专题12 二次函数综合题（解答题第24题压轴题）（上海专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题09 二次函数综合题（解答题24题压轴题） 一、解答题 1．（2026·上海长宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点． (1)已知． ①求抛物线的表达式． ②若点为该抛物线上一点，且的重心恰好落在轴上，求点的坐标． (2)坐标平面内有点，如果抛物线与线段有且只有一个公共点，求的值或取值范围． 【答案】(1)①抛物线的表达式为；②点B的坐标为或 (2)当或时，抛物线与线段有且只有一个公共点 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合三角函数、一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）①由，判断出点的坐标，利用待定系数法求函数表达式即可；②由重心的性质，结合相似三角形即可求出点的坐标； （2）结合函数图像，可判断当顶点恰好在线段上时满足该情况，结合图像判断，由于时，函数值，在点下方，故时，函数值应在点上方，也可满足抛物线与线段有且只有一个公共点，据此求出的取值和取值范围． 【详解】（1）解：①当时，， 故点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，且在轴负半轴上， ∴点的坐标为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． ②解：∵重心是三角形中线的交点，且重心将中线分割成长度为的线段，若重心在轴上，则点一定在轴的下方， 令中点为，重心为点,过点作轴交轴于点，过点作x轴交轴于点，如下图所示： 由，， 得点的坐标为 假设点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 得， 解得（图左）或（图右）， 当时，， 当时，， 故点B的坐标为或． （2）解：图象开口向下，且经过点， 由此判断当时，函数对称轴为直线， ∴当时，函数值随的增大而减小，故不可能会与线段有交点， ∴， 当抛物线时，得， 化简得 要使方程有一个解，且对应的解应在的范围内， 则， 解得或（舍去）， 当时，， 解得（舍去）或（满足）， 故当时，满足抛物线与线段有且只有一个公共点； 随着的增大，函数与线段有两个交点， ∵当时，函数值，在点下方， 当时，函数值应在点上方，即即可满足要求， 得， 解得， 综上所述，当或时，抛物线与线段有且只有一个公共点． 2．（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 【答案】(1)，顶点 (2)①；②或5 【分析】（1）将点代入抛物线，求出，进而再求顶点坐标即可； （2）①由题易得轴，，证，可得，即可得解； ②设抛物线向上平移了个单位，则，先求出，直线表达式，直线表达式，联立求出点，则，分两种情况讨论：当时，当时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴顶点； （2）解：①对于抛物线，令，得， ， ∵， 则轴，且， 过作，交延长线于点， ， ， ， 由题可知点向上平移到点， 则轴，即， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ∴点向上平移 4 个单位到点，即抛物线向上平移 4 个单位， ∴平移之后的抛物线的表达式为； ②解：设抛物线向上平移了个单位， ∴， 令，得或 6 ， ∴， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 联立， 解得， 即， ， ∵，轴，轴， ∴， ∴分两种情况讨论： 当时， 则，即， 解得； 当时， 则，即， 解得； 综上，平移的距离为5或个单位． 【点睛】本题主要考查了抛物线解析式、抛物线的几何变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（2026·上海黄浦·一模）已知二次函数的图像经过点、． (1)试用字母的代数式表示； (2)如果二次函数图像上存在点，使得直线垂直平分线段，求此二次函数的解析式； (3)试问：二次函数图像的对称轴是否可能平分线段？如果能，请求出此时二次函数的解析式；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)二次函数图像的对称轴不能平分线段，理由见解析 【分析】（1）把、代入求解即可； （2）利用勾股定理求出，利用等面积法求出，证明求出，得出，从而可求出，然后代入求解即可； （3）线段的中点坐标为，然后代入直线，判断所得方程是否有解即可． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得； （2）解：如图，设与相交于点D，作于点H， ∵、， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线垂直平分线段， ∴点D是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， 把代入，得 ， 解得， ∴； （3）解：∵、， ∴线段的中点坐标为， ∵， ∴对称轴是直线． 若图像的对称轴能平分线段，则在直线上， ∴， ∴，此方程无解， ∴二次函数图像的对称轴不能平分线段． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式，以及勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 4．（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)①②或个单位长度 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）求出点坐标，设出交点式，待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）①根据，，得到，进而得到，设直线与轴交于点，则：，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可；②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线，进而得到，，设，根据平行四边形的性质，结合中点坐标公式求出点坐标，代入新的函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一条抛物线与轴交于点、点， ∴设抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， 把代入，得，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线与轴交于点，则：， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 联立，解得或， ∴； ②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线， ∵， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， 由①知：， ∴， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴为对角线， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或； 即平移的距离为或个单位长度． 5．（2026·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的顶点为． (1)直接写出点的坐标，并用含的代数式表示顶点的坐标； (2)将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是，且与轴的交点为，连接、，如果的面积为6，求的值； (3)当点的坐标为时，如果点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)当时，点的坐标为或 【分析】（1）首先根据抛物线的对称轴即可得到点B的坐标，并将点A的坐标代入抛物线得到a与c的关系，再将对称轴代入写出顶点D的坐标即可； （2）首先写出平移后的抛物线的解析式，并表示出点E的坐标，进而得到的长度，即可表示出的面积，结合面积为6即可求解的值； （3）首先根据点的坐标为得到的值即可得到抛物线的解析式，分当点P在点A上方和当点P在点A下方进行讨论，根据构造直角三角形，即可求解直线上点E和O的坐标，即可求解直线的解析式，联立直线和抛物线即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴； ∵抛物线交轴于点， ∴，即， 将和代入，得； ∴，； （2）解：设平移后的抛物线为， ∵新抛物线与轴的交点为， ∴， ∵抛物线交轴于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴点A到y轴的距离为3， ∴， ∵的面积为6， ∴，解得：， ∵新的抛物线的最高点为点B， ∴新抛物线的开口向下， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即抛物线开口向上， ∴， ∵，， ∴， 设， 如图，当点P在点A上方时，过点A作交直线于点E，作轴于点F，作轴于点G， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴此时点G与点B重合， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得， 解得：， ∴， 联立，解得：（与点D重合，舍去），， ∴； 如图，当点P在点A下方时，过点A作交直线于点O，作轴于点M，作轴于点N， 同理可求：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得， 解得：， ∴， 联立，解得：（与点D重合，舍去），， ∴； ∴当时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查抛物线的性质、平移变换、分类讨论，根据特殊角度构造辅助线求解坐标是解题的关键． 6．（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，把抛物线向下平移1个单位长度，所得的新抛物线顶点坐标为． (1)求原抛物线的表达式； (2)若新抛物线与轴交于点，原抛物线顶点为，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平移规律结合新抛物线的顶点坐标，利用顶点式得出原抛物线解析式； （2）先求出新抛物线的解析式为，再求得，从而可求得，，得出轴，进而求得，从而可得出点到的距离为，再求得，然后利用三角形面积求得，再利用勾股定理求得，从而可求得． 【详解】（1）解：∵把抛物线向下平移1个单位长度，所得的新抛物线顶点坐标为， ∴原抛物线顶点坐标为， ∴原抛物线的解析式为， 即原抛物线的解析式为； （2）解：∵原抛物线的解析式为，把抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 又，，在平面直角坐标系上描点A，B，C三点，如图， ∴，，轴， ， ∴点到的距离为， ∴， 过点A作于点D， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了把化成顶点式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，用勾股定理解三角形，求角的正切值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 7．（2026·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c即可； （2）①先求出直线的表达式为，过P作轴，交于Q，设，则，，结合，得出方程，解方程即可； ②先求出，根据与相似，且，则分两种情况讨论：当时，或，设，则或，分别解方程求出x，即可求出P的坐标；当时，过P作于H，证明，进而判断出与相似，，则或，然后同理可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：①令，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去），， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对称轴上，且与相似， ∴当时， 或， 设， 则或， 解方程，得，， ∴， ∴， 解，得，， ∴， ∴， 当时， 过P作于H， 则， 又， ∴， 又与相似， ∴与相似，， ∴或， 同理可求或， 综上：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想和添加合适的辅助线是解答类似题的关键． 8．（25-26九年级上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点为P． (1)用含a的代数式分别表示点B、点P的坐标； (2)作过点B和点P的直线交x轴于点C． ①当a取不同的数值时，点C是否会移动？如果不会，试求出点C的坐标；如果会，试用含a的代数式表示的长； ②当a取1时，抛物线与y轴的交点记作，顶点记作，当a取时，此时抛物线与y轴的交点和顶点分别记作和，如果的补角等于的两倍时，求m的值． 【答案】(1)， (2)①不会，；② 【分析】（1）把代入求出，得出，再求出点B坐标和顶点P的坐标即可； （2）①先求出，然后令，得出，求出点，即可得出答案； ②先求出，，，，作，交于点H，过点作于点Q，求出，根据等腰三角形的判定得出，根据勾股定理得出，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， 把代入得：， ∴． （2）解：①设，将代入得： ， ∴， ∴， 令，则： ， 解得：， ∴， ∴点C不会移动，且； ②当时，， ∴，， 当时，， ∴，， ∴点，都在y轴上，，都在直线上， ∴， 如图，作，交于点H，过点作于点Q， 则，， ∵的补角等于的两倍， ∴， ∵，，，， ∴，，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 9．（2026·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)点为抛物线上的动点，过点作直线． ①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值； ②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，连接，当抛物线的顶点在内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，求二次函数的解析式，二次函数与几何综合，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由对称轴可得，进而再将代入求出值即可求出抛物线解析式，进而求出顶点坐标； （2）①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小，点即为最高点，据此求解即可； ②分两种情况或分类讨论，每种情况下当点在线段和上时为临界点，据此求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， ； （2）解：①由题可知， 当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小， 点即为最高点， 此时， 解得， 在对称轴右侧，即， ； ②当，如图， 找出临界值，点在上时， 由题可知， ， 解得或（舍去）， ； 点B在线段上时， 由题意， 设直线解析式为，代入坐标得： ， 解得 ∴解析式为， 点B在线段上时，代入坐标得： （舍去），， 综上 当点在点左侧时，即，如图， 同理可得； 点B在线段上时， 由题意， 设直线解析式为，代入坐标得： ， 解得 ∴解析式为， 点B在线段上时，代入坐标得： （舍去）， ∴ 综上，或． 10．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系xOy中（如图）．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为． (1)求点的坐标及的值； (2)将抛物线沿射线BC方向平移，得到新抛物线的顶点为． ①如果四边形是梯形，求点的坐标； ②如果，求平移后新抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2)① ② 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可求解； （2）①根据题意可知，，构造直线和直线，则交点即为所求；②构造，可得,结合直线的解析式可得交点，根据顶点式即可求解． 本题考查了二次函数的基本性质，二次函数的平移，一次函数的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】（1）解：由题可知，顶点为， 则对称轴为：， 将点代入抛物线， 则得， 解得：， 则二次函数解析式为：， 当时，， 则点，， 当时，， 解得或 则点， 故答案为：，， （2）解：①由题可知 若四边形是梯形， 则, 过点作轴，过点作轴，过点作交射线于点， 则, ∵点，，，， 设直线的表达式为：， 将点，，代入得， 解得，， 则直线的表达式为：， 设直线的表达式为：， 将点，代入得， 解得， 则直线的表达式为：， 因为抛物线沿射线BC方向平移， 则 , 设直线的表达式为：， 将点，，代入得 解得，， 则直线的表达式为：， 设直线的表达式为：， 将点，代入得， 解得， 则直线的表达式为： 则直线和直线的交点即为抛物线平移后的顶点坐标， 联立方程得， 解得 则点的坐标为 故答案为：． ②由题可得： ， ， , , 过点作， ,, ， , , ,, ,, ,,, 为矩形， , 则点的横坐标为， 由①可得直线的表达式为： 当时，， 则点， 设平移后新抛物线的表达式为， 将点代入得， 则抛物线的表达式为：． 故答案为：． 11．（2026·上海金山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，点． (1)若抛物线经过点和，求的值； (2)如果的面积小于3，求的取值范围； (3)点关于原点的对称点，连接，且，直线与抛物线交于点（点在点右侧），当与相似时，求抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴可得，再将点代入抛物线，即可求出的值； （2）根据抛物线的对称轴为直线，可得，再根据点与的位置关系，分两种情况表示的面积求解即可； （3）由中心对称的性质可知，，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，根据坐标两点的距离公式，求出的值，再根据抛物线的开口方向以及与线有两个交点，可知抛物线顶点在上方，则，从而确定，得出，，，，证明是等腰直角三角形，进而得出，再根据边角关系，推出当与相似时，只能，得到，从而得出，再代入抛物线解析式求出的值，即可得解． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过点， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线为， 将点代入抛物线可得， 解得：； （2）解：点， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 当点在上方时，， 的面积小于3， ， 解得：； 当点在下方时，， 的面积小于3， ， 解得：； 综上可知，的取值范围为； （3）解：如图，连接，，令与抛物线对称轴的交点为， ，点关于原点的对称点， ，， ，是的中点， ， ， ， 解得：或， ， 抛物线开口向下， 直线与抛物线交于点， ， ， ， ，，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，即， ，， ， ， 当与相似时，只能， ， ， ， 在点右侧， ， 将代入抛物线，得， 解得：， 抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，中心对称的性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 12．（2025学年第一学期期末学业质量调研九年级数学）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求点和点的坐标； (2)若点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，若平分，求抛物线的表达式； (3)若点是抛物线第四象限上一动点，连接、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题综合考查二次函数图象与几何性质，涉及一元二次方程解法、等腰三角形判定、三角形面积转化、相似三角形判定与性质等，融合代数运算与几何推理． （1）令，得，消去因式分解得，结合点在左侧，得、； （2）将抛物线化为顶点式得对称轴，令得，与关于对称，故，由轴得，又平分，故，即，用勾股定理列出方程求即可； （3）由，得，因两三角形共边，故，求得直线方程，联立抛物线方程解得，过、作轴垂线得，，由相似比得． 【详解】（1）解：令，则， ∵，两边除以得， 因式分解得， 解得或， ∵点在点左侧， ∴，； （2）解：如图，连接． ∵， ∴抛物线的对称轴为， 令，得，故， ∵点与关于对称， ∴， ∴，． ∵轴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，解得(舍去正值)， 故抛物线的表达式为； （3）解：由（1）（2）知，，，如图，过点作轴，过点作轴，连接． 设直线的方程为， 将代入得：，解得． ∵， ∴，即， ∵与有公共边，面积相等， ∴点、到直线的距离相等，故， 设直线的方程为， 将代入得：，解得， 所以直线的方程为． 联立，得， 整理得，解得(对应点)或， 将代入得，故， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题核心是数形结合与转化思想，（1）侧重函数与方程转化，（2）巧用角与线段关系转化，（3）通过面积转化推导平行关系，最终利用相似求比值，需注意的符号细节． 13．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）新定义：在平面直角坐标系中，抛物线上的点和它的顶点的连线，与这条抛物线的对称轴所夹的角的正切值称为抛物线上这个点的开口程度．规定抛物线顶点的开口程度为0．根据上述定义，解决以下问题： 如图，在平面直角坐标系中． (1)如果抛物线与y轴交于点P，求此抛物线上点P的开口程度 (2)已知抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），如果此抛物线上点A的开口程度，求a的值； (3)将抛物线平移，使平移后的抛物线经过抛物线的顶点M，记抛物线的顶点为N，的对称轴交于点Q，如果上点Q的开口程度与上点M的开口程度相等，均为2，且的面积为8，试求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义、二次函数的综合、锐角三角函数，（1）由题意求得抛物线的顶点、，过点P作轴于点B，得，，进而求解即可； （2）由题意求得抛物线的顶点，即，根据新定义得，进而得，把点代入求解即可； （3）根据题意得，，进而可得，由的面积为8，求得，从而求得、，即抛物线的表达式为，再把点M代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点， 把代入，得， ∴， 过点P作轴于点B， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点， ∴， ∵此抛物线上点A的开口程度， ∴， ∴， ∴， 把点代入得，， 解得，（舍去）， ∴； （3）解：如图，连接，，过点Q作垂直抛物线的对称轴，过点M作垂直抛物线的对称轴， ∵， ∴抛物线的顶点， 由题意得，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线的表达式为， 把点代入得，， 解得． 14．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． (1)求b的值和点D的坐标； (2)已知以点G为顶点的抛物线与抛物线相交． ①设抛物线、的交点为点E，在抛物线上，如果点E与点G之间的部分是上升的，求m的取值范围； ②连接，过点G作的平行线，交抛物线于点N，如果平分，求m的值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出的值，一般式化为顶点式，求出点坐标； （2）①根据抛物线的解析式得到，进而得到点在直线上移动，连接直线和抛物线的解析式，求出的值，再根据点E与点G之间的部分是上升的，得到点在点的下方时满足题意，即可得出结果； ②根据两条抛物线的值相同，得到可以看作是，平移得到，根据，得到，结合平分推出，进而推出四边形为菱形，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 令，则， ∴点在直线上运动， 令，解得， ∴直线与抛物线的交点为，即， 设点， ∵抛物线、的交点为点E，且在抛物线上，点E与点G之间的部分是上升的， ∴当点在点下方时，符合题意，即； ②∵，， ∴可以看作是平移得到， ∵为的顶点，为的顶点， ∴是由点平移得到， ∵， ∴点是由点平移得到，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得． 15．（25-26九年级上·上海崇明·期末）已知在中，，点是边上的一点，将沿着过点的直线翻折，点落在边上，记作点，折痕所在的直线与射线交于点，过点作，交射线于点． (1)如图1，当点和点重合时，求的长； (2)如图2，当点在边上时，设，求关于的函数解析式并写出定义域； (3)延长，交的延长线于点，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)，定义域为 (3)或 【分析】（1）首先在中，由、和，根据三角函数定义得，再通过勾股定理算出．因沿翻折后与重合，利用翻折性质可得、、，进而推出且．设，则、，在中，由勾股定理列方程，求解得，即； （2）由翻折性质得、、，结合得，通过“同角的余角相等”推出；再由角的和差关系得，进而判定，得到．在中，由和得，又，而，故．结合在上的边界条件，当与重合时，当与重合时，确定定义域为； （3）设，先由，根据相似得、，再分两种情况讨论等腰：①当在延长线上时，因，故，通过角的等量代换得，即，作得，结合列方程解得，进而；②当在线段上时，因，故，通过角的转化得，即，由勾股定理得，结合列方程解得，进而． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴. ∵沿着折叠得到， ∴，，， ∴，． 设，则，， 在中，由勾股定理得，解得，故； （2）解：由翻折性质知，，． ，， ，， ． ，， . ， ． 在中，，， ， 又，， ． 当点在上时，由（1），当与重合时，∴， 当点与点重合时，，∴， ∴定义域是． 综上，关于的函数解析式是，定义域是. （3）设，易得， ∴，即， ∴，． ①如图，点在的延长线上时， ∵， ∴只能，此时． 同（2）得到，， ∴，即． 又∵， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴． 在中作于，则， ∴，即， ∴， 解方程，得． 当，； ②如图，点在线段上时， ∵， ∴只能，此时， ∵， ∴，即， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题以直角三角形翻折为背景，主要考查直角三角形的性质、翻折的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的分类讨论，以及函数解析式的构建与定义域求解，重点考查几何图形中边与角的等量转化能力和分类讨论思想的应用． 试卷第44页，共45页 试卷第45页，共45页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09二次函数综合题（解答题24题压轴题） 一、解答题 1.(2026·上海长宁.一模)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=-x2+mx+2与x轴的负半轴交于点A,与 y轴交于点C. Q)已知tan∠AC0=2: ①求抛物线的表达式 ②若点B为该抛物线上一点，且△ABC的重心恰好落在x轴上，求点B的坐标。 (2)坐标平面内有点M(0,3)、N(2,3),如果抛物线y=-x2+mx+2与线段MN有且只有一个公共点，求m的 值或取值范围. 2.(2026上海徐汇一模)如图，抛物线y=r+加+c与x轴交于本B两点，与y锥交于点C.已知 A-2,0)、D(4,-6 D M (①)求抛物线的表达式及顶点M的坐标： (②)将抛物线向上平移，设点D的对应点为点E,射线BE交线段AD于点F. ①如果AD恰好平分∠CAE,求平移之后的抛物线的表达式： ②如果aDEF与△ABD相似，求平移的距离. 3.(2026上海黄浦一模)己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点A B(0,5). (1)试用字母a的代数式表示b: 试卷第45页，共45页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)如果二次函数y=ax2+bx+c图像上存在点C,使得直线AB垂直平分线段0C，求此二次函数的解析式： (3)试问：二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴是否可能平分线段AB？如果能，请求出此时二次函数的解 析式；如果不能，请说明理由. 4.(2026上海松江一模)在平面直角坐标系x0y中，一条抛物线与x轴交于点A-2,0)、点B4,0),与y 轴正半轴交于点C,顶点为点D,且OB=OC. V 4 2 1 -3-2-1,0123456x -1 -2 (1)求该抛物线的表达式和点D的坐标： (②)P是抛物线上位于第一象限内的一点，且∠PAB+∠CAB=90°. ①求点P的坐标； ②将该抛物线向右平移，点P移到点Q,新抛物线的顶点为M,如果新抛物线上存在点N,使得四边形 PMQN是平行四边形，求平移的距离. 5.(2026上海虹口一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2+2ax+c(a≠0)交x轴于点 A-3,0)和点B,交y轴于点C,抛物线的顶点为D (I)直接写出点B的坐标，并用含a的代数式表示顶点D的坐标： (②)将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是B,且与y轴的交点为E,连接AC、AE,如 果△ACE的面积为6，求a的值： (3)当点D的坐标为-1，-4时，如果点P在抛物线上，且∠ADP=45°，求点P的坐标. 6.(2026上海金山一模)在平面直角坐标系x0y中，把抛物线y=x2+bx+c向下平移1个单位长度，所得 试卷第44页，共45页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的新抛物线顶点坐标为A(-2,1). (①)求原抛物线的表达式； (②)若新抛物线与y轴交于点C,原抛物线顶点为B,求∠ACB的正切值. 7.(2026·上海嘉定·一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点 A-1,0)和C,与y轴交于点B(0,3),顶点为D,连接AB、BC. B (1)求抛物线的表达式： (②)点P是抛物线上对称轴右侧的点. ①当点P在上方时，连接PB、PC,如果Smc,求点P的坐标 ②如果点E在对称轴上，且使△PDE与AOB相似，请直接写出点P的坐标. 8.(25-26九年级上上海普陀期末)在平面直角坐标系x0y中（如图），已知抛物线y=ax+2)+k(a>0 与x轴交于点A-5,0),与y轴交于点B,顶点为P. (I)用含a的代数式分别表示点B、点P的坐标； (②)作过点B和点P的直线交x轴于点C. ①当α取不同的数值时，点C是否会移动？如果不会，试求出点C的坐标；如果会，试用含a的代数式表 示OC的长： ②当a取1时，抛物线与y轴的交点记作B,顶点记作，当a取m(0<m<1)时，此时抛物线与y轴的交 点和顶点分别记作B和Pm,如果∠PB的补角等于∠PnPB的两倍时，求m的值. 026上海闵行一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，揽物线C:y)产+bx+c(、c是 试卷第45页，共45页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 经过点A5,-6),对称轴为直线x=1,顶点为B. 1 (1)求抛物线C的函数表达式及点B的坐标. (2)点M为抛物线C上的动点，过点M作直线x=m ①当点M在对称轴右侧时，抛物线在直线x=m右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为2-m,求的 值； ②当点M不在坐标轴上时，直线x=m交抛物线C:y=x2-2x-3于点P,过点P作y轴垂线，垂足为点D, 在线段PD的延长线上截取DQ=2PD,连接MQ,当抛物线C的顶点B在△PQM内部时，直接写出m的取 值范围. 10.(25-26九年级上：上海奉贤·期末)在平面直角坐标系xOy中（如图）.抛物线y=ax2+br+3(a≠0)与x轴 交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,顶点为D(1,m). (1)求点B的坐标及m的值： (2)将抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)沿射线BC方向平移，得到新抛物线的顶点为E. ①如果四边形ABDE是梯形，求点E的坐标； ②如果∠EAC=∠CBD,求平移后新抛物线的表达式. 11.(2026上海金山一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，己知抛物线y=ax2-2ax+an2+2n+1(a<0 的顶点为A,点B(-1,1)、C(3,1. 试卷第44页，共45页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 01 (I)若抛物线经过点B和C,求a的值； (2)如果ABC的面积小于3，求n的取值范围； (3)点A关于原点的对称点D,连接AC、CD,且AC⊥CD,直线BC与抛物线交于点E、F(点E在点C右 侧)，当△ACE与aCDE相似时，求抛物线的表达式. 12.(2025学年第一学期期末学业质量调研九年级数学)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线 y=ar2+2ax-3aa<0)与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,抛物线的顶点为D D个 备用图 (I)求点A和点B的坐标： (②)若点E与点C关于抛物线的对称轴对称，连接AE,AC,若AC平分LEA0,求抛物线的表达式： (3)若点P是抛物线第四象限上一动点，连接AD、AC、DP、CP,线段DP与线段AC交于点F,与x轴 交于点G,当S0=Sm时，求DG的值 GP 13.(25-26九年级上·上海浦东新·期末)新定义：在平面直角坐标系中，抛物线上的点和它的顶点的连线， 与这条抛物线的对称轴所夹的角的正切值称为抛物线上这个点的开口程度.规定抛物线顶点的开口程度为0. 根据上述定义，解决以下问题： 如图，在平面直角坐标系xOy中 试卷第45页，共45页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 -3-2-10123 -1 -2 -3 (1)如果抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点P,求此抛物线上点P的开口程度kp (2)已知抛物线y=x2-4x+a与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，如果此抛物线上点A的开口程度 k4=1,求a的值； (3)将抛物线C:y=mx2-2mx+nm>0)平移，使平移后的抛物线C,经过抛物线C的顶点M,记抛物线C,的 顶点为N,C,的对称轴交C于点Q,如果C上点Q的开口程度与C:上点M的开口程度相等，均为2，且 △QMN的面积为8，试求m的值. 14.(25-26九年级上上海青浦期末)如图，平面直角坐标系x0y中，己知抛物线M,:y=-x2+bx+3与x 轴交于点A(-1,0)、B,与y轴交于点C,抛物线M的顶点为点D. O (1)求b的值和点D的坐标： (2)已知以点G为顶点的抛物线M2:y=-（x-m)+5-m与抛物线M1相交. ①设抛物线M,、M2的交点为点E,在抛物线M2上，如果点E与点G之间的部分是上升的，求m的取值 范围； ②连接AD、AG,过点G作AD的平行线，交抛物线M2于点N,如果AG平分∠NAD,求m的值. 5.2526九年级上海景明期末)已知在R△4BC中，ZA=90°AB8anB，点E是AB边上的 试卷第44页，共45页 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 一点，将ABC沿着过点E的直线翻折，点A落在BC边上，记作点D,折痕所在的直线与射线AC交于点 F,过点D作DG⊥BC,交射线BA于点G. C(F) D A E(G) B A GE B A B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点F和点C重合时，求AE的长； (2)如图2，当点F在边AC上时，设BD=x,tan∠AFE=y,求y关于x的函数解析式并写出定义域； (3)延长DG,交CA的延长线于点H,当△DFH是以DH为腰的等腰三角形时，求EG的长， 试卷第45页，共45页