第一章 三角形（举一反三讲义）数学苏科版2024八年级上册

第一章 三角形（举一反三讲义）全章题型归纳 【苏科版2024】 【培优篇】 5 【题型1 添加条件使成为全等三角形】 5 【题型2 判定全等三角形的依据】 6 【题型3 利用全等三角形的判定与性质求解】 7 【题型4 利用全等三角形的判定与性质证明】 8 【题型5 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的关系】 9 【题型6 网格中找全等三角形】 11 【题型7 等腰（边）三角形性质的应用】 12 【题型8 证明是等腰（边）三角形】 13 【题型9 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 14 【题型10 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 15 【拔尖篇】 16 【题型11 利用全等三角形的判定与性质求最值】 16 【题型12 利用全等三角形的判定与性质求面积】 17 【题型13 尺规作图与全等三角形的交互应用】 18 【题型14 与全等三角形有关的多结论问题】 20 【题型15 全等三角形中的动点问题】 21 【题型16 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 22 【题型17 格点与等腰三角形】 23 【题型18 确定构成等腰三角形个数的点】 24 【题型19 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 25 【题型20 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 26 知识点1 全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 知识点2 全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 知识点3 全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 知识点4 基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点5 基本事实“角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点6 “角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点7 基本事实“边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点8 斜边、直角边定理（HL） 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 知识点9 判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 知识点10 角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点11 角的平分线的判定 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 知识点12 作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【培优篇】 【题型1 添加条件使成为全等三角形】 【例1】（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，给出下列条件： ， ， ， ，选择其中个条件，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，点是的中点，要使，还需要添加一个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【变式1-2】如图，为等边三角形，点A，D，E在一条直线上，已知，请添加一个条件使得，这个条件可以是 ．    【变式1-3】（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【题型2 判定全等三角形的依据】 【例2】（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·广东河源·期末）如图是某物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等 【变式2-2】工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与， 重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是 ． 【变式2-3】如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 【题型3 利用全等三角形的判定与性质求解】 【例3】如图所示，，，，，，则 【变式3-1】如图所示，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则 ． 【变式3-3】如图，在中，，是边上的高，将边对折，折痕为，连接，平分． 求的度数； 【题型4 利用全等三角形的判定与性质证明】 【例4】如图，在中，，点D、E分别在上，且，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式4-1】如图，是等腰直角三角形，，D为上一点，延长到点E，使，连接，，并延长交于点F．求证：是直角三角形． 【变式4-2】如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证： (1)； (2)试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 【变式4-3】如图，在等边角形中，是等腰三角形，，以D为顶点作一个的，角的两边分别交边于M、N两点，连接．延长分别与交于点P、Q， (1)求证：； (2)求证：； (3)与有怎样的数量关系，请说明理由； (4)若的边长为1，求的周长． 【题型5 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的关系】 【例5】如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； (2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【变式5-1】应用拓展． (1)如图1，在正方形中，M是边（不含端点B、）上任意一点，P是延长线上一点，N是的平分线上一点．若，求证：； 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边上截取，连接．（下面请你完成余下的证明过程） (2)如图2，是的角平分线，H，G分别在，上，且，若，请探究线段与线段、之间满足的等量关系，并加以证明． 【变式5-2】（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断：，，之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； （3）如图③，是的中线，是的中线，且，判断线段与线段的数量关系，并证明． 【变式5-3】已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【题型6 网格中找全等三角形】 【例6】如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为 度． 【变式6-2】如图，在的正方形网格中标出了∠1、∠2和∠3，则 ． 【变式6-3】如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    【题型7 等腰（边）三角形性质的应用】 【例7】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则 ． 【变式7-3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【题型8 证明是等腰（边）三角形】 【例8】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【变式8-1】（2025·河南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【变式8-2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【变式8-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【题型9 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 【例9】（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（    ） A．3 B． C．7 D．8 【变式9-1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为 ． 【变式9-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在Rt中，平分，过点作，垂足为，连接，若，则的面积为 ． 【变式9-3】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． (1)如图1，若为的中点，求证：． (2)如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 【题型10 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 【例10】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【变式10-1】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式10-2】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 【变式10-3】（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【拔尖篇】 【题型11 利用全等三角形的判定与性质求最值】 【例11】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，和是等腰直角三角形，，连接、． 若，，则四边形面积的最大值为 ． 【变式11-1】（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 【变式11-2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在四边形中，平分，于点D，，，则面积的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．20 【变式11-3】如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 【题型12 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例12】（24-25八年级上·重庆长寿·期末）如图，已知的面积为6，平分，且于点，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式12-1】如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．    【变式12-2】（24-25七年级下·上海·期中）在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 【变式12-3】（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，为的平分线，于E，连接，若的面积为，则△的面积 ，． 【题型13 尺规作图与全等三角形的交互应用】 【例13】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，点在边上，，连接，则的周长为 ． 【变式13-1】如图，给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【变式13-2】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式13-3】如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 【题型14 与全等三角形有关的多结论问题】 【例14】如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式14-1】如图，在中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（    ）    A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【变式14-2】在中，，点是边的中点，过点作于点，点是延长线上一点，已知，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】如图，为的高，点为的垂直平分线与的交点，，平分．给出以下五个结论：①；②平分；③；④；⑤．其中结论正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①③④ 【题型15 全等三角形中的动点问题】 【例15】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为（   ）秒． A．或 B．或 C．或 D．或 【变式15-1】已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等．    【变式15-2】如图，已知在中，，，为中点，点在线段上，以的速度由向运动，同时点在线段上由向运动，设运动时间为． (1)用含的式子表示的长． (2)若点与点的运动速度相等，当时，与是否全等，说明理由． (3)若点与点的运动速度不相等，要使与全等，点的速度是多少？说明理由． 【变式15-3】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【题型16 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 【例16】如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ． 【变式16-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 【变式16-2】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 【变式16-3】如图，点P、Q分别是边长为的等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中， (1)求证：； (2)的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)连接，当点P、Q运动多少秒时，是等腰三角形？ 【题型17 格点与等腰三角形】 【例17】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式17-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． (1)在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形； (3)在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形． 【变式17-2】（24-25七年级下·河南·期中）如图，点A、M、C、N、F都在格点上，与相交于点P，则（   ） A． B． C． D． 【变式17-3】如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有 个． 【题型18 确定构成等腰三角形个数的点】 【例18】（24-25八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式18-1】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【变式18-2】点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式18-3】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【题型19 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 【例19】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则 ． 【变式19-1】（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式19-2】（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，是边上一点，．将沿所在直线翻折，使点落在边上的点处．若，则 ．    【变式19-3】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为，若，则的长为 ． 【题型20 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 【例20】如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【变式20-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【变式20-2】（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么的度数为 ． 【变式20-3】（24-25八年级下·福建漳州·期中）点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形（举一反三讲义）全章题型归纳 【苏科版2024】 【培优篇】 5 【题型1 添加条件使成为全等三角形】 5 【题型2 判定全等三角形的依据】 8 【题型3 利用全等三角形的判定与性质求解】 11 【题型4 利用全等三角形的判定与性质证明】 14 【题型5 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的关系】 19 【题型6 网格中找全等三角形】 27 【题型7 等腰（边）三角形性质的应用】 31 【题型8 证明是等腰（边）三角形】 35 【题型9 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 38 【题型10 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 42 【拔尖篇】 48 【题型11 利用全等三角形的判定与性质求最值】 48 【题型12 利用全等三角形的判定与性质求面积】 52 【题型13 尺规作图与全等三角形的交互应用】 56 【题型14 与全等三角形有关的多结论问题】 59 【题型15 全等三角形中的动点问题】 65 【题型16 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 69 【题型17 格点与等腰三角形】 73 【题型18 确定构成等腰三角形个数的点】 77 【题型19 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 80 【题型20 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 84 知识点1 全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 知识点2 全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 知识点3 全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 知识点4 基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点5 基本事实“角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点6 “角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点7 基本事实“边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点8 斜边、直角边定理（HL） 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 知识点9 判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 知识点10 角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点11 角的平分线的判定 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 知识点12 作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【培优篇】 【题型1 添加条件使成为全等三角形】 【例1】（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，给出下列条件： ， ， ， ，选择其中个条件，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐一排除即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、在和中， ， ∴，原选项不符合题意， 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意， 、添加 ， ， 不能证明，原选项符合题意， 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意， 故选：． 【变式1-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，点是的中点，要使，还需要添加一个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形全等的判定．熟练掌握三角形全等的判定定理，是解题的关键． 根据三角形全等所需条件，进行添加即可，答案不唯一． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1-2】如图，为等边三角形，点A，D，E在一条直线上，已知，请添加一个条件使得，这个条件可以是 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定，根据为等边三角形，可得，，进而可得，可知和中满足一组边和一组对角相等，再根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解： 为等边三角形， ，， 点A，D，E在一条直线上，， ， ， 又 ， 若利用证明，添加即可； 若利用证明，添加即可； 若利用证明，添加即可； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1-3】（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．根据全等三角形的判定方法结合添加的条件逐一分析即可． 【详解】解：①由，，得到，又，由判定，故①符合题意； ②由，推出，而，可得，结合，由判定，故②符合题意； ③如图，记交点为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴由判定，故③符合题意； ④增加添加，不能判定，故④不符合题意． 增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． 【题型2 判定全等三角形的依据】 【例2】（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 【变式2-1】（24-25七年级下·广东河源·期末）如图是某物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得即可，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵为，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， 故选：． 【变式2-2】工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与， 重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，根据题意知和的三边对应相等，即可得证．解题的关键是掌握判定三角形全等的方法， 【详解】解：由图可知：， 在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线， ∴这种作法的依据是． 故答案为：． 【变式2-3】如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 【题型3 利用全等三角形的判定与性质求解】 【例3】如图所示，，，，，，则 【答案】/55度 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质．先由得到，即可证明，得到，再由三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式3-1】如图所示，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，三角形外角性质，先由三角形内角和定理得出，再证明得，最后由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案．掌握三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【变式3-2】如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．利用证明，根据全等三角形的性质得到，，即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【变式3-3】如图，在中，，是边上的高，将边对折，折痕为，连接，平分． 求的度数； 【答案】 【分析】证明三角形为等腰三角形，利用折叠的性质和外角的性质，以及三角形的内角和定理进行求解即可 【详解】解：∵将边对折，折痕为， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴ 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【题型4 利用全等三角形的判定与性质证明】 【例4】如图，在中，，点D、E分别在上，且，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，旋转前后对应边相等，此类题目难点在于利用同角的余角相等求出相等的角． （1）根据旋转的性质可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“边角边”证明即可； （2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】如图，是等腰直角三角形，，D为上一点，延长到点E，使，连接，，并延长交于点F．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； 证明，可得，等量代换求出即可． 【详解】证明：因为是等腰直角三角形，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以是直角三角形． 【变式4-2】如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证： (1)； (2)试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． （1）求出，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由，， 三角形内角和定理可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： 如图，设与于G， ∵， ， ，， ， 【变式4-3】如图，在等边角形中，是等腰三角形，，以D为顶点作一个的，角的两边分别交边于M、N两点，连接．延长分别与交于点P、Q， (1)求证：； (2)求证：； (3)与有怎样的数量关系，请说明理由； (4)若的边长为1，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 (4)1 【分析】本题主要考查了等边三角形、等腰三角形的性质、全等三角形得判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理及等边三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据，，即可证明结论； （2）由等边三角形的性质结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理可证 ，利用即可证明； （3）同理（2）得，推出，易证，即可得出结论；             （4）由全等三角形的性质将的周长转化为，即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵即， ∴； （2）证明：是等边三角形， ， ∵为等腰三角形，且， ∴ ，                 ∴ ，          在与中， ∴； （3）解：， 同理（2）得，   ∴， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴即 ， ∵， ∴ ， ∴ 即， ∵， ∴的周长为． 【题型5 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的关系】 【例5】如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； (2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①补全图形见解析，；②见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）①按要求补全图形即可；先证明是等边三角形得到，进而，再根据等角对等边得到，然后证明，利用全等三角形的性质可得结论； ②如图2，在上截取，连接，证明是等边三角形得到，，则，再证明得到，进而利用可得答案； （2）分当点A在点E右边时和当点A在点E左边时两种情况，利用等边三角形的性质和全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）①解：补全图形如图1所示， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：如图2，在上截取，连接， ∵，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点A在点E右边时，如图3，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴； 当点A在点E左边时，如图4，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴． 【变式5-1】应用拓展． (1)如图1，在正方形中，M是边（不含端点B、）上任意一点，P是延长线上一点，N是的平分线上一点．若，求证：； 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边上截取，连接．（下面请你完成余下的证明过程） (2)如图2，是的角平分线，H，G分别在，上，且，若，请探究线段与线段、之间满足的等量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）如图1，在边上截取，连接．根据正方形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到； （2）在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，根据等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，在边上截取，连接． 正方形中，，， ， ， ， ， 是的平分线上一点， ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：． 理由：在上取一点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ∴， ， 又， ，即， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，结合了等腰三角形的知识，解决这两问的关键都是通过全等图形的对应边相等、对应角相等，将题目涉及的角或边进行转化． 【变式5-2】（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断：，，之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； （3）如图③，是的中线，是的中线，且，判断线段与线段的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）4；（3），见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中线的定义，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）先判断出，得出，得出，进而得出，，即可得出结论； （2）由“”可证明，则，，可求，根据线段垂直平分线的性质可得的长； （3）延长至，使，利用证明，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点， ， ，， 点是的中点， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，延长，交于点． ， ， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 是的垂直平分线， ； （3）． 证明：如图，延长至F，使， 是的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ，． 是的中线， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 即，． 【变式5-3】已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下见解析 (3)，理由如下见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）可证明从而得出结果； （）可证明从而得出，进而得出结论； （）证明从而得出，从而得出 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【题型6 网格中找全等三角形】 【例6】如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定与性质，，再根据直角三角形的判定及性质可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， 【详解】解：∵ ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 【变式6-1】如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为 度． 【答案】45 【分析】本题主要考查格点三角形的知识，掌握格点三角形中顶点与边的关系，证明三角形全等，根据全等三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．证明可得，，在正方形中，是对角线，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，是对角线， ∴， ∴， 故答案为：45． 【变式6-2】如图，在的正方形网格中标出了∠1、∠2和∠3，则 ． 【答案】/135度 【分析】证明，得到，推出，由是等腰直角三角形，得到，进而求出答案． 【详解】解：如图， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理：是解题的关键． 【变式6-3】如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 【题型7 等腰（边）三角形性质的应用】 【例7】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式7-1】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，由正方形性质得，，由是等边三角形性质得，，进而得，则，再根据三角形内角和定理求出，继而根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式7-2】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则 ． 【答案】/度 【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得：，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 则在中，∵， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 【变式7-3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查等边三角形性质和等腰三角形性质，三角形内角和．熟练掌握是解题的关键． 根据等边三角形性质，得．，可得，由等腰三角形性质得，由三角形内角和得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ∴．， ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【题型8 证明是等腰（边）三角形】 【例8】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式8-1】（2025·河南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线及等腰三角形的判定， （1）过点B作的垂线即可； （2）先证明，进而证明，即可证明结论； 【详解】（1）解：下图即为所求作． （2）解：为等腰三角形． 理由：在中，， ∴． ∵分别为边上的高线， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． 【变式8-2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，再导角证明．进一步证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 【变式8-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 【题型9 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 【例9】（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（    ） A．3 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，由等边三角形的性质得到，再求出，根据平行线的性质得到，再判定为等边三角形，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵等边三角形的边长为7， ∴， ∵点E，F是边的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长是：， 故选：C． 【变式9-1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．由平行线的性质、角平分线的性质推知，则，同理可得，即可得到答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， . 故答案为：14． 【变式9-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在Rt中，平分，过点作，垂足为，连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算；延长交于点，可以算出，的长度，从而利用面积比得到的面积，而的面积又是面积的一半，从而求解． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． (1)如图1，若为的中点，求证：． (2)如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②相等；理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等边三角形性质构造全等三角形，通过全等关系推导边或角的等量关系． （1）利用等边三角形的性质，得到，．由为中点，结合等边三角形三线合一，推出，．因为，等量代换得，进而得出．通过，利用等角对等边证明． （2）①依据和是等边三角形，根据平行线的性质，得出，，再结合，根据等边三角形判定，证得是等边三角形．②先由和是等边三角形，得到边和角的等量关系，推出，．结合及是等边三角形得．利用证明，由全等三角形对应边相等，得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 为的中点， ，． ， ， ． ， ， ， ． （2）证明： ，是等边三角形， ，，， 是等边三角形． ②解：相等． 理由：，是等边三角形， ，，． ，， ，，， ，． ， ， ， ． 【题型10 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 【例10】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定； （1）由等边三角形的性质结合三角形的内角和定理可得答案； （2）在线段上截取，连接，证明是等边三角形，可得，结合，可得结论. 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴； （2）证明：在线段上截取，连接， ∵是等边三角形 ∴，， ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 【变式10-1】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一． （1）先得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 【变式10-2】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用； （1）求解，，，从而可得结论； （2）证明，，结合与的周长比的周长大9，进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，而， ∵的周长比的周长大9， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式10-3】（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，即可得证； ②证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解； （2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求解即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长为； （2）解：设 当时， ∵ ∴ ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ 在中，即 解得：，即； 当时，， 同理可得， ∴， 解得：，即； 当时，， 如图， 在中， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（舍去） ∴此情形不存在， 综上所述，当是等腰三角形时，或． 【拔尖篇】 【题型11 利用全等三角形的判定与性质求最值】 【例11】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，和是等腰直角三角形，，连接、． 若，，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；证明，则四边形面积的最大时，的面积最大，当时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，，即， ∴， ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∵是定值，是定值， ∴当时，的面积取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为 ． 故答案为：50． 【变式11-1】（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 【详解】解∶如图，连接， 由对称性质可知，． ． ． ． ．， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时． 故答案为∶6． 【变式11-2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在四边形中，平分，于点D，，，则面积的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线定义，延长、交于E，过C作于H，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，而，判定，推出，，得到，当的面积最大时，的面积最大，求出，求出面积的最大值，即可得到面积的最大值． 【详解】解：延长、交于E，过C作于H， ∵平分， ∴， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当的面积最大时，的面积最大， ∵， ∴， ∵的面积，， ∴面积的最大值， ∴面积的最大值为． 故选：B． 【变式11-3】如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，    ∵平分 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 【题型12 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例12】（24-25八年级上·重庆长寿·期末）如图，已知的面积为6，平分，且于点，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，证明全等三角形是解题的关键．根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，，推出． 【详解】解： 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：C． 【变式12-1】如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】首先证明出，得到，进而得到，推理出要的面积最大，则的面积最小即可，然后得到当最小时，的面积最小，最后利用求解即可． 【详解】如图，连接，    ∵在中，，，点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴要的面积最大，则的面积最小即可， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则当最小时，的面积最小， 当时，最小，此时， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式12-2】（24-25七年级下·上海·期中）在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，先证明得到；根据，得到，由此求解即可． 【详解】解：∵在中，、是高， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-3】（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，为的平分线，于E，连接，若的面积为，则△的面积 ，． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，延长交于点G，先证，可得，进一步可得，进而求得的面积． 【详解】解：如图：延长交于点G， ∵为的平分线，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵的面积为， ∴的面积为，． 故答案为：3． 【题型13 尺规作图与全等三角形的交互应用】 【例13】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，点在边上，，连接，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握作角平分线的方法，以及全等三角形的判定和性质进行解题． 根据题意，先证明，则，，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长为：． 故答案为：． 【变式13-1】如图，给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键． 【变式13-2】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】以为圆心，长为半径画弧，与射线有1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的．根据此观点进行解答便可．本题主要考查全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误； ②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确； ③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确； 故选：B． 【变式13-3】如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，是基础题，难度不大． （1）作的平分线，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、分别相交，再以交点为圆心，以大于两交点之间距离的一半为半径画弧，相交于一点，然后作出角平分线，作线段即可； （2）根据对称性找出全等三角形． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：根据对称性，，，，共3对． 故答案为：3 【题型14 与全等三角形有关的多结论问题】 【例14】如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，在上取点使，证明，则，，由，可得，进而可得，则，，可判断③的正误；由，可得，进而可得，可判断②的正误；，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误． 【详解】解：如图，在上取点使， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，③正确，故符合题意； ∵， ∴， ∴，②正确，故符合题意； ∴，①正确，故符合题意； ∵，， ∴，④错误，故不符合题意； 综上：正确的有①②③，共3个， 故选：C． 【变式14-1】如图，在中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（    ）    A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明，即可判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出，判断出②正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出④错误． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点D为中点， ∴，，， ∴， ∵是直角， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴， 又∵是直角， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质、三角形三边的关系；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 【变式14-2】在中，，点是边的中点，过点作于点，点是延长线上一点，已知，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；过点作于点，根据条件证明出，进一步证明出，利用全等的性质及等量代换得到关系即可进行判断． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ，， ， ， 又，， ， ， ， ， 又， ， 故选项A、C、D正确， 而与不一定相等， 故选：B． 【变式14-3】如图，为的高，点为的垂直平分线与的交点，，平分．给出以下五个结论：①；②平分；③；④；⑤．其中结论正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①③④ 【答案】B 【分析】①设，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可判断； ②根据三角形内角和即可推断； ③根据三角形内角和即可推断； ④延长使，连接，证明，利用三角形内角和即可推断； ⑤根据线段之间的运算即可推断． 【详解】解：①设， ∵点为的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴， ∴不是的平分线； ③∵，， ∴， ④延长使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ⑤∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ①③④⑤正确，故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内角和，掌握三角形内角和并且能够熟练的应用是解题的关键． 【题型15 全等三角形中的动点问题】 【例15】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为（   ）秒． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定的应用，一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定的应用是解题的关键； 根据题意，分、或、讨论，即可求解； 【详解】解：当与全等时， ， 、或、， ， ∴当点由点到点，即时， 则， 解得：； 当点由点到点，即时， ， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或； 故选：B 【变式15-1】已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等．    【答案】1或7/7或1 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．分和两种情况，证明和全等，进而可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知，，， 分两种情况讨论， ①当时，如下图，    ∵，，， ∴， 由题意得，解得（秒）； ②当时，如下图，    ∵，，， ∴， 由题意得，解得（秒）． 综上所述，当的值为1或7秒时，和全等． 故答案为：1或7． 【变式15-2】如图，已知在中，，，为中点，点在线段上，以的速度由向运动，同时点在线段上由向运动，设运动时间为． (1)用含的式子表示的长． (2)若点与点的运动速度相等，当时，与是否全等，说明理由． (3)若点与点的运动速度不相等，要使与全等，点的速度是多少？说明理由． 【答案】(1) (2)全等，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据题意可得出答案； （2）由“”可证； （3）根据全等三角形的性质得出，，则可得出答案． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． 【详解】（1）解：∵，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动， ∴， 故答案为：． （2）解：全等，理由： ，点的运动速度与点的运动速度相等， ， ，点为的中点， ． 又，， ， ， 又， ， 在和中， ， ； （3）解：点的运动速度与点的运动速度不相等， 与不是对应边，即， 若，且， 则，， 点，点运动的时间， 点的运动速度； 答：当点的运动速度为时，能够使与全等． 【变式15-3】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】厘米秒或厘米秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用（行程问题）等知识点．利用全等三角形的判定方法，分两种情况讨论：或，分别求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为秒， 则（厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是厘米秒； 当，时，， 是中点， （厘米）， ∵， ∴， 解得：， ∴厘米秒； 当点的运动速度为厘米秒或厘米秒时，能够使与全等， 故答案为：厘米秒或厘米秒． 【题型16 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 【例16】如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；分两种情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示，连接， ∵中，，，点是斜边的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴； 当点在的延长线上时，如图所示 同理可得， 则 ∴ 故答案为：或． 【变式16-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：． 【变式16-2】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 【答案】4秒 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等边三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键．设运动的时间为，则，，，由是等边三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒， ，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动， ，，， ∵是等边三角形， ∴，即， 解得：． 答：运动的时间是4秒． 【变式16-3】如图，点P、Q分别是边长为的等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中， (1)求证：； (2)的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)连接，当点P、Q运动多少秒时，是等腰三角形？ 【答案】(1)见解析； (2)的大小不发生变化，； (3)当点P、Q运动2秒时，为等腰三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，掌握等边三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质解答； （3）分三种情况分别讨论即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点P、Q的速度相同， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：的大小不发生变化， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立， 故不符合题意； 当时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立， 故不符合题意； 当时，如图， 当时，， 故时，为等腰三角形； 综上，当点P、Q运动2秒时，为等腰三角形． 【题型17 格点与等腰三角形】 【例17】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 【变式17-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． (1)在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形； (3)在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了网格作图，等腰三角形的定义；由等腰三角形的定义作图即可． （1）按等腰三角形的定义作图即可； （2）按等腰三角形的定义作图即可； （3）按等腰三角形的定义作图即可； 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， 为所求作； （3）解：如图， 为所求作． 【变式17-2】（24-25七年级下·河南·期中）如图，点A、M、C、N、F都在格点上，与相交于点P，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，过点作，连接，平行线的性质，得到，证明，证明为等腰直角三角形，进而求出的度数即可． 【详解】解：过点作，连接，则：， 由图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式17-3】如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有 个． 【答案】4 【分析】分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；分别作出图形即可得出结果． 【详解】解：分三种情况：如图所示： ①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点有C点1个； ②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C1、C2点2个； ③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C3点1个； 综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1=4（个）； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键． 【题型18 确定构成等腰三角形个数的点】 【例18】（24-25八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，的中垂线交y轴于点，即可求得答案． 【详解】解：如图，①以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，此时， ②以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，此时， ③的中垂线交y轴于点，此时， 综上所述，符合要求的点的位置共有5个， 故选：D． 【变式18-1】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边与延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故选：A．    【变式18-2】点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线l于点、，再先以B点为圆心，为半径作弧交直线l于点，最后作的垂直平分线交直线l于点． 【详解】解：如图，点为所作， 故答案为：A． 【变式18-3】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下：    当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下：    当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为： 【题型19 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 【例19】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得到，得，得到，根据等边三角形的判定得到是等边三角形，从而求得的长． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠得，，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 又 是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， 即， 又 ， ， 故答案为：4． 【变式19-1】（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等边三角形的判定及其性质，折叠的性质，由折叠可知，，则，然后证明为等边三角形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：． 【变式19-2】（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，是边上一点，．将沿所在直线翻折，使点落在边上的点处．若，则 ．    【答案】 【分析】此题重点考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，利用翻折性质及线段和差将转换为线段相等是解题的关键．由翻折得，，，结合，得出，所以，再利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：由翻折得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式19-3】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠性质，角平分线的性质，等面积法的灵活运用，同角的补角相等，先过点A作延长线于点，过点分别作于点，作延长线于点，连接，结合折叠且，得出，然后结合折叠以及角平分线的性质得，最后结合等面积法进行列式化简，即可作答． 【详解】解：过点A作延长线于点，过点分别作于点，作延长线于点，连接，如图所示： ∵在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为， ∴， ， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∵，，且 ∴， 则， ∵，， 则， ∴， 故， ∵， ∴， ∵边上的高，边上的高，且边上的高边上的高， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型20 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 【例20】如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【答案】100°或55°或70° 【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°， ②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°， ∴∠ACB=180°-25°-100°=55°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°， 如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°， 综上所述，顶角为105°或55°或70°． 故答案为：100°或55°或70°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观． 【变式20-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，折叠性质，熟练相关性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点和易错点．先求出，由折叠的性质得出，再分三种情况：①当时；②当时；③当时分别进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质得：， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图1所示： ， ， ， ； ②当时，此时点与点C重合，如图2所示： ， ， ， ； ； ③当时，如图3所示： ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式20-2】（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等角对等边．分两种情况讨论，当点D与点A的左侧时，证明，推出，利用三角形内角和定理求解即可；当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点，同理即可求解． 【详解】解：当点D与点A的左侧时，如图， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【变式20-3】（24-25八年级下·福建漳州·期中）点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和和外角定理，难度较大，解题的关键在于分类讨论． 分为顶角或底角进行分类讨论，结合等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：对于，当为顶角，则， ∵点D在的边上， ∴对于，只能为， ①时，如图： ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②时，如图： 设， 此时， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴； 对于，当为底角，时， 时，如图： 则此时， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 当时，则此时， ∴， ∵ ∴； 对于，当为底角，时,,如图： ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或或， 故答案为：或或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$