专题01 二次函数压轴（综合解答题）（重难专练）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 二次函数压轴（综合解答题） 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感” 近三年：中考数学中二次函数压轴考点主要有以下几类：①存在性问题（每年1道，12~14分），含等腰、直角、平行四边形存在性，如2025省卷T26；②线段与面积最值（每年1道，10~14分），如2024省卷T25考铅垂法与面积最值；③角度与定值定点问题（每年1道，6~10分），如2024省卷T25考线段比值为定值；④二次函数选填压轴（每年1~2题，3~6分），含图象与系数关系、多结论判断、参数取值范围及新定义题型。考查内容稳定，难度以中等偏上和压轴为主。 预测2026年：二次函数压轴仍是区分度最高的板块，存在性问题中相似三角形将更多嵌入压轴解答题；新定义题型可能从选填（3分）升级为解答压轴（12分以上），如郴州、株洲等地2026研讨会命题导向；定值定点考查热度持续上升，韦达定理消参为必会方法；以上考点需重点突破。 考向01 二次函数与几何存在性问题 题型1 等腰三角形的存在性问题 核心方法：“两圆一线”作图法 + 代数列方程法 第一步：分类讨论 等腰三角形的分类方法一般按“哪两条边相等”分为三类：若要使△ABC为等腰三角形，则① AB = AC（A为顶角顶点）；② BA = BC（B为顶角顶点）；③ CA = CB（C为顶角顶点）。 第二步：几何法找点——“两圆一线” · 以A为圆心、AB为半径作圆，圆上符合条件的点满足AB=AC · 以B为圆心、BA为半径作圆，圆上符合条件的点满足BA=BC · 以AB为底边，作AB的垂直平分线，线上符合条件的点满足CA=CB 这三个轨迹与抛物线/直线的交点，就是满足条件的动点。 第三步：代数法求坐标 设动点P(m, f(m))。表示出PA和PB的长度（用两点间距离公式），分别代入三种等量关系：① PA=PB；② PA=AB；③ PB=AB。每种关系列出一个方程，解方程求解即可。 1．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 2．已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； (3)若点是轴上一个动点，求使为等腰三角形的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形面积，二次函数与等腰三角形等知识． （1）将点，代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式； （2）设，则，根据，可得，解方程即可； （3）设，表示出三边，再根据等腰三角形分情况讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入可得 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令可得， 解得 ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴①或②， 解方程①得，方程②无解 ∴； （3）解：∵点是轴上一个动点， ∴设， ∵，， ∴，，， ∵为等腰三角形， ∴当时，，则，解得，此时或（舍去）； 当时，，则，解得，此时或； 当时，，则，解得，此时； 综上所述，存在使为等腰三角形，或或或． 3．如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求点E的坐标； (3)设点P为x轴上的一个动点，写出所有使为等腰三角形的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理和等腰三角形的性质等等： （1）由待定系数法即可求解； （2）点关于对称轴对称，则与对称轴l的交点即为所求的点，进而求解； （3）求得的长，分为顶点、为顶点、底边三种情况讨论，进而求解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小， ∴与对称轴的交点即为点，如下图， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 当为顶点时，则， ∴点的坐标为或； 当为顶点时，则， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； 当为底边时，则， 设点P的坐标为， ∴， 解得 ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度． 题型2 直角三角形的存在性问题 核心方法：“两线一圆”几何法 + 勾股定理代数法 + 斜率乘积法 第一步：分类讨论 若△ABC为直角三角形，分为三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°。 第二步：几何法找点——“两线一圆” · 过A作AB的垂线，垂线上除A外的点均满足∠A=90° · 过B作AB的垂线，垂线上除B外的点均满足∠B=90° · 以AB为直径作圆，圆上除AB中点外的点均满足∠ACB=90° 第三步：代数法求坐标 1. 勾股定理法：设动点P(m, f(m))，表示出三边长，代入勾股定理（如PA²+PB²=AB²对应∠P=90°）列方程求解。 2. K值乘积法：两条直线垂直⇔它们的斜率乘积为-1。利用此性质表示动直线的斜率，列方程求解。 3. 相似法：从直角顶点向对边作垂线，构造直角三角形中的相似关系。 4．如图，已知抛物线与x轴交于，两点． (1)求b，c的值； (2)点E为抛物线上一点，且点E在x轴上方，连接，以点E为直角顶点，为直角边，作等直角，使得点D恰好落在直线上，求出满足条件的所有点E的坐标． 【答案】(1) (2)点E的坐标为或或（ 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，分两种情况：当点在点D左侧，，时，当点在点右侧，，时，利用等腰直角三角形性质，添加辅助线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得： ， ∴； （2）解： ∵点D在直线上，点E在抛物线解析式为上， ∴设，， 当点E1在点D左侧，，时，如图，过点作轴，过点B作于点F，过点作于点G， 则，，, ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，， ∴； 当点在点右侧，，时，如图，过点作轴于点H，过点作于点K， 则，,，, , 同理可得， ∴，， ∴， 解得： 或， ∴或； 综上所述，满足条件的所有点E的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解方程组等，难度适中，解题关键是添加辅助线构造全等三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若为抛物线对称轴上一动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）利用待定系数法将、代入二次函数求解即可得到答案； （2）由（1）知，二次函数的解析式为，得到对称轴为，先求出，再计算，，，根据为直角三角形，分三种情况，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将、代入二次函数得， ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 对称轴为， 令，则， 解得或， ， 设抛物线对称轴上一动点， 、， ，，， 当时，由勾股定理可得， 则， 解得，则； 当时，由勾股定理可得， 则， 解得，则； 当时，由勾股定理可得， 则， 即， ， ，则或， 综上所述，使为直角三角形的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质、抛物线与轴交点坐标、勾股定理、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，掌握待定系数法求函数解析式的方法，根据直角三角形特征分类讨论是解决问题的关键． 6．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求的值． (2)若点为抛物线上一动点，的面积为8时，求点的坐标． (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或或； (3)点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、面积的计算，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）求得，由三角形面积求出，解方程，即可求解； （3）分别以点B、P、C为直角顶点，三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得： ， 解得，； （2）解：由（1）知，， 设点， ∵，， ， 的面积为8， ， 当时，，即， 解得， ∴点的坐标为； 当时，，即， 解得，，， ∴点的坐标为或， 综上，点的坐标为或或； （3）解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴, 设， ， ，， ， 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为或； 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，使得为直角三角形，点的坐标为或或或． 题型3 平行四边形的存在性问题 核心方法：中点坐标法（“三步走”） 第一步：准确标示四个点的坐标 已知三定点（如A、B、C），求第四点D（通常为抛物线上的动点）。设D(m, f(m))，准确写出四个点的坐标。 第二步：分三种情况讨论对角线 平行四边形的对角线互相平分。三个已知点中选取两个作为对角线的端点，分三种情况： · ① 以AC为对角线 → B、D为另一对角线两端点 · ② 以BC为对角线 → A、D为另一对角线两端点 · ③ 以AB为对角线 → C、D为另一对角线两端点 第三步：利用对角线中点重合公式列方程 对角线两端点的横坐标之和相等、纵坐标之和也相等。例如，若AC为对角线，则： 代入已知坐标和D(m, f(m))，解方程即得满足条件的点。 7．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点和另一个顶点均在轴上，，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是斜边上一动点不与、重合，过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)若点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标：如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，平行四边形的分类，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的基础知识． （1）先求得，然后将，两点坐标代入抛物线的解析式，求得，的值，进而求得结果； （2）先求得直线的解析式，进而设，表示出坐标，从而表示出的表达式，进一步求得结果； （3）可得出，，从而根据列出方程，进而分别解方程和方程，进一步得出结果． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 把，代入得： ， ， ； （2）解：设直线的解析式为：， 把，代入得： ， ， ∴直线的解析式为， 设，， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：设，， ， ∵，， ， 当时， ，， 当时，， ， 当时，， ， 当时， ，， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述：或或或 8．如图1，在平面直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为、、，将此三角板绕原点O逆时针旋转，得到三角形． (1)一抛物线经过点、、B，求该抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形的面积是面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上有一动点M，对称轴上有一动点N，求当A，B，M，N四点围成的图形为平行四边形时点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）根据旋转的性质，得到点、的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）作，设出点坐标，分割法表示出四边形的面积，根据四边形的面积是面积的4倍，列出方程进行求解即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵、、， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， 设抛物线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴； （2）存在， 设，连接， ∵，， ∴， ∵四边形的面积是面积的4倍， ∴ ， 解得， ∴，即； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∴， ∵、， 当A，B，M，N四点围成的图形为平行四边形时，分3种情况讨论； ①当为对角线时，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当为对角线，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当为对角线，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． 9．如图，在平面直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点逆时针旋转，得到三角形．抛物线经过点，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)设点是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点，使四边形的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)抛物线上有一动点，对称轴上有一动点，当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在点， (4)点的坐标为或或 【分析】（1）由旋转得，，将，代入抛物线解析式，列方程组求解、，回代即可得到解析式； （2）将抛物线配方为顶点式，结合对称轴与给定区间端点的函数值，即可确定的取值范围； （3）先求的面积，再将四边形面积分割为多个三角形面积和，设的坐标列方程求解即可； （4）分 “为对角线”“为对边” 两种情况，利用平行四边形中点重合或平移性质，结合抛物线与对称轴坐标关系即可求的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵将此三角板绕原点逆时针旋转，得到三角形， ∴，， ∴，， 把，代入得 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，； （3）存在， 如图，连接， ∵， ∴， 设点的坐标为（其中）， ∴， ， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； （4）抛物线对称轴为， 设点，，分以下两种情况： ①如图，以为对角线，四边形是平行四边形， ∴与互相平分，即中点与中点重合， ∵中点为，中点为 ∴，解得， 代入抛物线得， ∴； ②以为平行四边形的边： 如图，四边形是平行四边形， ∴且， ∴移动到与移动到的平移方式相同， ∵移动到，水平移动，垂直移动，（即横坐标，纵坐标）， ∴的横坐标的横坐标，即， 解得， 代入抛物线得， ∴ 如图，四边形是平行四边形， ∴，， ∴移动到与移动到的平移方式相同， ∵移动到，水平移动，垂直移动，（即横坐标，纵坐标）， ∴的横坐标的横坐标，即， 解得， 代入抛物线得， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数的性质、图形的旋转、平行四边形的性质、图形面积的计算，利用坐标分析图形变换（旋转）、结合函数性质与几何图形性质分类讨论是解题的关键． 题型4 相似三角形的存在性问题 核心方法：先找一组相等角，再构造比例或第二组角 第一步：找出相等角 相似三角形的存在性问题中，要证相似的两个三角形必然有一组相等角。先从图形中找出这组公共角或相等角（常通过平行、垂直、圆周角、对顶角等得出），这个角一定是对应角。 第二步：选择解题路径 结合判定定理，有两种思路： · 思路1（优先推荐） ：利用“两边对应成比例且夹角相等”——从相等角出发，写出夹这个角的两边长的表达式，按比例列方程。坐标系中线段的长度比角的大小更容易表示，因此优先使用此思路。 · 思路2：利用“两组角对应相等”——找出另一组相等的角，结合第一组角证明相似。 第三步：分类讨论对应关系 设动点P，写出目标三角形和已知三角形的三边长表达式。 · 若已知△ABC∽△PQR，则需分类讨论哪种对应关系成立。对于“一对相等角+两边比例”，需讨论两种对应方式。 · 每种对应方式列出一个比例式方程，解出动点坐标。 第四步：检验 将求出的坐标代回原条件，检验是否确实满足相似关系。 10．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求该抛物线的函数解析式及的值； （2）如图2，若点为线段上的一动点不与（，重合），分别以，为斜边，在直线的同侧作等腰直角和等腰直角，连接，试确定面积最大时点的坐标； （3）如图3，连接，，，在线段上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似（包括全等），若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），-3；（2）；（3）存在，点的坐标是或． 【分析】（1）把点A与点B的坐标代入二次函数的解析式求出a与b的值，则可确定该抛物线的函数解析式，将x＝4代入二次函数解析式求出m的值即可； （2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出△MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可； （3）分两种情况进行讨论，根据相似三角形的性质得出比例式，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐标即可． 【详解】解：（1）经过点， 解得 抛物线的函数解析式为． 在抛物线上， ． （2）与都为等腰直角三角形， 为直角三角形 ，， 设点的坐标为． ，． ，． 当，最大．此时． （3）存在， 设BC为y＝kx＋b1，将C（0，5），B(5,0)代入得： ， 解得． ∴直线BC的解析式为y＝-x+5， 同理可得：直线CD的解析式为y＝-x+1， ∴BC∥CD． ∴∠BAD＝∠ABC＝45°， 当△ABD∽△BQA时，， 即， 解得AQ＝， 设Q（x，−x+5）， 由两点间的距离公式得：（x−1）2＋（−x+5）2＝， 解得x＝或x＝， 此时Q（，）或（，）（舍去）； 当△ABD∽△BAQ时，＝1，即AQ＝， ∴（x−1）2＋（−x+5）2＝10， 解得x＝2或x＝4， 此时Q（2， 3）或（4， 1）（舍去）， 综上，点Q的坐标为（2， 3）或（，）． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 11．如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B、点，点D是抛物线的顶点． (1)求：抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)点P在直线上，连接，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】（1）利用待定系数法求出、的值，得到抛物线的表达式，再化为顶点式，写出顶点D的坐标即可； （2）先求出，再根据坐标两点的距离公式和勾股定理逆定理，得到是直角三角形，且，进而推出，得到，再结合等腰直角三角形的性质，得出，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，且是锐角三角形，则也是锐角三角形，且点在第四象限，利用待定系数法求出直线的表达式，进而设，过点作于点，则，，根据相似三角形的判定定理分两种情况讨论：利用角的正切值分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴分别交于点B、点， ， 解得：， 抛物线的表达式为， ， 顶点D的坐标为； （2）解：抛物线与y轴交于点A， 当时，， , ,， ，，， ， 是直角三角形，且， ，， ， ， ，， ， ，即， 若以O、P、C为顶点的三角形与相似，且是锐角三角形， 也是锐角三角形，且点在第四象限， 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为， 点P在直线上， 设， 如图，过点作于点，则，， 当时，则， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为． 当时，则， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为． 综上可知，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 12．在直角坐标平面中，O为坐标原点，抛物线，L关于x轴对称的抛物线的图象经过点与点 (1)求抛物线的表达式； (2)点D在抛物线的对称轴上，连接，，与的对称轴交于B点，若与相似，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【分析】（1）关于x轴对称后的解析式为，再将点A、C坐标代入求出b、c的值即可得； （2）根据A、C坐标得出直线的解析式，由抛物线解析式得出其对称轴方程，由点D在抛物线对称轴上可分和两种情况求解． 【详解】（1）抛物线，L关于x轴对称的抛物线的图象经过点与点， 抛物线L：关于x轴对称后的解析式为， 将，代入中得 解得：， 对称后抛物线的表达式为； （2）的对称轴为， 、， 、， 设线段所在直线解析式为，代入得 ， 解得：， 线段所在直线解析式为， 如图1，    若，则， 、， ， 线段所在直线解析式为，且点B的横坐标为，， ， 则， 解得：， 则点D的坐标为，即； 如图2，若，则，    又， 四边形是矩形，，， 则点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或 【点睛】本题是二次函数的综合问题，主要考查了关于坐标轴对称的函数解析式，二次函数的性质和相似三角形的性质及分类讨论，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的函数解析式间的关系、相似三角形的性质及分类讨论思想的运用． 考向02 二次函数与面积/线段最值问题 题型5 线段长度最值问题 核心方法：坐标差表示线段→二次函数配方求最值 · 竖直线段（平行于y轴） ：设动点P(m, f(m))，在直线BC上取对应点Q(m, g(m))，则PQ = y_P - y_Q（上减下）。这个表达式是一个关于m的二次函数，配方求最大值或最小值。 · 水平线段（平行于x轴） ：同理，用右减左表示。 · 斜线段：先用两点间距离公式表示，再转化为二次函数求最值。 注意：求最值时要考虑自变量的取值范围（动点的横坐标通常有范围限制）。 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度取得最大值 【分析】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解，即可作答； （2）正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ， ∵． 当时，线段的长度取得最大值； 14．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如果设点的坐标为，则点的坐标可表示为__________； (3)在（2）的条件下，请用含有的式子表示的长，并确定长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）已知在直线上，可求得的值，抛物线图象上的、两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值． （2）可设出点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出、的纵坐标， （3）可设出点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出、的纵坐标，进而得到关于与点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值． 【详解】（1）解：，在直线上， ， ， ，在抛物线上， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）设动点的坐标为，则点的坐标为， 故答案为： （3）解： ， ∵， ∴当时，线段最大为 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识. 善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件. 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，的最大值为 【分析】（1）根据，即可求解； （2）设抛物线的表达式为：，再把点代入，即可求解； （3）先求出直线的表达式，然后过点P作y轴的平行线交于点H，根据，可得，设点 ，则点，可得的长，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点； （2）解：设抛物线的表达式为：， 把点代入得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （3）解：∵直线过点， ∴可设其函数表达式为：， 将点代入得： 解得：， 故直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ， ∵轴， ， ∴， ∵， ∴， 设点 ，则点， ∴， ∵ ， ∴有最大值，当时，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、等腰直角三角形的性质、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示，是本题解题的关键 题型6 三角形面积最值问题 核心方法：铅垂法（宽高法）求斜三角形面积 · 对于斜三角形（三个顶点不在同一条坐标轴平行线上），常用铅垂法： a. 过三角形中间那个顶点作y轴的平行线（铅垂线） b. 该线与对边所在直线相交，得到“铅垂高”h c. 两个水平点之间的水平距离为“水平宽”b d. 面积公式：S = ½ × 水平宽 × 铅垂高 将h表示为动点横坐标m的二次函数，配方求最大值。 补充方法：对于特殊三角形（如有一条边在坐标轴上），直接用底×高÷2即可。 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值； (3)将抛物线向上平移3个单位得新抛物线，新抛物线中的部分记为“图形W”．在新抛物线对称轴上取两点和，其中，将线段绕点M顺时针旋转，点N的对应点为H，以为边构造正方形． ①直接写出点Q和点H的坐标（用含m的式子表示）； ②当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的m的取值范围． 【答案】(1)； (2)面积的最大值为 (3)①H点的坐标为，Q点的坐标为；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可求出抛物线的解析式；令，求出，可得，，将代入，可得，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）过点P作轴交直线于点D，设点，则，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解； （3）平移后的抛物线为，对称轴是． ①当，两种情况讨论，利用旋转的性质结合正方形的性质即可分别求出点，点的坐标； ②分点H在对称轴左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，解得， 抛物线的解析式为； 令，则， 解得， ，， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，将B点坐标代入得，解得． 直线的解析式为． （2）解：如图1，过点P作轴交直线于点D， 设点，则， ． ． ， 抛物线的开口向下，函数有最大值， 当时，面积的最大值为． （3）解：平移后的抛物线为，对称轴是直线． ①当时，即时，M在N的上方，． 此时H点的坐标为，Q点坐标为； 当时，M在N的下方，． 此时H点的坐标为，Q点坐标为； 即无论m取何值，H点的坐标均为，Q点的坐标均为； ②当点H在对称轴的左侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时， 点在抛物线上， ，化简得， 解得． ， ． 当点H在对称轴的右侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时， 点在抛物线上或点H在直线的右侧． 若点在抛物线上，， 化简得，解得． ， ． 若点H在直线的右侧，，解得； 综上可知：或或． 17．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上第一象限内的动点，连接，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)面积最大值为 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴的垂线，交于点，先求出直线的解析式，令点的坐标为，则，可求出，再根据，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入， 则， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值． 18．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式 ； (2)点为二次函数的图象第四象限的点，设点的横坐标为，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）加减一次项系数一半的平方，配方解答即可； （2）过点P作轴于点F，交直线于点Q，求出直线的解析式， 设，则， 则，表示三角形的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵ ∴当时，；当时，解得， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点是抛物线上的一动点，且在第四象限，点P的横坐标为m， 故， 过点P作轴于点F，交直线于点Q，则， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为，此时． 题型7 四边形面积最值问题 核心方法：割补法转化为三角形面积问题 · 割补法：将四边形分割成两个或多个三角形，分别求面积再求和/求差。常用铅垂法求每个三角形的面积。 · 割补拼接法：或将四边形补成一个矩形/梯形，减去多余部分。 19．如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，再表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）可证明，则为定值，则可证明当有最大值时，有最大值；根据，推出，仿照（2）求出取得最大值时点E的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H， 同理可得直线的解析式为， 由（2）得直线的解析式为， ∴， ∴点F到的距离为定值， ∴为定值， ∵， ∴当有最大值时，有最大值； 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值，即此时有最大值， 由（2）可知，此时， ∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 20．如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形面积最大，此时P点的坐标为______，四边形的面积的最大值为______． (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使值最大，求Q点坐标及的最大值． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为 (3)，的最大值为 【分析】（）先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出点，点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （）过作轴于点，交于点，设，则，则，然后由得出，再根据二次函数的性质即可求解； （3）首先得到抛物线对称轴为直线，然后得到当点B，Q，P三点共线时，取得最大值，即的长度，然后由勾股定理求出的最大值为；求出所在直线表达式为，将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴点，点， ∵抛物线交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 设，则， ∴， 则 ， 当时，有最大，最大值为， ∴， 此时点的坐标为． （3）如图所示， ∵抛物线； ∴抛物线对称轴为直线 ∵ ∴当点B，Q，P三点共线时，取得最大值，即的长度，如图所示， ∵， ∴． ∴的最大值为； 设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∴将代入 ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，二次函数的几何问题，线段最值问题，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题是解题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一点（点不与点B，C重合），过点作轴交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段长的最大值； (3)连接，请直接写出四边形的面积最大值为________． 【答案】(1) (2)4 (3)36 【分析】此题分别考查了抛物线与轴的交点、待定系数法求解析式及抛物线上点的坐标特点，二次函数中套用二次函数，综合性比较强． （1）利用待定系数法确定函数的解析式； （2）设点的坐标为，则点的坐标为，然后利用坐标表示线段长即可求解． （3）根据当取最大值时，四边形的面积最大即可求解； 【详解】（1）解：依题意将点和点代入， 得， ， ； （2）当时，， ∴， ∴点坐标， 设直线的解析式为， ∴， ∴， 故直线的解析式为， 设点的坐标为， ， 当时，线段有最大值，最大值为4． （3） 四边形的面积 ， 故当取最大值时，四边形的面积最大， 故四边形的面积的最大值． 题型8 将军饮马模型在二次函数中的应用 核心方法：“化折为直”——利用对称性求线段和的最小值 · 经典模型：在直线（如对称轴、x轴、y轴）上找一点P，使得PA+PB最小。 a. 作点A关于该直线的对称点A' b. 连接A'B，与直线的交点即为P c. PA+PB = A'B（此时A'、P、B三点共线，线段和最小） · 核心原理：抛物线本身就具有对称性，充分利用对称轴求最短路径。 · 注意：当题目中出现“PA+k·PB”形式（如PA+√2·PB）时，需结合特殊角构造等边变换，再使用将军饮马思路。 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），其中点，． (1)求抛物线的解析式，直接写出顶点坐标． (2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． 【答案】(1)解析式为，顶点坐标为 (2)点坐标为，最小值为． 【分析】（1）将点A，C的坐标代入抛物线，组成方程组，即可求解； （2）令，可得点B的坐标，由此可得，，作点C关于x轴的对称点，过点作于点， 与x轴的交点即为所求点P，连接，可得的最小值为，求出点P的坐标及即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：由， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 作点C关于x轴的对称点，过点作于点，与x轴交于点P，连接， ∵，， ∴， 由对称可得，， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴当点的坐标为时，的最小值． 23．如图，抛物线交x轴于点，，交y轴于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点A、C坐标代入即可得解； （2）连接与对称轴的交点即为P，连接，，再根据直线的解析式与对称轴求解P的坐标即可． 【详解】（1）解：将点A、C坐标代入得， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 如图，连接与对称轴的交点即为P，连接，， 此时的周长最小，点P即为所求， 当时， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为 当时， ∴． 24．如图，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值的求法以及待定系数法求一次函数解析式，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用． （1）根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，将点A和点B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式； （2）由点与点关于抛物线的对称轴对称，得抛物线的对称轴与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴，， 将点，代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图所示，连接， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴． ． ∴当，，三点共线时，的值最小． 在中，当时，， ∴． 考向03 二次函数与角度/定值问题 题型9 角度相等问题 核心方法：构造直角三角形→利用三角函数或相似 · 角度相等：转化为两个角的正切值（tan）相等。在坐标系中，利用点的坐标差求tan值，列等式求解。 · 特殊角（45°、60°、30°等） ：构造含该特殊角的直角三角形，利用勾股定理或三角函数列方程。 常见策略：通过特殊角（如45°角相关的“一线三等角”模型）构造全等或相似三角形来求解。 25．抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点B作交延长线于点E，可证，则可求点E坐标，然后求直线的解析式，联立方程组，解方程组即可求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 对称轴为直线， ∴对称轴与x 轴的交点D坐标为． （2）解：过点B作交延长线于点E， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E坐标为， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 联立方程组， 解得， ∴点P坐标为． 26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点和点坐标代入求解即可； （2）分两种情况讨论，当点E在上方的抛物线上，当点E在下方的抛物线上，画出图形，根据∠分情况求解即可． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得， 抛物线； （2）解：当点E在上方的抛物线上，如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去）或， ∴点的坐标为； 当点E在下方的抛物线上，如图，设交于点G， 由条件可知， 设，则， 解得， 则， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为，联立， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 27．如图，二次函数的图象与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为． (1)若，求顶点的坐标及线段的长； (2)连接，，，若，求点的坐标． 【答案】(1)D的坐标为， (2) 【分析】（1）当时，抛物线的表达式为：，则抛物线的顶点坐标为：，令，则或 5 ，即可求解； （2）求出直线的表达式，的表达式，得到直线的表达式，求出，进而求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， 则抛物线顶点的坐标为， 令，则或， ，， ． （2）解：由题意，得点，，，的坐标分别为，，，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 则，， 解得：，， 直线的解析式为，直线的解析式为， 如图，过点作交的延长线于点，垂足为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，解得， ． ，， ∴， ∴， 是的中点， ． 点在直线上， ， 解得：（舍去）或， ． 题型10 角度和差问题 核心方法：转化为外角或构造直角三角形互余条件 · 两角和为90°：联想到“直角三角形中两锐角互余”，可以通过构造以某一线段为直径的圆，利用“直径所对的圆周角是90°”找点。 · 两角和等于定角（如45°、60°） ：转化为外角关系。 28．如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角函数，平行线的性质是解题的关键． （1）求出、点坐标后代入，即可求解； （2）设，过点作轴交于点，过点作轴交于点，，求出直线的解析式和直线的解析式，再联立方程组，求出点坐标，由题意可知或，求出的值即可求解； （3）在轴上取点，当N在y轴负半轴时，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴正半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点、代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得或， ， 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得， ， 分的面积为两部分， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得或， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点，使得，理由如下： 在轴上取点， 当N在y轴负半轴时，如图， ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ， 当N在y轴正半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ∴ 综上，N的坐标为或． 29．如图，抛物线，顶点为，该抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)证明为直角三角形； (3)求与的差． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出，得到，，求出，，用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出，得到，，，根据勾股定理的逆定理判定即可； （3）求出，推出，，得到． 【详解】（1）解：关于抛物线，当时，， ， ， ， ，， ，， 将，代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）证明：由（1）知抛物线的解析式为， ， ，， ，，， ， 是直角三角形； （3）解：直线与轴交于点， ， ， ， ， 由（2）得，，， ， ， ，， ， ． 30．如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴分别于点点，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上第一象限内的一点，过点作轴的垂线，交于点，设点的横坐标为． 求为何值时，四边形是平行四边形； 连接，当时，求点的坐标； 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出，进而求出直线的解析式为，求出，根据平行四边形的性质建立方程，解方程即可得到答案；②证明，得到，由此建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将点、点代入中得 ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①令，则， ， 设直线的解析式为， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； 如图，设直线与x轴交于T，   ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ， 经检验，是原方程的解， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，解直角三角形等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 题型11 定值问题（面积定值、比例定值） 核心方法：代数表示→参数化→证明表达式为定值 · 面积定值：先求出已知图形的面积表达式，再表示目标图形的面积，看两者之比或差是否为定值。 · 线段比例定值：将平台线段用参数表示，计算比例并证明化简后的表达式不含参数（或参数可约分）。 解题步骤： 1. 设动点坐标（含参数m） 2. 表示目标量（面积、线段长、线段比等）为m的表达式 3. 代入题目已知条件（如抛物线解析式、交点坐标等）进行化简 4. 证明化简后结果为常数. 31．已知抛物线：与直线：交于、两点，其中点在轴上． (1)若点横坐标为，直线与轴交于点． ①求的值； ②为线段上一点，过点作轴交抛物线于点，求四边形面积最大时点的坐标． (2)若、为该抛物线上不同的两点，且满足，已知抛物线存在最小值，设，请判断是否为定值，若为定值，请求出，若不是定值，请确定其范围． 【答案】(1)①；② (2)定值 【分析】（1）①把代入得，得出代入得出的值； ②根据题意，进而根据二次函数的性质，求得最值，即可求解； （2）根据已知得出，根据抛物线存在最小值得出，进而得出，再分别用表示出，代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：①把代入得， ∴， 把代入， 得； ②， 抛物线， 当时，， ； 如图， 由题意得：， ∴， 时，四边形的面积最大， 把代入得， 四边形面积最大时点的坐标为； （2）解：， ，即， ∵抛物线存在最小值， ，解得（舍）， ， 、为该抛物线上不同的两点， ， ， ， 即为定值． 32．已知，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)若点、为该抛物线上不同的两点，且满足，设，请判断h是否为定值．若为定值，请求出h的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3)是， 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）根据题意列式，求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； （3）解：已知、在抛物线上，且，则： ，， ， ， 由，得， 代入得：， ∴ ， ∴h是定值，． 33．在直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过点． (1)求的值． (2)点在线段上，过点，分别作轴的垂线交抛物线点． 试探究： ①当为何值时，四边形是平行四边形． ②与的面积之和是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②与的面积之和为定值2 【分析】本题考查了二次函数的性质，画出图形，正确表示相关线段长度是解题的关键． （１）把代入抛物线，即可解答； （２）①求得直线的解析式为，求出点的坐标，利用平行四边形的性质，列方程即可解答； ②把两个三角形的面积表示出来相加，即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线， 可得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）①解：如图，设直线的解析式为， 把代入可解得， 直线的解析式为， ， 把代入，可得， 把代入，可得， ，， 若四边形是平行四边形，则，可得， 解得， 当时，四边形是平行四边形； ②解：，， ， 与的面积之和为定值2． 题型12 定点问题 核心方法：利用韦达定理消去参数→曲线过定点 · 直线过定点：若直线方程可整理为y - y₀ = k(x - x₀)的形式，则直线恒过定点(x₀, y₀)。 · 含参问题：直线解析式中含有参数时，通过韦达定理（x₁+x₂和x₁x₂）将斜率表示为只含常数的式子，从而证明直线过定点。 解题步骤： 1. 设动点坐标，求出过该点的直线方程（含参数） 2. 利用抛物线与直线的交点坐标，代入韦达定理消参 3. 将直线方程整理为“过定点”形式，证明与参数无关 34．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，x轴分别交于点M，N，于点D，点E在坐标平面内，若以M，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标； (3)如图2，若过（2）中点D的直线与抛物线交于P、Q两点（点P在点Q左侧），过Q点的直线与抛物线交于点R，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】对于（1），根据抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，可得，求出解即可； 对于（2），过点D作轴，于点H，求出点，可得，进而得出，则都是等腰直角三角形，又，即点，再设点，分三种情况讨论：①为对角线，则的我中点重合，；②为对角线，同理，得；③为对角线，则的我中点重合，，解方程组可得答案； 对于（3），设过点的直线，则，即得直线的关系式为，进而得，再设点，则有，然后设点，可得，即可得，接下来设直线的关系式为，把点，代入可得关系式，最后直线的关系式为，故直线必过定点． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：过点D作轴，于点H， 在中，令，得， ∴点，可得， ∴， ∴. ∵轴， ∴都是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴， ∴点. 在中，令得， ∴． 设点，又点， 分三种情况讨论：①为对角线，则的中点重合， ∴， 解得， ∴； ②为对角线，同理，得， 解得， ∴； ③为对角线，同理，得， 解得， ∴． 综上所述，点E得坐标为或或； （3）解：直线必经过某个定点，理由如下： 设过点的直线，则， ∴， ∴直线的关系式为， 由，得. 设点，则有， ∴． 设点， ∵点，在直线上， ∴， ∴， 整理得． 设直线的关系式为，把点，代入可得 , 解得， ∴直线的关系式为， ∵， ∴直线的关系式为. ∵， ∴直线的关系式为， 令得， ∴直线必过定点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，二次函数与一次函数的交点问题，平行四边形的性质和判定，求一次函数关系式，求二次函数的关系式，理解平行四边形的判定定理是解题的关键． 35．已知一次函数与轴，轴分别交于点两点，抛物线； (1)若抛物线经过点，求出抛物线的解析式； (2)抛物线是否经过一定点，若经过定点，求出定点坐标，若不经过，请说明理由； (3)在（1）的条件下，第一象限一点是抛物线上一动点，连接，设点的横坐标为，四边形的面积为，求出与的函数关系式，当取何值时，有最大值是多少？ 【答案】(1) (2)抛物线会经过一定点，定点坐标为（1，4） (3)，当时，S有最大值是 【分析】（1）根据题意求出点B的坐标，再将点B的坐标代入二次函数中即可得； （2）抛物线会经过顶点坐标，求出顶点坐标即可得； （3）先求出点A的坐标，由题意得点M的坐标为，过点M作轴交于点H，则，求得，因为，所以S有最大值，进行解答即可得． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴点B（0，3）， 把点B（0，3）代入到中，得， ∴， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：抛物线会经过顶点坐标， ∵， ， ∴抛物线会经过一定点，定点坐标为（1，4）． （3）解：在中，当时，， 解得， ∴点A（1，0）， ∵M在第一象限内，M的横坐标为t， ∴点M的坐标为， 如图，过点M作轴交于点H， 则 = = ∵， ∴S有最大值，当时，S有最大值：， 即，当时，S有最大值是． 【点睛】本题考查了二次函数与几何问题，解题的关键是掌握二次函数的性质． 36．抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），点是抛物线的顶点，连接、． (1)求、的坐标（用含的式子表示）； (2)若抛物线与直线交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标，否则，请说明理由； (3)如图，若是等腰直角三角形，点是一动点且满足，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，求的最大值． 【答案】(1) (2)直线l总经过定点，理由见解析 (3)最大值为 【分析】（1）当时，，求得点A的坐标，将函数解析式化为顶点式，得到点C的坐标； （2）由直线与抛物线相交得到，根据根与系数的关系得到，由等式变形后，将根与系数的关系式代入求得，由此得到答案； （3）作于M，由是等腰直角三角形，得，求出，将线段绕点逆时针旋转到，连接，作于H，证得，推出，由，得，由两点距离公式求出得到当A，N，P三点共线时，有最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点（点在点左侧）， ∴当时，， 解得， ∴， ∵， ∴； （2）解：直线l总经过定点，理由如下： ∵抛物线与直线交于，两点， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 得， ∴ 当时， ∴直线l总经过定点； （3）解：作于M， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 将线段绕点逆时针旋转到，连接，作于H， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当A，N，P三点共线时，有最大值． 【点睛】此题考查二次函数的性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与特殊三角形问题，勾股定理，一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 考向04 二次函数选填压轴 题型13 二次函数图象与系数的关系（给定对称轴/交点坐标） 核心方法：“三看法”快速提取系数信息 · 一看a（开口） ：a>0开口向上，a<0开口向下；|a|越大开口越窄 · 二看c（与y轴交点） ：抛物线与y轴交点为(0, c)，c的符号即为此点纵坐标符号 · 三看b（与a的关系） ：对称轴x=-b/2a，若对称轴在y轴右侧，则a、b异号；若对称轴在y轴左侧，则a、b同号（口诀：左同右异） 当题目给定了对称轴位置或给出了两个交点坐标时，直接利用这些信息推理a、b、c的取值范围或相互间的关系式。 37．已知二次函数的图象如图所示，对于这个函数有下列四个结论：①；②；③；④．则结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向和对称轴可判断①和②，当时，，判断③，利用判断④，即可得出结论． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与x轴交点为， ∴抛物线对称轴为， ， ， ∴，故②正确， ， 故①正确； 由图象得，当时，， ，故③正确， ∵， ∴ 故④错误； 综上所述，正确的是①②③，有3个． 38．如图，已知二次函数的图象经过，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据图象得出的符号，再结合对称轴位置可得，过点可得，然后根据不等式的性质逐项判定即可． 【详解】解：由图象可知：，，， ， ， ∴A错误； 由图象经过，可得， ， ， ， ，即， ∴B正确； 由图象得，， ， ， ∴C错误； ， ， ， ∴D错误． 39．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（　　）个． ①； ②； ③； ④； ⑤（m为任意实数）． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据开口方向可得，根据对称轴公式得到，则，根据抛物线与轴交于正半轴，可判断，据此可判断①②；根据当时，，可判断③；由图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点，利用一元二次方程根的判别式，可判断④；由二次函数的图象可知最大值在时，即最大值为，据此解题可判断⑤． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，则， ∵对称轴为直线， ∴， ，即，故②正确； ∵抛物线与轴交于正半轴， ， ，故①不正确； 由图象可知，当时， ，故③正确； 由图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点，即关于x的一元二次方程有两个不同的实数根， ∴， ，故④正确； 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴该函数的最大值为， （m为任意实数） （m为任意实数），故⑤正确， 综上所述，不正确的只有① ． 题型14 求参数的值或取值范围 核心方法：数形结合——转化为图象与直线的交点问题 · 方程ax²+bx+c=k的解的个数 ⇔ 抛物线与直线y=k的交点个数 · 已知方程有n个解 ⇒ 抛物线与直线恰有n个交点 ⇒ 利用判别式Δ或图象位置范围列不等式 · 对于复合条件（如x₁+x₂>0，x₁x₂≥0等），优先学用韦达定理快速列关系式 40．新定义：若点的纵坐标是横坐标的3倍，则称该点为“三倍点”．若二次函数在图象上存在两个“三倍点”，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上存在两“三倍点”转化为和有两个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出． 【详解】解：由题意得，“三倍点”所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上存在两个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和有两个交点， 令，整理得，， ， 解得， 当时，，解得：； 当时，，解得：， 综上，的取值范围为：． 41．在平面直角坐标系中，点和是抛物线上的两点，过点B作x轴的垂线交x轴于点C．当的面积小于4时，a的值可以是______________．（写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求出、，从而可得，且，表示出，根据三角形面积公式列出不等式，结合求出的取值范围，任选范围内一个值即可． 【详解】解：在中，当时，，即， 当时，，即， ∴， ∴，且， ∵轴， ∴点坐标为， ∴， ∴， ∵的面积小于4， ∴，即， 解得：， ∵， ∴的取值范围是， ∵当时，，此时与点重合，无法构成三角形，故不符合题意， ∴的取值范围是且， 故a的值可以是（答案不唯一）． 42．已知抛物线与轴交于点，，在的抛物线上有一点，其纵坐标为．若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线对称轴的两种计算方法列式子求出的值，进而根据抛物线图象的性质分析的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴交于点，， 抛物线对称轴为：直线， 解得：， 抛物线表达式为：， ， 抛物线开口向下， ，， 当时，取最大值，， 当时，取最小值，， ． 题型15 图象共存与多结论判断题 核心方法：代入特殊值→逐个验证→排除选项 · 特殊值验证法：代入已知点坐标或已知特殊值（如顶点），验证各结论是否成立 · 逻辑推断法：多个结论中常存在因果或包含关系，相互印证可减少计算量 · 常见考点：如图象共存（①②③④四个结论）、动点范围、面积关系等 步骤：①读题，标出已知条件；②对每个结论单独判断；③优先用特殊值验证，再考虑一般性推理；④综合得出正确答案。 43．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为，有下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由图象可知：开口向上，即，对称轴为直线，即，根据二次函数的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为，，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：开口向上，即，对称轴为直线，即， ∴当时，y有最小值，即为， ∴当x为任何值，都有，即，故③正确； ∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交负半轴于点，对称轴为， ∴根据二次函数的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为，， 则由图象可知：当时，，故①正确， 当时，则有， 由可得：，即， ∴，故②错误； ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴，即，故④正确； 综上所述：①③④正确，共有3个． 44．已知二次函数的图象如图所示，，是该函数图象上的两个点，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】①根据抛物线与轴有两个交点，可得；②根据抛物线上的点到对称轴的距离即可判断；③先根据抛物线的对称轴得出，再由图象可知，当时，，最后将代入进行计算即可；④先根据二次函数的图象与性质得出，进一步得出，最后化简即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线与轴有两个交点， 则一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 故①错误； ，是该函数图象上的两个点，且抛物线的对称轴为直线， 点和点到对称轴的距离分别为，． 又抛物线的开口向下，且， ， 故②正确； 抛物线的对称轴为直线， ，即． 由图象可知，当时，， 将代入得，， 即， 两边同时乘2得，， 故③错误； 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，， 对于任意自变量，都有成立， 两边同时减得，， 即， 故④正确， 综上，正确的结论有②④． 故选：C． 45．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】先根据抛物线开口向下、与y轴的交点位于y轴正半轴，，再根据对称轴可得，由此可判断说法①；将对称轴进行化简得到，代入二次函数中，即，将点代入二次函数的解析式可判断说法②；根据二次函数的对称性可知抛物线也经过点，结合图象得到当，，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断说法④，即可得出答案． 【详解】解：∵由图可知，开口向下，即，对称轴在轴右侧，即，与轴交于正半轴，即， ∴，故①符合题意； ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴二次函数可化简为， ∵二次函数经过点， ∴将代入，得，即，故②符合题意； ∵二次函数对称轴为直线，且经过点， ∴与轴另一个交点为，即， ∴由图象可知的解集为，故③符合题意； ∵由图可知，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值， ∵假设（为任意实数），即， ∴，即， ∵当，，与假设矛盾，所以假设不成立，故④不符合题意； 综上，符合题意的有：①②③． 题型16 二次函数实际应用中的最值问题 核心方法：建立函数模型→配方求最值→检验实际意义 · 建模：将实际问题中的数量关系用二次函数表示（如利润=收入-成本，高度与时间的关系等求最大值或最小值） · 求最值：将函数配方成y=a(x-h)²+k的形式，顶点坐标即为最值点 a. 当a>0时，函数有最小值k（在x=h处取得） b. 当a<0时，函数有最大值k（在x=h处取得） · 检验：检查x=h这个最值点在题目给出的实际范围内是否合理（如时间非负、数量为整数等） 46．某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为，）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为________米． 【答案】 【分析】根据题意利用待定系数法求出的解析式，再根据形状相同， 得出抛物线的二次项系数为，进一步即可求解． 【详解】解：∵， ∴设的解析式为：， 且当时，， 则， 解得：， 故的解析式为：， ∵形状相同， ∴抛物线的二次项系数为：， ∵， ∴，， 则的解析式为：， 故当时，，即的最大高度为． 47．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 【答案】8 【分析】根据题意得到，当时，，解一元二次方程即可． 【详解】解：铅球抛出时离地面的高度为， ， ， 当时，， 解得或（舍去）， 铅球掷出的水平距离为． 48．如图，在中，，，是高，矩形的顶点， 分别在，上，在 上，交于点 ，当______时，矩形的面积最大． 【答案】 【分析】先证明，由、是高，可得，设，得出，故矩形的面积为，根据二次函数最值关系即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵中，是高， ∴中，是高，且有， ∴， ∵，， 设， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， ∴当时，矩形的面积最大． （建议用时：120分钟） 1．（2026·湖南·模拟预测）如图，已知抛物线，过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上一动点． a．当，求点的坐标． b．连接线段，设直线交线段于点的面积为的面积为，求最大值． 【答案】(1) (2)a．；b． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、几何图形的旋转变换、相似三角形的判定与性质，以及利用二次函数求最值，解题关键是熟练掌握待定系数法、坐标旋转规律、相似三角形的比例关系，并结合二次函数的性质求解． （1）利用待定系数法，将已知点，代入抛物线解析式，解方程组求出系数，即可得到抛物线解析式； （2）a．利用“构造旋转全等”的方法，将线段绕点顺时针旋转得到，通过求直线的解析式，与抛物线联立求解，得到点的坐标； b．通过作平行线构造相似三角形，将面积比转化为线段比，再结合点的坐标表示出比例式，转化为二次函数，利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：把点，代入中， ， 解得 抛物线的解析式为． （2）a．把绕点顺时针旋转90度得， 连接，交抛物线于点，作，交轴于点， ， ， 又， ， 在和中： ， ， 令代入，得，即， ，， ， 由待定系数法求出的表达式为． 由， 解得（舍去）， ∴． b．作轴，轴，分别交直线于点． ， ，， ． ． 设． ，, ∴． ∴ ． 当时，有最大值为． 2．（2021·湖南长沙·二模）已知：抛物线交x轴于点A和点C，与y轴交于点B，且．    (1)求抛物线解析式； (2)点P是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点F，若点P的横坐标为t，的面积为s，求s与t的关系式； (3)在（2）的条件下，，延长、交于点，点在线段上，过点作于点，的延长线交抛物线于点，点在直线下方的第四象限内，连接、、，，点在的延长线上，连接并延长交轴于点，，当的面积为9，点是的中点时，求点D的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，可求得，，再根据，求得，代入点即可求得抛物线解析式； （2）过点作轴，则可得，点的横坐标为，可得，，利用相似三角形性质可得，即：，求出，利用即可求得与的关系式； （3）当时，求得，进而可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，可求得交点，由两点间距离公式可得：，，，，， 过点作交于，可解得，，即可得，进而可得，延长使得，过点作交于，易证得，可证得，进而可证，则，结合题意易知为等腰直角三角形，设，则，利用相似三角形所列比例关系可得，由，，可得，进而可得，通过的面积为9，即，可得，则，，设，，，，可列方程，，求得，，进而可得的解析式为：，联立直线与抛物线可得：，可求得点的横坐标为． 【详解】（1）解：令，则，解得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 将代入，可得，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：过点作轴，交x轴于点E，如图所示：    ∵轴， ∴， ∴， ∵点是第四象限抛物线上一点，点的横坐标为，则纵坐标为， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为： ， ∴与的关系式为； （3）解：当时，即，可得， 则， 即：， 设直线的解析式为：， 将，代入中可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得，直线的解析式为：， 联立， 解得：， 即， 由，，，，， 由两点间距离公式可得： ，，，，， 如图，过点作交于， 则， 即， ∴， 则， ∴， ∴， ∵， ∴，即 又∵，即， ∴， 如图，延长使得，过点作交于，      ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，则为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵，即， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 又∵的面积为9，即， ∴，负值舍去， ∴，， ∵点在线段上，则点在点上方， 则设，，，， ∴， 解得，（舍去）， 则， ， 解得，（舍去）， 则， ∴，， 设的解析式为：，代入，，可得 ， 解得： ， ∴的解析式为：， 联立直线与抛物线可得：， 解得：， 由题意可知点的横坐标为负值， ∴点的横坐标为． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，双曲线，若点关于直线的对称点恰好落在双曲线上，则称点为“镜像点”． (1)已知点为“镜像点”，求的值； (2)根据“镜像点”的定义，判断下列说法是否正确，对的打“”，错的打“”． ①符合要求的“镜像点”都在函数的图象上； ②将函数的图象沿轴翻折，再向右平移个单位长度，得到的图象上的点都是“镜像点”； ③若直线经过“镜像点”，则该直线与坐标轴围成的三角形面积为． (3)关于直线对称的抛物线，与轴的交点也为“镜像点”，点为该抛物线上异于点的“镜像点”．当时，以点为顶点的抛物线的最大值记为，最小值记为，令，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③ (3) 【分析】本题考查函数图象的翻折变换，函数图象的平移变换，反比例函数综合，二次函数的最值，不等式的性质； （1）根据“镜像点”的定义将点关于直线的对称点代入即可求出的值； （2）设点是“镜像点”，将关于直线的对称点代入，即可判断①；通过函数图象的翻折变换，函数图象的平移变换，即可判断②；由“镜像点”的定义可求出直线，即可判断③； （3）由“镜像点”的定义可求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数的最值可求出，代入可求出，最后利用不等式的性质可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点为“镜像点”， ∴点关于直线的对称点， 把代入，得， 解得． （2）解：①设点是“镜像点”， ∴点关于直线的对称点， 把点代入，得， ∵， ∴， ∴点在函数的图象上，即符合要求的“镜像点”都在函数的图象上， ∴①错误； ②由①得符合要求的“镜像点”都在函数的图象上， 由函数图象的平移变换可得：函数可由向右平移个单位长度得到， ∵的图象与的图象关于轴对称，即将函数的图象沿轴翻折后即是函数的图象， ∴②正确； ③由①得符合要求的“镜像点”都在函数的图象上， 把点代入，得， 把代入直线，得，解得：， 令，则；令，则，解得：， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为， ∴③正确． （3）解：由题意知，点为“镜像点”，其横坐标为， ∴关于直线的对称点横坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为，即， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 由（2）得符合要求的“镜像点”都在函数的图象上，且， 令， 整理得，， ∴， 解得或或， ∵，且点异于点， ∴，都舍去， 将，代入得，， ∴点的坐标为， ∴， ①当时，抛物线开口向上， ， ∴当时，有最小值，即；当时，有最大值，即， ∵， ∴， ∴， ∴与是矛盾的，故不符合题意，舍去， ②当时，抛物线开口向下， ， ∴当时，有最大值，即；时，有最小值，即， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 综上所述，的取值范围是． 4．（2026·湖南邵阳·二模）某学生在学习二次函数时发现：二次函数图象上的任意点到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等，请同学们利用已学知识回答下列问题： (1)证明：函数（为常数，且）上任意一点到点的距离与到直线的距离相等； (2)将函数的图象向右平移1个单位，再向下平移个单位得到抛物线．若点，点是上的一个动点，试求的最小值； (3)在（2）的条件下，设与轴相交于A，B（点在点的右边）两点，顶点为点，点为的对称轴上的一点且平分，点是线段上的动点（点与A，C不重合），连接，将沿折叠得到，记与的重叠部分为．若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）在上任取点，计算出点到点的距离与到直线的距离即可证明结论； （2）根据平移可得抛物线上任意点到点的距离与到直线的距离相等，可得的最小值即为点到直线的垂线段的长度，即可求解； （3）分，，三种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）证明：在上任取点， 则， ∵， ∴， ∵点到的距离， ∴上任意点到定点的距离与到定直线的距离相等． （2）解：由（1）知函数的图象上的任意点到点的距离与到直线的距离相等， ∵抛物线是由的图象向右平移1个单位，再向下平移个单位得到， ∴点平移到点，直线平移到直线， ∴抛物线上任意点到点的距离与到直线的距离相等， 过点作直线的垂线段，垂线段的长即为的最小值， ∴． （3）解：∵抛物线的解析式为， 令时，， 解得，， ∴， ∴， 分三种情形讨论： 第一种情况：， ①如图（一）， ∵， ∴， 取点，则在中，，， ∴， ∴， ∵AD平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点为的中点，即． ②如图（二）， 当点在上从点到点的运动中，时， 由可知，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， 由可知，， ∴， ∴． 第二种情况：， 如图（三）， 由可知，， ∴将沿折叠得到时，点与点重合， ∴此时与重合，即；   第三种情况：， ∵， ∴， 当将沿折叠得到， 若点在上，则， ∴， ∴， 若点在上，则， ∴，即， ∴不存在． 综上所述，满足题意的点的坐标为． 5．（2026·湖南株洲·一模）已知抛物线（，为常数）经过点． (1)若抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的函数表达式； ②已知点和点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． (2)若，且对于任意实数，都有，将直线向上平移个单位长度，与抛物线交于点，（在的右侧），若有直线，在这条直线上一定存在点，使得是直角，请求出的最大值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①待定系数法求解析式，即可求解； ②根据解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，在对称轴的左侧，随的增大而减小，则点关于对称的点的坐标为，根据点和点在该抛物线上，得出当时，，结合题意，得出关于的不等式组，解不等式组，即可求解； （2）对于任意实数，都有，联立解析式，进而可得判别式小于或等于0，得出，进而根据直线的平移得出的坐标，根据是直角，结合直径所对的圆周角是直角，得出点在以为直径的圆上，进而求得最大值． 【详解】（1）解：①∵经过点，与轴交于点， ∴ 解得： ∴； ②∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，在对称轴的左侧，随的增大而减小， ∴点关于对称的点的坐标为， 又∵点和点在该抛物线上， ∴当时， 又∵对于，都有， 解得： （2）解：∵经过点， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 联立 消去得， 即 ∵对于任意实数，都有 ∴ 即 ∴ ∴抛物线解析式为 ∵将直线向上平移个单位长度，与抛物线交于点，（在的右侧）， ∴直线与抛物线交于点，（在的右侧）， 联立 解得： ∴ ∴ 设的中点为，则的纵坐标为 ∵在这条直线上一定存在点，使得是直角 ∴在以为直径的圆上， 当最大时，在点的正上方，轴且 ∴的最大值为 6．（2026·湖南·模拟预测）我们规定：若一次函数的图象与二次函数或反比例函数的图象有且只有一个公共点，则称这个一次函数是该函数的“亲密函数”，这个一次函数的图象称为该函数图象的“亲密线”，这个公共点叫作“亲密点”，根据以上定义，请回答下列问题： (1)判断直线是否为抛物线的“亲密线”？如果是，请求出“亲密点”；如果不是，请说明理由． (2)如图1，点是双曲线上在第一象限内的任意一点，过点作该双曲线的“亲密线”，且直线与轴、轴分别交于，两点，求的面积． (3)如图2，点，是抛物线上的两点，过点，分别作该抛物线的“亲密线”，，与相交于． ①若，求的值； ②连接交抛物线对称轴于点，设点的纵坐标为，求与的数量关系． 【答案】(1)直线是抛物线的亲密线，亲密点为． (2) (3)①；② 【分析】（1）联立函数表达式，求解交点坐标即可判断是否为“亲密线”，得出“亲密点”； （2）设直线为，由交点问题得出方程，转成一元二次方程后由得出与的关系，再计算出面积表达式，代入求解即可； （3）①由交点假设出与的函数表达式，由“亲密线”概念得出、的表达式，结合方程的概念以及韦达定理得出，再代入求解即可；②设直线，故得方程，由韦达定理得，，结合①中，得，把，代入，化简后得方程，把，，代入方程，可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：联立，得， ∴， 方程有两个相等解为， ∴直线是抛物线的“亲密线”，“亲密点”为． （2）解：可设直线为， 变形为， 由题知，， 即， 直线分别与轴、轴交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：①设，， 令， 得方程， ∵，，， 由“亲密线”可知：， 即， ∴方程的解，（ⅰ） 同理可得：， 且，（ⅱ） 由（ⅰ）（ⅱ）知，是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 当时，； ②由抛物线知， 设直线， 令， 即， 由韦达定理得，， 又知， ∴， 即， 把，代入， 得， 即， 把，，代入上式中， 得， 整理可得：． 7．（2026·湖南张家界·一模）定义：与为“对偶点”，对于函数，若至少有一组对偶点在其图象上，且，则称该函数为“湖湘对偶函数”． (1)判断函数是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”； (2)若二次函数是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m，n的关系式（请用含m的式子表示n）； (3)已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且点的“对偶点”在函数图像上，点P是函数图像上一动点，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)函数不是“湖湘对偶函数”，见解析 (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据“湖湘对偶函数”需满足与均在函数图象上，且，得到方程组，求解即可判断； （2）由“湖湘对偶函数”定义，联立方程组，化简得，继续化简得，再代入， 整理为，再由求解即可； （3）点的“对偶点”为，代入，求出函数解析式为，然后求出，，，则，则，那么．设，则，得，求出，再代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：“湖湘对偶函数”需满足与均在函数图象上，且． 联立方程组 解得 此时，不满足． 故函数不是“湖湘对偶函数”． （2）解：由“湖湘对偶函数”定义，联立方程组 化简得． 因为，两边除以，化简得 代入， 整理为， 因为有唯一“对偶点”，所以该方程有唯一解， 故判别式， 所以； （3）解：点的“对偶点”为，代入， 得，解得， 故函数解析式为． 令，得， 解得或． 故，， 所以． 令，得，故， 故， 由题意得． 设，则，得． 当时，，，无实根． 当时，，即， 解得， 所以点P的坐标为或． 8．（2026·福建·一模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由对称轴为直线，以及点的坐标得出与的值，即可求出抛物线解析式； （2）由抛物线的对称轴及的长，确定出与两点的横坐标，代入抛物线解析式求出与两点的纵坐标，得出与两点的坐标，再作点关于轴的对称点为点，连接，，交x轴于点D，则点D即为所求，最后利用待定系数法求出直线的解析式，即可解决问题； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设直线与交于点P，过点P作轴，垂足为点H，设与y轴交于点S，则，，进一步得；由已知面积之比求出的长，确定出点的横坐标，代入直线的解析式求出点的纵坐标，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，，且两点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为，点的横坐标为． 把代入抛物线解析式得：， ∴，． 如图，作点关于轴的对称点为点，连接，，交x轴于点D， 则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小． 设直线解析式为，（）， 把代入得，， 解得，， 即直线解析式为， 令得，， 解得，， 即点D的坐标为； （3）解：由（2）得，，， 设直线解析式为，（）， 将代入得，， 解得，， ∴直线解析式为． 如图，设直线与交于点P，过点P作轴，垂足为点H，设与y轴交于点S， 则，， ∴， ∴． ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∴或． ∵， ∴或， ∴或， ∴点P的横坐标为或． 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时； 综上所述，点P的坐标为或． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数压轴（综合解答题） 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感” 近三年：中考数学中二次函数压轴考点主要有以下几类：①存在性问题（每年1道，12~14分），含等腰、直角、平行四边形存在性，如2025省卷T26；②线段与面积最值（每年1道，10~14分），如2024省卷T25考铅垂法与面积最值；③角度与定值定点问题（每年1道，6~10分），如2024省卷T25考线段比值为定值；④二次函数选填压轴（每年1~2题，3~6分），含图象与系数关系、多结论判断、参数取值范围及新定义题型。考查内容稳定，难度以中等偏上和压轴为主。 预测2026年：二次函数压轴仍是区分度最高的板块，存在性问题中相似三角形将更多嵌入压轴解答题；新定义题型可能从选填（3分）升级为解答压轴（12分以上），如郴州、株洲等地2026研讨会命题导向；定值定点考查热度持续上升，韦达定理消参为必会方法；以上考点需重点突破。 考向01 二次函数与几何存在性问题 题型1 等腰三角形的存在性问题 核心方法：“两圆一线”作图法 + 代数列方程法 第一步：分类讨论 等腰三角形的分类方法一般按“哪两条边相等”分为三类：若要使△ABC为等腰三角形，则① AB = AC（A为顶角顶点）；② BA = BC（B为顶角顶点）；③ CA = CB（C为顶角顶点）。第二步：几何法找点——“两圆一线” · 以A为圆心、AB为半径作圆，圆上符合条件的点满足AB=AC · 以B为圆心、BA为半径作圆，圆上符合条件的点满足BA=BC · 以AB为底边，作AB的垂直平分线，线上符合条件的点满足CA=CB 这三个轨迹与抛物线/直线的交点，就是满足条件的动点。 第三步：代数法求坐标 设动点P(m, f(m))。表示出PA和PB的长度（用两点间距离公式），分别代入三种等量关系：① PA=PB；② PA=AB；③ PB=AB。每种关系列出一个方程，解方程求解即可。 1．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； (3)若点是轴上一个动点，求使为等腰三角形的点的坐标． 3．如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求点E的坐标； (3)设点P为x轴上的一个动点，写出所有使为等腰三角形的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来． 题型2 直角三角形的存在性问题 核心方法：“两线一圆”几何法 + 勾股定理代数法 + 斜率乘积法 第一步：分类讨论 若△ABC为直角三角形，分为三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°。 第二步：几何法找点——“两线一圆” · 过A作AB的垂线，垂线上除A外的点均满足∠A=90° · 过B作AB的垂线，垂线上除B外的点均满足∠B=90° · 以AB为直径作圆，圆上除AB中点外的点均满足∠ACB=90° 第三步：代数法求坐标 1. 勾股定理法：设动点P(m, f(m))，表示出三边长，代入勾股定理（如PA²+PB²=AB²对应∠P=90°）列方程求解。 2. K值乘积法：两条直线垂直⇔它们的斜率乘积为-1。利用此性质表示动直线的斜率，列方程求解。 3. 相似法：从直角顶点向对边作垂线，构造直角三角形中的相似关系。 4．如图，已知抛物线与x轴交于，两点． (1)求b，c的值； (2)点E为抛物线上一点，且点E在x轴上方，连接，以点E为直角顶点，为直角边，作等直角，使得点D恰好落在直线上，求出满足条件的所有点E的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若为抛物线对称轴上一动点，求使为直角三角形的点的坐标． 6．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求的值． (2)若点为抛物线上一动点，的面积为8时，求点的坐标． (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标． 题型3 平行四边形的存在性问题 核心方法：中点坐标法（“三步走”） 第一步：准确标示四个点的坐标 已知三定点（如A、B、C），求第四点D（通常为抛物线上的动点）。设D(m, f(m))，准确写出四个点的坐标。 第二步：分三种情况讨论对角线 平行四边形的对角线互相平分。三个已知点中选取两个作为对角线的端点，分三种情况： · ① 以AC为对角线 → B、D为另一对角线两端点 · ② 以BC为对角线 → A、D为另一对角线两端点 · ③ 以AB为对角线 → C、D为另一对角线两端点 第三步：利用对角线中点重合公式列方程 对角线两端点的横坐标之和相等、纵坐标之和也相等。例如，若AC为对角线，则： 代入已知坐标和D(m, f(m))，解方程即得满足条件的点。 7．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点和另一个顶点均在轴上，，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是斜边上一动点不与、重合，过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)若点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标：如果不存在，请说明理由． 8．如图1，在平面直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为、、，将此三角板绕原点O逆时针旋转，得到三角形． (1)一抛物线经过点、、B，求该抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形的面积是面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上有一动点M，对称轴上有一动点N，求当A，B，M，N四点围成的图形为平行四边形时点N的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点逆时针旋转，得到三角形．抛物线经过点，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)设点是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点，使四边形的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)抛物线上有一动点，对称轴上有一动点，当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 题型4 相似三角形的存在性问题 核心方法：先找一组相等角，再构造比例或第二组角 第一步：找出相等角 相似三角形的存在性问题中，要证相似的两个三角形必然有一组相等角。先从图形中找出这组公共角或相等角（常通过平行、垂直、圆周角、对顶角等得出），这个角一定是对应角。 第二步：选择解题路径 结合判定定理，有两种思路： · 思路1（优先推荐） ：利用“两边对应成比例且夹角相等”——从相等角出发，写出夹这个角的两边长的表达式，按比例列方程。坐标系中线段的长度比角的大小更容易表示，因此优先使用此思路。 · 思路2：利用“两组角对应相等”——找出另一组相等的角，结合第一组角证明相似。 第三步：分类讨论对应关系 设动点P，写出目标三角形和已知三角形的三边长表达式。 · 若已知△ABC∽△PQR，则需分类讨论哪种对应关系成立。对于“一对相等角+两边比例”，需讨论两种对应方式。 · 每种对应方式列出一个比例式方程，解出动点坐标。 第四步：检验 将求出的坐标代回原条件，检验是否确实满足相似关系。 10．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求该抛物线的函数解析式及的值； （2）如图2，若点为线段上的一动点不与（，重合），分别以，为斜边，在直线的同侧作等腰直角和等腰直角，连接，试确定面积最大时点的坐标； （3）如图3，连接，，，在线段上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似（包括全等），若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B、点，点D是抛物线的顶点． (1)求：抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)点P在直线上，连接，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 12．在直角坐标平面中，O为坐标原点，抛物线，L关于x轴对称的抛物线的图象经过点与点 (1)求抛物线的表达式； (2)点D在抛物线的对称轴上，连接，，与的对称轴交于B点，若与相似，求点D的坐标． 考向02 二次函数与面积/线段最值问题 题型5 线段长度最值问题 核心方法：坐标差表示线段→二次函数配方求最值 · 竖直线段（平行于y轴） ：设动点P(m, f(m))，在直线BC上取对应点Q(m, g(m))，则PQ = y_P - y_Q（上减下）。这个表达式是一个关于m的二次函数，配方求最大值或最小值。 · 水平线段（平行于x轴） ：同理，用右减左表示。 · 斜线段：先用两点间距离公式表示，再转化为二次函数求最值。 注意：求最值时要考虑自变量的取值范围（动点的横坐标通常有范围限制）。 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 14．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如果设点的坐标为，则点的坐标可表示为__________； (3)在（2）的条件下，请用含有的式子表示的长，并确定长度的最大值． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 题型6 三角形面积最值问题 核心方法：铅垂法（宽高法）求斜三角形面积 · 对于斜三角形（三个顶点不在同一条坐标轴平行线上），常用铅垂法： a. 过三角形中间那个顶点作y轴的平行线（铅垂线） b. 该线与对边所在直线相交，得到“铅垂高”h c. 两个水平点之间的水平距离为“水平宽”b d. 面积公式：S = ½ × 水平宽 × 铅垂高 将h表示为动点横坐标m的二次函数，配方求最大值。 补充方法：对于特殊三角形（如有一条边在坐标轴上），直接用底×高÷2即可。 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值； (3)将抛物线向上平移3个单位得新抛物线，新抛物线中的部分记为“图形W”．在新抛物线对称轴上取两点和，其中，将线段绕点M顺时针旋转，点N的对应点为H，以为边构造正方形． ①直接写出点Q和点H的坐标（用含m的式子表示）； ②当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的m的取值范围． 17．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上第一象限内的动点，连接，求面积的最大值． 18．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式 ； (2)点为二次函数的图象第四象限的点，设点的横坐标为，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点的坐标． 题型7 四边形面积最值问题 核心方法：割补法转化为三角形面积问题 · 割补法：将四边形分割成两个或多个三角形，分别求面积再求和/求差。常用铅垂法求每个三角形的面积。 · 割补拼接法：或将四边形补成一个矩形/梯形，减去多余部分。 19．如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 20．如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形面积最大，此时P点的坐标为______，四边形的面积的最大值为______． (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使值最大，求Q点坐标及的最大值． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一点（点不与点B，C重合），过点作轴交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段长的最大值； (3)连接，请直接写出四边形的面积最大值为________． 题型8 将军饮马模型在二次函数中的应用 核心方法：“化折为直”——利用对称性求线段和的最小值 · 经典模型：在直线（如对称轴、x轴、y轴）上找一点P，使得PA+PB最小。 a. 作点A关于该直线的对称点A' b. 连接A'B，与直线的交点即为P c. PA+PB = A'B（此时A'、P、B三点共线，线段和最小） · 核心原理：抛物线本身就具有对称性，充分利用对称轴求最短路径。 · 注意：当题目中出现“PA+k·PB”形式（如PA+√2·PB）时，需结合特殊角构造等边变换，再使用将军饮马思路。 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），其中点，． (1)求抛物线的解析式，直接写出顶点坐标． (2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． 23．如图，抛物线交x轴于点，，交y轴于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标． 24．如图，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考向03 二次函数与角度/定值问题 题型9 角度相等问题 核心方法：构造直角三角形→利用三角函数或相似 · 角度相等：转化为两个角的正切值（tan）相等。在坐标系中，利用点的坐标差求tan值，列等式求解。 · 特殊角（45°、60°、30°等） ：构造含该特殊角的直角三角形，利用勾股定理或三角函数列方程。 常见策略：通过特殊角（如45°角相关的“一线三等角”模型）构造全等或相似三角形来求解。 25．抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 27．如图，二次函数的图象与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为． (1)若，求顶点的坐标及线段的长； (2)连接，，，若，求点的坐标． 题型10 角度和差问题 核心方法：转化为外角或构造直角三角形互余条件 · 两角和为90°：联想到“直角三角形中两锐角互余”，可以通过构造以某一线段为直径的圆，利用“直径所对的圆周角是90°”找点。 · 两角和等于定角（如45°、60°） ：转化为外角关系。 28．如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，抛物线，顶点为，该抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)证明为直角三角形； (3)求与的差． 30．如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴分别于点点，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上第一象限内的一点，过点作轴的垂线，交于点，设点的横坐标为． 求为何值时，四边形是平行四边形； 连接，当时，求点的坐标； 题型11 定值问题（面积定值、比例定值） 核心方法：代数表示→参数化→证明表达式为定值 · 面积定值：先求出已知图形的面积表达式，再表示目标图形的面积，看两者之比或差是否为定值。 · 线段比例定值：将平台线段用参数表示，计算比例并证明化简后的表达式不含参数（或参数可约分）。 解题步骤： 1. 设动点坐标（含参数m） 2. 表示目标量（面积、线段长、线段比等）为m的表达式 3. 代入题目已知条件（如抛物线解析式、交点坐标等）进行化简 4. 证明化简后结果为常数. 31．已知抛物线：与直线：交于、两点，其中点在轴上． (1)若点横坐标为，直线与轴交于点． ①求的值； ②为线段上一点，过点作轴交抛物线于点，求四边形面积最大时点的坐标． (2)若、为该抛物线上不同的两点，且满足，已知抛物线存在最小值，设，请判断是否为定值，若为定值，请求出，若不是定值，请确定其范围． 32．已知，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)若点、为该抛物线上不同的两点，且满足，设，请判断h是否为定值．若为定值，请求出h的值；若不是定值，请说明理由． 33．在直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过点． (1)求的值． (2)点在线段上，过点，分别作轴的垂线交抛物线点． 试探究： ①当为何值时，四边形是平行四边形． ②与的面积之和是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由． 题型12 定点问题 核心方法：利用韦达定理消去参数→曲线过定点 · 直线过定点：若直线方程可整理为y - y₀ = k(x - x₀)的形式，则直线恒过定点(x₀, y₀)。 · 含参问题：直线解析式中含有参数时，通过韦达定理（x₁+x₂和x₁x₂）将斜率表示为只含常数的式子，从而证明直线过定点。 解题步骤： 1. 设动点坐标，求出过该点的直线方程（含参数） 2. 利用抛物线与直线的交点坐标，代入韦达定理消参 3. 将直线方程整理为“过定点”形式，证明与参数无关 34．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，x轴分别交于点M，N，于点D，点E在坐标平面内，若以M，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标； (3)如图2，若过（2）中点D的直线与抛物线交于P、Q两点（点P在点Q左侧），过Q点的直线与抛物线交于点R，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 35．已知一次函数与轴，轴分别交于点两点，抛物线； (1)若抛物线经过点，求出抛物线的解析式； (2)抛物线是否经过一定点，若经过定点，求出定点坐标，若不经过，请说明理由； (3)在（1）的条件下，第一象限一点是抛物线上一动点，连接，设点的横坐标为，四边形的面积为，求出与的函数关系式，当取何值时，有最大值是多少？ 36．抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），点是抛物线的顶点，连接、． (1)求、的坐标（用含的式子表示）； (2)若抛物线与直线交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标，否则，请说明理由； (3)如图，若是等腰直角三角形，点是一动点且满足，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，求的最大值． 考向04 二次函数选填压轴 题型13 二次函数图象与系数的关系（给定对称轴/交点坐标） 核心方法：“三看法”快速提取系数信息 · 一看a（开口） ：a>0开口向上，a<0开口向下；|a|越大开口越窄 · 二看c（与y轴交点） ：抛物线与y轴交点为(0, c)，c的符号即为此点纵坐标符号 · 三看b（与a的关系） ：对称轴x=-b/2a，若对称轴在y轴右侧，则a、b异号；若对称轴在y轴左侧，则a、b同号（口诀：左同右异） 当题目给定了对称轴位置或给出了两个交点坐标时，直接利用这些信息推理a、b、c的取值范围或相互间的关系式。 37．已知二次函数的图象如图所示，对于这个函数有下列四个结论：①；②；③；④．则结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．如图，已知二次函数的图象经过，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 39．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（　　）个． ①； ②； ③； ④； ⑤（m为任意实数）． A．3 B．2 C．1 D．0 题型14 求参数的值或取值范围 核心方法：数形结合——转化为图象与直线的交点问题 · 方程ax²+bx+c=k的解的个数 ⇔ 抛物线与直线y=k的交点个数 · 已知方程有n个解 ⇒ 抛物线与直线恰有n个交点 ⇒ 利用判别式Δ或图象位置范围列不等式 · 对于复合条件（如x₁+x₂>0，x₁x₂≥0等），优先学用韦达定理快速列关系式 40．新定义：若点的纵坐标是横坐标的3倍，则称该点为“三倍点”．若二次函数在图象上存在两个“三倍点”，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．在平面直角坐标系中，点和是抛物线上的两点，过点B作x轴的垂线交x轴于点C．当的面积小于4时，a的值可以是______________．（写出一个值即可） a42．已知抛物线与轴交于点，，在的抛物线上有一点，其纵坐标为．若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 题型15 图象共存与多结论判断题 核心方法：代入特殊值→逐个验证→排除选项 · 特殊值验证法：代入已知点坐标或已知特殊值（如顶点），验证各结论是否成立 · 逻辑推断法：多个结论中常存在因果或包含关系，相互印证可减少计算量 · 常见考点：如图象共存（①②③④四个结论）、动点范围、面积关系等 步骤：①读题，标出已知条件；②对每个结论单独判断；③优先用特殊值验证，再考虑一般性推理；④综合得出正确答案。 43．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为，有下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．已知二次函数的图象如图所示，，是该函数图象上的两个点，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 45．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）． 题型16 二次函数实际应用中的最值问题 核心方法：建立函数模型→配方求最值→检验实际意义 · 建模：将实际问题中的数量关系用二次函数表示（如利润=收入-成本，高度与时间的关系等求最大值或最小值） · 求最值：将函数配方成y=a(x-h)²+k的形式，顶点坐标即为最值点 a. 当a>0时，函数有最小值k（在x=h处取得） b. 当a<0时，函数有最大值k（在x=h处取得） · 检验：检查x=h这个最值点在题目给出的实际范围内是否合理（如时间非负、数量为整数等） 46．某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为，）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为________米． 47．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 48．如图，在中，，，是高，矩形的顶点， 分别在，上，在 上，交于点 ，当______时，矩形的面积最大． （建议用时：120分钟） 1．（2026·湖南·模拟预测）如图，已知抛物线，过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上一动点． a．当，求点的坐标． b．连接线段，设直线交线段于点的面积为的面积为，求最大值． 2．（2021·湖南长沙·二模）已知：抛物线交x轴于点A和点C，与y轴交于点B，且．    (1)求抛物线解析式； (2)点P是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点F，若点P的横坐标为t，的面积为s，求s与t的关系式； (3)在（2）的条件下，，延长、交于点，点在线段上，过点作于点，的延长线交抛物线于点，点在直线下方的第四象限内，连接、、，，点在的延长线上，连接并延长交轴于点，，当的面积为9，点是的中点时，求点D的横坐标． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，双曲线，若点关于直线的对称点恰好落在双曲线上，则称点为“镜像点”． (1)已知点为“镜像点”，求的值； (2)根据“镜像点”的定义，判断下列说法是否正确，对的打“”，错的打“”． ①符合要求的“镜像点”都在函数的图象上； ②将函数的图象沿轴翻折，再向右平移个单位长度，得到的图象上的点都是“镜像点”； ③若直线经过“镜像点”，则该直线与坐标轴围成的三角形面积为． (3)关于直线对称的抛物线，与轴的交点也为“镜像点”，点为该抛物线上异于点的“镜像点”．当时，以点为顶点的抛物线的最大值记为，最小值记为，令，若，求的取值范围． 4．（2026·湖南邵阳·二模）某学生在学习二次函数时发现：二次函数图象上的任意点到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等，请同学们利用已学知识回答下列问题： (1)证明：函数（为常数，且）上任意一点到点的距离与到直线的距离相等； (2)将函数的图象向右平移1个单位，再向下平移个单位得到抛物线．若点，点是上的一个动点，试求的最小值； (3)在（2）的条件下，设与轴相交于A，B（点在点的右边）两点，顶点为点，点为的对称轴上的一点且平分，点是线段上的动点（点与A，C不重合），连接，将沿折叠得到，记与的重叠部分为．若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标．    5．（2026·湖南株洲·一模）已知抛物线（，为常数）经过点． (1)若抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的函数表达式； ②已知点和点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． (2)若，且对于任意实数，都有，将直线向上平移个单位长度，与抛物线交于点，（在的右侧），若有直线，在这条直线上一定存在点，使得是直角，请求出的最大值． 6．（2026·湖南·模拟预测）我们规定：若一次函数的图象与二次函数或反比例函数的图象有且只有一个公共点，则称这个一次函数是该函数的“亲密函数”，这个一次函数的图象称为该函数图象的“亲密线”，这个公共点叫作“亲密点”，根据以上定义，请回答下列问题： (1)判断直线是否为抛物线的“亲密线”？如果是，请求出“亲密点”；如果不是，请说明理由． (2)如图1，点是双曲线上在第一象限内的任意一点，过点作该双曲线的“亲密线”，且直线与轴、轴分别交于，两点，求的面积． (3)如图2，点，是抛物线上的两点，过点，分别作该抛物线的“亲密线”，，与相交于． ①若，求的值； ②连接交抛物线对称轴于点，设点的纵坐标为，求与的数量关系． 7．（2026·湖南张家界·一模）定义：与为“对偶点”，对于函数，若至少有一组对偶点在其图象上，且，则称该函数为“湖湘对偶函数”． (1)判断函数是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”； (2)若二次函数是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m，n的关系式（请用含m的式子表示n）； (3)已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且点的“对偶点”在函数图像上，点P是函数图像上一动点，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标． 8．（2026·株洲·一模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $