专题07 图形的性质（四大考点，50题）（江西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题07 图形的性质（四大考点，50题） 考点01：几何初步图形 1．（2024·江西·中考真题）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（2023·江西·中考真题）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．    3．（2022·江西·中考真题）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ． 考点02：平行线 4．（2025·江西·中考真题）（1）计算：； （2）如图，已知点C在上，，．求证：． 考点03：三角形 5．（2023·江西·中考真题）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（2021·江西·中考真题）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是 8．（2022·江西·中考真题）已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为 ． 9．（2021·江西·中考真题）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则的周长为 ． 10．（2021·江西·中考真题）如图，在边长为的正六边形中，连接，，其中点，分别为和上的动点，若以，，为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为 ． 11．（2025·江西·中考真题）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出的中点； (2)在图2中作出的重心． 12．（2025·江西·中考真题）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（   ） A．越来越大    B．越来越小    C．先增大后减小 (2)当时，求的面积． 13．（2024·江西·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． (1)点B的坐标为______； (2)求所在直线的解析式． 14．（2023·江西·中考真题）（1）计算： （2）如图，，平分．求证：．    15．（2021·江西·中考真题）（1）计算：； （2）如图，在中，，，平分交于点，于点，求证：． 考点04：四边形 16．（2025·江西·中考真题）如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·江西·中考真题）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为 度． 18．（2023·江西·中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．    19．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 20．（2024·江西·中考真题）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） (1)如图，过点作的垂线； (2)如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 21．（2023·江西·中考真题）课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：是菱形．    (2)知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．    ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 22．（2022·江西·中考真题）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点G到的距离）． （参考数据：） 23．（2021·江西·中考真题）已知正方形的边长为4个单位长度，点是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，将直线绕着正方形的中心顺时针旋转； （2）在图2中，将直线向上平移1个单位长度． 一、单选题 24．（2025·江西新余·二模）如图，已知，平分，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·江西新余·三模）如图，在中，，，， 是平面内一个动点，且， 为的中点，在点运动过程中，设线段的长为，则的整数值有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 26．（2025·江西新余·三模）如图，在中，，平分，过点作，垂足为，连接，若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 27．（2025·江西抚州·二模）如果一个四边形的对角线相等，那么以这个四边形的四边中点为顶点的图形一定是 ． 28．（2025·江西宜春·二模）在中，，，D为的中点，则 ． 29．（2025·江西抚州·二模）若一个角的余角为，则这个角的度数为 ． 30．（2025·江西南昌·三模）如图， 在等边中，， 点D为上一点，， 点E是边上的动点，连接，以为边作正方形，当的长为整数时，正方形的面积为 ． 31．（2025·江西九江·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，连接，D为的中点，点P在坐标轴上，若以P，A，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ． 32．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点的坐标为，的坐标为，分别是边，边上的点，且线段将平行四边形分割成面积相等的两部分．若点的坐标是，则点的坐标为 ． 33．（2025·江西抚州·二模）如图，在矩形中，，把矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为 ． 34．（2025·江西萍乡·二模）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为的平分线，分别与直线交于点，，当点，，，相邻两点间的距离相等时，点到原点的距离为 ． 35．（2025·江西萍乡·二模）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线．若，，则的度数是 ． 36．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴正半轴上的一个动点，将沿翻折，若点的对应点恰好落在或的垂直平分线上，则的长为 ． 37．（2025·江西抚州·二模）如图，是等腰直角三角形，，，是斜边上的两动点，，且 ．若中有一条边恰好等于另一条边的2倍，且，则的长为 ． 38．（2025·江西·模拟预测）已知和重合．如图，现将绕点A旋转（点D和点B不重合），连接，，．当或为时，的长为 ． 39．（2025·江西新余·三模）在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，斜边交于点．若是等腰三角形，则的长为 ． 三、解答题 40．（2025·江西鹰潭·二模）（1）计算：． （2）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 41．（2025·江西九江·一模）【回归教材】 我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 已知：如图①，直线，垂足为，且是上的任意一点． 求证：． 【定理证明】 （1）请你根据“已知”和“求证”，写出完整的证明过程； 【定理应用】 （2）如图②，中，于点的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为，求长； （3）如图③，矩形中，，点是上的一点，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点，若是的中点，求的长． 42．（2025·江西抚州·二模）（1）计算：； （2）如图：已知，且，求证：． 43．（2025·江西九江·三模）追本溯源 题（1）来源于课本中的习题，请你完成解答、提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，且．求证：的周长等于． (2)如图2，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，求的周长． 44．（2025·江西新余·二模）（1）计算：； （2）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点D，求的度数． 45．（2025·江西赣州·二模）（1）计算：． （2）如图，在中，已知，，求证：． 46．（2025·江西萍乡·二模）（1）计算： （2）如图，在四边形中，点，为对角线是上两点，，，，连接．求证：四边形是平行四边形． 47．（2025·江西新余·三模）（1）计算：； （2）如图，与交于点，且，点、在上，，．求证：． 48．（2025·江西新余·二模）如图，在平行四边形中，，分别是，的中点．求证：． 49．（2025·江西萍乡·二模）（1）计算：． （2）如图，在四边形中，，过点作于点，过点作于点．求证：． 50．（2025·江西南昌·模拟预测）近年来，中国机器狗技术发展迅速．图1是某一型号的机器狗正常站立时的实物图，图2是它的侧面示意图，机身，大腿，和小腿，在它们之间的连接处可以转动调节姿态，调节过程中，机身、大腿、小腿的长度都不会发生变化，但位置、及以各接口处为顶点的角的大小可能发生改变．经测量，． (1)当机器狗处于正常站立时，机身平行于地面，机器狗的高度可以看成两点间的距离，求此时机器狗的高度． (2)图3是机器狗坐下时的实物图，图4是其侧面示意图，此时，小腿紧贴地面， ，只调节机身与小腿所在直线形成的锐角，当其超过时，机器狗需要重新调整其他部分参数，才能坐得稳．请你通过推理计算，判断当与之间的距离为时，要使其坐得稳，该机器狗是否需要调整其他部分参数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 图形的性质（四大考点，50题） 考点01：几何初步图形 1．（2024·江西·中考真题）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 2．（2023·江西·中考真题）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．    【答案】 【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∴线段的长为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键． 3．（2022·江西·中考真题）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ． 【答案】 【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1， ∴根据勾股定理可知，长方形的对角线长：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是所拼成的正方形的特点确定长方形的长与宽． 考点02：平行线 4．（2025·江西·中考真题）（1）计算：； （2）如图，已知点C在上，，．求证：． 【答案】（1）5；（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，零次幂以及绝对值和相反数的性质． （1）根据绝对值和相反数的性质，零次幂的性质化简，再计算即可求解； （2）根据平行线的性质求得，等量代换得到，再利用平行线的判定定理即可得到． 【详解】（1）解： ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点03：三角形 5．（2023·江西·中考真题）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（2021·江西·中考真题）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】该题可以自己动手进行拼接，根据勾股定理得知①的直角边为1和1，斜边为，拼接时要依据重合的边要相等，然后根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】在左侧构成轴对称图形如图： 在下方构成轴对称图形如图： 在右侧构成轴对称图形如图: 【点睛】本题考查勾股定理，图形的拼接以及轴对称图形的判断，掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 7．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是 【答案】或或 【分析】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论与，的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：①当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; ②当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; 或，如图： ，, , , ; 综上，的度数可以是或或． 故答案为：或或． 8．（2022·江西·中考真题）已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为 ． 【答案】5或或 【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可． 【详解】解：①当AO=AB时，AB=5； ②当AB=BO时，AB=5； ③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0）， 设A（a，）（a>0）， ∵OA=5， ∴， 解得：，， ∴A（3，4）或（4，3）， ∴AB=或AB=； 综上所述，AB的长为5或或． 故答案为：5或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键． 9．（2021·江西·中考真题）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质．根据题意并利用折叠的性质可得出，计算可得到，，利用三角形的外角性质得到，再等角对等边即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∴，， ， ∴，即， 则的周长为， 故答案为：． 10．（2021·江西·中考真题）如图，在边长为的正六边形中，连接，，其中点，分别为和上的动点，若以，，为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为 ． 【答案】9或10或18 【分析】根据点，分别为和上的动点，以，，为顶点的三角形是等边三角形，先在脑海中生成运动的动态图，通过从满足条件的特殊的情况入手，然后再适当左右摆动图形，寻找其它可能存在的解． 【详解】解：如下图： （1）当M，N分别与B，F重合时，在中，由题意得： ， 易算得：，根据正多边形的性质得， ， 为等边三角形，即为等边三角形，边长为18， 此时已为最大张角，故在左上区域不存在其它解； （2）当M，N分别与DF，DB的中点重合时，由（1）且根据三角形的中位线 得：， ， 为等边三角形，边长为9， （3）在（2）的条件下，阴影部分等边三角形会适当的左右摆动，使得存在无数个这样的等边三角形且边长会在到之间，其中包含边长为，， ，且等边三角形的边长为整数， 边长在到之间只能取9或10， 综上所述：该等边三角形的边长可以为9或10或18． 故答案是：9或10或18． 【点睛】本题考查了正多边形中动点产生等边三角形问题，解题的关键是：根据等边三角形的边只能取整数为依据，进行分类讨论，难点在于阴部部分等边三角形向左右适当摆动时如何取边长的整数值． 11．（2025·江西·中考真题）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出的中点； (2)在图2中作出的重心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，矩形的性质，以及三角形重心的定义． （1）利用矩形的性质即可作出的中点； （2）根据的重心就是三边中线的交点，即可作出图形． 【详解】（1）解：如图，点即为所作； ； （2）解：如图，点即为所作； ． 12．（2025·江西·中考真题）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（   ） A．越来越大    B．越来越小    C．先增大后减小 (2)当时，求的面积． 【答案】(1)①，；②C． (2) 【分析】（1）①根据临界点运用已知条件以及三角形内角和定理即可解答；②由由特殊情况分析：点与点重合时，；过没有点的限制，点与点重合时，；即可解答； （2）如图2，过N作延长线于G当时，，由勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，则；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时有最小值； 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，，则此时有最大值． ∵，， ∴，即有最大值为． 故答案为：，． ②由特殊情况分析：点与点重合时，； 过没有点的限制，点与点重合时，； ∴面积的变化情况是先增大后减小． 故选：C． （2）解：如图2，过N作延长线于G 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质，理解题意解题的关键． 13．（2024·江西·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． (1)点B的坐标为______； (2)求所在直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的相应性质是解题关键． （1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得出，即可确定点B的坐标； （2）根据点确定反比例函数解析式，然后即可得出，再由待定系数法确定一次函数解析式即可． 【详解】（1）解：过点B作轴于D，如图所示： ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由（1）得，代入， 得， ∴， ∵过点作x轴的垂线交双曲线于点C， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得， ∴直线的解析式为． 14．（2023·江西·中考真题）（1）计算： （2）如图，，平分．求证：．    【答案】（1）2；（2）证明见解析 【分析】（1）先计算立方根，特殊角三角函数值和零指数幂，再计算加减法即可； （2）先由角平分线的定义得到，再利用证明即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值，全等三角形的判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 15．（2021·江西·中考真题）（1）计算：； （2）如图，在中，，，平分交于点，于点，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）分别利用绝对值的性质、乘方及零指数幂的运算法则进行化简计算，再合并即可得出结果； （2）先求得∠EBA=40°，从而得到EB= EA，利用等腰三角形的性质即可证明AD=BD． 【详解】（1）解： ； （2）证明：∵BE平分∠ABC，∠ABC=80°， ∴∠EBA=∠ABC=40°， ∵∠A=40°， ∴∠EBA=∠A， ∴EB= EA， ∵ED⊥AB， ∴AD=BD． 【点睛】本题考查了绝对值、乘方及零指数幂，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 考点04：四边形 16．（2025·江西·中考真题）如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，相似比，的面积，的面积，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：点、、分别为等边的边的中点， ，，， ，相似比， 的面积为1， 的面积， 同理，的面积， 则的面积， 故选：C． 17．（2025·江西·中考真题）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为 度． 【答案】720 【分析】本题考查了多边形的内角和公式；根据n边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：根据图形知，空白部分为六多边形， 六边形的内角和为， 故答案为：720． 18．（2023·江西·中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．    【答案】或或 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，      当点在的延长线上时，如图所示，则    当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 19．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 20．（2024·江西·中考真题）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） (1)如图，过点作的垂线； (2)如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 21．（2023·江西·中考真题）课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：是菱形．    (2)知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．    ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明得出，同理可得，则， ，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证； （2）①勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，得出，即可得证； ②根据菱形的性质结合已知条件得出，则，过点作交于点，根据平行线分线段成比例求得，然后根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴， 同理可得，则， 又∵ ∴ ∴四边形是菱形； （2）①证明：∵四边形是平行四边形，． ∴ 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是菱形； ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点作交于点，    ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 22．（2022·江西·中考真题）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点G到的距离）． （参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高为7.5m，详见解析 【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论； （2）过点G作GP⊥AB于P，计算AG的长，利用 ∠A的正弦可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴∠CDG＝∠A， ∵∠FEC＝∠A， ∴ ∠FEC＝∠CDG， ∴EF∥DG， ∵FG∥CD， ∴四边形DEFG为平行四边形； （2）如图，过点G作GP⊥AB于P， ∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG＝EF＝6.2， ∵AD＝1.6， ∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8， 在Rt△APG中，sinA= ， ∴=0.96， ∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5． 答：雕塑的高为7.5m. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题． 23．（2021·江西·中考真题）已知正方形的边长为4个单位长度，点是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，将直线绕着正方形的中心顺时针旋转； （2）在图2中，将直线向上平移1个单位长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接BD与AC相交于O，连接AE与BD相交于P，连接CP并延长交AD于F，直线OF即为所求； （2）设AE与OF交于G，连接OE交CF于H，则直线GH即为所求． 【详解】（1）如图，直线OF即为所求； ∵AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP， ∴△ADP△CDP， ∴∠DAE=∠DCF， ∵AD=CD，∠ADE=∠CDF=90°， ∴△ADE△CDF， ∴DE=DF， ∵点E是CD的中点， ∴点F是AD的中点， ∵∠AOD=90°，且AO=OD， ∴∠AOF=45°； （1）如图，直线GH即为所求； 由三角形中位线定理知OG=CF=1，OH=AF=1，且∠GOH=90°， ∴OG=OH， ∴△GOH是等腰直角三角形， ∴∠HOC=∠OHG=45°， ∴GH∥AC，且OG =1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 一、单选题 24．（2025·江西新余·二模）如图，已知，平分，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，邻补角的性质，角平分线的定义，由可得，由邻补角的性质得，由角平分线的性质得，进而由平行线的性质即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：． 25．（2025·江西新余·三模）如图，在中，，，， 是平面内一个动点，且， 为的中点，在点运动过程中，设线段的长为，则的整数值有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了中位线定理，勾股定理，圆的有关性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 取的中点，连接，，由勾股定理得，则有，根据三角形三边关系可得，又是定点，是动点，且点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当点三点共线，且点在线段上时，取得最小值，最小值为，当点三点共线，且点在射线上时，取得最大值，最大值为，从而求出的取值范围为即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵在中，，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点，， ∴， 在中，， ∴， ∵是定点，是动点，且点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴当点三点共线，且点在线段上时，取得最小值，最小值为，如图， 当点三点共线，且点在射线上时，取得最大值，最大值为， 综上所述，的取值范围为， ∴的整数值有个， 故选：． 26．（2025·江西新余·三模）如图，在中，，平分，过点作，垂足为，连接，若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查三角形面积比与角平分线相关知识，解题的关键是通过作辅助线，利用角平分线性质和三角形面积关系求解． 延长交于点，过点作于点，证明，得到，，构造出与已知面积比相关的线段关系，再结合勾股定理来求的长． 【详解】解：延长交于点，过点作于点， 平分， ， ， ， 又， ， ，， ，． ， ，即， ∴， ， ， 故选：C． 二、填空题 27．（2025·江西抚州·二模）如果一个四边形的对角线相等，那么以这个四边形的四边中点为顶点的图形一定是 ． 【答案】菱形 【分析】本题考查了菱形的判定和三角形中位线的性质，已知四边形，的中点依次是E、F、G、H，，证四边形是菱形即可． 【详解】解：如图，已知四边形，的中点依次是E、F、G、H，， 点E是的中点，点F是的中点， ， 同理可得，，， ， ， 四边形是菱形， 故答案为：菱形． 28．（2025·江西宜春·二模）在中，，，D为的中点，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半．直接根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出． 【详解】解：∵在中，，，D为的中点， ∴， 故答案为：5． 29．（2025·江西抚州·二模）若一个角的余角为，则这个角的度数为 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查余角的定义．根据两个角的和是，那么这两个角互为余角解答即可． 【详解】解：根据余角的定义知，这个角的度数为， 故答案为：． 30．（2025·江西南昌·三模）如图， 在等边中，， 点D为上一点，， 点E是边上的动点，连接，以为边作正方形，当的长为整数时，正方形的面积为 ． 【答案】1或4或9 【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、动点问题、正方形的性质等知识点，正确添辅助线、确定的取值范围是解题的关键． 如图：过点D作于点H，连接，利用“直角三角形角所对的直角边是斜边的一半”求出的长度，再利用勾股定理求出、的长度，然后确定的取值范围，继而确定的整数值，最后求出正方形的面积即可． 【详解】解：如图：过点D作于点H，连接， ∵在等边中，，， ，， ∵ ∴， ，， ， ， 当点E在点H处时，的长最小，当点E在点B处时，的长最大， ， ，的长为整数， 的长为1或2或3， ∴正方形的面积为1或4或9． 故答案为：1或4或9． 31．（2025·江西九江·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，连接，D为的中点，点P在坐标轴上，若以P，A，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，分情况讨论，即点P在轴上和在轴上的情况，利用相似三角形的性质分别求解即可，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， 如图，当点P在轴上，且时， 此时, ， D为的中点， ， , ； 如图，当点P在轴上，且时， 此时, ， D为的中点， ， ， , ； 如图，当点P在轴上，且时， ， ， ， 是的垂直平分线， ， , ， ， ， ； 当点P在轴上，且时，不成立， 综上，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 32．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点的坐标为，的坐标为，分别是边，边上的点，且线段将平行四边形分割成面积相等的两部分．若点的坐标是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质．连接和，交于点G．利用中点坐标公式求出G的坐标，根据平行四边形的性质结合题意得到线段必过G点，代入G点坐标运算求解即可．理解该直线必过点G是解题的关键． 【详解】解：如图，连接和，交于点G． ∵四边形是平行四边形， ∴G为中点， ∵点的坐标为，的坐标为， ∴，即． ∵线段平分平行四边形的面积， ∴必过G点， ∵点的坐标是， ∴点的坐标为即， 故答案为：． 33．（2025·江西抚州·二模）如图，在矩形中，，把矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，余弦的定义，解题的关键是根据翻折变换的性质，勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．令，则，由翻折可知，，结合矩形的性质推出，令，则 ，在中，利用勾股定理求出，，再利用余弦的定义即可求解． 【详解】解：令，则，由翻折可知，． ∵四边形是矩形， ，， ， ， ． 令，则 ， 在中，，即， 解得， ，， 在中，． 故答案为：． 34．（2025·江西萍乡·二模）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为的平分线，分别与直线交于点，，当点，，，相邻两点间的距离相等时，点到原点的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，合理作图是关键． 根据题意，由矩形的性质，角平分线的定义，等要三角形的判定和性质，分类讨论即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 如图所示，， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴； 如图所示，， 同理，， ∴，则， ∵平分，， ∴， ∴； 综上所述，点到原点的距离为或， 故答案为：或 ． 35．（2025·江西萍乡·二模）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线．若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由平角定义得到，于是得到． 【详解】解∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 36．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴正半轴上的一个动点，将沿翻折，若点的对应点恰好落在或的垂直平分线上，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】当点C在线段的垂直平分线上时，可得点C的纵坐标为，设，由折叠的性质可得，，则，解方程得到点C的坐标为或，设，则或，解方程即可得到答案；当当点C在线段的垂直平分线上时，则点C的横坐标为，设 由折叠的性质可得，，则，解方程可得点C的坐标为，设，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：当点C在线段的垂直平分线上时， ∵， ∴点C的纵坐标为，， 设， 由折叠的性质可得，， ∴， 解得或， ∴此时点C的坐标为或， 设， ∴或， 解得或， ∴或， ∴或； 当点C在线段的垂直平分线上时， ∵， ∴点C的横坐标为， 设 由折叠的性质可得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点C的坐标为， 设， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质可，坐标系中两点距离计算公式，线段垂直平分线的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 37．（2025·江西抚州·二模）如图，是等腰直角三角形，，，是斜边上的两动点，，且 ．若中有一条边恰好等于另一条边的2倍，且，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，分母有理化等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先证明，再证明则．设，则．再分三种情况讨论，利用线段和差建立方程求解． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ． ， ， ， ， ， ，． ， ， ∵， ， ， ， ． 设，则．如图1， 当时，则， ， 解得； 如图2，当时， ，则 ， ， 解得； 如图3，当时， ∴由得， 则，， ， 解得； 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 38．（2025·江西·模拟预测）已知和重合．如图，现将绕点A旋转（点D和点B不重合），连接，，．当或为时，的长为 ． 【答案】或2或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理以及图形的旋转，解题的关键是根据或为分情况讨论，利用直角三角形的边的关系求解． 先根据已知的条件求出的长度，再分和分情况讨论，利用勾股定理等知识求出的长度． 【详解】在中，． ． ， ①当AD与AC重合时，，如答图1， ， ； ②如答图2，，； ③如答图3，， ， ． 39．（2025·江西新余·三模）在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，斜边交于点．若是等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键；根据题意得出，进而分，当点与点重合时，点与点重合，则为等腰三角形，当时，为等腰三角形，分三种情况讨论，解直角三角形，即可求解． 【详解】解：，， ． ①如图1，当时，为等腰三角形， 此时，， ； ②如图2，当点与点重合时，点与点重合， 则为等腰三角形， 此时可得； ③如图3，当时，为等腰三角形， 此时，， 过点作的垂线，垂足为，可得， 又， ， ， ． 综上所述，的长为或或． 三、解答题 40．（2025·江西鹰潭·二模）（1）计算：． （2）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，负整数指数幂，全等三角形的判定和性质，平行线的性质： （1）先根据二次根式的性质，负整数指数幂，绝对值的性质化简，再计算即可； （2）根据平行线的性质可得，，从而得到，再由，可得，可证明，即可求证． 【详解】解：（1） ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 41．（2025·江西九江·一模）【回归教材】 我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 已知：如图①，直线，垂足为，且是上的任意一点． 求证：． 【定理证明】 （1）请你根据“已知”和“求证”，写出完整的证明过程； 【定理应用】 （2）如图②，中，于点的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为，求长； （3）如图③，矩形中，，点是上的一点，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点，若是的中点，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据证明，再利用全等三角形的性质证明即可； （2）证明，则可得出答案； （3）根据线段中点的定义可得，然后利用证明，根据全等三角形对应边相等可得，设，表示出，再利用勾股定理列式求，然后表示出，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，然后列出方程求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵, ∴， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵矩形中，是的中点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 则， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线性质、中点定义、矩形的性质、勾股定理、解方程等周四，熟记相关几何性质并利用勾股定理列出方程求解是解题的关键． 42．（2025·江西抚州·二模）（1）计算：； （2）如图：已知，且，求证：． 【答案】（1）（2）见详解 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，平行线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值，乘方，特殊角的三角函数值，再运算加减，即可作答． （2）先根据平行的性质得，结合等边对等角得，，进行角的整理得，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∵， ∴，， 则， ∵， 则， 故， ∵， ∴． 43．（2025·江西九江·三模）追本溯源 题（1）来源于课本中的习题，请你完成解答、提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，且．求证：的周长等于． (2)如图2，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，可得，，再进一步求解即可； （2）先证明，，可得，，结合，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为 ． （2）解：在中，，，， ∴，， ∵的平分线交于点，的平分线交于点． ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的判定等腰三角形是解本题的关键． 44．（2025·江西新余·二模）（1）计算：； （2）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点D，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，零次幂，等腰三角形的性质，等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先计算零次幂、绝对值、特殊角的三角函数值，再合并即可． （2）由作图知，，即可得，结合，即可求解． 【详解】解：（1）原式． （2）由作图知，， ∴． ∵， ∴． 45．（2025·江西赣州·二模）（1）计算：． （2）如图，在中，已知，，求证：． 【答案】（1）6 （2）详见解析 【分析】本题主要考查了绝对值和零指数幂，等腰三角形的判定、等腰三角形三线合一的性质、全等三角形的判定和性质，掌握“在同一个三角形中，等角对等边”、“等腰三角形底边上的中线及高线，与顶角的角平分线三线合一”是解题的关键． （1）先根据绝对值性质，零指数幂运算法则直接计算即可； （2）方法一：根据“等角对等边”得出，再依据等腰三角形“三线合一”（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线），由得出． 方法二：先由推出，由得到，然后利用“”判定两三角形全等，进而得出． 【详解】（1）解：原式 ； （2）证明：方法一： ， ， 又， ． 方法二： ， ， 又， ， 在和中 ， ． 46．（2025·江西萍乡·二模）（1）计算： （2）如图，在四边形中，点，为对角线是上两点，，，，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）2.5；（2）见解析 【分析】本题考查了实数的混合运算、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算负整数指数幂、绝对值、零指数幂，再计算加减即可； （2）证明得出，从而得出，即可得证． 【详解】（1）解：． （2）证明：，， 四边形是平行四边形． 47．（2025·江西新余·三模）（1）计算：； （2）如图，与交于点，且，点、在上，，．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了特殊角的三角函数、0指数和负整数指数幂的运算，也考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定，熟练掌握相关基础知识是解题的关键； （1）先代入特殊角的三角函数、计算0指数和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）由可得，根据可得，再根据角角边证明即可． 【详解】（1）解： ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴． 48．（2025·江西新余·二模）如图，在平行四边形中，，分别是，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，先根据平行四边形的性质得，，根据，分别是，的中点，可得，证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E、F分别是，中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 49．（2025·江西萍乡·二模）（1）计算：． （2）如图，在四边形中，，过点作于点，过点作于点．求证：． 【答案】（1） （2）证明过程见详解 【分析】本题主要考查实数的混合运算，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握算术平方根，乘方，零次幂的计算，菱形的判定和性质是关键． （1）分别计算算术平方根，乘方，零次幂的结果，再进行加减计算即可； （2）根据题意得到四边形是菱形，再证明，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 50．（2025·江西南昌·模拟预测）近年来，中国机器狗技术发展迅速．图1是某一型号的机器狗正常站立时的实物图，图2是它的侧面示意图，机身，大腿，和小腿，在它们之间的连接处可以转动调节姿态，调节过程中，机身、大腿、小腿的长度都不会发生变化，但位置、及以各接口处为顶点的角的大小可能发生改变．经测量，． (1)当机器狗处于正常站立时，机身平行于地面，机器狗的高度可以看成两点间的距离，求此时机器狗的高度． (2)图3是机器狗坐下时的实物图，图4是其侧面示意图，此时，小腿紧贴地面， ，只调节机身与小腿所在直线形成的锐角，当其超过时，机器狗需要重新调整其他部分参数，才能坐得稳．请你通过推理计算，判断当与之间的距离为时，要使其坐得稳，该机器狗是否需要调整其他部分参数． 【答案】(1) (2)不需要调整其他部分参数 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三线合一定理，平行四边形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，过点作于点，则．解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）连接，过点作于点，可证明四边形是平行四边形．则．解直角三角形得到，即可得到结论． 【详解】（1）解；如图，连接，过点作于点， ， ． ． 答：此时机器狗的高度为． （2）解：如图，连接，过点作于点， ， 四边形是平行四边形． ． 的度数就是直线与的夹角的度数． ． ． ， ， 不需要调整其他部分参数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$