【10年压轴题】2016-2025年江西省选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年江西省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•江西）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2024•江西）如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．（2023•江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（2022•江西）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（　　） A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大 C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等 5．（2021•江西）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左、下、右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2020•江西）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O'，A'落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，则直线A'B'的表达式为（　　） A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x D．y＝x+2 7．（2019•江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 8．（2018•江西）在平面直角坐标系中，分别过点A（m，0），B（m+2，0）作x轴的垂线l1和l2，探究直线l1，直线l2与双曲线y的关系，下列结论中错误的是（　　） A．两直线中总有一条与双曲线相交 B．当m＝1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C．当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧 D．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2 9．（2017•江西）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　） A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形 10．（2016•江西）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等．网格中三个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上．被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线段长度之和记为n，则这三个多边形中满足m＝n的是（　　） A．只有② B．只有③ C．②③ D．①②③ 二．填空题（共10小题） 11．（2025•江西）如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P．当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是　 　 ． 12．（2024•江西）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 　 　 ． 13．（2023•江西）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 　 　 ． 14．（2022•江西）已知点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 　 　 ． 15．（2021•江西）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点．若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为 　 　 ． 16．（2020•江西）矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为 　 　 厘米． 17．（2019•江西）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为 　 　 ． 18．（2018•江西）在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为 　 　 ． 19．（2017•江西）已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A'．若点A'到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点A'的坐标为 　 　 ． 20．（2016•江西）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•江西）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． （1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　 　 ，k的值为　 　 ； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）． 22．（2024•江西）综合与实践 如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，m． 特例感知 （1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 　 　 ，数量关系是 　 　 ． 类比迁移 （2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当BF＝2时，请直接写出AD的长度． 23．（2023•江西）综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系． 初步感知 （1）如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当t＝1时，S＝　 　 ； ②S关于t的函数解析式为 　 　 ． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长． 延伸探究 （3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等． ①t1+t2＝　 　 ； ②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积． 24．（2022•江西）综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． 操作发现 （1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 　 　 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 　 　 ；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 　 　 ； 类比探究 （2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由； ②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号：tan15°≈2﹣√3）； 拓展应用 （3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）． 25．（2021•江西）课本再现 （1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是 　 　 ； 类比迁移 （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 　 　 ； 方法运用 （3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC． ①求证：∠ABC+∠ADC＝90°； ②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，2，求BD的长（用含m，n的式子表示）． 26．（2020•江西）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究： 类比探究 （1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为　 　 ； 推广验证 （2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用 （3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE，求五边形ABCDE的面积． 27．（2019•江西）特例感知 （1）如图1，对于抛物线y1＝﹣x2﹣x+1，y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1，下列结论正确的序号是　 　 ； ①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）； ②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位得到； ③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等． 形成概念 （2）把满足yn＝﹣x2﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”． 知识应用 在（2）中，如图2． ①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式； ②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，∁n，其横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由． ③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连接∁nAn，Cn﹣1An﹣1，判断∁nAn，Cn﹣1An﹣1是否平行？并说明理由． 28．（2018•江西）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验： （1）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b＝　 　 ，顶点坐标为 　 　 ，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是 　 　 ． 抽象感悟： 我们定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M中心对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”． （2）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围． 问题解决： （3）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣b（a≠0） ①若抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标； ②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn，其顶点为An…（n为正整数）．求AnAn+1的长（用含n的式子表示）． 29．（2017•江西）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝　 　 BC； ②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 　 　 ． 猜想论证： （2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 拓展应用 （3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 30．（2016•江西）设抛物线的解析式为y＝ax2，过点B1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点Bn（（）n﹣1，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点An，连接AnBn+1，得Rt△AnBnBn+1． （1）求a的值； （2）直接写出线段AnBn，BnBn+1的长（用含n的式子表示）； （3）在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列问题： ①当n为何值时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？ ②设1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），问：是否存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由． 【10年压轴题】2016-2025年江西省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D B B D D D C 一．选择题（共10小题） 1．（2025•江西）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：如图： 根据题意得k， ∴y＝kx， 根据正比例函数的意义，k越大，图越陡，反之图越陡，k越大， ∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲， ∴获胜的同学是甲， 故选：A． 2．（2024•江西）如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【解答】解：如图所示： 选择标有1或2的位置的空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图， 所以能与阴影部分组成正方体展开图的方法有2种． 故选：B． 3．（2023•江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个， 故选：D． 4．（2022•江西）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（　　） A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大 C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等 【解答】解：由图象可知，A、B、C都正确， 当温度为t1℃时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误， 故选：D． 5．（2021•江西）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左、下、右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个． 故选：B． 6．（2020•江西）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O'，A'落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，则直线A'B'的表达式为（　　） A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x D．y＝x+2 【解答】解：如图，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B， 令y＝0，解得x＝﹣1或3， 令x＝0，求得y＝﹣3， ∴B（3，0），A（0，﹣3）， ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x1， ∴A′的横坐标为1， 设A′（1，n），则B′（4，n+3）， ∵点B'落在抛物线上， ∴n+3＝16﹣8﹣3，解得n＝2， ∴A′（1，2），B′（4，5）， 设直线A'B'的表达式为y＝kx+b， ∴， 解得 ∴直线A'B'的表达式为y＝x+1， 故选：B． 7．（2019•江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【解答】解：共有6种拼接法，如图所示． 故选：D． 8．（2018•江西）在平面直角坐标系中，分别过点A（m，0），B（m+2，0）作x轴的垂线l1和l2，探究直线l1，直线l2与双曲线y的关系，下列结论中错误的是（　　） A．两直线中总有一条与双曲线相交 B．当m＝1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C．当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧 D．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2 【解答】解：A、∵m、m+2不同时为零， ∴两直线中总有一条与双曲线相交； B、当m＝1时，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）， 当x＝1时，y3， ∴直线l1与双曲线的交点坐标为（1，3）； 当x＝3时，y1， ∴直线l2与双曲线的交点坐标为（3，1）． ∵， ∴当m＝1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等； C、当﹣2＜m＜0时，0＜m+2＜2， ∴当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧； D、∵m+2﹣m＝2，且y与x之间一一对应， ∴当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离大于2． 故选：D． 9．（2017•江西）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　） A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形 【解答】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确； B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确； C．如图所示，若EF∥HG，EF＝HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确； D．如图所示，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误； 故选：D． 10．（2016•江西）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等．网格中三个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上．被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线段长度之和记为n，则这三个多边形中满足m＝n的是（　　） A．只有② B．只有③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：假设每个小正方形的边长为1， ①：m＝1+2+1＝4，n＝2+4＝6， 则m≠n； ②在△ACN中，BM∥CN， ∴， ∴BM， 在△AGF中，DM∥NE∥FG， ∴，， 得DM，NE， ∴m＝22.5，n12.5， ∴m＝n； ③由②得：BE，CF， ∴m＝2+216，n＝4+2＝6， ∴m＝n， 则这三个多边形中满足m＝n的是②和③； 故选：C． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•江西）如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P．当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是　82.5°或52.5°或37.5°　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠BAD＝90°， 由折叠得∠PAB′＝∠PAB∠BAB′， 如图1，∠BAB′＝15°， ∵∠PAB15°＝7.5°， ∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝82.5°； 如图2，∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD同侧， ∵∠BAB′＝∠BAD﹣∠DAB′＝75°， ∴∠PAB75°＝37.5°， ∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝52.5°； 如图3，∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD异侧， ∵∠BAB′＝∠BAD+∠DAB′＝105°， ∴∠PAB105°＝52.5°， ∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝37.5°， 综上所述，∠APB的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°， 故答案为：82.5°或52.5°或37.5°． 12．（2024•江西）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 　或或2　 ． 【解答】解：∵AB为直径，DE为弦， ∴DE≤AB， ∴当DE的长为正整数时，DE＝1或2， 当DE＝2时，即DE为直径， ∴DE⊥AB， ∴将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合， 故FB＝2； 当DE＝1时，且在点C在线段OB之间，如图，连接OD， 此时， ∵DE⊥AB， ∴， ∴， ∴， ∴； 当DE＝1时，且点C在线段OA之间，连接OD， 同理可得， ∴； 综上，可得线段FB的长为或或2， 故答案为：或或2． 13．（2023•江西）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 　90°或180°或270°　 ． 【解答】解：由题意可知，P点在以A为圆心，AB为半径的圆上运动． 如图：延长BA与⊙A交于P3，连接P3C． ∵P3C＝2AB＝BC， 又∵∠B＝60°， ∴△P3BC为等边三角形， ∴AC⊥AB． 在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD， ∴CD⊥AC． ∴∠ACD＝90°， ∴当P在直线AC上时符合题意， ∴α1＝90°，α2＝270°． 连接P3D， ∵AP3∥CD，AP3＝AB＝CD， ∴四边形ACDP3为平行四边形． ∴∠P3DC＝∠P3AC＝90°， 即：P运动到P3时符合题意． ∴α3＝180°． 记CD中点为G，以G为圆心，GC为半径作⊙G． AG， ∴⊙A与⊙G相离， ∴∠DPC＜90°． 故答案为：90°、180°、270°． 14．（2022•江西）已知点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 　5或2或　 ． 【解答】解：当AB＝BO时，AB＝5； 当OA＝OB时，设A（a，）（a＞0），B（5，0）， ∵OA＝5， ∴5， 解得：a1＝3，a2＝4， ∴A（3，4）或（4，3）， ∴AB2或 当OA＝AB时， AB； 综上所述，AB的长为5或2或． 故答案为：5或2或． 15．（2021•江西）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点．若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为 　9或10或18　 ． 【解答】解：连接DF，DB，BF．则△DBF是等边三角形． 设BE交DF于J． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴由对称性可知，DF⊥BE，∠JEF＝60°，EF＝ED＝6， ∴FJ＝DJ＝EF•sin60°＝69， ∴DF＝18， ∴当点M与B重合，点N与F重合时，满足条件， ∴△DMN的边长为18， 如图，当点N在OC上，点M在OE上时， 等边△DMN的边长的最大值为610.39，最小值为9， ∴△DMN的边长为整数时，边长为10或9， 综上所述，等边△DMN的边长为9或10或18． 故答案为：9或10或18． 16．（2020•江西）矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为 　或4或（）　 厘米． 【解答】解： ①当∠ABE＝30°时，AE＝AB×tan30°（厘米）； ②当∠AEB＝30°时，AE4（厘米）； ③∠ABE＝15°时，∠ABA′＝30°，延长BA′交AD于F，如图所示， 设AE＝x，则EA′＝x，EF， ∵AF＝AE+EF＝ABtan30°（厘米）， ∴x， ∴x＝8﹣4， ∴AE＝（8﹣4）厘米． 故答案为：或4或（8﹣4）． 17．（2019•江西）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为 　（2，0）或（2﹣2，0）或（2+2，0）　 ． 【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（4，0），（4，4） ∴AB∥y轴 ∵点D在直线AB上，DA＝1 ∴D1（4，1），D2（4，﹣1） 如图： （Ⅰ）当点D在D1处时，要使CP⊥DP，即使△COP1∽△P1AD1 ∴ 即 解得：OP1＝2 ∴P1（2，0） （Ⅱ）当点D在D2处时， ∵C（0，4），D2（4，﹣1） ∴CD2的中点E（2，） ∵CP⊥DP ∴点P为以E为圆心，CE长为半径的圆与x轴的交点 设P（x，0），则PE＝CE 即 解得：x＝2±2 ∴P2（2﹣2，0），P3（2+2，0） 综上所述：点P的坐标为（2，0）或（2﹣2，0）或（2+2，0）． 18．（2018•江西）在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为 　2或2或　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6， ∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝∠DAB＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC6， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝3， 有6种情况：①点P在AD上时， ∵AD＝6，PD＝2AP， ∴AP＝2； ②点P在AC上时， 设AP＝x，则DP＝2x， 在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2＝DO2+OP2， （2x）2＝（3）2+（3x）2， 解得：x（负数舍去）， 即AP； ③点P在AB上时， 设AP＝y，则DP＝2y， 在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2＝DP2， y2+62＝（2y）2， 解得：y＝2（负数舍去）， 即AP＝2； ④当P在BC上，设BP＝z， ∵DP＝2AP， ∴2， 即z2+4z+24＝0， Δ＝42﹣4×1×24＜0，此方程无解， 即当点P在BC上时，不能使DP＝2AP； ⑤P在DC上， ∵∠ADC＝90°， ∴AP＞DP，不能DP＝2AP， 即当P在DC上时，不能具备DP＝2AP； ⑥P在BD上时， 过P作PN⊥AD于N，过P作PM⊥AB于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝∠ANP＝∠AMP＝90°， ∴四边形ANPM是矩形， ∴AM＝PN，AN＝PM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝45°， ∵∠PMB＝90°， ∴∠MBP＝∠MPB＝45°， ∴BM＝PM＝AN， 同理DN＝PN＝AM， 设PM＝BM＝AN＝e，则PN＝DN＝AM＝6﹣e， ∵DP＝2AP， ∴由勾股定理得：2， 即e2﹣4e+12＝0， Δ＝（﹣4）2﹣4×1×12＜0，此方程无解， 即当P在BD上时，不能DP＝2AP， 故答案为：2或2或． 19．（2017•江西）已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A'．若点A'到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点A'的坐标为 　（，3）或（，1）或（2，﹣2）　 ． 【解答】解∵点A（0，4），B（7，0），C（7，4）， ∴BC＝OA＝4，OB＝AC＝7， 分两种情况： （1）当点A'在矩形AOBC的内部时，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图1所示： ①当A'E：A'F＝1：3时， ∵A'E+A'F＝BC＝4， ∴A'E＝1，A'F＝3， 由折叠的性质得：OA'＝OA＝4， 在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF， ∴A'（，3）； ②当A'E：A'F＝3：1时，同理得：A'（，1）； （2）当点A'在矩形AOBC的外部时，此时点A'在第四象限，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图2所示：∵A'F：A'E＝1：3，则A'F：EF＝1：2， ∴A'FEFBC＝2， 由折叠的性质得：OA'＝OA＝4， 在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF2， ∴A'（2，﹣2）； 故答案为：（，3）或（，1）或（2，﹣2）． 20．（2016•江西）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　5或4或5　 ． 【解答】解：如图所示： ①当AP＝AE＝5时， ∵∠BAD＝90°， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴底边PEAE＝5； ②当P1E＝AE＝5时， ∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°， ∴P1B4， ∴底边AP14； ③当P2A＝P2E时，底边AE＝5； 综上所述：等腰三角形AEP的底边长为5或4或5； 故答案为：5或4或5． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•江西）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． （1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　45°　 ，k的值为　1　 ； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OAB＝∠DAC＝45°，ADOA， ∴旋转角为45°，k， ∴k， 故答案为：45°，； （2）根据题意得△AEF∽△AOB， ∴∠EAF＝∠OAB，， ∴∠FAB＝∠EAO，， ∴△AFB∽△AEO， ∴， ∠OAB＝45°，∠AOB＝90°， ∴， ∴， （3）的值与α无关，理由如下，如图， 同理可证△AFB∽△AEO， ∴， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∵O是AB的垂直平分线与BD的交点， ∴AO＝BO， ∴∠BAO＝∠ABO＝30°， 过点O作OG⊥AB于点G， ∴AB＝2BG，cos∠ABO， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （3）同理可证，∠BAO，2cos， ∴BF＝OE•2cos，BA＝OB•2cos， ∵BE＝OE+OB， ∴BF+BA＝OE•2cos ＝2（OE+OB）cos， 即BF+BA＝2BEcos． 22．（2024•江西）综合与实践 如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，m． 特例感知 （1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 　AD⊥BE　 ，数量关系是 　AD＝BE　 ． 类比迁移 （2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当BF＝2时，请直接写出AD的长度． 【解答】解：（1）AD⊥BE，AD＝BE， 理由：∵1， ∴CE＝CD，CB＝CA， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠A＝∠ABC＝45°，∠ACD＝∠BAE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°， ∴∠ABE＝90°， ∴AD⊥BE； 故答案为：AD⊥BE，AD＝BE； （2）BE＝mAD，AD⊥BE， 证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵m， ∴△ADC∽△BEC， ∴m，∠CBE＝∠A， ∴BE＝mAD， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°， ∴AD⊥BE； （3）①连接CF交DE于O， 由（1）知，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°， ∴AB＝6， ∴BD＝6x， ∵AD＝BE＝x，∠DBE＝90°， ∴DE2＝BD2+BE2＝（6x）2+x2， ∵点F与点C关于DE对称， ∴DE垂直平分CF， ∴CE＝EF，CD＝DF， ∵CD＝CE， ∴CD＝DF＝EF＝CE， ∵∠DCE＝90°， ∴四边形CDFE是正方形， ∴yDE2[（6x）2+x2]， ∴y与x的函数表达式为y＝x2﹣636（0＜x≤6）， ∵y＝x2﹣636＝（x﹣3）2+18， ∴y的最小值为18； ②过D作DH⊥AC于H， 则△ADH是等腰直角三角形， ∴AH＝DHADx， ∴CH＝6x， 连接OB， ∴OB＝OE＝OD＝OC＝OF， ∴OB， ∴∠CBF＝90°， ∵BC＝6，BF＝2， ∴CF2 ∴CDCF＝2， ∵CH2+DH2＝CD2， ∴（6x）2+（x）2＝（2）2， 解得x＝4或x＝2， ∴AD＝4或2． 23．（2023•江西）综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系． 初步感知 （1）如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当t＝1时，S＝　3　 ； ②S关于t的函数解析式为 　S＝t2+2（0＜t≤2）　 ． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长． 延伸探究 （3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等． ①t1+t2＝　4　 ； ②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积． 【解答】解：（1）①当t＝1时，CP＝1， 又∵∠C＝90°，CD， ∴S＝DP2＝CP2+CD2＝12+（）2＝3． 故答案为：3； ②当点P由点C运动到点B时，CP＝t， ∵∠C＝90°，CD， ∴S＝DP2＝CP2+CD2＝t2+（）2＝t2+2． 故答案为：S＝t2+2（0＜t≤2）； （2）由图2可得：当点P运动到点B处时，PD2＝BD2＝6，当点P运动到点A处时，PD2＝AD2＝18， 抛物线的顶点坐标为（4，2）， ∴BC2，AD3， ∴M（2，6）， 设S＝a（t﹣4）2+2，将M（2，6）代入，得4a+2＝6， 解得：a＝1， ∴S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18， ∴AC＝AD+CD＝34， 在Rt△ABC中，AB6， ∴抛物线的解析式为S＝t2﹣8t+18（2≤t≤8）； （3）①方法一：由（1）（2）可得S，图象如图所示： ∵存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等， ∴2＜S＜6， ∴点P1与P2关于直线t＝2对称，点P2与P3关于直线t＝4对称， ∴（t1+t2）＝2，（t2+t3）＝4， ∴t1+t2＝4，t2+t3＝8． 故答案为：4； 方法二：如图，则∠AHD＝90°＝∠C， ∵∠DAH＝∠BAC， ∴△ADH∽△ABC， ∴，即， ∴DH，AH＝4， ∴BH＝2，DH＝CD， ∵存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等， ∴DP1＝DP2＝DP3， ∴CP1＝t1，P2H＝4﹣t2， 在Rt△CDP1和Rt△HDP2中， ， ∴Rt△CDP1≌Rt△HDP2（HL）， ∴CP1＝HP2， ∴t1＝4﹣t2， ∴t1+t2＝4． 故答案为：4； ②方法一：由①知：t1+t2＝4，t2+t3＝8， ∴t3﹣t1＝4， ∵t3＝4t1， ∴t1， ∴S＝（）2+2． 方法二：∵DP3＝DP1，DH＝DC，∠DHP3＝∠C＝90°， ∴Rt△DHP3≌Rt△DCP1（HL）， ∴P3H＝CP1， ∵P3H＝t3﹣4， ∴t3﹣4＝t1， ∵t3＝4t1， ∴t1， ∴S＝（）2+2． 24．（2022•江西）综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． 操作发现 （1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 　1　 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 　1　 ；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 　S1S　 ； 类比探究 （2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由； ②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号：tan15°≈2﹣√3）； 拓展应用 （3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）． 【解答】解：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积正方形ABCD的面积＝1； 当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积正方形ABCD的面积＝1； 一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1S． 理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N． ∵O是正方形ABCD的中心， ∴OM＝ON， ∵∠OMB＝∠ONB＝∠B＝90°， ∴四边形OMBN是矩形， ∵OM＝ON， ∴四边形OMBN是正方形， ∴∠MON＝∠EOF＝90°， ∴∠MOJ＝∠NOK， ∵∠OMJ＝∠ONK＝90°， ∴△OMJ≌△ONK（AAS）， ∴S△PMJ＝S△ONK， ∴S四边形OKBJ＝S正方形OMBNS正方形ABCD， ∴S1S． 故答案为：1，1，S1S． （2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形． 理由：过点O作OT⊥BC， ∵O是正方形ABCD的中心， ∴BT＝CT， ∵BM＝CN， ∴MT＝TN， ∵OT⊥MN， ∴OM＝ON， ∵∠MON＝60°， ∴△MON是等边三角形； ②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J． ∵CM＝CN，∠OCM＝∠OCN，OC＝OC， ∴△OCM≌△OCN（SAS）， ∴∠COM＝∠CON＝30°， ∴∠OMJ＝∠COM+∠OCM＝75°， ∵OJ⊥CB， ∴∠JOM＝90°﹣75°＝15°， ∵BJ＝JC＝OJ＝1， ∴JM＝OJ•tan15°＝2， ∴CM＝CJ﹣MJ＝1﹣（2）1， ∴S四边形OMCN＝2CM×OJ1． （3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S2最小． 在Rt△MOQ中，MQ＝OQ•tantan， ∴MN＝2MQ＝2tan， ∴S2＝S△OMNMN×OQ＝tan． 如图4﹣2中，当CM＝CN时，S2最大． 同法可证△COM≌△CON， ∴∠COMα， ∵∠COQ＝45°， ∴∠MOQ＝45°α， QM＝OQ•tan（45°α）＝tan（45°α）， ∴MC＝CQ﹣MQ＝1﹣tan（45°α）， ∴S2＝2S△CMO＝2CM×OQ＝1﹣tan（45°α）． 25．（2021•江西）课本再现 （1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是 　∠DCE′　 ； 类比迁移 （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 　AD2+DE2＝AE2　 ； 方法运用 （3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC． ①求证：∠ABC+∠ADC＝90°； ②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，2，求BD的长（用含m，n的式子表示）． 【解答】（1）解：如图1中，由图形的拼剪可知，∠A＝∠DCE′， 故答案为：∠DCE′． （2）解：如图2中， ∵∠ADC+∠ABC＝90°，∠CDE＝∠ABC， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°， ∴AD2+DE2＝AE2． 故答案为：AD2+DE2＝AE2． （3）①证明：如图3中，连接OC，作△ADC的外接圆⊙O． ∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点 ∴点O是△ADC的外心， ∴∠AOC＝2∠ADC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，∠OAC＝∠ABC， ∴2∠ADC+2∠ABC＝180°， ∴∠ADC+∠ABC＝90°． ②解：如图4中，在射线DC的下方作∠CDT＝∠ABC，过点C作CT⊥DT于T． ∵∠CTD＝∠CAB＝90°，∠CDT＝∠ABC， ∴△CTD∽△CAB， ∴∠DCT＝∠ACB，， ∴，∠DCB＝∠TCA ∴△DCB∽△TCA， ∴， ∵2， ∴AC：BA：BC＝CT：DT：CD＝1：2：， ∴BDAT， ∵∠ADT＝∠ADC+∠CDT＝∠ADC+∠ABC＝90°，DTn，AD＝m， ∴AT， ∴BD． 26．（2020•江西）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究： 类比探究 （1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为　S1+S2＝S3　 ； 推广验证 （2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用 （3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE，求五边形ABCDE的面积． 【解答】解：类比探究 （1）∵∠1＝∠3，∠D＝∠F＝90°， ∴△ADB∽△BFC， ∴（）2， 同理可得：（）2， ∵AB2+AC2＝BC2， ∴（）2+（）21， ∴S1+S2＝S3， 故答案为：S1+S2＝S3． （2）结论仍然成立， 理由如下：∵∠1＝∠3，∠D＝∠F， ∴△ADB∽△BFC， ∴（）2， 同理可得：（）2， ∵AB2+AC2＝BC2， ∴（）2+（）21， ∴S1+S2＝S3， （3）过点A作AH⊥BP于H，连接PD，BD， ∵∠ABH＝30°，AB＝2， ∴AH，BH＝3，∠BAH＝60°， ∵∠BAP＝105°， ∴∠HAP＝45°， ∵AH⊥BP， ∴∠HAP＝∠APH＝45°， ∴PH＝AH， ∴AP，BP＝BH+PH＝3， ∴S△ABP， ∵PE，ED＝2，AP，AB＝2， ∴，， ∴， 且∠E＝∠BAP＝105°， ∴△ABP∽△EDP， ∴∠EPD＝∠APB＝45°，， ∴∠BPD＝90°，PD＝1， ∴S△BPD23， ∵△ABP∽△EDP， ∴（）2， ∴S△PDE ∵tan∠PBD， ∴∠PBD＝30°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABP﹣∠PBD＝30°， ∴∠ABP＝∠PDE＝∠CBD， 又∵∠A＝∠E＝∠C＝105°， ∴△ABP∽△EDP∽△CBD， 由（2）的结论可得：S△BCD＝S△ABP+S△DPE22， ∴五边形ABCDE的面积22+23＝67． 27．（2019•江西）特例感知 （1）如图1，对于抛物线y1＝﹣x2﹣x+1，y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1，下列结论正确的序号是　①②③　 ； ①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）； ②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位得到； ③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等． 形成概念 （2）把满足yn＝﹣x2﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”． 知识应用 在（2）中，如图2． ①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式； ②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，∁n，其横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由． ③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连接∁nAn，Cn﹣1An﹣1，判断∁nAn，Cn﹣1An﹣1是否平行？并说明理由． 【解答】解：（1）①当x＝0时，分别代入抛物线y1，y2，y3，即可得y1＝y2＝y3＝1；①正确； ②y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1的对称轴分别为直线x＝﹣1，x， y1＝﹣x2﹣x+1的对称轴x， 由x向左移动得到x＝﹣1，再向左移动得到x， ②正确； ③当y＝1时，则﹣x2﹣x+1＝1， ∴x＝0或x＝﹣1； ﹣x2﹣2x+1＝1， ∴x＝0或x＝﹣2； ﹣x2﹣3x+1＝1， ∴x＝0或x＝﹣3； ∴相邻两点之间的距离都是1， ③正确； 故答案为①②③； （2）①yn＝﹣x2﹣nx+1的顶点为（，）， 令x，y， ∴y＝x2+1； ②相等， 理由如下：∵横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数）， 当x＝﹣k﹣n时，y＝﹣k2﹣nk+1， ∴纵坐标分别为﹣k2﹣k+1，﹣k2﹣2k+1，﹣k2﹣3k+1，…，﹣k2﹣nk+1， ∴点（﹣k﹣1，﹣k2﹣k+1），点（﹣k﹣2，﹣k2﹣2k+1）的距离， 点（﹣k﹣n，﹣k2﹣nk+1），点（﹣k﹣n+1，﹣k2﹣（n﹣1）k+1）的距离 ∴相邻两点间距离分别为； ∴相邻两点之间的距离都相等； ③当y＝1时，﹣x2﹣nx+1＝1， ∴x＝0或x＝﹣n， ∴A1（﹣1，1），A2（﹣2，1），A3（﹣3，1），…，An﹣1（﹣n+1，1），An（﹣n，1）， C1（﹣k﹣1，﹣k2﹣k+1），C2（﹣k﹣2，﹣k2﹣2k+1），C3（﹣k﹣3，﹣k2﹣3k+1），…，Cn﹣1（﹣k﹣n+1，﹣k2﹣nk+1+k），∁n（﹣k﹣n，﹣k2﹣nk+1）， 过Cn﹣1，∁n分别作直线y＝1的垂线，垂足为D、E， ∴D（﹣k﹣n+1，1），E（﹣k﹣n，1）， 在Rt△EAn∁n中， tan∠EAn∁nk+n， 在Rt△DAn﹣1Cn﹣1中， tan∠DAn﹣1Cn﹣1k+n﹣1， ∵k+n﹣1≠k+n， ∴tan∠DAn∁n≠tan∠DAn﹣1Cn﹣1 ∴∠DAn∁n≠∠DAn﹣1Cn﹣1 ∴∁nAn不平行Cn﹣1An﹣1； 28．（2018•江西）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验： （1）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b＝　﹣4　 ，顶点坐标为 　（﹣2，1）　 ，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是 　y＝x2﹣4x+5　 ． 抽象感悟： 我们定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M中心对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”． （2）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围． 问题解决： （3）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣b（a≠0） ①若抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标； ②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn，其顶点为An…（n为正整数）．求AnAn+1的长（用含n的式子表示）． 【解答】解：求解体验：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0）， ∴﹣1﹣b﹣3＝0， ∴b＝﹣4， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，1）， ∴抛物线的顶点坐标（﹣2，1）关于（0，1）的对称点为（2，1）， 即：新抛物线的顶点坐标为（2，1）， 令原抛物线的x＝0， ∴y＝﹣3， ∴（0，﹣3）关于点（0，1）的对称点坐标为（0，5）， 设新抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1， ∵点（0，5）在新抛物线上， ∴5＝a（0﹣2）2+1， ∴a＝1， ∴新抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5， 故答案为﹣4，（﹣2，1），y＝x2﹣4x+5； 抽象感悟：（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+1）2+6①， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）， 设衍生抛物线为y′＝a（x﹣1）2+2m﹣6， ∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′， ∴a＝1， ∴衍生抛物线为y′＝（x﹣1）2+2m﹣6＝x2﹣2x+2m﹣5②， 联立①②得，x2﹣2x+2m﹣5＝﹣x2﹣2x+5， 整理得，2x2＝10﹣2m， ∵这两条抛物线有交点， ∴10﹣2m≥0， ∴m≤5； 问题解决： （3）①抛物线y＝ax2+2ax﹣b＝a（x+1）2﹣a﹣b， ∴此抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b）， ∵抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2﹣2bx+a2＝b（x﹣1）2+a2﹣b， ∴a+b＝0，③ ∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点， ∴b+2b+a2＝﹣a﹣b④， 联立③④，∴a＝0（舍）或a＝3， ∴b＝﹣3， ∴抛物线y的顶点坐标为（﹣1，0），抛物线y的衍生抛物线的顶点坐标为（1，12）， ∴衍生中心的坐标为（0，6）； ②抛物线y＝ax2+2ax﹣b的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b）， ∵点（﹣1，﹣a﹣b）关于点（0，k+n2）的对称点为（1，a+b+2k+2n2）， ∴抛物线yn的顶点坐标An为（1，a+b+2k+2n2）， 同理：An+1（1，a+b+2k+2（n+1）2） ∴AnAn+1＝a+b+2k+2（n+1）2﹣（a+b+2k+2n2）＝4n+2． 29．（2017•江西）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝　　 BC； ②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 　4　 ． 猜想论证： （2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 拓展应用 （3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）①如图2中， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′， ∵DB′＝DC′， ∴AD⊥B′C′， ∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°， ∴∠B′AC′＝120°， ∴∠B′＝∠C′＝30°， ∴ADAB′BC， 故答案为． ②如图3中， ∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°， ∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°， ∵AB＝AB′，AC＝AC′， ∴△BAC≌△B′AC′， ∴BC＝B′C′， ∵B′D＝DC′， ∴ADB′C′BC＝4， 故答案为4． （2）结论：ADBC． 理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M ∵B′D＝DC′，AD＝DM， ∴四边形AC′MB′是平行四边形， ∴AC′＝B′M＝AC， ∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°， ∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′， ∴△BAC≌△AB′M， ∴BC＝AM， ∴ADBC． （3）存在． 理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN． 连接DF交PC于O． ∵∠ADC＝150°， ∴∠MDC＝30°， 在Rt△DCM中，∵CD＝2，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°， ∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°， 在Rt△BEM中，∵∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°， ∴EMBM＝7， ∴DE＝EM﹣DM＝3， ∵AD＝6， ∴AE＝DE，∵BE⊥AD， ∴PA＝PD，PB＝PC， 在Rt△CDF中，∵CD＝2，CF＝6， ∴tan∠CDF， ∴∠CDF＝60° ∴∠ADF＝90°＝∠AEB， ∴∠CBE＝∠CFD， ∵∠CBE＝∠PCF， ∴∠CFD＝∠PCF， ∵∠CFD+∠CDF＝90°，∠PCF+∠CPF＝90°， ∴∠CPF＝∠CDF＝60°， 易证△FCP≌△CFD， ∴CD＝PF，∵CD∥PF， ∴四边形CDPF是矩形， ∴∠CDP＝90°， ∴∠ADP＝∠ADC﹣∠CDP＝60°， ∴△ADP是等边三角形， ∴∠APD＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°， ∴∠BPC＝120°， ∴∠APD+∠BPC＝180°， ∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”， 在Rt△PDN中，∵∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN， ∴PN． （也可利用旋补中线长AB，求出AB即可） 30．（2016•江西）设抛物线的解析式为y＝ax2，过点B1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点Bn（（）n﹣1，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点An，连接AnBn+1，得Rt△AnBnBn+1． （1）求a的值； （2）直接写出线段AnBn，BnBn+1的长（用含n的式子表示）； （3）在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列问题： ①当n为何值时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？ ②设1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），问：是否存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）如图1所示， ∵点A1（1，2）在抛物线的解析式为y＝ax2上， ∴a＝2； （2）如图2所示， AnBn＝2x2＝2×[（）n﹣1]2，BnBn+1； （3）如图3所示， 由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn＝BnBn+1，则：， 2n﹣3＝n，n＝3， ∴当n＝3时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形， ②依题意得，∠AkBkBk+1＝∠AmBmBm+1＝90°， 有两种情况：i）当Rt△AkBkBk+1∽Rt△AmBmBm+1时， ，，， 所以，k＝m（舍去）， ii）当Rt△AkBkBk+1∽Rt△Bm+1BmAm时， ，，， ∴k+m＝6， ∵1≤k＜m≤n（k，m均为正整数）， ∴取或； 当时，Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5， 相似比为：64， 当时，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4， 相似比为：8， 所以：存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似，其相似比为64：1或8：1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$