA：AB：BC＝1：2：3，设OA＝n，AB＝2n，BC＝3n，得到OB＝3n，OC＝6n，故，，，分别表示面积，解答即可． 【解答】解：设反比例函数解析式为，由条件可设OA＝n，AB＝2n，BC＝3n， 得到OB＝3n，OC＝6n， 故，，， ， 解得k＝12， 故，，， 故，， 故， 故，， 故S1＝2；S3＝8， 故S1+S3＝8+2＝10； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 类型四 已知系数k探究几何图形的面积规律 20．（2022秋•安化县期末）在反比例函数y（x＞0）的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，An，An+1，若A1的横坐标为2，以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过A1，A2，A3，…，An，An+1分别作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则S1＝　6　 ，S1+S2+S3+…+Sn＝　　 ． 【分析】由已知条件横坐标成等差数列，再根据点A1、A2、A3、…、An、An+1在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出Sn的表达式，把n＝1代入求得S1的值． 【解答】解：∵点A1、A2、A3、…、An、An+1在反比例函数y（x＞0）的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2， 又点A1的横坐标为2， ∴A1（2，6），A2（4，3）， ∴S1＝2×（6﹣3）＝6； 由题图象知，An（2n，），An+1（2n+2，）， ∴S2＝2×（3﹣2）＝2， ∴图中阴影部分的面积知：Sn＝2×（），（n＝1，2，3，…） ∵， ∴S1+S2+S3+…+Sn＝12（）＝12（1）． 故答案为：6，． 【点睛】此题是一道规律题，首先根据反比例函数的性质及图象，求出An的坐标的表达式，再由此求出Sn的表达式． 21．如图，点B1在反比例函数y（x＞0）的图象上，过点B1分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C1和A，得到第一个矩形AOC1B1，点C1的坐标为（1，0）；取x轴上一点C2（，0），过点C2作x轴的垂线交反比例函数图象于点B2，过B2作线段B2A1⊥B1C1，交B1C1于点A1，得到第二个矩形A1C1C2B2；依次在x轴上取点C3（2，0），C4（，0）…按此规律作矩形，则第10个矩形A9C9C10B10的面积为　　 ． 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到第1个矩形AOC1B1的面积＝2，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到B2点的坐标为（，），接着得到A1的坐标为（1，），则可根据反比例函数比例系数k的几何意义和两矩形的面积差得到第2个矩形A1C1C2B2的面积，同同样方法得到第3个矩形A2C2C3B3的面积，第4个矩形A3C3C4B4的面积，因此得到第n个矩形的面积为，然后把n＝10代入计算即可． 【解答】解：第1个矩形AOC1B1的面积＝2， ∵C2（，0）， ∴B2点的坐标为（，）， ∴A1的坐标为（1，）， ∴第2个矩形A1C1C2B2的面积＝2﹣1； ∵C3（2，0）， ∴B3点的坐标为（2，1）， ∴A2的坐标为（，1）， ∴第3个矩形A2C2C3B3的面积＝2﹣1； ∵C4（，0）， ∴B4点的坐标为（，）， ∴A3的坐标为（2，）， ∴第4个矩形A3C3C4B4的面积＝2﹣2， …， ∴第10个矩形A9C9C10B10的面积． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 22．（2025秋•临泉县期末）如图，在x轴的正半轴依次截取OA1＝A1A2＝A2A3，过点A1，A2，A3分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点P1，P2，P3，得△OP1A1，△A1P2A2，△A2P3A3，并设其面积分别为S1，S2，S3，以此类推，若，则k的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．4 【分析】连接OP2，OP3，OP4，再根据反比例函数中k的几何意义进行解答即可． 【解答】解：连接OP2，OP3，OP4， 由条件可知A1P1、A2P2、A3P3、A4P4都垂直于x轴， ∴， ∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4， ∴，，． 以此类推，解得k＝2． 故选：A． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解是解答此题的关键． 23．（2024秋•怀来县校级期末）如图，在反比例函数的图象上有P1，P2，P3，P4四点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，若S1+S2+S3+S4＝4，则k的值为　4　 ． 【分析】根据题意可得，再根据长方形面积公式分别表示出S1，S2，S3，S4，根据S1+S2+S3+S4＝4建立方程求解即可． 【解答】解：由条件可得：， ∵分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4， ∴，，，， ∵S1+S2+S3+S4＝4， ∴， 解得k＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的图象和性质是关键． 24．（2025•韶关模拟）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3…，过A1、A2、A3分别作x轴的垂线与反比例函数的图象交于点P1、P2、P3…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则Sn的值为 　　 （n为正整数）． 【分析】根据反比例函数y中k的几何意义再结合图象即可解答． 【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S|k|＝3． 又因为OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5 所以S1＝3，S2 S1，S3S1＝1，S4S1，S5S1． 以此类推：Sn的值为． 故答案为：． 【点睛】主要考查了反比例函数y中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|． 类型四 比例系数k的综合运用 25．（2024秋•清远期末）反比例函数y（a＞0，a为常数）和y在第一象限内的图象如图所示，点M在y的图象上，MC⊥x轴于点C，交y的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y的图象于点B，当点M在y的图象上运动时，以下结论：①S△ODB＝S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论的序号是　①②③　 ． 【分析】①由反比例系数的几何意义可得答案； ②由四边形OAMB的面积＝矩形OCMD面积﹣（三角形ODB面积+面积三角形OCA），解答可知； ③连接OM，点A是MC的中点可得△OAM和△OAC的面积相等，根据△ODM的面积＝△OCM的面积、△ODB与△OCA的面积相等解答可得． 【解答】解：①由于A、B在同一反比例函数y图象上，则△ODB与△OCA的面积相等，都为2＝1，正确； ②由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确； ③连接OM，点A是MC的中点， 则△OAM和△OAC的面积相等， ∵△ODM的面积＝△OCM的面积，△ODB与△OCA的面积相等， ∴△OBM与△OAM的面积相等， ∴△OBD和△OBM面积相等， ∴点B一定是MD的中点．正确 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了反比例函数y（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 26．（2025秋•蜀山区校级月考）如图，以菱形OABC的顶点O为原点，边OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，OA＝2，，过C点的反比例函数部分图象交AB于点D，则点D的横坐标为　1　 ． 【分析】依据题意，作CE⊥x轴交x轴于点E，作DF⊥x轴交x轴于点F，先求出反比例函数为y，然后可设AF＝a（a＞0），则DFa，AD＝2a，故OF＝2+a，即D（2+a，a），进而（2+a）a，求出a后即可计算得解． 【解答】解：如图，作CE⊥x轴交x轴于点E，作DF⊥x轴交x轴于点F， ∵OA＝2，， ∴S菱形＝OA•CE＝2． ∴CE． 又∵OA＝OC＝2， ∴sin∠COE，OE1． ∴∠AOC＝60°，C（1，）． ∵过C点的反比例函数y部分图象交AB于点D， ∴k＝1． ∴反比例函数为y． 由条件可知OC∥AB， ∵∠AOC＝60°， ∴∠BAF＝∠AOC＝60°， ∴∠ADF＝30°． 设AF＝a（a＞0）， ∴DFa，AD＝2a， ∴OF＝2+a，即D（2+a，a）， ∵过C点的反比例函数为y图象交AB于点D， ∴（2+a）a． ∴a＝﹣1． ∴D的横坐标为：a+2＝﹣12＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，菱形的性质，三角函数，解一元二次方程．熟练掌握以上知识点是关键． 27．（2024春•同步）已知正方形OABC的面积为4，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图象上，点P（m，n）是函数的图象上任意一点．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．若设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．求当S＞1时，求m的取值范围． 【分析】利用正方形的性质得OA＝AB＝2，则B点坐标为（2，2）；把B（2，2）代入y中，即可求出k；P（m，n）在y上，得到mn＝4，S＝AE•PE+CB•CF＝（m﹣2）•n+2（2﹣n）＝mn﹣2n+4﹣2n＝mn﹣4n+4＝8，根据S＞1，可得出m的取值范围． 【解答】解：∵正方形OABC的面积为4， ∴OA＝AB＝2， ∴B点坐标为（2，2）； ∵点B在函数的图象上， ∴把B（2，2）代入y中， 得k＝4； ∴反比例函数的解析式为y； ∵P（m，n）在y上，∴mn＝4，∴n， ∵S＝AE•PE+CB•CF， ∴S＝（m﹣2）•n+2（2﹣n）＝mn﹣2n+4﹣2n＝mn﹣4n+4＝8， ∵S＞1， ∴7， ∵x＞0， 或S＝m（n﹣2）+2（2﹣m）＝mn﹣4m+4＝8﹣4m， ∵S＞1， ∴8﹣4m＞1， ∴0＜m， ∴m的取值范围m或0＜m 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，先利用待定系数法确定反比例的解析式，那么图象上所有点的横纵坐标的乘积为定值．也考查了矩形的性质以及分类讨论思想的运用． 28．（2025秋•扶绥县校级月考）如图，点A与点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，A点的纵坐标为2，BB′与AA′均垂直于x轴，B′，A′是垂足． （1）求A点的坐标； （2）求△BOB′的面积； （3）若B点的横坐标为2，求△OAB的面积． 【分析】（1）把y＝2代入函数解析式即可求得A的横坐标即可求得A的坐标； （2）根据反比例函数的解析式的意义即可求得三角形的面积； （3）根据△AOB的面积＝△OBB'的面积+S梯形OA'AB的面积﹣△OAA'的面积求解． 【解答】解：（1）当y＝2时，则x4．即点A的坐标是（4，2）； （2）S△BOB'8＝4； （3）在y中，当x＝2时，y4，则B的坐标是（2，4）， 根据反比例函数的解析式，知三角形OAA1的面积和三角形OBB1的面积相等，都是4， 则直角梯形ABB1A1的面积是（2+4）×2＝6． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，要能够熟练运用待定系数法求得反比例函数的解析式；双曲线上任意一点向x轴或y轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是． 29．（2026•越秀区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）． （1）求k的值． （2）设点M在反比例函数图象上，连接AM，DM，若△AMD的面积与菱形ABCD的面积相等，求点M的坐标． 【分析】（1）延长AD交x轴于E，根据勾股定理求出菱形的边长，确定A的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值； （2）根据题意求出菱形的面积，根据题意求出点M到AD的距离，求出点M的横坐标，代入求值即可． 【解答】解：（1）延长AD交x轴于E， ∵点D的坐标为（4，3）， ∴OE＝4，DE＝3， 由勾股定理得，OD＝5， 则AE＝8， ∴点A的坐标为（4，8）， ∴k＝4×8＝32， 答：k的值为32； （2）菱形ABCD的面积为5×4＝20， ∵△AMD的面积与菱形ABCD的面积相等， ∴点M到AD的距离为8， ∴点M的横坐标为4+8＝12， y， 点M的坐标为（12，）． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、菱形的性质，掌握菱形的性质、反比例函数系数k＝xy是解题的关键． 30．（2025秋•庐阳区校级期中）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，线段AB的延长线交x轴于点C，过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，已知M为ON的中点，△AOC的面积为4． （1）若M（﹣1，0），则点C的坐标是　（﹣3，0）　 ． （2）k的值为　　 ． 【分析】（1）先分别表示出点A和点B的坐标，据此进一步表示出直线AB的关系即可解决问题； （2）根据△AOC的面积为4建立关于k的方程即可． 【解答】解：（1）∵点M坐标为（﹣1，0），且M为ON的中点， ∴点N的坐标为（﹣2，0）． ∵AM⊥x轴，BN⊥x轴，且A，B是反比例函数图象上的两点， ∴点A坐标为（﹣1，﹣k），点B坐标为（﹣2，）， 则直线AB的函数关系是为y． 由得， k＝﹣3， ∴点C的坐标是（﹣3，0）． 故答案为：（﹣3，0）； （2）令点A坐标为（a，）， 则点M坐标为（a，0）． ∵点M为ON的中点， ∴点N坐标为（2a，0）， 则点B坐标为（2a，）， ∴直线AB的函数解析式可表示为y． 由0得，x＝3a， ∴点C坐标为（3a，0）， ∴CN＝MN＝MO． ∵△AOC的面积为4， ∴△AOM的面积为， ∴． 又∵k＜0， ∴k． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 31．（2024秋•营口校级期末）小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF． （1）求k值； （2）计算图形阴影部分面积之和． 【分析】（1）将点A（2√3，2）代入反比例y＝k/x之中即可求出k的值； （2）连接AC交OD于N，根据菱形性质得AC与OD互相垂直平分，则AN＝CN＝2，ON，AC＝4，OD，进而得S菱形OADCAC•OD，在Rt△AON中由勾股定理得OA＝4，从而得△OAC为等边三角形，由此得S扇形OAC，从而得S阴影ADC＝S菱形OADC﹣S扇形OAC，然后根据反比例函数比例系数的几何意义得S△OBM|k|，则S△OBF＝2S△OBM，由此可得图形阴影部分面积之和． 【解答】解：（1）∵点A在反比例的图象上， ∴； （2）连接AC角OD于N，设BF与OE交于点M，如图所示： ∵四边形AOCD为菱形， ∴AC与OD互相垂直平分，OA＝OC， ∵点A， ∴AN＝CN＝2，ON， ∴AC＝2AN＝4，OD＝2ON， ∴S菱形OADCAC•OD4， 在Rt△AON中，AN＝2，ON， 由勾股定理得：OA4， ∴OA＝OC＝AC＝4， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴S扇形OAC， ∴S阴影ADC＝S菱形OADC﹣S扇形OAC， ∵四边形OBEF为菱形， ∴OE和BF互相垂直平分， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OBM|k|， ∴S△OBF＝2S△OBM， ∴图形阴影部分面积之和为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，菱形的性质，扇形的面积等，理解反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，菱形的性质，熟练掌握扇形的面积公式，菱形的面积公式是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $