【5年中考压轴真题】2022～2026年河北省选择题、填空题、解答题汇编

**基本信息** 2022-2026年河北省中考数学压轴真题汇编，含选择、填空、解答题各10题，分层覆盖代数、几何、函数等核心知识，以“曹冲称象”文化情境、近视防控社会热点为载体，突出运算能力与推理意识考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|平面直角坐标系、图形折叠、方程应用|结合“和点”平移规则考查阅读理解能力| |填空题|10题|一元二次方程、概率、图形面积|以眼肌训练图为背景考查圆中线段计算| |解答题|10题|二次函数综合、几何动态问题、实践探究|设计矩形切割实践题，融合空间观念与创新意识|

【5年中考压轴真题】2022~2026年河北省选择题、填空题、解答题汇编 一．选择题（共10小题） 1．（2026•河北）·【较易】平面直角坐标系中有A（1，n），B（m，6），C（m，n）三点．若直线AB经过原点，则点C一定在（　　） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数y＝﹣x+5的图象上D．函数y＝6x的图象上 2．（2025•河北）·【较易】如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（　　） A．∠1＝45°﹣α B．∠1＝α C．∠2＝90°﹣α D．∠2＝2α 3．（2022•河北）·【较易】“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（　　） A．依题意3×120＝x﹣120 B．依题意20x+3×120＝（20+1）x+120 C．该象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤 4．（2026•河北）·【较易】如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为m，n，则m﹣n＝（　　） A． B． C． D．0 5．（2025•河北）·【中档】在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（　　） A． B． C． D． 6．（2024•河北）·【中档】平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：． 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（　　） A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0） C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1） 7．（2023•河北）·【中档】已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（　　） A．2 B．m2 C．4 D．2m2 8．（2022•河北）·【中档】题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：d，则正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 9．（2024•河北）·【中档】“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（　　） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“■”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为4100a+1025 10．（2023•河北）·【中档】如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2 上，点B，D、E、G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝（　　） A．42° B．43° C．44° D．45° 二．填空题（共10小题） 11．（2026•河北）·【较易】已知关于x的一元二次方程x2x+m＝0有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则m＝　 　 ． 12．（2025•河北）·【较易】甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b＝ 　 　 ． 13．（2023•河北）·【较易】根据表中的数据，写出a的值为 　 　 ，b的值为　 　 . 2 n 3x+1 7 b a 1 14．（2022•河北）·【较易】如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从1～8号中随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是 　 　 ． 15．（2026•河北）·【较易】一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地．该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如A→D→B→C→A．若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为　 　 百元． 16．（2025•河北）·【中档】2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 　 　 ． （参考数据：sin15°，sin75°） 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行． 17．（2024•河北）·【中档】如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点． （1）△AC1D1的面积为 　 　 ； （2）△B1C4D3的面积为 　 　 ． 18．（2025•南山区）·【中档】将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中： （1）∠α＝　 　 度； （2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 　 　 （结果保留根号）． 19．（2022•河北）·【中档】如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒． （1）甲盒中都是黑子，共10个．乙盒中都是白子，共8个．嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝　 　 ； （2）设甲盒中都是黑子，共m（m＞2）个，乙盒中都是白子，共2m个．嘉嘉从甲盒拿出a（1＜a＜m）个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 　 　 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有x（0＜x＜a）个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为 　 　 ． 20．（2024•河北）·【中档】已知a，b，n均为正整数． （1）若nn+1，则n＝　 　 ； （2）若n﹣1n，nn+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少 　 　 个． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•河北）·【中档】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P．抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C（，2）．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L1，L2． （1）求b，c的值及点P的坐标． （2）点D在L1上，到x轴的距离为．判断L2能否经过点D，若能，求a的值；若不能，请说明理由． （3）直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一半． ①若点E与点P重合，点M恰好落在L2上，求a的值； ②若点M为直线AE与L2的唯一公共点，请直接写出k的值． 22．（2022•河北）·【较难】如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB＝2，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4． （1）求证：△PQM≌△CHD； （2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止． ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积； ②如图2，点K在BH上，且BK＝9﹣4．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长； ③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）． 23．（2026•河北）·【较难】如图，二次函数y＝（x﹣t）（x﹣3t）（其中t＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为P．将点B绕点A顺时针旋转90°得到点D． （1）若t＝1，求直线PD的函数表达式，并判断点C关于二次函数图象对称轴的对称点C′是否在直线PD上． （2）当3≤x≤6时，二次函数的最大值为9，求t的值． （3）连接OP，当点D不在直线OP上时，过点D作直线DE∥OP交y轴于点E（0，m），请直接写出m的最小值． 24．（2023•河北）·【较难】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点 （x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式． 例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）． （1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式； （2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示x，y； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象； （3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 25．（2022•河北）·【较难】如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣8，19），B（6，5）． （1）求AB所在直线的解析式； （2）某同学设计了一个动画： 在函数y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中C（c，0）．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出． ①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系； ②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光．求此时整数m的个数． 26．（2024•河北）·【较难】已知⊙O的半径为3，弦MN＝2．△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3．在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内），随后移动△ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动．设BN＝x． （1）当点B与点N重合时，求劣弧的长； （2）当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值； （3）设点O到BC的距离为d． ①当点A在劣弧上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． 27．（2026•河北）·【难】如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，正方形DEFG的顶点D，E，F分别在△ABC的三边AB，BC，CA上．当点D从点B出发沿BA向点A移动时，点E，F随之分别在BC，CA上移动（正方形DEFG的大小发生变化），当点F与点C重合时，移动停止． （1）tan∠ABC＝　 　 ． （2）如图1，当∠BED＝45°时，求证：BE＝CE． （3）①如图2，当BD时，求BE的长． ②当BE时，直接写出正方形DEFG的边长． （4）在移动过程中，每当点G移动1个单位长度时，点E均移动d个单位长度，直接写出d的值． 28．（2024•河北）·【难】如图，抛物线C1：y＝ax2﹣2x过点（4，0），顶点为Q．抛物线C2：y（x﹣t）2t2﹣2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P． （1）直接写出a的值和点Q的坐标． （2）嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上． 淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． （3）当t＝4时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． （4）设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，且xA＜xB，点M在C1上，横坐标为m（2≤m≤xB）．点N在C2上，横坐标为n（xA≤n≤t），若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 29．（2023•河北）·【难】如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB＝8，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，点M在AD边上，且DM＝2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA'，∠A′MA的平分线MP所在直线交折线AB﹣BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A′P． （1）若点P在AB上，求证：A'P＝AP； （2）如图2，连接BD． ①求∠CBD的度数，并直接写出当n＝180时，x的值； ②若点P到BD的距离为2，求tan∠A′MP的值； （3）当0＜x≤8时，请直接写出点A′到直线AB的距离（用含x的式子表示）． 30．（2025•河北）·【难】综合与实践 [情境]要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线． [模型]已知矩形ABCD（数据如图2所示）．作一条直线MN，使MN与BC所夹的锐角为45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分． [操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接AC，BD交于点O； ②过点O作EF⊥BC，分别交BC，AD于点E，F； … 如图4，淇淇的方法如下： ①在边BC上截取BG＝AB，连接AG； ②作线段GC的垂直平分线l，交BC于点M； ③在边AD上截取AN＝GM，作直线MN． [探究]根据以上描述，解决下列问题． （1）图2中，矩形ABCD的周长为 　 　 ； （2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求． [拓展]操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． （4）如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH． ①当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值； ②当∠BCH最大时，直接写出CH的长． 【5年中考压轴真题】2022~2026年河北省选择题、填空题、解答题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B A D A B D C 一．选择题（共10小题） 1．【答案】B 【解答】解：∵直线AB经过原点， ∴设直线AB的解析式为y＝kx， 把A（1，n）代入解析式得n＝k•1，即k＝n， ∴直线AB的解析式为y＝nx， 把B（m，6）代入y＝nx，得6＝n•m，即mn＝6， ∵点C的坐标为（m，n）， ∴点C横纵坐标的乘积为m•n＝6， 对函数变形，可得xy＝6，满足点C的坐标特征， ∴点C一定在函数的图象上， 故选：B． 2．【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠C＝90°， ∴∠ADB＝∠1， ∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠， ∴∠ADB＝∠A'DB， ∴∠1＝∠A'DB， ∵∠DEC＝90°﹣α， 即2∠1＝90°﹣α， ∴，故A不正确， ∵∠BDE≠∠CDE， ∴∠1≠α，故B不正确， ∵将矩形ABCD沿对角线ED折叠， ∴∠C'ED＝∠CED ∠2＝180°﹣2∠CED＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α，故C不正确，D选项正确， 故选：D． 3．【答案】B 【解答】解：由题意得出等量关系为： 20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和＝21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重， ∵已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤， ∴20x+3×120＝（20+1）x+120， ∴A选项不正确，B选项正确； 由题意：大象的体重为20×240+360＝5160斤， ∴C选项不正确； 由题意可知：一块条形石的重量＝2个搬运工的体重， ∴每块条形石的重量是240斤， ∴D选项不正确； 综上，正确的选项为：B． 故选：B． 4．【答案】B 【解答】解：如图，过点B作BJ∥x轴交直线l1于点J，过点F作EF∥x轴交直线I1于点E， ∵CD∥x轴，GH∥x轴， ∴CD∥BJ，GH∥EF， 由图可知，l1过（0，0），（1，3）；l2过（1，0），（2，3）；l3过（0，3），（3，2）；l4过（0，2），（3，1）， 设l1的直线解析式为y＝ax（a≠0）， 将（1，3）代入上式，则a＝3， ∴l1的直线解析式为y＝3x； 同理可得另外三条直线的解析式分别为：， ∵直线l1与l2的斜率均为3， ∴l1∥l2， ∴四边形JBDC，EFHG是平行四边形， 当y＝1时，1＝3x，解得，则， 当y＝1时，1＝3x﹣3，解得，则， 当y＝2时，2＝3x，解得，则， 当y＝2时，2＝3x﹣3，解得，则， ∴GH＝BC＝1， 联立l2与l3得：，解得：x＝1.8，则y＝2.4， ∴B（1.8，2.4）； 联立I1与l3得：，解得：x＝0.9，则y＝2.7， ∴A（0.9，2.7）； 联立l2与l4得：，解得：x＝1.5，则 y＝1.5， ∴F（1.5，1.5）； 联立l1与l4得：，解得：x＝0.6，则y＝1.8， ∴I（0.6，1.8）； ∴阴影部分n的面积， 阴影部分m的面积， ∴， 故选：B． 5．【答案】A 【解答】：设直线 FG的解析式为 y＝kx+b，代入（﹣1，1），（0，﹣1）， ∴，解得， ∴直线FG的解析式为 y＝﹣2x﹣1， ∵E（1，2）， A．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为，此时经过原点，对应的EH经过整点（2，1），符合题意， B．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为，此时原点在FG下方，对应的EH在整点（2，1）上方，不符合题意， C．当E为时，平移方式为向右平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为，此时点（2，0）在正方形内部，不符合题意， D．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为y＝﹣2（x）﹣12x，此时点（2，1）在正方形内部，不符合题意， 故选：A． 6．【答案】D 【解答】解：根据已知：点P3（2，2）横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P4（2，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P5（1，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位…，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1.9），则按照“和点”Q16 反向运动16次即可，可以分为两种情况： ①Q16先向右1个单位得到Q15（0，9），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q15向右平移1个单位得到Q16，故矛盾，不成立； ②Q16先向下1个单位得到Q15（﹣1，8），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个 单位得到Q16，故符合题意， ∴点Q16先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为（﹣1+7，9﹣8），即（6，1）， ∴最后一次若向右平移则为（7，1），若向左平移则为（5，1）， 故选：D． 7．【答案】A 【解答】解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0， ∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m， ∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 若m＞0，则m2＝2m， ∴m＝2， 若m＜0时，则m2＝﹣2m， ∴m＝﹣2． ∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴为直线x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴为直线x， ∴这两个函数图象对称轴之间的距离2． 故选：A． 8．【答案】B 【解答】解：由题意知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC， ①当CA⊥BA时， ∵∠B＝45°，BC＝2， ∴AC＝BC•sin45°＝2， 即此时d， ②当CA＝BC时， ∵∠B＝45°，BC＝2， ∴此时AC＝2， 即d≥2， 综上，当d或d≥2时能作出唯一一个△ABC， 故选：B． 9．【答案】D 【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为100x+10y+z和10m+n，如图2： 则由题意得：mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a， ∴4，即m＝4n， ∴当n＝2，y＝1时，z＝2.5不是正整数，不符合题意，故舍去； 当n＝1，y＝2时，则m＝4，z＝5，x＝a，如图3： ∴A、“20”左边的数是2×4＝8，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴a上面的数应为4a，如图4： ∴运算结果可以表示为：1000（4a+1）+100a+20+5＝4100a+1025， ∴D选项符合题意， 当a＝2时，计算的结果大于6000， 故C选项不符合题意， 故选：D． 10．【答案】C 【解答】解：如图，延长BG， ∵∠ADE＝146°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝34°， ∵∠α＝∠ADB+∠AHD， ∴∠AHD＝∠α﹣∠ADB＝50°﹣34°，＝16°， ∵l1∥l2， ∴∠GIF＝∠AHD＝16°， ∵∠EGF＝∠β+∠GIF， ∵△EFG是等边三角形， ∴∠EGF＝60°， ∴∠β＝∠EGF﹣∠GIF＝60°﹣16°＝44°， 故选：C． 二．填空题（共10小题） 11．【答案】． 【解答】解：设一元二次方程的两根分别为t，t2， 根据根与系数的关系可得，t•t2＝m， 整理，得，变形得， 解得， 将代入m＝t3，得， 验证判别式：，符合题意， 故答案为：． 12．【答案】99． 【解答】解：根据题意得，， 解得， ∴a+b＝99， 故答案为：99． 13．【答案】；﹣2． 【解答】解：当x＝2时， ， 即a； 当x＝n时， 1， 解得：n＝﹣1， 经检验，n＝﹣1是分式方程的解， 那么当x＝﹣1时， 3x+1＝﹣3+1＝﹣2， 即b＝﹣2， 故答案为：；﹣2． 14．【答案】． 【解答】解：所有可能出现的结果数为8，抽到6号赛道的结果数为1，每种结果出现的可能性相同， P（抽到6号赛道）， 故答案为：． 15．【答案】21． 【解答】解：根据题意，从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地，且每个地方只到1次，共有以下不同的路线方案： 方案一：路线为A→B→C→D→A，交通费用为：3+5+7+6＝21（百元）； 方案二：路线为A→B→D→C→A，交通费用为：3+8+7+4＝22（百元）； 方案三：路线为A→C→B→D→A，交通费用为：4+5+8+6＝23（百元）； 方案四：路线为A→C→D→B→A，交通费用为：4+7+8+3＝22（百元）； 方案五：路线为A→D→B→C→A，交通费用为：6+8+5+4＝23（百元）； 方案六：路线为A→D→C→B→A，交通费用为：6+7+5+3＝21（百元）； 因为21＜22＜23， 所以此次旅游的交通费用最少为21百元， 故答案为：21． 16．【答案】． 【解答】解：如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D， 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行． 由图可得，线段AB的长与其他的都不相等， ∵其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上， ∴360°÷12＝30°， ∴相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°， ∴∠AOB＝30°×5＝150°， ∴， ∵OD⊥AB， ∴∠BOD＝75°， ∴， 即， ∴， ∵OA＝OB，OD⊥AB， ∴， ∴这条线段的长为， 故答案为：． 17．【答案】（1）1； （2）7． 【解答】解：（1）连接B1D1、B1D2、B1C2、B1C3、C3D3， ∵△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线， ∴， ∵点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点， ∴， ∵点A，D1，D2是线段DD3的四等分点， ∴， ∵点A是线段BB1的中点， ∴， 在△AC1D1和△ACD中， ， ∴△AC1D1≌△ACD（SAS）， ∴，∠C1D1A＝∠CDA， ∴△AC1D1的面积为1， 故答案为：1； （2）在△AB1D1和△ABD中， ， ∴△AB1D1≌△ABD（SAS）， ∴，∠B1D1A＝∠BDA， ∵∠BDA+∠CDA＝180°， ∴∠B1D1A+∠C1D1A＝180°， ∴C1、D1、B1三点共线， ∴， ∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4， ∴， ∵AD1＝D1D2＝D2D3，， ∴， 在△AC3D3和△ACD中， ，∠C3AD3＝∠CAD， ∴△C3AD3∽△CAD， ∴， ∴， ∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4， ∴， ∴， ∴△B1C4D3的面积为7， 故答案为：7． 18．【答案】30；2． 【解答】解：（1）作图如图所示， ∵多边形是正六边形， ∴∠ACB＝60°， ∵BC∥直线l， ∴∠ABC＝90°， ∴α＝30°； 故答案为：30°； （2）取中间正六边形的中心为O， 作图如图所示，由题意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB， ∴四边形ABFG为矩形， ∴AB＝GF， ∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°， ∴△ABC≌△GFH（ASA）， ∴BC＝FH， 在Rt△PDE中，DE＝1，PE， 由图1知AG＝BF＝2PE＝2，OM＝PE， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2， 故答案为：2． 19．【答案】（1）4； （2）（m+2a），1． 【解答】解：（1）依题意有：a+8＝2（10﹣a）， 解得a＝4． 故答案为：4； （2）依题意有：2m+a﹣（m﹣a）＝（m+2a）个， y＝a﹣（a﹣x）＝a﹣a+x＝x， 1． 故答案为：（m+2a），1． 20．【答案】（1）3； （2）2． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∵nn+1，n为正整数， ∴n＝3； 故答案为：3； （2）∵n﹣1n， ∴（n﹣1）2＜a＜n2， ∴a的个数为n2﹣（n﹣1）2﹣1＝n2﹣n2+2n﹣1﹣1＝2n﹣2， ∵nn+1， ∴n2＜b＜（n+1）2， ∴b的个数为（n+1）2﹣n2﹣1＝n2+2n+1﹣n2﹣1＝2n， ∵2n﹣（2n﹣2）＝2， ∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个， 故答案为：2． 三．解答题（共10小题） 21．【答案】（1）b＝6，c＝3，P（3，12）；（2）不能，理由见解析；（3）①；②． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P， ∴， 解得：b＝6，c＝3， ∴y＝﹣x2+6x+3＝﹣（x﹣3）2+12， ∴P（3，12）； （2）∵点D在L1（第一象限）上，到x轴的距离为， 则， ∴当时，， 解得：或， ∴或， ∵抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点，对称轴为直线x＝3， ∴L2经过点和， ∴L2不能经过点D， （3）①∵A（0，3），P（3，12）， 当E，P重合时，则E（3，12）， ∵M是AE的中点， ∴， ∵点恰好落在L2上，L2经过点， ∴， 解得：； ②直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，A（0，3）， ∴n＝3， ∴直线AE的解析式为y＝kx+3， ∵y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点， ∴， ∴， ∴， 联立， 消去y得，， ∴， ∵点M的横坐标是点E横坐标的一半， ∴，， 将E代入y＝﹣x2+6x+3， ∴ ∵点M为直线AE与L2的唯一公共点， ∴②， 联立①②得：或， 当时，唯一公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 22．【答案】（1）证明见解析部分； （2）①95π； ②（43）s； ③． 【解答】（1）证明：∵四边形ABHD是矩形， ∴AB＝DH＝2，∠DHB＝∠DHC＝90°， 在Rt△AQM中，∠Q＝90°，∠QAM＝30°，AM＝4， ∴QMAM＝2， ∴QM＝DH， ∵∠Q＝∠DHC＝90°，∠QAM＝∠C＝30°， 在△PQM和△CHD中， ， ∴△PQM≌△CHD（AAS）； （2）解：①如图1中，PQ扫过的面积＝平行四边形AQQ′D的面积+扇形DQ′Q″的面积． 设QQ′交AM于点T． ∵AQQM＝6，QT⊥AM， ∴AT＝AQ•cos30°＝3， ∴PQ扫过的面积＝3×395π； ②如图2﹣1中，连接DK．当PM运动到与DH重合时， ∵BH＝AD＝3，BK＝9﹣4， ∴KH＝3﹣（9﹣4）＝46， ∴CK＝46+6＝4， ∵CD＝2DH＝4， ∴CD＝CK， ∴∠CKD（180°﹣30°）＝75°， ∴∠KDH＝15°， ∵∠QDK＝30°﹣15°＝15°， ∴点K在△PQM区域（含边界）内的时长（43）s； ③如图3中， 在Rt△CDH中，DH＝2，∠C＝30°， ∴CHDH＝6， ∵BH＝3，BE＝d， ∴EH＝|3﹣d|， ∵DH＝2，∠DHE＝90°， ∴DE2＝EH2+DH2＝（3﹣d）2+（2）2， ∵∠DEF＝∠CED，∠EDF＝∠C＝30°， ∴△DEF∽△CED， ∴DE2＝EF•EC， ∴（3﹣d）2+12＝EF•（9﹣d）， ∴EF， ∴CF＝BC﹣BE﹣EF＝9﹣d． 23．【答案】（1）y＝x﹣3，点C'不在直线PD上； （2）t的值为或4； （3）﹣2． 【解答】解：（1）对于y＝（x﹣t）（x﹣3t），当y＝0时，（x﹣t）（x﹣3t）＝0， 解得x1＝t，x2＝3t， ∴A（t，0），B（3t，0）， 若t＝1，则A（1，0），B（3，0），y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴AB＝3﹣1＝2，P（2，﹣1）， ∵将点B绕点A顺时针旋转90°得到点D， ∴AD＝AB＝2，∠BAD＝90°， ∴D（1，﹣2）， 设直线PD：y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线PD：y＝x﹣3； 对于y＝（x﹣2）2﹣1，当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 由y＝（x﹣2）2﹣1可得对称轴为直线x＝2， ∴点C关于二次函数图象对称轴的对称点C'为（4，3）， 当x＝4时，y＝4﹣3＝1≠3， ∴点C'不在直线PD上； （2）由（1）可得A（t，0），B（3t，0）， ∴对称轴为直线， 当2t＜3，即t＜1.5时， ∵抛物线y＝（x﹣t）（x﹣3t）中，1＞0，则抛物线开口向上， ∴当3≤x≤6时，y随着x的增大而增大， ∴当x＝6时，函数取得最大值， ∴（6﹣t）（6﹣3t）＝9，整理得，t2﹣8t+9＝0， 解得或（舍去）； 当3≤2t≤6，即时，， 若，即时，此时x＝6离对称轴更远， ∴当x＝6时，函数取得最大值9， ∴（6﹣t）（6﹣3t）＝9， 整理得，t2﹣8t+9＝0，解得或，均不在范围内，故舍去； 若时，即此时x＝3离对称轴更远， ∴当x＝3时，函数取得最大值， ∴（3﹣t）（3﹣3t）＝9，整理得，t2﹣4t＝0， 解得t＝4或t＝0，均不在范围内，故舍去； 当2t＞6，即t＞3时， ∴当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小， ∴当x＝3时，函数取得最大值， ∴（3﹣t）（3﹣3t）＝9，整理得，t2﹣4t＝0解得t＝4或t＝0（舍去）； 综上：t的值为或4； （3）∵A（t，0），B（3t，0）， ∴同（1）可求D（t，﹣2t） 对于y＝（x﹣t）（x﹣3t），对称轴为直线x＝2t， ∴把x＝2t代入y＝（x﹣t）（x﹣3t）可得，y＝（2t﹣t）（2t﹣3t）＝﹣t2， ∴P（2t，﹣t2）设直线OP：y＝px，则﹣t2＝p•2t， 解得， ∵DE∥OP， ∴设直线DE：代入D（t，﹣2t）， 则， 解得， ∴直线DE：， 当x＝0时，，， ∴当t＝2时，m取得最小值为﹣2． 24．【答案】（1）直线l1的解析式为y＝﹣x+6；直线l2的解析式为y＝﹣x+15； （2）①x＝m+10，y＝20﹣m； ②直线l3的解析式为y＝﹣x+30；图象见解析过程； （3）a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b． 【解答】解：（1）设l1的解析式为y＝kx+b， 由题意可得：， 解得：， ∴l1的解析式为y＝﹣x+6， 将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式为y＝﹣x+15； （2）∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次， ∴点P按照乙方式移动了（10﹣m）次， ∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m）， ∴点（2m，m）按照乙方式移动（10﹣m）次后得到的点的横坐标为2m+10﹣m＝m+10，纵坐标为m+2（10﹣m）＝20﹣m， ∴x＝m+10，y＝20﹣m； ②∵x+y＝m+10+20﹣m＝30， ∴直线l3的解析式为y＝﹣x+30； 函数图象如图所示： （3）∵点A，B，C，横坐标依次为a，b，c， ∴点A（a，﹣a+6），点B（b，﹣b+15），点C（c，﹣c+30）， 当a≠b≠c，﹣a+6≠﹣b+15≠﹣c+30时， 设直线AB的解析式为y＝mx+n， 由题意可得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝（﹣1）x+6， ∵点A，点B，点C三点始终在一条直线上， ∴c（﹣1）+6c+30， ∴5a+3c＝8b， 当a＝b＝c时，则点A，点B，点C共线，则5a+3c＝8b， 当﹣a+6＝﹣b+15＝﹣c+30时，﹣2a+b+c＝33，则5a+3c＝8b， ∴a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b． 25．【答案】（1）y＝﹣x+11； （2）①2m+n＝0； ②5个． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣8，19），B（6，5）代入，得， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+11； （2）①由题意直线y＝mx+n经过点（2，0）， ∴2m+n＝0； ②∵线段AB上的整数点有15个：（﹣8，19），（﹣7，18），（﹣6，17），（﹣5，16），（﹣4，15），（﹣3，14），（﹣2，13），（﹣1，12），（0，11），（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），（6，5）． 当射线CD经过（2，0），（﹣7，18）时，y＝﹣2x+4，此时m＝﹣2，符合题意， 当射线CD经过（2，0），（﹣1，12）时，y＝﹣4x+8，此时m＝﹣4，符合题意， 当射线CD经过（2，0），（1，10）时，y＝﹣10x+20，此时m＝﹣10，符合题意， 当射线CD经过（2，0），（3，8）时，y＝8x﹣16，此时m＝8，符合题意， 当射线CD经过（2，0），（5，6）时，y＝2x﹣4，此时m＝2，符合题意， 其他点，都不符合题意． 解法二：设线段AB上的整数点为（t，﹣t+11），则tm+n＝﹣t+11， ∵2m+n＝0， ∴（t﹣2）m＝﹣t+11， ∴m1， ∵﹣8≤t≤6，且t为整数，m也是整数， ∴t﹣2＝±1，±3，±9， ∴t＝1，m＝﹣10， t＝3，m＝8， t＝5，m＝2， t＝﹣1，m＝﹣4， t＝﹣7，m＝﹣2， t＝11，m＝0（不符合题意舍去）， 综上所述，符合题意的m的值有5个． 26．【答案】（1）劣弧的长为π； （2）点B到OA的距离为2，x的值为3； （3）d的最小值为． 【解答】解：如图，连接OA，OB， ∵⊙O的半径为3，AB＝3， ∴OA＝OB＝AB＝3， ∴△AOB 为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴ 的长为π， ∴劣弧的长为π； （2）过B作BI⊥OA于I，过O作OH⊥MN于H，连接MO，如图： ∵OA∥MN， ∴∠IBH＝∠BHO＝∠HOI＝∠BIO＝90°， ∴四边形BIOH是矩形， ∴BH＝OI，BI＝OH， ∵，OH⊥MN， ∴， 而OM＝3， ∴， ∴点B到OA的距离为2； ∵AB＝3，BI⊥OA， ∴， ∴， ∴； （3）①过O作OJ⊥BC于J，过O作OK⊥AB于K，如图： ∵∠ABC＝90°，过点A的切线与AC垂直， ∴AC过圆心， ∴四边形KOJB为矩形， ∴OJ＝KB， ∵AB＝3，， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ； ②如图，当B为MN中点时，过O作OL⊥B′C′于L，过O作OJ⊥BC于J， ∵∠OJL＞90°， ∴OL＞OJ，故当B为MN中点时，d最短小， 过A作AQ⊥OB于Q， ∵B为MN中点， ∴OB⊥MN， 同（2）可得OB＝2， ∴BQ＝OQ＝1， ∴， ∵∠ABC＝90°＝∠AQB， ∴∠OBJ+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠BAQ， ∴∠OBJ＝∠BAQ， ∴tan∠OBJ＝tan∠BAQ， ∴， 设OJ＝m，则 ， ∵OJ2+BJ2＝OB2， ∴， 解得： （m的负值已舍去）， ∴OJ的最小值为 ，即d的最小值为． 27．【答案】（1）； （2）∵四边形DEFG是正方形， ∴ED＝EF，∠DEF＝90°， ∵∠BED＝45°， ∴∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠BED＝45°， ∴∠BED＝∠CEF， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴△BED≌△CEF（AAS）， ∴BE＝CE； （3）；②； （4）． 【解答】（1）解：过点A作AH⊥BC于点H， ∵AB＝AC＝10，BC＝12， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵四边形DEFG是正方形， ∴ED＝EF，∠DEF＝90°， ∵∠BED＝45°， ∴∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠BED＝45°， ∴∠BED＝∠CEF， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴△BED≌△CEF（AAS）， ∴BE＝CE； （3）解：①过点D作DM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则∠BMD＝∠DME＝∠ENF＝∠CNF＝90°， 在Rt△BDM中，， 设DM＝4x，BM＝3x， ∵∠B＝∠C，，则设FN＝4y，CN＝3y， ∵四边形DEFG是正方形， ∴ED＝EF，∠DEF＝90°， ∴∠DEM＝∠EFN＝90°﹣∠FEN， ∴△DME≌△ENF（AAS）， ∴DM＝EN＝4x，ME＝FN＝4y， 在Rt△BDM中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵BC＝3x+4y+4x+3y＝7x+7y＝12， ∴， ∴； ②构造同样辅助线，如上图， ∵BE＝BM+ME＝40， ∴可得方程组， 解得， ∴， ∴； （4）解：先同样构造（3）问辅助线，再过点G作GI⊥MD交MD的延长线于点I， 同理可证明△DIG≌△EMD， ∴IG＝DM＝4x，DI＝ME＝4y， 由（3）可知7x+7y＝12， ∴， ∴， ∴当点D运动时，点G到BC的距离不变，为， 当点D与点B重合时，记作点D'，作出初始位置时的正方形D'E′F′G'，则点G'，I，G，F'在同一直线上， 由题意设G'G＝1， ∵四边形D'E′F′G'是正方形， ∴∠G'＝∠G'D'M＝90°， ∵∠DMB＝90°， ∴四边形G'D'MI是矩形， ∴G'I＝D'M＝3x，， ∴G'G＝G'I+IG＝7x＝1，， 解得， ∴，， ∴， ∴d的值为． 28．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线过点（4，0），顶点为Q， ∴16a﹣8＝0， 解得， ∴抛物线为， ∴Q（2，﹣2）； （2）把Q（2，﹣2）向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为（0，﹣2）， 当x＝0时，， ∴（0，﹣2）在C2上， ∴嘉嘉说法正确； ， 当x＝0时，y＝﹣2， ∴， 过定点（0，﹣2）， ∴淇淇说法正确； （3）①当t＝4时，， ∴顶点P（4，6）， 而Q（2，﹣2）， 设PQ为y＝ex+f， ∴， 解得， ∴PQ为y＝4x﹣10； ②∵P（4，6）， ∴P到x轴的距离为6， ∴l与C2交点的纵坐标为﹣6， 当时（等于6两直线重合不符合题意）， （x﹣4）2＝24， ∴， ∵直线PQ的解析式为y＝4x﹣10， 当y＝﹣6时，﹣6＝4x﹣10， 解得x＝1， y＝4x﹣10＝0时，x， 设l与x轴交点横坐标为x， 则1﹣（4﹣2）， 解得， 此时直线l与x轴交点的横坐标为； （4+2）﹣1＝x， 解得， 此时直线l与x轴交点的横坐标为． 综上，直线l与x轴交点的横坐标为或； （4）∵，， ∴C2是由C1通过旋转180°，再平移得到的，两个函数图象的形状相同， 如图，连接MN交PQ于点L，四边形MPNQ是平行四边形． 当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d， ∵Q（2，﹣2），P（t，）， ∴L的横坐标为，，， ∴L的横坐标为， ∴， 解得n＝2+t﹣m． 29．【答案】（1）见解析； （2）①∠CBD＝90°，x＝13； ②或； （3）． 【解答】（1）证明：∵将线段MA绕点M顺时针旋转n° （0＜n≤180）得到MA′， ∴A′M＝AM， ∵∠A′MA的平分线MP所在的直线交折线AB﹣BC于点P， ∴∠A′MP＝∠AMP， ∵PM＝PM， ∴△A′MP≌△AMP（SAS）， ∴A′P＝AP； （2）解：①∵AB＝8，DA＝6，∠A＝90°， ∴BD10， 又∵，CD＝12， ∴BD2+BC2＝100+44＝144，CD2＝144， ∴BD2+BC2＝CD2， ∴∠CBD＝90°； 如图2所示，当n＝180时，设MP交BD与点N． ∵PM平分∠A′MA．∠PMA＝90°， ∴PM∥AB， ∴△DNM∽△DBA， ∴， ∵DM＝2，DA＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠PBN＝∠NMD＝90°，∠PNB＝∠DNM， ∴△PBN∽△DMN， ∴，即 ， ∴PB＝5， ∴x＝AB+PB＝8+5＝13． ②如图所示，当P点在AB上时，PQ＝2，∠A′MP＝∠AMP， ∴AB＝8，DA＝6，∠A＝90°， ∴， ∴， ∴BP， ∴， ∴tan∠AMP， 如图所示，当P在BC上时，则PB＝2，过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H， ∵∠PQB＝∠CBD＝∠DAB＝90°， ∴∠QPB＝90°﹣∠PBQ＝∠DBA， ∴△PQB∽△BAD， ∴，即 ， ∴，， ∴， ∵PQ⊥AB，DA⊥AB， ∴PQ∥AD， ∴△HPQ∽△HMA， ∴， ∴， 解得：， ∴tan∠AMP＝tan∠QPH， 综上所述，tan∠A′MP的值为或； （3）解：∵当0＜x≤8时， ∴P在AB上， 如图所示，过点A′作A′F⊥AD于点F，过点P作PE⊥A′F于点E，则四边形AFEP是矩形， 由△A′PE∽△MA'F， ∴， ∵A′P＝AP＝x，MA′＝MA＝4，设 A′F＝y，PE＝h， 即 ∴，4（x﹣y）＝x（h﹣4）， ∴， 整理得 ， 即点A′到直线AB的距离为． 解法二：连接AA′交PM于点G，过点A′作A′H⊥AB于点H． ∵MA＝MA′，∠PMA＝∠PMA′， ∴PM⊥AA′，GA＝GA′， ∵AP＝x，AM＝4， ∴PM， ∴AG， ∴AA′＝2AG， ∵PG＝PA•coS∠APM， ∵PA•A′H•AA′•PG， ∴A′H． 30．【答案】（1）10； （2）见解析； （3）见解析； （4）①； ②2． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵AB＝1，AD＝4， ∴AB＝CD＝1，AD＝BC＝4， ∴矩形ABCD的周长为2（AB+AD）＝2×（1+4）＝10， 故答案为：10； （2）解：如图所示，以点E为圆心EO为半径画弧，交BC于点M，延长MO交AD于点N，线段MN即为所求， ∵EF⊥BC， ∴∠BEF＝90°， ∵EM＝EO， ∴△EOM是等腰直角三角形， ∴∠OME＝45°， ∵矩形ABCD的对角线交于点O， ∴AO＝CO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠AON＝∠COM， 在△AON和△COM中， ， ∴△AON≌△COM（ASA）， ∴AN＝CM， ∴DN＝BM， ∴AN+AB+BM＝CM+CD+DN， ∴直线MN把矩形ABCD分成周长相等的两部分； （3）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∵BG＝AB， ∴∠AGB＝45°， ∵AN＝MG， ∴四边形AGMN是平行四边形， ∴MN∥AG， ∴∠NMG＝∠AGB＝45°， ∵直线l是GC的垂直平分线， ∴GM＝CM， ∴GM＝CM＝AN， ∴BM＝BC﹣CM，DN＝AD﹣AN， ∴BM＝DN， ∴AN+AB+BM＝CM+CD+DN， ∴MN把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， ∴直线MN符合要求； （4）解：①如图所示，过点H作HG⊥BC，连接AC交PQ于点O，过点P作PK⊥BC于点K，过点O作OT⊥BC， ∵四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，则点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点， ∴点O是AC的中点， ∴， ∴AP＝CQ，PD＝BQ，AB＝DC＝PK＝1， ∵∠PQC＝45°， ∴△PQK是等腰直角三角形， ∴PK＝QK＝1， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠APQ＝∠CQP＝45°， 在△AOP和△COQ中， ， ∴△AOP≌△COQ（AAS）， ∴，OT＝QT， ∴CQ＝CT+QT＝2， ∴BQ＝BC﹣CQ＝4， ∵BH⊥PQ于点H，∠BQH＝∠PQC＝45°， ∴∠BHQ＝90°， ∴△BHQ是等腰直角三角形， ∴HG＝GQBQ，， ∴； ②如图所示，连接BD交PQ于点O， ∵PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， ∴点O为BD和PQ的中点， ∵BH⊥PQ， ∴点H在以BO为直径的⊙L上，当CH与⊙L相切时，∠BCH最大， ∵AB＝1，AD＝4， ∴， ∴， ∴， 过点L作LT⊥BC， ∴∠BTL＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴TL∥CD， 则△BLT∽△BDC， ∴， ∴， ∴BT， ∴CT＝BC﹣BT＝4﹣1＝3， ∴， ∵CH是⊙L的切线， ∴∠CHL＝90°， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $