【5年中考压轴真题】2022～2026年上海市选择题、填空题、解答题汇编

**基本信息** 2022-2026年上海市中考数学压轴真题汇编，含选择、填空、解答题各10题，覆盖几何（圆、四边形）、代数（函数、统计）核心知识，聚焦压轴题训练，适配一轮复习真题演练需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|圆与圆位置关系（2024年题2）、正多边形旋转（2022年题3）、统计平均数（2026年题4）|分层标注难度（易-中档），注重概念辨析与基础应用| |填空题|10|梯形中位线（2026年题11）、二次函数“开口大小”定义（2024年题18）、等弦圆性质（2022年题20）|结合新定义与几何计算，考查空间观念与创新意识| |解答题|10|平行四边形综合（2025年题21）、抛物线平移与派生直线（2026年题24）、梯形动态几何（2024年题30）|多问递进设计，融合几何变换与函数应用，对接中考压轴命题趋势|

【5年中考压轴真题】2022~2026年上海市选择题、填空题、解答题汇编 一．选择题（共10小题） 1．（2022•上海）·【易】下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 2．（2024•上海）·【较易】在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（　　） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 3．（2022•上海）·【较易】有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n的值可能为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 4．（2026•上海）·【较易】周一至周五某同学的运动时间为34、28、40、36、32，单位：分钟，为了一周7天活动时间的平均数达到40分钟，下列选项中可以的是（　　） A．50，50 B．45，60 C．50，60 D．55，60 5．（2025•上海）·【较易】在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（　　） A．2 B．5 C．8 D．10 6．（2025•上海）·【较易】在正方形ABCD中，||：||的值是（　　） A． B． C． D．2 7．（2026•上海）·【中档】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点（不与A、B重合），过点E作EM∥BD，交AD于点M，作E、M关于BD的对称点F、G，联结EF、MG交BD于点P、H．下列说法正确的是（　　） ①四边形EFGM周长是定值；②四边形EPHM周长是定值． A．①、②均正确 B．①正确②错误 C．②正确①错误 D．①②均错误 8．（2023•上海）·【中档】已知在梯形ABCD中，连接AC，BD，且AC⊥BD，设AB＝a，CD＝b．下列两个说法：①AC（a+b）；②AD，则下列说法正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 9．（2024•上海）·【中档】四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线．如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（　　） A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 10．（2023•上海）·【中档】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D 二．填空题（共10小题） 11．（2026•上海）·【易】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，如果BC＝2AD，S△PMN＝1，则梯形ABCD的面积为　 　 ． 12．（2025•上海）·【较易】已知矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，联结EF、AF、BE，若四边形ABEF是菱形，那么的值为　 　 ． 13．（2023•上海）·【较易】如图，在△ABC中，∠C＝35°，将△ABC绕着点A旋转α（0°＜α＜180°），旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D，联结AD，AD是∠BAC的角平分线，则α＝　 　 ． 14．（2026•上海）·【较易】如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC交BC于点D，将△ABC绕点D旋转α°（0＜α＜90），使得AB的对应边A′B′垂直于AC．设A′B′交AD于点P，则　 　 ． 15．（2024•上海）·【中档】在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，则cos∠ABC＝　 　 ． 16．（2022•上海）·【中档】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则　 　 ． 17．（2025•上海）·【中档】已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 　 　 度． 18．（2024•上海）·【中档】对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 　　 ． 19．（2023•上海）·【中档】在△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠C＝90°，点D在边AC上，点E在CA延长线上，且CD＝DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是 　 　 ． 20．（2022•上海）·【中档】定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•上海）·【较难】如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点． （1）若E是BC中点． ①如图1，若AE＝EF，求证：∠BAE＝∠EFC； ②如图2，若CF＝DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值； （2）如图3，若AB＝3，AD＝5，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，求AF的长． 22．（2023•上海）·【较难】如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G． （1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形； （2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长； （3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值． 23．（2022•上海）·【较难】如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE． （1）如果AE＝CE． ⅰ．求证：▱ABCD为菱形； ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长； （2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CEAE，求的值． 24．（2026•上海）·【较难】已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求的值，并判断点Q是否在该抛物线上． 25．（2024•上海）·【较难】在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和B（5，0）． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线x＝m（m＞0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q； ①如果PQ小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标． 26．（2023•上海）·【较难】在平面直角坐标系xOy中，已知直线yx+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点B，点C不与点B重合． （1）求点A，B的坐标； （2）求b，c的值； （3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 27．（2022•上海）·【较难】在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）． ⅰ．如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围； ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标． 28．（2025•上海）·【较难】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点P，抛物线与y轴交于点C． （1）求b和c的值． （2）另一条抛物线y＝ax2+mx+n（a≠1）也经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点Q，与y轴交于点D． ①求的值； ②当四边形CDPQ是直角梯形，求其最小内角的正弦值． 29．（2026•上海）·【难】在半圆AOQ中，点O为圆心，线段AQ为直径，B、C是半圆上的两点，D是AB上一点，连接AB、CD交于点P，且AB＝CD． （1）连接OP， ①如图1，求证：∠APO＝∠CPO； ②如图2，连接OB交弦CD于点H，若AQ＝4，PB＝1，PO＝HO，求PH的长； （2）如图3，连接AC、PQ交于点E，线段AP上有一点F，使得PF＝4AF，若PE＝QE，∠PEA＝∠PFQ，求． 30．（2024•上海）·【难】在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且． （1）如图1所示，点F在边CD上，且，联结EF，求证：EF∥BC； （2）已知AD＝AE＝1； ①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM•DN，求边CD的长． 【5年中考压轴真题】2022~2026年上海市选择题、填空题、解答题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C B C B D A C 一．选择题（共10小题） 1．【答案】A 【解答】解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意， B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意； D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．【答案】B 【解答】解：∵圆A半径为1，圆P半径为3，圆A与圆P内切， ∴圆A含在圆P内，即PA＝3﹣1＝2， ∴P在以A为圆心、2为半径的圆与△ABC边相交形成的弧上运动，如图所示： ∴当到P'位置时，圆P与圆B圆心距离PB最大，为， ∵， ∴圆P与圆B相交， 故选：B． 3．【答案】C 【解答】解：A．正六边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意； B．正九边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意； C．正十二边形旋转90°后能与自身重合，符合题意； D．正十五边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意； 故选：C． 4．【答案】C 【解答】解：40×7﹣34﹣28﹣40﹣36﹣32＝110， 50+60＝110， 故选：C． 5．【答案】B 【解答】解：如图，连接AD并延长交⊙O于点E， ∵AB＝AC，D为BC中点， ∴BD＝DC＝4，OD⊥BC， 锐角三角形ABC中，AB＝AC， ∴外接圆心O在AD上， 连接OB，由勾股定理得：， 设以D为圆心的圆的半径为r，⊙D，⊙O相交应满足：|5﹣r|＜OD＜5+r， 即|5﹣r|＜3＜5+r， 解得：2＜r＜8，在此范围的半径只有选项B， 故选：B． 6．【答案】C 【解答】解：如图，连接AC． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠D＝90°， ∴ACCD， ∵， ∴||：||． 故选：C． 7．【答案】B 【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，则a为定值， 由正方形性质得：AB＝a，∠A＝∠EBF＝90°，∠ABD＝45°， 设BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝a﹣x， ∵EM∥BD， ∴∠AEM＝∠ABD＝45°， 在△AEM中，∠A＝90°，∠AEM＝45°， ∴△AEM是等腰直角三角形， ∴AM＝AE＝a﹣x， 由勾股定理得：EMAE， ∵点E、M关于BD的对称点为F、G， ∴EF⊥BD，EP＝FPEF，MG⊥BD，MH＝GHMG，EM∥FG， ∴BD是EF的垂直平分线， ∴BF＝BE＝x， ∵EM∥BD， ∴EF⊥EM，EF⊥FG，MG⊥EM，MG⊥FG， ∴四边形EFGM和四边形EPHM都是矩形， ∴PH＝EM＝FG， 在△BEF中，∠EBF＝90°， 由勾股定理得：EFBE， ∴MG＝EF， ∴EP＝MHEF， ∴矩形EFGM周长为：2EM+2EF为定值； 矩形EPHM的周长为：2EM+2EP不是定值， 综上所述：①正确②错误， 故选：B． 8．【答案】D 【解答】解：过B作BE∥CA，交DC延长线于E，如图所示： 若AD＝BC，AB∥CD，则四边形ACEB是平行四边形， ∴CE＝AB，AC＝BE， ∴AB∥DC， ∴∠DAB＝∠CBA， ∵AB＝AB， ∴△DAB≌△CBA（SAS）， ∴AC＝BD，即BD＝BE， ∵AC⊥BD， ∴BE⊥BD， 在Rt△BDE 中，BD＝BE，AB＝a，CD＝b， ∴DE＝DC+CE＝b+a， ∴，此时①正确； 过B作BF⊥DE于F，如图所示： 在Rt△BFC中，BD＝BE，AB＝a，CD＝b，DE＝b+a， ∴，， ∴BC，此时②正确； 但已知中，梯形ABCD是否为等腰梯形，并未确定；梯形ABCD是AB∥CD还是AD∥BC，并未确定， ∴无法保证①②正确， 故选：D． 9．【答案】A 【解答】解：∵BF⊥AC，DH⊥AC， ∴PB∥DR， 同理可得：AR∥CP， ∴四边形PQRS为平行四边形， ∵四边形ABCD矩形， ∴∠BAC＝∠BDC，AB＝CD， ∵BF⊥AC，CG⊥BD， ∴∠ABF＝∠DCG， ∴∠PBC＝∠PCB， ∴PB＝PC， 在△ABQ和△DCS中， ， ∴△ABQ≌△DCS（ASA）， ∴BQ＝CS， ∴PQ＝PS， ∴四边形PQRS为菱形， 故选：A． 10．【答案】C 【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意； B、∵AD＝BC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意； C、∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴AB⊥AD，AB⊥BC， ∴AB的长为AD与BC间的距离， ∵AB＝CD， ∴CD⊥AD，CD⊥BC， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意； D、∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°， ∵∠A＝∠D， ∴∠B＝∠C， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意； 故选：C． 二．填空题（共10小题） 11．【答案】12． 【解答】解：梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD， P是BC的中点， ∴， ∴四边形ABPD、四边形APCD都是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵EF是梯形的中位线， ∴EFAD∥BC，E是AB的中点，F是DC的中点， 在△ABP中，E为AB的中点，EM∥BP， ∴M是AP的中点， 在△DCP中，F为DC的中点，FN∥PC， ∴N是DP的中点， ∴MN是△ADP的中位线， ∴MN∥AD，， ∴△PMN∽△PAD， ， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方∴， 已知S△PMN＝1，代入得：， S△PAD＝4， ∵▱ABPD中，AP为对角线， ∴S△ABP＝S△ADP＝4（平行四边形对角线平分面积）， ∵▱APCD中，DP为对角线， ∴S△DPC＝S△ADP＝4S梯形ABCD＝S△ABP+S△ADP+S△DPC＝4+4+4＝12． 故答案为：12． 12．【答案】． 【解答】解；∵E关于直线AD的对称点为F， ∴DF＝DE， 设DF＝DE＝m，则EF＝DE+DF＝2m， ∵四边形AFEB是菱形， ∴AB＝AF＝EF＝2m， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°， ∴， ∴， 故答案为：， 13．【答案】． 【解答】解：如图， ∵AB＝AD，∠BAD＝α，AD是∠BAC 的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD＝α， ∵∠ADB＝∠C+∠CAD＝35°+α，AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝35°+α， 在△ABC中，∠C+∠CAB+∠B＝180°， ∴35°+2α+35°+α＝180°， 解得：； 故答案为：． 14．【答案】． 【解答】解：如图， ∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠B＝∠BAC＝60°，， ∵A'B'⊥AC， ∴在Rt△APE（设A'B'交AC于点E）中，∠APE＝90°﹣∠DAC＝60°， 由旋转的性质可知△A'B'C′≌△ABC， ∴∠B'＝∠B＝60°，DB′＝DB， 在△B'PD中，∠B'PD＝60°，∠PB'D＝60°， ∴△B'PD是等边三角形， ∴PD＝DB'， ∴PD＝DB， 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠B＝60°， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．【答案】或． 【解答】解：当C′在AB之间时，如图， 根据AC'：AB：BC＝1：3：7，不妨设AC'＝1，AB＝3，BC＝7， 由翻折的性质知：∠FCD＝∠FC'D'， ∵CD沿直线l翻折至AB所在直线， ∴∠BC′F+∠FC′D′＝∠FCD+∠FBA， ∴∠BC′F＝∠FBA， ∴， 过F作AB的垂线交于E， ∴， ∴， 当C′在BA的延长线上时，如图， 根据AC′：AB：BC＝1：3：7，不妨设AC'＝1，AB＝3，BC＝7， 同理知：， 过点F作AB的垂线交于E， ∴， ∴， 故答案为：或． 16．【答案】或． 【解答】解：∵D为AB中点， ∴． 当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，则； 当DE与BC不平行时，DE＝DE′， 在三角形ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°， ∴∠C＝∠DEE′＝60°，∠B＝∠ADE＝90°． ∴△DEE′是等边三角形，∠A＝∠ADE′＝30°． ∴DE＝DE′＝EE′，DE′＝AE′． ∴ED′＝AE′EC． ∴． 故答案为：或． 17．【答案】108或36． 【解答】解：如图： ∵∠MPN是正五边形的一个内角， ∴∠MPN108°； 如图： ∵∠OAB和∠OBA是正五边形的两个外角， ∴∠OAB＝∠OBA72°， ∴∠AOB＝180°﹣72°﹣72°＝36°， ∴这个角的度数为108°或36°． 故答案为：108或36． 18．【答案】4 【解答】解：∵抛物线（x）2， ∴x′（x′）20， 解得x′2， ∴抛物线“开口大小”为2|x′|＝2×|﹣2|＝4， 故答案为：4． 19．【答案】r≤2． 【解答】解：如图： 在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝7，BC＝3， ∴AC2， ∵⊙B过点A，⊙E过点D，CD＝DE， ∴当点D在边AC上，点E在CA延长线上时，⊙B与⊙E有公共点， 当点E与A重合时，r， 当点D与A重合时，r＝2， ∴⊙E半径r的取值范围是r≤2． 故答案为：r≤2 20．【答案】2． 【解答】解：如图，∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等， ∴圆心O就是三角形的内心， ∴当⊙O过点C时，且在等腰直角三角形ABC的三边上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此时⊙O最大， 过点O分别作弦CG、CF、DE的垂线，垂足分别为P、N、M，连接OC、OA、OB， ∵CG＝CF＝DE， ∴OP＝OM＝ON， ∵∠C＝90°，AB＝2，AC＝BC， ∴AC＝BC2， 由S△AOC+S△BOC+S△AOB＝S△ABC， ∴AC•OPBC•ONAB•OM＝S△ABCAC•BC， 设OM＝x，则OP＝ON＝x， ∴xx+2x， 解得x1， 即OP＝ON1， 在Rt△CON中，OCON＝2， 故答案为：2． 三．解答题（共10小题） 21．【答案】（1）①见解析；②；（2）． 【解答】（1）①证明：如图所示，延长FE，AB交于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EBH＝∠ECF，∠EHB＝∠EFC， ∵E是边BC中点， ∴BE＝CE， ∴△BEH≌△CEF（AAS）， ∴EH＝EF，∠H＝∠CFE， ∵AE＝EF， ∴AE＝EH， ∴∠H＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠CFE； 方法2：过点E作EI∥AB交AF于点I， ∵EI∥BA，AB∥CD， ∴BAE＝∠AEI，∠EFC＝∠IEF， ∵E为BC的中点， ∴I为AF的中点， ∵AE＝AF， ∴∠AEI＝∠IEF， ∴∠BAE＝∠EFC； ②解：如图所示，延长BF，AD交于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF， ∴，， ∴BF＝MF，BC＝DM， ∵E是边BC中点， ∴BC＝2CE＝2BE， 设CE＝BE＝m，则BC＝DM＝2m， ∴AM＝AD+DM＝4m， ∴，1， ∴， ∴，， 设S△ABG＝4n，则S△BGE＝n，S△AFG＝6n， ∴， ∴； （2）解：如图所示，延长AD，EF交于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD＝AB＝3， ∴∠AEB＝∠EAD， ∵∠AEB＝∠AFE＝∠EFC， ∴∠EFA＝∠EAD， 又∵∠AEF＝∠MEA， ∴△AEF∽△MEA， ∵∠AEB+∠AEF+∠FEC＝∠EFC+∠FCE+∠FEC＝180°，∠AEB＝∠EFC， ∴∠AEF＝∠FCE， ∴△AEF∽△ECF， ∵AD∥BC， ∴△ECF∽△MDF， ∴， ∵CF＝1， ∴DF＝CD﹣CF＝2， 设CE＝s，FE＝t， ∵△AEF∽△ECF， ∴，即， ∴AE＝st，AF＝t2， ∵，即， ∴DM＝2s，FM＝2t， ∴AM＝AD+DM＝5+2s， ∵△AEF∽△MEA， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 22．【答案】（1）证明见解答过程； （2）OB＝1； （3）的值为． 【解答】（1）证明：如图： ∵AC＝AB， ∴∠ABC＝∠C， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABC， ∴∠C＝∠ODB， ∴OD∥AC， ∵F是OB的中点，OG＝DG， ∴FG是△OBD的中位线， ∴FG∥BC，即GE∥CD， ∴四边形CEGD是平行四边形； （2）解：如图： 由∠OFE＝∠DOE，AO＝4，点F边OB中点，设∠OFE＝∠DOE＝α，OF＝FB＝a，则OE＝OB＝2a， 由（1）可得OD∥AC， ∴∠AEO＝∠DOE＝α， ∴∠OFE＝∠AEO＝α， ∵∠A＝∠A， ∴△AEO∽△AFE， ∴，即 AE2＝AO•AF， 在Rt△AEO 中，AE2＝EO2﹣AO2， ∴EO2﹣AO2＝AO×AF， ∴（2a）2﹣42＝4×（4+a）， 解得： 或 （舍去）， ∴OB＝2a＝1； （3）解：①当OG＝OB时，点G与点D重合，不符合题意，舍去； ②当BG＝OB 时，延长BG交AC于点P，如图所示， ∵点F是OB的中点，AO＝OF， ∴AO＝OF＝FB， 设AO＝OF＝FB＝a， ∵OG∥AC， ∴△BGO∽△BPA， ∴， 设OG＝2k，AP＝3k， ∵OG∥AE， ∴△FOG∽△FAE， ∴， ∴AE＝2OG＝4k， ∴PE＝AE﹣AP＝k， 设OE交PG于点Q， ∵OG∥PE， ∴△QPE∽△QGO， ∴， ∴PQa，QGa，， 在△PQE 与△BQO 中， ，， ∴， 又∠PQE＝∠BQO， ∴△PQE∽△OQB， ∴， ∴， ∴a＝2k， ∵OD＝OB＝2a，OG＝2k， ∴， ∴的值为． 23．【答案】（1）i．证明见解析； ii.； （2）． 【解答】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AE＝CE，OE＝OE， ∴△AOE≌△COE（SSS）， ∴∠AOE＝∠COE， ∵∠AOE+∠COE＝180°， ∴∠COE＝90°， ∴AC⊥BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD为菱形； ii．解：∵OA＝OC， ∴OB是△ABC的中线， ∵P为BC的中点， ∴AP是△ABC的中线， ∴点E是△ABC的重心， ∴BE＝2OE， 设OE＝x，则BE＝2x， 在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA2＝AE2﹣OE2＝32﹣x2＝9﹣x2， 在Rt△AOB中，由勾股定理得，OA2＝AB2﹣OB2＝52﹣（3x）2＝25﹣9x2， ∴9﹣x2＝25﹣9x2， 解得x（负值舍去）， ∴OB＝3x＝3， ∴BD＝2OB＝6； （2）解：方法一：如图， ∵⊙A与⊙B相交于E，F， ∴AB⊥EF， 由（1）②知点E是△ABC的重心， 又∵F在直线CE上， ∴CG是△ABC的中线， ∴AG＝BGAB，EGCE， ∵CEAE， ∴GEAE，CG＝CE+EGAE， ∴AG2＝AE2﹣EG2＝AE2， ∴AGAE， ∴AB＝2AGAE， ∴BC2＝BG2+CG2AE25AE2， ∴BCAE， ∴． 方法二：设EP＝x，则AE＝2x，CE＝2x， ∵AE＝AF，BE＝BF， ∴AB垂直平分EF，∠AGF＝90°， ∴∠DCE＝90°， 延长AP交DC的延长线于点Q，则CQ＝CD， ∴EQ＝ED＝4x，由勾股定理得CD＝2x，∠DEC＝∠CEQ＝45°， 由DE＝4x可得BE＝2x， ∴BPx， ∴AB：BC＝2x：2x． 24．【答案】（1）y＝4x； （2）1．Q（7，8）在抛物线上． 【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝2x2﹣c， ∴对称轴为直线x＝0，即y轴，a＝2， ∴A（0，0）， ∴B（1，0）， ∵2a＝4， ∴C（1，4）， 设直线AC的表达式为y＝kx+b， 将A（0，0），C（1，4）代入得， ， 解得， ∴直线AC的表达式为y＝4x，即其派生直线的表达式为y＝4x； （2）将点P、Q代入直线y＝2x﹣6得，m＝﹣4，n＝8， ∴P（1，﹣4），Q（7，8）， 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 则A（，0），B（1，0），C（1，2a）， 由题可知直线AC解析式为y＝2x﹣6， 则， 解得或（舍）， ∵点P在抛物线上， ∴a+b+c＝﹣4，即1﹣6+c＝﹣4， 解得c＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+1， 当x＝7时，y＝8， ∴Q（7，8）在抛物线上， ∵a＝1，b＝﹣6， ∴C（4，2）， ∴CP3，CQ3， ∴1． 25．【答案】（1）； （2）①0＜m＜1；②． 【解答】解：（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和B（3，0）代入， 可得：，解得：， ∴新抛物线为； （2）①如图，设，则， ∴， ∵PQ小于3， ∴， ∴x＜1， ∵x＝m（m＞0）， ∴0＜m＜1； ②， ∴平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：P在B的右边，当BP′∥PQ时， ∴BP′⊥x轴， ∴xP′＝xB＝5， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当P′Q∥BP时，则∠P′QT＝∠BPT，过P′作P′S⊥QP于S， ∴∠P'SQ＝∠BTP＝90°， ∴△P'SQ∽△BTP， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：x＝1或3（不符合题意舍去）； 综上：． 26．【答案】（1）A（﹣8，0）； （2），c＝6； （3）抛物线N的函数解析式为：或 ． 【解答】解：（1）在 中，令x＝0得：y＝6， ∴B（0，6）， 令y＝0得：x＝﹣8， ∴A（﹣8，0）； （2）设，设抛物线的解析式为：， ∵抛物线M经过点B， ∴将B（0，6）代入得：， ∵m≠0， ∴，即 ， 将 代入y＝a（x﹣m）2m+6， 整理得：， ∴，c＝6； （3）如图： ∵CD∥x轴，点P在x轴上， ∴设P（p，0），， ∵点C，B分别平移至点P，D， ∴点B，点C向下平移的距离相同， ∴， 解得：m＝﹣4， 由（2）知 ， ∴， ∴抛物线N的函数解析式为：， 将B（0，6）代入可得：， ∴抛物线N的函数解析式为：或 ． 27．【答案】（1）； （2）i．k≥2； ii.． 【解答】解：（1）将A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）代入yx2+bx+c，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为yx2﹣3． （2）i．∵yx2﹣3， ∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3）， 即点B是原抛物线的顶点， ∵平移后的抛物线顶点为P（m，n）， ∴抛物线平移了|m|个单位， ∴S△OPB3|m|＝3， ∵m＞0， ∴m＝2， 即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵在x＝k的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上， ∴k≥2； ii．把P（m，n）代入yx2﹣3， ∴n3， ∴P（m，3）， 由题意得，新抛物线的解析式为yn3， ∴Q（0，m2﹣3）， ∵B（0，﹣3）， ∴BQ＝m2，，PQ2， ∴BP＝PQ， 如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC＝m， ∵PB＝PQ，PC⊥BQ， ∴BCBQm2，∠BPC∠BPQ120°＝60°， ∴tan∠BPC＝tan60°， ∴m＝2或m＝﹣2（舍）， ∴n3＝3， ∴P点的坐标为（2，3）． 28．【答案】（1）； （2）①3；②或． 【解答】解：（1）将A（1，1），B（3，1）代入y＝x2+bx+c中， ∴， ∴； （2）①将A（1，1），B（3，1）代入y＝ax2+mx+n（a≠1）中， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为y＝ax2﹣4ax+3a+1＝a（x﹣2）2+1﹣a， ∵抛物线与y轴交于点D， ∴D（0，3a+1），顶点Q（2，1﹣a）， 由（1）可知：y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2， ∴C（0，4），P（2，0）， ∴CD＝|3a﹣3|，PQ＝|a﹣1|， ∴； ②a．当CD⊥PD时，如图所示，D（0，0）， ∴3a+1＝0， ∴a， ∴Q（2，）， ∴∠QCD为最小内角， 过点Q作QM⊥CD于点M， ∴M（0，）， ∴QM＝2，CM，CQ， ∴sin∠QCD； b．当CD⊥CQ时，如图所示，Q（2，4）， ∴1﹣a＝4， ∴a＝﹣3， ∴D（0，﹣8）， ∴∠CDP为最小内角， 过点P作PN⊥CD于点N， ∴N（0，0）， ∴PN＝2，DN＝8，PD， ∴sin∠CDP； 综上所述：最小的角的正弦值为或． 29．【答案】（1）①如图，作OG⊥AB于G，OZ⊥CD于Z，连接OC， ∴，， ∵AB＝CD， ∴AG＝CZ， ∵OA＝OC，∠AGO＝∠CZO＝90°， ∴Rt△OAG≌Rt△OCZ（HL）， ∴OG＝OZ， ∵∠PGO＝∠PZO＝90°，OP＝OP， ∴Rt△OPG≌Rt△OPZ（HL）， ∴∠APO＝∠CPO； ②； （2）． 【解答】（1）①证明：如图，作OG⊥AB于G，OZ⊥CD于Z，连接OC， ∴，， ∵AB＝CD， ∴AG＝CZ， ∵OA＝OC，∠AGO＝∠CZO＝90°， ∴Rt△OAG≌Rt△OCZ（HL）， ∴OG＝OZ， ∵∠PGO＝∠PZO＝90°，OP＝OP， ∴Rt△OPG≌Rt△OPZ（HL）， ∴∠APO＝∠CPO； ②解：∵PO＝HO， ∴∠OPH＝∠OHP， 由（1）可知，∠OPC＝∠APO， ∴∠APO＝∠OHP， ∵∠BPO＝180°﹣∠APO，∠BHP＝180°﹣∠OHP， ∴∠BPO＝∠BHP， 在△BPH和△BOP中，∠BPO＝∠BHP，∠PBH＝∠OBP， ∴△BPH∽△BOP， ∴， ∵AQ＝4， ∴OB＝2， ∵BP＝1， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵∠PFQ＝∠PEA，∠FPQ＝∠EPA， ∴△FPQ∽△EPA， ∴， ∵PF＝4AF，PE＝QE， 设PF＝4AF＝4m，PE＝QE＝n， 则AP＝5m， ∴， ∴20m2＝2n2， ∴， 连接OP，交AC于点K， 由（1）①中Rt△OPG≌Rt△OPZ可得PG＝PZ（图1）， 又∵AG＝CZ（①已证）， ∴AG+PG＝PZ+CZ， ∴AP＝CP， 又∵∠APO＝∠CPO（①已证）， ∴OP⊥AC， ∴∠AKP＝∠CKP＝90°， ∵O为△APQ边AQ的中点，E为△APQ边PQ的中点， ∴K为△APQ的重心， ∴AK＝2EK， 设EK＝k，则AK＝2EK＝2k， ∵在Rt△APK和Rt△EPK中，PK2＝AP2﹣AK2＝PE2﹣EK2， ∴， 化简得（负值舍）， ∴， ∴． 30．【答案】（1）证明过程见解析； （2）①；②． 【解答】（1）证明：延长DE和CB交于点G， ∵AD∥BC， ∴， ∵AEAB，DF ∴，， ∴， ∴EF∥BC． （2）①记点O为△ADE外接圆圆心，过点O作OF⊥AE于点F，连接OA，OD，OE． ∵点O为△ADE外接圆的圆心， ∴OA＝OE＝OD， ∴AF＝EFAE， ∵AEAB， ∴AB＝3AE＝3， ∵AE＝AD，OE＝OD，OA＝OA， ∴△AOE≌△AOD（SSS）， ∴∠EAO＝∠DAO， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO， ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴2∠EAO+2∠ABO＝180°，即∠EAO+∠ABO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∵OF⊥AE， ∴∠AFO＝∠AOB＝90°， ∵∠FAO＝∠OAB， ∴△FAO∽△OAB， ∴，即AO2＝AF•AB， ∴AO， ∴△ADE外接圆半径为． ②方法一：延长BA，CD交于点P，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q． ∵AD∥BC， ∴△PAD∽△PBC， ∴， 由①知AB＝3， ∴， ∴PA＝1， ∵CD2＝DM•DN， ∴， ∵∠CDN＝∠MDC， ∴△DCN∽△DMC， ∴∠DCN＝∠CMD， ∵∠DMC＝∠CEM， ∴∠CEM＝∠DCN， ∴EM∥CD， ∴， 由AB＝3，AE＝1得，BE＝2， ∴， ∴BM＝MC＝2， ∴△BEM∽△BPC， ∴， 设ME＝2a，则PC＝4a， ∵AD∥BC， ∴， ∴PD＝a，DC＝3a， ∵EM∥CD， ∴△ENM∽△CND， ∴， 设EN＝2b，则CN＝3b， ∵∠DMC＝∠CEM，∠ECM＝∠MCN， ∴△CNM∽△CME， ∴，即CM2＝CN•CE， ∴4＝3b•5b，解得b， ∴CE， 在Rt△BQE中，由勾股定理可得： BE2﹣BQ2＝CE2﹣CQ2， ∴4﹣BQ2＝（）2﹣（4﹣BQ）2， 解得BQ， ∴EQ2＝BE2﹣BQ2， ∵QM＝BM﹣BQ＝2， ∴在Rt△EQM中，由勾股定理可得，EM， ∵， ∴DC． 方法二： ∵AD＝AE＝1， ∴AB＝3AE＝3， ∵AD∥BC，BC＝4， ∴，即， ∴AP＝1＝AD＝AE， ∵BE＝AP﹣AE＝2，PE＝AE+AP＝2， ∴E为BP中点， ∵CD2＝DM•DN， ∴△DCN∽△DMC， ∴∠DCN＝∠DMC＝∠CEM， ∴EM∥CD， ∴M也为BC中点， ∴CM＝BM＝2， ∵BP＝BC＝4， ∴∠P＝∠DCM， ∵∠ECP＝∠DMC， ∴△ECP∽△DMC， ∴， 设DP＝a，则CD＝3a，CP＝4a， ∴，解得a， ∴CD． 方法三：由CD2＝DM•DN易得△DCN∽△DMC， ∴∠DCN＝∠CMD， ∵∠DMC＝∠CEM， ∴∠CEM＝∠DCN， ∴EM∥CD， 延长DA、ME交于点F， 则四边形CDFM是平行四边形， ∴△EAF∽△EBM， ∴， 设AF＝n，则BM＝2n，DF＝CM＝n+1， ∴BC＝BM+CM＝2n+n+1＝4， 解得n＝1， ∴AF＝1，BM＝2， 连接DE， 由AD＝AF＝AE可得∠DEF＝90°， 设EF＝m，则EM＝2m，CD＝3m，设EN＝2t，则CN＝3t， 由△CMN∽△CEM可得， ，即CM2＝CE•CN， ∴4＝3t•5t， 解得t2， 由DE2＝DF2﹣EF2＝CE2﹣CD2得， 22﹣m2＝25t2﹣9m2， 解得m， ∴CD＝3m． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $