精品解析： 山东省泰安市泰山区2024-2025学年下学期期末八年级数学试题

第二学期期末学情抽测 初三数学样题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填入下面答案栏的对应位置） 1. 若=，则的值等于（ ） A. B. C. D. 1 2. 如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 5. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 正方形是轴对称图形，它有两条对称轴 B. 两组对角分别相等的四边形是矩形 C. 一条对角线平分一内角的平行四边形是菱形 D. 四边相等的四边形是正方形 7. 如图，小明利用四根长度为的木条首尾相接，钉成正方形，然后利用四边形的不稳定性将其变形，得到四边形．若，则，之间的距离比变形前之间的距离短（ ） A. B. C. D. 8. 若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 9. 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（ ） A. 12 B. C. 14 D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 代数式有意义时，x应满足的条件为_______． 12. 已知关于x方程的一个根为4，则方程的另一个根为_______． 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高______． 14. 若，则代数式的值为______． 15. 将边长为4正方形做成如图1所示的七巧板，将图1中的七巧板拼成如图2所示的“天鹅”，则图2中的长为________． 16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是_______．（写出所有正确说法的序号） 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18 解方程： （1）（配方法）； （2）（用公式法）． 19. 解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． （1）求的值； （2）求x的值． 20. 如图，已知点P是线段的黄金分割点，，以点B为圆心；以长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结，，． （1）求证：； （2）若，求长． 21. 如图，在四边形中，，过点B作交于点E，点F为边上一点，，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 22. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，某学校数学老师组织部分学生在校园内开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在校园某处，他们发现一训练馆前有一堵围墙，学生们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处照进训练馆地面F点时，测得；②当阳光恰从围墙最高点A 经窗户点D处照进地面E点时，测得．此外，还测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙的高度． 23. 问题解决 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泰安市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出325个，六月份售出468个，且从四月份到六月份月增长率相同． 素材2 经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为400个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该品牌头盔销售量的月增长率； 任务2 现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 24. 某数学兴趣小组同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二学期期末学情抽测 初三数学样题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填入下面答案栏的对应位置） 1. 若=，则的值等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是分式的求值，比例的性质，学会变形已知条件，使变形所得到的式子在所求的式子中能用得上是解题的关键． 我们可以用设参数法，设，然后用k表示出a和b，再代入到中进行计算即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 将，代入可得： = =， 故选：A． 2. 如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：， ，，； ∴选项A、C、D正确， 故选：B． 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的性质对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断． 【详解】解：A：，错误，为无理数，无法与有理数3直接合并为，正确结果为； B：，错误，平方根的结果非负，，而非； C：，错误，根据二次根式乘法法则，，故，而非； D：，正确，根据二次根式除法法则，，故． 故选：D． 4. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法，一移，二配，三变形，将方程配方后，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴； 故选C． 5. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 正方形是轴对称图形，它有两条对称轴 B. 两组对角分别相等的四边形是矩形 C. 一条对角线平分一内角的平行四边形是菱形 D. 四边相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，平行四边形的判定，矩形和菱形的判定，逐一分析各选项，结合轴对称图形、矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断． 【详解】A． 正方形有4条对称轴（两条对角线所在的直线，两条对边中点的连线所在的直线），故A错误． B． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，但未必是矩形，还需一个角为直角或对角线相等，故B错误． C． 在平行四边形中，若一条对角线平分一内角，则邻边相等，此时平行四边形为菱形（四边相等的平行四边形），故C正确． D． 四边相等的四边形是菱形，要成为正方形还需一个角为直角，故D错误． 故选：C． 7. 如图，小明利用四根长度为的木条首尾相接，钉成正方形，然后利用四边形的不稳定性将其变形，得到四边形．若，则，之间的距离比变形前之间的距离短（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、正方形的性质，勾股定理，先根据正方形的性质以及勾股定理得出，再证明四边形是菱形，得出，再结合勾股定理得出，即可作答． 【详解】解：如图：连接记与相交于一点O， ∵小明利用四根长度为的木条首尾相接，钉成正方形， ∴ ∴ 依题意， ∴四边形是菱形 ∴ 在， ∴ 则 ∴则，之间的距离比变形前之间的距离短为 故选：C 8. 若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程整理为：，通过变量替换，转化为原方程的形式，从而确定新方程的根． 【详解】解：将方程整理为：， 令，则方程变为，与原方程形式相同， ∵是关于y的方程的一个根， ∴， ∴， ∴关于x的方程必有一个根为2024， 故选：A． 9. 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据矩形的性质可证明，，即可证明结论正确； ②根据可证明，利用相似三角形的性质即可证明，但无法证明； ③过点D作，分别交，于点M，N，可证明四边形平行四边形，则，进一步可证明垂直平分，可得结论正确； ④设，，证明，并利用相似三角形的性质列方程并求解，即得，即可判断结论是否正确． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， 是边的中点， ， ，但无法证明，故②错误； 如图，过点D作，分别交，于点M，N，则四边形平行四边形， ， ， ， ， ， 垂直平分， ，故③正确； 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的结论有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理的推论，勾股定理，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（ ） A. 12 B. C. 14 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为4的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：过点作，交、于、，过点作垂足为， ∵矩形，点M是边的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为4的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 代数式有意义时，x应满足的条件为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知相关内容是解题的关键；根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 12. 已知关于x方程的一个根为4，则方程的另一个根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键，根据根与系数的关系，得到两根之和为2，进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知，方程的两根之和为2， ∵关于x方程的一个根为4， ∴方程的另一个根为； 故答案为： 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高______． 【答案】5m##米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的性质列比例求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 若，则代数式的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查非负性，二次根式的运算，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10 15. 将边长为4的正方形做成如图1所示的七巧板，将图1中的七巧板拼成如图2所示的“天鹅”，则图2中的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查正方形的性质，解三角形，理解题意，找出各边之间的关系是解题关键． 根据题意得出，为等腰直角三角形，确定，结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示：根据题意得，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是_______．（写出所有正确说法的序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，解本题的关键在理解题意，正确作出判断． 通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出，，再结合“倍根方程”的定义，得出或，进而得出或，然后再用十字相乘法分解，再把，代入，即可判断说法②；通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“倍根方程”的定义，设，再根据一元二次方程根与系数的关系，得出，进而得出，解出即可判断说法④． 【详解】解：①解方程得：， ∴方程不是倍根方程，故①不正确； ②∵是倍根方程，且，， ∴或， ∴或， ∴，故②正确； ③∵， 解方程得：，， ∴，故③正确； ④∵方程是倍根方程， ∴设， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即方程的一个根为1． 故④正确． 综上所述，说法正确的为：②③④． 故答案：②③④ 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算乘除法，再进行加减计算； （2）分别利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式= ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1）（配方法）； （2）（用公式法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 两边同除以2，得， 移项，得， 配方，得， 开平方，得， 所以：，； 【小问2详解】 解：， 变为一般形式：， 则， ， ，． 19. 解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． （1）求的值； （2）求x的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， 的值为2； 【小问2详解】 由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 20. 如图，已知点P是线段的黄金分割点，，以点B为圆心；以长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．也考查了相似三角形的判定与性质． （1）由作法得，根据黄金分格的定义得到，则，然后根据相似三角形的判定方法可判断； （2）先利用黄金分割的定义得到，而，则，接着根据相似三角形的性质得到，从而可求出的长． 【小问1详解】 解：由作法得， 点P是线段黄金分割点，， ，即 而， ； 【小问2详解】 解：点P是线段的黄金分割点，， ， 即， ， ， ， . 21. 如图，在四边形中，，过点B作交于点E，点F为边上一点，，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）30 【解析】 【分析】此题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定解答即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据矩形性质，，，证明，根据相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：，，， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ，即， 22. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，某学校数学老师组织部分学生在校园内开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在校园某处，他们发现一训练馆前有一堵围墙，学生们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处照进训练馆地面F点时，测得；②当阳光恰从围墙最高点A 经窗户点D处照进地面E点时，测得．此外，还测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙的高度． 【答案】围墙的高度为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 根据题意证明，，根据相似的性质即可得到答案． 【详解】解：连接， 由题意得：，， ， ， ， ，即， ， ，即， ， 解得：， 围墙的高度为． 23. 问题解决 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泰安市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出325个，六月份售出468个，且从四月份到六月份月增长率相同． 素材2 经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为400个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该品牌头盔销售量的月增长率； 任务2 现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】任务1：销售量的月增长率为；任务2：该品牌的头盔每个应涨价10元 【解析】 【分析】任务1：根据四月份销售量以及月增长率相同的条件，设出月增长率，利用增长后的量增长前的量（n为增长次数）来列方程求解； 任务2：根据每个头盔的盈利和销售量的关系，设出涨价金额，根据利润 单个利润销售量列出方程，再结合让顾客得到实惠的条件确定涨价金额． 【详解】解：任务1：设头盔销售量的月增长率为x，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 销售量的月增长率为；. 任务2：设头盔每个涨价m元，根据题意得： 整理得 解得， (不符合题意，舍去) 答：该品牌的头盔每个应涨价10元。 【点睛】本题考查了平均增长率计算、一元二次方程的应用等知识点．解题的关键在于能够正确地建立数学模型，即通过设未知数、利用给定条件列出方程，并准确求解方程，同时结合实际背景做出合理的判断与选择． 24. 某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，在四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 【答案】【探究问题】见解析【知识应用】（1）或（2）或 【解析】 【分析】探究问题：利用三角形外角的性质，得到，即可求解； 知识应用：（1）通过三角形外角的性质，得到，利用相似三角形的性质，求解即可；（2）分两种情况，、，分别求解即可． 【详解】【探究问题】解：证明：由三角形外角的性质可得： ， ， ， 又， ； 【知识应用】 解：（1）设，则， ，， ，，， ，， ， ， ， 即， 化简可得：， 解得或， 即或； （2）由（1）可得，， ， 则为等腰三角形，有两种情况，或， ① 当时， 由（1）可得，，， ， ， ； ② 当时， 可得， 则， ， 设，则， ， 由可得， ， 即 解得， ， 综上，或. 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解一元二次方程，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$