精品解析：云南省昆明市五华区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

2025-2026学年下学期期末试卷 七年级数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己收好，以便讲评． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 25的算术平方根是5，可以用式子表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查算术平方根的定义，非负数a的算术平方根记作，据此即可求解，熟练掌握此定义是解题的关键． 【详解】解：5的算术平方根是5，用式子表示为， 故选：C 2. 下列图案可由基本图形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置．观察各选项图形，判断是否由基本图形沿某一直线方向移动得到即可． 【详解】解：该图案可以看作由一个基本图形（左上角的图形）经过平移得到，该选项符合题意； 该图案属于旋转变换，不能通过平移得到，该选项不符合题意； 该图案属于旋转变换，不能通过平移得到，该选项不符合题意； 该图案属于轴对称变换，不能通过平移得到，该选项不符合题意． 3. 已知是一个二元一次方程，则可能是（ ） A. x B. C. y D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，方程需满足两个条件：含有两个不同的未知数；未知数的次数均为1，且为整式方程． 【详解】A、若为，则方程为，含两个未知数和，且次数均为1，符合二元一次方程的定义； B、若为，方程为，此时的次数为2，不符合“一次”条件； C、若为，方程为，即，仅含一个未知数，不符合“二元”条件； D、若为，方程为，含分式，非整式方程，不符合条件， 故选：A． 4. 把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元一次不等式求出解集，再根据“小于向左，大于向右，无等号画空心，有等号画实心”的原则在数轴上表示即可． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， ∴不等式的解集在数轴上表示为： 5. 如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印．若米，则李明的跳远成绩可能是（ ） A. 2.71米 B. 2.74米 C. 2.77米 D. 2.80米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短的性质在实际生活中的应用. 跳远成绩是测量落地点到起跳线的垂直距离，根据“垂线段最短”可知成绩应小于 的长度． 【详解】解：由图可知，跳远成绩应为点到起跳线的垂线段的长度 ， 直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短，  ， 米， 跳远成绩小于 米 观察选项，只有 米小于 米 ． 6. 吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是关键． 根据由平行线的性质逐项判定即可． 【详解】解：A、由推出和是同位角，由两直线平行、同位角相等可知该选项正确，符合题意； B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意； C、和不是同旁内角，由不能判定，故此选项不符合题意； D、无法判断和关系，故此选项不符合题意． 故选：A． 7. 若点在第三象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先根据点的位置判断的符号，再推导点横纵坐标的符号，即可确定点所在的象限． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴，， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴点在第四象限． 8. 空气由多种气体混合而成，为了介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ） A. 条形图 B. 折线图 C. 扇形图 D. 直方图 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了选择合适的统计图，解决本题的关键是熟悉掌握各种统计图的作用与表现形式，难度不大，是一道基础题目．根据扇形统计图的特征，即可求解． 【详解】解：为了介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形图． 故选：C． 9. 已知，下列不等式中错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质判断：不等式基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，逐一判断各选项即可得到错误选项． 【详解】解：已知， ∵不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，∴A选项正确； ∵不等式两边同时乘，是负数，不等号方向改变，可得，∴B选项错误； ∵不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，∴C选项正确； ∵不等式两边同时除以，是正数，不等号方向不变，可得，∴D选项正确． 10. 若关于，的二元一次方程，的解的情况分别如表、表所示． 表 … … … … 表 … … … … 则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的解，因此只需找出两个二元一次方程的共同解即可． 【详解】解：∵ 方程组的解需要同时满足两个方程， ∴ 该既是方程的解，也必须是方程的解， 对比表和表的各组解，可知同时满足两个方程， ∴方程组的解是． 11. 已知，，，，则（ ） A. 22.36 B. 223.6 C. 70.71 D. 707.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据被开方数的小数点每向左或向右移动2位，其算术平方根的小数点相应地向左或向右移动1位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 12. 过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移法画平行线的原理，三角板需有一条边贴合截线，另一条边贴合已知直线． 【详解】解：要求过点画直线的平行线，且通过将三角板从点处沿着直线平移画出， 在点处，三角板的一条边应与直线重合，另一条边应与直线重合， ，且三角板含有角（即另一个锐角为）， 三角板在点处的角应为，即三角板的角顶点在，两边分别与、重合， 观察各选项，只有C选项符合． 13. 年月日到月日嘉嘉与琪琪相约去跑步，根据他们的手机“微信运动”的步数，绘制成的折线图如图所示，则下列说法正确的是（ ）． A. 琪琪的步数高于嘉嘉的天数有天 B. 嘉嘉的步数逐天增加 C. 第日，琪琪的步数将比嘉嘉的步数少 D. 嘉嘉的步数最多是千步 【答案】B 【解析】 【分析】根据图中数据，逐一分析各选项即可． 【详解】解：选项A：通过对比折线图中数据，琪琪步数高于嘉嘉的日期为：6月1日、2日、3日、4日，共4天，故选项A错误； 选项B：观察图中数据，嘉嘉每日步数从6月1日约3千步，持续上升至6月10日约11千步，故选项B正确； 选项C：图表仅提供6月1日至10日数据，无第11日信息，无法做出推论，故选项C错误； 选项D：嘉嘉步数最多是在6月10日步数约为11千步，故选项D错误． 14. 在平面直角坐标系中，8个大小完全相同的长方形摆成如图所示的图案．若点A的坐标是，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据点的坐标列出方程组求出、，再结合图形确定点的坐标． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，点的纵坐标为，横坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴点的纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，，，…，组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2027秒时，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为秒，点的横坐标为运动时间的倍，纵坐标以，，，四个数为一个循环，根据规律即可求得第秒点位置． 【详解】解：由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为（秒）， 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； ； ∴点的横坐标为运动时间的倍，纵坐标以，，，四个数为一个循环， ∴当时间为秒时，点的横坐标为，由，则点的纵坐标为， ∴第2027秒时，点P的坐标是． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 已知的平方根是，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：的平方根是， ． 17. 北京冬奥会开幕式上，以“二十四节气”为主题的倒计时短片，用“中国式浪漫”美学惊艳了世界．王芳利用推算并绘制了昆明市年二十四节气日白昼时长的折线图，则白昼时长最长的节气是______． 【答案】夏至 【解析】 【分析】找到最高点对应的横坐标即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，纵轴表示白昼时长，横轴表示二十四节气，图象的最高点表示白昼时长最长，观察图象可知最高点对应的横坐标为夏至，所以白昼时长最长的节气是夏至． 18. 已知关于，的方程组的解，互为相反数，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，相反数的性质，将方程组中两个方程相加，得到与的关系式，再根据，互为相反数得到，代入即可求出的值． 【详解】解：， 将两个方程相加得：， 整理得：， 方程组的解，互为相反数， ， 将代入，得：， 解得：． 19. 云南瓦猫是置于传统民居屋脊上的镇宅神兽，以虎为原型，造型古朴夸张，张嘴露齿，威武呆萌．张华购买了2个白色的瓦猫泥塑和1个白色的京剧脸谱面具，准备涂色后送给喜欢传统文化的父亲，他涂完色所用时间不超过7小时．若涂色1个脸谱面具比1个瓦猫泥塑时间少小时，则涂色1个瓦猫泥塑最多用________小时． 【答案】 【解析】 【分析】设涂色1个瓦猫泥塑用x小时，则涂色1个脸谱面具用小时，根据涂完色所用时间不超过7小时建立不等式求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设涂色1个瓦猫泥塑用x小时，则涂色1个脸谱面具用小时， 由题意得，， 解得， ∴x的最大值为， ∴涂色1个瓦猫泥塑最多用小时． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据立方根、算术平方根、绝对值的性质计算，再计算有理数的加减法即可． 【详解】解：， ， ． 21. 三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）写出三角形三个顶点的坐标； （2）将三角形平移，得到三角形．三角形内部一点平移后的对应点的坐标为__________； （3）求三角形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系中点的位置即可得到对应点的坐标； （2）根据点A和点的坐标可得平移方式，再由平移方式可得点的坐标； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：∵将三角形平移，得到三角形，， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴三角形内部一点平移后的对应点的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意得，． 22. 某学校为了解全校学生完成作业的情况，随机调查部分学生每天完成书面作业的时间，将完成时间（单位：）分为A（），B（），C（），D（），E（）五组进行统计，并绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）这次一共调查了__________名学生； （2）请补全条形统计图； （3）B组对应扇形的圆心角度数是__________； （4）请你估计该校1800名学生中，每天完成书面作业的时间不超过90分钟的学生人数． 【答案】（1）100 （2） （3）72 （4）1710名 【解析】 【分析】（1）用C组的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数； （2）求出D组的学生人数，再补全条形统计图即可； （3）用360度乘以B组的人数占比即可求出对应的圆心角度数； （4）用1800乘以样本中每天完成书面作业的时间不超过90分钟的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（名）， ∴这次一共调查了100名学生； 【小问2详解】 解：D组的学生人数为（名）， 补全条形统计图见答案； 【小问3详解】 解：B组对应扇形的圆心角度数是； 【小问4详解】 解：（名）， 答：估计该校1800名学生中，每天完成书面作业的时间不超过90分钟的学生人数为1710名． 23. 完成下面的解答． 如图，，，，求的度数． 解：，， （_______________________）． __________（同位角相等，两直线平行）． （_____________________）． 又， __________． （____________________）． （____________________）． 【答案】同角的补角相等；；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【解析】 【分析】根据同角的补角相等，平行线的性质与判定定理和已给过程求解即可． 【详解】略 24. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息，解决下列问题： （1）甲同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求甲同学分别接温水和开水所用的时间； （2）乙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积大于而不多于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 【答案】（1）甲同学接温水的时间为，接开水的时间为； （2）应接或的开水 【解析】 【分析】（1）设甲同学接温水的时间为，接开水的时间为，根据接水得到一杯的水建立方程组求解即可； （2）根据最后杯中水的体积大于而不多于建立不等式组求出a的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲同学接温水的时间为，接开水的时间为， 由题意得，， 解得， 答：甲同学接温水的时间为，接开水的时间为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， ∵a为整数， ∴a的值为11或12， 答：应接或的开水． 25. 问题情境 如图1，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． （1）猜想验证 他们猜想，并通过测量得到了验证．他们为证明这个数量关系成立，过点作，如图2，请你写出证明过程； （2）深入探究 他们发现用同样的辅助线还可以得到另外三个角的数量关系，请你写出，，之间的数量关系并完成证明； （3）拓展迁移 图3是他们在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，，，，，，，并连接，，，，，，绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图4）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，，，则__________． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）127 【解析】 【分析】（1）过点作，由平行线的性质得到，，然后运用角度和差关系证明即可； （2）过点作，由平行线的性质得到，，然后两式相加证明即可； （3）过点作，过点作，利用平行线的性质与判定即可完成求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 26. 如果，在，，，，这个数中，有个数是某个不等式（组）的解，则称此不等式（组）是关于的“阶不等式（组）”．例如，给定，，解不等式，得，因为，，0，2，3这5个数中有，0，2，3是该不等式的解，所以是关于的“4阶不等式”． （1）若，，则下列不等式（组）是关于的“3阶不等式（组）”的是__________（填写序号）； ①，②． （2）已知，，若关于的不等式是关于的“4阶不等式”，求的取值范围． 【答案】（1）② （2） 【解析】 【分析】该题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式及不等式组，解题的关键是理解新定义． （1）根据“3阶不等式（组）”的定义判断即可； （2）根据关于的“k阶不等式（组）”定义可知，则，，解得，且，，根据关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，得出，即，求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ①，解不等式得， 因为，，0，，3这五个数中有，3是该不等式的解， 所以为关于的“2阶不等式”，不符合题意； ②，解不等式组得， 因为，，0，，3这五个数中有0，，3是该不等式的解， 所以为关于的“3阶不等式”，符合题意； 故答案为：②； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， 故，，， ∵关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，即，，，是不等式的解， ∴， 即， 解得：， 综上，． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，轴于点，已知点，，其中，满足． （1）直接写出点的坐标； （2）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．过点作轴于点．设运动时间为秒，当时，求的取值范围； （3）连接，如图，并平移线段，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质求出的值，得到点的坐标，进而即可求解； （2）设运动时间为秒， 则，，，即得，，再根据题意列出不等式解答即可； （3）易知四边形为平行四边形，所以为与的中点，设，又因为，因此的中点的坐标为，根据，分情况列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴于点，轴于点， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， 由题意可知，四边形是矩形， ∴，， ∵个单位，个单位， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：设， 连接，由平移可知四边形为平行四边形， ∴为与的中点，， 设，则， ①当点P在y轴正半轴，即时，如图， ， ，解得， ， ②当点P在y轴负半轴，即时，如图， ， ，解得， ， 综上所述，当时，点的坐标或． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合，动点问题，平行四边形的性质，用中点坐标公式写出点P坐标是解题关键，列方程时要注意坐标中值的正负性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期期末试卷 七年级数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己收好，以便讲评． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 25的算术平方根是5，可以用式子表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案可由基本图形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一个二元一次方程，则可能是（ ） A. x B. C. y D. 4. 把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印．若米，则李明的跳远成绩可能是（ ） A. 2.71米 B. 2.74米 C. 2.77米 D. 2.80米 6. 吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若点在第三象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 空气由多种气体混合而成，为了介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ） A. 条形图 B. 折线图 C. 扇形图 D. 直方图 9. 已知，下列不等式中错误的是（ ）． A. B. C. D. 10. 若关于，的二元一次方程，的解的情况分别如表、表所示． 表 … … … … 表 … … … … 则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，，，则（ ） A. 22.36 B. 223.6 C. 70.71 D. 707.1 12. 过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 年月日到月日嘉嘉与琪琪相约去跑步，根据他们的手机“微信运动”的步数，绘制成的折线图如图所示，则下列说法正确的是（ ）． A. 琪琪的步数高于嘉嘉的天数有天 B. 嘉嘉的步数逐天增加 C. 第日，琪琪的步数将比嘉嘉的步数少 D. 嘉嘉的步数最多是千步 14. 在平面直角坐标系中，8个大小完全相同的长方形摆成如图所示的图案．若点A的坐标是，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，，，…，组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2027秒时，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 已知的平方根是，则的值是__________． 17. 北京冬奥会开幕式上，以“二十四节气”为主题的倒计时短片，用“中国式浪漫”美学惊艳了世界．王芳利用推算并绘制了昆明市年二十四节气日白昼时长的折线图，则白昼时长最长的节气是______． 18. 已知关于，的方程组的解，互为相反数，则的值是__________． 19. 云南瓦猫是置于传统民居屋脊上的镇宅神兽，以虎为原型，造型古朴夸张，张嘴露齿，威武呆萌．张华购买了2个白色的瓦猫泥塑和1个白色的京剧脸谱面具，准备涂色后送给喜欢传统文化的父亲，他涂完色所用时间不超过7小时．若涂色1个脸谱面具比1个瓦猫泥塑时间少小时，则涂色1个瓦猫泥塑最多用________小时． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）写出三角形三个顶点的坐标； （2）将三角形平移，得到三角形．三角形内部一点平移后的对应点的坐标为__________； （3）求三角形的面积． 22. 某学校为了解全校学生完成作业的情况，随机调查部分学生每天完成书面作业的时间，将完成时间（单位：）分为A（），B（），C（），D（），E（）五组进行统计，并绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）这次一共调查了__________名学生； （2）请补全条形统计图； （3）B组对应扇形的圆心角度数是__________； （4）请你估计该校1800名学生中，每天完成书面作业的时间不超过90分钟的学生人数． 23. 完成下面的解答． 如图，，，，求的度数． 解：，， （_______________________）． __________（同位角相等，两直线平行）． （_____________________）． 又， __________． （____________________）． （____________________）． 24. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息，解决下列问题： （1）甲同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求甲同学分别接温水和开水所用的时间； （2）乙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积大于而不多于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 25. 问题情境 如图1，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． （1）猜想验证 他们猜想，并通过测量得到了验证．他们为证明这个数量关系成立，过点作，如图2，请你写出证明过程； （2）深入探究 他们发现用同样的辅助线还可以得到另外三个角的数量关系，请你写出，，之间的数量关系并完成证明； （3）拓展迁移 图3是他们在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，，，，，，，并连接，，，，，，绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图4）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，，，则__________． 26. 如果，在，，，，这个数中，有个数是某个不等式（组）的解，则称此不等式（组）是关于的“阶不等式（组）”．例如，给定，，解不等式，得，因为，，0，2，3这5个数中有，0，2，3是该不等式的解，所以是关于的“4阶不等式”． （1）若，，则下列不等式（组）是关于的“3阶不等式（组）”的是__________（填写序号）； ①，②． （2）已知，，若关于的不等式是关于的“4阶不等式”，求的取值范围． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，轴于点，已知点，，其中，满足． （1）直接写出点的坐标； （2）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．过点作轴于点．设运动时间为秒，当时，求的取值范围； （3）连接，如图，并平移线段，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $