专题13 几何综合题（解答题第25题压轴题）（上海专用）2026年中考数学一模分类汇编

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题13几何综合题（解答题第25题压轴题） 一、解答题 1.(2025·上海静安一模)如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是BC中点，E在BA延长线上， F在AC边上(F不与点A、C重合)，∠EDF=∠B. E D (I)求证：△BDE∽△CFD; (2)求证：ED平分∠BEF; (3)设CF=x,EF=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域： (4)连接AD、CE,如果四边形ADCE有两个内角互补，求CF的长. 2.(2025·上海嘉定一模)如图1，在ABC和ADE中，点E在ABC内，BA=BC,DA=DE, ∠ADE=∠ABC,连接EC,EB和BD,DE与AB相交于点O. 图1 图2 (I)求证：△DBAn△ECA; (2)己知AE=2,AC=4,如图2，当D、E、C三点共线时， ①求OB 的值： ②如果EC=3,求∠ABC的正弦值. 3.(25-26九年级上·上海奉贤·期末)如图，在口ABCD中，∠B是锐角，AE⊥BC,垂足为E,对角线AC垂 直平分线MN交AD于点M,交AE的延长线于点N,交AC于点P.己知AD=8,CD=5. 试卷第61页，共61页 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 名 D B E (I)在△ABE,△AEC,△APN中， ①写出与aAMN一定相似的三角形，并选一对说明理由； ②写出与△AMN不一定相似的三角形，如果它与△AMN相似，求出它们的相似比. (②)如果AE=EN,求∠B的正弦值 4.(25-26九年级上·上海宝山期末)如图，己知ABC,∠ACB=90°，AC=3,BC=4,D是边AB上一 点（不与点A、B重合），BE⊥AB,且∠CDE=∠A. B D 图1 图2 备用图 (I)当DE∥AC时，BE的长； (②)当点D在边AB上运动时， 的值是香保持不变，如果不变，试求出这个不变的值；如果会发生题 试说明理由； (3)当直线DE与直线AC相交时，记交点为点F,如果CDF是等腰三角形，求EF的长 5.(25-26九年级上·上海普陀期末)如图，已知矩形ABCD中，点E是边AB上一动点，在△DEC右侧作 △DCF,使得△DCFn△DEC,其中点C、F分别与点E、C对应.已知AB=25,BC=2. D D B 4 B (①)当点E与点B重合时，求四边形DECF的面积； (②)点E由点A向点B移动的过程中（点E不与点B重合），研究以下3个量的变化情况，完成填空并说明 编号为②的量的变化情况的理由： 试卷第60页，共61页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①∠EDF的大小；②DF的长度；③tan∠DFC的值 其中，变大的量是 ；变小的量是 ·(请在横线处填入编号) (3)当四边形DECF的一条对角线平分另一条对角线时，求AE的长. 6.(2026上海黄浦一模)如图，过菱形ABCD顶点A分别作边BC、CD的垂线，垂足为E、F,交对角线 BD于点M、N. N B (I)求证：BM=DN; (②)连接EN,如果EN∥AB,求cos ZABC的值； (3)如果△ABM与五边形CFNME的面积均为I,求菱形ABCD的面积， 7.(2026上海虹口一模)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB且AC=AD. 图1 图2 图3 (1)求证：2AC2=CD,AB; (②)连接BD交AC于点E,过点C作CF∥AD交BD于点F. D过点C作CG上10分别交0、BD于点G、,卖图2所示，已知B=5m∠48C-},求CF和CA 的长； 如图3，如果F为E的中点，求S 8.(25-26九年级上·上海杨浦·期末)综合与实践：折黄金矩形 【问题提出】 我们把宽与长之比为5-的矩形称为黄金矩形.黄金矩形以协调、匀称的美感，常见于艺术、建筑、自然 2 界中，那么，如何用不同形状的纸片折出黄金矩形，并证明这个矩形是黄金矩形呢？ 【操作探究】 (①)小创小组将一张矩形纸片（如图1）按照图2至图5的方式操作，那么图5中哪些矩形是黄金矩形？请直 接写出结论。 试卷第61页，共61页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE D B 图1 图2折出正方形ABCD 图3对折正方形ABCD A E D H B FC G 图4将FD折至FG 图5过点G折出矩形ABGH (②)小智小组将一张正方形纸片（如图6）按照图7至图10的方式操作，得到矩形BGHC,你能证明矩形 BGHC是黄金矩形吗？请写出证明过程， D D B C B F C B F 图6正方形ABCD 图7对折正方形ABCD图8沿EC折叠矩形CDEF A E D G H 图11 B F 图9将BC折到CE上 图10过点G折出矩形BGHC 【学以致用】 (3)将一张矩形纸片ABCD（如图11)，先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题， ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边AD上的点E处，折痕交边AB于点G; ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边CD于点F; ③沿过点E的直线折出矩形ENCD,折痕EN交线段CG于点M,连接MH. 如果MH⊥EN,请说明点G是线段AB的黄金分割点 9,《2526九年级上上海崇明期未)已知在R△48C中，∠A=90,4B=&amB=子点E是4B边上的 点，将ABC沿着过点E的直线翻折，点A落在BC边上，记作点D,折痕所在的直线与射线AC交于点F ,过点D作DG⊥BC,交射线BA于点G. 试卷第60页，共61页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C(F D D E(G) B A B 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点F和点C重合时，求AE的长； (2)如图2，当点F在边AC上时，设BD=x,tan∠AFE=y,求y关于x的函数解析式并写出定义域： (3)延长DG,交CA的延长线于点H,当△DFH是以DH为腰的等腰三角形时，求EG的长， 10.(25-26九年级上·上海浦东新·期末)在ABC中，∠BAC≥90°，点D为边AC上一点，∠ABD=∠ACB ,CD=2.将△ABD沿BD翻折得到△A,BD,点A恰好落在边BC的垂直平分线上. B A A 图1 图2 ①)如图1，如果点A在边BC上，求D的值： AB (2)如图2，如果AD=CD,求BD的长： (3)如果AB=CD,求∠BAC的度数. 11.(25-26九年级上·上海青浦·期末)ABC中，已知LABC=2∠C,BD平分∠ABC. P B 图1 图2 (I)如图1，如果AD=4,DC=5,求BC的长； (2)如图2，过点A作AC的垂线AP,与边CB的延长线交于点P. ①试猜想线段PC与边AB的数量关系，并证明； ②在线段DB上截取DQ=DA,连接AQ,当∠PAQ=2∠BAQ时，探究是否存在实数k,使得 AB=kBQ+PB成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由 12.(2026上海松江一模)在口ABCD中，P是边BC上一点，将△APB沿直线AP翻折，点B落在PD上的 试卷第61页，共61页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点E处，AE的延长线交射线BC于点F, A E B B P 图1 图2 (①)如图1，当四边形ABCD是矩形时，如果BP=4,PF=5,求四边形ABCD的面积； 3 Q)如图2，如果BP=1，CP=2,四边形CDEF的面积是)，求∠ADP的正弦值： (⊙痴果AB=4P且CF-PF,求 的值. 13.(2026上海徐汇一模)如图，在ABC中，AC=4V2,BC=6,∠C=45°，点E在边AB上且AE=2BE, 点D是边BC上的动点，以D为直角顶点；DE为腰在其右侧作等腰直角三角形DEF,射线EF与边AC交 于点P. B (备用图) (备用图) (I)当EF∥BC时，求ADEF的面积； (2)当点F落在ABC内部（不含边界）时，求BD的取值范围； (3)连接CF,如果△DFC是直角三角形，请直接写出DP的长。 14.(2026上海长宁一模)如图1，在ABC中，D为AC边上一点，始终满足4=D BC CD E B B (图1) (图2) (图3) (I)求证：∠ABD=∠CBD. (2)在ABC中，当∠C=90°时. 3 ①如图2，已知sinA=,过点D作ED⊥BD交AB于点E,若BDE的面积为5，求AC长. 试卷第60页，共61页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②如图3，E为BD中点，如LABC=2LDAE,设BE长为x,记AB与BC的差为y,求y关于x的函数关系 式及函数定义域： 15.(2026上海金山一模)在四边形ABCD中，点E在边AB上，BE=3AE,，点F在边BC上. A 图1 图2 图3 (I)如图1，若四边形ABCD为矩形，且BF=3CF,连接EF、AC, 求证：△BEF∽△DCA; (2)如图2，若四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC,请连接FE并延长，交DA的延长线于点G,连接BG, 如果BG⊥GD,∠EFB=2∠GBA,AG=6,求CD的长： (3)如图3，若四边形ABCD为平行四边形，点F是BC中点，连接DE、AF交于点K,连接CK,过点A作 AM∥CK交DK于点M,连接CM,求S.KwC:S.xFc值 16.(2026上海闵行一模)如图，已知在ABC中，点D是边AC上的一点. 图1 图2 图3 (1)当∠ABC=90°时. ①如图1，BD是边AC上的高，求证：BD'=AD·CD; ②如图2，AD=AE,点F在边BC上，且CF=CD,顺次连接DE、EF、FD.如果 EF=DR,an∠EFB=,求eoiC的值， (②)如图3，如果点D是边AC的中点，∠ABD=∠ACB,点G在线段DB延长线上，且BG=BC,连接CG, 取cG中点H,分别延长HB、CA交于点0，求△0的值. SACOH 试卷第61页，共61页学科网 www zxxk com 让教与学更高效 专题13几何综合题（解答题第25题压轴题） 一、解答题 1.(2025·上海静安一模)如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是BC中点，E在BA延长线上， F在AC边上(F不与点A、C重合)，∠EDF=∠B, E (I)求证：△BDE∽△CFD; (2)求证：ED平分∠BEF; (3)设CF=x,EF=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (4)连接AD、CE,如果四边形ADCE有两个内角互补，求CF的长. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 )y=x+1632 x5 0<x<16 ④3或8 25 【分析】(1)根据等边对等角可得∠B=∠C,根据三角形外角的性质可得∠CDF=∠BED,结合相似三角 形的判定即可求解： 2)根据△BDE△CFD,得到=%，即Bm,可证△BDE△DFE，得到∠BEA=∠FED BE BD 即ED平分LBEF,即可求解： (3)根据相似三角形的别定和性反得到：CFDn:DFE,则-8，即DF=EFCF=,刻图所示。 连接AD,过点F作FH⊥BC于点H,由勾股定理可得DC=4,AD⊥BC,AD=3,根据三角函数的计 3 凰得到aC三cosC在RFHC中，CF=,cos C-CH4 心二=，taC=方=4，可求出C二x, ,则DH=4-专，在RIADFH中，由勾股定理可得DF2=FH+DH=-32x+16,所以有 FH=3 5 x2、32 x+16=y,由此即可求解： (4)由(3)可知∠ADC=90°，分类讨论：第一种情况，如果∠ADC与∠AEC互补，则∠AEC=90°，在 试卷第61页，共61页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 R1aBEC中，由三角函数的计算可得BE=8 C=8×号号，结合△BDEn△CFD,可求解，第二种情况， 如果∠ADC与∠DCE互补，即∠DCE=90°，则AD∥EC,由题意可得点A也是BE的中点，即 BE=2AB=I0,结合△BDE∽△CFD,可求解；第三种情况，∠DAE一定是钝角，则 ∠DAE+∠ADC>180°（舍）；由此即可求解 【详解】(1)证明：：AB=AC, LB=∠C, :∠EDC=∠EDF+∠CDF,∠EDC=∠B+∠BED, 又∠EDF=∠B, :ZCDF ZBED, △BDE∽△CFD: (2)解：△BDE∽△CFD, DE BE DF CD :D是BC中点， .BD =CD, DE BE DF BD -6 :∠EDF=∠B, .△BDEO△DFE, .∠BEA=∠FED,即ED平分∠BEF; (3)解：△BDE∽△CFD,△BDE∽△DFE, .△CFD∽aDFE, DF CF EF=DF,即DF2=EF.CF=y, 如图所示，连接AD,过点F作FH⊥BC于点H, B D :AB=AC,D是BC中点，BC=8, DC=4,AD⊥BC, 在Rt△ADC中，AC=5, 试卷第60页，共61页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD=VAC2-CD2=V5-42=3, 3 2.tanC=cosC=5 4 CF5,tanC=fH、3 在RIA FHC中，CF=x,cosC=CH_4, CH4' 4 5 cH= 343 4 DH=4亏X, 4 在Rt△DFH中，DF2=FH2+DH2= EF =y,DF2=EF.CF, 2、32 5 +16=x…y, y=+到0》 x 5 (4)解：由(3)可知∠ADC=90°， 第一种情况，如果∠ADC与∠AEC互补，则LAEC=90°， D 在Rt△ABD中，cOSB=BD-=4 AB=5' 432 在Rt△BEC中，BE=BC·cosB=8x 55 .△BDE∽△CFD, BEBD DC CF' 32 5= 4, 4 CF 架得CF-子 第二种情况，如果∠ADC与∠DCE互补，即LDCE=90°，则AD∥EC, 试卷第61页，共61页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D :点D是BC的中点， 点A也是BE的中点，即BE=2AB=10, :△BDE∽△CFD, BE BD ÷DccF' 104 CF' 解得CF=氵 8 第三种情况，：∠DAE一定是钝角， ∠DAE+∠ADC>180°（舍） 院土所述，当四边形ADCE有两个内角互补时，CF的长为？3或} 2 【点晴】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，函数解析式的计算，解 直角三角形的计算，掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是解题的关键 2.(2025·上海嘉定一模)如图1，在ABC和ADE中，点E在ABC内，BA=BC,DA=DE, ∠ADE=∠ABC,连接EC,EB和BD,DE与AB相交于点O. 图1 图2 (I)求证：△DBA∽△ECA; (2)已知AE=2,AC=4,如图2，当D、E、C三点共线时， ①求OB D的值： ②如果EC=3,求∠ABC的正弦值. 【答案】(1)见解析 试卷第60页，共61页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 202:②西 8 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义等知识，解题的关键是： (1)先证明△ABC∽△ADE,得出LBAC=∠DAE, AEAD-DE,则∠EAC=LDAB, AC AB CB AE AC AD AB ,然后 根据相似三角形的判定即可得证： 2①证明：40c00,得出88胎：正明△80C0△004，得出88G,根据()中C-6 AE AD dB=CB,得出ED得出=C=AC OD DA-AE，即可求解； ②过A作AH⊥CD于H,在RtAACH和Rt△AEH中，根据勾股定理可得出AH2=42-(3+EH)2=22-EH2 ，则可求出EH=分在R4DH和R△AEH中，根据勾股定理可得出H=AD-(D--2-母》 ,则可求出A0=4,H= 2 在RtADH中，根据正切的定义求出sin∠ADH= ,然后结合LADH=LABC即可求解。 8 【详解】(1)证明：BA=BC,DA=DE, AB CB ADDE 又∠ADE=LABC, △ABC∽△ADE, ∠BAC=∠DAE,4C=4B-CB AE AD DE' :∠EAC=∠DAB,5B AE AC ∴△EACn△DAB,即△DBAn△ECA; (2)解：①：△EAC∽△DAB, :ZACE ZABD, 又LAOC=LD0B, △A0CnD0B, ÷888 又∠B0C=∠D0A, ∴△BOC∽△DOA, :0D OBBC 试卷第61页，共61页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AC、AB AB=CB, AE AD AC CB . AE AD' OB BC AC OD=DAAE' 又AE=2,AC=4, 8-2 ②过A作AH⊥CD于H, B OH C 在RtaACH中，AH2=AC2-CH2=42-(3+EH)2, 在Rt△AEH中，AH2=AE2-EH2=22-EH2, 42-(3+EH)2=22-EH2, 解得EH=2' 1 在R4DH中，4H=AD-DH=AD-气4D- 在RaEH中，4m=E-BH=2-（。 0-（4n-2-8,m=5 解得AD=4, 5 sin∠ADH=4H=2 5, AD 4 8 ,∠ADH=∠ABC sin ZABC=sin∠ADH= 5 8 3.(25-26九年级上·上海奉贤·期末)如图，在口ABCD中，∠B是锐角，AE⊥BC,垂足为E,对角线AC垂 试卷第60页，共61页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 直平分线MN交AD于点M,交AE的延长线于点N,交AC于点P.己知AD=8,CD=5. M D (I)在△ABE,△AEC,△APN中， ①写出与△AMN一定相似的三角形，并选一对说明理由； ②写出与△AMN不一定相似的三角形，如果它与△AMN相似，求出它们的相似比. (2)如果AE=EN,求∠B的正弦值 【答案】(1)△ABE与△MAN不一定相似，相似比为25：32或24：25 245-3 10 【分析】(1)①根据平行四边形的性质和平行线定理得AE⊥AD,利用等量代换得LNMA=∠CAE, ∠N=∠ACE,即可证明；②由题意得△ABE与△MAN不一定相似，当△ABE∽aNMA时，得 △ABE∽△C4E,结合勾股定理得B-BE=BE8-BE,求得BE=&,进而求得6=5V39 8 ,由相似 三角形的性质和等量代换得∠B4C=90°，求得AC=59,进而求得4P=39, ,再由△ABE∽△NPA,求得 2 NA=439 ,即可求解；当△BAE∽NMA时，由相似三角形的性质和等腰三角形的判定可得AB=AC=5, 5 :面得4P号再由等胺三角形的性质和勾股定理求得AE3,由△BA∽6NMP,得M3 二，进而求解 即可； (2)连接CN,根据垂直平分线的性质得AC=CN=AN,由等边三角形的性质得∠ACE=30°，设AE=x ，则AC=2x,利用勾股定理求得CE=5x,进而得BE=8-V5x,利用勾股定理列方程求得x=4W5±3， 2 进而求解即可。 【详解】(1)解：①△AEC∽△MAN,理由如下： :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, :AE⊥BC, AE⊥AD, 又：MN⊥AC, ∴∠N+∠NMA=90°，∠N+∠CAE=90°， 试卷第61页，共61页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠NMA=∠CAE, :∠AEC=∠MAN=90°， △AEC∽△MAN, △APN∽△MAN,理由如下： :∠N+CAE=90°，∠CAE+∠ACE=90°， ∠N=LACE, :∠NPA=∠CEA=90°， △APNAAEC; ②△ABE与△MAN不一定相似，当△ABE∽aNMA时， ∴△ABE∽△CAE, :AE-BE AB CE AE AC AE2=CE·BE=BE8-BE), 又：AE2=AB2-BE2, .AB2-BE2=BE(8-BE), :AD=8,CD=5, 52-BE2=BE8-BE), 25 :BE= 8, 5√39 8 :△ABE∽△CAE, ∠B=LCAE, :∠B+∠BAE=90°， ∠BAE+∠CAE=90°，即∠BAC=90°， AC=V82-52=39, ·Ap=39 2 △ABEn△NPA, 试卷第60页，共61页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25 BE_AB 、5 8 1pN4,即39 2 WM=439 5 .△ABE∽△NMA, 5V39 怨 25 5 当△BAE∽NMA时， .△BAE∽△CAE∽△NAP, .∠B=∠N=∠ACE, .AB=AC=5, .BE=BC=4, 2 :AE=V52-42=3, :MN垂直平分AC, :AP= AC=2 1 5 :△BAEn△NAP, 53 护， ABAE 即NA5, 2 :Na=2 :△BAE∽NMA, BE-4-24 ·N42525, 6 :.△ABE与△MAN不一定相似，如果它与△AMN相似，相似比为25：32或24：25； (2)解：连接CN, :AE⊥BC,AE=EN, .AC=CN :NM垂直平分AC, .AN =CN, 试卷第61页，共61页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AC=CN=AN, .△ANC是等边三角形， :AE⊥BC, ∠ACE=30°， 设AE=x,则AC=2x, .CE=3x, :BE=8-3x, 在RtaABE中，x2+8-V5x}=5, 解得x=45±3 2 当AE=x 45+3时，BE=8-5x=8-5x45+3-2-35<0,不合题意， 2 2 当AE45-2,BE=8-5=8-545-3-250,m28-4-? 4V5-3 45-3 2 2 2 ΓAB5 10 M 【点晴】本题考查相似三角形的性质与判定、垂直平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数、平行四边形 的性质、解一元二次方程、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与 判定是解题的关键。 4.(25-26九年级上·上海宝山期末)如图，已知ABC,∠ACB=90°，AC=3,BC=4,D是边AB上一 点（不与点A、B重合），BE⊥AB,且∠CDE=∠A. 图1 备用图 (I)当DE∥AC时，BE的长； 试卷第60页，共61页