【5年中考压轴真题】2022～2026年河南省选择题、填空题、解答题汇编

**基本信息** 2022-2026年河南省中考数学压轴真题汇编，含解答题、选择题、填空题各10题，聚焦二次函数、几何综合、新定义等核心考点，适配一轮复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|10小题|二次函数应用（小球发射）、几何变换（矩形折叠）、新定义（邻等对补四边形）|以科学实验（如小球发射）、文化实践（如团扇设计）为情境，分层设问（基础计算→推理证明→拓展应用）| |选择题|10小题|函数图像分析（轮胎摩擦系数）、圆与切线（团扇弧长）、图形旋转（正六边形）|结合科技热点（酒精测试仪）、传统文化（团扇），考查直观想象与数据分析| |填空题|10小题|概率（钢琴琴键）、动态几何（旋转线段）、阴影面积（割圆术）|融入数学文化（刘徽割圆术）、生活场景（矩形折叠），强调多解探究（如动点存在性）|

【5年中考压轴真题】2022~2026年河南省选择题、填空题、解答题汇编 一．解答题（共10小题） 1．（2024•河南）·【中档】从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． （1）小球被发射后 　 　 s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）． （2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度． （3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s．”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 2．（2023•河南）·【中档】小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2． （1）求点P的坐标和a的值； （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 3．（2022•河南）·【较难】综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：　 　 ． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝　 　 °，∠CBQ＝　 　 °； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 4．（2025•河南）·【较难】在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 5．（2022•河南）·【较难】为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． （1）求证：∠BOC+∠BAD＝90°． （2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cos∠BAD．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长． 6．（2026•河南）·【较难】在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝4．将边AB绕点A逆时针旋转至AE，记旋转角为α．作射线DE，在射线DE上取一点H，使BH＝BE，连接CH． （1）观察猜想：当α＝30°时，如图1，∠BEH的度数为　 　 ，CH的长为　 　 ． （2）探究证明：当0°＜α＜120°时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：当0°＜α＜120°时，若△DCH的面积为4，请直接写出此时旋转角α的度数． 7．（2026•河南）·【较难】定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大3，则称点Q是点P的“黄金搭档点”．例如，抛物线y＝x2上，点（3，9）是点（0，0）的“黄金搭档点”． （1）点A（0，﹣3）和点B在抛物线y＝x2+bx+c上，点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12．求b，c的值． （2）点M，N在（1）中的抛物线上，且点N是点M的“黄金搭档点”． ①若点M，N的纵坐标相等，求点M，N的横坐标． ②抛物线上M，N两点之间的部分（含M，N两点）记为图象W，设点M的横坐标为m，当m＜0时，若图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5，请直接写出m的值． 8．（2025•河南）·【难】在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G． （1）观察猜想：如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：　 　 ． （2）类比探究：如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用：当0°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，若，请直接写出的值． 9．（2024•河南）·【难】综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断：用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 　 　 （填序号）． （2）性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的长（用含m，n，θ的式子表示）． （3）拓展应用：如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长． 10．（2023•河南）·【难】李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M（4，0）的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1 关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 　 　 ；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为 　 　 个单位长度． （2）探究迁移：如图2，▱ABCD中，∠BAD＝α（0°＜α＜90°），P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题： ①若∠PAP2＝β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；②若AD＝m，求P，P3两点间的距离． （3）拓展应用：在（2）的条件下，若α＝60°，，∠PAB＝15°，连接P2P3，当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长． 二．选择题（共10小题） 11．（2025•河南）·【易】如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（　　） A．2 B．6﹣3 C．2 D．66 12．（2023•河南）·【较易】二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2022•河南）·【较易】呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（　　） A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小 B．当K＝0时，R1的阻值为100Ω C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态 14．（2026•河南）·【较易】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴上，对角线OB，AC交于点P，OA＝2，OC＝4．将矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在y轴上时，点A的对应点的坐标为（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣2，1） C．（0，2） D．（0，1） 15．（2026•河南）·【较易】团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为⊙O，扇柄所在直线经过圆心O，她过扇柄端点P作PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，得到．若⊙O的半径为9cm，∠APB＝60°，则小红想要装饰的的长为（　　） A．3πcm B．6πcm C．9πcm D．27πcm 16．（2024•河南）·【中档】如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（　　） A． B．4π C． D．16π 17．（2022•河南）·【中档】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（　　） A．（，﹣1） B．（﹣1，） C．（，﹣1） D．（1，） 18．（2025•河南）·【中档】汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v（km/h）之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（　　） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h D．若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 19．（2024•河南）·【中档】把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（　　） A．当P＝440W时，I＝2A B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 20．（2023•河南）·【中档】如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（　　） A．6 B．3 C． D． 三．填空题（共10小题） 21．（2026•河南）·【较易】在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从F，G，A，B四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为　 　 ． 22．（2025•河南）·【较易】我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 23．（2025•河南）·【较易】定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 　 　 ． 24．（2024•河南）·【中档】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为 　 　 ． 25．（2023•河南）·【中档】如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 　 　 ． 26．（2022•河南）·【中档】如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 　 　 ． 27．（2022•河南）·【中档】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 　 　 ． 28．（2024•河南）·【中档】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为 　 　 ，最小值为 　　 ． 29．（2023•河南）·【中档】矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 　 　 ． 30．（2026•河南）·【较难】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，CD是角平分线．点E为边BC上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．若AE＝2，则BF的长为　 　 ． 【5年中考压轴真题】2022~2026年河南省选择题、填空题、解答题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D D C A B C B C C A 一．解答题（共10小题） 1．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵﹣5＜0， ∴当t时，离地面的高度最大． 故答案为：； （2）当t 时，h＝20． ． 解得：v0＝20（取正值）． 答：小球被发射时的速度是20m/s； （3）小明的说法不正确． 理由如下： 由（2）得：h＝﹣5t2+20t． 当h＝15时，15＝﹣5t2+20t． 解方程，得：t1＝1，t2＝3． ∵3﹣1＝2（s）， ∴小明的说法不正确． 2．【答案】（1）点P的坐标为（0，2.8）；a的值是﹣0.4； （2）选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近． 【解答】解：（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0得y＝2.8， ∴点P的坐标为（0，2.8）； 把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8， 解得：a＝﹣0.4， ∴a的值是﹣0.4； （2）∵OA＝3m，CA＝2m， ∴OC＝5m， ∴C（5，0）， 在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7， 在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得x＝﹣21（舍去）或x＝21≈3.83， ∵|7﹣5|＞|3.83﹣5|， ∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近． 3．【答案】（1）∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）； （2）①15，15； ②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°， 由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°， ∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°， 又∵BQ＝BQ， ∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL）， ∴∠CBQ＝∠MBQ； （3）cm或cm． 【解答】解：（1）∵对折矩形纸片ABCD， ∴AE＝BEAB，∠AEF＝∠BEF＝90°， ∵沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处， ∴AB＝BM，∠ABP＝∠PBM， ∵sin∠BME， ∴∠EMB＝30°， ∴∠ABM＝60°， ∴∠CBM＝∠ABP＝∠PBM＝30°， 故答案为：∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）； （2）①由（1）可知∠CBM＝30°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°， 由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°， ∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°， 又∵BQ＝BQ， ∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL）， ∴∠CBQ＝∠MBQ＝15°， 故答案为：15，15； ②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°， 由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°， ∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°， 又∵BQ＝BQ， ∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL）， ∴∠CBQ＝∠MBQ； （3）由折叠的性质可得DF＝CF＝4cm，AP＝PM， ∵Rt△BCQ≌Rt△BMQ， ∴CQ＝MQ， 当点Q在线段CF上时，∵FQ＝1cm， ∴MQ＝CQ＝3cm，DQ＝5cm， ∵PQ2＝PD2+DQ2， ∴（AP+3）2＝（8﹣AP）2+25， ∴AP， 当点Q在线段DF上时，∵FQ＝1cm， ∴MQ＝CQ＝5cm，DQ＝3cm， ∵PQ2＝PD2+DQ2， ∴（AP+5）2＝（8﹣AP）2+9， ∴AP， 综上所述：AP的长为cm或cm． 4．【答案】（1）y＝x2+2x﹣2；（2）顶点坐标为（﹣1，﹣3），作图见解析；（3）n＝1或n＝4． 【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x1． ∴可设二次函数为y＝a（x+1）2+k． 又∵图象过（0，﹣2），（1，1）， ∴﹣2＝a（0+1）2+k，且1＝a（1+1）2+k． ∴a＝1，k＝﹣3． ∴二次函数为y＝（x+1）2﹣3，即y＝x2+2x﹣2． （2）由题意，结合（1）y＝（x+1）2﹣3， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）． 作图如下． （3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后， ∴新函数为y＝（x+1﹣n）2﹣3． ∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上． ∴①当3≤n﹣1时，即n≥4， ∴当x＝0时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最小值为（4﹣n）2﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）2﹣3﹣（4﹣n）2+3＝5． ∴n4，不合题意． ②当0＜n﹣1＜3时，即1＜n＜4， ∴当x＝0或x＝3时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3或（4﹣n）2﹣3；当x＝n﹣1时，y取最小值为﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）2﹣3+3＝5或（4﹣n）2﹣3+3＝5． ∴n＝1或n＝1（不合题意，舍去）或n＝4（不合题意，舍去）或n＝4． ③当n﹣1≤0时，即n≤1， ∴当x＝0时，y取最小值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最大值为（4﹣n）2﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（4﹣n）2﹣3﹣（1﹣n）2+3＝5． ∴n1，不合题意． 综上，n＝1或n＝4． 5．【答案】（1）证明见解答过程； （2）50cm． 【解答】（ 1）证明：方法1：如图1，过点B作EF∥CD，分别交AD于点E，交OC于点F． ∵CD与⊙O相切于点C， ∴∠OCD＝90°． ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°． ∵EF∥CD， ∴∠OFB＝∠AEB＝90°， ∴∠BOC+∠OBF＝90°，∠ABE+∠BAD＝90°， ∵AB为⊙O的切线， ∴∠OBA＝90°． ∴∠OBF+∠ABE＝90°， ∴∠OBF＝∠BAD， ∴∠BOC+∠BAD＝90°； 方法2：如图2，延长OB交CD于点M． ∵CD与⊙O相切于点C， ∴∠OCM＝90°， ∴∠BOC+∠BMC＝90°， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°． ∵AB为⊙O的切线， ∴∠OBA＝90°， ∴∠ABM＝90°． ∴在四边形ABMD中，∠BAD+∠BMD＝180°． ∵∠BMC+∠BMD＝180°， ∴∠BMC＝∠BAD． ∴∠BOC+∠BAD＝90°； 方法3：如图3，过点B作BN∥AD， ∴∠NBA＝∠BAD． ∵CD与⊙O相切于点C， ∴∠OCD＝90°， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°． ∴AD∥OC， ∴BN∥OC， ∴∠NBO＝∠BOC． ∵AB为OO的切线， ∴∠OBA＝90°， ∴∠NBO+∠NBA＝90°， ∴∠BOC+∠BAD＝90°． （2）解：如图1，在Rt△ABE中， ∵AB＝75，cos∠BAD， ∴AE＝45． 由（1）知，∠OBF＝∠BAD， ∴cos∠OBF， 在Rt△OBF中， ∵OB＝25， ∴BF＝15， ∴OF＝20． ∵OC＝25， ∴CF＝5． ∵∠OCD＝∠ADC＝∠CFE＝90°， ∴四边形CDEF为矩形， ∴DE＝CF＝5， ∴AD＝AE+ED＝50cm． 6．【答案】（1）60°，4； （2）两个结论仍然成立．证明如下： ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，AB＝4， ∴AB＝AD＝BC＝4，AD∥BC， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°， ∵AB＝AE， ∴AD＝AE＝AB， ∵∠BAE＝α，则∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣α， ∴，， ∴∠BEH＝180°﹣∠AEB﹣∠AED＝180°﹣（90°﹣2）﹣（30°+2）＝60°， ∵BE＝BH， ∴△BEH为等边三角形， ∴∠EBH＝60°， ∴∠ABC＝∠EBH，则∠ABC﹣∠CBE＝∠EBH﹣∠CBE， ∴∠ABE＝∠CBH， ∵BE＝BH，AB＝CB， ∴△ABE≌△CBH（SAS）， ∴AE＝CH， ∴CH＝4； （3）15°或105°． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，AB＝4， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ABC＝60°，AD∥BC， ∵将边AB绕点A逆时针旋转至AE，记旋转角为α＝30°， ∴AB＝AE＝AD，∠BAE＝30°， ∴， ∴∠CBE＝∠ABE﹣∠ABC＝75°﹣60°＝15°， ∴∠CBE+∠AEB＝15°+75°＝90°，即AE⊥BC， 设AE，BC交于点M， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠CME＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠BEH＝180°﹣∠AEB﹣∠AED＝180°﹣75°﹣45°＝60°， ∵BE＝BH， ∴∠BEH＝∠BHE＝60°，则△BEH是等边三角形， ∵∠ABE＝75°，∠CBH＝∠CBE+∠EBH＝15°+60°＝75°， ∴∠ABE＝∠CBH， ∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBH，BE＝BH， ∴△ABE≌△CBH（SAS）， ∴CH＝AE＝4， 故答案为：60°，4； （2）两个结论仍然成立．证明如下： ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，AB＝4， ∴AB＝AD＝BC＝4，AD∥BC， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°， ∵AB＝AE， ∴AD＝AE＝AB， ∵∠BAE＝α，则∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣α， ∴，， ∴∠BEH＝180°﹣∠AEB﹣∠AED＝180°﹣（90°α）﹣（30°）＝60°， ∵BE＝BH， ∴△BEH为等边三角形， ∴∠EBH＝60°， ∴∠ABC＝∠EBH，则∠ABC﹣∠CBE＝∠EBH﹣∠CBE， ∴∠ABE＝∠CBH， ∵BE＝BH，AB＝CB， ∴△ABE≌△CBH（SAS）， ∴AE＝CH， ∴CH＝4； （3）解：由上述证明得到∠BCD＝∠BAD＝120°，AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝CH＝4，△ABE≌△CBH， ∴∠BAE＝∠BCH＝α，∠DCH＝∠BCD+∠BCH＝120°+α， 第一种情况，当点H在CD左边时，如图所示，过点H作HG⊥CD延长线于点G， ∴， ∴， 在Rt△CHG中，， ∴∠HCG＝45°， ∵∠DCH+∠HCG＝180°， ∴120°+α+45°＝180°， 解得，α＝15°； 第二种情况，当点H在CD右边时，如图所示， 同理，， ∴， ∴， ∴∠HCG＝45°∠BCG＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°， ∴∠BAE＝α＝∠BCH＝∠BCG+∠HCG＝60°+45°＝105°， 综上，旋转角α的度数为15°或105°． 7．【答案】（1）b＝2，c＝﹣3； （2）①点M的横坐标为，点N的横坐标为； ②或． 【解答】解：（1）∵点B是点A的“黄金搭档点”，A（0，﹣3），点B的纵坐标为12， ∴B（3，12）， ∵点A（0，﹣3）和点B在抛物线y＝x2+bx+c上， ∴， 解得：； （2）①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为t+3， 由（1）得y＝x2+2x﹣3， ∵点M，N的纵坐标相等， ∴t2+2t﹣3＝（t+3）2+2（t+3）﹣3，解得：， ∴， ∴点M的横坐标为，点N的横坐标为， ②由（1）得y＝x2+2x﹣3， 对称轴为直线， 当x＝﹣1时，y＝﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）， 当y＝0时，x2+2x﹣3＝0， ∴（x+3）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0）， 点N是点M的“黄金搭档点”，点M的横坐标为m，当时， ∴点N的横坐标为：m+3，， 当时，，抛物线与x轴的一个交点为（1，0）， ∴当，时，如图所示： 点M、N均在x轴下方，最低点为抛物线的顶点（﹣1，﹣4）， ∵﹣5﹣（﹣1）＜m﹣（﹣1）＜﹣1﹣（﹣1），即，，即， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5， ∴点N到x轴的距离为5﹣4＝1， 此时点N的纵坐标为﹣1， ∴（m+3）2+2（m+3）﹣3＝﹣1， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当，1＜m+3＜2时，如图所示： 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为抛物线的顶点（﹣1，﹣4）， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5， ∴点N到x轴的距离为5﹣4＝1， 此时点N的纵坐标为1， ∴（m+3）2+2（m+3）﹣3＝1， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当﹣1＜m＜0时，2＜m+3＜3， 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为点M，最高点为点N， ∴，， ∴|yM|+yN＝5，即|m2+2m﹣3|+（m+3）2+2（m+3）﹣3＝5， ∴﹣m2﹣2m+3+（m+3）2+2（m+3）﹣3＝5， 整理得：6m+10＝0， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上可得：或． 8．【答案】（1）OD＝CG+OE； （2）不成立，OD＝CG﹣OE，证明见解析； （3）的值为或． 【解答】解：（1）如图，过点C作CP⊥OA于点P， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CP⊥OA， ∴CP＝CD， 在Rt△POC和Rt△DOC中， ∵OC＝OC，CP＝CD， ∴Rt△POC≌Rt△DOC（HL）， ∴OP＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA， ∴∠CPE＝∠PEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CPEG是矩形， ∴PE＝CG， ∴OD＝OP＝PE+OE＝CG+OE， 故答案为：OD＝CG+OE； （2）不成立，OD＝CG﹣OE，证明如下： 如图，过点C作CQ⊥OA于点Q， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CQ⊥OA， ∴CQ＝CD， 在Rt△QOC和Rt△DOC 中， ∵OC＝OC，CP＝CD， ∴Rt△QOC≌Rt△DOC， ∴OQ＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA， ∴∠CQE＝∠QEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CQEG是矩形， ∴QE＝CG， ∴OD＝OQ＝QE﹣OE＝CG﹣OE； （3）①如图：当0°＜∠AOB＜90°时， ∵CG⊥DE，DE⊥OA， ∴CG∥OE， ∴△OEF∽△CGF， ∴， 即CG＝3OE，OD＝CG+OE＝3OE+OE＝4OE， ∴， ∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°， ∴∠DCG＝∠ODE， ∴△CDG∽△DOE， ∴； ②如图：当90°＜∠AOB＜180°时， ∵CG⊥GF，GF⊥OE， ∴CG∥OE， ∴△OEF∽△CGF， ∴， 即CG＝3OE， ∴OD＝CG﹣OE＝3OE﹣OE＝2OE， ∴， ∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°， ∴∠DCG＝∠ODE， ∴△CDG∽△DOE，， 综上，的值为或． 9．【答案】解：（1）②④； （2）①∠ACD＝∠ACB， 理由：延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE， ∵四边形ABCD是邻等对补四边形， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∵∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝∠D， ∵AB＝AD， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠E＝∠ACD，AE＝AC， ∴∠E＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠ACB； ②； （3）或． 【解答】解：（1）观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）①∠ACD＝∠ACB， 理由：延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE， ∵四边形ABCD是邻等对补四边形， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∵∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝∠D， ∵AB＝AD， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠E＝∠ACD，AE＝AC， ∴∠E＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠ACB； ②过A点作AF⊥BC交于F点， ∵AE＝AC， ∴CF＝EFEC（m+n）， ∵∠BCD＝2θ， ∴∠ACD＝∠ACB＝θ， 在Rt△AFC中，AC， ∴AC的长为； （3）∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， ∵四边形ABMN是邻等对补四边形， ∴∠ANM+∠B＝180°， ∴∠ANM＝90°， 当AB＝BM时， 方法一：如图，连接AM，过N作NH⊥BC于H， ∴AM2＝AB2+BM2＝18， 在Rt△AMN中，MN2＝AM2﹣AN2＝18﹣AN2， 在Rt△CMN中，MN2＝CM2﹣CN2＝（4﹣3）2﹣（5﹣AN）2， 18﹣AN2＝（4﹣3）2﹣（5﹣AN）2， 解得AN＝4.2， ∴CN＝0.8， ∵∠NHC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△NHC∽△ABC， ∴， 即， ∴NH，CH， ∴BH， ∴BN， 方法二：∵∠ANM＝90°， ∠C＝∠C， ∴△CNM∽△CBA， ∴， 即， ∴NM，CN， ∴AN＝5， 根据（2）的结论， 则BN； 当AN＝AB时，如图，连接AM， ∵AM＝AM， ∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL）， ∴BM＝NM，故不符合题意，舍去； 当AN＝MN时， 方法一：过N作NH⊥BC于H， ∵∠MNC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△CMN∽△CAB， 即， 即， 解得CN， ∵∠NHC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△NHC∽△ABC， ∴， 即， ∴NH，CH， ∴BH， ∴BN， 方法二：设AN＝MN＝x， 则CN＝5﹣x， ∴， ∴x， ∴CM， ∴BM＝4， 根据（2）的结论， 则BN； 当BM＝MN时，如图，连接AM， ∵AM＝AM， ∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL）， ∴AN＝AB，故不符合题意，舍去； 综上，BN的长为或． 10．【答案】（1）180°，8； （2）①β＝2α； ②2m•sinα； （3）AP＝3或2． 【解答】解：（1）答案为：180°，8； （2）①如图1， β＝2α，理由如下： 连接AP1， 由轴对称的性质可得：∠PAB＝∠BAP1，∠P1AD＝∠DAP2， ∴∠PAB+∠DAP2＝∠BAP1+∠DAP1＝∠BAD＝α， ∴β＝2α； ②如图2， 作DF⊥AB于F，作P1E⊥DF于E， ∵PP1⊥AB，P3P1⊥CD， 可得矩形EFGP1和矩形DEP1H， ∴DE＝HP1，EF＝GP1， ∵DF＝AD•sin∠BAD＝m•sinα， ∴GP1+HP1＝DE+EF＝DF＝m•sinα， ∵HP3＝HP1，PG＝P1G， ∴HP3+PG＝GP1+HP1＝m•sinα， ∴PP3＝2m•sinα； （3）如图3， 在Rt△KMN中，∠M＝90°，∠N＝15°，KS＝SN，则∠KSM＝30°， 设KM＝1，则SN＝KS＝2，MS，则KN， ∴sin15°， 当P2P3∥AD时，作DI⊥AB于I，设P1P2交AD于T， ∵P1P2⊥AD， ∴P2P3⊥P1P2， ∴∠P3P2P1＝90°， ∵PP3∥DI， ∴∠P2P3P1＝∠ADI＝30°， 由（2）知：PP3＝2AD•sin60°＝6， 设AP1＝AP＝x，则PP1＝2AP•sin∠PAB＝2x•sin15°＝2x•， ∴P1P3＝PP3﹣PP1＝6， ∵∠BAP1＝∠BAP＝15°， ∵∠P1AT＝∠DAB﹣∠BAP1＝60°﹣15°＝45°， 由轴对称性质得：∠ATP1＝90°， ∴TP1AP1， ∴P1P2， 由P1P2＝P1P3•sin∠P2P3P1＝P1P3•sin30°得， 62x， ∴x＝3， 如图5， 当P2P3∥CD时，设AP＝x， 同理可得：P1P2＝2P1P3， ∴2[6]x， ∴x＝2， 综上所述：AP＝3或2． 二．选择题（共10小题） 11．【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝6， ∴AB＝BC＝6， 根据折叠的性质得，AE⊥BF，BE＝EF， ∵∠B＝45°， ∴∠BAE＝90°﹣45°＝∠B， ∴AE＝BEAB＝3， ∴BF＝2BE＝6， ∴CF＝BF﹣BC＝66， 故选：D． 12．【答案】D 【解答】解：由函数图象可得，a＜0，0， ∴b＞0， ∴y＝x+b的图象过一，二，三象限，不过第四象限， 故选：D． 13．【答案】C 【解答】解：由图2可知，呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，故A正确，不符合题意； 由图2知，K＝0时，R1的阻值为100，故B正确，不符合题意； 由图3知，当K＝10时，M＝2200×10×10﹣3＝22（mg/100mL）， ∴当K＝10时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意； 由图2知，当R1＝20时，K＝40， ∴M＝2200×40×10﹣3＝88（mg/100mL）， ∴该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意； 故选：C． 14．【答案】A 【解答】解：过点P作PD⊥OA轴于点D，如图所示： ∵OA＝2，OC＝4， ∴点A的坐标为（0，2），点C的坐标为（4，0）， ∵四边形OABC是矩形，对角线OB，AC交于点P， ∴OA⊥OC，点P是AC的中点， ∵PD⊥OA轴于点D， ∴PD∥OC， ∴PD是△AOC的中位线， ∴PDOC＝2，OD＝ADOA＝1， ∵将矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在y轴上， ∴点P向左平移了2个单位长度， ∵点A的坐标为（0，2）， ∴点A向左平移2个单位长度得点对应点的坐标为（﹣2，2）． 故选：A． 15．【答案】B 【解答】解：连接OA、OB， ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵∠PAO+∠AOB+∠PBO+∠APB＝360°，且∠APB＝60°， ∴90°+∠AOB+90°+60°＝360°， ∴∠AOB＝120°， ∵⊙O的半径为9cm， ∴6π（cm）， ∴小红想要装饰的的长为6πcm， 故选：B． 16．【答案】C 【解答】解：如图，连接OD、OB、OC，OD交BC于点H． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝120°，∠BDC＝120°， ∵D是弧BC中点， ∴OD⊥BC，BH＝CHBC＝2，∠BOD＝60°， ∴OB4， ∵OB＝OD，∠BOD＝60°， ∴△BOD为等边三角形， ∴BD＝OB＝4， ∴S， 故选：C． 17．【答案】B 【解答】解：∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合， ∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°， ∵AB∥x轴， ∴∠APO＝90°， ∴∠AOP＝30°， ∴AP＝1，OP， ∴A（1，）， ∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知点A2与D重合， 由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环， ∵2022÷4＝505……2， ∴点A2022与点A2重合， ∵点A2与点A关于原点O对称， ∴A2（﹣1，）， ∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，）， 故选：B． 18．【答案】C 【解答】解：由图象可得， 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9，故选项A说法正确，不符合题意； 当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，故选项B说法正确，不符合题意； 要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不超过60km/h，故选项C说法错误，符合题意； 若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：C． 19．【答案】C 【解答】解：由图1可知，当P＝440W时，I＝2A，故选项A说法正确，不符合题意； 由图2可知，Q随I的增大而增大，故选项B说法正确，不符合题意； 由图2可知，I每增加1A，Q的增加量不相同，故选项C说法错误，符合题意； 由图1可知I随P的增大而增大，由图2可知Q随I的增大而增大，所以P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 20．【答案】A 【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B， \ 结合图象可知，当点P在AO上运动时，， ∴PB＝PC，， 又∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴△APB≌△APC（SSS）， ∴∠BAO＝∠CAO＝30°， 当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为， ∴OB，即AO＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO＝30°， 过点O作OD⊥AB，垂足为D， ∴AD＝BD，则AD＝AO•cos30°＝3， ∴AB＝AD+BD＝6， 即等边三角形ABC的边长为6． 故选：A． 三．填空题（共10小题） 21．【答案】． 【解答】解：画树状图如下： 等可能出现的情况共12种，符合题意的情况有6种， ∴发出的声音构成二度音程的概率为， 故答案为：． 22．【答案】2． 【解答】解：∵边CD与⊙O相切于点E， ∴OE⊥CD， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴OE⊥AB， ∴AF＝FBAB4＝2， 由圆周角定理得：∠AOE＝2∠ABE＝30°， ∴OA＝2AF＝4， 由勾股定理得：OF2， 则S阴影部分＝S扇形AOE﹣S△AOF2×22， 故答案为：2． 23．【答案】或 【解答】解：∵AB＝AC＝5， ∴∠B＝∠C， ∵∠APC＝∠B+∠BAP， ∴∠APC＞∠B， ∴∠APC＞∠C， 若△APC为“反直角三角形”， ①当∠APC﹣∠C＝90°时，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴， ∴， ∵∠B＝∠C， ∴∠APC﹣∠B＝∠BAP＝90°， ∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠PAB＝90°， ∴△ADB∽△PAB， ∴， ∴， ∴； ②当∠APC﹣∠CAP＝90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M， ∴∠APC﹣∠APM＝∠CPM＝90°， ∴∠CAP＝∠APM， ∴AM＝PM， ∵PM⊥BC，AD⊥BC， ∴PM∥AD， ∴△CMP∽△CAD， ∴， 设CP＝x，则BP＝8﹣x， ∴， ∴，CM， ∴AC＝AM+CM＝PM+CM， ∴x， ∴BP； ③当∠CAP＝∠C+90°时，如图，在CB上截取CE＝AE，连接AE，过点A作AD⊥BC于点D，过点E作EF⊥AC于点F， 则∠EAC＝∠C，∠ADE＝∠PAE＝90°， 又∵∠AED＝∠PEA， ∴△AED∽△PEA， ∴， ∵CE＝AE，EF⊥AC， ∴AF＝CFAC， ∵∠ADC＝∠EFC＝90°，∠C＝∠C， ∴△CEF∽△CAD， ∴，即， ∴CEAE， ∴DE＝CD﹣CE， 同理可得：△AED∽△PEA， ∴，即， ∴PE， 又∵BE＝BC﹣CE，， ∴PE＞BE，即点P在CB的延长线上，不符合题意； ④当∠CAP＝∠APC+90°时， ∵当点P与点B重合时，∠APC最小，此时∠APC＝∠B＞30°， 同③可证，此种情况不存在； 综上可知，BP的长为或， 故答案为：或． 24．【答案】（3，10）． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上， ∴AD＝AB＝CD＝CB，AD⊥x轴，CD⊥y轴， 由折叠得FB＝CB，FE＝CE， 设CD交y轴于点G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，则BF＝OG＝m， ∵A（﹣2，0），F（0，6）， ∴OA＝GD＝2，OF＝6， ∴OB＝m﹣2， ∵∠BOF＝∠EGF＝90°， ∴OB2+OF2＝BF2， ∴（m﹣2）2+62＝m2， 解得m＝10， ∴AD＝OG＝CD＝10， ∴FG＝10﹣6＝4，FE＝CE＝10﹣2﹣GE＝8﹣GE， ∵GE2+FG2＝FE2， ∴GE2+42＝（8﹣GE）2， 解得GE＝3， ∴E（3，10）， 故答案为：（3，10）． 25．【答案】． 【解答】解：连接OC， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴∠OAP＝90°， ∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠OAP＝∠OBC＝90°， 在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12， ∴OP13， ∵△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积， ∴OA•ACOP•BCOA•AP， ∴OA•AC+OP•BC＝OA•AP， ∴5AC+13BC＝5×12， ∴AC＝BC， 故答案为：． 26．【答案】． 【解答】解：如图，设O′A′交于点T，连接OT． ∵OT＝OB，OO′＝O′B， ∴OT＝2OO′， ∵∠OO′T＝90°， ∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°， ∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′） （1） ． 故答案为：． 27．【答案】或． 【解答】解：如图： ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， ∴ABAC＝4， ∵点D为AB的中点， ∴CD＝ADAB＝2，∠ADC＝90°， ∵∠ADQ＝90°， ∴点C、D、Q在同一条直线上， 由旋转得： CQ＝CP＝CQ′＝1， 分两种情况： 当点Q在CD上， 在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1， ∴AQ， 当点Q在DC的延长线上， 在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3， ∴AQ′， 综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或， 故答案为：或． 28．【答案】21；21． 【解答】解：∵BE⊥AE， ∴∠BEA＝90°， ∴点E是在以AB为直径的圆上运动， ∵CD＝1，且CD是绕点C旋转， ∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动， ∵ABAC＝3， ∴当cos∠BAE最大时，AE最大，当cos∠BAE最小时，AE最小． ①如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC内部时，∠BAE最小，AE最大， ∵∠ADC＝∠CDE＝90°， ∴AD2， ∵， ∴∠CEA＝∠CBA＝45°， ∴DE＝CD＝1， 此时AE＝21，即AE的最大值为21， ②如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，∠BAE最大，AE最小， 同理可得AD＝2，DE＝1， 此时AE＝21，即AE的最小值为21， 故答案为：21；21． 29．【答案】2或1． 【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况： ①如图1，当∠MND＝90°时， 则MN⊥AD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴MN∥AB， ∵M为对角线BD的中点， ∴AN＝DN， ∵AN＝AB＝1， ∴AD＝2AN＝2； ②如图2，当∠NMD＝90°时， 则MN⊥BD， ∵M为对角线BD的中点， ∴BM＝DM， ∴MN垂直平分BD， ∴BN＝DN， ∵∠A＝90°，AB＝AN＝1， ∴BNAB， ∴AD＝AN+DN＝1， 综上所述，AD的长为2或1． 故答案为：2或1． 30．【答案】或． 【解答】解：过点A作AI⊥BC于点I， ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴BI＝Cl＝3，， 当点E在I左侧时，记作点E1， ∴， ∴BE1＝BI﹣IE1＝3﹣2＝1，CE1＝CI+IE1＝3+2＝5＝CA， ∵CD平分∠ACB， ∴AF1＝E1F1， 过点F1作F1M⊥BC于点M，则F1M∥AI， ∴△E1F1M∽ΔE1AI， ∴， ∴F1M＝2，E1M＝1， ∴BM＝1+1＝2， ∴； 当点E在I右侧时，记作点E2，则同理IE2＝2， ∴CE2＝IC﹣IE2＝3﹣2＝1， 过点A作AO∥BC交CD延长线于点O，则∠1＝∠3，△AOF2∽ΔE2CF2， ∵CD平分∠ACB， ∴∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴AO＝AC＝5， ∵△AOF2∽ΔE2CF2， ∴， 同理可得，ΔE2F2N∽ΔE2AI， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上：BF的长为或， 故答案为：或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $