精品解析：江西省南昌市南昌二中初中部联考2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年度第二学期期末阶段性学习质量检测七年级数学 说明： 1．本卷共六题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上做答，否不给分． 一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项．） 1. 若，根据不等式基本性质，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的三条基本性质逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：∵不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，∴，A错误． 选项B：∵不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，∴，B正确． 选项C：∵不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴，C错误． 选项D：∵不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∴，D错误． 2. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集，求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示解集如图： 故选C． 3. 在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比上面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． 4. 《九章算术》中有这样一个题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意，可列二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行”，列二元一次方程组即可． 【详解】解：设有辆车，人数为 由“3人坐一辆车，则两辆车是空的”可得： 由“2人坐一辆车，则9人需要步行”可得： 即 故答案为A． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意确定等量关系是解题的关键． 5. 若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，把方程组中两个方程相加可得，再根据，可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，则称这个点为“幸运点”．给出下列结论中正确的是（ ） ①是“幸运点”； ②“幸运点”不可能在第二象限； ③以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】求出，则可得①正确；设“幸运点”的坐标为，则，根据第二象限内的点的横坐标小于0、纵坐标大于0建立不等式组，由此即可得②正确；将方程组中的两个方程相加可得，即，则③正确． 【详解】解：∵， ∴点的纵坐标比它的横坐标的2倍少2，是“幸运点”，则结论①正确； 设“幸运点”的坐标为，则， 假设“幸运点”在第二象限，则， ∴，即，这个不等式组无解， ∴假设不成立，即“幸运点”不可能在第二象限，则结论②正确； 将方程组中的两个方程相加得：，即，满足“幸运点”的定义， ∴以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”，则结论③正确； 综上，结论正确的是①②③． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 一元一次不等式的最小整数解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先移项，合并同类项，然后系数化为1，得出不等式的解，最后得出最小整数解即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最小整数解是． 故答案为：． 8. 如图，，则写出的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平角为，三角形内角和定理，根据题意得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 9. 满足式子2≤3x﹣7＜8成立的所有整数解的和为___． 【答案】7 【解析】 【分析】原不等式组可变形为：，解不等式组，得到关于x的解集，再找出符合x取值范围的整数解即可. 【详解】解：解不等式3x﹣7≥2，得：x≥3， 解不等式3x﹣7＜8，得：x＜5， ∴不等式的解集为：3≤x＜5， ∴满足式子2≤3x﹣7＜8成立的所有整数解的和为3+4＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了求不等式组的整数解，解题的关键在于能够准确地解出不等式组的解集． 10. 如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则________． 3 2 【答案】 【解析】 【分析】根据各行各列及对角线上三个数之和相等，列出关于，的二元一次方程组，求解方程组即可得到的值． 【详解】解：根据题意，得， 整理得，解得， 则． 11. 如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为_______． 【答案】34 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个小长方形的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，求出每个小长方形的长与宽，再表示出阴影部分的面积，代入计算即可得解，理解题意，正确求出每个小长方形的长与宽是解此题的关键． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 即阴影部分的面积之和为， 故答案为：34． 12. 在三角形中，如果一个角是另一个角的4倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“高倍三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（规定）．当为“高倍三角形”时，的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“高倍三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．根据“高倍三角形”的概念，分类讨论即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∵为“高倍三角形” 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：（舍）； 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：；（舍） 当时， 即 ，解得：；（舍） 故答案为：或或 三、解答题（本大题共五个小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式、解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为的基本步骤解答即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得，． 【小问2详解】 解： ①②得，， 解得：， 把代入①得，， ∴方程组的解为． 14. 解不等式组，并在数轴上表示出其解集． 【答案】，数轴如下： 【解析】 【分析】需要分别求解两个不等式，然后得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：不等式组， 由，可得，解得， 由，可得，解得， 可得不等式组的解集为． 数轴略． 15. 一条食品包装生产线完成智能化升级后，每个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量是原来月均产量的1.7倍升级后，这条生产线8个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量比原来12个月的生产量至少多1000万盒，这条生产线原来平均每月的产量至少是多少万盒？ 【答案】625 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据数量关系列出不等式并求解． 设原来平均每月产量为万盒，分别表示出升级后8个月产量和原来12个月产量，根据“升级后8个月产量比原来12个月产量至少多1000万盒”列不等式求解． 【详解】解：设这条生产线原来平均每月的产量为万盒，则升级后的月产量为万盒． 根据题意，升级后8个月的产量比原来12个月的产量至少多1000万盒，得： 化简得：， 解得：， 答：这条生产线原来平均每月的产量至少是625万盒． 16. 如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小方格的顶点叫作格点，三角形的三个顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，在的边上找一点，连接，使得平分的面积； （2）请在图2中找一个格点，连接，使． 【答案】（1）如图所示，在格点图上取如图所示的两点，连接，与交点即为所求 （2）有两种情况：①与重合；②如图所示， 【解析】 【小问1详解】 解：理由如下： 由勾股定理可求得， 四边形是平行四边形， 是平行四边形对角线的交点， ， 是等底同高的三角形， 平分的面积． 【小问2详解】 由勾股定理可求得， ， ， 是等腰直角三角形，， ①与重合，此时； ②在直线上方取格点，满足，且， 四边形是正方形，是其对角线， ． 17. 如图，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作交PQ于点C，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，且． （1）求证：； （2）若，求∠ADB的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用三角形内角和．根据，得出，根据平行线判定定理即可得出结论； （2）根据 ，得出方程，解方程求出，根据BD平分，求出，再根据余角性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵BD平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线判定，三角形内角和，等角的余角性质，一元一次方程，角平分线定义，掌握平行线判定，三角形内角和，等角的余角性质，一元一次方程，角平分线定义是解题关键． 四、解答题（本大题共三个小题，每小题8分，共24分） 18. 某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． （1）一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ （2）W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为每年60万人次和每年100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且每年总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 【答案】（1）一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元 （2）共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆 【解析】 【分析】（1）设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意易得，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意得： ， 解得：； 答：一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元． 【小问2详解】 解：设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意得： ， 解得：， ∵是正整数， ∴的取值为， ∴或或； 答：共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆． 19. 阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②①，得，所以③， ③，得④， ①④，得，从而得． 所以原方程组的解是． （1）运用上述方法解方程组； （2）解方程组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将方程组中的第二个方程减去第一个方程，得到一个新的方程，再利用加减消元法解方程组即可； （2）先将方程组中的第二个方程减去第一个方程，得到一个新的方程，再利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， ②①，得，即③， ③，得④， ①④，得， 将代入③，得， 解得， 所以方程组的解为． 【小问2详解】 解：， ②①，得③， ③，得④， ④①，得， 将代入③，得， 解得， 所以方程组的解为． 20. 如图，已知的周长为33，是边上的中线，． （1）当时，求的长． （2）能否等于12？为什么？ （3）直接写出的取值范围． 【答案】（1）4 （2）不能，见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边的关系，与三角形的中线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据，，算出，再结合是边上的中线，进行计算，即可作答． （2）假设，结合，得出，再结合是边上的中线，进行计算，得，运用三角形三边的关系进行分析，即可作答． （3）根据三角形的周长得，利用三角形三边的关系即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵的周长为33， ∴ ∵是边上的中线， ∴； 【小问2详解】 解：不能等于12，理由如下： 依题意，当时， ∵的周长为33， ∴ ∵， ∴，，这三边不能构成三角形， 【小问3详解】 ∵， ∴， 得， 当时，， 即, 解得； 当时， 即 解得, ∴． 五、解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 根据以下素材，探索完成任务． 设计烟花采购方案 五一假期即将到来，为了吸引更多的游客，某乡镇决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长． 素材1 已知一箱A型烟花比一箱B型烟花少100元，购买20箱A型和10箱B型烟花需要5500元． 素材2 某烟花厂提供产品信息如下： （1）A型烟花每箱12发，B型烟花每箱20发． （2）本厂生产的所有型号烟花每发间隔5秒，且一发燃放完后另一发立即开始燃放． （3）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间． （1）求A、B型烟花每箱多少元？ （2）若该乡镇决定采购这两种型号的烟花共50箱，且购入的资金不少于8500元又不多于8800，则该乡镇共有几种购买方案？ （3）若该乡镇准备支出9000元（全部用完）购买这两种型号的烟花，可以燃放多少秒？ 【答案】（1）A型烟花每箱150元，则B型烟花每箱250元； （2）该乡镇共有四种购买方案； （3）若仅购买A，B型烟花，可以燃放3600秒． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设A型烟花每箱元，则B型烟花每箱元，根据“购买20箱A型和10箱B型烟花需要5500元”列出一元一次方程即可解决； （2）设采购A型烟花箱，则采购B型烟花箱，根据“资金不少于8500元又不多于8800”列出一元一次不等式组即可解决； （3）设分别购买A，B型烟花a，b箱，根据“支出9000元购买烟花”这一条件得到一个二元一次方程，对方程整理化简，再用a，b表示出烟花的燃放时间，整体代入即可求出燃放时间． 【小问1详解】 解：设A型烟花每箱元，则B型烟花每箱元， 依题意得， 解得， 则， 答：A型烟花每箱150元，则B型烟花每箱250元； 【小问2详解】 解：设采购A型烟花箱，则采购B型烟花箱， 依题意得， 解得， ∴或38或39或40， 答：该乡镇共有四种购买方案； 【小问3详解】 解：设分别购买A，B型烟花a，b箱， ∴， 整理得，， ∴燃放时长：秒． 答：若仅购买A，B型烟花，可以燃放3600秒． 22. 【问题探究】如何证明三角形内角和定理？ （1）方法1：过的顶点A作，就能证明“三角形内角和定理”，请你完成这个证明． 如图1，在中，过顶点A作，求证：． （2）方法2：如果将顶点A这个特殊的位置换成边上的任意一点P，过点P分别作出另外两边的平行线，也能证明“三角形内角和定理”，请你先画出辅助线，再完成这个证明． 如图2，在中，P是边上的任意一点，求证：． 【定理应用】 （3）如图3，点P是边上的任意一点，射线，平分，点N为线段上一点（点N不与点P，D，E重合），且．若，，试用含的式子表示． 【答案】 （1）证明：， ，． ， ； （2）证明：如图2，过点作交于点，作交于点， ，，， ， ； （3）或 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了平行线的判定和性质，三角形内角和的证明，三角形外角的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据平行线的性质和平角的定义可解答； （2）如图2，过点作交于点，作交于点，根据平行线的性质和平角的定义可解答； （3）分两种情况：①如图3，当点在线段上时，②如图4，当点在线段上时，根据平行线的性质和角平分线的定义，三角形外角的性质可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①如图3，当点在线段上时， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图4，当点在线段上时， ； 综上：或． 六、（本大题共一个小题，共12分） 23. 直线与直线垂直相交于点在直线上运动，点在直线上运动． （1）如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． （2）如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． （3）如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线及延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内和为；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．解题时注意分类思想的灵活运用． （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算，即可得到的大小不变； （2）根据延长、交于点．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到； （3）先根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，得到，再根据分别是和的角平分线，可得．最后根据中，有一个角是另一个角的3倍，分四种情况进行讨论，即可得到的度数． 【小问1详解】 的大小不变． ∵直线与直线垂直相交于， ∵、分别是和角的平分线， 【小问2详解】 如图2，延长、交于点． ∵直线与直线垂直相交于， ∵、分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴； 【小问3详解】 ∵与的角平分线相交于， ∵、分别是和的角平分线， 在中，有一个角是另一个角的3倍，故有： ① ②（舍去） ③ ④（舍去） 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末阶段性学习质量检测七年级数学 说明： 1．本卷共六题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上做答，否不给分． 一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项．） 1. 若，根据不等式基本性质，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 3. 在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术》中有这样一个题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意，可列二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，则称这个点为“幸运点”．给出下列结论中正确的是（ ） ①是“幸运点”； ②“幸运点”不可能在第二象限； ③以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 一元一次不等式的最小整数解是_______． 8. 如图，，则写出的度数是______． 9. 满足式子2≤3x﹣7＜8成立的所有整数解的和为___． 10. 如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则________． 3 2 11. 如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为_______． 12. 在三角形中，如果一个角是另一个角的4倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“高倍三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（规定）．当为“高倍三角形”时，的度数为______． 三、解答题（本大题共五个小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式、解方程组： （1）； （2）． 14. 解不等式组，并在数轴上表示出其解集． 15. 一条食品包装生产线完成智能化升级后，每个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量是原来月均产量的1.7倍升级后，这条生产线8个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量比原来12个月的生产量至少多1000万盒，这条生产线原来平均每月的产量至少是多少万盒？ 16. 如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小方格的顶点叫作格点，三角形的三个顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，在的边上找一点，连接，使得平分的面积； （2）请在图2中找一个格点，连接，使． 17. 如图，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作交PQ于点C，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，且． （1）求证：； （2）若，求∠ADB的度数． 四、解答题（本大题共三个小题，每小题8分，共24分） 18. 某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． （1）一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ （2）W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为每年60万人次和每年100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且每年总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 19. 阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②①，得，所以③， ③，得④， ①④，得，从而得． 所以原方程组的解是． （1）运用上述方法解方程组； （2）解方程组． 20. 如图，已知的周长为33，是边上的中线，． （1）当时，求的长． （2）能否等于12？为什么？ （3）直接写出的取值范围． 五、解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 根据以下素材，探索完成任务． 设计烟花采购方案 五一假期即将到来，为了吸引更多的游客，某乡镇决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长． 素材1 已知一箱A型烟花比一箱B型烟花少100元，购买20箱A型和10箱B型烟花需要5500元． 素材2 某烟花厂提供产品信息如下： （1）A型烟花每箱12发，B型烟花每箱20发． （2）本厂生产的所有型号烟花每发间隔5秒，且一发燃放完后另一发立即开始燃放． （3）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间． （1）求A、B型烟花每箱多少元？ （2）若该乡镇决定采购这两种型号的烟花共50箱，且购入的资金不少于8500元又不多于8800，则该乡镇共有几种购买方案？ （3）若该乡镇准备支出9000元（全部用完）购买这两种型号的烟花，可以燃放多少秒？ 22. 【问题探究】如何证明三角形内角和定理？ （1）方法1：过的顶点A作，就能证明“三角形内角和定理”，请你完成这个证明． 如图1，在中，过顶点A作，求证：． （2）方法2：如果将顶点A这个特殊的位置换成边上的任意一点P，过点P分别作出另外两边的平行线，也能证明“三角形内角和定理”，请你先画出辅助线，再完成这个证明． 如图2，在中，P是边上的任意一点，求证：． 【定理应用】 （3）如图3，点P是边上的任意一点，射线，平分，点N为线段上一点（点N不与点P，D，E重合），且．若，，试用含的式子表示． 六、（本大题共一个小题，共12分） 23. 直线与直线垂直相交于点在直线上运动，点在直线上运动． （1）如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． （2）如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． （3）如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线及延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $