第13章 三角形中的边角关系、命题与证明（高效培优单元测试·提升卷）数学沪科版2024八年级上册

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 （高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，点在的延长线上，连接．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，外角和的平分线交于点D，则的度数是（    ） 如 A． B． C． D． 4．如果一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长是（   ） A．9 B．12 C．12或15 D．15 5．下列命题是真命题的是（   ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．同旁内角互补 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 6．如图，在一副直角三角板中，两块三角板（和）各有一条直角边与直线重合，，，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 8．如图所示的是可调躺椅的示意图，与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，若使，则图中应减少（    ） A． B． C． D． 9．下列条件：在中，，都是锐角；在中，；在中，；的三个内角的度数之比是，其中能确定是直角三角形的条件有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，在中，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知三角形的三边长分别为，，，周长为，则为 12．在中，若，则是 （填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”） 13．如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，则 ． 14．若一个三角形的两个锐角分别为与，如果，那么我们称这个三角形是差余三角形，叫作三角形的差余角． （1）若一个三角形的三个内角分别为，和，则这个三角形 （填“是”或“不是”）差余三角形． （2）在中，是边上一点，若是差余三角形，则的度数是 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知一个三角形两条边的长分别为5，2，设第三条边的长为． (1)的取值范围是___________． (2)若第三条边的长是奇数，求这个三角形的周长． 16．如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，则与的周长的差为___________． (2)若是的高，求的度数． 17．如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 18．如图，在中，是射线上一点，过点作，，垂足分别为，过点作，垂足为，连接． (1)如图1，点在边上，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点在的延长线上．当时，求线段的长． 19．如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点重合），连接交于点． (1)若是中线，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 20．在中，已知的等分线与的等分线相交于点，试猜想：与的数量关系．（且为整数） (1)如图1，当时，探究与的数量关系； (2)如图2，当时，与的数量关系：________； (3)如图3，猜想与的数量关系：________．（用含的式子表示） 21．新定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以点为端点作射线，交线段于点．（规定） (1)的度数为________，________（填“是”或“不是”）灵动三角形； (2)若，求证：是“灵动三角形”； (3)若是“灵动三角形”，求的度数． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，且满足 (1)求点A，B的坐标； (2)若点M是线段的中点，轴，交线段BC于点N，求线段MN的长； (3)若在x轴上存在一点P，连接，使得的面积是的2倍，请直接写出点P坐标． 23．如图1，已知两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．如图2，点为三条内角平分线的交点，连接． (1)当时，求的度数； (2)在点A，B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连接并延长，与的邻补角的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 （高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据三角形的高线定义可知，选项D中的线段是的高， 故选：D 2．如图，，点在的延长线上，连接．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 3．如图，在中，，外角和的平分线交于点D，则的度数是（    ） 如 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点D， ∴， ∴， 故选：A． 4．如果一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长是（   ） A．9 B．12 C．12或15 D．15 【答案】D 【详解】解：一个等腰三角形的两边长分别为和， 这个等腰三角形的三边可以分别为或， 又，， 所以不能构成三角形，可以构成三角形， 即这个等腰三角形的周长是， 故选：D． 5．下列命题是真命题的是（   ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．同旁内角互补 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 【答案】B 【详解】解：A、两个锐角之和不一定为钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：B． 6．如图，在一副直角三角板中，两块三角板（和）各有一条直角边与直线重合，，，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 7．如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 8．如图所示的是可调躺椅的示意图，与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，若使，则图中应减少（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，延长交于点， 由图可知，，，， ， ， ， ， 则图中应减少， 故选：A． 9．下列条件：在中，，都是锐角；在中，；在中，；的三个内角的度数之比是，其中能确定是直角三角形的条件有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：在中，，都是锐角， 则可能是锐角、钝角、直角， 不能确定是直角三角形， 故不符合题意； 在中，， ； ， 解得：， 能确定是直角三角形， 故符合题意； 在中，， ， 又， ， ， 能确定是直角三角形， 故符合题意； 在的三个内角的度数之比是， 最大的角的度数是， 不能确定是直角三角形， 故不符合题意； 综上所述，能确定是直角三角形的条件有个． 故选：B． 10．如图，在中，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于A选项， ，， ，故A选项正确，不符合题意； 对于B选项，平分 ． ，故B选项错误，符合题意； 对于C选项，， ∴ ． ，即，故C选项正确，不符合题意； 对于D选项，， ． ，故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知三角形的三边长分别为，，，周长为，则为 【答案】 【详解】解：三角形的三边长分别为，，，周长为， ， 解得， 则三边长分别为，且满足，三边能构成三角形. 故答案为：． 12．在中，若，则是 （填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”） 【答案】直角三角形 【详解】解：中，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 13．如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ， ∴． 故答案为：． 14．若一个三角形的两个锐角分别为与，如果，那么我们称这个三角形是差余三角形，叫作三角形的差余角． （1）若一个三角形的三个内角分别为，和，则这个三角形 （填“是”或“不是”）差余三角形． （2）在中，是边上一点，若是差余三角形，则的度数是 ． 【答案】 是 【详解】（1）∵， ∴内角分别为，和的三角形是差余三角形， 故答案为：是． （2）∵， ∴在中，和是锐角， ∵， ∴， ∵是差余三角形， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知一个三角形两条边的长分别为5，2，设第三条边的长为． (1)的取值范围是___________． (2)若第三条边的长是奇数，求这个三角形的周长． 【详解】（1）∵一个三角形两条边的长分别为5，2，设第三条边的长为， ∴， 即， 故答案为：． （2）第三边的长为奇数，且， 第三边的长为5， 三角形的周长． 16．如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，则与的周长的差为___________． (2)若是的高，求的度数． 【详解】（1）解：是中线， ， 与的周长的差为， 故答案为：2． （2）解：是的高， ， 是的角平分线， ， ． 17．如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又∵， ∴ ， 即． 18．如图，在中，是射线上一点，过点作，，垂足分别为，过点作，垂足为，连接． (1)如图1，点在边上，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点在的延长线上．当时，求线段的长． 【详解】（1）解：． 理由：． ， ， ． ， ． （2）解：． ， ， ． ， ． ， ， 解得， ． 19．如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点重合），连接交于点． (1)若是中线，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 【详解】（1）解：∵的周长的周长， ∴与的周长差为： ， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴与的周长差为1； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 20．在中，已知的等分线与的等分线相交于点，试猜想：与的数量关系．（且为整数） (1)如图1，当时，探究与的数量关系； (2)如图2，当时，与的数量关系：________； (3)如图3，猜想与的数量关系：________．（用含的式子表示） 【详解】（1）解：∵当时，， ∴； （2）解：∵当时，， ∴； 故答案为：； （3）解：由可知，． 故答案为：． 21．新定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以点为端点作射线，交线段于点．（规定） (1)的度数为________，________（填“是”或“不是”）灵动三角形； (2)若，求证：是“灵动三角形”； (3)若是“灵动三角形”，求的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴为“灵动三角形”， 故答案为：；是； （2）解: 是“灵动三角形” 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴是“灵动三角形”； （3）解：∵为“灵动三角形”， ∵点在线段上，， ∵， ∴， Ⅰ、当时，， ∴， Ⅱ、当时， ∴ ∴此种情况不存在， Ⅲ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅳ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅴ、当时， ∴， ∴， ∵点与点不重合， ∴此种情况不成立， Ⅵ、当时， ∴°， ∴， ∴此种情况不存在， 综上所述，当为“灵动三角形”时，的度数为或或． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，且满足 (1)求点A，B的坐标； (2)若点M是线段的中点，轴，交线段BC于点N，求线段MN的长； (3)若在x轴上存在一点P，连接，使得的面积是的2倍，请直接写出点P坐标． 【详解】（1），且， ，解得， 点坐标为点坐标为； （2），， ， 又M是线段的中点， 轴， ， 为中点， 为的中位线， ， 所以线段MN的长； （3）设， ， 又因为的面积是的2倍， 所以， 即， 或 解得或， 所以点P坐标为或． 23．如图1，已知两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．如图2，点为三条内角平分线的交点，连接． (1)当时，求的度数； (2)在点A，B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连接并延长，与的邻补角的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． 【详解】（1）解：点为三条内角平分线的交点， ， ， ， ； （2）解：不变，理由如下： 点为三条内角平分线的交点， ， ； （3）解：设， 是的平分线， ， 点为三条内角平分线的交点， 在中有一个角是另一个角的2倍， 若，则，解得， ； 若，则，解得， ； 若，则，解得， 若，则，解得（舍去）； 在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $