【5年中考压轴真题】2022～2026年湖南省选择题、填空题、解答题汇编

**基本信息** 汇编2022-2026年湖南省中考数学压轴真题，涵盖选择、填空、解答三大题型，注重真实情境创设与能力梯度设计，适配一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|14小题|一次函数性质、圆的切线、概率计算等|结合春节促销考概率（第1题），以中国GDP数据考增长量估算（第5题）| |填空题|14小题|三角形中位线、正多边形内角、反比例函数等|融入《天工开物》工具考几何计算（第27题），结合二维码考幂的性质（第19题）| |解答题|14小题|二次函数综合、圆的切线证明、几何变换等|设计“美美与共”函数新定义问题（第29题），结合经纬度考弧长计算（第8题）|

【5年中考压轴真题】2022~2026年湖南省选择题、填空题、解答题汇编 一．选择题（共14小题） 1．（2023•长沙）·【较易】“千门万户曈曈日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片（分别写有“福”字、春联、灯笼）的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品，现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•长沙）·【较易】如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．4 B． C．5 D． 3．（2023•长沙）·【较易】下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝x﹣4 C．y＝2x D．y＝﹣x+1 4．（2022•长沙）·【较易】如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠AOB＝128°，则∠P的度数为（　　） A．32° B．52° C．64° D．72° 5．（2025•长沙）·【较易】中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为18.53万亿美元． 附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 德国 4.59 巴西 2.33 印度 3.93 俄罗斯 2.05 英国 3.49 韩国 1.76 法国 3.13 瑞士 0.93 预计2025年中国GDP总量的增长率为5%左右，请你根据以上信息估算： 2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（　　） A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国 6．（2026•湖南）·【较易】如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABC的斜边AB经过原点O，连接OC．已知OA＝OC，若点A的坐标为（1，0），则点B的坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，﹣1） C．（0，1） D． 7．（2025•湖南）·【较易】对于反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．点（2，2）在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＞0时，y随x的增大而减小 8．（2025•湖南）·【中档】如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 9．（2024•长沙）·【中档】如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　） A．y B．y C．y D．y 10．（2024•湖南）·【中档】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，下列说法正确的是（　　） A．a＜﹣3 B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 11．（2022•长沙）·【中档】如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D； ③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM． 若AB＝2，则AM的长为（　　） A．4 B．2 C． D． 12．（2025•长沙）·【中档】如图，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B落在AC边上的点E处，若AB＝4，BC＝5，AC＝6，则△CDE的周长为（　　） A．5 B．6 C．6.5 D．7 13．（2024•湖南）·【中档】如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（　　） A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D．S△ADES△ABC 14．（2026•湖南）·【中档】门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB垂直，门CD可绕C旋转，F是门CD与门吸EF的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF⊥AB于点E．已知AC＝a，EF＝b，∠ACD＝α，且a＞b，则门吸EF离墙AC的距离AE为（　　） A．a•tanα B．（a﹣b）sinα C．（a﹣b）cosα D．（a﹣b）tanα 二．填空题（共14小题） 15．（2026•湖南）·【易】如图，⊙O的半径为6，若它的周长等于的长的6倍，则阴影部分的面积为　 　 ． 16．（2024•长沙）·【易】如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE．若DE＝12，则AB的长为 　 　 ． 17．（2024•长沙）·【较易】为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　 　 ． 18．（2023•长沙）·【较易】毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 　 　 万里． 19．（2022•长沙）·【较易】当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下： YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）：2200等于2002； JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估计2200比1060大． 其中对2200的理解错误的网友是 　 　 （填写网名字母代号）． 20．（2025•长沙）·【较易】如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A+∠E＝ 　 　 ． 21．（2025•湖南）·【较易】如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB＝ 　 　 ． 22．（2024•湖南）·【较易】如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝ 　 　 ， 23．（2023•长沙）·【较易】如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 　 　 ． 24．（2022•长沙）·【较易】为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查．结果显示有95名学生知晓．由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有 　 　 名． 25．（2026•湖南）·【较易】如图，A，B，C是反比例函数y（k＞0，x＞0）图象上三个不同的点，AD⊥x轴于点D． （1）若C在△OAD的外接圆上，且A点的坐标是（4，2），则tan∠OCD＝　 　 ； （2）设E是线段OA的中点，且BE∥y轴．若BE＝mAD，则m＝　 　 ． 26．（2025•长沙）·【较易】衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b，c为实数，且满足a+b＝﹣c．那么2＝1． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有a+b＝﹣c；① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有a＝2a﹣a，b＝2b﹣b，c＝2c﹣c；② 第三步：把②代入①，可得（2a﹣a）+（2b﹣b）＝﹣（2c﹣c）；③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2（a+b+c）＝（a+b+c）；④ 第五步：把④两边同时除以（a+b+c），得2＝1．⑤ 请你判断上述推理过程中，第　 　 步是错误的，它违背了数学的基本法则． 27．（2024•湖南）·【较易】如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 　 　 分米（结果用含根号的式子表示）． 28．（2025•湖南）·【较难】已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数． （1）若三角形为等边三角形，则t＝　 　 ； （2）下列结论正确的是　 　 ．（写出所有正确的结论） ①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形； ②若，则5＜t＜11； ③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7． 三．解答题（共14小题） 29．（2023•长沙）·【较难】我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题： （1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值； （2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数． ①求函数y2的图象的对称轴； ②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； （3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由． 30．（2022•长沙）·【较难】若关于x的函数y，当tx≤t时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”． （1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值； ②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式； （2）若函数y（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值； （3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 31．（2024•湖南）·【较难】已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值． 32．（2023•长沙）·【较难】如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）． （1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明； （2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tanD）2的值； （3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 33．（2022•长沙）·【较难】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF． （1）求证：△ABE∽△DCE； （2）当，∠DFE＝2∠CDB时，则　 　 ；　 　 ；　 　 ．（直接将结果填写在相应的横线上） （3）①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S，S1，S2，若满足，试判断△ABE，△CDE的形状，并说明理由． ②当，AB＝m，AD＝n，CD＝p时，试用含m，n，p的式子表示AE•CE． 34．（2026•湖南）·【较难】【问题背景】 如图1，给定平行四边形ABCD，点P是AD边上不与A，D重合的一动点．如图2，作△XYZ，使得XY＝AD，且当点P运动时，保持∠X＝∠ABP，∠Y＝∠DCP． 【动手操作】将△XYZ拼接于平行四边形ABCD的上方： 操作一：如图3，使点X与A重合，点Y与D重合，将此时的Z点记为Q，作QS∥AB交AD于点S； 操作二：如图4，使点X与D重合，点Y与A重合，将此时的Z点记为R，连接RP． 【问题解决】 （1）如图1，当∠BPC＝80°时，∠APB+∠DPC＝　 　 °； （2）如图3，从结论①，②中选一个给出证明： ①△ASQ∽△BAP，②△DSQ∽△CDP； （3）如图3，在点P运动过程中，探究线段AP与线段DS的数量关系，并说明理由； （4）如图4，设AD＝4，AB＝3，当点P运动时，求PR+PD的最大值． 35．（2025•长沙）·【较难】如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD＝AD+BC． （1）求证：CD与该半圆相切； （2）当半径r时，令AD＝a，BC＝b，m，n，比较m与n的大小，并说明理由； （3）在（1）的条件下，如图2，当半径r＝1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG＝x，CD＝y，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 36．（2026•湖南）·【较难】如图1，公路l1与铁路l2垂直交汇于河岸O点处，公路l1与河岸的另一交点为A，其中河岸OCB段为抛物线的一部分，AB段为线段，OA＝7km，AB＝5km，点B到公路l1的距离BD＝3km，抛物线的顶点C到公路l1与铁路l2的距离分别为4km与2km．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路l1围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图2，栅栏EF紧靠公路l1（与公路l1的距离忽略不计），栅栏EH⊥EF，点H在该段抛物线上；栅栏FG⊥EF，点G在线段AB上．以点O为坐标原点，直线l1与l2分别为x轴与y轴，规定1个单位长度为1km，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出点B的坐标； （2）分别求直线AB与抛物线OCB的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）点E到铁路l2的距离小于1.5km，EH＝2FG，已知建1km长栅栏的各项开支为2万元，建完栅栏需花费17万元．求栅栏EH到铁路l2的距离． 37．（2025•长沙）·【较难】我们约定：当x1，y1，x2，y2满足（x1+y2）2+（x2+y1）2＝0，且x1+y1≠0时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“✓”，错误的打“×”）； ①函数y（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；　 　 ②函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”；　 　 ③函数y＝x2+x﹣1的图象上至少存在两对“对偶点”．　 　 （2）若关于x的一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（b1，b2都是常数，且b1•b2＜0）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于x的二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 38．（2025•湖南）·【难】如图，已知二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）的图象过点A（2，2），连接OA，点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3）是此二次函数图象上的三个动点，且0＜x3＜x1＜x2＜2，过点P作PB∥y轴交线段OA于点B． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点C、D在线段OA上，且直线QC、RD都平行于y轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当PB＞QC时，求证：x1+x2＞2； ②当PB＞RD时，求证：x1+x3＜2； （3）如图，若，延长PB交x轴于点T，射线QT、TR分别与y轴交于点Q1，R1，连接AP，分别在射线AT、x轴上取点M、N（点N在点T的右侧），且∠AMN＝∠PAO，．记t＝R1Q1﹣ON，试探究：当x1为何值时，t有最大值？并求出t的最大值． 39．（2024•长沙）·【难】已知四个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）都在关于x的函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象上． （1）当A，B两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（3，4）时，求代数式2024a+1012b的值； （2）当A，B两点的坐标满足a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； （3）当a＞0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：2a2+2（y1+y2）a0，2a2﹣2（y3+y4）a0．请问是否存在实数（m＞1），使得AB，CD，m•EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m•EF表示一条长度等于EF的m倍的线段）． 40．（2024•湖南）·【难】【问题背景】 已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角． 【初步感知】（1）如图1，当α＝60°时，∠CAE＝　 　 °； 【问题探究】（2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F． ①如图2，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立： ②如图3，当ACr，时，请补全图形，并求tanα及的值． 41．（2025•湖南）·【难】【问题背景】 如图1，在平行四边形纸片ABCD中，过点B作直线l⊥CD于点E，沿直线l将纸片剪开，得到△B1C1E1和四边形ABED，如图2所示． 【动手操作】现将三角形纸片B1C1E1和四边形纸片ABED进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片B1C1E1置于四边形纸片ABED内部，使得点B1与点B重合，点E1在线段AB上，延长BC1交线段AD于点F，如图3所示； ②连接CC1，过点C作直线CN⊥CD交射线E1E于点N，如图4所示； ③在边AB上取一点G，分别连接BD，DG，FG，如图5所示． 【问题解决】请解决下列问题： （1）如图3，填空：∠A+∠ABF＝ 　 　 °； （2）如图4，求证：△CNM≌△C1E1M； （3）如图5，若，∠AGD＝60°，求证：FG∥BD． 42．（2024•长沙）·【难】对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形： 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形： 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； 　 　 ②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形； 　 　 ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有Rr． 　 　 （2）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，四条边长满足：AB+CD≠BC+AD． ①该四边形ABCD是“　 　 ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若∠BAD的平分线AE交⊙O于点E，∠BCD的平分线CF交⊙O于点F，连接EF．求证：EF是⊙O的直径． （3）已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H． ①如图2，连接EG，FH交于点P．求证：EG⊥FH； ②如图3，连接OA，OB，OC，OD，若OA＝2，OB＝6，OC＝3，求内切圆⊙O的半径r及OD的长． 【5年中考压轴真题】2022~2026年湖南省选择题、填空题、解答题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共14小题） 1．【解答】解：画树状图如下： ∴一共有9种等可能得情况，他们恰好领取同一类礼品的情况有3种， ∴他们恰好领取同一类礼品的概率是：， 故选：C． 2．【解答】解：∵OE⊥AB， ∴AE＝EB＝4， ∴OA4． 故选：B． 3．【解答】解：在一次函数y＝2x+1中， ∵2＞0， ∴y随着x增大而增大， 故A不符合题意； 在一次函数y＝x﹣4中， ∵1＞0， ∴y随着x增大而增大， 故B不符合题意； 在一次函数y＝2x中， ∵2＞0， ∴y随着x增大而增大， 故C不符合题意； 在一次函数y＝﹣x+1中， ∵﹣1＜0， ∴y随着x增大而减小， 故D符合题意， 故选：D． 4．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠AOB＝128°， ∴∠P＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠AOB＝52°， 故选：B． 5．【解答】解：由题意可知，18.53×5%＝0.9265（万亿美元）， 即2025年中国GDP的增长量与瑞士2024年GDP总量最接近， 故选：B． 6．【解答】解：∵点A的坐标为（1，0）， ∴OA＝1， 由题意可知，∠ACB＝90°， ∴∠OCA+∠OCB＝90°，∠OAC+∠OBC＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB， ∴OC＝OA＝1， ∴点B的坐标为（﹣1，0）， 故选：A． 7．【解答】解：A、把点（2，2）代入反比例函数y，1＝2不成立，故不符合题意； B、k＝2＞0，函数图象分别位于第一、三象限，故不符合题意； C、当x＜0时，y随x的增大而减小，故不符合题意； D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故符合题意． 故选：D． 8．【解答】解：∵∠AOC＝40°，∠BOC＝15°， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝40°﹣15°＝25°， ∴2πRπR（千米）． ∴点A和点B之间的劣弧长约为πR千米． 故选：C． 9．【解答】解：过D作DH⊥BC交BC的延长线于H， 在菱形ABCD中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC， ∴∠DCH＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH， ∴DH， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD＝∠EHD＝90°， ∴△ADF∽△DEH， ∴， ∴， ∴y， 故选：C． 10．【解答】解：∵点P（2a﹣4，a+3）在第二象限， ∴，解得：﹣3＜a＜2， 故选项A不正确，不符合题意； ∵点P（2a﹣4，a+3）为“整点”， ∴a为整数， 又∵﹣3＜a＜2， ∴a＝﹣2，﹣1，0，1， 当a＝﹣2时，2a﹣4＝﹣8，a+3＝1，此时点P（﹣8，1）； 当a＝﹣1时，2a﹣4＝﹣6，a+3＝2，此时点P（﹣6，2）； 当a＝0时，2a﹣4＝﹣4，a+3＝3，此时点P（﹣4，3）； 当a＝1时，2a﹣4＝﹣2，a+3＝4，此时点P（﹣2，4）； ∴“整点”P的个数是4个， 故选项B不正确，不符合题意； 根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P（﹣2，4）是“超整点”， ∴点P为“超整点”，则点P的个数为1个， 故选项C正确，符合题意； 当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为：|﹣2|+|4|＝6， 故选项D不正确，不符合题意． 故选：C． 11．【解答】解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线， ∴AM＝BM， ∵以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M， ∴DA＝DM＝DB， ∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB， ∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°， ∴2∠DMA+2∠DMB＝180°， ∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°， ∴△AMB是等腰直角三角形， ∴AMAB22， 故选：B． 12．【解答】解：∵AB＝4，BC＝5，AC＝6， ∴由折叠的性质得：AE＝AB＝4，DE＝BD， ∴CE＝AC﹣AE＝6﹣4＝2，CD+DE＝CD+BD＝BC＝5， ∴△CDE的周长为：CE+CD+DE＝2+5＝7． 故选：D． 13．【解答】解：∵点D，E分别为边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，BC＝2DE． 故A、C选项不符合题意． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC． 故B选项不符合题意． ∵△ADE∽△ABC， ∴， 则． 故D选项符合题意． 故选：D． 14．【解答】解：过点F作 FG⊥AC于点G， ∵AC⊥AB，EF⊥AB，FG⊥AC， ∴四边形AEFG是矩形， ∴AE＝FG，AG＝EF＝b， ∵AC＝a， ∴CG＝AC﹣AG＝a﹣b， 在Rt△CGF 中，∠GCF＝∠ACF＝a， ∴， ∴FG＝CGtanα＝（a﹣b）tanα， ∴AE＝FG＝（a﹣b）tanα， 故选：D． 二．填空题（共14小题） 15．【解答】解：由题知， 设∠AOB的度数为n°， 则， 解得n＝60， 所以∠AOB＝60°， 所以阴影部分的面积为． 故答案为：6π． 16．【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝24， 故答案为：24． 17．【解答】解：设这位参与者的出生年份x，选取的数字为m， （10m+4.6）×10+1978﹣x＝915 ∴100m+46+1978﹣x＝915， ∴x＝1109+100m， ∵此时中学生的出生时间应该在2000年后， ∴m＝9， ∴x＝2009． 故答案为：2009． 18．【解答】解：设地球的半径为r万里， 则2πr＝8， 解得r， ∴火星的半径为万里， ∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为2π4（万里）． 故答案为：4． 19．【解答】解：（1）∵2200就是200个2相乘， ∴YYDS（永远的神）的说法正确； ∵2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘， ∴2200不等于2002， ∴DDDD（懂的都懂）说法不正确； ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…， ∴2n的尾数2，4，8，6循环， ∵200÷4＝50， ∴2200的个位数字是6， ∴JXND（觉醒年代）说法正确； ∵210＝1024，103＝1000， ∴2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020， ∵1024＞1000， ∴2200＞1060， ∴QGYW（强国有我）说法正确； 故答案为：DDDD． 20．【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°， ∵∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°， ∴∠A+∠E＝540°﹣120°﹣110°﹣105°＝205°， 故答案为：205°． 21．【解答】解：如图，设正八边形的外接圆的圆心为O， ∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴∠AOB＝∠COD45°， ∴∠AMB＝∠ACB+∠CBD ∠AOB∠COD ＝45°． 故答案为：45°． 22．【解答】解：由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线， ∵AD是边BC上的高， ∴AD⊥BC， ∵MN⊥AB， ∴MD＝MN＝2． ∴AD＝4MD＝8， ∴AM＝AD﹣MD＝6． 故答案为：6． 23．【解答】解：如图，连接OB， ∵∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∵OD⊥AB， ∴，∠OEA＝90°， ∴∠AOD＝∠BOD∠AOB＝60°， ∴∠OAE＝90°﹣60°＝30°， ∴OEOA2＝1， 故答案为：1． 24．【解答】解：估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有：1000950（名）． 故答案为：950． 25．【解答】解：（1）∵AD⊥x轴， ∴∠ODA＝90°，OD＝4，AD＝2， ∵C在△OAD的外接圆上，∠OCD，∠OAD所对圆弧均为， ∴tan∠OCD＝tan∠OAD2， 故答案为：2； （2）如图，连接BE并延长，交x轴于点F， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由E是线段OA的中点得， ∵AD⊥x轴，BE∥y轴， ∴AD∥BE， ∴B，E两点横坐标相同， ∴，即x1＝2x2， ∵A，B都在反比例函数上， ∴x1y1＝x2y2＝k， ∴，即BF＝2AD， ∵AD∥BE， ∴△OEF∽△OAD， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 26．【解答】解：∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立． ∴对于等式2（a+b+c）＝（a+b+c）， 当a+b+c＝0 时，该等式恒成立， 当a+b+c≠0，两边同时除以（a+b+c），得2＝1， ∵a+b＝﹣c， ∴a+b+c＝0， ∴上述推理过程中，第⑤步是错误的； 故答案为：⑤． 27．【解答】解：延长DC交l于点H，连接OC， 在Rt△OBH中，∠BOH＝90°﹣60°＝30°，OB＝12dm， ∴（dm），（dm）， ∵S△OBH＝S△OCH+S△OBC， ∴， ∴， ∴（dm）， 故答案为：． 28．【解答】解：（1）由题可知t＝1k+1k＝1+1＝2， 故答案为：2； （2）①当k＝2，t＝1时， 则，即a2+b2＝c2， ∴三角形为直角三角形， 故①正确，符合题意； ②当k＝1，，c＝1时， 则， 1°当a＞b时，a﹣b＜c，即， 解得：b＞2； 2°当a＜b时，b﹣a＜c，即， 解得：b＜6． 综上，2＜b＜6． 当b＝2时，， 当b＝6时，； ∴5＜t＜11， 故②正确，符合题意； ③， ∴， 又a+b＞c， ∴， 不妨设a＝n，则b＝n+1，c＝n+2， ∴， 解得：1＜n≤7， ∴n可取2，3，4，5，6，7， 对应的t值分别为：，共6个， 故③错误，不符合题意． 故答案为：①②． 三．解答题（共14小题） 29．【解答】解：（1）由题意可知，a2＝c1，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0， ∴m＝3，n＝2，k＝﹣1． 答：k的值为﹣1，m的值为3，n的值为2． （2）①∵点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动， ∴对称轴为x， ∴s＝﹣3r， ∴， ∴对称轴为x． 答：函数y2的图象的对称轴为x． ②， 令3x2+2x＝0， 解得， ∴过定点（0，1），（）． 答：函数y2的图象过定点（0，1），（）． （3）由题意可知，， ∴， ∴CD，EF， ∵CD＝EF且b2﹣4ac＞0， ∴|a|＝|c|． 1°若a＝﹣c，则， 要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形， 则△CAD，△CBD为等腰直角三角形， ∴CD＝2|yA|， ∴， ∴， ∴b2+4a2＝4， ∴， ∵b2＝4﹣4a2＞0， ∴0＜a2＜1， ∴S正＞2， 2°若a＝c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形， 综上，当a＝﹣c时，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S＞2． 30．【解答】解：（1）①∵t＝1， ∴x， ∵函数y＝4044x， ∴函数的最大值M＝6066，函数的最小值N＝2022， ∴h＝2022； ②当k＞0时，函数y＝kx+b在tx≤t有最大值M＝ktk+b，有最小值N＝ktk+b， ∴hk； 当k＜0时，函数y＝kx+b在tx≤t有最大值M＝ktk+b，有最小值N＝ktk+b， ∴hk； 综上所述：h＝|k|； （2）t1，即t， 函数y（x≥1）最大值M，最小值N， ∴h， 当t时，h有最大值； （3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值，理由如下： ∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k， ∴函数的对称轴为直线x＝2，y的最大值为4+k， ①当2≤t时，即t， 此时M＝﹣（t2）2+4+k，N＝﹣（t2）2+4+k， 此时h的最小值为； ②当t2时，即t， 此时N＝﹣（t2）2+4+k，M＝﹣（t2）2+4+k， ∴h＝2﹣t， ∵t， 此时h的最小值为； ③当t2≤t，即2≤t， 此时N＝﹣（t2）2+4+k，M＝4+k， ∴h（t）2， ∴h的最小值为， 由题意可得，4+k， 解得k； ④当t＜2≤t，即t＜2， 此时N＝﹣（t2）2+4+k，M＝4+k， ∴h（t）2， ∴h的最小值为； 综上，我们发现h的最小值为 ∴4+k， 解得k； 综上所述：k的值为． 31．【解答】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣4+c， 则c＝9， 即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+9； （2）证明：令y＝﹣x2+9＝0，则x＝±3，则点B（3，0）， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3， 设点P、Q、D的表达式分别为：（x1，9）、（x2，9）、（x1，﹣x1+3）， 则S△PDQPD×（xQ﹣xP）（9+x1﹣3）（x2﹣x1）（x1+6）， 同理可得：S△ADCCD×（xD﹣xA）（x1+6）， 则3为定值； （3）解：点P、Q的坐标分别为：（x1，9）、（﹣2x1，﹣49）， 由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝x1（x﹣x1）9＝xx1﹣29， 则MN＝yM＝（x1﹣1）x1﹣29＝﹣（x1）2， 故MN的最大值为：． 32．【解答】解：（1）BD是⊙O的切线． 证明：如图，在△ABC中，AB2＝BC2+AC2， ∴∠ACB＝90°． 又点A，B，C在⊙O上， ∴AB是⊙O的直径． ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠ABC＝90°． 又∠DBC＝∠CAB， ∴∠DBC+∠ABC＝90°． ∴∠ABD＝90°． ∴BD是⊙O的切线． （2）由题意得，S1BC•CD，S2BC•AC，SAD•BC． ∵S1•S＝（S2）2， ∴BC•CD•AD•BC＝（BC•AC）2． ∴CD•AD＝AC2． ∴CD（CD+AC）＝AC2． 又∵∠D+∠DBC＝90°，∠ABC+∠A＝90°，∠DBC＝∠A， ∴∠D＝∠ABC． ∴tan∠Dtan∠ABC． ∴CD． 又CD（CD+AC）＝AC2， ∴BC2＝AC2． ∴BC4+AC2•BC2＝AC4． ∴1+（）2＝（）4． 由题意，设（tan∠D）2＝m， ∴（）2＝m． ∴1+m＝m2． ∴m． ∵m＞0， ∴m． ∴（tan∠D）2． （3）设∠A＝α， ∵∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBC＝∠ABC+∠N＝90°， ∴∠A＝∠DBC＝∠N＝α． 如图，连接OM． ∴在Rt△OFM中，OF． ∴BF＝BO+OF＝1，AF＝OA﹣OF＝1． ∴在Rt△AFE中，EF＝AF•tanα＝（1）•tanα， AE． 在Rt△ABC中，BC＝AB•sinα＝2sinα．（∵r＝1，∴AB＝2．） AC＝AB•cosα＝2cosα． 在Rt△BFN中，BN，FN． ∴y＝FE•FN• ＝x2• ＝x2• ＝x2• ＝x2• ＝x． 即y＝x． ∵FM⊥AB， ∴FM最大值为F与O重合时，即为1． ∴0＜x≤1． 综上，y＝x，0＜x≤1． 33．【解答】（1）证明：∵， ∴∠ACD＝∠ABD，即∠ABE＝∠DCE， 又∵∠DEC＝∠AEB， ∴△ABE∽△DCE； （2）解：∵△ABE∽△DCE， ∴， ∴AE•CE＝BE•DE， ∴0， ∵∠CDB+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝∠DAB＝2∠CDB， 又∵∠DFE＝2∠CDB， ∴∠DFE＝∠DAB， ∴EF∥AB， ∴∠FEA＝∠EAB， ∵， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠FAE＝∠FEA， ∴FA＝FE， ∵EF∥AB， ∴△DFE∽△DAB， ∴， ∴1， ∵1， ∴1， ∴0， 故答案为：0，1，0； （3）解：①△ABE，△DCE都为等腰三角形， 理由：记△ADE、△EBC的面积为S3、S4， 则S＝S1+S₂+S3+S4， ∵， ∴S1S2＝S3S4 ①， ∵， 即S＝S1+S2+2， ∴S3+S4＝2 ②， 由①②可得S3+S4＝2， 即（）2＝0， ∴S3＝S4， ∴S△ABE+S△ADE＝S△ABE+S△EBC， 即S△ABD＝S△ABC， ∴CD∥AB， ∴∠ACD＝∠BAC，∠CDB＝∠DBA， ∵∠ACD＝∠ABD，∠CDB＝∠CAB， ∴∠EDC＝∠ECD＝∠EBA＝∠EAB， ∴△ABE，△DCE都为等腰三角形； ②∵， ∴∠DAC＝∠EAB， ∵∠DCA＝∠EBA， ∴△DAC∽△EAB， ∴， ∵AB＝m，AD＝n，CD＝p， ∴EA•AC＝DA×AB＝mn， ∵∠BDC＝∠BAC＝∠DAC， ∴∠CDE＝∠CAD， 又∠ECD＝∠DCA， ∴△DCE∽△ACD， ∴， ∴EA•AC+CE•AC＝AC2＝mn+p2， 则AC，．EC， ∴AE＝AC﹣CE， ∴AE•CE． 34．【解答】解：（1）∵∠BPC＝80°， ∴∠APB+∠DPC＝180°﹣∠BPC＝100°， 故答案为：100； （2）选择①△ASQ∽△BAP， 证明：∵QS∥AB， ∴∠ASQ＝∠BAP， 又∵∠QAS＝∠ABP， ∴△ASQ∽△BAP； 选择②△DSQ∽△CDP， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， 又∵QS∥AB， ∴QS∥CD， ∴∠QSD＝∠PDC， 又∵∠QDS＝∠DCP， ∴△DSQ∽△CDP； （3）AP＝DS，理由： ∵△ASQ∽△BAP，△DSQ∽△CDP， ∴①，， ∵AB＝CD， ∴②， 由①得AB•SQ＝AP•AS， 由②得AB•SQ＝DP•DS， ∴AP•AS＝DP•DS， ∴AP•（AD﹣SD）＝（AD﹣AP）•DS， ∴AP•AD﹣AP•SD＝AD•DS﹣AP•DS， ∴AP•AD＝AD•DS， ∴AP＝DS； （4）根据题意，得图3中△ADQ和图4中△DAR全等， ∴DQ＝AR， ∵图3中△DSQ∽△CDP， ∴， 由（3）知：AP＝DS， ∴， 又∵∠RAP＝∠DCP， ∴△ARP∽△CPD， ∴， 设PD＝x，则AP＝4﹣x， ∴， 解得， ∴ ， ∴当时，PR+PD取最大值为． 35．【解答】（1）证明：如图，连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作OE⊥CD于点E， ∵AD与BC均为该半圆的切线， ∴AD⊥AB，BC⊥AB， ∴AD∥BC， ∴∠M＝∠OCB， ∵O为AB的中点， ∴OA＝OB， 在△OAM与△OBC 中， ， ∴△OAM≌△OBC（AAS）， ∴AM＝BC， ∵CD＝AD+BC， ∴CD＝AD+AM＝DM， ∴∠M＝∠OCE， ∴∠OCB＝∠OCE，即CO平分∠BCD， 又∵OE⊥CD，OB⊥CB， ∴OE＝OB， ∴CD与该半圆相切； （2）解：m＝n．理由如下： 如图，过点C作CM⊥AD，交AD于点M， 在△CDM中，由勾股定理可得CD2＝DM2+CM2， ∵CD＝AD+BC＝a+b，DM＝|a﹣b|，CM＝2r， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4r2， ∴r2＝AD•BC＝ab＝2，代入可得； （3）解：∵CD，AD，BC均为该半圆的切线， ∴DA＝DE，CB＝CE， ∵AD⊥AB，BC⊥AB， ∴AD∥BC， ∴△DAG∽△BCG， ∴， ∴， ∵∠ACD＝∠GCE， ∴△ACD∽△GCE， ∴∠ADC＝∠GEC． ∴EG∥AD∥BC，FG∥AD∥BC， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴FG＝EG＝x， 由（2）可知r2＝AD•BC＝DE•EC＝1， ∴， 又在Rt△ABE 中， ∵， ∴AE•BE＝4x， ∴， ∴． 36．【解答】解：（1）∵O为原点，l1为x轴，OA＝7km， ∴A（7，0）， ∵点B到l1的距离BD＝3km，AB＝5km， ∴， ∴OD＝OA﹣DA＝7﹣4＝3km， ∴B（3，3）； （2）设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b， 将A（7，0）、B（3，3）代入得：， 解得， ∴直线AB的函数表达式为：， ∵顶点C到l1的距离为4km，到l2的距离为2km， ∴C（2，4）， ∴设抛物线OCB的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+4， 将O（0，0）代入得0＝4a+4， 解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x， ∴抛物线OCB的函数表达式为：y＝﹣x2+4x； （3）建1km长栅栏的各项开支为2万元，建完栅栏需花费17万元， ∴棚栏总长为， ∴， 设点E的坐标为（e，0），且0＜e＜3， ∵点E到铁路l2的距离小于1.5km， ∴e＜1.5， ∵点H在抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴H（e，﹣e2+4e）， ∴HE＝﹣e2+4e， 设点F的坐标为（f，0），且f＞e， ∵点G在直线A上， ∴， ∴， ∵EH＝2FG， ∴， 整理得：， 又∵EF＝f﹣e， ∴， 将代入，整理得：5e2﹣14e+9＝0， 解得：e1＝1，， ∵e＜1.5， ∴e不合题意，舍去， ∴e＝1， ∴栅栏EH到铁路l2的距离为1km． 37．【解答】解：（1）①设函数y图象上任意一点（m，），可知（，﹣m）也在函数y图象上， 而（m，）与（，﹣m）是“对偶点”， ∴函数y（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”； 故答案为：✓； ②设（n，﹣2n+1）和（2n﹣1，﹣n）是y＝﹣2x+1图象上一对“对偶点”， ∴﹣n＝﹣2（2n﹣1）+1， 解得n＝1， 此时n+（﹣2n+1）＝0，不符合“对偶点”定义， ∴函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”， 故答案为：✓； ③设（t，t2+t﹣1）和（﹣t2﹣t+1，﹣t）是函数y＝x2+x﹣1的图象上的“对偶点”， ∴（﹣t2﹣t+1）2+（﹣t2﹣t+1）﹣1＝﹣t， 变形整理得：（t+1）（t﹣1）（t2+2t﹣1）＝0， 解得t1＝﹣1，t2＝1，t31，t41， 当t1＝﹣1或t2＝1时，（1，1）和（﹣1，﹣1）是一对“对偶点”，符合题意； 当t31，t41时，t+（t2+t﹣1）＝0，不符合“对偶点”定义； ∴函数y＝x2+x﹣1的图象上只有一对“对偶点”， 故答案为：×； （2）由题意可得：x2＝﹣y1，y2＝﹣x1，则点（x1，y1）与点（﹣y1，﹣x1）在x1≠﹣y1是一对“对偶点”， ∵y＝k1x+b1是“对偶函数”， ∴其图象上必存在一对“对偶点”，有，两式相减可得k1＝1， 同理可得k2＝1， ∴两个一次函数为y＝x+b1，y＝x+b2， ∵b1，b2都是常数，且b1•b2＜0， ∴两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如图： ∴其面积之和S； （3）由题意可得a≠0，且x1≠﹣y1时，有， 两式相减可得， ∴， 代入①整理可得2x11＝0， ∵二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”， ∴关于x1的一元二次方程2x11＝0必有实数根， 而Δ＝1﹣8a（1）＝8a﹣3， 当Δ＝0，即8a﹣3＝0时，a，由x1+0可得x1， ∴y1（）2﹣1， ∴x1+y1＝0，此时不符合题意，这种情况舍去； ∴必有Δ＝﹣3+8a＞0， 解得． 38．【解答】解：（1）把点A（2，2）代入二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）中， 得﹣4a＝2，故a， 故此二次函数的表达式为y． （2）证明：选择①：由A（2，2）可知直线OA的表达式为y＝x， 由题意可知P（x1，2x1），B（x1，x1），Q（x2，2x2），C（x2，x2）， 故PB2x1﹣x1x1，QCx2， ∵PB＞QC，即x1x2， 整理可得（x2﹣x1）（x2+x1）＞x2﹣x1，由于x2﹣x1＞0， 故（x2+x1）＞1， 即x1+x2＞2； 选择②：同理得R（x3，2x3），D（x3，x3）， 故RDx3， ∵PB＞RD，即x1x3， 整理可得（x3﹣x1）（x3+x1）＞x3﹣x1，由于x3﹣x1＜0， 故（x3+x1）＜1， 即x1+x3＜2； （3）由待定系数法可求得直线AP的表达式为y＝（1）x+x1， 设直线AP交y轴于点G，如图2所示， 则OG＝x1＝OT， ∵∠GOA＝∠TOA＝45°， 在△GOA和△TOA中， ， ∴△GOA≌△TOA（SAS）， ∴∠PAO＝∠TAO， ∵∠AMN＝∠PAO， ∴∠AMN＝∠TAO， ∵AO2MN， 在△TOA和△TNM中， ， ∴△TOA≌△TNM（AAS）， ∴TN＝TO＝x1，ON＝2x1， 作QH⊥x轴于点H， 则tan∠QTH， 又∵tan∠QTH＝tan∠Q1TO， 即， ∴OQ1＝（）x1． ∵T（x1，0），R（x1，）， ∴由待定系数法可得直线RT的表达式为y＝（）x， 即OR1， ∴R1Q1＝OQ1+OR1， ∴t＝R1Q1﹣ON2x1， 故当x1时，t的最大值为． 即当x时，t的最大值为． 39．【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣4），B（3，4）代入y＝ax2+bx+c得， ②﹣①得8a+4b＝8，即2a+b＝2． ∴． （2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个． 方法1：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0， 得（a+2y1）（a+2y2）＝0， ∴，， ①当a＞0时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方， ∴此时该函数图象与x轴有两个公共点； ②当a＜0时，，此抛物线开口向下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方， ∴此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点． 方法2：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0， 得（a+2y1）（a+2y2）＝0， ∴，， ∴抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解． ∴该方程根的判别式，即b2﹣4ac≥2a2． ∵a≠0，所以b2﹣4ac＞0． ∴原函数图象与x轴必有两个公共点． 方法3：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0， 可得或． ①当时，有，即， ∴． 此时该函数图象与x轴有两个公共点． ②当时，同理可得△＞0，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点． （3）因为a＞0，所以该函数图象开口向上． ∵， ∴， ∴y1＝y2＝﹣a． ∵， ∴， ∴y3＝y4＝a， ∴直线AB，CD均与x轴平行． 由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点， 设E（x5，0），F（x6，0）． 由图象可知，即b2﹣4ac＞4a2， ∴ax2+bx+c＝﹣a的两根为x1、x2， ∴， 同理ax2+bx+c＝a的两根为x3、x4，可得， 同理ax2+bx+c＝0的两根为x5、x6，可得， 由于m＞1，结合图象与计算可得AB＜EF＜m•EF，AB＜CD． 若存在实数m（m＞1），使得AB，CD，m•EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为 30°、60° 的直角三角形， ∴线段AB不可能是该直角三角形的斜边． ①当以线段CD为斜边，且两锐角分别为30°，60°时， ∵m•EF＞AB， ∴必须同时满足：AB2+（m•EF）2＝CD2，． 将上述各式代入化简可得，且， 联立解之得，， 解得，符合要求． ∴，此时该函数的最小值为． ②当以线段m•EF为斜边时，必有AB2+CD2＝（m•EF）2， 同理代入化简可得2（b2﹣4ac）＝m2（b2﹣4ac）， 解得， ∵以线段为斜边，且有一个内角为60°，而CD＞AB， ∴CD＝AB•tan60°，即， 化简得b2﹣4ac＝8a2＞4a2符合要求． ∴，此时该函数的最小值为． 综上所述，存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为，当时，此时该函数的最小值为﹣2a． 40．【解答】（1）解：∵α＝60°，OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA＝α＝60°， ∵AC与圆相切， ∴∠OAC＝90°， ∴∠CAE＝30°． 故答案为：30． （2）①证明：∵四边形ABCD是矩形，AC＝2r， ∴OA＝OE＝CF＝DF＝r， ∵∠OAC＝∠ADC＝90°， ∴∠OAE+∠CAD＝∠ACD+∠CAD， ∴∠OAE＝∠ACD， ∵OA＝OE，CF＝DF， ∴∠OAE＝∠OEA＝∠ACD＝∠CDF， 在△OAE和△FCD中， ， ∴△OAE≌△FCD（AAS）， ∴AE＝CD， ∵AD＝AE+ED， ∴BC＝CD+ED． 即无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立． ②解：补全图形如图， ∵AC是切线， ∴∠OAC＝90°， ∵AC， ∴tan∠AOC， 设OA＝3m，则AC4m，OC＝5m， ∵，OE＝OA＝3m， ∴CE＝2m，OE+CE＝5m＝OC， 即点E在线段OC上， ∴tanα＝tan∠AOC． 法一：如图，过O作OH⊥AE，垂足为H，则AH＝EH， ∵∠OHE＝90°＝∠D，∠OEH＝∠CED， ∴△OEH∽△CED， ∴， 设EH＝AH＝3a，则DE＝2a， ∴AD＝AH+EH+ED＝8a， 在Rt△ACD中，CD2＝AC2﹣AD2＝16m2﹣64a2， 在Rt△CED中，CD2＝CE2﹣ED2＝4m2﹣4a2， ∴16m2﹣64a2＝4m2﹣4a2，解得am， ∴BC＝ADm，CDm＝AB， ∴． 法二：由OH∥CD，得∠DCE＝∠HOE＝∠CAD，证△CAD∽△ECD， 直接得到， ∴． 41．【解答】（1）解：由题可知∠ABF＝∠CBE， ∵BE⊥CD， ∴∠CEB＝90°， ∴∠CBE+∠C＝90°， 在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C， ∴∠A+∠ABF＝90°， 故答案为：90； （2）证明：∵CN⊥CD， ∴∠NCD＝90°， 由题可知∠BE1C1＝∠CEB＝90°，BE＝B1E1，CE＝C1E1， ∵AB∥CD， ∴∠EBE1＝∠CEB＝90°， ∴△EBE1为等腰直角三角形， ∴∠BE1E＝∠BEE1＝45°， ∴∠CEN＝∠CNE＝∠C1E1M＝45°， ∴CN＝CE＝C1E1， 在△CNM和△C1E1M； ， ∴△CNM≌△C1E1M（AAS）； （3）证明：如图，过点D作DP⊥AB垂足为点P， 由题， 设AF＝1， ∴，AB， ∴， 在Rt△ADP中，， ∴DP， ∵∠AGD＝60°， ∴在Rt△GDP中，PG， ∴AG＝AP+PG＝2， ∴，即， ∵∠A＝∠A， ∴△AFG∽△ADB， ∴∠AFG＝∠ADB， ∴FG∥BD． 42．【解答】解：（1）①当平行四边形的对角不互补时，对边和不相等时， 即内角不等于90°且邻边不相等的平行四边形是“平凡型无圆”四边形， 故①错误； ②∵内角不等于90°的菱形对角不互补，但是对边之和相等， ∴菱形是“内切型单圆”四边形， 故②正确； ③由题可知外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形， 如图，此时OM＝r，ON＝R， ∵△OMN是等腰直角三角形， ∴ONOM， ∴Rr， 故③正确． 故答案为：①（×）；②（√），③（√）． （2）①该四边形ABCD是“外接型单圆”四边形； 理由：∵AB+CD≠BC+AD， ∴四边形ABCD无内切圆． ∴四边形ABCD是“外接型单圆”四边形； ②证法1：如图1，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴，， ∴，即， ∴与均为半圆， ∴EF是⊙O的直径． 证法2：如图1，连接AF． ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴，， ∴∠1+∠2＝90°， 由同弧所对的圆周角相等可得∠2＝∠3， ∴∠1+∠3＝90°，即∠EAF＝90°． ∴EF是⊙O的直径 证法3：如图2，连接FD，ED． ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， 由题意，得，， ∵由同弧所对的圆周角相等可得：∠EFD＝∠1，∠FED＝∠2， ∴， ∴∠FDE＝90°． ∴EF是⊙O的直径． （3）①证明：如图3，连接OE，OF，OG，OH，HG． ∵⊙O是四边形ABCD的内切圆， ∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD． ∴∠OEA＝∠OHA＝90°． ∴在四边形EAHO中，∠A+∠EOH＝360°﹣90°﹣90°＝180°． 同理可证∠FOG+∠C＝180°， ∵四边形ABCD是“完美型双圆”四边形， ∴四边形ABCD有外接圆， ∴∠A+∠C＝180°， ∴∠EOH＝∠C． ∴∠FOG+∠EOH＝180° 又∵∠FHG∠FOG，， ∴∠FHG+∠EGH＝90°． ∴∠HPG＝90°，即EG⊥FH． ②方法1：如图4，连接OE，OF，OG，OH． ∵四边形ABCD是“完美型双圆”四边形， ∴∠OAH+∠OAE+∠OCG+∠OCF＝180°． ∵⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H， ∴∠OAH＝∠OAE，∠OCG＝∠OCF． ∴∠OAH+∠OCG＝90°． ∵∠COG+∠OCG＝90°， ∴∠OAH＝∠COG． ∵∠AHO＝∠OGC＝90°， ∴△AOH∽△OCG． ∴，即， 解得， 在Rt△OGC中，有OG2+CG2＝OC2，即， 解得， 在Rt△OBE中， 同理可证△BEO∽△OHD， 所以，即， 解得． 方法2：如图4， 由△AOH∽△OCG，得，即， 解得， 由△BEO∽△OHD， 得，即， 解得． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $