精品解析：山东省泰安市东平县2025-2026学年下学期期末质量检测七年级数学试题

2025−−2026学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 注意事项 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个球，分别从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件的布袋是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm 5. 下列语句中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 C. 是的平方根 D. 相等的两个角是对顶角 6. 如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是 A. B. C. D. 7. 方程组的解与的值相等，则（ ） A. 15或 B. 25 C. 35 D. 8. 太原地铁“一号线”正在进行修建，预计年年底通车试运营，标志色为梦想蓝，现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆，该车队需要一次运输残土不低于吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共辆，若购进载重量为吨的卡车辆，则需要满足的不等式为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，．①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；作直线交于点．则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上．） 11. 俞老师开在一条五车道上，其中有一条左转车道，三条直行车道，一条右转车道，那么他随机选择一条车道，选中左转车道的概率是______． 12. 如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，，则_____． 13. 在平面直角坐标系中，点经过变换得到点，该变换记为，其中（a，b为常数）．例如，当，且时，．若，当________． 14. 关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围________． 15. 学校将要举办趣味运动会，规则如下：如图，在线上摆满沙包，学生从点出发，跑到线上任意一点拿到沙包，再将沙包运送到线上任意一点即为完成一次比赛．已知，长度足够，两条线夹角，小明发现该比赛存在一条最短路径，请计算，若小明沿最短路径完成比赛，他至少需要跑________． 三、解答题（本大题共8个题，共90分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 16. 解决下列问题： （1）解方程组： ①； ②； （2）求不等式的解集并在数轴上表示出来； （3）解不等式组： 17. 如图，在中，点D为上一点，且，点E为外一点，且，连接当时，判断与的数量关系，并说明理由． 18. 某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 优等品频数 优等品频率 （1）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是________；（精确到） （2）从这批彩色弹力球中选择个黄球、个黑球、个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； （3）现向第（2）问所说的袋子中放入若干个黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求放入了多少个黄球？ 19. 在小轩房间中有一个长方体衣柜和书柜，现需要购买一款扫地机器人，使其能顺利从入口处进入活动区进行清扫请根据以下信息解决问题： 房间示意图及相关尺寸说明 相关尺寸说明： 房间的平面图为长方形，其中，； 衣柜底面为长方形，其中，； 书柜底面为长方形，其中，． 扫地机器人相关信息 某型号扫地机器人的底面是直径为的圆形，当扫地机器人从入口进入活动区域时，扫地机器人的边缘距离点和点的安全距离均至少为． 请通过计算说明，该型号的扫地机器人能否顺利地从入口处进入活动区． 20. 近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展．某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件： B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A型号智能机器人？ （3）要使在（2）的基础上购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？ 21. 如图，在中，点、在边上，点、分别在边、上，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：，（已知） ①________，（②） （③） ，（已知） ．（④） ．（⑤） ． 22. 【活动回顾】七年级下册教材中，我们曾探究过函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 （1）如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________； （2）如图，观察图象，两条直线的交点坐标为________，方程的解是________；不等式的解是________． 【拓展延伸】 （3）如图，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点C． ①求点，的坐标； ②若点是直线上点右侧一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若，请求出的取值范围． 23. 【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②写出与间的数量关系并说明理由； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−−2026学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 注意事项 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，，，，故A、B、C选项错误，D选项正确， 故选：D． 2. 如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定．利用内错角相等，两直线平行判定D选项符合题意． 【详解】解：由或或都不能判定直线； 只有时，利用内错角相等，两直线平行能判定直线． 故选：D． 3. 如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个球，分别从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件的布袋是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件的分类办法分析即可得解. 【详解】解：①袋中没有红球，摸到红球属于不可能事件； ②袋中有1个红球，2个白球，摸到红球属于随机事件； ③袋中有2个红球，1个白球，摸到红球属于随机事件； ④袋中有3个红球，没有白球，摸到红球属于必然事件. 故选:D 4. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm 【答案】B 【解析】 【详解】∵直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm ∴根据勾股定理可知：BA=√62+82=10 ∵A,B关于DE对称，∴BE=10÷2=5 5. 下列语句中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 C. 是的平方根 D. 相等的两个角是对顶角 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根，算术平方根，点到直线的距离及对顶角的定义依次判断各选项即可． 【详解】解：A、若，则或，故A选项错误； B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故B选项错误； C、，-3是9的平方根，则是的平方根，故C选项正确； D、如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，相等的两个角不一定是对顶角，故D选项错误； 故选C． 【点睛】本题是对命题知识的考查，熟练掌握平方根，算术平方根，点到直线的距离及对顶角的定义是解决本题的关键． 6. 如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．由三角形的内角和可求得，再由角平分线求得，再结合是高，从而可求的度数，根据三角形内角和定理，即得解． 【详解】解：∵，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 方程组的解与的值相等，则（ ） A. 15或 B. 25 C. 35 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．由题意把代入方程中即可求出的值，于是得出的值，然后把、的值代入方程中即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， 由题意把，代入方程中，得， ∴． 故选：D． 8. 太原地铁“一号线”正在进行修建，预计年年底通车试运营，标志色为梦想蓝，现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆，该车队需要一次运输残土不低于吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共辆，若购进载重量为吨的卡车辆，则需要满足的不等式为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意可得载重量为吨的卡车共有辆，载重量为吨的卡车共有辆，再根据题意列出不等式即可，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 9. 如图，在中，，，．①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；作直线交于点．则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点作于点，于点．首先证明，求出的面积，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，设边上的高为h． 由作图可知平分， ， ， ， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ． 10. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上．） 11. 俞老师开在一条五车道上，其中有一条左转车道，三条直行车道，一条右转车道，那么他随机选择一条车道，选中左转车道的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据车道共条，左转车道只有条，结合概率公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，俞老师开在一条五车道上，左转车道只有条， ∴选中左转车道的概率是， 故答案为：． 12. 如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质并能运用求解． 根据题意得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵的边的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的长为8， 故答案为：8． 13. 在平面直角坐标系中，点经过变换得到点，该变换记为，其中（a，b为常数）．例如，当，且时，．若，当________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组．根据新定义运算和解二元一次方程组列式计算即可． 【详解】解：， ， 解得：， ， 故答案为：． 14. 关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有4个整数解”是解本题的关键．表示出不等式组的解集，根据解集中有且只有4个整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：， 由①不等式得：， 由不等式②得： 不等式组的解集为：， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴分别为：0，1，2，3， ∴， 故答案为：． 15. 学校将要举办趣味运动会，规则如下：如图，在线上摆满沙包，学生从点出发，跑到线上任意一点拿到沙包，再将沙包运送到线上任意一点即为完成一次比赛．已知，长度足够，两条线夹角，小明发现该比赛存在一条最短路径，请计算，若小明沿最短路径完成比赛，他至少需要跑________． 【答案】 【解析】 【分析】作关于的对称点，作，连接，则即为最短距离，最短距离等于，利用直角三角形及勾股定理求解即可． 【详解】解：作关于的对称点，作，连接，则即为最短距离，最短距离等于， ∵，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ． 三、解答题（本大题共8个题，共90分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 16. 解决下列问题： （1）解方程组： ①； ②； （2）求不等式的解集并在数轴上表示出来； （3）解不等式组： 【答案】（1）①；②； （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）①利用加减消元法，将两个方程相加消去，先求出，再回代求；②先整理化简方程组，再用加减消元法求解未知数． （2）给不等式各项同乘分母最小公倍数去分母，再依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1得到解集，再规范画出数轴表示解集． （3）分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解：①， 方程方程得，， 解得， 将代入得，， 解得， ∴原方程组的解为； ②， 整理得， 整理，两边同乘得， 方程方程得，， 解得， 将代入得，， 解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ， ； 在数轴上表示解集略； 【小问3详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 17. 如图，在中，点D为上一点，且，点E为外一点，且，连接当时，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】由可得，由判定即可求解． 【详解】解：与的数量关系是：，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， 即． 18. 某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 优等品频数 优等品频率 （1）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是________；（精确到） （2）从这批彩色弹力球中选择个黄球、个黑球、个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； （3）现向第（2）问所说的袋子中放入若干个黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求放入了多少个黄球？ 【答案】（1）； （2）； （3）12 【解析】 【分析】（1）当试验次数足够多时，可以用频率估计概率； （2）用概率公式求解即可； （3）根据概率公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：用频率估计概率为； 【小问2详解】 解：袋子中球的总数量为个， 摸出黄球的概率为； 【小问3详解】 解：设放入个黄球，则此时黄球数量变为个，总球数为个． 根据题意列方程： 解得． 答：放入了12个黄球 19. 在小轩房间中有一个长方体衣柜和书柜，现需要购买一款扫地机器人，使其能顺利从入口处进入活动区进行清扫请根据以下信息解决问题： 房间示意图及相关尺寸说明 相关尺寸说明： 房间的平面图为长方形，其中，； 衣柜底面为长方形，其中，； 书柜底面为长方形，其中，． 扫地机器人相关信息 某型号扫地机器人的底面是直径为的圆形，当扫地机器人从入口进入活动区域时，扫地机器人的边缘距离点和点的安全距离均至少为． 请通过计算说明，该型号的扫地机器人能否顺利地从入口处进入活动区． 【答案】 解：如图：，， 由勾股定理得，， 扫地机器人的底面是直径为的圆形，扫地机器人的边缘距离点和点的安全距离均至少为， ， ， 该型号的扫地机器人能顺利地从入口处进入活动区． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再结合扫地机器人的底面是直径为的圆形，扫地机器人的边缘距离点E和点G的安全距离均至少为，可推出结论． 【详解】略 20. 近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展．某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件： B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A型号智能机器人？ （3）要使在（2）的基础上购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）5台 （3）共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台时、B型号为3台 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是关键． （1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据台数和总费用列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A型台，B型（10－）台，根据需要每天分拣快递不少于200万件列出不等式，解不等式即可得到答案； （3）设购买台A型号机器人，则购买（10－）台B型号机器人．根据总费用不超过750万元列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． ，解得 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购进A型台，B型（10－）台， 由题意得，， 解得， 故满足要求的最小整数解为：． 答：至少购进5台A型智能机器人． 【小问3详解】 解：设购买台A型号机器人，则购买（10－）台B型号机器人． 由题意得， 解得， 由（2）得 ∴ 又∵是整数 ∴＝5或6或7 答：共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台时、B型号为3台． 21. 如图，在中，点、在边上，点、分别在边、上，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：，（已知） ①________，（②） （③） ，（已知） ．（④） ．（⑤） ． 【答案】①；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；④同角的补角相等；⑤内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】先根据相等直角判定，利用平行线性质得到同旁内角互补，结合已知等补角条件推出内错角相等，证出，最后由平行线同位角相等得到直角，证明垂直． 【详解】解： ，（已知） ∴，（同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） ，（已知） ．（同角的补角相等） ．（内错角相等，两直线平行） ． 22. 【活动回顾】七年级下册教材中，我们曾探究过函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 （1）如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________； （2）如图，观察图象，两条直线的交点坐标为________，方程的解是________；不等式的解是________． 【拓展延伸】 （3）如图，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点C． ①求点，的坐标； ②若点是直线上点右侧一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若，请求出的取值范围． 【答案】（1）； （2）；；； （3）①，；② 【解析】 【分析】（1）利用数形结合思想，不等式对应直线纵坐标大于2的部分，结合交点横坐标与一次函数增减性确定取值范围． （2）两条直线交点横坐标为对应方程的解；不等式对应直线在直线上方部分，结合交点横坐标用数形结合求出解集． （3）①联立两条直线解析式组成二元一次方程组求解交点；令，解方程求出与轴交点．②设点、横坐标均为，分别写出两点纵坐标，用纵坐标差值表示线段长度，列不等式求解的取值范围． 【小问1详解】 解：∵直线过点，，函数随增大而减小， ∵即，对应图象在点左侧， ∴． 【小问2详解】 解：∵两直线交点横坐标为方程的解， 联立， ， ， 将代入， ， ∴交点坐标为； ∵即，图象上在上方部分在交点右侧， ∴． 【小问3详解】 解：①联立方程组， 解得， ∴， 当时，， ， ； ②当点在点右侧，即时，如图所示： 此时， ， ，解得， ； 23. 【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②写出与间的数量关系并说明理由； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 【答案】（1）①见解析；②；理由见解析；（2）（1）中与间的数量关系成立，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据证明即可．②由等边三角形的性质和角平分线的定义可得，由全等三角形的性质可得，进而可得，由此可得． （2）若点E在射线上，（1）中与间的数量关系仍然成立，证法同第（1）小题． （3）先根据证明，则可得，又由，得，由可得，进而可得，． 【详解】（1）①证明：是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． ②解：，理由如下： 是等边三角形， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴； （2）解：（1）中与间的数量关系成立，理由如下： 是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． 平分， ． ． ． （3）解：在和中， ∴． ． ，， ． ， ． ． ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $