【5年中考压轴真题】2022～2026年陕西省选择题、填空题、解答题汇编

**基本信息** 2022-2026年陕西省中考压轴真题汇编，涵盖选择、填空、解答题共27题，聚焦二次函数性质、几何图形综合及实际应用问题，适配一轮复习核心考点巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|9题|二次函数图像与性质（如第1题鱼射水流抛物线求最值）|情境真实，结合生物现象考查数学建模| |填空题|9题|平行四边形、菱形等几何计算（如第10题旋转线段求三角形面积）|融合旋转、全等与面积计算，强调空间观念| |解答题|9题|综合应用（如第19题从直角三角形中线到游乐场环道设计）|采用“问题探究-问题解决”结构，梯度分明，对接中考命题趋势|

【5年中考压轴真题】2022~2026年陕西省选择题、填空题、解答题汇编 一．选择题（共9小题） 1．（2026•陕西）·【较易】某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　） A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm 2．（2024•陕西）·【较易】关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•陕西）·【较易】在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（　　） A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值 4．（2022•陕西）·【较易】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 5．（2022•陕西）·【较易】若二次函数y＝x2+2x+3m﹣1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（　　） A．m B．m＜2 C．m＜﹣2或m D．m＜2 6．（2025•陕西）·【中档】在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 7．（2025•陕西）·【中档】已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0），当x＞0时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是（　　） A．ab＜0 B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程ax2+bx+1＝0没有实数根 D．该函数的最大值不小于﹣3 8．（2024•陕西）·【中档】已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 9．（2023•陕西）·【中档】如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … ﹣3 0 3 5 … y … 16 ﹣5 ﹣8 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（　　） A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值﹣8 C．图象与x轴的一个交点是（﹣1，0） D．图象开口向下 二．填空题（共9小题） 10．（2026•陕西）·【中档】如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝6．点E为BC的中点，连接AE，将AE绕点A逆时针旋转60°至AF，连接DF，则△ADF的面积为 　 　 ． 11．（2024•陕西）·【中档】如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，过点A作AE⊥AB，与BD相交于点E，连接CE，则四边形ABCE的面积为 　 　 ． 12．（2023•陕西）·【中档】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN＝4．则线段PC的长为 　 　 ． 13．（2023•陕西）·【中档】如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在AD的延长线上，且DE＝2，过点E作直线l分别交边CD，AB于点M，N．若直线l将▱ABCD的面积平分，则线段CM的长为 　 　 ． 14．（2022•陕西）·【中档】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 　 　 ． 15．（2022•陕西）·【中档】如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠D＝60°．点P为边CD上一点，且不与点C，D重合，连接BP，过点A作EF∥BP，且EF＝BP，连接BE，PF，则四边形BEFP的面积为 　 　 ． 16．（2025•陕西）·【中档】如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为 　 　 ． 17．（2024•陕西）·【中档】如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且 BF＝AE，连接CF．若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为 　 　 ． 18．（2025•陕西）·【较难】如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，点E，N，F，M分别在边AB，BC，CD，DA上，且EF，MN将▱ABCD分成面积相等的四部分．若BE＝1，则MN的长为　 　 ． 三．解答题（共9小题） 19．（2025•陕西）·【中档】问题探究 （1）在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝8，AD为BC边上的中线，则AD的长为　 　 ； （2）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝6，P为边BC上一点，PM⊥AC，PN⊥AB，垂足分别为M，N，连接MN，求MN的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形ABCD是一个游乐场的平面示意图，出入口在点B处．已知∠DAB＝∠ADC＝90°，AB＝800m，AD＝CD＝600m．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由MN，NP，PQ，QM四条直步道连接而成的观景环道及服务中心O，其中，点M在边CD上，点N在边AD上，点P，Q在边AB上，点O为MN的中点． 按照设计要求，MN的长为400m，PQ的长为80m，在点B与点O之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当BO最小时NP+MQ的最小值及此时BQ的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 20．（2023•陕西）·【较难】（1）如图①，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值； （2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝10000m，BC＝DE＝6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长． 21．（2023•陕西）·【较难】（1）如图①，∠AOB＝120°，点P在∠AOB的平分线上，OP＝4．点E，F分别在边OA，OB上，且∠EPF＝60°，连接EF．求线段EF的最小值； （2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥的中点，桥下水面的宽度AB＝24m，点P到水面AB的距离PH＝8m．点P1，P2均在上，，且P1P2＝10m，在点P1，P2处各装有一个照明灯，图中△P1CD和△P2EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P1，P2左右转动，且光束始终照在水面AB上．即∠CP1D，∠EP2F可分别绕点P1，P2按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP1D＝∠EP2F＝90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答） 22．（2022•陕西）·【较难】问题提出 （1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为 　 　 ． 问题探究 （2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积． 问题解决 （3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD； ②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E； ③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP． 请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论． 23．（2024•陕西）·【较难】问题提出 （1）如图①，在△ABC中，AB＝15，∠C＝30°，作△ABC的外接圆⊙O，则的长为 　 　 ；（结果保留π） 问题解决 （2）如图②所示，道路AB的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段AD，AC和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口．已知点E在AC上，且AE＝EC，∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，AB＝1200m，AD＝BC＝900m，现要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°．再在线段AB上选一个新的步道出入口点F，并修道三条新步道PF，PD，PC，使新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分． 请问：是否存在满足要求的点P和点F？若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 24．（2024•陕西）·【较难】问题提出 （1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 　 　 ； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由． 25．（2026•陕西）·【难】问题探究 （1）如图①，AD是△ABC的角平分线，若S△ABD：S△ACD＝3：2，则AB：AC的值为　 　 ； （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D，E在边BC上．若BE•CD＝AB2，求∠DAE的度数； 问题解决 （3）为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道． 如图③所示，四边形ABCD区域为农田，AQ，DP为小路，小路的出口P，Q分别在农田边界AB，BC上，AQ与DP相交于点M，点M为蓄水池，点B为水源接入口，BM为地下输水管道．根据种植需求，△ADP区域与△ABQ区域的面积之比为25：36，为了节约成本，还需使地下输水管道BM最短． 已知AD∥BC，AB⊥BC，AD＝400m，AB＝480m，BC＝720m，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道BM最短时，四边形MQCD区域的面积．（结果精确到1m2．小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计）． 26．（2025•陕西）·【难】问题探究 （1）如图①，在△ABC中，请画出一个▱BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P为矩形ABCD内一点，且满足S△BPC＝9，△BPC周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q分别在边AB，AC上，且满足BP：AQ＝2：3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大．已知AB＝120m，AC＝BC＝180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 27．（2022•陕西）·【难】问题提出 （1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．若点P是边AC上一点，则BP的最小值为 　 　 ； 问题探究 （2）如图②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，点E是BC的中点．若点P是边AC上一点，试求PB+PE的最小值； 问题解决 （3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知AD＝2000米，CD＝1000米，∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝150°．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此时BE，DF的长．（路面宽度忽略不计） 【5年中考压轴真题】2022~2026年陕西省选择题、填空题、解答题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．【解答】解：∵y＝﹣0.1x2+6x＝﹣0.1（x﹣30）2+90， ∴当x＝30时，y取得最大值90， 即这条鱼此次射出的水流的最大高度是90cm， 故选：C． 2．【解答】解：当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0， 函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，故选项D错误； y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1， 函数图象的对称轴为x＝m，因为m＞1，所以选项A错误； 当x＝m时，函数值为y＝﹣1，因此选项B错误，选项C正确． 故选：C． 3．【解答】解：由题意可得：6＝m2﹣m， 解得：m1＝3，m2＝﹣2， ∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧， ∴m＞0， ∴m＝3， ∴y＝x2+3x+6， ∴二次函数有最小值为：． 故选：D． 4．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）， 当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0）， ∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3， 故选：D． 5．【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+3m﹣1经过第一、二、三象限， ∴Δ＝（2）2﹣4（3m﹣1）＞0且3m﹣1≥0， 解得m＜2． 故选：D． 6．【解答】解：由题意可得， ∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号， ∴， 解得0＜a＜3， ∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3， ∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3， ∵0＜a＜3， ∴此时y＜0，故D符合题意； 故选：D． 7．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0），当x＞0时，y的值随x值的增大而减小， ∴图象开口向下，对称轴不在y轴的右侧， ∴0，a＜0， ∴b≤0， ∴ab≥0，故A选项错误，不合题意； ∵对称轴不在y轴的右侧， ∴该函数图象的顶点不在y轴的右侧，故选项B错误，不合题意； ∵b≤0，a＜0， ∴b2﹣4a＞0， ∴方程ax2+bx+1＝0中，Δ＝b2﹣4a＞0， ∴方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，故选项C错误，不合题意； ∵抛物线开口向下，交y轴于点（0，﹣3）， ∴函数的最大值y≥﹣3，选项D正确，符合题意． 故选：D． 8．【解答】解：由题知， ， 解得， 所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x． 因为a＝﹣1＜0， 所以抛物线的开口向下． 故A选项不符合题意． 因为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， 所以当x＞1时，y随x的增大而减小． 故B选项不符合题意． 令y＝0得， ﹣x2+2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2， 所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）． 又因为抛物线的顶点坐标为（1，1）， 所以抛物线经过第一、三、四象限． 故C选项不符合题意． 因为二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1． 故D选项符合题意． 故选：D． 9．【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， 由题意知， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣5）（x+1）＝（x﹣2）2﹣9， ∴函数的图象开口向上，顶点为（2，﹣9），图象与x轴的交点是（﹣1，0）和（5，0）， ∴顶点在第四象限，函数有最小值﹣9， 故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意． 故选：C． 二．填空题（共9小题） 10．【解答】解：如图所示，连接EF，延长EC到点G，使EG＝AB，连接FG，过点F作BC的垂线，交BC于点M，交AD于点H，过点A作AN⊥BC交BC于点N， ∵AE绕点A逆时针旋转60°至AF， ∴AE＝AF，∠EAF＝60°， ∴△EAF为等边三角形， ∴AE＝EF，∠AEF＝60°， 又∵∠B＝60°， ∴∠BAE+∠AEB＝120°，∠FEG+∠AEB＝120°， ∴∠BAE＝∠GEF， 在△BAE和△GEF中， ， ∴△BAE≌△GEF（SAS）， ∴FG＝BE，∠FGE＝∠B＝60°， ∵AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点， ∴EG＝AB＝4，， ∴在Rt△FGM中，FG＝3，∠FGE＝60°， ∴， 解得， 在Rt△ABN 中，AB＝4，∠B＝60°， ∴， 解得， ∵四边形ABCD是平行四边形，AN⊥BC，MH⊥BC， ∴，AD＝BC＝6， 则， ∴， 故答案为：． 11．【解答】解：如图，连接AC与BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD4， 在Rt△AOB中，由勾股定理得，， ∴AC＝2OA＝6， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠EOA＝90°， ∴∠OAE+∠OEA＝90°， ∵AE⊥AB， ∴∠OAB+∠OAE＝90°， ∴∠OAB＝∠OEA， ∴△OAB∽△OEA， ∴， ∴， ∴OE， ∴BE＝OB+OE＝4， ∴四边形ABCE的面积为， 故答案为：． 12．【解答】解：如图，过点P分别作PF⊥DC，PG⊥BC，PH⊥AB， ∵DE＝CD＝3，∠D＝90°， ∴∠ECD＝45°， ∴∠ECB＝45°， ∴PG＝PF， ∵PM≥PH，PN≥PG， ∴PM+PN≥PH+PG＝4， ∵PM+PN＝4， ∴PM与PH重合，PN与PG重合， ∴四边形PHBG为正方形， ∴PH＝PG＝2， ∴PC＝2． 故答案为：2． 13．【解答】解：连接AC交l于点O． ∵直线l将▱ABCD的面积平分，AC为▱ABCD的对角线， ∴O为AC的中点，为平行四边形的中心． ∴OA＝OC． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠NAO＝∠MCO，． 又∠AON＝∠COM， ∴△AON≌△COM（ASA）． ∴AN＝CM． ∴． 又ED＝2，AD＝4，AB＝3， ∴． ∴CM． 故答案为：． 14．【解答】解：连接AC交BD于O， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC， 由勾股定理得：OA， ∵ME⊥BD，AO⊥BD， ∴ME∥AO， ∴△DEM∽△DOA， ∴，即， 解得：ME， 同理可得：NF， ∴ME+NF， 故答案为：． 15．【解答】解：如图，连接AC、AP， ∵四边形ABCD是菱形，∠D＝60°， ∴AB＝BC＝12，∠ABC＝∠D＝60°，AB∥CD， ∴△ABC是等边三角形， 过C作CG⊥AB于点G，过P作PH⊥AB于点H， 则CG＝PH， ∵S△ABPAB•PH，S△ABCAB•CG， ∴S△ABP＝S△ABC， ∵CG⊥AB， ∴BG＝AGAB＝6， ∴CG6， ∵EF∥BP，且EF＝BP， ∴四边形BEFP是平行四边形， ∴S平行四边形BEFP＝2S△ABP， ∵S菱形ABCD＝2S△ABC， ∴S平行四边形BEFP＝S菱形ABCD＝AB•CG＝12×672， 故答案为：72． 16．【解答】解：如图，连接AP，并延长交BC于H， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°， ∴∠BAD＝120°， ∵△MNP是等边三角形， ∴MP＝PN，∠PMN＝∠PNM＝60°，△MNP的面积MP2， ∵AM＝AN，AP＝AP， ∴△AMP≌△ANP（SSS）， ∴∠BAP＝∠DAP＝60°，∠APM＝∠APN＝30°， ∴∠AMP＝90°， ∴MPAM，AP＝2AM， ∴MPAP， ∴△MNP的面积AP2， ∴当AP最大时，△MNP的面积的面积最大， ∵∠B＝∠BAH＝60°， ∴△ABH是等边三角形， ∴AB＝AH＝6， ∵AM＝AN，MP＝NP， ∴点P在AH上运动， ∵点P始终在▱ABCD的内部或边上． ∴AP的最大值为AH的长， 即AP＝6， ∴AM＝AN＝3， ∴DN＝5， 故答案为：5． 17．【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BF∥AC， ∴∠ACB＝∠CBF， ∴∠ABC＝∠CBF， ∴BC平分∠ABF， 过点C作CM⊥AB，CN⊥BF， 则：CM＝CN， ∵，，且BF＝AE， ∴S△CBF＝S△ACE， ∴四边形EBFC的面积＝S△CBF+S△CBE＝S△ACE+S△CBE＝S△CBA， ∵AC＝13， ∴AB＝13， 设AM＝x，则BM＝13﹣x， 由勾股定理，得：CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2， ∴132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形EBFC的面积为60， 故答案为：60． 解法二：过点A作AH⊥BC，可得AH＝12，得出． 18．【解答】解：过A作AH⊥BC于点H， ∵∠B＝60°， ∴在Rt△ABH中，， ∴， ∵EF，MN将▱ABCD分成面积相等的四部分， ∴每部分面积为，交点即为平行四边形的中心O， 在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，AD∥BC， ∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝4，∠B＝∠D＝60°，∠ABD＝∠DBC， 连接BD， ∴BD经过中心点O， ∴OB＝OD， ∵∠DOF＝∠EOB， ∴△DOF≌△EOB（AAS）． 同理得：△DOM≌△BON（AAS）， ∴BN＝DM，DF＝BE＝1． 设BN＝x， 过E作EQ⊥BC于点Q， 在Rt△EBQ中，， ∴， 过E作EG⊥AM于MA延长线上点G， 又∵∠A＝120°， ∴∠GAE＝180°﹣120°＝60°，且AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3． 在Rt△EGA中，， ∴S△AEM， 又∵平行四边形的对称性与面积平衡可得，S△BEN＝S△AEM， ∴， 解得x＝4.5， ∴AM＝6﹣x＝6﹣4.5＝1.5． 过M作MP⊥BC交BC于P，过A作AH⊥BC于点H， 则， ∴HP＝AM＝1.5，． ∴PN＝BN﹣BH﹣HP＝4.5﹣2﹣1.5＝1． 在Rt△MPN中，由勾股定理：； 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 19．【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥AB，交AB于点E， ， ∵AD为BC边上的中线， ∴点D为BC中点，即CD＝BDAB＝4， ∵DE⊥AB， ∴∠BED＝∠AED＝90°， 在△BED和△BAC中， ∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BAC＝90°， ∴△BED～△BAC， ∴，即点E为AB的中点， ∴AE＝BE， 在Rt△BED和Rt△AED中， ∵AE＝BE，∠BED＝∠AED＝90°，DE＝DE， ∴Rt△BED≌Rt△AED， ∴AD＝BD＝4， 故答案为：4； （2）∵PM⊥AC，PN⊥AB，∠BAC＝90°， ， ∴四边形ANPM为矩形， 连接AP，则MN＝AP， 过点A作AP′⊥BC于点P′， ∴AP≥AP′． 在Rt△ABC中， ∵S△ABCAB×ACAP'×BC， ∵，AB＝6，BC＝4， ∴， MN的最小值为； （3）连接BO，DO，DB， 则DO＝200，DB＝1000， ， ∵BO≥DB﹣DO， ∴当D，O，B三点共线时BO最小， 在DB上顺次截取DO1＝O1E＝200，作EN1⊥AD，EM1⊥CD， 则四边形N1EM1D为矩形， 在△DN1E∽△DAB中， ∵∠ADB＝∠N1DE，∠DN1E＝∠DAB， ∴△DN1E∽△DAB， ∴， 解得：DN1＝240， DM1＝N1E＝320＜600， 作点N1关于AB的对称点N2，作N2N3⫫PQ，连接M1N3， ， ∴N1P+M1Q＝N2P+M1Q＝N3Q+M1Q≥M1N3， ∴M1N3与AB的交点Q1即为所确定的位置． 作M1F⊥N2N3，M1F交AB于点G，得矩形N2FM1D． 在Rt△M1N3F中， N3F＝DM1﹣N2N3＝320﹣80＝240， M1F＝DA+AN2＝600+（600﹣240）＝960， ∴， 在△M1Q1G和△M1N3F中， ∵∠Q1M1G＝∠N3M1F，∠M1GQ1＝∠M1FN3＝90°， ∴△M1Q1G∽△M1N3F ∴， ∴Q1G＝150， ∴BQ1＝AB﹣AG+Q1G＝800﹣320+150＝630， ∴当BO最小时，NP+MQ的最小值为，此时BQ的长为630m． 20．【解答】解：（1）如图①，连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'， 则 OP+PM≥OM． ∵⊙O半径为4， ∴PM≥OM﹣4≥OM'﹣4， ∵OA＝OB．∠AOB＝120°， ∴∠A＝30°， ∴OM'＝AM'•tan30°＝12tan30°＝4， ∴PM≥OM'﹣4＝44， ∴线段PM的最小值为44； （2）如图②，分别在BC，AE上作BB'＝AA'＝r＝30（m）， 连接A'B'，B'O、OP、OE、B′E． ∵OM⊥AB，BB'⊥AB，ON＝BB'， ∴四边形BB'ON是平行四边形． ∴BN＝B′O． ∵B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E， ∴BN+PE≥B'E﹣r， ∴当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值． 作⊙O'，使圆心O'在B'E上，半径r＝30（m）， 作O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H． ∴O'H∥A'E， ∴△B'O'H∽△B'EA'， ∴， ∵⊙O'在矩形AFDE区域内（含边界）， ∴当⊙O'与FD相切时，B′H最短，即B′H＝10000﹣6000+30＝4030（m）． 此时，O′H也最短． ∵M'N'＝O'H， ∴M'N'也最短． ∴O'H4017.91（m）， ∴O'M'＝O'H+30＝4047.91（m）， ∴此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长为4047.91m． 21．【解答】解：（1）过P作PC⊥OB于点C，作PD⊥OA于D，如图： ∵∠AOB＝120°，∠EPF＝60°， ∴∠OEP+∠OFP＝180°， ∵∠OEP+∠PED＝180°， ∴∠OFP＝∠PED，即∠PFC＝∠PED， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OB，PD⊥OA， ∴PC＝PD， ∵∠PCF＝∠PDE＝90°， ∴△PCF≌△PDE（AAS）， ∴CF＝DE， ∴OE+OF＝（OD﹣DE）+（OC+CF）＝OD+OC， ∵∠POD＝∠POC＝60°， ∴∠OPD＝∠OPC＝30°， ∴OD＝OCOP＝2， ∴OE+OF＝4， 设OF＝x，则OE＝4﹣x， 过F作FG⊥AO于G，如图： ∵∠OFG＝∠AOB﹣∠G＝120°﹣90°＝30°， ∴OGx，GFx， ∴EG＝OE+OG＝4x， ∴EF， ∴当x＝2时，EF取最小值2， ∴线段EF的最小值是2； （2）当整个水面AB都被灯光照到时， ①C与A重合，F与B重合，设PH交P1P2于K，圆心为O，连接HO，AO，P1O，过P1作P1T⊥AB于T，如图： ∵点P是拱桥的中点，PH⊥AB， ∴O，P，H共线，AH＝BHAB＝12m， 设⊙O半径为rm，则OH＝OP﹣PH＝（r﹣8）m， 在Rt△AHO中，AH2+OH2＝OA2， ∴122+（r﹣8）2＝r2， 解得r＝13， ∴OP1＝13m， ∵，且P1P2＝10m， ∴P1K＝P2K＝5m， ∴OK12（m）， ∴PK＝OP﹣OK＝13﹣12＝1（m）， ∴KH＝PH﹣PK＝8﹣1＝7（m）， ∴P1T＝KH＝7m， ∵AT＝AH﹣TH＝12﹣5＝7（m）， ∴AT＝P1T， ∴∠P1AT＝45°， ∵∠CP1D＝90°，即∠AP1D＝90°， ∴△AP1D是等腰直角三角形， ∴AD＝2AT＝14（m），即CD＝14m， ∴DB＝AB﹣AD＝24﹣14＝10（m）， 同理可得BE＝14m，即FE＝14m， ∴DE＝EF﹣DB＝14﹣10＝4（m）， ∴这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m； ②当E与A重合，D与B重合时，如图： ∵AT＝P1T＝7m＝P2M，P1P2＝10m， ∴AM＝AT+TM＝17m， ∴AP2（m）， ∵cos∠P2AM， ∴， ∴AF， 同理BC， ∴CF＝AF+BC﹣AB24（m）； ∴这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为m； 综上所述，这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m或m． 22．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵AD是等边△ABC的中线， ∴∠PAC∠BAC＝30°， ∵AP＝AC， ∴∠APC（180°﹣30°）＝75°， 故答案为：75°； （2）如图2，连接PB， ∵AP∥BC，AP＝BC， ∴四边形PBCA为平行四边形， ∵CA＝CB， ∴平行四边形PBCA为菱形， ∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°， ∴BE＝PB•cos∠PBC＝3，PE＝PB•sin∠PBC＝3， ∵CA＝CB，∠C＝120°， ∴∠ABC＝30°， ∴OE＝BE•tan∠ABC， ∴S四边形OECA＝S△ABC﹣S△OBE 6×33 ； （3）符合要求， 理由如下：如图3，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F， ∵CA＝CD，∠DAC＝45°， ∴∠ACD＝90°， ∴四边形FDCA为正方形， ∵PE是CD的垂直平分线， ∴PE是AF的垂直平分线， ∴PF＝PA， ∵AP＝AC， ∴PF＝PA＝AF， ∴△PAF为等边三角形， ∴∠PAF＝60°， ∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°， ∴裁得的△ABP型部件符合要求． 23．【解答】解：（1）连接OA、OB，如图1， ∵∠C＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△OAB等边三角形， ∵AB＝15， ∴OA＝OB＝15， ∴的长为25π， 故答案为：25π； （2）存在满足要求的点P和点F，此时PF的长为（3001200）m．理由如下： ∵∠DAB＝60°，∠ABC＝120°， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC＝900m， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°， ∴点P在以O为圆心，CD为弦，圆心角为120°的圆上，如图2， ∵AE＝EC， ∴经过点E的直线都平分四边形ABCD的面积， ∵新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分， ∴直线PF必经过CD的中点M， ∴ME是△CAD的中位线， ∴ME∥AD， ∵MF∥AD，DM∥AF， ∴四边形AFMD是平行四边形， ∴FM＝AD＝900m， 作CN⊥PF于点N， ∵四边形AFMD是平行四边形，∠DAB＝60°， ∴∠PMC＝∠DMF＝∠DAB＝60°， ∵CMCDAB＝600m， ∴MN＝CM•cos60°＝300m， ∴CN＝CM•sin60°＝300m， ∵∠PMC＝∠DPC＝60°， ∴△PMC∽△DPC， ∴，即， ∴PC2＝720000， 在Rt△PCN中，PN300（m）， ∴PF＝300300+900＝（3001200）m， ∴存在满足要求的点P和点F，此时PF的长为（3001200）m． 24．【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝8， 由勾股定理得：BC17． 由三角形的面积得：S△ABCAB•ACBC•AD， ∴AB•AC＝BC•AD， ∴AD． 故答案为：． （2）可以． ∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆， ∴所求圆的圆心是△ABC的内心， 作∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点O， 则点O就是裁出的最大圆型部件的圆心O的位置， 过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，如图所示： 设BM＝xcm，⊙O的半径为Rcm， ∵AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm， ∴CM＝（160﹣x）cm， 在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM2＝AB2﹣BM2＝1002﹣x2， 在Rt△ACM中，由勾股定理得：AM2＝AC2﹣CM2＝1402﹣（160﹣x）2， ∴1002﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2， 解得：x＝50， ∴AM（cm）， ∴S△ABCBC•AM（cm2） ∵点O为△ABC的内心， ∴OH＝OP＝OQ＝Rcm， ∵S△OBC+S△OCA+S△OAB＝S△ABC， ∴BC•OHAC•OPAB•OQ， 即（100+160+140）R， ∴R． 25．【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB，DG⊥AC，垂足为点E，G， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴DE＝DG， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵∠BAC＝80°，AB＝AC， ∴， ∵BE•CD＝AB2， ∴BE•CD＝AB•AC， ∴， ∴△ABE∽△DCA， ∴∠BEA＝∠CAD， ∴∠BEA﹣∠EAC＝∠CAD﹣∠EAC， ∴∠C＝∠DAE＝50°； （3）∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵∠DAP＝∠ABQ＝90°， ∴△DAP∽△ABQ， ∴∠ADP＝∠BAQ， ∴∠ADP+∠MAD＝∠BAQ+∠MAD＝∠BAD＝90°， ∴∠AMD＝90°， 取AD的中点E，连接ME，BE，则， ∴点M的轨迹为以E为圆心，AD为直径的一段圆弧，EM＝AE＝200， ∵BM+ME≥BE， ∴BM≥BE﹣ME， ∴当点B，M，E三点共线时，BM取得最小值，如图： 过点M作MF⊥AD交AD，BC于点F，G， ∵∠BAD＝90°， ∴， ∴此时 BM＝BE﹣EM＝520﹣200＝320， ∵AD∥BC，MF⊥AD， ∴MG⊥BQ， ∴四边形ABGF是矩形， ∴FG＝AB＝480， ∵AD∥BC， ∴△AEM∽△QBM， ∴， ∴， ∴QB＝320，， ∴CQ＝BC﹣QB＝720﹣320＝400＝AD， ∵AD∥BC， ∴四边形AQCD是平行四边形， ∴S四边形MQCD＝S▱AQCD﹣S△AMD， 答：当地下输水管道BM最短时，四边形MQCD区域的面积为155077m2． 26．【解答】解：（1）依题意，先作∠ADE＝∠B，DE交AC于点E，得出DE∥BF， 再以点B为圆心，以DE的长为半径画弧，交线段BC于一点F， 连接EF，则DE＝BF， ∵DE∥BF， ∴四边形BDEF是平行四边形， 即▱BDEF如图所示： （2）如图，过P点作PH⊥BC于点H， ∵S△BPC＝9，BC＝6， ∴， 解得PH＝3， 过点P作MN∥BC且分别与AB，CD交于M，N，即P在线段MN上运动的， 则C△BPC＝BP+CP+BC＝BP+CP+6， 当BP+CP有最小值时，则△BPC的周长有最小值， 作B点关于MN的对称点B'， ∴BM＝B'M＝3，B'P＝BP， ∴BP+CP＝B'P+CP≥B'C， 当B'，P，C三点共线时，BP+CP有最小值，即B'C的长，即△BPC的周长有最小值， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△BB'C中，B'B＝6，BC＝6， ∴， 此时△BPC的周长； （3）如图，取AB的中点M，取AC的中点N，连接MN， ∴MN是△ABC的中位线， 过点P作PD∥AC， ∴∠BAC＝∠BPD， 又∵∠ABD＝∠PBD， ∴△PBD∽△ABC， ∴，即， ∵， ∴AQ＝PD， ∵PD∥AC， ∴四边形APDQ是平行四边形， 连接AD， ∵O是PQ的中点，且四边形APDQ是平行四边形， ∴AO＝OD， ∴O是AD的中点， 过A点作AH⊥BC于点H，过点O作OE⊥BC于点E， ∴∠AHD＝∠OED＝90°， ∵∠ADH＝∠ODE， ∴△ADH∽△ODE， ∴， ∵AB＝120m，AC＝BC＝180m， ∴AH为定值， ∴OE为定值， 则点O在△ABC的中位线MN上运动，作△BOC的外接圆⊙T， 当且仅当⊙T与MN相切时，∠BOC的值最大， ∠BO'C＝∠BFC＝∠BOC+∠OBF， 故∠BO'C＝∠BFC＞∠BOC， 如图，连接CM，作MK⊥BC于点K，O'L⊥BC于点L，连接O'T，LT， ∵⊙T与MN相切于点O'， ∴∠MO'T＝90°， ∵O'L⊥BC于点L， ∴∠BLO'＝90°， ∵MN∥BC， ∴∠MO'L＝90°． 故O'，L，T三点共线， ∴∠BLT＝180°﹣∠BLO'＝90°，则BC⊥LT， ∴， ∵BC＝AC＝180m，M是AB的中点， ∴，CM⊥AB， ∴， 即， ∴BK＝20（m）， ∴， ∵点M是AB的中点M，O是AD的中点， ∴MO是三角形ABD的中位线， ∴BD＝2MO'＝140m，， ∴． 27．【解答】解：（1）过B作BP⊥AC于P，如图： 由垂线段最短可知，BP⊥AC时，BP的值最小， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， ∵2S△ABC＝AB•BC＝AC•BP， ∴BP， 故答案为：； （2）作E关于直线AC的对称点E'，连接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，如图： ∵E，E'关于直线AC对称， ∴PE＝PE'， ∴PB+PE＝PB+PE'， ∵B，P，E'共线， ∴此时PB+PE最小，最小值为BE'的长度， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴∠ACB＝45°， ∵点E是BC的中点， ∴CE＝1， ∵E，E'关于直线AC对称， ∴∠ACE'＝∠ACB＝45°，CE＝CE'＝1， ∴∠BCE'＝90°， 在Rt△BCE'中， BE'， ∴PB+PE的最小值为； （3）作C关于AD的对称点M，连接DM，CM，CM交AD于H，作C关于AB的对称点N，连接BN，延长DC，AB交于G，连接NG，连接MN交AB于E，交AD于F，如图： ∵C，N关于AB对称，C，M关于AD对称， ∴CE＝NE，CF＝MF， ∴CE+EF+CF＝NE+EF+MF， ∵N，E，F，M共线， ∴此时CE+EF+CF最小， ∵∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝150°， ∴∠ADC＝60°， ∵C，M关于AD对称， ∴∠MDH＝∠CDH＝60°，∠CHD＝∠MHD＝90°，CD＝MD＝1000米， ∴∠MCD＝∠CMD＝30°， ∴DHCD＝500米，CH＝MHDH＝500米， ∴CM＝1000米， ∵∠ADC＝60°，∠A＝60°， ∴△ADG是等边三角形， ∴DG＝AD＝2000米， ∴CG＝DG﹣CD＝1000米， ∵∠BCD＝150°， ∴∠BCG＝30°， ∵C，N关于AB对称，∠ABC＝90°， ∴C，B，N共线，CG＝NG＝1000米，∠BNG＝∠BCG＝30°， ∴BGCG＝500米，BC＝BNBG＝500米， ∴CN＝1000米＝CM， ∴∠CNM＝∠CMN， ∵∠BCD＝150°，∠MCD＝30°， ∴∠NCM＝120°， ∴∠CNM＝∠CMN＝30°， 在Rt△BNE中， BE500（米）， 在Rt△MHF中， FH500（米）， ∴DF＝FH+DH＝500+500＝1000（米）， 答：BE的长为500米，DF的长为1000米． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $