精品解析：河北省石家庄市栾城区2025-2026学年七年级下学期数学期末试卷

河北省2025-2026学年第二学期期末学情质量评价 七年级数学 冀教版 范围：全册 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是不等式，则符号“□”可以是（ ） A. = B. > C. ÷ D. × 2. 在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列是甲、乙两名同学自左向右的两个变形： 甲：；乙：． 下列说法正确的是（ ） A. 甲是整式的乘法，乙是因式分解 B. 甲是因式分解，乙是整式的乘法 C. 甲、乙均是因式分解 D. 甲、乙均是整式乘法 4. 阅读下面的对话，并回答问题： 设A版选取自然景观类个，人文景观类个，请根据题意列出二元一次方程组（ ） A. B. C. D. 5. 如果关于的多项式是一个完全平方式，那么的值为（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，的边的长为，将向上平移得到，且，则图中阴影部分的面积为（        ） A. B. C. D. 7. 如图是一个不等式的解集在数轴上的表示，则这个不等式可能是（        ） A. B. C. D. 8. 如图，E，F是的边，上的点，D是点A上方的一点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 某自动驾驶企业研发了基于的实时路况分析模型，用于处理车载摄像头采集的高清视频流．模型推理时间（单位：毫秒）与单帧视频数据量（单位：）的关系表达式实测拟合为：，为满足自动驾驶的安全冗余要求，决策延迟时间需不超过40毫秒，则单帧视频数据量的允许范围是（ ） A. B. C. D. 11. 关于，的方程组的解满足，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 12. 将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则________． 14. 如图，点在直线上，，且平分，．则________． 15. 如图，图1是一个花盆支架，图2为其正面结构示意图，底座为，支撑杆于点，平台边框和均与支架垂直，经测量得，，则与的位置关系是______________________． 16. 若关于的不等式组的所有整数解的和是5，则的取值范围是_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式（组）： （1）； （2）． 18. 化简：，以下是小明的解题过程： ……第一步 ……第二步 ……第三步 老师看到后，说小明做错了． （1）请问：小明错在第_________步； （2）请写出正确的解题过程，并计算当时原式的值． 19. 一个三角形的两边，． （1）当各边均为整数时，可以组成 个不同的三角形． （2）若此三角形是等腰三角形，求其周长． 20. 观察下面的因式分解过程： ． 利用这种方法解决下列问题： （1）因式分解：； （2）的三边，，满足，判断的形状． 21. 如图，是的一个外角，为的平分线，在的内部，与交于点，． （1）判断是否平分，并说明理由； （2）如图2，的平分线交于点，，求的度数． 22. 【新课标·应用意识】《熊出没·年年有熊》上映后，电影院分两次购进了年年手办和岁岁手办进行售卖，第一次购入年年手办30个、岁岁手办20个共花费900元，第二次以相同的进价购入年年手办40个、岁岁手办30个共花费1250元． （1）请问每个年年手办和岁岁手办的进价分别是多少元？ （2）若年年手办的标价为30元，岁岁手办的标价为20元，开学前一天，电影院进行了酬宾活动：年年手办打九折，岁岁手办降价2元．已知岁岁手办的销量比年年手办的销量的2倍还多10个，要使电影院销售手办的总利润不低于225元，则至少要卖出年年手办多少个？ 23. 阅读下列材料： 若满足，求的值． 设，，则，， 所以． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）如图，已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形． （3） ______，______；（用含的式子表示） 求阴影部分的面积． 24. 如图1，为射线上一点，，（）． （1）若，，，求的度数； （2）如图2，点在上，过点作直线，． ①说明的理由； ②过点作射线，若，，求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2025-2026学年第二学期期末学情质量评价 七年级数学 冀教版 范围：全册 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是不等式，则符号“□”可以是（ ） A. = B. > C. ÷ D. × 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式定义判断符号类型即可得出结果． 【详解】∵用不等号连接的式子叫做不等式，选项中，=是等号，对应等式，×、÷是运算符号，都不能构成不等式，只有>是不等号，填入后符合不等式的定义， ∴符号“□”可以是>． 2. 在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比上面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． 3. 下列是甲、乙两名同学自左向右的两个变形： 甲：；乙：． 下列说法正确的是（ ） A. 甲是整式的乘法，乙是因式分解 B. 甲是因式分解，乙是整式的乘法 C. 甲、乙均是因式分解 D. 甲、乙均是整式乘法 【答案】A 【解析】 【详解】解：甲：，左边是两个整式的乘积，右边是多项式， ∴甲是整式的乘法，不是因式分解； 乙：，左边是多项式，右边是几个整式的乘积，符合因式分解的定义， ∴乙是因式分解； 因此甲是整式的乘法，乙是因式分解． 4. 阅读下面的对话，并回答问题： 设A版选取自然景观类个，人文景观类个，请根据题意列出二元一次方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据A版打卡点总数和B版打卡点总数及两类点位的数量关系列出方程即可． 【详解】解：∵ A版设计10个打卡点，设A版选取自然景观类  个，人文景观类  个 ∴ ∵B版设计14个打卡点，B版的自然景观类点位是A版的2倍，人文景观类点位比A版少2个 ∴B版自然景观类点位为个，人文景观类点位为个， ∴， ∴列出的二元一次方程组为 5. 如果关于的多项式是一个完全平方式，那么的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】解：，是完全平方式， ， 当时，， 当时，， 的值为或． 6. 如图，的边的长为，将向上平移得到，且，则图中阴影部分的面积为（        ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可． 【详解】解：由平移的性质得：，，（平移不改变图形的面积）， ∵， ∴图中阴影部分的面积为 ． 7. 如图是一个不等式的解集在数轴上的表示，则这个不等式可能是（        ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据数轴可得这个不等式的解集，再分别求出各选项中不等式的解集，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，这个不等式的解集为． A、解不等式得：，不符合题意； B、解不等式得：，不符合题意； C、解不等式得：，不符合题意； D、解不等式得：，符合题意． 8. 如图，E，F是的边，上的点，D是点A上方的一点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据三角形内角和定理得出，，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， 即， ∵， ∴， 故选：A． 9. 甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法运算及多项式各项系数的特征，解题的关键是通过设未知数表示多项式展开式，结合常数项和一次项系数的符号及数值特征排除错误选项． 设 “” 为正数a，展开多项式得，根据常数项符号排除丙、丁；对于甲与乙，可根据一次项系数、常数项对应相等分别求得a值，保持一致性的确定为正确结果． 【详解】解：设 “” 为正数a，则， ∴常数项，但丙与丁的常数项均为正数，故排除丙与丁． 若，得且， 均解得，故甲符合题意； 若，得且， 解得与，矛盾，无解，故乙不符合题意； 综上，只有甲符合题意， 故选：A． 10. 某自动驾驶企业研发了基于的实时路况分析模型，用于处理车载摄像头采集的高清视频流．模型推理时间（单位：毫秒）与单帧视频数据量（单位：）的关系表达式实测拟合为：，为满足自动驾驶的安全冗余要求，决策延迟时间需不超过40毫秒，则单帧视频数据量的允许范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意，建立不等式，求解范围，并结合实际数据量的非负性确定最终结果，理解题意，正确得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得：， ∵数据量不能为负数， ∴， 故单帧视频数据量的允许范围是， 故选：B． 11. 关于，的方程组的解满足，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先通过方程组变形得到与的关系，代入求出的值，再利用幂的运算性质计算所求代数式的值． 【详解】解：， 得， 整理得，即， ， ， 又， ． 12. 将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，三角板有关的计算，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为，则，再过点作，运用平行线的性质进行分析列式，得，结合，，故，最后算出，再分析，即可作答． 【详解】解：依题意，得，， ∵， ∴， 故A选项不符合题意； 过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 故B选项不符合题意； ∵，， ∴ ∴， 故C选项不符合题意； ∵，且， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故D选项符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算积的乘方与幂的乘方得出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 14. 如图，点在直线上，，且平分，．则________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查角的计算、角平分线的性质，根据角平分线的性质得到角度是解题的关键． 首先根据平角得到的度数，再根据角平分线的性质得到的度数，再结合得到的度数，进而即可求解的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60． 15. 如图，图1是一个花盆支架，图2为其正面结构示意图，底座为，支撑杆于点，平台边框和均与支架垂直，经测量得，，则与的位置关系是______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行证明，利用平行线的性质求出的度数，再结合已知的度数，利用内错角相等判定． 【详解】解：，平台边框和均与支架垂直，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ． 16. 若关于的不等式组的所有整数解的和是5，则的取值范围是_____________． 【答案】或 【解析】 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 因此不等式组的解集为， ∵所有整数解的和是，且， ∴不等式组的所有整数解分两种情况： 整数解为，此时可得， 整数解为，此时可得， 故答案为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1以及不等式的性质求解即可； （2）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 所以不等式组的解集为． 18. 化简：，以下是小明的解题过程： ……第一步 ……第二步 ……第三步 老师看到后，说小明做错了． （1）请问：小明错在第_________步； （2）请写出正确的解题过程，并计算当时原式的值． 【答案】（1）一 （2），当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察解题过程，发现小明错在第一步，正确的是，据此即可作答． （2）先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再去括号，合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，发现小明错在第一步，这个展开为． 故答案为：一． 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 19. 一个三角形的两边，． （1）当各边均为整数时，可以组成 个不同的三角形． （2）若此三角形是等腰三角形，求其周长． 【答案】（1） （2）周长为或 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系，得出第三边的取值范围，再结合整数得到第三边的可能取值，即可得解； （2）根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：一个三角形的两边，， 第三边的取值范围为，即， 各边均为整数， 第三边的可能取值为2、3、4、5、6， 可以组成5个不同的三角形． 【小问2详解】 解：当等腰三角形的腰长为，底边为时，满足三角形的三边关系，可以组成三角形， 此时周长为； 当等腰三角形的腰长为，底边为时，满足三角形的三边关系，可以组成三角形， 此时周长为； 综上可知，等腰三角形的周长为或． 20. 观察下面的因式分解过程： ． 利用这种方法解决下列问题： （1）因式分解：； （2）的三边，，满足，判断的形状． 【答案】（1） （2）是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）将式子变形为，提取公因式分解因式即可； （2）参考（1）的方法，分解因式可得，则或，由此即可得． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形． 21. 如图，是的一个外角，为的平分线，在的内部，与交于点，． （1）判断是否平分，并说明理由； （2）如图2，的平分线交于点，，求的度数． 【答案】（1）解：平分，理由如下： ∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵，即， ∴ ∴， ∴平分 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形外角和定理可得，，结合为的平分线，，进而证得平分； （2）由平分，平分，可证得，利用三角形内角和定理即可解得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，平分，即， ∵平分，即， 又∵， ∴， 在中，， ∴． 22. 【新课标·应用意识】《熊出没·年年有熊》上映后，电影院分两次购进了年年手办和岁岁手办进行售卖，第一次购入年年手办30个、岁岁手办20个共花费900元，第二次以相同的进价购入年年手办40个、岁岁手办30个共花费1250元． （1）请问每个年年手办和岁岁手办的进价分别是多少元？ （2）若年年手办的标价为30元，岁岁手办的标价为20元，开学前一天，电影院进行了酬宾活动：年年手办打九折，岁岁手办降价2元．已知岁岁手办的销量比年年手办的销量的2倍还多10个，要使电影院销售手办的总利润不低于225元，则至少要卖出年年手办多少个？ 【答案】（1）每个年年手办的进价是20元，每个岁岁手办的进价是15元． （2）至少要卖出年年手办15个． 【解析】 【分析】（1）通过两次购进的数量和总价关系，设两个未知数建立二元一次方程组，消元求解进价． （2）根据售价、进价算单个利润，设销量未知数，由总利润不低于225元列不等式求解最小值即可． 【小问1详解】 设每个年年手办和岁岁手办的进价分别是元、元． 根据题意，得：， 化简得：， ，得：，解得， 把代入①中，得：，解得， 所以方程组的解为， 答：每个年年手办的进价是20元，每个岁岁手办的进价是15元． 【小问2详解】 设卖出年年手办个，则卖出岁岁手办个． 根据题意，得：， 即，则， 解得， 答：至少要卖出年年手办15个． 23. 阅读下列材料： 若满足，求的值． 设，，则，， 所以． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）如图，已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形． （3） ______，______；（用含的式子表示） 求阴影部分的面积． 【答案】（1）． （2），；阴影部分的面积是． 【解析】 【分析】（）按照题中提供的解法思路进行求解即可； （）根据正方形的边长为，即可表示出与； 由题意得，则阴影部分的面积为，设，，则，，再求出，最后代入即可求解． 【小问1详解】 解：设，， 则，， 所以； 【小问2详解】 解：由题意可知，， 故答案为：，； 由题意，得， 阴影部分的面积为， 设，， 则，， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 因此，阴影部分的面积是． 24. 如图1，为射线上一点，，（）． （1）若，，，求的度数； （2）如图2，点在上，过点作直线，． ①说明的理由； ②过点作射线，若，，求出的度数． 【答案】（1） （2）①证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ②或 【解析】 【分析】（1）利用，可解得，从而得到的度数； （2）①过点作，可以得到，再利用，证得，进一步得到； ②分两种情况计算的度数，点在左侧和点在右侧． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②解：，， 由①可知，， ∵， ∴， 如图，当点在左侧时， ， ∴， 如图，当点在右侧时， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $