精品解析：安徽安庆市潜山市2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

潜山市2025-2026学年度第二学期期末教学质量检测 八年级数学期末测试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，与不能合并，计算错误． B选项，，计算错误． C选项，与不能合并，计算错误． D选项，，计算正确． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：A：∵，， ∴，不能构成直角三角形； B：∵，， ∴，能构成直角三角形； C：∵，， ∴，不能构成直角三角形； D：∵，， ∴，不能构成直角三角形． 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 4. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ） A. 八（1）班跳绳次数更集中 B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班 C. 两个班级跳绳次数的中位数相等 D. 八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了箱线图的概念，需理解箱线图的构成及表示含义，再逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中， 在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为， ∵， ∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误； B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值， 对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152， ∵， ∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误； C项：箱线图中，中间的线代表中位数， 对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172， ∵， ∴两个班的中位数不相等，故C错误； D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高， 对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数， ∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确． 5. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键．直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的菱形的边长是（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，则，由题意和图可知，，，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，作，则， 由题意和图可知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即菱形的边长为． 7. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∵， 同理可得， ∴． 8. 已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用数轴判断和的正负，再进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴， ． 9. 在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】每半年平均每周作业时长的下降率为，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为， 去年上半年平均每周作业时长为分钟， 去年下半年平均每周作业时长为分钟， 今年上半年平均每周作业时长为分钟， 现在平均每周作业时长比去年上半年减少了， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键． 10. 如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 若有意义，则x的取值范围是：____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解得． 12. 样本数据，，，，，，的是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】先将样本数据从小到大排序，计算第三四分位数的位置，再得到对应结果即可．或先求出这组数据的中位数，再求出中位数右侧的数据的中位数即可得出答案． 【详解】解：将给定样本数据从小到大排序为，，，，，，， 方法一：∵样本容量， ∴， ∵不是整数，将向上取整为，即第个数据就是所求的， ∴． 方法二：∵最中间的数据为， ∴中位数为， ∵中位数右侧有个数据，，， ∴右侧个数据的中位数为， ∴． 13. 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则坝底为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及勾股定理，设，根据坡度的概念用表示出，根据勾股定理求出，再根据坡度的概念求出，计算即可得到答案．熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】解：设， ∵迎水坡的坡比为， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， ， 解得或（负值舍去）， ∴， 四边形为矩形， ∴， ∵背水坡的坡比为， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为______； （2）若点是中点，，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）如图所示，由三角形内角和定理得到，，结合对顶角相等、等腰三角形的判定与性质确定、、，代入得到关于的方程，求解即可得到，再由对称性质，在中，由两锐角互余求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由对称性得到,，，进而确定,，在中、中和中，由勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： 则，，， 由与关于对称，得到，则， 在正方形中，，则， ， ，即， 解得， 由与关于对称，得到， 在中，，，则； 故答案为：； （2）连接，如图所示： 由与关于对称，得到,，， 则,， 在中，由勾股定理可得, 点是中点， 设,则， 在中，由勾股定理可得,即， 解得， , 在等腰中，,,由勾股定理可得, 解得, 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、正方形性质、直角三角形两锐角互余、对顶角相等、等腰三角形的判定与性质、对称性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，准确构造辅助线求解是解决问题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：移项得， 即， 提取公因式得， 或， 解得． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂，括号内二次根式的减法，二次根式的乘法，绝对值，再进一步求解即可． 【详解】解： ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程（）为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】（1）方程是有爱方程，理由见解析； （2）见解析； （3），． 【解析】 【分析】（）通过“有爱方程”定义即可求解； （）由“有爱方程”定义可得，则原方程为，然后解方程即可； （）由是关于的“有爱方程”，则，又是该“有爱方程”的一个根，所以，从而得，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：，，， ， 方程是“有爱方程”； 【小问2详解】 证明：方程是“有爱方程”， ， 原方程为， ， ， ， 是原方程的解； 【小问3详解】 解：是关于的“有爱方程”， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， 由得， 把代入得， 化简得， 解得，． 18. 【类比探究】 小明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． （1）用“”、“”、“”填空 ①_________ ②_________ ③_________ ④_________ （2）由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 小明同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，用来做对角线的竹条至少要_________厘米． 【答案】（1）； （2）当，时，，当且仅当时等号成立；理由见解析 （3）100厘米 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论； （2）直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可； （3）根据对角线互相垂直的四边形面积＝相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用（2）的结论得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 同理得：；；． 【小问2详解】 猜想：（，）， 理由是：∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图所示： 设，， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴用来做对角线的竹条至少要100厘米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中，找一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形； （2）在图2中，作的中垂线，使得点在格点上，与交于点，标出点即可（不写作法，保留作图痕迹）；你所作出的线段长为______． 【答案】（1） 如图所示：四边形即为所求的平行四边形． （2） 如图所示：为所作的中垂线． 【解析】 【分析】本题考查无刻度的直尺作图问题，平行四边形的判定，中垂线的定义，根据图中的信息求得线段，和画出线段的中垂线是解题的关键． （1）由图可知，过点找到，且，即可求得结果； （2）以为斜边，构造直角三角形，根据直角三角形在网格线的位置，可以作出中位线交于点，依次构造直角三角形和直角三角形，两直角三角形有公共点格点，且斜边相等，连接交，即为所作线段的中垂线；再构造直角三角形，根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：理由：由图可知，过点找到，且， ，， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：由图可知，构造直角三角形，如图， ，， ． 故答案为：． 20. 如图，在平行四边形中，连接，分别过点、点作于点，作于点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形 （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由垂直可得，，再利用平行四边形的性质证明，得到，即可求证； （）利用等腰三角形的性质和三角形内角和得，即得，再根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a c 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ， ； （2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选 年级更合适（填“七”或“八”）； （3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 【答案】（1）84，72，83，30 （2）八 （3）该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有293人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图与频数分布表、中位数、众数、样本估计总体等知识点，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）利用扇形统计图即可求出D组和C组的人数，结合B组的人数，求出A 组的人数，再利用中位数定义即可求出a和c的值，求出第一四分位数即可确定b，最后求得A组所占的百分数即可求得m的值； （2）根据方差进行分析即可解答； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级20名学生竞赛成绩在D组中有（人），C组所占中有（人）， 根据题意可得B组中有7人，故A组中有人， ∵七年级竞赛成绩的中位数a是数据从小到大排列后的第10和11个数据的平均数，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是84，84， ∴， ∵八年级竞赛成绩的中位数c是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是82，84， ∴， 由八年级所抽取学生成绩的箱线图可知：b是第一四分位数，即八年级竞赛成绩从小到大排列前10个数据的中位数，即第5个数据72，故． ∵七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据共6个， ∴，即． 故答案为：84，72，83，30． 【小问2详解】 解：八年级更合适，理由：因为该校八年级的方差小于七年级方差，成绩比七年级稳定，故八年级更合适． 故答案为：八． 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有293人． 七、（本题满分12分） 22. 某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包单价定为7元时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高1元，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5元． （1）如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少？这天卖面包的利润是多少？ （2）如果每天销售这种面包获得的利润是480元，那么这种面包的单价是多少？ 【答案】（1） 这种面包的单价定为10元，这天卖面包的利润是500元； （2） 这种面包的单价是9元或11元. 【解析】 【分析】（1）根据单价变化与销量变化的关系列一元一次方程求出单价，再利用总利润=单个利润×销售量计算总利润； （2）根据总利润的等量关系列一元二次方程，求解得到面包单价． 【小问1详解】 解：设这种面包的单价定为元， 根据题意得， 解得 ， 则总利润为（元）， 答：这种面包的单价定为10元，这天卖面包的利润是500元． 【小问2详解】 解：设这种面包的单价定为元， 根据题意得 ， 解得， ， 答：这种面包的单价是9元或11元． 八、（本题满分14分） 23. 【问题情境】 如图 1，在矩形中，E是边上的一点，过点D作，过点D作，过点A作，且． 【基础探究】（1）如图1，求证：． 【深入探究】（2）如图2，当E在延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间的数量关系，并证明． 【拓展迁移】（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，当E在延长线上的位置发生改变时，判断的大小是否发生变化，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）不变，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）证明即可得证； （2）证明四边形是矩形，结合，可得四边形是正方形，所以，进一步即可得出结论； （3）过点作于点，在上截取，连接，证明，可得，，，证明，可得，证明，进一步可得结论． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 又，，， ， ， ， ， 又，， ， ； （2），证明如下： ，，， 四边形是矩形， 同（1）理可得， ，， 四边形是正方形， ， ； （3）的大小没发生变化，理由如下： 过点作于点，在上截取，连接， ，， 由（2）得， ， 矩形是正方形， 又四边形是正方形形， ，，， ，， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， 又， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潜山市2025-2026学年度第二学期期末教学质量检测 八年级数学期末测试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ） A. 八（1）班跳绳次数更集中 B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班 C. 两个班级跳绳次数的中位数相等 D. 八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 5. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A. B. C. D. 6. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的菱形的边长是（ ） A. 6 B. 3 C. D. 7. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 若有意义，则x的取值范围是：____________________． 12. 样本数据，，，，，，的是__________． 13. 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则坝底为_____． 14. 如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为______； （2）若点是中点，，则的长为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 解方程：． 16. 计算：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程（）为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 18. 【类比探究】 小明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． （1）用“”、“”、“”填空 ①_________ ②_________ ③_________ ④_________ （2）由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 小明同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，用来做对角线的竹条至少要_________厘米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中，找一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形； （2）在图2中，作的中垂线，使得点在格点上，与交于点，标出点即可（不写作法，保留作图痕迹）；你所作出的线段长为______． 20. 如图，在平行四边形中，连接，分别过点、点作于点，作于点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形 （2）若，，求的度数． 六、（本题满分12分） 21. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a c 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ， ； （2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选 年级更合适（填“七”或“八”）； （3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 七、（本题满分12分） 22. 某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包单价定为7元时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高1元，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5元． （1）如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少？这天卖面包的利润是多少？ （2）如果每天销售这种面包获得的利润是480元，那么这种面包的单价是多少？ 八、（本题满分14分） 23. 【问题情境】 如图 1，在矩形中，E是边上的一点，过点D作，过点D作，过点A作，且． 【基础探究】（1）如图1，求证：． 【深入探究】（2）如图2，当E在延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间的数量关系，并证明． 【拓展迁移】（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，当E在延长线上的位置发生改变时，判断的大小是否发生变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $