精品解析：山东日照市五莲县2025-2026学年下学期期末学业水平监测七年级数学试题

2025～2026学年度下学期期末学科学业水平监测 七年级数学试题 （满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分． 2．答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在答题卡上的相应位置． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．第Ⅱ卷必需用0.5毫米黑色签字笔书写到答题卡题号所指示的答题区域，不得超出预留范围． 5．在草稿纸、试卷上答题均无效． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 给出下列各数：，，，，，其中无理数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数是无理数． 根据无理数的定义，逐个判断每个数是否为无理数． 【详解】解：是整数，是有理数； 是无理数，是无理数； ，是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无理数； ∴无理数有2个． 故选：C． 2. 下列图形中，已知，可得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．由无法判断； B．∵，∴，无法判断； C．如图， ∵，， ∴ ∴； D．由无法判断． 3. 下列变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式性质逐一判断各选项变形即可． 【详解】解： A：∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴ ，故A变形错误． B：∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴ ，故B变形错误． C：∵ ，当时，，因此可得，故C变形错误． D：∵ ，可推出，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，∴ ，故D变形正确． 4. 为了解某校七年级1000名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计．下列判断：①这种调查方式是抽样调查：②1000名学生是总体：③每名学生的数学成绩是个体：④200名学生是总体的一个样本：⑤200名学生是样本容量．其中正确的判断有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量等，理解相关知识是解题的关键；总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．据此逐个判断即可． 【详解】解：这种调查方式是抽样调查，故①正确； 1000名学生的数学成绩是总体，而不是1000名学生是总体，故②错误： 每名学生的数学成绩是个体，故③正确； 200名学生的数学成绩是总体的一个样本，而不是200名学生是总体的一个样本，故④错误； 200是样本容量，而不是200名学生是样本容量，故⑤错误． 正确的判断为①③． 故选：B． 5. 下列命题是真命题的是（　　） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质和平行公理以及垂线的性质和定义等，逐项进行判断． 【详解】解：选项A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂直的基本性质，是真命题； 选项B：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角相等或互补，原命题错误，是假命题； 选项C：只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，原命题未说明两条直线平行，错误，是假命题； 选项D：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，则不存在符合要求的直线，原命题错误，是假命题． 6. 已知数A的两个不同的平方根是和，则数A是（ ） A. 2 B. 3 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根的基本性质，利用“正数的两个不同平方根互为相反数”求出的值，再计算原数即可． 【详解】解：∵ 正数的两个不同平方根互为相反数， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， 把代入得 ， ∴ ． 7. 若点在第二象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴，， 又∵点在第二象限， ∴，， ∴点的坐标为． 8. 《九章算术》中有这样一道题：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？其大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少？假设雀每只重x斤，燕每只重y斤，根据题意可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系式解题关键．根据“5只雀、6只燕，分别聚集面且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放重量相等”，可得一个方程；根据“5只雀，6只燕重量为1斤”，可得另一个方程，即可选出答案． 【详解】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤 依题意得： 故答案选：C 9. 将一副三角板中的两块直角三角板如图所示放置，已知，，，，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，过点作 ， ， ， ， ， ， ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，按这样的运动规律．点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，每5个点循环一次，纵坐标依次为，横坐标每次循环增加3，由，可知与具有相同的特征，据此求解作答即可． 【详解】解：由题意知，这些点每5个点循环一次，纵坐标依次为，横坐标每次循环增加3， ∵， ∴与的纵坐标相同，即为，横坐标为， ∴点的坐标是， 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 11. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 12. 已知方程是关于，的二元一次方程，的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴未知数的次数满足，且的系数， ∴，且， ∴． 13. 若关于的不等式组的解集为，且关于、的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组的解集为，从而可得，进而可得，然后再把两个二元一次方程相加可得，再结合已知可得，从而可得，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ， ③+④得： ， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，而为整数， ∴， ∴满足条件的所有整数a的和． 14. 如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 _______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．根据平移的性质得到再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知： 则 ∴阴影部分的周长为：， 故答案为：11． 15. 如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系可能是：________． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先根据平行线和角平分线的性质求出的度数，分点P在点E与之间、点P在下方、点P在点E上方三种情况讨论，利用三角形外角的定义建立、和的关系，据此判断即可． 【详解】解：， ， 平分， ， 分情况讨论： （1）当点P在点E与之间时： 设与交于点， 是和的外角， ， ， ； （2）当点P在下方时： 如图，延长交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ； （3）当点P在点E上方时： ， 在四边形中，， ， ， 综上所述，点在运动过程中，与的关系可能是：①②③． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）解方程． 【答案】（1）7； （2）或． 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 移项得， 开平方得， 解得或． 17. 解方程组或不等式组． （1）解方程组； （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）； （2）；整数解为：，，，，0． 【解析】 【分析】（1）运用加减消元法解方程组即可． （2）解不等式组，写出整数解即可． 【小问1详解】 解： 得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 【小问2详解】 解： 解不等式， ， ， 解得， 解不等式， ， ， ， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组整数解为：，，，，． 18. 某中学为了解全校七年级学生周家务劳动的时间和最喜欢的劳动课程，做了如表的调查报告（不完整）． 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是（ ） ① ② ③ ④ ⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门）（ ） A．家政 B．烹饪 C．剪纸 D．园艺 E．陶艺 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）①本次调查的方式是_________（填“全面调查”或“抽样调查”）； ②参与本次问卷调查的学生人数为多少人？ （2）补全“周家务劳动时间频数分布直方图”．在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数是多少？ （3）若该校七年级学生共有人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数． 【答案】（1）①抽样调查；②参与本次问卷调查的学生人数为人； （2）补全“周家务劳动时间频数分布直方图”如下图， 第④组所对应扇形的圆心角的度数是； （3）估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数为人 【解析】 【分析】（1）①根据本次调查对象为部分七年级学生，可知本次调查为抽样调查；②根据本次调查的总人数组人数组在调查人数中所占的百分比，即可得到答案. （2）用本次调查总人数减去其他组的人数，即可得到第③组的人数，补全直方图即可；用乘第④组的学生在调查人数中所占的百分比即可得到答案. （3）先计算出本次抽样调查中喜欢“烹饪”课程的学生人数所占的百分比，再根据用样本估计总体即可得出答案． 【小问1详解】 解：①抽样调查； ②（人）； 答：参与本次问卷调查的学生人数为人； 【小问2详解】 解：周家务劳动时间的人数为：（人）， 补全“周家务劳动时间频数分布直方图”略， 扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数为； 答：第④组所对应扇形的圆心角的度数是； 【小问3详解】 解：调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为（人）， （人）， 答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数为人． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（4，2），B（1，0），，三角形ABC中任意一点，经平移后对应点为，将三角形ABC作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）点的坐标为______，点的坐标为______； （2）①画出三角形； ②写出三角形的面积； （3）过点作轴，交于点D，则点D的坐标为______． 【答案】（1）， （2）①见解析；② （3） 【解析】 【分析】（1）由点的对应点坐标知，需将三角形向左平移6个单位、向上平移2个单位，据此可得； （2）①根据平移规律求出点的坐标，根据，，点的坐标即可画出三角形； ②利用割补法求解可得答案； （3）设，利用面积法求解． 【小问1详解】 解：（1）点的坐标为，点的坐标为，即，； 故答案为：，； 【小问2详解】 （2）①如图，△即为所求； ②△的面积； 【小问3详解】 设，则有， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平移作图，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置． 20. 如图，已知在三角形中，点D，E分别在上，．连结，点F在上，． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）的度数为 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用平行线的性质可得，从而可得，然后根据内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）利用角平分线的定义可得，从而可得，然后根据已知和平角定义可得，从而可得，进而可得，最后根据平行线的性质可得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 21. 综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为元，B型号的进价为元； 素材2：该电器商城准备用不超过元的金额采购这两种型号的电风扇共台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售台A型号电风扇和台B型号电风扇，共获得销售收入元；销售台A型号电风扇和台B型号电风扇，共获得销售收入元． 【任务】 （1）任务1：求A，B两种型号的电风扇的销售单价． （2）任务2：求A种型号的电风扇最多能采购多少台． （3）任务3：该电器商城销售完这台电风扇能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案，并说明在这些方案中，哪种方案利润最大，求出最大利润；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元、元． （2）A种型号的电风扇最多能采购台． （3）能实现利润超过元的目标，采购方案有三种： 方案一，采购A型号电风扇台，B型号电风扇台． 方案二，采购A型号电风扇台，B型号电风扇台． 方案三，采购A型号电风扇台，B型号电风扇台． 采购A型号电风扇台，B型号电风扇台时利润最大，最大利润为元． 【解析】 【小问1详解】 解：设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元、元． 由题意可得 解得 答：A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元、元． 【小问2详解】 解：设A种型号的电风扇采购台，则B种型号的电风扇采购台． 根据题意可得 解得 因为为正整数，所以的最大值为． 答：A种型号的电风扇最多能采购台． 【小问3详解】 根据题意，得 解得 由（2）可知，且为正整数，所以可以取，，． 所以，能实现利润超过元的目标，采购方案有三种： 方案一，采购A型号电风扇台，B型号电风扇台． 方案二，采购A型号电风扇台，B型号电风扇台． 方案三，采购A型号电风扇台，B型号电风扇台． 方案一利润：（元）． 方案二利润：（元）． 方案三利润：（元）． 所以，采购A型号电风扇台，B型号电风扇台时利润最大，最大利润为元． 22. 操作与探究 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献．书中记载“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜（即），反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即）． （1）【观察图形】试判断和的数量关系，并说明理由； （2）【结论应用】如图2，直线，点在直线上，点在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上．利用（1）中发现的结论，试探究与的位置关系，并说明理由； （3）【深度探究】如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔在点处发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，光束与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角（）．若，求反射光束与天花板所形成的角的度数． 【答案】（1），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． （2），理由如下： 由（1）的结论可知，，， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明； （2）由反射原理可得，，结合可得，因此； （3）延长交于点，由可得，进而得到．由反射原理可得，则，结合三角形内角和定理可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长交于点， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由光的反射原理可得，， ∴， ∴． 23. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，点坐标为，且，满足． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，点从点出发以每秒1个单位的速度沿射线方向运动，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，设运动时间为，当三角形的面积小于三角形的面积时，求的取值范围； （3）如图3，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质求出与的值即可； （2）根据题意，，，，，则．分两类讨论，当时，，由可得；当时，，同理可得，求解并进行取舍即可； （3）设，则，，由平移的性质可得，，，从而证明，则，解得，进而求出点的坐标． 【小问1详解】 解：， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：由题意可知，，， ∵，轴，轴， ∴，， ∴， ①当时，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； ②当时，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图，设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由平移的性质可得，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵点落在轴负半轴上， ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度下学期期末学科学业水平监测 七年级数学试题 （满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分． 2．答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在答题卡上的相应位置． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．第Ⅱ卷必需用0.5毫米黑色签字笔书写到答题卡题号所指示的答题区域，不得超出预留范围． 5．在草稿纸、试卷上答题均无效． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 给出下列各数：，，，，，其中无理数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 下列图形中，已知，可得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 4. 为了解某校七年级1000名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计．下列判断：①这种调查方式是抽样调查：②1000名学生是总体：③每名学生的数学成绩是个体：④200名学生是总体的一个样本：⑤200名学生是样本容量．其中正确的判断有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列命题是真命题的是（　　） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 6. 已知数A的两个不同的平方根是和，则数A是（ ） A. 2 B. 3 C. 9 D. 7. 若点在第二象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有这样一道题：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？其大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少？假设雀每只重x斤，燕每只重y斤，根据题意可列出方程组（ ） A. B. C. D. 9. 将一副三角板中的两块直角三角板如图所示放置，已知，，，，．则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，按这样的运动规律．点的坐标是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 11. 的平方根是____． 12. 已知方程是关于，的二元一次方程，的值为__________． 13. 若关于的不等式组的解集为，且关于、的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数的和为__________． 14. 如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 _______． 15. 如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系可能是：________． ①；②；③；④． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）解方程． 17. 解方程组或不等式组． （1）解方程组； （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 18. 某中学为了解全校七年级学生周家务劳动的时间和最喜欢的劳动课程，做了如表的调查报告（不完整）． 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是（ ） ① ② ③ ④ ⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门）（ ） A．家政 B．烹饪 C．剪纸 D．园艺 E．陶艺 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）①本次调查的方式是_________（填“全面调查”或“抽样调查”）； ②参与本次问卷调查的学生人数为多少人？ （2）补全“周家务劳动时间频数分布直方图”．在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数是多少？ （3）若该校七年级学生共有人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（4，2），B（1，0），，三角形ABC中任意一点，经平移后对应点为，将三角形ABC作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）点的坐标为______，点的坐标为______； （2）①画出三角形； ②写出三角形的面积； （3）过点作轴，交于点D，则点D的坐标为______． 20. 如图，已知在三角形中，点D，E分别在上，．连结，点F在上，． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 21. 综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为元，B型号的进价为元； 素材2：该电器商城准备用不超过元的金额采购这两种型号的电风扇共台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售台A型号电风扇和台B型号电风扇，共获得销售收入元；销售台A型号电风扇和台B型号电风扇，共获得销售收入元． 【任务】 （1）任务1：求A，B两种型号的电风扇的销售单价． （2）任务2：求A种型号的电风扇最多能采购多少台． （3）任务3：该电器商城销售完这台电风扇能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案，并说明在这些方案中，哪种方案利润最大，求出最大利润；若不能，请说明理由． 22. 操作与探究 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献．书中记载“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜（即），反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即）． （1）【观察图形】试判断和的数量关系，并说明理由； （2）【结论应用】如图2，直线，点在直线上，点在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上．利用（1）中发现的结论，试探究与的位置关系，并说明理由； （3）【深度探究】如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔在点处发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，光束与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角（）．若，求反射光束与天花板所形成的角的度数． 23. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，点坐标为，且，满足． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，点从点出发以每秒1个单位的速度沿射线方向运动，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，设运动时间为，当三角形的面积小于三角形的面积时，求的取值范围； （3）如图3，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $