题号猜押03 湖南中考数学11～16题（填空题）（湖南专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦湖南中考数学填空题高频考点，以7大模块分层训练，强化知识逻辑与题型对应，提升解题精准度。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |因式分解|10题|含提公因式、公式法及综合分解|从基础到复杂多项式，构建分解步骤逻辑链| |分式方程|10题|直接求解、换元法及解的应用|强调去分母、验根步骤，渗透转化思想| |统计与概率|10题|概率计算、数据分析及图表应用|围绕数据收集-整理-分析，培养数据意识| |尺规作图|10题|角平分线、垂直平分线等作图应用|结合几何推理，强化空间观念与操作逻辑| |函数图象与性质|10题|反比例、二次函数图象与参数关系|通过图象分析性质，建立数形结合模型| |图形的性质|10题|三角形、圆及四边形性质应用|以基本图形为核心，构建性质推导体系| |图形的变化|10题|折叠、位似及动态几何问题|侧重图形变换中的不变量，发展推理意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押03湖南中考数学11~16题（填空题） 押题预测 ●考点1因试分解 1.(x+1)(x-1)2.a(a-4)3.(3+a)(3-a)4.2(m+1)2(m-1)25.x(x +2)(x-2) 6.3x(x+2y)7.9(+3)(x-3)·8.4(x+2)(x-2)9.x(x+3)(x-3) 10.-(x-2)2 考点2分式方程 1.x=62.x=3.34.x=-25.2y+吉=36.x=-4 7.48.x= 9.x=-110.3 。考点3统计与概率 1.是2.153.吉0,1254.2405.乙6.0.2 7甲8.甲9.9小时10.是 修考点4尺规作图 1.142.5-1/-1+53.54.15.56.30 7.5555度8.459.号10.3 考点5函数的图像与性质 1.2:32.-83.y2<y3<y14.365.(1,6)6.-12 7.88.39.2410.5 、考点6图形的性质 1.62.60°60度3.号π/ξ4.25.806.75 7.5/58.569.185-6m 10.9 1/2 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点7图形的变化 1.9 2.1 30.53.4 4.165.56.2 5.5 6 6.6 7.3 8.号5月 /0.75 9.青 10.3或6 通关特训 1.x(+2)(x-2) 2.甲 3.5ncm2 4.①③ 5./0.25 6.2m 7.号0.4 8.元 9.2 10.a(3y-4) 11.y=(x-5)2-5 12.y2<y1<y3 13.x=-3 14.30°/30度 15.(+20) 2/2 题号猜押03 湖南中考数学11~16题（填空题） 考点1 因式分解 1．（2026年4月湖南省邵阳市中考适应性考试试题卷九年级数学）因式分解：__________． 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）因式分解：______． 3．（2026·湖南岳阳·一模）因式分解：__________． 4．（2026·湖南常德·一模）分解因式___________ 5．（2025·湖南岳阳·中考二模）分解因式：=______． 6．（2025·湖南株洲·一模）因式分解：______． 7．（2025·湖南怀化·一模）因式分解：9x2－81＝____________________． 8．（2025·湖南·模拟预测）因式分解：______． 9．（2025·湖南·模拟预测）因式分解x3－9x=__________． 10．（2025·湖南邵阳·一模）分解因式： __． 考点2 分式方程 1．（2026·湖南邵阳·二模）分式方程的解为__________． 2．（2026·湖南常德·一模）方程的解为__________. 3．（2025·湖南株洲·一模）方程的解为______． 4．（2025·湖南·三模）方程的解为__________． 5．（2025·湖南·模拟预测）已知关于x的方程3，如果设y，那么原方程化为关于y的方程是 _____． 6．（2024·内蒙古通辽·中考真题）分式方程的解为______． 7．（2025·湖南·模拟预测）分式方程的解是___． 8．（2025·湖南·模拟预测）分式方程的解为______． 9．（2025·湖南·模拟预测）分式方程的解为______． 10．（2025·湖南·模拟预测）若，则__________ 考点3 统计与概率 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为________． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）为响应“冰雪同梦，亚洲同心”的亚冬会精神，某校组建青年冰球队，旨在通过冰雪运动增强学生的自信心和团队协作能力．以下是该队12名队员的年龄分布（单位：岁）：14，15，16，14，15，17，15，14，16，15，14，15则这支冰球队队员的平均年龄是________岁． 3．（2025·湖南·模拟预测）如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率是___________．    4．（2025·湖南长沙·模拟预测）《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为_________石. 5．（2025·湖南·模拟预测）某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种零件，在相同的生产工艺和质量管控下，工作人员统计了这两条生产线一周内每天的零件合格率（%），并计算出方差的近似值，数据如下表所示，从零件合格率的稳定性角度考虑，工厂应该优先保证___生产线的稳定运行． 生产线 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 方差 甲 95 93 94 96 92 95 94 1.6 乙 91 90 92 91 90 93 92 1.1 6．（2025·湖南·模拟预测）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 18 38 63 80 杯口朝上频率 0.18 0.19 0.21 0.20 估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为______（结果精确到0.1）． 7．（2025·湖南怀化·一模）长沙市某中学举行初三毕业晚会，甲班舞蹈队的身高方差，乙班舞蹈队的身高方差，则从身高来说，______班更整齐． 8．（2026·湖南·模拟预测）随机从甲、乙两块试验田中各抽取株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是_____________． 9．（2026·湖南娄底·一模）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是______． 10．（2026·湖南岳阳·一模）为吸引顾客，某超市推出购物抽奖活动．如图，抽奖时转动质地均匀的圆形转盘，转盘停止后，指针随机指向某一区域，顾客根据指针指向的区域领取对应奖票．若阴影部分的圆心角为210°，则指针指向白色区域的概率为__________． 考点4 尺规作图 1．（2026·湖南邵阳·二模）如图，四边形是平行四边形，在边上截取线段，使，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交边于点．若，则平行四边形的周长是__________． 2．（2025·湖南株洲·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则长为________． 3．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若，的面积为2，则的面积为__________． 4．（2025·湖南·模拟预测）如图，在四边形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，，，则的长为______． 5．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交边于点，若，的面积为，则线段的长为________．    6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是______． 7．（2025·湖南·模拟预测）如图，在上分别截取线段，使得；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线．连接， 若，，则的度数为____________． 8．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则_____． 9．（2025·湖南株洲·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ______． 10．（2025·湖南长沙·三模）如图，在中，点D，E分别是，的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为______． 考点5 函数的图象与性质 1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在串联电路中，电流处处相等，且满足欧姆定律，现有两个定值电阻，阻值之比，若将它们串联接入同一电路中，则它们两端的电压之比______． 2．（2026·湖南常德·一模）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴；垂足为；若的面积等于，则的值___________ 3．（2025·湖南株洲·一模）若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 4．（2025湖南常德·一模）已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压________． 5．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．若，，则点的坐标为_________． 6．（2025·湖南·三模）如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，若，则k的值为______． 7．（2025·湖南·模拟预测）如图是一台印刷机每年可印刷的书本数量（万册）与它的使用时间（年）的关系图，则当年时， _____万册． 8．（2026·湖南常德·一模）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_______个． 9．（2025·湖南·模拟预测）对于二次函数，若存在一次函数，满足以下两个条件：①其函数图象经过的图象的顶点和的图象与轴的交点；②若关于的函数的最小值为，则称函数为函数的“融洽函数”．已知二次函数的“融洽函数”存在，则的值为___． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，点是轴上一点（在右侧），连接，的中点恰好在反比例函数图象上，且，则________． 考点6 图形的性质 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，D，E分别是的中点，若，则的长为__________． 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，在三角形中，是边的垂直平分线，且分别交于点D和E，，则________ ． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则点扫过的弧长为_____．（结果保留） 4．（2026·湖南邵阳·二模）如图，在等腰直角三角形中，，，点为边的中点，点，分别为边上的动点，且，则的面积的最大值为__________． 5．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，中，点在上，，，则图中标示的的值是______． 6．（2026·湖南岳阳·一模）如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角__________°． 7．（2026·湖南岳阳·一模）苯环是由6个碳原子组成的环状结构，外形是一个完美的正六边形．如图，与分别为正六边形的两条对角线，则__________． 8．（2026·湖南娄底·一模）如图，直线c与直线a、b都相交．若，，则______°． 9．（2026·湖南娄底·一模）如图，，点是上一点，半径长为的与相切于点，交于点．则图中阴影部分的面积为_______．(结果保留根号和) 10．（2026·湖南常德·一模）如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为__． 考点7 图形的变化 1．（2026·湖南娄底·一模）如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 2．（2026·湖南岳阳·一模）如图，，，分别为的三边，其中，直线是边的垂直平分线，顶点到直线的距离为，我们将定义为的斜度，记作． (1)若的斜度，则__________． (2)若的三边满足关系式：，则斜度__________． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则__________． 5．（2025·湖南·模拟预测）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，B与AD交于点E，若AB＝4，BC＝8，则BE的长为___．      6．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 7．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为_____． 8．（2025·湖南衡阳·模拟预测）魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形，已知图中与的面积比为． （1）若正方形的边长为16，则的长为_______； （2）的值为_______． 9．（2025·湖南湘西·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝_____． 10．（2025·湖南·三模）如图，矩形纸片，．如果点P在边上，将纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接，当是直角三角形时，那么的长为_______． 1．（2026·湖南邵阳·中考模拟）分解因式：=______． 2．（2026·湖南·模拟预测）随机从甲、乙两块试验田中各抽取株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是_____________． 3．（2026·湖南·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的全面积为______． 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，平面直角坐标系中是原点，的顶点的坐标分别是，点把线段三等分，延长分别交于点，连接，则下列结论：①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④；其中正确的结论是 _____．（填写所有正确结论的序号） 5．（2026·湖南湘潭·一模）如图，点是直线外一点，以点为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点，；分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点（点与点在直线的两侧）；作直线交直线于点，连接，，，．则_____________． 6．（2026·湖南湘潭·一模）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中的弧长为_____________（结果用表示）． 7．（2026·湖南湘潭·一模）在一个不透明的布袋中装有4个白球和6个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是______． 8．（2026·湖南湘西·一模）如图，把一块含的直角三角板的顶点A放在半径为3的圆盘上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆交于B，C两点，则图中的长为________． 9．（2026·湖南湘西·一模）如图，点A、B是函数y＝x与y＝的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为___________． 10．（2026·湖南衡阳·一模）因式分解：________． 11．（2026·湖南衡阳·一模）把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为______． 12．（2026·湖南衡阳·一模）若点、、都在反比例函数的图象上，且．则，，的大小关系是_______ ．（用“”连接） 13．（2026·湖南株洲·一模）分式方程的解为__________________． 14．（2026·湖南株洲·一模）如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是_______． 15．（2026·湖南株洲·一模）如图，是由圆O截去下面的弓形形成的图形．过点O作的垂线，交该图形于点C，D，已知的长是，的长是20，则该图形的周长是________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押03 湖南中考数学11~16题（填空题） 考点1 因式分解 1．（2026年4月湖南省邵阳市中考适应性考试试题卷九年级数学）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解中的平方差公式，解题关键是识别出式子符合平方差的形式，并套用公式分解．直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）因式分解：______． 【答案】 【详解】解： 3．（2026·湖南岳阳·一模）因式分解：__________． 【答案】 【详解】 4．（2026·湖南常德·一模）分解因式___________ 【答案】2 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握公式法是关键．先提取公因式再用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 5．（2025·湖南岳阳·中考二模）分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 6．（2025·湖南株洲·一模）因式分解：______． 【答案】 【分析】先确定多项式各项的公因式，再提取公因式完成因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2025·湖南怀化·一模）因式分解：9x2－81＝____________________． 【答案】9（x+3）（x－3）． 【分析】先提公因式，然后根据平方差公式可以对原式进行因式分解． 【详解】解：9x2－81＝9（x2－9）＝9（x+3）（x－3）， 故答案为：9（x+3）（x－3）． 8．（2025·湖南·模拟预测）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 9．（2025·湖南·模拟预测）因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 10．（2025·湖南邵阳·一模）分解因式： __． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因数，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故本题答案为：． 考点2 分式方程 1．（2026·湖南邵阳·二模）分式方程的解为__________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后检验即可得到结果． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 经检验，当时，， 所以是原分式方程的解． 2．（2026·湖南常德·一模）方程的解为__________. 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，先把方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 是原方程的解． 故答案为：． 3．（2025·湖南株洲·一模）方程的解为______． 【答案】3 【详解】解： 分式两边同时乘以得： 移项，合并同类项：， 经检验当时，， 则分式方程的解为． 4．（2025·湖南·三模）方程的解为__________． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程．去分母，再解一元一次方程，检验即可得到答案． 【详解】解：去分母得，， 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：； 5．（2025·湖南·模拟预测）已知关于x的方程3，如果设y，那么原方程化为关于y的方程是 _____． 【答案】 【分析】先根据y得到，再代入原方程进行换元即可． 【详解】解：由,可得， 故答案为：． 6．（2024·内蒙古通辽·中考真题）分式方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，然后求解并检验即可求解． 【详解】解： 解得： 经检验是原方程的解， 故答案为：． 7．（2025·湖南·模拟预测）分式方程的解是___． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： ， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为：， 故答案为：． 8．（2025·湖南·模拟预测）分式方程的解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；因此此题可根据分式方程解法进行求解． 【详解】解： 解得：， 经检验：是原方程的解； 故答案为． 9．（2025·湖南·模拟预测）分式方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解． 故答案为：． 10．（2025·湖南·模拟预测）若，则__________ 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故答案为： 考点3 统计与概率 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查了概率，根据概率公式直接计算即可求解，掌握概率公式是解题的关键．让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率． 【详解】解：一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球， 从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为． 故答案为：． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）为响应“冰雪同梦，亚洲同心”的亚冬会精神，某校组建青年冰球队，旨在通过冰雪运动增强学生的自信心和团队协作能力．以下是该队12名队员的年龄分布（单位：岁）：14，15，16，14，15，17，15，14，16，15，14，15则这支冰球队队员的平均年龄是________岁． 【答案】 【分析】此题考查了平均数，根据平均数的定义进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 即这五名队员的平均年龄为15， 故答案为：15． 3．（2025·湖南·模拟预测）如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率是___________．    【答案】/ 【分析】本题考查概率的应用，设围成的正方形的边长为a，算出6号板的面积与整体正方形的面积比即可知道答案． 【详解】解：设围成的正方形的边长为a， 则正方形的对角线长为， 五号板的直角边为， ∴六号板的一边为，另一边为： ∴六号板的面积为 正方形的面积为： 所以停在1号板区域的概率是 故答案为： 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为_________石. 【答案】240 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据多次实验得到的频率约等于概率得出方程，求出解即可． 【详解】解：设这批米内夹谷约为x石，根据题意，得 ， 解得． 所以这批米内夹谷约为240石． 故答案为：240． 5．（2025·湖南·模拟预测）某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种零件，在相同的生产工艺和质量管控下，工作人员统计了这两条生产线一周内每天的零件合格率（%），并计算出方差的近似值，数据如下表所示，从零件合格率的稳定性角度考虑，工厂应该优先保证___生产线的稳定运行． 生产线 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 方差 甲 95 93 94 96 92 95 94 1.6 乙 91 90 92 91 90 93 92 1.1 【答案】乙 【分析】本题考查了用方差做决策，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 比较方差即可得到乙生产线零件合格率的稳定性比甲生产线高． 【详解】解：， 乙生产线零件合格率的稳定性比甲生产线高． ∴工厂应该优先保证乙生产线的稳定运行． 故答案为：乙． 6．（2025·湖南·模拟预测）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 18 38 63 80 杯口朝上频率 0.18 0.19 0.21 0.20 估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为______（结果精确到0.1）． 【答案】0.2 【分析】观察数据表知，随着抛掷总次数的增加，频率稳定在0.2附近，可把它作为概率的近似值． 【详解】解：由表知，随着抛掷总次数的增加，频率稳定在0.2附近， 因此，估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为0.2； 故答案为：0.2． 7．（2025·湖南怀化·一模）长沙市某中学举行初三毕业晚会，甲班舞蹈队的身高方差，乙班舞蹈队的身高方差，则从身高来说，______班更整齐． 【答案】甲 【分析】本题考查了方差的意义，根据方差越小，波动越小，即可求解． 【详解】解：因为方差越小，数据的波动越小．这里，所以甲班更整齐． 故答案为：甲 8．（2026·湖南·模拟预测）随机从甲、乙两块试验田中各抽取株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是_____________． 【答案】甲 【分析】根据方差的意义判断即可．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 【详解】解：由方差的意义，观察数据可知， ∵， ∴甲块试验田的方差小， 故甲试验田小麦长势比较整齐． 故答案为：甲． 9．（2026·湖南娄底·一模）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是______． 【答案】9小时 【分析】本题考查了中位数的定义，根据中位数的定义可知将40位同学锻炼时间从小到大排序后，第20位同学和第21位同学的平均数即是中位数． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列后，第20位同学和第21位同学的平均数为（小时），即中位数为9小时， 故答案为：9小时． 10．（2026·湖南岳阳·一模）为吸引顾客，某超市推出购物抽奖活动．如图，抽奖时转动质地均匀的圆形转盘，转盘停止后，指针随机指向某一区域，顾客根据指针指向的区域领取对应奖票．若阴影部分的圆心角为210°，则指针指向白色区域的概率为__________． 【答案】 【分析】用白色区域的圆心角的度数除以度，即可得出结果． 【详解】由题意可得指针指向白色区域的概率为． 考点4 尺规作图 1．（2026·湖南邵阳·二模）如图，四边形是平行四边形，在边上截取线段，使，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交边于点．若，则平行四边形的周长是__________． 【答案】14 【分析】根据尺规作图的步骤可知平分，再根据平行四边形的性质得，然后说明，最后根据四边形的周长为得出答案． 【详解】解：根据尺规作图的步骤可知平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 2．（2025·湖南株洲·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则长为________． 【答案】/ 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，再根据题意可得平分，从而得到，证明，得到，再利用三角形的外角性质可得，进而得到，根据即可求出答案． 【详解】解： ，， ， 由题意得：平分， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍） 故答案为：． 3．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若，的面积为2，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和性质定理，作可得，根据可得的面积，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： 由题意得：平分， ∴ ∵ ∴ ∵的面积为2， ∴的面积为， ∴的面积为， 故答案为： 4．（2025·湖南·模拟预测）如图，在四边形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，，，则的长为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理及角平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理及角平分线的尺规作图是解题的关键；连接，交于点F，由题意易得，则有，，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，交于点F，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， 由作图可知：平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为1． 5．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交边于点，若，的面积为，则线段的长为________．    【答案】5 【分析】先根据尺规作图描述得出为的角平分线，再根据角平分线的性质得到点到的距离，进而求出三角形的面积． 【详解】由作法得平分， 如图所示，过点D作于E，∵，    根据角平分线的性质，得 ， 的面积． ∴， 故答案为：． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，由作图可知是的角平分线，可证，得到，，即得，利用勾股定理得，设，则，在中，利用勾股定理求得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由作图可知，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·湖南·模拟预测）如图，在上分别截取线段，使得；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线．连接， 若，，则的度数为____________． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，由作图得是的平分线，根据角平分线的性质作高后证得平分，从而发现是内外角平分线的夹角．体现了对几何综合的运算能力，推理能力的核心素养要求． 【详解】解：如图，过点 D 作交的延长线于点M，作交的延长线于点 N，作交于G． 由作图得是的平分线， ∴． ∵，， ∴，， ∴，即平分． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴平分． ∴； 故答案为：． 8．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，先由基本作图得直线垂直平分，再推出，，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，直线垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·湖南株洲·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查作图——基本作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图过程可知，由勾股定理得，根据，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，． 由勾股定理得，． ， ， ． 故答案为：． 10．（2025·湖南长沙·三模）如图，在中，点D，E分别是，的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为______． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．利用三角形的中位线得到，进而求得即可求解． 【详解】解：∵在中，点D、E分别是、的中点，， ∴，即， ∵以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，， ∴， ∴， 故答案为：3． 考点5 函数的图象与性质 1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在串联电路中，电流处处相等，且满足欧姆定律，现有两个定值电阻，阻值之比，若将它们串联接入同一电路中，则它们两端的电压之比______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ∵有两个定值电阻串联接入同一电路中， ∴ ∵， ∴ 2．（2026·湖南常德·一模）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴；垂足为；若的面积等于，则的值___________ 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质．利用反比例函数的几何意义得到，然后根据反比例函数所在的象限确定k的值． 【详解】解：∵的面积等于4， ∴， ∴， ∵反比例函数图象过第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2025·湖南株洲·一模）若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离后比较大小即可得出结论． 【详解】解：由抛物线可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线． 对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大， 计算各点到对称轴的水平距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 4．（2026·湖南常德·一模）已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压________． 【答案】36 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先设出电流（单位：A）与电阻（单位：）的函数关系式为，利用待定系数法求出，即可得到答案． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为． 把代入中，得， 解得， 故答案为：36． 5．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．若，，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．根据，可得出点的坐标，运用待定系数法即可求出的解析式；再通过比例关系解出点的坐标，可得反比例函数表达式；过点作轴，垂足为，则，联立方程组解出点的坐标． 【详解】解：在中，∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵、两点在函数上， 将、代入得 解得，， ∴ 设，过点作轴，垂足为，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 联立， 得， ∴，， 故答案为：． 6．（2025·湖南·三模）如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，若，则k的值为______． 【答案】 【分析】连接，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F．通过角的计算找出，结合“，，”可得出，根据相似三角形的性质得出比例式，再由，可得出的值，进而得到k的值． 【详解】解：如图，连接，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F． ∵由直线与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称， ∴． 又∵， ∴． ，， ． 又，， ， ∴， ∵， ∴，． 又∵，， ， ∴． ∵点C在第二象限， ∴． 故答案为：． 7．（2025·湖南·模拟预测）如图是一台印刷机每年可印刷的书本数量（万册）与它的使用时间（年）的关系图，则当年时， _____万册． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据图像推断为反比例函数，待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入解析式求出y值即可． 【详解】解：由图像可知，一台印刷机每年可印刷的书本数量（万册）与它的使用时间（年）成反比例函数， 设函数解析式为， 将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 当时，（万册）． 故答案为：． 8．（2026·湖南常德·一模）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_______个． 【答案】3 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，代入可得：，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)， ∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)， ∴代入(-2,0)、(1,0)得：， 解得：，故③正确； ∵抛物线开口朝下， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴两个交点， ∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根， ∴方程的判别式，故②正确； ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下， ∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小， ∵， ∴，故⑤错误， 故正确的有：②③④， 故答案为：3． 9．（2025·湖南·模拟预测）对于二次函数，若存在一次函数，满足以下两个条件：①其函数图象经过的图象的顶点和的图象与轴的交点；②若关于的函数的最小值为，则称函数为函数的“融洽函数”．已知二次函数的“融洽函数”存在，则的值为___． 【答案】24 【分析】本题主要考查了新定义形式下二次函数的性质综合，读懂材料并应用题中方法求解，准确计算是正确解答此题的关键． 先求出二次函数的顶点坐标和与轴的交点坐标，再根据一次函数经过这两点求出其解析式，然后计算的表达式并化成顶点式求出最小值，最后令最小值等于解方程求出的值． 【详解】解：将二次函数化为顶点式为， 则二次函数的图像的顶点为， 的图像与轴的交点坐标为， 函数的图像经过这两点， ∴将，分别代入中， 得， ， 当时，， 则， ∴关于的函数 ， 当时，取得最小值，最小值为， 对于二次函数，， ， 解得，， ， ． 故答案为：24. 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，点是轴上一点（在右侧），连接，的中点恰好在反比例函数图象上，且，则________． 【答案】5 【分析】本题考查了几何图形面积求反比例函数系数，理解图示，掌握几何图形面积的计算与反比例系数的关系． 设，则，设，则点的横坐标为，纵坐标为，代入反比例函数得到，根据几何图形面积的计算即可求解． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ∴设，则，设， ∴， ∵点是的中点，，根据中点坐标公式， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， 解得，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：5 ． 考点6 图形的性质 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，D，E分别是的中点，若，则的长为__________． 【答案】6 【分析】本题主要考查直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理．易知是的中位线，那么，而是斜边上的中线，应等于的一半． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵在中，，是边上的中线， ∴， 故答案为：6． 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，在三角形中，是边的垂直平分线，且分别交于点D和E，，则________ ． 【答案】/60度 【分析】根据三角形的内角和定理，求出的度数，中垂线的性质，得到，进而得到，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则点扫过的弧长为_____．（结果保留） 【答案】/ 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得，点扫过的弧长为． 4．（2026·湖南邵阳·二模）如图，在等腰直角三角形中，，，点为边的中点，点，分别为边上的动点，且，则的面积的最大值为__________． 【答案】2 【分析】连接，证明，当时，求得的最小值，据此即可求得的面积的最大值． 【详解】解：如图，连接， ∵为等腰直角三角形，，点为边的中点， ∴，， ∵， ∴，，即：， 在与中，， ∴， ∴． 即：． ∵， ∴当时，的最小值， 故：的最大值． 5．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，中，点在上，，，则图中标示的的值是______． 【答案】80 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，∴， ∴． 6．（2026·湖南岳阳·一模）如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角__________°． 【答案】75 【分析】根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵是的外角，， ∴． 7．（2026·湖南岳阳·一模）苯环是由6个碳原子组成的环状结构，外形是一个完美的正六边形．如图，与分别为正六边形的两条对角线，则__________． 【答案】/ 【分析】先计算正六边形的内角，即可求得和的度数，解直角三角形即可解答． 【详解】解：正六边形， ，， ，， ， 在直角三角形中，． 8．（2026·湖南娄底·一模）如图，直线c与直线a、b都相交．若，，则______°． 【答案】56 【分析】利用对顶角将转换到直线b的上方，再利用同位角相等求解． 【详解】解：如图，设直线b与直线c相交形成的角中，与互为对顶角的角为， ∴， ∵， ∴， 即． 9．（2026·湖南娄底·一模）如图，，点是上一点，半径长为的与相切于点，交于点．则图中阴影部分的面积为_______．(结果保留根号和) 【答案】 【分析】连接，利用切线的性质得到，结合求出的长度，再分别计算的面积和扇形的面积，最后用三角形面积减去扇形面积得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ， ， ． 故答案为： 10．（2026·湖南常德·一模）如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为__． 【答案】9 【分析】连接，作于点H，根据题目所给条件可得：，，再由勾股定理求得的长，证明四边形是矩形；在中，根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：如图，连接，作于点H，则， 分别与扇形相切于点A，E，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 解得：． 故答案为：9． 考点7 图形的变化 1．（2026·湖南娄底·一模）如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 【答案】9 【分析】延长，两线交于点，可证，所以，求出，过点作于点，则四边形是矩形，所以，，设，则，最后通过勾股定理求出m的值即可． 【详解】解：延长，两线交于点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； 如图所示，过点D作于点H，则四边形为矩形， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴． 2．（2026·湖南岳阳·一模）如图，，，分别为的三边，其中，直线是边的垂直平分线，顶点到直线的距离为，我们将定义为的斜度，记作． (1)若的斜度，则__________． (2)若的三边满足关系式：，则斜度__________． 【答案】 /0.5 【分析】（1）根据斜度定义得出，利用线段垂直平分线的性质得出，进而利用等腰三角形的性质或正弦定理求解； （2）将已知等式变形为勾股定理的形式，判定三角形为直角三角形，利用平行线间的距离性质求出与的关系，代入斜度公式计算，即可求解． 【详解】（1）因为，且为三角形边长，， 所以，即顶点在直线上， 因为直线是边的垂直平分线， 所以，即， 所以， 所以， 所以； （2）由已知， ，即， 所以， 根据勾股定理的逆定理，是以为斜边的直角三角形，且， 所以， 因为直线是边的垂直平分线， 所以，且直线经过的中点， 所以，所以点到直线的距离等于平行线与之间的距离， 因为平分， 所以， 所以 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 【答案】 【分析】先求出，根据题意可得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以原点为位似中心，作的位似，相似比为， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则__________． 【答案】16 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质： 先由位似图形得到，则，然后求出，再由相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（2025·湖南·模拟预测）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，B与AD交于点E，若AB＝4，BC＝8，则BE的长为___．      【答案】5 【分析】首先证明BE＝DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∠A＝90°， ∴∠EDB＝∠DBC； 由题意得：∠EBD＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴ ， 设ED＝x，则AE＝8﹣x； ∴EB＝ED＝x； 在 中，由勾股定理得： BE2＝AB2+AE2， 即x2＝42+（8﹣x）2， 解得：x＝5， ∴BE＝5． 故答案为：5． 6．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 【答案】 6 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形不同边相等的各类情况，并用勾股定理求出对应线段长度是解题的关键． （1）先根据是等腰三角形，得到，用含有t的式子将表示出来，再围绕利用勾股定理，即可求解． （2）分别讨论、和三种情况，利用等腰三角形的性质和勾股定理先求的长度，再求t，即可求解． 【详解】解：（）如图， 由于，要使是等腰三角形，只能，， 在 中，， ，解得， 故答案为：； （）当点在上运动时，要使为等腰三角形，分三种情况， ①如图，当时， 可得， ， ， ， 在 中，， ， ， ，即，解得； ②如图，当时， 可知，即，解得； ③如图，当 ，过点作，垂足为点， 则， ， ， ， ， ，解得； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 故答案为：，，． 7．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系和勾股定理．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先根据锐角三角函数的边角间关系，可求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 8．（2025·湖南衡阳·模拟预测）魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形，已知图中与的面积比为． （1）若正方形的边长为16，则的长为_______； （2）的值为_______． 【答案】 / /0.75 【分析】本题考查了正方形性质，相似三角形性质和判定，正切的定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据正方形性质证明，利用相似三角形性质求解，即可解题； （2）结合正方形性质，相似三角形性质和判定推出，，进而求解，即可解题． 【详解】解：（1） 和都是正方形， ， ， 图中与的面积比为， ， 正方形的边长为16， ， ； 故答案为：． （2） 和都是正方形， ， ， 由（1）同理可知，， ，， ，， ， ， ； 故答案为：． 9．（2025·湖南湘西·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝_____． 【答案】 【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答． 【详解】由sinA＝知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x， ∴tanA＝=． 故答案为． 10．（2025·湖南·三模）如图，矩形纸片，．如果点P在边上，将纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接，当是直角三角形时，那么的长为_______． 【答案】3或6 【分析】本题考查了矩形与折叠，涉及了勾股定理，正方形的判定与性质，注意分类讨论；掌握折叠的性质是解题关键．分两种情况：；，利用矩形的性质，折叠的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：若，如图， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠知：， ∴A、E、C三点共线， 由勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，, 即， 解得：， 即； 若，如图， 则， ∴四边形为矩形， 由折叠知，， ∴四边形为正方形， ∴； 综上，的长为3或6； 故答案为：3或6 1．（2026·湖南邵阳·中考模拟）分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 2．（2026·湖南·模拟预测）随机从甲、乙两块试验田中各抽取株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是_____________． 【答案】甲 【分析】根据方差的意义判断即可．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 【详解】解：由方差的意义，观察数据可知， ∵， ∴甲块试验田的方差小， 故甲试验田小麦长势比较整齐． 故答案为：甲． 3．（2026·湖南·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的全面积为______． 【答案】 【分析】首先得到此几何体为圆锥，再根据圆锥全面积等于侧面积加底面积求解即可． 【详解】解：根据三视图得，此几何体为圆锥， ∵直径为，母线长为， ∴半径为， ∴这个几何体的全面积为． 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，平面直角坐标系中是原点，的顶点的坐标分别是，点把线段三等分，延长分别交于点，连接，则下列结论：①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④；其中正确的结论是 _____．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③ 【详解】如图，分别过点A、B作 于点N， 轴于点M， 在 中，， 是线段AB的三等分点， ， ， ， 是OA的中点，故①正确； ， 不是菱形， ， ， ， 故 和 不相似，故②错误； 由①得，点G是AB的中点， 是 的中位线， ， 是OB的三等分点，， ， ∴ ， ，∴四边形 是梯形， ， 故③正确； ,故④错误， 综上：①③正确， 故答案为①③. 5．（2026·湖南湘潭·一模）如图，点是直线外一点，以点为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点，；分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点（点与点在直线的两侧）；作直线交直线于点，连接，，，．则_____________． 【答案】/ 【分析】根据作图方法可得，，再根据正弦的定义求解． 【详解】解：由作图方法可知，， ∴， ∴． 6．（2026·湖南湘潭·一模）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中的弧长为_____________（结果用表示）． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得出，根据四边形是矩形，得出，则，垂径定理得出，圆周角定理求出，即可得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵与相切于， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平分圆心角，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 7．（2026·湖南湘潭·一模）在一个不透明的布袋中装有4个白球和6个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是______． 【答案】/0.4 【分析】用白球个数除以白球与黄球数量之和即可． 【详解】解：， 即摸到白球的概率是． 故答案为：． 8．（2026·湖南湘西·一模）如图，把一块含的直角三角板的顶点A放在半径为3的圆盘上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆交于B，C两点，则图中的长为________． 【答案】 【分析】连接，圆周角定理得到，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接，则由题意，得，， ∴的长为． 9．（2026·湖南湘西·一模）如图，点A、B是函数y＝x与y＝的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为___________． 【答案】2 【分析】根据函数的解析式得到各线段的长度，将四边形ABCD分为四个小三角形即可求出面积. 【详解】根据反比例函数的对称性可知，OB=OA，，OD=OC， ∴的面积都等于|k|=. ∴四边形ABCD的面积为. 故答案为2. 【点睛】本题主要考查反比例函数的几何意义和三角形的面积公式. 10．（2026·湖南衡阳·一模）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解中的提公因式法，解题的关键是找出各项的公因式．观察的各项，公因式为即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 11．（2026·湖南衡阳·一模）把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 12．（2026·湖南衡阳·一模）若点、、都在反比例函数的图象上，且．则，，的大小关系是_______ ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，根据反比例函数 的性质，当 时，函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小．由，可知点和点在第三象限，点在第一象限，因此 ，而和均小于．在第三象限内，由于 ，且函数单调递减，故 ．综合可得． 【详解】解：反比例函数中，， 的图像在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．（2026·湖南株洲·一模）分式方程的解为__________________． 【答案】 【分析】题目主要考查解分式方程，熟练掌握求解方法是解题关键． 通过去分母，将分式方程转化为整式方程求解，然后检验解是否使分母为零即可． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母 ，得 ， 解整式方程：， 移项得 ， 即 ， 所以 ， 经检验，当 时，分母 且 ， 因此 是原方程的解， 故答案为：． 14．（2026·湖南株洲·一模）如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是_______． 【答案】/30度 【分析】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线），也考查了线段垂直平分线的性质，先利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和计算出，然后计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（2026·湖南株洲·一模）如图，是由圆O截去下面的弓形形成的图形．过点O作的垂线，交该图形于点C，D，已知的长是，的长是20，则该图形的周长是________． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧长公式；连接，，先由垂径定理求出圆的半径，进而求出，从而求出的长度，再加上的长度即是该图形的周长． 【详解】解：连接，，如图所示， 设圆O的半径为r，则， ∵， ∴， ∵，过圆心点O，， ∴， ∵在中， ∴，解得：， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长度为， ∴该图形的周长是． 故答案为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $