【5年中考压轴真题】2022～2026年江西省选择题、填空题、解答题汇编

**基本信息** 汇编江西省2022-2026年中考压轴真题，含选择、填空、解答题各10题，聚焦几何直观、函数应用与真实情境问题，适配一轮复习重点突破。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|三视图、正方体展开图、统计图表分析|结合趣味跳高、声环境达标率等生活情境| |填空题|10题|七巧板拼图、反比例函数、几何旋转|融入《周髀算经》“偃矩以望高”文化素材| |解答题|10题|二次函数应用、几何综合实践、动态问题|设计无人机测量土坑深度、小球飞行路线等探究性大题|

【5年中考压轴真题】2022~2026年江西省选择题、填空题、解答题汇编 一．选择题（共10小题） 1．（2022•江西）·【易】如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（　　） A． B． C． D． 2．（2025•江西）·【较易】在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2024•江西）·【较易】如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4．（2023•江西）·【较易】如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（2022•江西）·【较易】甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（　　） A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大 C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等 6．（2026•江西）·【较易】如图是2020﹣2024年全国城市声环境功能区昼间、夜间达标率统计图，则下列说法正确的是（　　） A．2024年夜间达标率较2020年提高了1.2% B．夜间达标率逐年上升 C．2022年昼间达标率最高 D．昼间达标率逐年上升 7．（2024•江西）·【较易】如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（　　） A．五月份空气质量为优的天数是16天 B．这组数据的众数是15天 C．这组数据的中位数是15天 D．这组数据的平均数是15天 8．（2023•江西）·【较易】如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 9．（2026•江西）·【中档】如图，观察函数y＝x2+3x﹣3的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时，y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（　　） A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣3 10．（2025•江西）·【中档】如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2；…依此类推，则△AnBn∁n的面积为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题） 11．（2026•江西）·【较易】如图，点P在直线y＝﹣x+b（b＞0）上，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的面积为1（O为坐标原点）．若满足条件的点P有且仅有三个，则点P的横坐标为　 　 ． 12．（2024•江西）·【较易】将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB＝　 　 ． 13．（2023•江西）·【较易】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝　 　 m． 14．（2022•江西）·【较易】沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 　 　 ． 15．（2025•江西）·【较易】小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 　 　 ． 16．（2025•江西）·【中档】如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P．当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是　 　 ． 17．（2024•江西）·【中档】如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 　　 ． 18．（2023•江西）·【中档】如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 　 　 ． 19．（2022•江西）·【中档】已知点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 　 　 ． 20．（2026•江西）·【中档】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边AD上的动点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F．当△BFC面积最大时，DE的长为　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•江西）·【中档】综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． （1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　 　 ，k的值为　 　 ； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）． 22．（2026•江西）·【中档】为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表： 具体问题 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度 主要工具 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺 截面示意图 操作步骤 1．在水平地面上选定一个激光发射点A，使A位于土坑上底面直径DE所在的直线上； 2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； 3．调整反射镜与水平线的夹角θ，使得从A处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最右端F处； 4．在线段AD上确定一点B，使得从B处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最左端G处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内） 测量数据 AB＝18m，DE＝12m，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，θ＝22.5°． 参考数据 sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，1.732． 根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到0.01m） 任务一：计算点C离水平地面的高度； 任务二：计算∠GCF＝　 　 °，∠BCG＝　 　 °； 任务三：计算土坑的深度． 23．（2024•江西）·【中档】如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）①m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； ②小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系：y＝﹣5t2+vt． ①小球飞行的最大高度为 　 　 米； ②求v的值． 24．（2022•江西）·【中档】跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）． （1）c的值为 　 　 ； （2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a，b，求基准点K的高度h； ②若a时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 　 　 ； （3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 25．（2025•江西）·【中档】问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0＝m时，其对应的函数值y0＝m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m）为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y＝x2中，当x＝1时，y＝1，则我们称函数y＝x2为“不动点函数”，点（1，1）为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数y＝kx+b（k≠0）进行探究后，得出下列结论： ①y＝x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②y＝﹣3x+2是“不动点函数”，且不动点是； ③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是　 　 （填写正确结论的序号）． （2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件． 探究2 （3）对二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y＝x2﹣2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3 （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（12﹣x）件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 26．（2022•江西）·【较难】综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． 操作发现 （1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 　 　 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 　 　 ；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 　 　 ； 类比探究 （2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由； ②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号：tan15°≈2﹣√3）； 拓展应用 （3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）． 27．（2023•江西）·【较难】课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O． 求证：▱ABCD是菱形． 知识应用 （2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6． ①求证：▱ABCD是菱形； ②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E∠ACD，求的值． 28．（2026•江西）·【较难】如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． （1）试判断y＝x2﹣4x+4与y＝﹣x2+2x是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； （2）如图1，若C1：y＝a1（x﹣h1）2+k1与C2：y＝a2（x﹣h2）2+k2互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为A1，A2，记C1，C2组成的图形为C． ①试猜想a1与a2的数量关系，并证明； ②进一步探究可知C为中心对称图形，请确定C的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若C1：y＝x2，h2＞0，B1，B2分别为C1，C2上的点，且四边形A1B1A2B2为正方形，求（h2﹣2）（h2﹣1）（h2+1）的值． 29．（2024•江西）·【难】综合与实践 如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，m． 特例感知 （1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 　 　 ，数量关系是 　 　 ． 类比迁移 （2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当BF＝2时，请直接写出AD的长度． 30．（2023•江西）·【难】综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系． 初步感知 （1）如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当t＝1时，S＝　 　 ； ②S关于t的函数解析式为 　 　 ． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长． 延伸探究 （3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等． ①t1+t2＝　 　 ； ②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积． 【5年中考压轴真题】2022~2026年江西省选择题、填空题、解答题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：如图，它的俯视图为： 故选：A． 2．【解答】解：如图： 根据题意得k， ∴y＝kx， 根据正比例函数的意义，k越大，图越陡，反之图越陡，k越大， ∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲， ∴获胜的同学是甲， 故选：A． 3．【解答】解：如图所示： 选择标有1或2的位置的空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图， 所以能与阴影部分组成正方体展开图的方法有2种． 故选：B． 4．【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个， 故选：D． 5．【解答】解：由图象可知，A、B、C都正确， 当温度为t1℃时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误， 故选：D． 6．【解答】解：A，2024年夜间达标率较2020年提高了88.2%﹣80.1%＝8.1%，故A选项错误，不符合题意； B，夜间达标率逐年上升，故B正确，符合题意； C，由图可知，2023年昼间达标率最高，故C错误，不符合题意； D，2020﹣2023昼间达标率逐年上升，2024年下降，故D错误，不符合题意； 故选：B． 7．【解答】解：A、根据折线图，五月份空气质量为优的天数是16天，故不符合题意； B、根据折线图，这组数据的众数是15天，故不符合题意； C、这组数据的中位数是15（天），故不符合题意； D、这组数据的平均数是（12+14+15+15+16+15）＝14.5，故符合题意． 故选：D． 8．【解答】解：∵∠AOC＝35°， ∴∠BOD＝∠AOC＝35°， ∵PD⊥CD， ∴∠ODB＝90°， ∴∠OBD＝180°﹣90°﹣35°＝55°． 故选：C． 9．【解答】解：∵抛物线y＝x2+3x﹣3的对称轴为x1.5，已知根0.5＜x1＜0.75，由对称性得另一根﹣1.5×2﹣0.75＜x2＜﹣1.5×2﹣0.5，即﹣3.75＜x2＜﹣3.5， ∴另一根更接近的是﹣3.5． 故选：C． 10．【解答】解：由题知， 因为点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点， 所以A1B1∥AB，B1C1∥AC，A1C1∥BC，， 所以△A1B1C1∽△BAC， 则． 又因为△ABC的面积为1， 所以△A1B1C1的面积为． 同理可得，△A2B2C2的面积为，△A3B3C3的面积为，…， 所以△AnBn∁n的面积可表示为． 故选：C． 二．填空题（共10小题） 11．【解答】解：设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m+b， 根据题意得：|m|•|﹣m+b|＝1， 即m2﹣bm﹣1＝0或m2﹣bm+1＝0， ∵满足条件的点P有且仅有三个， ∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0， ∴b＝2． 将b＝2代入m2﹣bm﹣1＝0得：m2﹣2m﹣1＝0， 解得：m11，m21； 将b＝2代入m2﹣bm+1＝0得：m2﹣2m+1＝0， 解得：m3＝m4＝1． 综上所述，点P的横坐标为1或1或1． 故答案为：1或1或1． 12．【解答】解：令AC与BD的交点为O， ∵∠ABD＝∠CDB＝90°， ∴CD∥AB， 又∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC与BD互相平分， ∴OB． ∵AB＝BD， ∴OB． 在Rt△AOB中， tan∠CAB． 故答案为：． 13．【解答】解：由题意可得， BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m， ∴△ABD∽△AQP， ∴， 即， 解得QP＝6， ∴树高PQ＝6m， 故答案为：6． 14．【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2， 长方形的宽是正方形对角线的一半为1， 则长方形的对角线长． 故答案为：． 15．【解答】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗电费为（x+50）元， 由题意得：， 故答案为：． 16．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠BAD＝90°， 由折叠得∠PAB′＝∠PAB∠BAB′， 如图1，∠BAB′＝15°， ∵∠PAB15°＝7.5°， ∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝82.5°； 如图2，∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD同侧， ∵∠BAB′＝∠BAD﹣∠DAB′＝75°， ∴∠PAB75°＝37.5°， ∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝52.5°； 如图3，∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD异侧， ∵∠BAB′＝∠BAD+∠DAB′＝105°， ∴∠PAB105°＝52.5°， ∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝37.5°， 综上所述，∠APB的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°， 故答案为：82.5°或52.5°或37.5°． 17．【解答】解：∵AB为直径，DE为弦， ∴DE≤AB， ∴当DE的长为正整数时，DE＝1或2， 当DE＝2时，即DE为直径， ∴DE⊥AB， ∴将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合， 故FB＝2； 当DE＝1时，且在点C在线段OB之间，如图，连接OD， 此时， ∵DE⊥AB， ∴， ∴， ∴， ∴； 当DE＝1时，且点C在线段OA之间，连接OD， 同理可得， ∴； 综上，可得线段FB的长为或或2， 故答案为：或或2． 18．【解答】解：由题意可知，P点在以A为圆心，AB为半径的圆上运动． 如图：延长BA与⊙A交于P3，连接P3C． ∵P3C＝2AB＝BC， 又∵∠B＝60°， ∴△P3BC为等边三角形， ∴AC⊥AB． 在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD， ∴CD⊥AC． ∴∠ACD＝90°， ∴当P在直线AC上时符合题意， ∴α1＝90°，α2＝270°． 连接P3D， ∵AP3∥CD，AP3＝AB＝CD， ∴四边形ACDP3为平行四边形． ∴∠P3DC＝∠P3AC＝90°， 即：P运动到P3时符合题意． ∴α3＝180°． 记CD中点为G，以G为圆心，GC为半径作⊙G． AG， ∴⊙A与⊙G相离， ∴∠DPC＜90°． 故答案为：90°、180°、270°． 19．【解答】解：当AB＝BO时，AB＝5； 当OA＝OB时，设A（a，）（a＞0），B（5，0）， ∵OA＝5， ∴5， 解得：a1＝3，a2＝4， ∴A（3，4）或（4，3）， ∴AB2或 当OA＝AB时， AB； 综上所述，AB的长为5或2或． 故答案为：5或2或． 20．【解答】解：如图，设BC的中点为O， ∵CF⊥BE， ∴∠BFC＝90°， ∴点F在以BC为直径的⊙O上运动， ∴当OF⊥BC时，点F到BC的距离最大，此时△BFC面积最大， ∴BF＝FC， ∴∠FBC＝45°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝4， ∴∠ABE＝90°﹣∠FBC＝90°﹣45°＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE＝AB＝3， ∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1． 故答案为：1． 三．解答题（共10小题） 21．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OAB＝∠DAC＝45°，ADOA， ∴旋转角为45°，k， ∴k， 故答案为：45°，； （2）根据题意得△AEF∽△AOB， ∴∠EAF＝∠OAB，， ∴∠FAB＝∠EAO，， ∴△AFB∽△AEO， ∴， ∠OAB＝45°，∠AOB＝90°， ∴， ∴， （3）的值与α无关，理由如下，如图， 同理可证△AFB∽△AEO， ∴， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∵O是AB的垂直平分线与BD的交点， ∴AO＝BO， ∴∠BAO＝∠ABO＝30°， 过点O作OG⊥AB于点G， ∴AB＝2BG，cos∠ABO， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （4）同理可证，∠BAO，2cos， ∴BF＝OE•2cos，BA＝OB•2cos， ∵BE＝OE+OB， ∴BF+BA＝OE•2cos ＝2（OE+OB）cos， 即BF+BA＝2BEcos． 22．【解答】解：任务一：如图，连接DE，过点C作CK⊥GF交GF于K，交DE于H，则CH⊥DE． ∵∠CAB＝30°，∠CBD＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴BC＝AB＝18m． 在Rt△CBH中，， 即点C离水平地面的高度约为15.59m； 任务二：如图， ∵AB∥PC，∠CAB＝30°， ∴∠PCA＝∠CAB＝30°， 又∵θ＝22.5°， ∴∠NCF＝∠MCA＝∠MCP+∠PCA＝θ+30°＝22.5°+30°＝52.5°， ∴∠ACF＝180°﹣2（θ+30°）＝120°﹣2θ＝120﹣2×22.5°＝75°， 同理可得∠BCG＝180°﹣2（θ+60°）＝60°﹣2θ＝60°﹣2×22.5°＝15°， ∴∠GCF＝∠ACF﹣∠ACB﹣∠BCG＝75°﹣30°﹣15°＝30°； 任务三：由题意得四边形DEFG是矩形，则DE＝GF， 在Rt△CBH中，∵∠CBH＝60°， ∴∠BCH＝30°， ∴∠GCK＝∠BCH﹣∠BCG＝30°﹣15°＝15°， ∴∠CGK＝75°， ∴∠FCK＝∠GCK＝15°， ∵CK＝CK， ∴△CGK≌△CFK（ASA）， ∴， 在Rt△CGK中，CK＝GK•tan75°≈6×3.732＝22.392m， ∴HK＝CK﹣CH＝22.392﹣15.588＝6.804≈6.80m， 即土坑的深度约为6.80m． 23．【解答】解：（1）①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知， ∵（1，）、（7，）纵坐标相同， ∴对称轴为x＝14， ∴抛物线顶点坐标为（4，8）， ， 解得：， ∴二次函数解析式为yx2+4x， 当y时，x2+4x， 解得：x＝3或x＝5（舍去）， ∴m＝3， 当x＝6时，n＝y62+4×6＝6， 故答案为：3，6． ②联立得：， 解得：或， ∴点A的坐标是（，）． （2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米， 故答案为：8． ②y＝﹣5t2+vt＝﹣5（t）2， 则8， 解得v＝4（负值舍去）． 24．【解答】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m， ∴A（0，66）， 把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得： c＝66， 故答案为：66； （2）①∵a，b， ∴yx2x+66， ∵基准点K到起跳台的水平距离为75m， ∴y75275+66＝21， ∴基准点K的高度h为21m； ②∵a， ∴yx2+bx+66， ∵运动员落地点要超过K点， ∴x＝75时，y＞21， 即752+75b+66＞21， 解得b， 故答案为：b； （3）他的落地点能超过K点，理由如下： ∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m， ∴抛物线的顶点为（25，76）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76， 把（0，66）代入得： 66＝a（0﹣25）2+76， 解得a， ∴抛物线解析式为y（x﹣25）2+76， 当x＝75时，y（75﹣25）2+76＝36， ∵36＞21， ∴他的落地点能超过K点． 25．【解答】解：（1）①对于y＝x+2， 由于m≠m+2， 所以y＝x+2不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于y＝﹣3x+2，代入点（m，m）， 得m＝﹣3m+2， 解得， 所以y＝﹣3x+2是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）是“不动点函数”， ∴代入点（m，m）， 得m＝mk+b， 整理得（1﹣k）m＝b， 当1﹣k≠0即k≠1且k≠0时，b为任意实数； 当1﹣k＝0即k＝1时，b＝0； （3）由抛物线y＝x2﹣2bx+c＝（x﹣b）2+c﹣b2得， 顶点坐标为（b，c﹣b2）， ∵抛物线y＝x2﹣2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴b＝c﹣b2； （4）根据题意得，y＝（x﹣6）（12﹣x）＝﹣x2+18x﹣72， ∴令x＝﹣x2+18x﹣72， 整理得x2﹣17x+72＝0， 解得x1＝8，x2＝9， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 26．【解答】解：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积正方形ABCD的面积＝1； 当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积正方形ABCD的面积＝1； 一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1S． 理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N． ∵O是正方形ABCD的中心， ∴OM＝ON， ∵∠OMB＝∠ONB＝∠B＝90°， ∴四边形OMBN是矩形， ∵OM＝ON， ∴四边形OMBN是正方形， ∴∠MON＝∠EOF＝90°， ∴∠MOJ＝∠NOK， ∵∠OMJ＝∠ONK＝90°， ∴△OMJ≌△ONK（AAS）， ∴S△PMJ＝S△ONK， ∴S四边形OKBJ＝S正方形OMBNS正方形ABCD， ∴S1S． 故答案为：1，1，S1S． （2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形． 理由：过点O作OT⊥BC， ∵O是正方形ABCD的中心， ∴BT＝CT， ∵BM＝CN， ∴MT＝TN， ∵OT⊥MN， ∴OM＝ON， ∵∠MON＝60°， ∴△MON是等边三角形； ②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J． ∵CM＝CN，∠OCM＝∠OCN，OC＝OC， ∴△OCM≌△OCN（SAS）， ∴∠COM＝∠CON＝30°， ∴∠OMJ＝∠COM+∠OCM＝75°， ∵OJ⊥CB， ∴∠JOM＝90°﹣75°＝15°， ∵BJ＝JC＝OJ＝1， ∴JM＝OJ•tan15°＝2， ∴CM＝CJ﹣MJ＝1﹣（2）1， ∴S四边形OMCN＝2CM×OJ1． （3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S2最小． 在Rt△MOQ中，MQ＝OQ•tantan， ∴MN＝2MQ＝2tan， ∴S2＝S△OMNMN×OQ＝tan． 如图4﹣2中，当CM＝CN时，S2最大． 同法可证△COM≌△CON， ∴∠COMα， ∵∠COQ＝45°， ∴∠MOQ＝45°α， QM＝OQ•tan（45°α）＝tan（45°α）， ∴MC＝CQ﹣MQ＝1﹣tan（45°α）， ∴S2＝2S△CMO＝2CM×OQ＝1﹣tan（45°α）． 27．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO， 又∵BD⊥AC，垂足为O， ∴AC是BD的垂直平分线， ∴AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形． （2）①证明：∵▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6， ∴AO＝COAC＝4，DOBD＝3， 又∵AD＝5， ∴在三角形AOD中，AD2＝AO2+DO2， ∴∠AOD＝90°， 即BD⊥AC， ∴▱ABCD是菱形； ②解：如图，设CD的中点为G，连接OG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OGAD， 由①知：四边形ABCD是菱形， ∴∠ACD＝∠ACB， 又∵∠E∠ACD， ∴∠E∠ACB， 又∵∠ACB＝∠E+∠COE， ∴∠E＝∠COE， ∴CE＝CO＝4， ∵OG是△ACD的中位线， ∴OG∥AD∥BE， ∴∠OGF＝∠ECF，∠GOF＝∠CEF， ∴△OGF∽△ECF， ∴， 又∵OG，CE＝4， ∴． 28．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+4与y＝﹣x2+2x互为“伴随对称抛物线”，理由如下： y＝x2﹣4x+4的顶点为（2，0）， 将x＝2代入y＝﹣x2+2x中，得y＝﹣22+2×2＝0， 即y＝﹣x2+2x经过（2，0）． y＝﹣x2+2x的顶点为（1，1）， 将x＝1代入y＝x2﹣4x+4中，得y＝12﹣4×1+4＝1， 即y＝x2﹣4x+4经过（1，1）． （2）①a1+a2＝0，证明如下： ∵A1（h1，k1），A2（h2，k2）， ∴，， 两式相加得． ∵h1≠h2， ∴a1+a2＝0． ②∵C为中心对称图形， ∴C的对称中心为线段A1A2的中点． 即C的对称中心的坐标为． ③∵C1：y＝x2， ∴C2：． 如图，设A1A2与B1B2相交于点P， ∵四边形A1B1A2B2为正方形， ∴P为C的对称中心， ∴P（，）， 过点P作直线l⊥y轴，垂足为M，过点B1作B1N⊥l，垂足为N． 则∠B1NP＝∠A1MP，∠B1PN＝∠MA1P＝90°﹣∠MPA1． ∴△PB1N≌△A1PM（AAS）， ∴PN＝A1M，B1N＝PM． 设B1（x1，y1），则，， 即，． 又∵， ∴，． ∵点B1在C1上， ∴， 化简整理得， ∴． 29．【解答】解：（1）AD⊥BE，AD＝BE， 理由：∵1， ∴CE＝CD，CB＝CA， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠A＝∠ABC＝45°，∠ACD＝∠BAE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°， ∴∠ABE＝90°， ∴AD⊥BE； 故答案为：AD⊥BE，AD＝BE； （2）BE＝mAD，AD⊥BE， 证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵m， ∴△ADC∽△BEC， ∴m，∠CBE＝∠A， ∴BE＝mAD， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°， ∴AD⊥BE； （3）①连接CF交DE于O， 由（1）知，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°， ∴AB＝6， ∴BD＝6x， ∵AD＝BE＝x，∠DBE＝90°， ∴DE2＝BD2+BE2＝（6x）2+x2， ∵点F与点C关于DE对称， ∴DE垂直平分CF， ∴CE＝EF，CD＝DF， ∵CD＝CE， ∴CD＝DF＝EF＝CE， ∵∠DCE＝90°， ∴四边形CDFE是正方形， ∴yDE2[（6x）2+x2]， ∴y与x的函数表达式为y＝x2﹣636（0＜x≤6）， ∵y＝x2﹣636＝（x﹣3）2+18， ∴y的最小值为18； ②过D作DH⊥AC于H， 则△ADH是等腰直角三角形， ∴AH＝DHADx， ∴CH＝6x， 连接OB， ∴OB＝OE＝OD＝OC＝OF， ∴OB， ∴∠CBF＝90°， ∵BC＝6，BF＝2， ∴CF2 ∴CDCF＝2， ∵CH2+DH2＝CD2， ∴（6x）2+（x）2＝（2）2， 解得x＝4或x＝2， ∴AD＝4或2． 30．【解答】解：（1）①当t＝1时，CP＝1， 又∵∠C＝90°，CD， ∴S＝DP2＝CP2+CD2＝12+（）2＝3． 故答案为：3； ②当点P由点C运动到点B时，CP＝t， ∵∠C＝90°，CD， ∴S＝DP2＝CP2+CD2＝t2+（）2＝t2+2． 故答案为：S＝t2+2（0＜t≤2）； （2）由图2可得：当点P运动到点B处时，PD2＝BD2＝6，当点P运动到点A处时，PD2＝AD2＝18， 抛物线的顶点坐标为（4，2）， ∴BC2，AD3， ∴M（2，6）， 设S＝a（t﹣4）2+2，将M（2，6）代入，得4a+2＝6， 解得：a＝1， ∴S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18， ∴AC＝AD+CD＝34， 在Rt△ABC中，AB6， ∴抛物线的解析式为S＝t2﹣8t+18（2≤t≤8）； （3）①方法一：由（1）（2）可得S，图象如图所示： ∵存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等， ∴2＜S＜6， ∴点P1与P2关于直线t＝2对称，点P2与P3关于直线t＝4对称， ∴（t1+t2）＝2，（t2+t3）＝4， ∴t1+t2＝4，t2+t3＝8． 故答案为：4； 方法二：如图，则∠AHD＝90°＝∠C， ∵∠DAH＝∠BAC， ∴△ADH∽△ABC， ∴，即， ∴DH，AH＝4， ∴BH＝2，DH＝CD， ∵存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等， ∴DP1＝DP2＝DP3， ∴CP1＝t1，P2H＝4﹣t2， 在Rt△CDP1和Rt△HDP2中， ， ∴Rt△CDP1≌Rt△HDP2（HL）， ∴CP1＝HP2， ∴t1＝4﹣t2， ∴t1+t2＝4． 故答案为：4； ②方法一：由①知：t1+t2＝4，t2+t3＝8， ∴t3﹣t1＝4， ∵t3＝4t1， ∴t1， ∴S＝（）2+2． 方法二：∵DP3＝DP1，DH＝DC，∠DHP3＝∠C＝90°， ∴Rt△DHP3≌Rt△DCP1（HL）， ∴P3H＝CP1， ∵P3H＝t3﹣4， ∴t3﹣4＝t1， ∵t3＝4t1， ∴t1， ∴S＝（）2+2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $