专题09 相似三角形（5年汇编）（河南专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦河南中考相似三角形核心考点，汇编近5年真题及模拟题，覆盖基础计算、综合证明与实际应用，突出几何模型（如A/X型、一线三等角）及实景测量情境（测纪念碑、钻井平台高度）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题/36分|平行线分线段成比例、位似变换|网格背景求线段长，结合矩形、圆综合| |填空题|9题/27分|相似判定（AA/SAS）、折叠旋转动态问题|含“反直角三角形”新定义，母子相似模型应用| |解答题|20题/约137分|实际测量（测高/测距）、综合证明|镜面对称测楼高，手拉手模型与二次函数动点结合|

专题09 相似三角形 5年真题1年模拟 考点分类 河南考情（2022-2026） 命题规律 考点01由平行截线求相关线段的长或比值 近 5 年每年必考，选择、填空基础小题为主，分值 3 分；常作为几何解答题第一小问铺垫，2023、2025 年单独出选择题求值 核心考查平行线分线段成比例定理、推论（A 型、X 型相似基础模型）；命题以直接求线段长度、线段比值为主，计算量小，属于几何入门得分点；常结合三角形中位线、平行四边形综合，易错点为线段对应比例混淆 考点02 相似三角形的判定与性质综合 5 年全覆盖必考，选择、填空、压轴解答全题型，分值 3-10 分；几何压轴、圆综合、二次函数动点大题高频出现，是几何核心拉分考点 四大判定方法（AA/SAS/SSS）轮换考查，AA 为最高频；性质重点考对应边成比例、周长比 = 相似比、面积比 = 相似比平方；常结合折叠、旋转、圆切线、坐标系动点综合；手拉手、母子相似、一线三等角是固定高频模型，步骤推导分值占比高 考点03 相似三角形的实际应用 近 5 年 4 考，解答应用题固定题型，分值 6 分，多在第 17/18 题位置；2022、2024、2026 年均单独出题 以测量类实景情境命题，包含测楼高、测河宽、影子测距、镜面反射四大经典模型；解题套路固定，先构造相似再列比例式计算；侧重文字阅读建模能力，计算难度低，属于中档稳分题型，极少设置复杂陷阱 考点01 由平行截线求相关线段的长或比值 1．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 2．（2023·河南·中考真题）矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 【答案】2或 【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可． 【详解】解：当时，    ∵四边形矩形， ∴，则， 由平行线分线段成比例可得：， 又∵M为对角线的中点， ∴， ∴， 即：， ∴， 当时，      ∵M为对角线的中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵四边形矩形， ∴，则， ∴ ∴， 综上，的长为2或， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键． 考点02 相似三角形的判定与性质综合 3．（2026·河南·中考真题）如图，在中，，，是角平分线．点为边上一点，连接，交于点，连接．若，则的长为_____． 【答案】或 【分析】过点作于点，先由等腰三角形的性质求出，则，然后分点在点的左侧和右侧两种情况，构造相似三角形求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴ 当点在左侧时，记作点， ∴ ∴， ∵平分 ∴ 过点作于点，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 当点在右侧时，记作点，则同理， ∴ 过点作交延长线于点，则， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 同理可得， ∴ ∴， ∴ ∴， 综上：的长为或． 4．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) 不成立，， 证明：如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． (3) 或． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． （2）略 （3）解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 5．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________． 【答案】或 【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；②当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④当时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 若为“反直角三角形”， ①当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②当时，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ； ③当时， ，，且， ， ， 若，则，即， 此种情况不存在； ④当时， 当点与点重合时，最小，此时， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 6．（2024·河南·中考真题）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）． (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)①． 理由： 延长至点E，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ② (3)或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可； （3）分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）解：①略 ②过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时，如图，连接，过N作于H， ∴， 在中， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 当时，连接，过N作于H， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 7．（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 8．（2023·河南·中考真题）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，证明，设，则，再证明，列出比例式计算即可． 【详解】如图，连接， ∵与相切于点A， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得， 故的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 考点03 相似三角形的实际应用 9．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； (2)纪念碑的高度为． (3)解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为，则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）略 一、单选题 1．（2026·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，位似于是以原点O为位似中心，若点的对应点C的坐标， 则与的相似比为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对应点的坐标求出位似比． 【详解】解：， ， ． 2．（2026·河南周口·一模）如图，在中， ，若，则长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】证明，列比例式解答即可． 【详解】解： ， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴ ， 解得 ． 3．（2026·河南周口·一模）如图，在中，为上一点，连接，且交于点，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导出，继而证明，得到，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·河南安阳·二模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，均在网格线的交点上，点是与的交点，则的长为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意推知，结合相似三角形的对应边成比例求得答案． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ∴， ， ． 5．（2026·河南三门峡·二模）在如图所示的网格中，每个小正方形的面积都是9，点A，B，C，D，E，M都是格点，点F为与的延长线的交点，点P是与的交点，则的长为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取格点N，利用相似三角形的判定和性质可知，故，再利用小正方形的面积都是9求出即可得解． 【详解】解：如图，取格点N， ， ， ． 每个小正方形的面积是9， 小正方形的边长为3， ． ． 6．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，，O是斜边的中点，D是边上的一点．若，则的值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，从而，由得到，即有，从而可得，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵在中，O是斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·河南平顶山·二模）如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为5，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A，的坐标分别为，， ． ， ， ． ， ． 二、填空题 8．（2026·河南南阳·一模）如图，，，，是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的点处，连接，当是以为腰的等腰三角形时，的长为__________． 【答案】或 【分析】根据题意可得，继而可得，再分两种情况讨论，即或，利用相似三角形判定及性质即可得到本题答案． 【详解】解：由翻折变换的性质，得， ， ， ， ， 设，则， 分两种情况讨论： ①时，，解得， ， ， ， ， ； ②当时，， ， ， ， ， ， ； 综上所述， 的长为或． 9．（2026·河南平顶山·一模）如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，已知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接．设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象．则点D的坐标为______． 【答案】 【分析】根据点P、Q的运动速度、运动时间、运动路程之间的关系，确定、、之间的关系，结合勾股定理和图2中点E坐标求出、、长度，再根据点Q的位置不同分类讨论，表示出的面积为y与运动的路程x之间的函数关系，并确定x的取值范围，根据二次函数的性质求出最大值，得到点D的坐标． 【详解】∵点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动， ∴点P的运动路程是线段长度， ∵点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动， ∴点Q的运动路程是线段长度， ∵点P、点Q同时从点A出发，同时到达点C， ∴运动时间相等， ∵点Q的运动速度为点P运动速度的2倍， ∴点Q的运动路程是点P运动路程的2倍， 即当点P运动的路程为x时，点Q的运动路程是；且， 由图2点E可知，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，，即，解得，∴， 当点Q在线段上运动时，过点Q作，垂足为点H，此时点P运动的路程是，点Q的运动路程是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴，即 ， ∵， ∴开口向上， 对称轴为直线， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，y最大，最大为； 当点Q在线段上运动时，此时点P运动的路程是，点Q的运动路程是， ∵， ∴，   ，即  ， ∵， ∴开口向下， 对称轴为直线， 在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y最大，最大为， ∴图2中点D的坐标为． 【点睛】本题考查了运动速度、运动时间、运动路程之间的关系，相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质，解题关键是能够看出图2中各点的含义和分类讨论． 10．（2026·河南郑州·一模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在射线上，当的垂直平分线经过矩形一边的中点时，的长为_______． 【答案】 或或 【分析】根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可得，的长，根据旋转的性质得到， ，  分情况讨论： 当经过的中点时，当经过的中点时，当经过的中点时，当经过的中点时，根据线段垂直平分线的性质结合相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ，   分情况讨论： 当经过的中点时，交于点，连接，， 如图所示， ， ，   ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ，即， ； 当经过的中点时，交于点，连接， 如图所示， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； 当经过的中点时，交于点，连接，，过点作于，如图所示，则四边形是矩形， ，， 垂直平分， ，， 是等边三角形，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，解得， ； 点在上，在射线上， 的垂直平分线位于的右侧，与的延长线会存在交点，但不存在与线段相交的情况，故不会存在经过的中点的情况； 综上，的长为或或． 11．（2026·河南周口·一模）如图，在 中，，，， 点P是边上一动点，将 沿折叠，点A的对应点为，当 时，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题是折叠问题，由折叠性质可得对应边相等，再利用构造垂线段，得到相似三角形，最后用勾股定理建立方程求解． 【详解】∵在中，，，， ∴ ， ∵将沿折叠，点A的对应点为， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴=， 又∵， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴（舍去）或， ∴． 12．（2026·河南新乡·一模）小倩发现遗忘在家属院的滑板找不到了，查看物业室的监控，截取到小男孩站在一根实际长度为的竖直物旁的画面，量出截图中该物体和小男孩的高度分别为和，则小男孩的实际身高为______________米． 【答案】 【详解】解：设小男孩的实际身高为， 得， 解得， ． 答：小男孩的实际身高为1.2米． 13．（2026·河南信阳·一模）郑州中牟贾鲁河大桥，斜拉索都互相平行且距离相等．如图，小丽测得有两根拉索之间距离米，米，米，，则的长为________． 【答案】72米/ 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算得出米，从而即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴． ∵米，米，米， ∴． ∴米， ∴米． 14．（2026·河南周口·一模）明明用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在中，，，，他在边上找一点，在边上找一点，沿直线折叠，得到，点的对应点为，改变，的位置，始终让点落在边上，当为直角三角形时，的长为__________． 【答案】或 【分析】由折叠的性质得到，当为直角顶点时，，当为直角顶点时，，根据三角形对应边成比例求解即可； 【详解】在中，，，， ， 由翻折可知， ， 当为直角顶点时，如图， ，， ， ， ， ； 当为直角顶点时，如图， ，， ， ， ， ， 当为直角三角形时，的长为或． 15．（2026·河南平顶山·一模）如图，两张全等的三角形纸片和的顶点B重合，，，将绕点B在平面内旋转，连接．在旋转过程中，当是以为直角边的直角三角形时，线段的长为_____________． 【答案】10或 【分析】当时，延长交于点，过点作于点，证明出，由，可设，再证明，求出，在中，由勾股定理得，，则，故；当时，延长交于点，同理可证明：，，得到，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：当时，延长交于点，过点作于点， 则，， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴； 当时，延长交于点， 由题意得， 同理可证明：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：当是以为直角边的直角三角形时，线段的长为10或． 16．（2026·河南安阳·一模）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．如图，在中，，，以为对角线，作垂等四边形．过点D作延长线的垂线，垂足为E，且与相似，则四边形的面积为______． 【答案】或 【分析】如图，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得．再由垂等四边形的性质知．分两种情况：①当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果；②当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为F， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴． ∵在中，， ∴，即， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵四边形为垂等四边形， ∴． ①当时，， ∴， 设，则， ∴． 在中，根据勾股定理得，，即， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴ ； ②当时，， ∴， 设，则， ∴． 根据勾股定理得，， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴ ， ∴综上所述，四边形的面积为或． 17．（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，，在直线左侧找到一点P，使得是以为腰的等腰三角形，且四边形满足一组对边平行，则的正切值为______． 【答案】或 【分析】利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出的长；当时，设交于点D，可证明，推出，据此求出的长，再求出的正切值可得的正切值；当时，过点P作于点F，设交于点G，可证明是等边三角形，求出的长，再求出的正切值可得的正切值；当时，若，此时有，此种情况不成立；若，则是等边三角形，由图2可知，此时． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴； 如图1所示，当时，设交于点D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，即； 如图2所示，当时，过点P作于点F，设交于点G， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，即； 当时， 若，则， 此时有，此种情况不成立； 若，则， 则是等边三角形，由图2可知，此时； 综上所述，或． 三、解答题 18．（2026·河南信阳·二模）如图，与是具有公共顶点的两个三角形，且，，且点在的外角的平分线上，连接． (1)【问题发现】如图1，在和中，． 填空：①线段与的数量关系是________；②的度数是________． (2)【类比探究】 如图2，在和中，，请问（1）中的结论还成立吗？并说明理由． (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，若，连接AE，请直接写出当是直角三角形时的长． 【答案】(1)①；② (2) （1）中的结论不完全成立，理由如下， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（1）中的结论不成立，正确的结论是； (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，特殊角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，特殊角的锐角三角函数等知识点． （1）①根据等边三角形的判定和性质证明，继而得到． ②根据等边三角形的性质和角平分线的定义得到，继而得到，根据，得到． （2）通过证明，得到对应边成比例，进而证明，得到对应边成比例、对应角相等，进而得到，． （3）证明不可能是直角，根据和，分两种情况讨论，根据（2）中的结论，得到的长为或． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； ②∵平分，， ∴， ∴， 由①可知，， ∴； （2）解：略 （3）解：由（2）知为直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵是直角三角形，且， ∴不可能是直角，分两种情况讨论， 如图，当时， 在中，， 由（2）知， ∴； 如图，当时， 在中，， ∴， ∴当是直角三角形时，的长为或． 19．（2026·河南洛阳·一模）在矩形中，点，分别是，边上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点分别落在点，点处，直线与直线相交于点． (1)如图1，当点在线段上时，与相等的角有 和 ； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接，交于点，连接．求证：； (3)，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由翻折的性质得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； (3)或 【分析】（1）根据折叠与平行线的性质可得答案； （2）结合（）的方法易证，由证得，得出，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； （3）如图，过作于，求解，设，结合（2）可得：，可得，，过作于，则，而，证明，进一步可得答案，如图，过作于，过作于，同理可得：，. 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴. （2）略 （3）解：如图，过作于， ∵矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，结合（2）可得：， ∴， 解得：， ∴，， 过作于，则，而， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 如图，过作于，过作于， 同理可得：， ∴， 综上：或. 20．（2026·河南南阳·一模）综合与实践：确定河南油田钻井平台的3D打印模型的高度 项目提出：图1是河南油田的一个钻井平台．某中学的3D打印社团为展示油田文化，准备制作该钻井平台的3D打印模型，需要测量并计算该钻井平台的高度，为制作3D打印模型提供数据． 项目报告表时间：2026年3月18日 项目分析： 1．活动目标：测量该钻井平台的实际高度并换算其3D打印模型的高度 2．测量工具：测角仪、皮尺 项目实施：任务一测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图2所示的测量草图． 1．测出测角仪的高为． 2．利用测角仪测出钻井平台顶端的仰角． 3．测出测角仪底端处到钻井平台底端处之间的距离为． 项目结果：为社团制作钻井平台的3D打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． (1)任务二计算实际高度：根据上述测得的数据，计算该钻井平台的高度．（结果精确到）（参考数据：，，） (2)任务三换算模型高度：将该钻井平台的高度按等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为__________．（结果精确到） 【答案】(1)解：由题意得为矩形， ，， 在中， ， ， 答：该钻井平台的高度为 (2) 【分析】（1）根据题意可得，，解直角三角形求得，即可解答； （2）利用所给的比例对计算出的结果进行换算即可． 【详解】（1）略 （2）解：设3D打印模型的高度约为， 则由题意得：， 解得：； 答：3D打印模型的高度约为19cm． 21．（2026·河南商丘·一模）在中，，点，分别在，上，，为的中点，为的中点，连接． (1)观察猜想 如图1，连接，为的中点，当时，的形状是 ． (2)类比探究 如图2，当时，求的长． (3)解决问题 如图3，在四边形中，，，，点，分别在，上，，为的三等分点，请直接写出的长． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2) (3)的长为或 【分析】（1）利用三角形中位线定理，结合直角条件判断边长与角度关系； （2）连接，取中点，构造中位线，利用有一个角为的等腰三角形是等边三角形求解； （3）延长、交于点，结合比例关系构造中位线，分、两种情况求解． 【详解】（1）解：为中点，为中点，为中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ， ， ，， 则与相等或互补， 又， ， 的形状是等腰直角三角形． （2）解：如图，连接，取的中点，连接、， 为中点，为中点，为中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， ， 在中，， ， ， 过点作交延长线于， 则， ， ， 在中，． （3）解：如图3，延长、交于点， ， ， ①当时，连接，取的三等分点，，连接、， ， ∵， ， ∴， ， 又， ， ∵， ， ∴， ∴， 根据解析（2）可得：， ∴， 过点作交延长线于， ， ， 在中，； ②当时，连接，取的三等分点，，连接、， ， ∵， ， ∴， ∴， 又， ， ∵， ， ∴， ∴， 根据解析（2）得：， ∴， 过点作交延长线于， ， ， 在中，， 综上，的长为或． 22．（2026·河南三门峡·一模）在中，，，点M为的中点．在中，，． 初步感知： (1)如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空： ． 深入探究： (2)如图2，若将图1中的绕点A按顺时针方向旋转一定的角度，连接并延长到点F，使，连接． ①求的值； ②如图3，点G，H分别为，的中点，连接．在绕点A按顺时针方向旋转一周的过程中，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）①由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解； ②连接，由题意易得，则有，然后可得，则有，进而根据①可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，，且点D，E分别在，上， ∴， ∴； （2）解：①∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②连接，如图所示： ∵点G，H分别为，的中点， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得， ∴． 23．（2026·河南平顶山·一模）综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 如图1，折叠矩形纸片，使点A与点C重合，折痕为，将纸片展开，连接，则四边形的形状是______． (2)【深入探究】 如图2，在矩形纸片中，点E，F分别是边上的点，且，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，得到四边形，请你猜想四边形的形状，并说明理由； (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，连接．若，，当直线与矩形的一边平行时，请直接写出的长． 【答案】(1)菱形 (2)四边形为平行四边形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质以及等腰三角形的判定可得，即可解答； （2）证明，可得，再证明，可得，即可解答； （3）分两种情况讨论，分别利用相似三角形的和解直角三角形解答即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：当时，设直线交于点G，交于点H，连接交于点O，此时， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，设直线交于点I，交于点J，连接交于点O，连接交于点K，此时， 同理：点I为的中点，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵点B与点M关于对称， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 在中，； 综上所述，的长为或． 24．（2026·河南平顶山·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点P为直线OA上位于点A右侧的一点，且，过点P作轴，垂足为Q，交反比例函数的图象于点M． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点M的坐标． 【答案】(1)； (2)点M的坐标为． 【分析】1）将点代入可知点A的坐标为，再代入求解即可； （2）过点A作轴，垂足为N．可知，证明，得到，进而得到，将代入，得，将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点． ∴将点代入，得．解得． ∴点A的坐标为． 将点代入，得， 解得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图，过点A作轴，垂足为N． ∵轴， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 将代入，得． 将代入，得． ∴点M的坐标为． 25．（2026·河南平顶山·一模）【综合与实践】 小明用六根长均为的木棍首尾顺次相接拼成凸六边形（如图）．直线与直线交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，得． (1)当六边形的每个内角都相等时，的形状为______． (2)如图，六边形的对边分别平行时，称为“菱六边形”． 若为，为，求的长度． 当为等腰直角三角形时，是否存在“菱六边形”？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出此“菱六边形”的面积． 【答案】(1)等边三角形； (2) 的长度为；存在，“菱六边形”的面积为． 【分析】（）根据六边形的每个内角都相等，则每个内角都为，故有每个外角都为，从而求得，故是等边三角形； （）由六边形是“菱六边形”，则，，所以，，则有，，然后代入即可求解； 分当时，当时，当时三种情况，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由六边形的内角和为， ∵六边形的每个内角都相等， ∴每个内角都为， ∴每个外角都为，即， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：如图， ∵六边形是“菱六边形”， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为； 存在，“菱六边形”的面积为． 当时，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵六边形是“菱六边形”， ∴，，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴“菱六边形”的面积为 ； 如图，当时，同理可得：“菱六边形”的面积为； ， 如图，当时，同理可得：“菱六边形”的面积为． 综上可知，“菱六边形”的面积为． 26．（2026·河南省直辖县级单位·一模）【定义】如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，该对角线可称为“垂中对角线”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在平行四边形中，于点E，交于点F，若F为的中点，则平行四边形是垂中平行四边形，E是垂中点． 【应用】 (1)①菱形______（填“可能”或“不可能”）是“垂中平行四边形”． ②如图1，平行四边形是“垂中平行四边形”，其中是“垂中对角线”，则的值为______． (2)如图2，在矩形中，，．若该矩形是“垂中平行四边形”，且是其“垂中对角线”，求的长． (3)如图3，在中，于点E，，．若是某个“垂中平行四边形”的边，点E为该“垂中平行四边形”的垂中点，点A在垂中平行四边形的边上，请直接写出这个“垂中平行四边形”的周长． 【答案】(1)①不可能② (2) (3)或或 【分析】（1）①由菱形对角线的性质，就可以判定； ②过点D，作，四边形是平行四边形，易证点H也是中点，由平行线分线段成比例，可知，所以； （2）过点B作，垂足为F，交于点E，四边形是矩形，也是“垂中平行四边形”，证明，根据边长成比例，求出； （3）分三种情况，运用平行四边形性质，相似三角形，判定“垂中平行四边形”，再结合平行四边形的性质，勾股定理，求出四边形的周长． 【详解】（1）解：①不可能．因为菱形的对角线互相垂直，点F与D点重合，不是中点，所以菱形不是“垂中平行四边形”； ②过点D，作，交于点G，交于点H，如下图， 四边形是“垂中平行四边形”， ，，， 四边形是平行四边形， ，即点H也是中点， ， 即． （2）解：过点B作，垂足为F，交于点E，如下图 矩形是“垂中平行四边形”， ，， 四边形是矩形， ， ，垂足为F， ， ， 又， ， ， ， ． （3）解： ， ， 构成“垂中平行四边形”，分三种情况 ①过点A作，过点C作，与相交于点D，延长交于点F，如下图 四边形是平行四边形， ，即， 点F是中点， ， 四边形是“垂中平行四边形”， 且， ， ； ②过点C作，与的延长线交于点D，过点D作，交的延长线于点F，如下图 四边形是平行四边形， ，， ，即，点A是中点， ， 四边形是“垂中平行四边形” 由①知， ； ③过点A作，交的延长线于点D，连接，过点B作，交的延长线于点F，四边形是平行四边形，如下图 ， ， ，即，， 点A是的中点， ，是对角线， 四边形是“垂中平行四边形”， 在中，， 由①知， ． 27．（2026·河南省直辖县级单位·一模）如图，小明想利用数学课上学习的知识测量某塔的高度．他发现此塔的影子一部分落在平台上，一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影子长为米，落在斜坡上的影子的长为8米，若2米的竖立标杆在斜坡上的影子的长为4米，同一时刻太阳光线与水平地面成．请你帮小明求出此塔的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】此塔的高度约为48米 【分析】过点C作，交于点M，过点M作于点N，则四边形为矩形，结合题意可证得到，在中运用解直角三角形的计算得到米，由即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，交于点M，过点M作于点N，则四边形为矩形． 由题意得：米，米，米，米，，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得（米）， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：此塔的高度约为48米． 28．（2026·河南新乡·一模）乐学班同学们周末来到郑州报业大厦附近进行综合与实践活动，为测量大厦的高度，飞翔组利用标杆测量，他们让小颖站在C处，距离小颖1.5米的小刚在E处拿一个3米的标杆，小颖的眼睛D看到标杆顶端和大厦最高处B在一条直线上，并测得小颖眼睛距地面1.5米，为96米．虎威组在G处放一面平面镜，小军后退3.4米到M处，眼睛N刚好在镜子G里看到大厦最高处B．小军的眼睛距地面1.7米． (1)小颖看大厦最高处B的仰角为多少度？大厦的高度是多少米？（结果保留整数） (2)根据飞翔组的测量结果估计点M处的小军距大厦有多远． 【答案】(1)；99米； (2)201.4米． 【分析】（1）过点D作水平线，利用矩形性质得到相关线段长度，再由相似三角形对应边成比例求出大厦高度，进而利用锐角三角函数求出仰角． （2）利用光的反射定律得到入射角等于反射角，证明两个直角三角形相似，由相似比求出，进而得到． 【详解】（1）解：过点D作于点H，交于点K， 则四边形和四边形均为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， 解得：， 在中， ， ∴， 即小颖看大厦最高处B的仰角为，大厦AB的高度为99米． （2）解：由光的反射可知， ∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 即 ， 解得：， ∴， 即点M处的小军距大厦201.4米． 29．（2026·河南平顶山·一模）如图，在平面直角坐标系中，是格点三角形． (1)请用无刻度的直尺和圆规作边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)已知反比例函数的图象经过的中点M，求出反比例函数的解析式，并写出线段中点的坐标； (3)反比例函数的图象经过边上的高的垂足N点，则的值是___________． 【答案】(1) 如图，即为所求边上的高； (2)，线段BM中点的坐标为 (3) 【分析】（1）以点C为圆心，画弧与交于两点，再作以这两点为端点的线段的垂直平分线，垂足为点N，连接即可； （2）先根据线段中点的计算公式求出，再将代入，即可得到反比例函数的解析式；根据线段中点的计算公式即可求得线段中点的坐标； （3）过点N作于点H，先根据面积法求得，再根据相似三角形的判定与性质，求出，，可得，最后将代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可知，点A的坐标是，点C的坐标是， 则可得出的中点M坐标是，即， 反比例函数的图象经过点M， ， ， 反比例函数的解析式是； 点B的坐标是，点M坐标是， 的中点D的坐标是，即； （3）解：如图，过点N作于点H， 在中，，， 则， ， ， 在中，， ， ， ， ，， 点N的横坐标是，纵坐标是， 即， 反比例函数的图象经过点N， ． 30．（2026·河南郑州·一模）如果一个三角形的一边是另一边的2倍，那么称这个三角形为“和谐三角形”． (1)初步探索：如图1，和谐三角形中，，是的角平分线，是的中线．猜想与的位置关系，并说明理由． (2)尝试应用：在（1）的条件下，，，求的长度． (3)拓展延伸：如图2，和谐三角形中，，点在上，且，的平分线与的平分线交于点．点与点，，的距离分别为，，，写出，，之间的等量关系，并证明． 【答案】(1) 解：，理由如下： 为“和谐三角形”，是的中线， ，， ， 为等腰三角形 是的角平分线，即平分， ，即 (2) (3) ； 证明：， ∴ ， ∴是“和谐三角形” 如图，延长交于点， 的平分线与的平分线交于点， 又，，， ， ， 延长至点，使，连接 在中 ， 在中，根据勾股定理可得 ∴，即 【分析】（1）先证明为等腰三角形，再根据三线合一的性质，即可求解； （2）勾股定理求得，过点作，交于点，证明，，根据相似三角形的性质可得，进而求得，即可求解； （3）证明得出，，即可证明是“和谐三角形”； 延长交于点，得到 ， ， ，延长至点，使，连接，证明得出，，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）为和谐三角形，是的中线， ， 为等腰三角形 平分， 在中， 如图，过点作，交于点 ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ （3）略 31．（2026·河南周口·一模）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于年月，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼，被誉为“中原第一大阁楼”．淇淇在物理课上学过《光的反射定律》，她想利用光的反射定律测量茗阳阁的高度．于是把“测量茗阳阁的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量茗阳阁的高度 实物图和测量示意图 测量过程 ①在地面上的点处放置了一块平面镜，随后，站在的延长线上点处，此时，从平面镜中刚好看到茗阳阁顶端，测量两点间的距离；②将平面镜从点处沿向后移动到点处，站在点处又恰好看到茗阳阁顶端，测量两点间的距离；③，为眼睛到地面的距离 测量数据 米，米，米，米 备注 点在同一条直线上，图上所有点均在同一平面内，，，，，均与地面垂直 根据活动报告，求茗阳阁的高度． 【答案】米 【分析】设米，得米，由可得米，进而根据求出的值即可求解． 【详解】解：设米， ∵米，点在同一条直线上， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴ 解得， ∴米， 答：茗阳阁的高度为米． 32．（2026·河南许昌·一模）在中，，点在直线上，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，． 【问题解决】 (1)如图1，若，则的度数为________，的值为________． 【问题探究】 (2)若，判断的值是否发生变化？并就图2或图3说明理由． 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，射线，交于点，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2) 解：的值不发生变化，理由如下： 如图，延长交直线于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）由得，在中推出；利用直角三角形性质得，再通过证得，最终得出； （2）延长交直线于，证得为中点，由A证，即可得​，比值不变； （3）过点作交，于点，，即四边形是矩形，通过等角的余角相等得，证得为中点，再证，得到，设，则，，利用勾股定理列方程求得​​，再分两种情况利用线段和差即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：分两种情况讨论： ①当点在点左侧时， 如图，过点作，交，于点，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即是的中点， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， 在中， ， ∴， 解得：， ∵是中点，， ∴是的中位线，， ∴， ∴​； ②当点在点右侧时，如图， 同理可证：是的中点，， 设，则，， 在中由勾股定理列方程解得， 此时是的中位线，，， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题是几何从特殊到一般探究类题型，以“角平分线双垂直”为核心模型，串联全等三角形、相似三角形、直角三角形核心性质，层层递进，前一问的结论是后一问的解题工具，是初中几何综合题的经典命题范式． 33．（2026·河南周口·一模）无刻度直尺作图如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）． (1)将绕点C逆时针旋转，得到请画出． (2)以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出． (3)请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求： (2) 解：如图所示，即为所求： (3) 解：如图所示，点D即为所求： 【分析】（1）分别确定点A、B绕点C逆时针旋转后的对应点、，然后依次连接、、C，得到； （2）分别连接、、并延长，使，，，得到对应点、、，依次连接、、，得到； （3）结合相似三角形，利用平行线分线段成比例的性质，在网格中通过构造合适的平行线来确定点D的位置，使得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图所示， 过点A向右沿水平方向2格处取点E，过点C向左沿水平方向3格处取点F，连接，，，记与交点为D， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D即为所求． 34．（2026·河南商丘·一模）【问题原型】在矩形中，点P是边延长线上一点．连接，过点A作交于点Q． （1）如图1，若四边形是正方形，则线段与之间的数量关系是______； （2）如图2，若，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题变式】（3）如图3，四边形为平行四边形，为锐角，且，．点P是射线上一点，作，交射线于点Q．若，直接写出线段的长． 【答案】（1）（2）（3）或 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）证明，由相似三角形的性质则可得出结论； （3）根据平行四边形的性质得出，进而利用相似三角形的判定与性质分两种情况解答即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）， 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 当Q在上，， ∴，即， ∴， 又， ∴， 当Q在的延长线上，， ∴，即， ∴， 又， ∴， 综上所述，的长为或． 35．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)求证：∽； (2)若，求的长； (3)过点作的平行线交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】(1) 证明： 将绕点旋转得到，点的对应点在边上， ∴，，， ，， (2) (3)1 【分析】（1）根据旋转的性质和相似三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质可知是直角三角形，根据旋转的性质可知，使用勾股定理计算即可； （3）根据旋转可构造角度相等，证明，可知． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ∴在中，， ， ， ， ， 在中，， ， （3）解：由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 36．（2026·河南三门峡·二模）综合与实践 (1)操作探究 如图1，点A为线段外一动点，且，如图2所示，分别以为边，作等边三角形和等边三角形，连接． ①请找出图1中与相等的线段，并说明理由； ②线段长的最大值为______； (2)拓展应用 如图2，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点P为线段外一动点，且，请直接写出线段长的最大值； (3)知识迁移 如图3，中，为外一点，，连接，求的最大值，并说明理由． 【答案】(1)解：①， 理由：和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中，， ， ； ②7； (2) (3)解：的最大值为． 理由：如图4，过点作，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 的最大值． 【详解】（1）①根据等边三角形的性质，证明，即可得出结论；②根据点D位于的延长线上时，线段的长取得最大值，即可求解； （2）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，证明，得到，由（1）可知，当点N位于的延长线上时，线段的长取得最大值，如图，过点作轴于点，证是等腰直角三角形，得到，，即可求出线段长的最大值； （3）过点作，使，分别证、，再结合即可求解． 解：（1）①略； ②由（1）可知，当点D位于的延长线上时，线段的长度取得最大值为， 是等边三角形， ， ，即线段的长度的最大值为7， ， 长的最大值为7； （2）解：如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，当点N位于的延长线上时，线段的长取得最大值，如图，过点作轴于点， 由旋转的性质可知，，， 是等腰直角三角形， ，， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， ， 即线段长的最大值为． （3）略 37．（2026·河南许昌·二模）在正方形中，点P为线段上一动点，点E为射线上的一点（点E与点B不重合），将线段绕点E逆时针旋转得到． (1)如图1，若点F落在线段上，则的度数为________． (2)如图2，若线段的延长线经过点C，且点F是的中点，求的度数． (3)若射线交射线于点G，当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)； (3)的值为或． 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，则，再证明，据此求解即可； （2）连接，证明，求得，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当点在线段上，作于点，证明，推出，再求得，据此求解即可；当点在线段上，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∵线段绕点E逆时针旋转得到， 若点F落在线段上， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点在线段上，作于点， ∵正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上，作于点， 同理，， ∴； 综上，的值为或． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09相似三角形 5年真题1年模拟：答案版 五年真题分类园 考点01由平行截线求相关线段的长或比值 1.B 2.2或2+1 考点02相似三角形的判定与性质综合 3.2V2或 0/2 3 4.(1)0D=CG+OE (2) 不成立，OD=CG-OE, 证明：如图，过点C作CQ⊥OA于点Q, ,OC平分∠AOB,CD⊥OB,CQ⊥OA, ..CQ=CD 在Rt△QOC和Rt△DOC中， .OC=OC,CP=CD ∴.Rt△QOC≌Rt△DOC, ∴OQ=OD, 1/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DE⊥OA,CG⊥DE,CP⊥OA, ∠CQE=∠QEG=∠CGE=90°， .四边形CQEG是矩形， ∴.QE=CG, ∴.OD=OQ=QE-OE=CG-OE】 9要 3 6.(1)②④ (②)O∠ACD=∠ACB 理由： 延长CB至点E,使BE=DC,连接AE, D ABCD B ,四边形 是邻等对补四边形， ∴.∠ABC+∠D=180, .∠ABC+∠ABE=180°， ∴.∠ABE=∠D, .AB=AD. ∴.△ABE≌△ADC SAS, ∴.∠E=∠ACD,AE=AC, ∴.∠E=∠ACB, .∠ACD=∠ACB. ②m+n 2cos0 6)122或122 7 7.B 2/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10 8.3 考点03相似三角形的实际应用 9.(1)解：，`太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点 F处，AC=DE CD DF “.标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE=DF, ∴.CD=CA: (2)纪念碑AB的高度为19.8m. 3)解：纪念碑的实际高度为19.64m,小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m,(2)中纪念碑AB的高度为 19.8m,则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计 算结果 一年摸拟练测园 1.C 2.C 3.B 4.C 5.B 6.B 7.A &学增 9.10,60 10, 2或6或10 11.3 12.1.2 13.72米72m 3/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14. 号 15.10或 18 16.46或12+8V21 17. 婚 2 18.1)①AD=CE:②120° (2) (1)中的结论不完全成立，理由如下， ,∠ACB=60°， ∴.∠ACP=180°-60°=120°， ,CE平分∠ACP, :∠ACE=号∠AP=60~ .∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°， ,∠ABC=∠DBE=90°， :.∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE,即∠ABD=∠CBE, 在△ABC和△DBE中， ,∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠DEB=60°， ∴.△ABC~△DBE 品紧 AB DB BC BE ,∠ABD=∠CBE .△ABD△CBE, 0 ,∠BAD=∠BCE, 在Rt△ABC中，∠ACB=60°， :A5=tan60=5, BC .AD=3CE, .∠BCE=120°， 4/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BAD=120, :(1)中的结论不成立，正确的结论是AD=3CE,∠BAD=120°； 3)43或3 19.I)∠PNM,∠DMN (2) 证明：，四边形ABCD是矩形， .AD‖BC, ∴.∠MAO=∠NCO,∠DMN=∠PNM, 由翻折的性质得：∠DMN=∠PMN, .∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN, .AM=CN,∠AOM=∠CON, .△AMO≌△CNO AAS, ..OM=ON,AO=CO, .OP⊥MN: 3)BP=5或13 20.1)解：由题意得BECD为矩形， .'BE=CD=1.4m,CE=BD=42m, :在Rt△AEC中，tan∠ACE=AE CE .∴.AE=CE×tan61°=42×1.804≈76m, ∴.AB=AE+BE=76+1.4≈77m, 答：该钻井平台AB的高度为77m (2)19 21.(1)等腰直角三角形 (2)MN=3V3 )MN的长为y37或23 ,2 22.0)2 5/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a0架 ②GH-0 AF 4 23.(1)菱形 (②)四边形AMCN为平行四边形，理由见解析 993 3 24.y=22 点M的坐标为1，！ 25.1)等边三角形： 4 ②)①GQ的长度为3m:②存在，“菱六边形ABCDEF”的面积为 +92m2. 16 26.10不可能② 1 (2)3V6 3)10+2V13或10+4V13或10+V73 27.此塔AB的高度约为48米 28.(1)45°；99米： (2)201.4米. 29.(1) 如图，CN即为所求AB边上的高： y 6 5 4 3 2 01234567x (2)y=35,线段BM中点的坐标为 2x 6/12 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6)8722 625 30.(1) 解：BD⊥AE,理由如下： .△ABC为“和谐三角形”，AE是△ABC的中线， :AB-IBC,BE-IBC. ∴AB=BE, .∴.△ABE为等腰三角形 .BD是△ABE的角平分线，即BF平分∠ABE, ∴.BF⊥AE,即BD⊥AE. (2)BD=16 3) 4a2+b2=c2: 证明：：BM_BA= BA BC 2' ∠ABM=∠CBA .∴·△ABM△CBA .AM1 ·CA2,∠BAM=∠BCA ∴.△ACM是“和谐三角形” 如图，延长AO交BC于点N, .∠ABC ∠CAM O∠ANB= M N 的平分线与 的平分线交于点， ∠ACB+∠NAC 又.'∠BAN=∠BAM+∠MAN,∠BAM=∠ACB,∠MAN=∠NAC, ∴.∠ANB=∠BAN M=BN=号8C .BO L AN,ON=OA=a,BN=CN 延长AN至点G,使NG=ON,连接CG 7/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M G 在△BON,△CGN中 ON=NG ∠BNO=ㄥCNG BN=CN .∴.△BON≌△CGN(SAS) ∴.CG=OB=b,∠CGN=∠BON=90° 在Rt△OGC中，根据勾股定理可得0G2+CG=OC2 六2a+b2=c2,即4a2+b2=c2 31.47米 32.0060:)1 2) 解： AE的值不发生变化，理由如下： C 如图，延长AC交直线l于点Q, A 、l BE D .∠ACB=90°， .∠BCQ=90°， 又，∠ABC=∠CBD,BC=BC, .△ABC=△QBC ASA, ∴AC=CQ=AQ2 .AE⊥L,CD⊥L, 8/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AE‖CD .△CDQ~△AEQ, G2-9Q=1 “AEAQ2 6)32或32 33.(1) 解：如图所示，△A1BC即为所求： (2) 解：如图所示，△A2B2C2即为所求： B 3) 解：如图所示，点D即为所求： 9/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 34.AP=AQ②3AQ-4a0(3号 35.1) 证明：将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D在边AB上， .AC=CD,CB=CE,∠ACB=∠ECD, ∠ACD=∠BCE, AC=CD CB CE ∴.△BCE一△ACD (2)AC=2只5 (3)1 36.1)解：①DC=BE, 理由：.'△ABD和△ACE是等边三角形， .∴.AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°， .∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, .∠CAD=∠BAE, AC=AE 在△ACD和△AEB中， ∠CAD=∠EAB AD-AB ∴.△ACD≌△AEB SAS, ∴.DC=BE: ②7： (23+2V2 +V5 (3)解：BD的最大值为 2 10112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 理由：如图4，过点B作BE⊥BC,使BE=BC=3, 2 连接CE,DE, .DA⊥AC,BE⊥BC 图4 ∴.∠CBE=∠CAD=90°， BE-BC,DA-TAC. ·BE=DA=1 ·BCAC2' .∴.△CBE一△CAD, ·CBCE CA-CD2 BCE=4 ACD. .'∠BCE-∠ACE=∠ACD-∠ACE, ∴.∠BCA=∠ECD, ∴.△ABC~△DEC, ABBC ·DECE 商CE=-ac24F- _35 2 “ 3 2 V5 :.DE=2' .'BE+DE≥BD m经誓 2 ·BD的最大值3+5 2 37.(1)90 11/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②)∠AEP=45o: 6)AP的值为2或2. PC 12112函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09相似三角形 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 河南考情(2022-2026) 命题规律 近5年每年必考，选 核心考查平行线分线段成比例定理、推论(A型、X 考点01由平行截 择、填空基础小题为主， 型相似基础模型)；命题以直接求线段长度、线段比 线求相关线段的长 分值3分：常作为几何 解答题第一小问铺垫， 值为主，计算量小，属于几何入门得分点；常结合三 或比值 2023、2025年单独出选 角形中位线、平行四边形综合，易错点为线段对应比 例混淆 择题求值 5年全覆盖必考，选择、 四大判定方法(AA/SAS/SSS)轮换考查，AA为最高 考点02相似三角 填空、压轴解答全题型， 分值3-10分：几何压 频；性质重点考对应边成比例、周长比=相似比、面 形的判定与性质综 积比=相似比平方：常结合折叠、旋转、圆切线、坐 轴、圆综合、二次函数动 合 标系动点综合；手拉手、母子相似、一线三等角是固 点大题高频出现，是几何 定高频模型，步骤推导分值占比高 核心拉分考点 近5年4考，解答应用 以测量类实景情境命题，包含测楼高、测河宽、影子 考点03相似三角 题固定题型，分值6 分，多在第1718题位 测距、镜面反射四大经典模型；解题套路固定，先构 形的实际应用 置；2022、2024、2026 造相似再列比例式计算；侧重文字阅读建模能力，计 算难度低，属于中档稳分题型，极少设置复杂陷阱 年均单独出题 五年真题分类园 考点01由平行截线求相关线段的长或比值 1. （2025河南·中考真题)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格 线的交点上，点D、E分别是边BA、CA与网格线的交点，连接DE,则DE的长为() 1/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B E 1 A. 2 B.1 c.2 D.3 2.(2023河南中考真题)矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN=AB=1.当 以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 考点02相似三角形的判定与性质综合 3.(2026河南中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,CD是角平分线.点E为边BC上 一点，连接AE,交CD于点F,连接BF.若AE=25,则BF的长为一 D 4.(2025河南·中考真题)在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB,垂足为 点D,过点D作DE⊥OA,垂足为点E,直线DE,OC交于点F,过点C作CG⊥DE,垂足为点G. B D 图1 图2 (1)观察猜想 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG,OE,OD的数量关系： (2)类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断(1)中的结论是否仍然成 立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明， 3)拓展应用 2/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当0<∠A0B<180,月LA0B90时，老=3.请直接写出品的值. OD 5.(2025河南中考真题)定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”·如图，在 △ABC中，AB=AC=5,BC=8,点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 6.(2024河南·中考真题)综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行 研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形. 1 3 图1 D A C 图2 图3 (1)操作判断 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 (填序号). (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质， 如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD,AC是它的一条对角线. ①写出图中相等的角，并说明理由： ②若BC=m,DC=n,∠BCD=20,求AC的长（用含m,n,6的式子表示）· 3/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)拓展应用 如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4,分别在边BC,AC上取点M,N,使四边形 ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长. D ABCD B C ,四边形 是邻等对补四边形， .∠ABC+∠D=180° .∠ABC+∠ABE=180°， ∴.∠ABE=∠D, .AB=AD .△ABE≌△ADCSAS, ∴.∠E=∠ACD,AE=AC, ∴.∠E=∠ACB. .∠ACD=∠ACB: 7.(2024河南·中考真题)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中点， EF‖AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为() A D E B.1 D.2 8.(2023河南中考真题)如图，PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点B,点C在PA上，且CB=CA. 若OA=5,PA=12,则CA的长为一· 4/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A 考点3相似三角形的实际应用 9. (2025河南·中考真题)焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于 纪念园南部的中心，某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下， 活动 测量纪念碑的高度 主题 实物 图和 测量 示意 N小 B 图 FMD 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点 测量 D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的 说明 观测者眼睛所在位置为点N,点N,E,A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测 者的水平视线上. 测量 DE=2.1m,DF=2.1m,DM=1m,MN=1.2m 数据 备注 点F,M,D,C在同一水平线上 根据以上信息，解决下列问题 (I)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD=CA,请说明理由. (2)求纪念碑AB的高度. (3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m.查阅资料得知，纪念碑的实际 5/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 高度为19.64m,请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一 条即可)· 年模拟练测园 一、单选题 1.(2026河南周口·一模)如图，在平面直角坐标系中，△OAB位似于△OCD,是以原点0为位似中 心，若点A(1,2)的对应点C的坐标(3,6)，则△OAB与△OCD的相似比为() VA A.2:3 B.3:2 C.1:3 D.4:6 2.(2026河南周口一模)如图，在△ABC中，DE‖BC,AD:DB=1:2,若DE=2,则BC长为 () E B A.4 B.5 C.6 D.8 3. (2026河南周口·一模)如图，在口ABCD中，E为CD上一点，连接AE,BD,且AE,BD交于点F, DE:DC=1:3则S￥5 () D E A.1:3 B.1:9 C.2:3 D.4:9 4.(2026河南安阳·二模)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C,D均在网格线 的交点上，点O是AD与BC的交点，则OA的长为() 6/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.2 B./5 D. 5.(2026河南三门峡·二模)在如图所示的网格中，每个小正方形的面积都是9，点A,B,C,D,E,M 都是格点，点F为CD与EM的延长线的交点，点P是AC与EF的交点，则CP的长为() A.3V2 B.2V2 c.V5 D.V6 6.(2026河南周口·二模)如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=4,BC=5,O是斜边BC的中 点，D是AC边上的一点.若CD=OD,则AP 的值为() CD A口 A.3 39 25 c D治 7.(2026河南平顶山二模)如图，五边形ABCDE,ABCDE是以坐标原点O为位似中心的位似图 形，已知点A,A的坐标分别为3,0,4,0.若DE的长为5，则D'E的长为() 7/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 20 15 A. 3 B. C.12 D. 品 二、填空题 8. 2026河南南阳一模)如图.BGLAC,.an∠BAC=吕BC=5,E是AB边上一动点，过点E 作DE⊥AB交AC边于点D,将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的点F处，连接FC,当△BCF 是以BF为腰的等腰三角形时，AD的长为 E 9.(2026河南平顶山一模)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发，沿线段AC向 终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线A-B-C向终点C匀速运动，P,Q两点同时到达点C, 已知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接PQ.设点P运动的路程为x,△APQ的面积为y,并 绘制成如图2所示的图象.则点D的坐标为 D E 0a16 图1 图2 10. (2026河南郑州一模)如图，在矩形ABCD中，∠ACB=60°，BC=8,点P为对角线AC上一点， 将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段PQ,点Q在射线AB上，当PQ的垂直平分线MN经过矩形一边的中 点时，AP的长为 8/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 11.(2026河南周口一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点P是AB边 上一动点，将△ACP沿CP折叠，点A的对应点为A,当A PL BC时，则AP的长为 B 12.（2026河南新乡一模)小倩发现遗忘在家属院的滑板找不到了，查看物业室的监控，截取到小男孩 站在一根实际长度为15cm的竖直物旁的画面，量出截图中该物体和小男孩的高度分别为3cm和24cm, 则小男孩的实际身高为 米 13.(2026河南信阳一模)郑州中牟贾鲁河大桥，斜拉索都互相平行且距离相等.如图，小丽测得有两 根拉索之间距离BD=50米，DE=10米，CE=12米，AB‖CD,则AE的长为 B 一E D 14.(2026河南周口一模)明明用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，AB=4,BC=3,他在边AB上找一点D,在边BC上找一点E,沿直线DE折叠△BDE, 得到△FDE,点B的对应点为F,改变D,E的位置，始终让点F落在边AC上，当△ADF为直角三角形 时，BD的长为 D 9/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(2026河南平顶山·一模)如图，两张全等的三角形纸片△ABC和△EBD的顶点B重合， ∠ACB=∠EDB=90°，BC=BD=4,AC=ED=6,将△EBD绕点B在平面内旋转，连接AD,AE. 在旋转过程中，当△ADE是以AE为直角边的直角三角形时，线段AD的长为 16.（2026河南安阳一模)定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形.如图，在 Rt△ABC中， AC=2,AB=25,以AB为对角线，作垂等四边形ACBD.过点D作CB延长线的垂线， B 垂足为E,且△ACB与△DBE相似，则四边形ACBD的面积为 17.(2026河南商丘.一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4,在直线BC左侧 找到一点P,使得△PBC是以BC为腰的等腰三角形，且四边形ABPC满足一组对边平行，则∠PAC的正 切值为 B 三、解答题 18.(2026河南信阳·二模)如图，△ABC与△DBE是具有公共顶点的两个三角形，且 ∠ABC=∠DBE=a,∠ACB=∠DEB=60°，且点E在△ACB的外角∠ACP的平分线上，连接AD. 10/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 备用图 (1)【问题发现】如图1，在△ABC和△BDE中，a=60 填空：①线段AD与CE的数量关系是 ;②∠BAD的度数是 (2)【类比探究】 如图2，在△ABC和△DBE中，a=90°，请问(1)中的结论还成立吗？并说明理由， 3)【拓展延伸】 在(2)的条件下，若BC=1,连接AE,请直接写出当△ACE是直角三角形时AD的长. 19.(2026河南洛阳.一模)在矩形ABCD中，点M,N分别是AD,BC边上的动点，且AM=CN,连 接MN,将矩形ABCD沿MN折叠，点C,D分别落在点C,点D处，直线MD与直线BC相交于点P, A M D M A D 图1 图2 C 备用图 1)如图1，当点P在线段CB上时，与∠PMN相等的角有和_； (②)如图2，当点P在线段CB的延长线上时，连接AC,交MN于点O,连接OP.求证：OP⊥MN; )AB=6,BC=8:当MN=2/10时，请直接写出BP的长. 20.(2026河南南阳一模)综合与实践：确定河南油田钻井平台的3D打印模型的高度 项目提出：图1是河南油田的一个钻井平台.某中学的3D打印社团为展示油田文化，准备制作该钻井平 台的3D打印模型，需要测量并计算该钻井平台的高度，为制作3D打印模型提供数据. 11/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 61C 1.4m B D 42m 图1 图2 项目报告表时间：2026年3月18日 项目分析： 1.活动目标：测量该钻井平台的实际高度并换算其3D打印模型的高度 2.测量工具：测角仪、皮尺 项目实施：任务一测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图2所示的测量草图. 1.测出测角仪的高CD为1.4m. 2.利用测角仪测出钻井平台顶端A的仰角∠ACE=61°. 3.测出测角仪CD底端D处到钻井平台AB底端B处之间的距离BD为42m. 项目结果：为社团制作钻井平台的3D打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三. (1)任务二计算实际高度：根据上述测得的数据，计算该钻井平台AB的高度.（结果精确到1m)(参考数 据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804) (2)任务三换算模型高度：将该钻井平台AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为 cm （结果精确到1cm） 21.(2026河南商丘.一模)在△OAB中，∠O=Q,点C,D分别在OA,OB上，AD=BC=6,M为 DC的中点，N为AB的中点，连接MN DMC N 图1 图2 图3 12/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)观察猜想 如图1，连接BD,P为BD的中点，当a=90时，△PMN的形状是_· (2)类比探究 如图2，当a=60°时，求MN的长. 3)解决问题 如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠ABC=120°，AD=6,BC=9,点M,N分别在CD,AB上， AN DM AB CD ,N为AB的三等分点，请直接写出MN的长. 22. (2026河南三门峡.一模)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点M为AB的中点.在 Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=DE=2. 初步感知： D M(E M G H 图1 图2 图3 (I)如图1，当点D,E分别在AC,AB上时，请完成填空： CD AE 深入探究： (2)如图2，若将图1中的△ADE绕点A按顺时针方向旋转一定的角度，连接EM并延长到点F,使 MF=EM,连接AF. ①架的直。 ②如图3，点G,H分别为DE,BC的中点，连接GH.在△ADE绕点A按顺时针方向旋转一周的过程中， G 请直接写出 AF的值。 23.(2026河南平顶山一模)综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动 13/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FD F D N 图1 图2 1)【操作判断】 如图1，折叠矩形纸片ABCD,使点A与点C重合，折痕为EF,将纸片展开，连接AE,CF,则四边形 AECF的形状是 (2)【深入探究】 如图2，在矩形纸片ABCD中，点E,F分别是BC,AD边上的点，且BE=DF,将△ABE沿AE翻折得到 △AME,将△CDF沿CF翻折得到△CNF,连接AN,CM,得到四边形AMCN,请你猜想四边形 AMCN的形状，并说明理由； 3)【拓展应用】 在(2)的条件下，连接MN.若AB=5,BC=6,当直线MN与矩形ABCD的一边平行时，请直接写出 BE的长. 24.（2026河南平顶山一模)如图，正比例函数y名X的图象与反比例函数y=k≠0，x≥0)的图象交 于点Aa,3,点P为直线OA上位于点A右侧的一点，且OA=3AP,过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q, 交反比例函数的图象于点M. P M (1)求反比例函数的表达式： (2)求点M的坐标 25.(2026河南平顶山一模)【综合与实践】 小明用六根长均为0.75m的木棍首尾顺次相接拼成凸六边形ABCDEF(如图1)，直线AB与直线CD交 于点G,直线CD与直线EF交于点H,直线EF与直线AB交于点Q,得△GHQ. 14/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q D H 图1 图2 (I)当六边形ABCDEF的每个内角都相等时，△GHQ的形状为 (②)如图2，六边形ABCDEF的对边分别平行时，称为“菱六边形”， ①若GH为3m,HQ为4m,求GQ的长度， ②当△GHQ为等腰直角三角形时，是否存在“菱六边形”？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写 出此“菱六边形”的面积. 26.(2026河南省直辖县级单位·一模)【定义】如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对 角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中 平行四边形”，该对角线可称为“垂中对角线”，垂足叫做“垂中点”· 如图1，在平行四边形ABCD中，BF⊥AC于点E,交AD于点F,若F为AD的中点，则平行四边形 ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点. A D E 图1 图2 图3 【应用】 (1)①菱形 (填“可能”或“不可能”)是“垂中平行四边形”. ②如图1，平行四边形ABCD是“垂中平行四边形”，其中AC是“垂中对角线”，则A AC的值为 2)如图2，在矩形ABCD中，AD=63,AD>AB.若该矩形是“垂中平行四边形”，且AC是其“垂 中对角线”，求AB的长， (3)如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E,CE=2AE=4,BE=3.若BC是某个“垂中平行四边形” 的边，点E为该“垂中平行四边形”的垂中点，点A在垂中平行四边形的边上，请直接写出这个“垂中平 行四边形”的周长 27.(2026河南省直辖县级单位一模)如图，小明想利用数学课上学习的知识测量某塔AB的高度.他发 现此塔的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影子BC长为19.7米，落在斜 15/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 坡上的影子CD的长为8米，若2米的竖立标杆PQ在斜坡上的影子QR的长为4米，同一时刻太阳光线与 水平地面成66°.请你帮小明求出此塔AB的高度.（结果保留整数，参考数据： sin66°≈0.91，c0s66°≈0.41，tan66°≈2.25) 28.（2026河南新乡.一模)乐学班同学们周末来到郑州报业大厦附近进行综合与实践活动，为测量大厦 AB的高度，飞翔组利用标杆测量，他们让小颖站在C处，距离小颖1.5米的小刚在E处拿一个3米的标杆 EF,小颖的眼睛D看到标杆顶端和大厦最高处B在一条直线上，并测得小颖眼睛距地面1.5米，AE为96 米.虎威组在G处放一面平面镜，小军后退3.4米到M处，眼睛N刚好在镜子G里看到大厦最高处B.小 军的眼睛距地面1.7米。 CE (1)小颖看大厦最高处B的仰角为多少度？大厦AB的高度是多少米？（结果保留整数） (2)根据飞翔组的测量结果估计点M处的小军距大厦有多远. 29.(2026河南平顶山一模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC是格点三角形. 5 4 3 2 01234567x (1)请用无刻度的直尺和圆规作AB边上的高（保留作图痕迹，不写作法）： ②)己知反比例函数y=k的图象经过AC的中点M,求出反比例函数的解析式，并写出线段BM中点的坐 标； 16/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)反比例函数y=二的图象经过AB边上的高CN的垂足N点，则k2的值是 30. (2026河南郑州一模)如果一个三角形的一边是另一边的2倍，那么称这个三角形为“和谐三角 形” E 图1 图2 (1)初步探索：如图1，和谐三角形ABC中，BC=2AB,BD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的中线. 猜想BD与AE的位置关系，并说明理由. (2)尝试应用：在(1)的条件下，BC=26,AE=10,求BD的长度. 3)拓展延伸：如图2，和谐三角形ABC中，BC=2AB,点M在BC上，且AB=2BM,∠ABC的平分线 与∠CAM的平分线交于点O.点O与点A,B,C的距离分别为a,b,C,写出a,b,C之间的等量关系， 并证明 31.(2026河南周口一模)茗阳阁位于河南省信阳市狮河区茶韵路一号，建成于2007年4月，是信阳新 建的城市文化与形象的代表建筑之一，具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼，被誉为“中原第一大阁楼”. 淇淇在物理课上学过《光的反射定律》，她想利用光的反射定律测量茗阳阁的高度.于是把“测量茗阳阁 的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告， 活动项目 测量茗阳阁的高度 M 实物图和测量示意图 BC ①在地面上的点C处放置了一块平面镜，随后，站在 NC的延长线上点B处，此时，从平面镜中刚好看到茗 阳阁项端M,测量B,C两点间的距离；②将平面镜从 测量过程 点C处沿NC向后移动到点D处，站在点F处又恰好看到 茗阳阁顶端M,测量D,F两点间的距离；③AB,EF 为眼睛到地面的距离 17/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC=1.5米，CD=9.4米，DF=1.8米，EF=AB=1.5 测量数据 米 点F,D,B,C,N在同一条直线上，图上所有点 备注 均在同一平面内，∠ACB=∠MCN, ∠EDF=∠MDN,MN,AB,EF均与地面垂直 根据活动报告，求茗阳阁MN的高度. 32.(2026河南许昌一模)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点B在直线l上，分别过点C,A作直线的 垂线，垂足分别为D,E,∠CBD=∠ABC A F B D D E B D 图1 图2 图3 【问题解决】 CD (1)如图1，若∠CBD=30°，则∠BAC的度数为 的值为 AE 【问题探究】 (2)若0<∠CBD<90°，判断 CD 的值是否发生变化？并就图2或图3说明理由。 【拓展延伸】 6准（②》的条件下，菊线CE.AB交于点R,老器-》CD=3、诗直接写出袋段BD的长 33.(2026河南周口一模)无刻度直尺作图如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A, B,C,O均为格点（网格线的交点）· 18/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△A1B,C请画出△A1B,C. (②)以点O为位似中心，将△ABC在网格中放大为原来的2倍，得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2. 3)请仅用无刻度直尺，描出AC上的点D,使AD:CD=2:3. 34.(2026河南商丘.一模)【问题原型】在矩形ABCD中，点P是边CB延长线上一点.连接AP,过点 A作AQ⊥AP交DC于点Q. D B PB B 图1 图2 图3 (1)如图1，若四边形ABCD是正方形，则线段AQ与AP之间的数量关系是 ②)如图2，若ADAB,判断AQ与AP之间的数量关系，并说明理由 【问题变式】(3)如图3，四边形ABCD为平行四边形，∠A为锐角，且AB=3,AD=4.点P是射线 CB上一点，作∠BAQ=∠PAD,AQ交射线CD于点Q.若DQ=2,直接写出线段CP的长， 35.(2026-河南周口一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点 A的对应点D在边AB上，连接BE. I)求证：△BCE∽△ACD (2)若BE=8,BD=6,求AC的长： 19/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过点E作AB的平行线交AC的延长线于点正，直接写出C的值 36.(2026河南三门峡·二模)综合与实践 图1 图2 图3 (1)操作探究 如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=5,AB=2,如图2所示，分别以AB,AC为边，作等边三角形 ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE, ①请找出图1中与BE相等的线段，并说明理由： ②线段BE长的最大值为； (2)拓展应用 如图2，在平面直角坐标系中，点A坐标为2,0，点B坐标为5,0，点P为线段AB外一动点，且 PA=2,PM=PB,∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值； 3)知识迁移 如图3，△ABC中，AB=1,BC=3,D为AC外一点，DA⊥AC,DA=AC,连接BD,CD,求BD的 最大值，并说明理由. ∠APN=90°PA=PN=2 由旋转的性质可知， ∴△APN是等腰直角三角形 AN--2 PE-TAN-AE-97. 37.(2026河南许昌二模)在正方形ABCD中，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点 E与点B不重合)，将线段BE绕点E逆时针旋转90°得到EF. 20121 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A D D P P E E F G 图1 图2 备用图 (I)如图1，若点F落在线段BC上，则∠APB的度数为 (②)如图2，若线段EF的延长线经过点C,且点F是EC的中点，求∠AEP的度数 3)若射线EF交射线BC于点G,当EF=2FG时，请直接写出 的值， PC 21/21