题号猜押08 河北中考数学23+24题几何图形平移问题，几何图形折叠问题，几何图形旋转问题，二次函数实际应用，二次函数图像变换（解答题）（河北专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押08河北中考数学23+24题（解答题） 考点1 几何图形平移问题 1.（2026·河北石家庄桥西区·一模）如图1，在平行四边形中，，，点F为的中点，过点F作于E，． （1）求的长； （2）如图2，以为直角边构造，，斜边交于点P，． ①求的长； ②的外心为O，求点O与点A之间的距离； ③将向右平移，点E平移到点B时停止，当以为直径的圆与平行四边形的边相切时，直接写出平移的距离． 考点2 几何图形折叠问题 1.（2026·河北廊坊广阳区·一模）综合与实践 【问题情境】在数学课上，老师给出矩形纸片（，），让同学们在纸片中作出一个的角． 【操作一】甲组同学利用折叠：如图1，把矩形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕．再一次折叠纸片，使点A落在上的点E处． （1）的长为_____，的度数为_____； （2）连接．若，求的值； 【操作二】 （3）乙组同学利用尺规，根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”来得到的角：如图2，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点O，连接，． 请你在图2中补全作图，并在矩形纸片中找出一点K，使，在图2的作图中，可画出_____（填“1”“2”或“无数”）个满足条件的； 【折叠拓展】 （4）甲组同学连接图1中的，并将剪下来，点G在边上，点H在边上，将沿直线折叠，使点A落在点处，如图3、图4所示． 在图3中，点H与点E重合，阴影部分的周长为_____． （5）如图4，点P，Q在边上，且，点落在线段上（包括端点）若，，直接写出y与m之间的关系式，并写出m的取值范围． 2.（2026·河北邯郸临漳·一模）综合与实践 【情境】在矩形中，点P是边上一点（不与点A，D重合），且，，设的长为x． 【探究】将矩形对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，展开后得到折痕，连接． （1）如图1，将矩形沿折叠，使点A的对应点落在边上，求x； （2）如图2，将矩形沿折叠，使点A的对应点落在折痕上，求x； （3）【操作】当时，将矩形沿过点P的直线折叠，使点A的对应点为． ①如图3，若点落在边上，用尺规作图作出直线； ②在图4中，用尺规作图作出面积最大的，并求出这个最大面积； （说明：均保留作图痕迹，不写作法） （4）[拓展]在（3）的条件下，直接写出点B到点之间距离的最小值． 考点3 几何图形旋转问题 1.（2026·河北廊坊广阳区·一模） 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 2.【新考法】（2026·河北石家庄高新区·一模） 如图1，在中，，，，以为直径向左侧作半圆O，交斜边于点D． （1）______，______，求图1中阴影部分的面积； （2）如图2，将半圆O（包含直径）沿着射线方向平移得到半圆，直径记作，当半圆和直线相切时，求半圆O平移的距离； （3）如图3，在（2）的条件下将半圆绕着点逆时针旋转得到半圆，直径记作，设旋转角度为（）． ①当点到直线AC的距离最大时，求的值； ②如图4，记半圆和直径构成的封闭图形为W，斜边的中点为M，当点M落在封闭图形W内（不包括边界），直接写出的取值范围．（参考数据：，） 考点4 二次函数实际应用 1.（2026·河北石家庄桥西区·一模）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行跳台跳水训练，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳台长为6米，距离水面的高为5米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）直接写出起跳点A的坐标； （2）当时． ①求这条抛物线的表达式； ②求运动员落水点与起跳点的水平距离； （3）如图，米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 2.【新考法】（2026·河北张家口·摸底）在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图像经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． （1）求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式； （2）在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度． （3）在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； （4）在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值． 考点5 二次函数图像变换 1.【新考法】（2026·河北石家庄裕华区 ·一模）如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． （1）求a的值及顶点D的坐标； （2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为E，抛物线与x轴的交点为G，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 2.（2026·河北廊坊广阳区·一模）已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线． （1）求出的对称轴及的值； （2）当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； （3）如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的横坐标． 3.【新考法】（2026·河北邯郸邯山区·摸底）如图，抛物线与x轴相交于点，顶点为点D． （1）求抛物线P的解析式和点D的坐标． （2）在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线P在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为G，以点B为中心把该胶片旋转，得到矩形以及对应的图象． ①求旋转过程中G扫过的面积S； ②通过计算，判断抛物线P与在矩形的内部（含边界）的公共点的个数． 4.（2026·河北邯郸临漳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L的顶点P总满足其纵坐标比它的横坐标大1个单位长度，且当顶点P为时，L与y轴的交点为．x轴上有一点M，且点M的横坐标总是点P横坐标的一半，过点M作线段轴，且点N在x轴上方，．线段与L的交点为Q．设点M的横坐标为t． （1）当时，求抛物线L的函数表达式； （2）当点M与点Q重合时，求点M的坐标； （3）当点Q恰好是线段的三等分点时，直接写出t的整数值； （4）下面是关于L的两个结论： 甲：L与直线的交点会沿直线MN向下无限延伸． 乙：L与直线的交点有一个最低点． 请你判断哪个结论是正确的？并通过计算或推理说明理由． 1.（2026·河北石家庄二十八中·一模）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形， （1）将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____． （2）纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． （3）如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长． 2.（2026·河北邢台第三中学·一模）【问题情境】 在探究活动中，李老师发给每名同学一矩形纸片，宽为，长为，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 【操作与发现】 嘉嘉在边上取一点，连接，将这个纸片沿翻折，使点的对应点落在边上，如图1所示． 琪琪在边上取一点，连接，将这个纸片沿翻折，使点的对应点落在边上，如图2所示． 慧慧将这个纸片沿翻折，点的对应点落在矩形外，如图3所示，连接，． 发现1：嘉嘉发现，图1中的线段与图2中的线段相等； 发现2：慧慧发现，图3中，是直角． ．．．．．． 【问题提出与解决】 （1）嘉嘉发现的与相等的结论是否正确？请你用所学的知识进行说明； （2）如图3，①证明；②求出的长． 【拓展延伸】 小刚受到探究过程的启发，提出新问题： （3）尺规作图：在图4所示的正方形的边上找一点，边上找一点，连接，使得四边形是长与宽的比为的矩形．（作图要求：保留作图痕迹，不写作法） 3.（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，是中线，是等边三角形，点，分别在直线，的上方，（，且），是的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）若． ①判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，，求证：． （2）若，，直接写出点与点距离的最大值． 4.（2026·河北唐山·一模）如图，已知在中，，，，点、分别在边、射线上，且，过点作，垂足为点，联结，以、为邻边作平行四边形，设，平行四边形的面积为． （1）当平行四边形为矩形时，求的正切值； （2）当点在内，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当过点且平行于的直线经过平行四边形一边的中点时，直接写出的值． 5.（2026·河北张家口·摸底） 综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，．点在边或边上运动，将沿直线折叠，点的对应点为，连接，与交于点． 请完成以下闯关任务： （1）第一关·初试锋芒 如图2，当点在边上且点恰好落在边上时，完成基础探究： ①直接写出：________，________； ②此时与的位置关系是________． （2）第二关·解锁规律 ①当点为边上任意一点时，与在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由． ②如图3，取的中点，连接，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．（参考数据：，，） （3）第三关·终极挑战 当到的距离为时，直接写出所有满足条件的点的坐标． 6.（2026·河北石家庄长安区·一模）如图，在中，，，，点在射线上（点不与点重合）；过点作，垂足为，以点为圆心，为半径在上方画半圆，交射线于点，两点（点在的左侧），设． （1）当点为中点时，求的值； （2）如图2，当点与点重合时，连接，求弧及弦的长； （3）当半圆与边无交点时，直接写出的取值范围．（参考数据：取，取，取） 7.（2026·河北唐山·模拟）如图，的半径为4，弦，弦，，且圆心O在弦，之间，点M是劣弧上任意一点，连接，将弦左下方的图形沿折叠，折叠后的图形记为G（阴影部分），设，（）． （1）若． ①求与之间的距离； ②当线段在G的内部（不含边界）时，确定的取值范围； （2）当线段与折叠后的所在圆相切时，且切点到弦中点的距离为1，直接写出折痕的长． 8.（2026·河北廊坊广阳区·一模）抛物线：（m为常数，）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为点P． （1）如图1，若点C的坐标为． ①求抛物线的函数解析式及点P的坐标； ②过点P作x轴的垂线，垂足为Q，与直线交于点M，求的长； （2）设点B到直线的距离为，点P到直线的距离为，，判断h是否为定值，如果是，求出h的值；如果不是，说明理由； （3）如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线与y轴交于点F，抛物线，相交于D，E两点，若四边形的面积为，直接写出m的值． 9.（2026·河北石家庄高新区·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，点C为抛物线W的顶点，且抛物线W过点A． （1）求A，B两点的坐标，并直接写出点C的坐标； （2）求抛物线W的解析式； （3）抛物线和W关于y轴对称，直线交抛物线于点A和点D，点A是否为线段的中点？请给予说明； （4）将抛物线W向右平移m个单位长度得到抛物线，若点，，均在抛物线上，当时，直接写出m的取值范围． 10.（2026·河北石家庄新华区·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． （1）求抛物线的表达式，并求出顶点坐标； （2）已知直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． ①C（ ， ）； ②当时，如图，直线与轴交于点，与直线x＝2交于点E，当抛物线与线段仅有一个交点时，求k的取值范围； ③过点C与垂直直线d交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．R为抛物线的对称轴上一点，射线，与x轴分别交于H，S．试探究：当m变化时，是否存在以为顶角的等腰，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 11.（2026·河北邢台第三中学·一模）已知，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． （1）抛物线的对称轴为直线_____（用含有的式子表示）； （2）若，函数值随着的增大而减小，求的取值范围； （3）如图，当时． ①将抛物线向左平移个单位长度后，当时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为6，请求出的值； ②点为第四象限内抛物线上的一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 12.（2026·河北张家口·一模）如图，抛物线经过点，顶点为．抛物线的顶点在上，与轴交于点，与交于点． （1）求的解析式，并用含的式子表示； （2）嘉嘉说：若，总经过一个定点．嘉嘉说得正确吗？若正确，求出这个点的坐标；若不正确，请说明理由； （3）若，与两个交点的对称中心在轴上，求的值； （4）若点和都在上，且，直接写出的取值范围． 13.（2026·河北唐山·一模）中国女排队员平时刻苦训练，掌握了纯熟的技能，在赛场上敢拼敢打，是国民的骄傲，为备战杭州亚运会，女排队员克服重重困难，进行封闭集训．已知排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． （1）若某队员第一次在O处正上方2米发球，当排球运行至离O的水平距离为6米时，到达最大高度2.8米． ①求排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式； ②这次所发的球能否过网________（填“能”或“否”）． （2）若该队员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问：该队员此次发球有没有出界？并说明理由． 14.（2026·河北石家庄·摸底）已知抛物线过和． （1）与之间的数量关系是_____； （2）若该抛物线开口向下，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标； （3）对于该抛物线上的两点，，设，当时，均有，请直接写出的取值范围； （4）在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上对称轴右侧的一点，过点作轴的平行线交直线于点，过点分别作轴的平行线交抛物线的对称轴于点．过点作的平行线交轴于点，当四边形在直线，直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，请直接写出点的横坐标的值． 15.（2026·河北石家庄长安区·一模）在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比它的横坐标的2倍还大1个单位长度，那么我们把这样的点叫做“好点”，如点和都是“好点”．如图，抛物线的顶点是“好点”，并且抛物线的开口方向和大小都不变．已知当顶点为时，与轴的交点为，直线与轴轴分别交于点，，设顶点的横坐标为． （1）当时，求与轴交点的坐标； （2）下面是关于的两个结论： 甲：与轴的交点有最高点． 乙：与轴的交点会沿轴的正半轴无限延伸． 请你判断哪个结论是正确的？并通过计算或推理说明理由． （3）若点在内部（不含边界），则对于上的点和点，比较与的大小； （4）当与线段只有一个公共点（含端点）时，直接写出的取值范围． 16.（2026·河北唐山·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线P：（b是常数）经过点，抛物线Q：． （1）求P的解析式及对称轴； （2）将P向上平移，使每次平移后的图象与x轴的左、右交点分别向左、右平移1个单位长度，设平移后抛物线的最高点与x轴的距离为d． ①当时，求平移的次数； ②当平移第n次后，求d（用含n的式子表示）． （3）将P按照（2）中的平移方式向上平移一次得到抛物线，Q恰好经过与x轴的左交点，与组成新函数L，当时，L的最小值为，最大值为，直接写出t的取值范围． 17.（2026·河北石家庄二十八中·一模） 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． （1）若点和都是相反点，则_____，_____． （2）小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式； （3）小芳在研究抛物线：时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”．请你帮她求出a，b的值． （4）在（3）的条件下将抛物线向上平移个单位得到抛物线，若上有两个“相反点”分别是，（其中，且） ①求m的值； ②当时，直接写出中y的最大值与最小值的差． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 题号猜押08河北中考数学23+2 押题预测 ◆考点1几何图形平移多问题 1.【小问1详解】 解：：点F为AD的中点， :AF=24AD=5, 4 在Rt△AEF中，tanA= 31 设EF=4x,AE=3x, 则(4x)2+(3x=52,得x=1, .EF=4; 【小问2详解】 解：①在RtAGEF中，GF=2, :FE⊥AB,∠GFE=90°， GF‖AE, .△GFP∽AEAP, GF PF 2 AE AP 3' PF=2; ②在Rt△GEF中，△GFE的外心是GE的中点O, 连接AO,作OQ⊥AB于Q, D G OE 1/63 上好每一堂课 4题（解答题） 可学科网·上好课 www.zxxk.com 在Rt△GEF中，由勾股定理得GE=2V5, ·OE=5, :GF‖AB, .∠G=∠GEQ, :tan∠GEg=tan∠G,又tan∠G= EF =2, GF :在Ra00E中，tan∠GEQ=02=2 OE 设00=2y,0E=y,则(2y2+y2=(V5) 解得y=1, OQ=2,QE=1, .AQ=2 由勾股定理得A0=2√2： ③由O得GP=2GE=45 5 当圆与AD边相切时，如图，过点O作OM‖GF,交AD于点M, D G B 则△GFP∽AOMP, GF GP 2 45 OM Op, 即 5 0w-号 作O'N⊥AD于点N,则ON=√5， 2/63 盖系一每环丁 学科网·上好课 www .zxxk.com :O'M‖AB, .∠NMO'=∠A, O'M= 0'W55 sin A 4 :平移的距离00=5V5_1-5V5-2 424 当圆与BC边相切时，如图，∠O'RN=∠A 同理，OR= 0'W55 sin A 4 :平移的距离00=6-5V5_122-5V5 42 4 G E B 综上，平移的距离为5V5-2或2-5W5 4 4 ~考点2几何图形折叠问题 1.【小问1详解】 解：由折叠可知，BE=AB=2,BM=AB=1,∠BME=90, 在RI△BME中，sin∠BEM=BM-,则∠BEM=30°： BE 2 【小问2详解】 解：如图1，作E1⊥BC,垂足为I, 图1 3/63 邋系一每举丁 西学科网·上好课 www zxxk com 由折叠可知，BE=AB=2,BM=}AB=1,∠BME=9O, 在Rt△BME中，sin∠BEM= EBE=7,则LBEM=30°， ∴.∠MBE=90°-∠BEM=60°， 矩形ABCD, ∴.∠ABC=90°， .∴.∠EBI=90°-∠MBE=30°， 在Rt△BIE中，EI=BE sin.30°=1，BI=BE cos.30°=√3， .BC= 5v5 2 IC=BC-BI=33 2 在RtAEIC中， tan∠BCE=EI-12V5 IC 33 9 2 【小问3详解】 解：如图2，即为所求， D 图2 以点O为圆心，OA为半径作圆，在与矩形纸片ABCD相交弧上任选一点K, 由图可知，OA=OB=AB,即AOB是等边三角形， .∠AOB=60°， 六∠AKB=∠A0B=30°， 2 即点K可以是⊙O与矩形纸片ABCD相交弧上的任意一点， 故可以画出无数个满足条件的∠AKB; 【小问4详解】 4/63 上好每一堂课 连接AK、BK即可； 命学科网·上好课 www zxxk com 解：由折叠可知，AG=AG,AE=AE, 由(2)知，∠MBE=60°，即∠ABE=60°， .'BE AB=2, .△ABE是等边三角形， ∴.AE=2, ∴，阴影部分的周长为：BE+AE+AG+BG=BE+AE+BA=2+2+2= 【小问5详解】 解：由折叠可知，AG=AG,AH=AH,∠GA'H=∠A, .A'B mA'E,A'B+A'E =BE =2, 4'B=2m m+1 A'E=2 m+1 则 C.aG4=BG+AG+A'B=BG+AG+AB=2+2m +1 C.E=AH+EH+AE=AH+EH+AE=2+-2-2m+4 m+1m+1 由(4)知，△ABE是等边三角形， ∴.∠B=∠E=∠A=60°，GAH=∠A=60°， .'∠B+∠BGA'=∠GAH+∠HAE, ∴.∠BGA=∠HAE, ∴.△BGA∽△EAH, 4m+2 AG C BG4 m+l 4m+22m+1 ·AH C.EAH 2m+42m+4m+2 m+1 .AG=yAH, y=4G=4G-2m+1,即y=2m+1 AH AH m+2 m+2 .PO=2BP=20E,PO+BP+OE BE=2, .P0=1,BP=QE=2' 5/63 上好每一堂课 6; 4m+2 二 m+1 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 A'B BP 当A与点P重合时，A'B=BP,则m= 21 1=3 AE PE 1+ 2 1 当A与点Q重合时，A'B=BQ,则m= 4'B BO 1+ 2=3, A'E OE 1 2 点落在线段P?上（包括端点）， :≤m≤3， 3 m+2’其中sm≤3. 2m+1 综上可知：y= 3 2.【小问1详解】 解：由矩形和折叠可得，CD=AB=AB=5,BC=AD=4, ·在Rt△BCA中，AC=VAB2-BC2=3, .AD=DC-AC=5-3=2, PA=PA=x,DP=DA-PA =4-x, .在Rt△PDA中，DP2+AD2=PA2,即(4-x2+22=x2, 解得x=2 5 【小问2详解】 解：由题意得，EF=5,BF=AE=2, 由折叠可得，AB=AB=5, 在Rt△BFA,中，FA,=VA,B2-BF2=VS2-22=√21， ∴.A2E=EF-FA2=5-V21, PA=PA,=x,PE EA-PA 2-x, 由题意可得，∠PEA,=∠A,FB=∠PAB=90°， .∠EPA,+∠PAE=∠PA,E+∠BA,F=90°， .∠EPA2=∠BAF, 6/63 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△PEA,△AFB, EAPA ,即5-V21-,解得 25-5V21 FB AB 2 5 2 【小问3详解】 解：①如图1，直线1即为所求； 图1 ②如图2，△ADA,即为所作； 1 B 图2 由题意可得，PA=PA,=3,当PA,⊥AD时，△ADA,面积最大， :最大面积为S=方4D-P4=方×43=6： 【小问4详解】 解：由题意可得，在折叠过程中，总有PA,=PA=3, 点A在以点P为圆心，半径为3的圆上， 故当点P,A,和点B在同一条直线上时，点B到点A,之间距离最小，如图3， 7/63 学科网·上好课 www.zxxk.com D》 B 图3 此时PB=VPA2+AB2=V32+52=V34, .BA的最小值=PB-PA,=V34-3. ◆考点3几何图形旋转问题 1.【详解】解：(1)如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M, D 由旋转得AD=DE,∠ADE=90°， ∴.∠ADC+∠EDM=90°， ∠ACB=90°， .∠ACD=∠DME,∠ADC+∠CAD=90°， .∠CAD=∠EDM, ∴.△ACD≌△DME, .CD=EM,AC=DM, AC=BC, .BM=DM-BD=AC-BD=BC-BD=CD, ∴.BM=EM, ,EM⊥CB, ∴.BE=V2EM=V2CD, 故答案为：BE=√2CD: 8/63 邋系一每举丁 学科网·上好课 www .zxxk.com (2)补全图形如图： ch M D B E BE=√2CD,理由如下： 过点E作EM⊥BC交BC于点M, 由旋转得AD=DE,∠ADE=90°， ∴.∠ADC+∠EDM=90°， ,∠ACB=90°， ∴.∠ACD=∠DME,∠ADC+∠CAD=90°， ∴.∠CAD=∠EDM, ∴.△ACD≌△DME, ∴.CD=EM,AC=DM, AC=BC, .BM=BC-CM=DM-CM=CD, ∴.BM=EM, ,EM⊥CB, ∴.BE=√2EM=V2CD; (3)如图，当D在CB的延长线上时，过点E作EM⊥CB于点 A B D M 由(2)得DM=AC=1,EM=CD=2, 9/63 上好每一堂课 M,连接CE, 可学科网·上好课 ∴.CM=CD+DM=3, ∴.CE=VCM2+EM2=V13, ∴.sin∠ECD= EM_22W13 CE 1313 当D在BC的延长线上时，过点E作EM⊥CB于点M,如图， M B E 同理可得：△ACD≌△DME, ∴.DM=AC=1,ME=CD=2, ∴.CM=2-1=1, ∴.CE=V22+12=V5, ·sin∠ECD=EM=2-2V5 CE5=5 综上：sin∠ECD-2E或sin∠EcD=25 13 2.【小问1详解】 解：，∠ABC=90°，LBAC=60°， ∴.∠ACB=90°-∠BAC=30°. .AB=4cm, .AC=24B=8cm. .BC=AC2-AB2 =43cm. 连接DO,作OE⊥CD于点E 10/63 上好每一堂课 连接CE, 学科网·上好课 WW A B BC为直径，O为圆心， :.Co=DO=IBC=2/3cm. ● ∴.∠ACB=∠CDO=30° OE⊥CD, ∠CE0=90°，E0=}c0=V5cm .CD=2CE =2CO2-E02 =6cm. .∠ACB+∠CDO+∠COD=180°， ∴.∠COD=180°-∠ACB-∠CDO=120° S阴影都分=S扇形CD0-S,cD0 2025x6x5 360 =4元-3V5(cm2). 【小问2详解】 解：作F0,⊥CO交A,C,于点F, BB ∴∠COF=∠FO,B,=90°. 由(1)知C0=2√3cm,∠ACB=30°. v Zxxk com 11/63 卷系一每并丁 学科网·上好课 www zxxk com .半圆O(包含直径BC)沿着射线AB方向平移得到半圆O: ∴.C,O=C0=2V3cm,∠ABC=∠AB,C=90°，∠FC,0,=30°. :tan∠ACB= FO 3 CO 3 .FO1= 5×25=2(cm :∠ABC=∠AB,C=∠FOB=909 ∴.四边形BBOO是矩形. ∴.BB,=FO=2cm. 即半圆O平移的距离为2cm. 【小问3详解】 解：在旋转过程中，点C,到直线AC的距离先越来越小，再越来越大( 离最大)，再越来越小. 当=0°时，过点C作CG⊥AC于点G,连接CC. B B 由(2)知，四边形BBOO是矩形 ∴.CG=1cm CC=2cm,CC,=BB,=2cm,CC,∥BB, ∴.∠GCC=∠BAC=60°. ∴.GC=lcm,GC,=√3cm. 当BC,⊥AC时，设垂足为H AB,=AB+BB1=4+2=6cm,∠BAC=60°. 12/63 上好每一堂课 当BC,⊥AC时，点C,到AC的距 函学科网·上好课 www zxxk.com AH =4B,=3cm,B =3AH =3V3cm :C,H B C:-B,H =4V3-33=3(cm) 此时∠AB,C,=30° a=90°-30°=600 .GC=CH, ∴.当点C,到直线AC的距离最大时，的值为0°或60°， ②10°<<49°. 当半圆C,经过点M时，过点M作MN⊥AB于点N. 在Rt△AMN中，AB=4cm,∠BAC=60°. .AN =2cm,MN =23cm. 在Rt△B,MN中，B,N=6-2=4cm. B,M=V42+(23'=2V7(cm tan∠AB,M= MW25√5 B,N42 ∴.∠ABM≈41°. BC2为直径， ∴.∠B,MC,=90°. 2√7√21 ∴.cos∠MB,C2= 436 .∠MBC,≈39°. 13/63 卷系一每并丁 可学科网·上好课 www zxxk.com ∴.0=90°-41°-39°=10°. 当直径B,C,过点M时 6 =90°-41°=49° .10°<<49°. ◆考点4二次函数实际应用 1.【小问1详解】 解：：跳台AB长为6米，高BC为5米， 起跳点A的坐标为A6,5; 【小问2详解】 解：①根据题意，可得抛物线顶点坐标M(7,k),A6,5), 11 又k= 2 可设抛物线表达式为：y=a(x-7列2+1 :点A6,5), 则5=a16-7+号，解得：a= 2 做找表达式yx一-户+ 14/63 卷系一每并丁 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②根据题意，5物线表达式为：yx-7+号 令y=0,则0=x-7+}将：名=7+，号=7-（会去） 7+V11-6=1+11, ∴运动员落水点与起跳点的水平距离为1+V工米： 【小问3详解】 解：根据题意，抛物线表达式为：y=ax-7+k, 将点A6,5代入可得：a+k=5,即a=5-k, 若跳水运动员在区域EF内（含点E,F)入水， 则当x=10时，y=9a+≥0，即95-)+k≥0，解得：k≤45 8 当x=1时，y=16a+k≤0，即165-k)+k≤0，解得：k≥16， 6≤k≤45 故 3 8 2.【小问1详解】 解：由题意可知：无人机甲的飞行高度为二次函数，已知顶点M(10,20), 设顶点式y年=ax-10)+20. 1 代入点0(0,0)得：0=a0-10+20,解得：a=-三 5 1 所以y年=- -10+20=2+4x,即=2+4x0≤x≤20 5 【小问2详解】 1050 解：由题意可知：无人机乙下降过程是一次函数，且经过顶点 3’3 B(20,0) 设无人机乙下降过程的函数解析式为：y=kx+b ≤x≤20 3 15/63 函学科网·上好课 www zxxk.com _10k+b 50 3 [k=-1 解得： 1b=20 0=20k+b ∴.无人机乙下降过程的函数解析式为：y=-x+20 10≤x≤20 X2+4x y=- x=5 x=20 联立 解得： 或 (不合题意，舍去)； y=-x+20 y=15 y=0 ∴在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度 【小问3详解】 解：垂直距离d=y甲一z,分两段讨论： ①乙起飞段：0≤x≤ 0时，易得：5x -+s-++到 5 .对称轴为x=一 2 12 令--x2-x=0,解得：x=0或x=-5, 如图，当0≤x ≤0时，d随x的增大而增大， 10 .d的最大值为 50 ②乙下降段： 10≤x≤20时， 号+0}-2到到 16/63 上好每一堂课 为15米. 可学科网·上好课 www zxxk com 45=0,解得：x=5或x=20, .对称轴为x= 25 45 4 10 45 则当 ≤x≤20时，x= 25 时，d最大值= 4 x=12.5 20x 综上，两架无人机的最大垂直距离45 【小问4详解】 解：由乙无人机过(0,0)和t,0),最高点纵坐标不变20， ∴.10≤t≤20， 段w=a(红-小，现恢坐标=，代入质立（行20月 2 80 y甲=- t(x-=-80280 2x+ 一X t 令y甲=yz, t80+t+Vt(t+160) t80+t x2+0x三-x+20,解得：X三 160 .当x=x时，第一处处于高度相同；当x=x,时第二次处于高度相同， 17/63 上好每一堂课 Vi(t+160) 160 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 “最优垂直距离”指在两机首次、第二次同高的时间x的取值范围为x,<x<x2,最大垂直距离的最小值， 且y甲>yz, 72 tt+160) d=y甲-yz= x-(-x+20)=-80xt+80) t 12 160 320 tt+80) :< <X2’ 160 对架无人机的最大垂直距离d-l60=+1=1+802-20。 3203202320 ∴.抛物线开口方向向上，对称轴为t=-80,即当t>-80时，dmx随t的增大而增大， .10≤t≤20， :当1=10时，dn有最小值，10+802-20=85 320 16 ∴当t=10秒时，最优垂直距离最小，最小值为 5米 16 ◆考点5二次函数图像变换 1.【小问1详解】 解：由y=ax2+6ax+9a-8,可得y=a(x+3)2-8, .顶点D的坐标为-3，-8)， ,点B(2,0在抛物线C上， .可得0=a(2+3)2-8, 8 解得a= 25: 【小问2详解】 解：对于抛物线C:y=ar2+6ax+9a-8,由(1)可知，a= 25 令y=0,可得5x2+6x +9x8-8=0, 25 25 整理可得x2+6x-16=0, 解得x1=—8,x2=2, :点A在点B的左侧， 18/63 品学科网·上好课 ∴.A-8,0,B(2,0； 如下图，连接DE,作DN⊥x轴于H,作EM⊥x轴于M, E A B M D 图1 D-3,-8), ∴.W-3,0, 根据题意，点D,E关于点B(2,0)成中心对称， .DE过点B,且DB=EB, 在△DBN和△EBM中， ∠DNB=∠EMB=90° ∠DBN=∠EBM, DB=EB ∴.△DBN≌EBM(AAS), ∴.EM=DN=8,BM=BN=5, 抛物线C的顶点E的坐标为(7,8)， :抛物线C由C绕点P旋转180°后得到， 8 ∴抛物线C的函数表达式为y=- (x-7)2+8; 25 小问3详解】 解：：抛物线C由C绕x轴上的点P旋转180°后得到， .顶点D,E关于点P成中心对称，由(2)知，点E的纵坐标 设点Em,8),如下图，作DH⊥x轴于H,EM⊥x轴于M, 19/63 上好每一堂课 为8， EN⊥DN于N, 学科网·上好课 www.zxxk com E GMF、 B 图2 ,旋转中心P在x轴上， ∴.FG=AB=2BH=10, .点H的坐标为-3,0)，点N的坐标为m,-8), 根据勾股定理得，EF2=82+52=89, 显然，△AEG、△BEG和△DEG不可能是直角三角形， 分情况讨论： ①当△AEF是直角三角形时，显然只能有∠AEF=90°， 根据勾股定理得，AE2=AM2+EM2=(m+8)2+82=m2+16m+128, AE2=AF2-EF2=(m+13)2-89=m2+26m+80, 24 .m2+16m+128=m2+26m+80,解得m= 0-m-o--0-+3-3---4- 9 点P的坐标为 10 ②当△BEF是直角三角形时，显然只能有∠BEF=90°， 根据勾股定理得： BE2=BM2+EM2=(m-2)2+82=m2-4m+68, BE2=BF2-EF2=(m+3)2-89=m2+6m-80, 六m-4m+68=m2+6m-80,解得：m=74 20/63 面学科网·上好课 www.zxx k com :0P=HP-oH=号MH-OH=m+3)-3=2m-3)=2 ar标为设， ③当△DEF是直角三角形时， DE2=EN2+DN2=162+(m+3)2=m2+6m+265, DF2=DH2+HF2=82+(m+8)2=m2+16m+128, )当∠DEF=90°时，DE2+EF2=DF2, 即m2+6m+265+89=m2+16m+128,解得m=1 5 .0p=m-3)=1×3-3)=49 25 ∴点P的坐标为 )当∠DFE=90°时，DF2+EF2=DE2, 即m2+16m+128+89=m2+6m+265, 24 解得m= 5 =5x24-3)=9 0P=2m-3)=2×(月 10 9 ∴.点P的坐标为 ,0 10 iii).DE>EN =16>EF, .∠EDF≠90° 综上所述，当抛物线C是抛物线C的勾股伴随同类函数时， 9 49。 59 点P的坐标为 50或00. 2.【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线x= 2a--1, 2a 当x=-1时，y=a-2a+4=5, 21/63 上好每一堂课 4 3人 59 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得a=-1; 【小问2详解】 解：由(1)知，抛物线的表达式为：y=-x2-2x+4, 当x=0时，y=4, 当x=t时，y=-t2-2t+4, .对称轴为直线x=-1,抛物线开口向下， ∴.当0≤x≤t时，y随x的增大而减小， ,当0≤x≤t时，函数的最大值是m,最小值是n, ∴.当x=0时，y取最大值m,当x=t时，y取最小值n, 即4=m,-t2-2t+4=n, .m-n=6, .4--t2-2t+4=6, 解得t=-1+V万，6，=-1-V万（负值舍去）， t=-1+V7; 【小问3详解】 解：①y=-x2-2x+4=-(x+1)2+5, 则C2:y=-x+1-2)+5-2=-x-1+3=-x2+2x+2, ②设点P(m,0(m<0),则点9(m,-2m-4),Mm,-m2-2m+4),Nm,-m2+2m+2）, PM=-m2-2m+4-0=m2+2m-4, 0N=-2m-4+m2-2m-2=m2-4m-6, 当PM=QN时，即m2+2m-4=m2-4m-6, 解得m=或= 成m-1-2或m-1+V个 (不合题意，舍去)， 2 ÷当PM=QN时，点P的横坐标为-。 或1-v21 31 2 22/63 学科网·上好课 www.zxx k.com 3.【小问1详解】 3 a-b+ 3 解：将A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+三得， 2 9a+3b+ a= 解得 2 b=1 3 抛物线P的解析式为y=二)x2+x+ 1 .y=- 2 .顶点D的坐标为(1,2)； 【小问2详解】 解：①如图，连接DD' D :D1,2),B(3,0 .DE=2,BE=3-1=2 .DE=BE :四边形DEBF是矩形 .四边形DEBF是正方形 :DE BE BF D F 2, 以点B为中心把该胶片旋转180°，得到矩形D'EBF 点D,B,D'共线，BF'=D'F'=2,∠BF'D'=90° :DB2=DE2+EB2=8 :旋转过程中G扫过的面积S=S扇形DD 180元×8=4元； 360 23/63 上好每一堂课 =0 3 =0 2 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②D1,2,B3,0) 由旋转的性质得，D'（5,-2) G所右越物浅的装达式为y=x--2 3 y=- 12 六联立抛物线P:y=x2+x+和G:y=x-5-235x≤5)得， 3 1 2+x+ 2 2 1 2x-5列2-2 整理得，x2-6x+9=0 :△=(-6)2-4x1×9=0 :抛物线P与G在矩形DEBF的内部（含边界)的公共点的个数为1. 4.【小问1详解】 解：根据题意，当抛物线L的顶点P为-2，-1)时， 设L的函数表达式为y=a(x+2)2-1,其中a≠0， 又此时L与y轴的交点为(0,3)， 3=a(0+2)2-1, 解得a=1, 当t=0时，顶点P为0，)，则此时L的函数表达式为y=x2+1; 【小问2详解】 解：由题意得P(2t,2t+1, :L的函数表达式为y=(x-2t)2+2t+1, 由题意得M(t,0),则点Q的坐标为t,t2+2t+1, 当点M与点Q重合时，有t2+2t+1=0, 解得t=t2=-1, ∴.M-1,0): 【小问3详解】 24/63 学科网·上好课 www.zxx k.co m 解：当点Q恰好是线段MN的三等分点时，Q(t,1)或(t,2), 当点g的坐标为(t,1)时，（t-2t)+2t+1=1, 解得t=0或t=-2; 当点9的坐标为t,2)时，(t-2t)2+2t+1=2, 解得t=-1±√2，不是整数，舍去： ∴.t的整数值为0或-2； 【小问4详解】 解：乙正确， 理由如下： 由(2)的解答可知，P(21,2t+1),L:y=(x-2t)2+2t+1, 当L与直线MN相交时，设交点为T, 则x=1时，点T的纵坐标y=(t-2)+2t+1=+2t+1=(t+1)2, y≥0，且当t=-1时，y取得最小值0， 即当t=-1时，L与直线MN的交点有一个最低点(-1,0)， ∴.乙正确. 通关特训 1.【小问1详解】 解：根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF; 由折叠的性质得：△ABE≌△AHE,四边形AHFG≌四边形DCFG ∴.△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFC 小S矩形AEFG= S。ABcD' .S矩形AErG:SABCD=l:2; 【小问2详解】 25/63 上好每一堂课 的面积， 6学科网·上好课 www zxxk com 解：四边形EFGH是矩形，EF=5,EH=12,∠FEH=90°， .FH=√EF2+EH2=V5+122=13, 由折叠的性质得：DH=NH,AH=HM,CF=FN, .CF=AH, .AD=DH+AH=HN+FN=FH=13; 【小问3详解】 解：①折法1中，如图4所示： D B G M 图4 由折叠的性质得：AD=BG,AE=BE= LAB=4,CF ∠FMC=90°， ,四边形EFMB是叠合正方形， ∴.BM=FM=4, .GM=CM=VCF2-FM2=V52-42=3, .AD=BG=BM-GM=1,BC=BM+CM=7; ②折法2中，如图5所示： D G H B 图5 由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=)梯形ABCD的面积， NH=CH,BM FM MC=MN, .GH=。CD=5, ,四边形EMHG是叠合正方形， 26/63 上好每一堂课 EOF=CD=5.GM=CM AE=BE=-AB=4,DG=NG, 2 6学科网·上好课 www.zxxk.com ∴.EM=GH=5,正方形EMHG的面积=52=25， ∠B=90°， ∴FM=BM=V52-42=3, 设AD=x,则MN=FM+FN=3+x, ,梯形ABCD的面积=二AD+BC)×8=2×25, .AD+BC= 25 25 ·BC= -x, MC BC-BM =25_ 2-3, MN MC, 25 .3+x= -x-3, 2 13 解得：x= 4 ,8c=251337 AD=13 244 2.【小问1详解】 解：嘉嘉发现的结论是正确的； 证明：由折叠知BA=BA'=20cm, .A'C=20V2-20(cm), 在图2中，∠C=90°，DA"=DA=20V2(cm）cm, 由勾股定理得：CA=VDA”-CD2=202)-202=20(cm), .BA"=20√2-20cm）, .A'C BA", 所以嘉嘉的结论是正确的； 【小问2详解】 解：①证明：如图，连接AC,AC与BD相交于点O,设CC'与BD相 27/63 上好每一堂课 交于点P,连接CO, 学科网·上好课 www .zxxk.com D B :四边形ABCD是矩形， .A0=C0, 由折叠得：CO=CO, ∴.A0=OC'=OC, ∴.∠OAC'=∠OCA,∠OCC'=∠OCC, 又∠CAC'+∠AC'C+∠ACC'=180°， .∠OAC'+∠OC'A+∠OCC'+∠OC'C=180°， ∴.2∠AC'0+∠CC'O=180°，即2∠AC'C=180°， .∠ACC=90°， .∠AC'C是直角. ②在Rt△BCD中，BC=20√2cm,CD=20cm, BD=BC+CD:(20)+202=203em. ∴.AC=BD=20W3cm, 由面积公式得： }8c-c0a0-.cp. .CP=BC.CD_202x20_206 BD 20W3 3(cm, 由折叠得CP=CP=20v6 cm, 3 .C'C=2CP= 40V6 cm 3 在Rta4C'C中，根据勾股定理：AC'=VAC2-CC=,(20V3 【小问3详解】 28/63 上好每一堂课 40v6 20W3 3 3 cm; 学科网·上好课 www.zxxk com 解：如图，即矩形BEFC为所求. 3.【小问1详解】 解：①EH=BD,且EH∥BD,理由如下： ,G是DE的中点， .DG=EG, 在△BDG和△HEG中， BG=GH ∠BGD=∠HGE, DG=EG ∴.△BDG≌△HEG(SAS), .EH=BD,∠DBG=∠EHG, .EH∥BD; ②证明：，∠ACB=90°，CD是中线， .CD=AD=BD, ,∠ABC=30°， .∴.∠A=180°-∠ACB-∠ABC=60°， ∴.△ACD是等边三角形， ∴.∠ADC=60°， .∠BDC=180°-∠ADC=120°， .∴.∠BDG=∠BDC+∠CDE=120°+a, 由①可知，△BDG≌△HEG, ∴.∠HEG=∠BDG=120°+o,EH=BD=CD, △DEF是等边三角形， .∠FDE=∠DEF=60°，DF=EF, .∠FDC=∠FDE+∠CDE=60°+a,∠FEH=∠HEG- .∠FDC=∠FEH, 29/63 上好每一堂课 ∠DEF=60°+， 学科网·上好课 www zxxk.com 在△FDC和△FEH中， DF =EF ∠FDC=∠FEH, CD=EH ∴.△FDC≌AFEH(SAS）, ..FC=FH; 【小问2详解】 解：如图，连接CH, 由(1)可知，△FDC≌△FEH, ∴.∠DFC=∠EFH,FC=FH, △DEF是等边三角形， .∠DFE=∠DFC+∠CFE=60°，DF=DE=1, .∠CFH=∠CFE+∠EFH=∠CFE+∠DFC=6O°， .△CFH是等边三角形， .CH=CF, 在RIAABC中，AC=BC·tan∠ABC=3×tan30°=V3, ,△ACD是等边三角形， .CD=AC=3, ,DF+CD≥CF, ∴.当F、D、C三点共线时，CF取得最大值√3+1，此时=180 、 ∴.CH的最大值为V3+1. 4.【详解】(1)在Rt△ACB中，，∠C=90°，AC=8,BC=6 ∴.AB=VAC2+BC2=V82+62=10, 30/63 上好每一堂课 ∠FDE=120°，符合题意， 可学科网·上好课 www.zxxk.com 当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB. 3 PA PM 9 ∴.tan∠PQM= PO -PA 25 (2)如图1中，延长QN交AB于K. 图1 ,'∠C=90°，AC=8,BC=6,AB=10 AB10亏，cosA-sinB=AC=84 .'sinA-cosB=BC6 3 AB105 PxBQ=6-QN=PM=APsinA AM=APCOsA-KQ- 4 5 BK=BQcosB-3BQ=I8-3江， 5 MK=AB-AM-BK=32-* 5 .'QN<QK, 3x<24-4 x2 y=PMMK=2xx32-x-96x-3r(0≤x<24). 5+ 5 25 1 (3)①如图3-1中，当平分N时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于 线于H,EG⊥BC于G. 31/63 上好每一堂课 4 BQsinB-BQ= 24-4x 5 5 E,作NH⊥CB交CB的延长 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M D C G Q B H 图3-1 ,PD∥BC,EN∥BC, ..PD//NE, PE∥DN, ∴.四边形PDNE是平行四边形， .'.PE=DN. .'DN=DM,PQ=MN, .'.PE=EQ, .EG∥PC, ∴.CG=GQ, ∴EG=2PC, .四边形EGHN是矩形， ,PM⊥AB ∴.QN⊥AB 则∠ABC+∠NQH=∠NQH+∠QNH=90° ∴.∠ABC=∠QNH ..NH=EG=NOCOS ZONH-NQCOSZABCNOS3 5P42×子×-98x 25x=·(8x), 9 200 解得x= 43 ②如图3-2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H. 32/63 学科网·上好课 www zxxk.com M H 图3-2 .'DH=PC, 8x=3 400 解得x= 59 200 400 综上所述，满足条件x的值为 或 43 59 5.【小问1详解】 解：①，四边形ABCD是矩形， ∴.DC=AB=6,BC=AD=10,∠ABC=∠DCB=90°， 由折叠可知，AD'=AD=10,D'E=DE, 在Rt△ABD'中，BD'=VAD2-AB2=V102-62=8, .CD'=BC-BD'=10-8=2, 设D'E=DE=x,则EC=DC-DE=6-x, 在Rt△CED'中，CD2+EC2=D'E2, 10 即22+(6-x)2=x2,解得x= 3 即DE=10」 3 ②由折叠可知，AE是DD'的对称轴，即AE垂直平分DD', AE⊥DD': 【小问2详解】 解：①存在，AE⊥DD'仍然成立； 理由：由折叠可知，点D与点D'关于直线AE对称， 根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线， 33/63 卷系一每并丁 丽学科网·上好课 www.zxx k co m :AE垂直平分DD', AE⊥DD'; ②由①知，AE⊥DD', .∠A0D=90°， :M是AD的中点， .MO=AM=÷AD=5, ∴.∠MAO=∠MOA, .MO=5,是定值， ∴.点0的运动轨迹为以M为圆心，半径为5的一段圆弧， 当点E在点D时，点O与点D重合；当点E运动到点C时，如图所示， B C(Ex 此时tan∠MA0=DC=6 =0.6, AD 10 .∠MAO=31°， ∴.∠DMO=∠MAO+∠MOA=2∠MAO=62°， 二点0的运动路径长为62π×5=31z 18018 【小问3详解】 解：当点E在边DC上，D'在BC上方时，如图所示，过点D'作HN∥BC 作D'K⊥BC于K,则四边形BHD'K、CKD'N、BHNC是矩形， H升--- B KC 当D'到BC的距离为2时，即D'K=2, ∴.BH=NC=D'K=2, .AH=AB-BH=6-2=4, 34/63 上好每一堂课 交AB于H,交DC于N, 丽学科网·上好课 www zxxk com HD'=VAD2-AH2=V102-42=2√21， .D'N HN-HD'=BC-HD'=10-221, 设D'E=DE=x,则EN=DC-NC-DE=6-2-x=4-x, 在Rt△END'中，D'N2+EN2=D'E2, 即10-221+(4-x2=x2,解得x=25-5√21， 即DE=25-5√21， .EC=DC-DE=6-25-5V21)=5V21-19, .E10,5V21-19; 当点E在边DC上，D'到BC下方时，如图所示，过点D'作HN∥BC交 D'K⊥BC于K,则四边形BHD'K、CKDN、BHNC是矩形， H 当D'到BC的距离为2时，即D'K=2, ∴.BH=NC=D'K=2, .AH=AB+BH=6+2=8, .HD'=VAD2-AH2=V102-82=6, .D'N=HN-HD'=BC-HD'=10-6=4, 设D'E=DE=x,则EN=DC+NC-DE=6+2-x=8-x, 在Rt△END'中，D'N2+EN2=D'E2, 即42+(8-x)2=x2,解得x=5, 即DE=5, ∴.EC=DC-DE=6-5=1, .E10,1; 当点E在边BC上，如图所示，过点D'作DN∥x轴交y轴于H,作DK 35/63 上好每一堂课 AB于H,交DC于N,作 ⊥x轴于K,过点E作 面学科网·上好课 www .zxxk.com EN⊥D'N于N,则四边形BHD'K、BHNE、END'K是矩形， 如图，当点D'在第三象限时， D B C D -N 当D'到BC的距离为2时，即D'K=2, .BH=NE=D'K=2, .AH=AB+BH=6+2=8, .HD'=VAD2-AH2=V102-82=6, 设EC=x,则HN=BE=BC-EC=10-x, ∴.D'N=HD'+HW=6+10-x=16-x,D'E2=DE2=EC2+DC2=x2+62=x2+36 在Rt△END'中，D'N2+NE2=D'E2, 即16-x2+22=x2+36,解得x=7, .BE=10-x=10-7=3, ∴.E3,0； 如图，当点D'在第二象限时， H D E 当D'到BC的距离为2时，即D'K=2, ∴.BH=NE=D'K=2, .AH=AB-BH=6-2=4, .HD'=VAD2-AH2=V102-42=2√21， 设EC=x,则HN=BE=BC-EC=10-x, 36/63 卷系一每举丁 可学科网·上好课 www zxxk com ..D'N=HD'+HN=221+10-x,D'E2=DE2=EC2+DC2=x2 在Rt△END'中，D'W2+NE2=D'E2, 即(221+10-x}+2=2+36, 解得x=3V21-5, BE=10-x=15-3V21, E15-3V21,0: 综上，满足条件的点E的坐标为10,5V21-19或(10,1或(3,0)或15 6.【小问1详解】 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,CB=6, AC=VAB2-BC2=V102-62=8. ,点O为AC中点， A0=4C=4. .OD⊥AB, .·.∠ADO=90°. ∴.∠ADO=∠ACB. :∠A=∠A, .△AOD∽△ABC. OD A0 ,x4 BCAB,即610 12 .X= Γ5 【小问2详解】 解：当点O与点C重合时，OD为AB边的高， Sac=7AB-0D=4ACBC,即：10x=6×8, 24 ∴.X= 51 37/63 上好每一堂课 +62=x2+36, 321,0 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 tanA= BC 6 3 3 Ac84,tan37° ∴.∠A=37°， ∴.∠ACD=90°-37°=53°， ∠FCD=180°-53°=127°. 24 127π× 弧DF的长度为： 5254 π 180 75 过点D作DG⊥AC于G(如图)， B D C(O) .∴∠DGO=∠ACB=90° ∴.∠DCG+∠DCB=∠DCB+∠B=90°， :ZDCG Z B ∴.△DCG∽△ABC. DC DG GC 24 AB AC BC ,即5_DGGC. 1086 96 72 ..DG 25’GC= 25 72.24192 ∴.GF=GC+CF= 25525 ∴.在Rt△DGF中，DF=VDG2+GF2 96 192 25 25 65 2 【小问3详解】 解：①当点O在点C左侧，且与BC相切时，如图， D 则OC=OD=x, ∴.AO=8-x, ,∠ADO=∠ACB,∠A=∠A, 38/63 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△AOD∽△ABC, 40、0D AB BC .AB=10,BC=6,A0=8-x, :8-xx 106 解得x=3, .当半圆O在BC的左侧，且与BC无交点时，x的取值范围为：0<x<3; ②当点O在点C右侧，且与BC相切时，如图， ◇ C 0 则OC=OD=x, .AO=8+x, ,∠ADO=∠ACB,∠A=∠A, ∴.△AOD∽△ABC, :A00D ·AB=BC AB=10,BC=6,AO=8+x, :8+x-x 106 解得x=12, ∴.当半圆O在BC的右侧，且与BC无交点时，x的取值范围为：x>12: 综上，当半圆O与BC无交点时，x的取值范围是0<x<3或x>12. 7.【小问1详解】 解：①过点O作EF⊥AB,垂足为E,交CD于点F,连接OB,OD, B 39/63 高学科网·上好课 www.zxxk.com :⊙O的半径为4，弦AB=2√7， 8E=5B=万.08=0D=4 .0E=V0B2-BE2=3, ,AB∥CD, .EF⊥CD, :m=42, 0r-c0=2a, 0F=V0D2-DF2=2V2, .EF=0E+0F=3+2V2, 即AB与CD之间的距离为3+2√2； ②当MD为⊙O的直径时，此时线段AB恰好在G的内部，如图所示： A B M .MD=8,∠MCD=90°， CD=42, cos∠CDM= CD√ MD 2 .∠CDM=45°； 当点M与点A重合时，此时线段AB满足在G的内部，连接AC,BD (M)A ◇ .AB∥CD, 40/63 上好每一堂课 如图所示： 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠CDM=∠BAD, :AC=BD, ∴.AC=BD, .四边形ACDB是等腰梯形， ∴.∠ACD=∠BDC, 由①可知：CD所对圆心角的度数为90°， 1 .∠DMC=×90°=45°， 2 3 .c0s41°≈ 4 .AB所对圆心角的度数为82°， 1 .∠MDB=×82°=41°， ,AB∥CD, ∴.∠CAB+∠ACD=∠CAB+∠BDC=180°， ∴.∠CMD+∠DAB+∠CDM+∠ADB=45°+41°+2∠CDM=180°， .∠CDM=47°， .当线段AB在G的内部（不含边界）时，B的取值范围为45°<B<47°； 【小问2详解】 解：设AB的中点为R,折叠后的MD所在圆的圆心为O',且与线段AB的切点为Q,连接 0'Q,0R,0D,O0',00'与MD交于点K,过点0作OT⊥O'Q,如图所示： A OR B O .OR⊥AB,QR=1, 由折叠及切线的性质可知MD所在圆的的半径O'Q=4,且O'Q⊥AB,MD1⊥OO, 00, 1 O'K=OK=- 41/63 丽学科网·上好课 由(1)可知：OR=3,0D=4, ,∠TQR=∠QR0=∠0TQ=90°， ∴.四边形OTQR是矩形， ..OT=OR=1,OR=OT=3, .0'T=0'9-TQ=1, .00=V0T2+0T2=2, 2 ·DK=V0D2-OK=62 .MD⊥O'O, ∴.MD=2DK=V62 8.【小问1详解】 解：①点C的坐标为0,3， .代入y=-1mx2-2mx+3m得，3m=3, 解得m=1, .抛物线C的解析式为y=-x2-2x+3; ·.y=-x2-2x+3=-(x+12+4, 点P(-1,4): ②：抛物线C的解析式为y=-x2-2x+3 当y=0时，0=-x2-2x+3 解得x=-3,x2=1, A-3,0). 设直线AC的函数解析式为y=kx+b, ww Zxxk.com 42/63 卷系一每并丁 品学科网·上好课 www .zxxk.com -3k+b=0 将A(-3,0)，C(0,3)代入解析式得， b=3 k=1 解得 b=31 .直线AC的函数解析式为y=x+3, 当x=-1时，y=2, .M(-1,2), .PM=4-2=2; 【小问2详解】 解：h为定值2； :抛物线C:y=-mx2-2mx+3m 当y=0时，-mx2-2mx+3m=0, 解得x=-3,x2=1, .A(-3,0),B(1,0) .0A=3,OB=1,AB=4 又：C(0,3m), .OC=3m .直线AC的函数解析式为y=mx+3m. 在RtA0C中，cos∠BAC=O4 sin∠BAC=OC AC :sim∠BAC=OC =m. coS∠BAC OA :抛物线C的对称轴为直线x=-1, P(-1,4m),M(-1,2m), :PM 2m. 如图1，分别过点P,B作AC的垂线，垂足为G,H,则BH=d 43/63 上好每一堂课 PG=d2. 可学科网·上好课 www zxxk.com 图1 在Rt△PMG和RtAAMO中，∠PMG=∠AMQ, .∠MPG=∠BAC. 在Rt△AHB中，d,=AB·sin∠BAC=4sin∠BAC, 在Rt△PMG中，d2=PM·cos∠MPG=2m·cos∠BAC, :h==2.n∠8AC=2,为定值： d2mcos∠BAC 【小问3详解】 解：如图2，作直线DE, 图2 :将抛物线C绕点O0,0旋转180°，得到抛物线C, 抛物线C,和抛物线C,关于原点对称 .OC=OF =3m OD=OE, .四边形ECDF为平行四边形. 设点Dt,-mt2-2mt+3m,则点E-t,-mt2+2mt+3m, .可得直线DE的解析式为y=-2mx, 44/63 卷系一每并丁 高学科网·上好课 www zxxk.com 联立直线DE和抛物线的C解析式，得-mx2-2mx+3m=- 解得xE=√3（负值舍去）. :.S.CFE= 3m+3m5=3V5m, 四边形ECDF的面积为6√3m,即6√3m=18√3， 解得m=3 9.【小问1详解】 解：对于直线y=-2x+4, 令x=0,可得y=4, ∴.A0,4). 令y=0,即-2x+4=0,移项可得2x=4, 解得x=2,.B2,0. 因为点C为线段AB的中点，根据中点坐标公式， 0+24+0 可得C点坐标为 2’2 即C1,2). 因此，A0,4,B(2,0),C1,2: 【小问2详解】 解：，点C1,2)为抛物线W的顶点， .设抛物线W的解析式为y=ax-1+2. 抛物线W过点A0,4), .将A(0,4)代入y=a(x-12+2中， 可得4=a0-12+2,即4=a+2, 解得a=2. 将a=2代入y=ax-1+2中， 可得y=2x-12+2=2x2-4x+4; 45/63 上好每一堂课 2mx, 命学科网·上好课 www.zxxk com ∴.抛物线W的解析式为y=2x2-4x+4; 【小问3详解】 解：点A不是线段BD的中点，理由如下， ,抛物线W和W关于y轴对称，对于抛物线y=2x2-4x+4, 其关于y轴对称的抛物线，只需将x换成-x, 可得y=2(-x2-4-x)+4=2x2+4x+4, 即抛物线W的解析式为y=2x2+4x+4. y=-2x+4 联立直线AB与抛物线W的方程得 y=2x2+4x+41 可得-2x+4=2x2+4x+4, 移项可得2x2+6x=0, 因式分解得2xx+3)=0, 则2x=0或x+3=0, 解得x1=0,x=-3. 当x=0时，y=4,即A0,4)； 当x=-3时，y=-2×-3+4=10,即D(-3,10). 已知B2,0,D-3,10),A0,4, 2+(-3)0+10 根据中点坐标公式，线段BD的中点坐标为 2 与A0,4)不重合， 点A不是线段BD的中点； 【小问4详解】 解：，将抛物线W向右平移m个单位长度得到抛物线W,, ∴抛物线W2的解析式为y=2(x-1-m)2+2. 已知点1，y)，(3,y2),（4,y3)均在抛物线W2上， 46/63 正 可学科网·上好课 www zxxk com ∴.y=21-1-m)2+2=2m2+2, y2=23-1-m)+2=2(2-m2+2, 3=2(4-1-m)2+2=2(3-m)2+2, ,y2<y<y3, 2(2-m)2+2<2m2+2① 2m2+2<2(3-m2+2② 解不等式①得m>1: 解不等式②得m<2 3 因此，m的取值范围为1<m<2 3 10.【小问1详解】 解：抛物线y=a2-2ax过点 15 24” 2代Ay=m2-2a中，+a- 解得，a=1, .抛物线的表达式为y=x2-2x, y=x2-2x=x2-2x+1-1=(x-12-1, ∴.顶点坐标为1，-1)； 【小问2详解】 解：①，直线y=mx-m与x轴交于点C, .当y=0时，x-m=0,即mx-1=0, .m≠0， .x-1=0,解得x=1, .点C1,0): ②当m=-1时，直线为y=-x+1, ,直线AB与y轴交于点D, 47/63 卷系一每并丁 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .当x=0时，y=1, .点D0,1, ,直线AB与直线x=2交于点E, .y=-2+1=-1, .点E(2,-1, 由抛物线y=x2一2x+k可知，抛物线开口向上，对称轴为直线x=1,抛物线沿对称轴上下平移， 当抛物线与线段DE相切时有一个交点，此时x2-2x+k=-x+1, 整理得，x2-x+k-1=0, 六b2-4ac=0,即1-4k-1)=0,解得k= 4 当抛物线经过点D(0,1)时，有两个交点，k=1; 当抛物线经过点E(2,-1)时，有一个交点，k=-1; 综上可知，当抛物线y=ax2-2ax+k与线段DE仅有一个交点时，-1≤k<1或k= ③存在，理由： ,抛物线为y=x2-2x,对称轴为x=1,点R为抛物线的对称轴上一点， .设R(1,t), 直线y=mx-m与抛物线y=x2-2x联立得，x2-2x=mx-m, 整理得，x2-m+2)x+m=0, .x+x2=m+2, ,点M是AB的中点， 已点M的横标为十之=。兰+)，纵坐标为m1+ -m= m2 22 2 2 m m2 即M1+22) ,直线d与直线AB:y=mx-m=mx-l垂直， 48/63 西学科网·上好课 www.zxx k.co m 直线d的斜率为：-二，解析式为y=-一（x-1, m m 直线y=-1(x-1)与抛物线y=x2-2x联立得，x2-2x=-1(x-1), m m 整理得，mx2-（2m-1x-1=0, 2m-1 ∴.X3+x4= m ,点N是P2的中点， 点N后生标为5兰-21数坐标为-- 22m2m 等腰△RHS的顶角为∠HRS,即RH=RS,且RM,RN关于对称轴x ..krm =kgN, 1 -t =2 2v kaw =4m3-t 1-2im 1 m m m 2 2m m-2 1 2tm- 化简得m m 2t=-2tm+ 1 m m 整理得，m21+2t=2t+1, 要使对任意m都成立， 1+2t=0,解得1=2' 1 11.【小问1详解】 解：y=ax2-4a2x-5a的对称轴为：x=- -4d2=2a 2a 所以，对称轴为直线x=2a; 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为x=2a,开口方向由a决定： 当α>0时，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小； 49/63 上好每一堂课 1 2m2’ =1对称， 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 要使-2<1时，y随x增大而减小，需满足2a≥1，即a≥2 1 当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x增大而减小； 要使-2<x<1时，y随x增大而减小，需满足2a≤-2，即a≤-1. 综上，a的取值范围为a≥或a≤-1. 【小问3详解】 解：当a=1时，抛物线的解析式为y=x2-4x-5=（x-2)2-9. ①抛物线向左平移m个单位后，解析式为y=（x+m-22-9,对称轴为x=2-m; 情况1：对称轴在区间左侧：2-m≤-3时，即m≥5，在-3≤x≤0上y随x的增大而增大， 当x=0时，取最大值y=(m-22-9; 当x=-3时，取最小值y=m-5)2-9, 差值为：(m-2)-(m-5)2=6, 解得：烟号（不合题，合去： 情况2：对称轴在区间内-3<2-m<0, 当-3<2-m<-1.5时，即3.5<m<5,函数在顶点处取得最小值为-9，最大值为x=0时的较大值， 此时，x=0时，值较大，为m-22-9, 所以，（m-2)-9-（-9）=6, 解得：m=2+√6或m=2-√6（不合题意，舍去）； 当-1.5≤2-m<0时，即2<m≤3.5，函数在顶点处取得最小值为-9，最大值为x=-3时的较大值， 此时，x=-3时，值较大，为m-5)-9, 所以，(m-5)2-9-(-9)=6, 解得：m=5-√6或m=5+6(不合题意，舍去)； 情况3：对称轴在区间右侧：2-m≥0时，即m≤2，在-3≤x≤0上，y随x的增大而减小， 当x=-3时，取最大值y=m-5)-9; 当x=0时，取最小值y=(m-2)2-9, 50/63 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 差值为：（m-5)2-(m-22=6, 解得：m=7 (不合题意，舍去)； 综上，m的值为2+√6或5-V6; ②y=x2-4x-5=(x-22-9, ∴抛物线顶点坐标为(2，-9，对称轴为直线x=2, ,点Em,n为第四象限内抛物线上的一点，且EF∥x轴， ∴.E、F关于对称轴x=2对称，且n<0, 以直线EF(即直线y=n)为对称轴将抛物线位于EF下方的部分翻折，原顶点D(2,-9)关于直线y=n的 对称点D'即为翻折后图象的顶点.则D'(2,2n+9), 设翻折后函数解析式为y=-（x-2)+2n+9, 令y=0,得：-(x-2+2n+9=0 .x-2=2n+9 .x-2=±√2n+9,且2n+9≥0， x=2±W2m+9,且n27/ 设两个交点的横坐标为x1,x2,则x=2-√2n+9或x,=2+√2n+9, V2n+9>0, ∴.x2=2+√2n+9≥2>0，则x2恒为正数； 要使交点都位于x轴上正半轴上，则x>0, .2-√2n+9>0 解得n<-」 2 9 12.【小问1详解】 解：将点A-2,2)代入L:y=x2+t,得， 51/63 可学科网·上好课 www zxxk com 2=4+t, 解得t=-2, .L的解析式为y=x2-2, 抛物线L2:y=ax-h)2+k的顶点N的坐标为(h,), 将点N(h,k)代入y=x2-2,得k=h2-2; 【小问2详解】 解：当a=-1时，y=-(x-h)2+k, ,k=h2-2, ∴.y=-x-h)+h2-2, 当x=0时，y=-h+h2-2=-2为定值， 嘉嘉说得正确，定点坐标0，-2)； 【小问3详解】 解：：a=一2 1 1 二抛物线L为y=-2x-h+-2, 联立抛物线L与L,得， y=x2-2 y=2x-列'+2-2' 1 x=-二h 3 x=h 解得 y=2-2=2-2 或 9 3g-2(，2-2 1,1 ∴抛物线L与L的两个交点的坐标为 ,两个交点的对称中心在x轴上， :5R-2=0,解得h=±3N10 5 52/63 上好每一堂课 对称中心的坐标为 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【小问4详解】 解：a<0, .抛物线L的开口向下， ∴.在抛物线L中，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大， ,y=ax-h2+h2-2的对称轴为直线x=h, ∴.点D(-3,m)到对称轴的距离为h-（-3)=h+3,点E1,n到对称轴的距离为h-1,点C0,c到对 称轴的距离为h, ,'m<c<n, .h+3>h>h-1, 平方，得h2+6h+9>h2>h2-2h+1, 6h+9>0 整理，得 -2h+1<0 解得h 2 13.【小问1详解】 解：(1)①由题意可得抛物线的顶点为(6,2.8)， 设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+2.8(a<0), 把(0,2)代入，得a=- 451 所求函数关系为y=一 x-6)2+2.8 ②当x=9时，则y= 45r-62+2.8=2.6>2.24, 故能过网. 【小问2详解】 令y=0,则- (x-4)2+2.88=0, 50 解得x,=-8（舍)，x2=16 x2=16<18, 53/63 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .没有出界 14.【小问1详解】 解：：抛物线y=ax2+bx+3a≠0过(3，n)和(-1，n, .（3,n)和(-1，n的纵坐标相同， ∴.（3，n)和(-1，n)是关于抛物线对称轴对称的两点， ∴.抛物线的对称轴为：- b=3-1=-1,即b=-2a: 2a2 【小问2详解】 解：：抛物线的对称轴为：x=1,由抛物线图象可知a<0, .当-3≤x≤2时，抛物线的最高点M的横坐标为1，最低点N的横坐标为-3， :点N的纵坐标为-12， .点N的坐标为-3，-12)， 由(1)知抛物线的表达式为：y=ax2-2ax+3(a≠0)， .代入点N的坐标(-3，-12)，得：9a+6a+3=-12,解得：a=-1, 抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3,即y=-x-1+4, ∴.抛物线的顶点坐标为：1,4，即点M的坐标为1,4)； 【小问3详解】 解：由(1)知抛物线的表达式为：y=ax2-2ax+3a≠0)， :抛物线上的两点Ax,y),B(x2,y2),当x2≥4时，均有≥y2, ∴.当x2=4时，y2=42×a-2a×4+3=8a+3, 根据抛物线的对称性可知，当x=-2时，也有y=8a+3, t≤≤t+1,当x2≥4时，有y≥y2, 当t+1≤4，且t≥-2，解得：-2≤t≤3时，满足要求，有y≥y2, .t的取值范围为-2≤t≤3； 【小问4详解】 54/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 解：由(2)知y=-x2+2x+3, 点B(0,3),点C(3,0),点A-1,0), 设直线BC的表达式为：y=kx+b, 代入点B(0,3),点C3,0),得直线BC的表达式为：y=-x+3, 设直线AH的表达式为：y=-x+b, 代入点A-1,0),得直线AH的表达式为：y=-x-1, ‘点D在抛物线上， .Dm,-m2+2m+3,Em,-m+3, .点F,G均在对称轴所在直线x=1上， ..XE=xG=1, 由题意得四边形DEFG为矩形， 如图，当点D位于第一象限时，当EG与BC共线时，满足在直线AH、E DEFG面积的一半， G 此时四边形DEFG为正方形，DE=EF, :yD -YE XE-XF, 即-m2+2m+3-（-m+3)=m-1, 解得：m=1±√2， 点D是对称轴右侧的一点， m>1,取m=1+√2， 55/63 上好每一堂课 C之间的部分的面积恰好是矩形 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图，当D位于第四象限时，对角线不在BC上时，令AH交对称轴于N, 1 DE交AH于M,根据矩形对称性，当FN=DM时，则SwE=2SEG, A G .N(1,-2),M(m,-m-1, ∴.yr-yN=yM-yD, -m+3-(-2）=-m-1--m2+2m+3, 解得：m=1-V10(不合题意，舍去)或m=1+√10， 综上，m的值为1+√2或1+√0 15.【小问1详解】 解根器题色，当抱物发乙的项点P为（号0时。 设L的面数达式为y=+习 其中a≠0. 又此时1与)箱的交点为0)】 1。, 1)2 =a0+ 4 2 解得a=-1. 当k=0时，根据“好点”定义可得L的顶点P是(0，)， 则此时L的函数表达式为y=-x2+1(a≠0). 56/63 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当y=0时，有-x2+1=0, 解得x=±1. .L与x轴交点的坐标为1,0)或(-1,0)： 【小问2详解】 解：甲正确，乙的说法不正确，理由如下： ,点(0,1和1,3)都是“好点”， ∴.当顶点P的横坐标为k时，且为好点时， 其纵坐标为2k+1, ∴抛物线L的顶点P的坐标为k,2k+1): 设L的函数表达式为y=-(x-k)+2k+1, 当x=0时，y=-(0-k)2+2k+1 =-k2+2k+1 =-(k-1)2+2, .y≤2，且当k=1时，y取得最大值2， 即抛物线L与y轴的交点有最高点(0,2). 【小问3详解】 解：由(2)得，顶点P的坐标为k,2k+1), 设x=k, 则可得顶点所在函数图象的表达式为y=2x+1. y=2x+1 1 =2x+2 2 x= 解得 y=5 57/63 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.则该直线与的交点为 29 55 又y=2x+1与y轴的交点为(0,1，抛物线L的对称轴为x=k. .点P在AOB内部（不含边界）， 0<k<3 对于L上的点 7 247 4 点m和点8” 7 均在L的对称轴右侧的图象上. ,抛物线L开口向下，在对称轴右侧的图象y随x的增大而减小， .m>n; 【小问4详解】 解：由(2)得，L的函数表达式为y=-x-k+2k+1, 在线段A8中，当x=0时，y=-x0+2=2: 当y=0时，-x+2=0 2 2x2 解得x=4, .A4,0,B0,2), ①当L与相切时，L与线段AB只有一个公共点， y=-(x-k)2+2k+1 y-- 2+2 r-2*}r-2+1 a=2+-4-2+=10- △=0， 58/63 可学科网·上好课 www.zxxk com :10k-15=0 4 3 解得k= P ②当L经过点A4,0)时，代入得0=-4-k)+2k+1 k2-10k+15=0 解得k=5-√10或k=5+√10 当k=5-√10时，L对称轴右侧的图象经过点A4,0),此时L与线段A 当k=5+√10时，L对称轴左侧的图象经过点A4,0),此时L与线段A .当5-√10<k≤5+V√10时，L与线段AB只有一个公共点. 综上所述，所求为k=或5-0<k≤5+V0. 8 16.【小问1详解】 解：将A4,0)代入y=-x(x+b)中，得0=-4×4+b), 解得b=-4, .y=-xx-4)=-x2+4x=-x-2)+4 .P的解析式为y=-x2+4x,对称轴为直线x=2; 【小问2详解】 解：①由题意，设平移后的抛物线的解析式为y=-x2+4x+c, 当d=25时，平移后的抛物线的顶点坐标为2,25)， .将2,25)代入y=-x2+4x+c中，得25=-22+4×2+c, 解得c=21, ∴.y=-x2+4x+21, 当y=0时，由0=-x2+4x+21得x=-3,x2=7, ∴.平移后的图象与x轴的交点坐标为-3,0)和7,0)，又7-4=0， 59/63 上好每一堂课 B有两个公共点； B只有一个公共点. 学科网·上好课 上好每一堂课 故平移的次数为3： ②由y=-x2+4x=0得x1=0,，x2=4,则抛物线P与坐标轴的交点为0,0)和A4,0) 根据题意，当平移第n次后，平移后的抛物线与x轴的左交点坐标为-n,0),右交点坐标为4+n,0), ∴.平移后的抛物线的解析式为y=-x+n)(x-4-n), 当x=2时，y=-(2+n)(-2-n=(n+22, 故d=(n+22; 【小问3详解】 解：由题意，平移一次后的抛物线与x轴的左、右交点坐标为-1,0)，（5,0)， .抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-5)=-x2+4x+5=-(x-2)2+9, ∴抛物线P开口向下，顶点坐标为2,9， ,抛物线Q恰好经过抛物线P与x轴的左交点-1,0)， 0=a-1-3)2-8,解得a=2 1 1 ∴抛物线Q的解析式为y=。(x-32-8, ∴.抛物线Q的开口向上，对称轴为直线x=3, 对于抛物线P一 17 与抛物线Q(x≤-1)组成新函数L,如图， :x=2 17x 60/63 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 时L的最小值为s-13 1 对于当s-t≤x≤ ,最大值为2， 5-13=40 9 解得s=-3,则最大值为s2=9, y-x-32-8=9街-3=34. ∴x=3-√34，x2=3+√34（不合题意，舍去）， ∴.3-V34≤-3-t≤2，解得-5≤t≤V34-6. 17.【小问1详解】 解：点3，a是相反点， ∴.3+a=0, ∴.a=-3, .点m,n是相反点， .m+n=0: 【小问2详解】 解：设x,y)是“相反点”， .x+y=0, y=-X, ∴.所有相反点都满足y=-X, ∴.直线L的解析式为y=-x; 【小问3详解】 解：由(2)知，相反点在y=-x上， y=ax2+bx-4 y=-x 整理得：ax2+b+1)x-4=0, .抛物线C的图象上有且只有一个“相反点”， .判别式△=(b+1-4a×-4=(b+1+16a=0, 61/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 将x=2代入ax2+(b+1)x-4=0得：4a+2(b+1)-4=0 将b=1-2a代入(b+1)+16a=0得： (1-2a+1+16a=0, 解得：a=-1, .b=1-2×-1)=3; 【小问4详解】 解：①由(3)可知，抛物线C:y=-x2+3x-4, ∴.平移后抛物线C2的解析式为y=-x2+3x-4+m, y=-x2+3x-4+m 根据题意得： y=-x 整理得：x2-4x+4-m)=0, ,抛物线C,上有两个“相反点”， 设方程有两个不等实根X、X2, 由韦达定理得：x+x2=4、xx2=4-m, Mx,y),Nx2,y2是相反点 .y1=-x1、y2=-x2, MN=Vx2-x)2+(-x2+x)}2=V2x2-x=2V2, ·x2-x=2, (x2-x)2=4, :(x2-x)}2=(x+x2)2-4xx2=42-44-m)=4m, ∴.4m=4, 解得：m=1; ②由①知，m=1,则抛物线C2的解析式为y=-x2+3x-3, 62/63 上好每一堂课 即b=1-2a, 函学科网·上好课 www.zxxk.com 33 “该抛物线对称轴为X=一 ×-12’ 将m=1代入x2-4x+(4-m)=0得： x2-4x+3=0, 解得：x=1,x2=3, ∴.当1≤x≤3时， 系轴x三，处有最大值，最入 3-3 +3× 2 将x=1代入C2的解析式得：-1+3-3=-1， 将x=3代入C2的解析式得：-9+3×3-3=-3， C:申y的政大花与最小值的鉴为：}(-)- 41 63/63 上好每一堂课 3 题号猜押08河北中考数学23+24题（解答题） 考点1 几何图形平移问题 1.（2026·河北石家庄桥西区·一模）如图1，在平行四边形中，，，点F为的中点，过点F作于E，． （1）求的长； （2）如图2，以为直角边构造，，斜边交于点P，． ①求的长； ②的外心为O，求点O与点A之间的距离； ③将向右平移，点E平移到点B时停止，当以为直径的圆与平行四边形的边相切时，直接写出平移的距离． 【答案】（1） （2）①；②；③或 【解析】 【分析】（1）设，，在中，根据勾股定理列方程解得，即可得到的长； （2）①由，证得，根据对应边成比例求出； ②连接，作于Q，得到，利用三角函数求出设，，则，解得，进而得到，由勾股定理得； ③分两种情况：圆与边或边相切，利用切线的性质及三角函数解答． 【小问1详解】 解：∵点F为的中点， ∴， 在中，， 设，， 则，得， ∴； 【小问2详解】 解：①在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②在中，的外心是的中点O， 连接，作于Q， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴在中， 设，，则 解得， ∴，， ∴ 由勾股定理得； ③由①得 当圆与边相切时，如图，过点O作，交于点M， 则， ∴，即 得， 作于点N，则， ∵， ∴， ∴， ∴平移的距离； 当圆与边相切时，如图， 同理，， ∴平移的距离； 综上，平移的距离为或． 考点2 几何图形折叠问题 1.（2026·河北廊坊广阳区·一模）综合与实践 【问题情境】在数学课上，老师给出矩形纸片（，），让同学们在纸片中作出一个的角． 【操作一】甲组同学利用折叠：如图1，把矩形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕．再一次折叠纸片，使点A落在上的点E处． （1）的长为_____，的度数为_____； （2）连接．若，求的值； 【操作二】 （3）乙组同学利用尺规，根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”来得到的角：如图2，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点O，连接，． 请你在图2中补全作图，并在矩形纸片中找出一点K，使，在图2的作图中，可画出_____（填“1”“2”或“无数”）个满足条件的； 【折叠拓展】 （4）甲组同学连接图1中的，并将剪下来，点G在边上，点H在边上，将沿直线折叠，使点A落在点处，如图3、图4所示． 在图3中，点H与点E重合，阴影部分的周长为_____． （5）如图4，点P，Q在边上，且，点落在线段上（包括端点）若，，直接写出y与m之间的关系式，并写出m的取值范围． 【答案】（1）2； （2） （3）见解析，无数 （4）6 （5），m的取值范围是 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质特殊角的三角函数值，即可求解； （2）作，垂足为，根据矩形的性质和折叠的性质，易求，再通过解直角三角形，求出，，从而求出，最后根据正切的定义，计算即可； （3）根据尺规作图的步骤，作图即可；再根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”，易得，最后根据K是弧上的点，可得出有无数个； （4）根据折叠的性质，即可求解； （5）根据题意，易求，，再根据折叠的性质，可得， ，利用“”得，从而，最后根据点分别与点、重合时，计算出的值，即可求出范围． 【小问1详解】 解：由折叠可知，，，， 在中，，则； 【小问2详解】 解：如图1，作，垂足为， 由折叠可知，，，， 在中，，则， ， 矩形， ， ， 在中，，， ， ， 在中，； 【小问3详解】 解：如图2，即为所求， 以点为圆心，为半径作圆，在与矩形纸片相交弧上任选一点K，连接、即可； 由图可知，，即是等边三角形， ， ， 即点K可以是与矩形纸片相交弧上的任意一点， 故可以画出无数个满足条件的； 【小问4详解】 解：由折叠可知，，， 由（2）知，，即， ， 是等边三角形， ， 阴影部分的周长为：； 【小问5详解】 解：由折叠可知，，，， ，， ，， 则， ， 由（4）知，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ，， 当与点重合时，，则， 当与点重合时，，则， 点落在线段上（包括端点）， ， 综上可知：，其中． 2.（2026·河北邯郸临漳·一模）综合与实践 【情境】在矩形中，点P是边上一点（不与点A，D重合），且，，设的长为x． 【探究】将矩形对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，展开后得到折痕，连接． （1）如图1，将矩形沿折叠，使点A的对应点落在边上，求x； （2）如图2，将矩形沿折叠，使点A的对应点落在折痕上，求x； （3）【操作】当时，将矩形沿过点P的直线折叠，使点A的对应点为． ①如图3，若点落在边上，用尺规作图作出直线； ②在图4中，用尺规作图作出面积最大的，并求出这个最大面积； （说明：均保留作图痕迹，不写作法） （4）[拓展]在（3）的条件下，直接写出点B到点之间距离的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①见解析；②图见解析， （4） 【解析】 【分析】（1）先求出，，在中，由勾股定理可列方程解答即可； （2）求出，，，，证明，根据相似三角形的性质列式求解即可； （3）①作线平分线即可；②过点作的垂线，截取，连接，，则的面积最大； （4）当点P，和点B在同一条直线上时，点B到点之间距离最小，即的值． 【小问1详解】 解：由矩形和折叠可得，，， ∴在中，， ∴， 又，， ∴在中，，即， ∴解得； 【小问2详解】 解：由题意得，，， 由折叠可得，， 在中，， ∴， 又，， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得； 【小问3详解】 解：①如图1，直线即为所求； ②如图2，即为所作； 由题意可得，，当时，面积最大， ∴最大面积为； 【小问4详解】 解：由题意可得，在折叠过程中，总有， ∴点在以点P为圆心，半径为3的圆上， 故当点P，和点B在同一条直线上时，点B到点之间距离最小，如图3， 此时， ∴的最小值． 考点3 几何图形旋转问题 1.（2026·河北廊坊广阳区·一模） 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）补全图形如图： ，理由如下： 过点作交于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴． 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：或 2.【新考法】（2026·河北石家庄高新区·一模） 如图1，在中，，，，以为直径向左侧作半圆O，交斜边于点D． （1）______，______，求图1中阴影部分的面积； （2）如图2，将半圆O（包含直径）沿着射线方向平移得到半圆，直径记作，当半圆和直线相切时，求半圆O平移的距离； （3）如图3，在（2）的条件下将半圆绕着点逆时针旋转得到半圆，直径记作，设旋转角度为（）． ①当点到直线AC的距离最大时，求的值； ②如图4，记半圆和直径构成的封闭图形为W，斜边的中点为M，当点M落在封闭图形W内（不包括边界），直接写出的取值范围．（参考数据：，） 【答案】（1），8， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，由含角的直角三角形及勾股定理可得出，的长；连接，作于E，由即可求图1中阴影部分的面积； （2）作交于F， 由（1）和平移可知，，．则，由四边形是矩形，可得．即半圆O平移的距离为． （3）①在旋转过程中，点到直线的距离先越来越小，再越来越大(当时，点到的距离最大)，再越来越小．当时，过点C作于点G，连接．可得，．当时，设垂足为H，则，．可得，，则，此时．可得．当点到直线AC的距离最大时，的值为或． ②当半圆经过点M时，过点M作于点N．得出，．由勾股定理可得． 可得，则．由圆周角定理得．可得，则．所以．当直径过点M时，，可得的取值范围． 【小问1详解】 解：，， ． ， ． ． 连接，作于点E 为直径，O为圆心， ． ． ， ，． ． ， ． ． 【小问2详解】 解：作交于点F， ． 由（1）知，． 半圆O（包含直径）沿着射线方向平移得到半圆． ，，． ， ． 四边形是矩形． ． 即半圆O平移的距离为． 【小问3详解】 解： 在旋转过程中，点到直线的距离先越来越小，再越来越大(当时，点到的距离最大)，再越来越小． 当时，过点C作于点G，连接． 由（2）知，四边形是矩形． ，，． ． ，． 当时，设垂足为H ，． ， 此时 ， 当点到直线AC的距离最大时，的值为或． ． 当半圆经过点M时，过点M作于点N． 在中，，． ，． 在中，． ． ． 为直径， ． ． ． 当直径过点M时 ． 考点4 二次函数实际应用 1.（2026·河北石家庄桥西区·一模）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行跳台跳水训练，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳台长为6米，距离水面的高为5米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）直接写出起跳点A的坐标； （2）当时． ①求这条抛物线的表达式； ②求运动员落水点与起跳点的水平距离； （3）如图，米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②运动员落水点与起跳点的水平距离为米 （3） 【解析】 【分析】（1）根据跳台长为6米，高为5米，求解点A的坐标即可； （2）①根据，可得到抛物线的顶点坐标，设出顶点式，再将点A的坐标代入求解即可； ②令，求解x的值，取大的那个值，再作差求解即可； （3）分别求解当时与时的对应的函数值，由此求解即可． 【小问1详解】 解：∵跳台长为6米，高为5米， ∴起跳点A的坐标为； 【小问2详解】 解：①根据题意，可得抛物线顶点坐标，， 又∵， ∴可设抛物线表达式为：， ∵点， 则，解得：， 故抛物线表达式为：； ②根据题意，抛物线表达式为：， 令，则，解得：，（舍去）． ∴， ∴运动员落水点与起跳点的水平距离为米； 【小问3详解】 解：根据题意，抛物线表达式为：， 将点代入可得：，即， 若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水， 则当时，，即，解得：， 当时，，即，解得：， 故． 2.【新考法】（2026·河北张家口·摸底）在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图像经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． （1）求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式； （2）在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度． （3）在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； （4）在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值． 【答案】（1） （2）在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米． （3） （4）当秒时，最优垂直距离最小，最小值为米． 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）联立相应函数解析式求解即可； （3）先运用待定系数法求得无人机乙下降过程中的函数解析式，然后列绝对值方程并分类讨论求解即可； （4）由乙无人机过和，最高点纵坐标不变20，则；利用待定系数法可得，然后根据两架无人机的最大垂直距离，利用二次函数的性质可得，再利用二次函数的性质结合求得即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知：无人机甲的飞行高度为二次函数，已知顶点， 设顶点式． 代入点得：，解得：． 所以，即． 【小问2详解】 解：由题意可知：无人机乙下降过程是一次函数，且经过顶点， 设无人机乙下降过程的函数解析式为：， ，解得：， ∴无人机乙下降过程的函数解析式为：， 联立，解得：或（不合题意，舍去）； ∴在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米． 【小问3详解】 解：垂直距离，分两段讨论： ① 乙起飞段：时，易得：， ， ∴对称轴为， 令，解得：或， 如图，当时，随的增大而增大， ∴时，； ∴的最大值为． ② 乙下降段：时， 令，解得：或， ∴对称轴为， 如图：当时，； 当时，； 当时，； 则当时，时，； 综上，两架无人机的最大垂直距离． 【小问4详解】 解：由乙无人机过和，最高点纵坐标不变20， ∴， 设，顶点横坐标，代入顶点： ，解得：， ∴． 令， ，解得： ∴当时，第一处处于高度相同；当时第二次处于高度相同， ∵“最优垂直距离”指在两机首次、第二次同高的时间x的取值范围为，最大垂直距离的最小值，且， ∴， ∵， ∴两架无人机的最大垂直距离， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为，即当时，随t的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值， ∴当秒时，最优垂直距离最小，最小值为米． 考点5 二次函数图像变换 1.【新考法】（2026·河北石家庄裕华区 ·一模）如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． （1）求a的值及顶点D的坐标； （2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为E，抛物线与x轴的交点为G，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；将点代入，即可求出a的值； （2）连接，作轴于，作轴于M，证明，可得，，故抛物线的顶点E的坐标为，即可得出抛物线的函数表达式； （3）设点，作轴于，轴于M，于N，根据旋转可得，进而可得点的坐标为，点N的坐标为，再分类讨论即可得出答案．①当是直角三角形时，显然只能有；②当是直角三角形时，显然只能有；③当是直角三角形时，i）当时，ii）当时，根据勾股定理列方程求出m的值，即可求出P点的坐标． 【小问1详解】 解：由，可得， ∴顶点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴可得， 解得； 【小问2详解】 解：对于抛物线：，由（1）可知，， 令，可得， 整理可得， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，； 如下图，连接，作轴于，作轴于M， ∵， ∴， 根据题意，点，E关于点成中心对称， ∴过点B，且， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴抛物线的顶点E的坐标为， ∵抛物线由绕点P旋转后得到， ∴抛物线的函数表达式为； 小问3详解】 解：∵抛物线由绕x轴上的点P旋转后得到， ∴顶点，E关于点P成中心对称，由（2）知，点E的纵坐标为8， 设点，如下图，作轴于，轴于M，于N， ∵旋转中心P在x轴上， ∴， ∴点的坐标为，点N的坐标为， 根据勾股定理得，， 显然，、和不可能是直角三角形， 分情况讨论： ①当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得，， ， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ②当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得： ， ， ∴，解得：， ∴， ∴点P的坐标为， ③当是直角三角形时， ， ， i）当时，， 即，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ii）当时，， 即， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； iii）∵， ∴． 综上所述，当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时， 点P的坐标为或或． 2.（2026·河北廊坊广阳区·一模）已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线． （1）求出的对称轴及的值； （2）当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； （3）如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的横坐标． 【答案】（1）对称轴为直线， （2） （3）；或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线计算即可，再根据当时，，列式即可得出的值； （2）先得到当和对应的的值，再得到二次函数图象在时的增减性，即可得到、的值，最后根据列式计算即可； （3）先将抛物线的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，得到平移后的抛物线的解析式；设点，即可得到点，，的坐标，进而可表示出，的长，最后根据列式计算即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； 【小问3详解】 解：， 则， 设点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的横坐标为或． 3.【新考法】（2026·河北邯郸邯山区·摸底）如图，抛物线与x轴相交于点，顶点为点D． （1）求抛物线P的解析式和点D的坐标． （2）在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线P在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为G，以点B为中心把该胶片旋转，得到矩形以及对应的图象． ①求旋转过程中G扫过的面积S； ②通过计算，判断抛物线P与在矩形的内部（含边界）的公共点的个数． 【答案】（1）， （2）①；②1 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式；然后配方成顶点式求解即可； （2）①如图，连接，证明出四边形是正方形，得到点D，B，共线，，，求出，然后利用代数求解即可； ②首先求出所在抛物线的表达式为，然后与抛物线联立求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得 ∴抛物线P的解析式为； ∴ ∴顶点D的坐标为； 【小问2详解】 解：①如图，连接 ∵， ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形 ∴， ∵以点B为中心把该胶片旋转，得到矩形 ∴点D，B，共线，， ∴ ∴旋转过程中G扫过的面积； ②∵， ∴由旋转的性质得， ∴所在抛物线的表达式为 ∴联立抛物线和得， 整理得， ∴ ∴抛物线P与在矩形的内部（含边界）的公共点的个数为1． 4.（2026·河北邯郸临漳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L的顶点P总满足其纵坐标比它的横坐标大1个单位长度，且当顶点P为时，L与y轴的交点为．x轴上有一点M，且点M的横坐标总是点P横坐标的一半，过点M作线段轴，且点N在x轴上方，．线段与L的交点为Q．设点M的横坐标为t． （1）当时，求抛物线L的函数表达式； （2）当点M与点Q重合时，求点M的坐标； （3）当点Q恰好是线段的三等分点时，直接写出t的整数值； （4）下面是关于L的两个结论： 甲：L与直线的交点会沿直线MN向下无限延伸． 乙：L与直线的交点有一个最低点． 请你判断哪个结论是正确的？并通过计算或推理说明理由． 【答案】（1） （2） （3）0或 （4）乙正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）当抛物线L的顶点P为时，用待定系数法先求出抛物线L的二次项系数，再求当时，抛物线L的函数表达式即可； （2）由题意得，则L的函数表达式为，可得点Q的坐标为，即可列方程求解； （3）当点Q恰好是线段的三等分点时，或，再将点Q的坐标分别代入函数关系式求解即可； （4）由（2）的解答可知，，：，当L与直线相交时，设交点为T，则点T的纵坐标，可得，即可求得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，当抛物线L的顶点P为时， 设L的函数表达式为，其中， 又此时L与y轴的交点为， ， 解得， 当时，顶点P为，则此时L的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得， 的函数表达式为， 由题意得，则点Q的坐标为， 当点M与点Q重合时，有， 解得， ； 【小问3详解】 解：当点Q恰好是线段的三等分点时，或， 当点Q的坐标为时，， 解得或； 当点Q的坐标为时，， 解得，不是整数，舍去； 的整数值为0或； 【小问4详解】 解：乙正确． 理由如下： 由（2）的解答可知，，：， 当L与直线相交时，设交点为T， 则时，点T的纵坐标， ，且当时，y取得最小值0， 即当时，L与直线的交点有一个最低点， 乙正确． 1.（2026·河北石家庄二十八中·一模）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形， （1）将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____． （2）纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． （3）如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长． 【答案】（1）、； （2）13 （3）图见解析，，或， 【解析】 【分析】（1）根据题意得出操作形成的折痕分别是线段；由折叠的性质得出的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积，得出，即可得出答案； （2）由矩形的性质和勾股定理求出，即可得出答案； （3）折法1中，由折叠的性质得：，，，，，由叠合正方形的性质得出，由勾股定理得出，得出，； 折法2中，由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，，求出，由叠合正方形的性质得出，正方形的面积，由勾股定理求出，设，则，由梯形的面积得出，求出，由得出方程，解方程求出，，进而得到、的长． 【小问1详解】 解：根据题意得：操作形成的折痕分别是线段、； 由折叠的性质得：，四边形四边形， ∴的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①折法1中，如图4所示： 由折叠的性质得：，，，，， ∵四边形是叠合正方形， ∴， ∴， ∴，； ②折法2中，如图5所示： 由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，， ∴， ∵四边形是叠合正方形， ∴，正方形的面积， ∵， ∴， 设，则， ∵梯形的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，． 2.（2026·河北邢台第三中学·一模）【问题情境】 在探究活动中，李老师发给每名同学一矩形纸片，宽为，长为，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 【操作与发现】 嘉嘉在边上取一点，连接，将这个纸片沿翻折，使点的对应点落在边上，如图1所示． 琪琪在边上取一点，连接，将这个纸片沿翻折，使点的对应点落在边上，如图2所示． 慧慧将这个纸片沿翻折，点的对应点落在矩形外，如图3所示，连接，． 发现1：嘉嘉发现，图1中的线段与图2中的线段相等； 发现2：慧慧发现，图3中，是直角． ．．．．．． 【问题提出与解决】 （1）嘉嘉发现的与相等的结论是否正确？请你用所学的知识进行说明； （2）如图3，①证明；②求出的长． 【拓展延伸】 小刚受到探究过程的启发，提出新问题： （3）尺规作图：在图4所示的正方形的边上找一点，边上找一点，连接，使得四边形是长与宽的比为的矩形．（作图要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）嘉嘉的结论是正确的，理由见解析； （2）①见解析；②； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质及勾股定理可得出答案； （2）①连接，与相交于点O，设与相交于点P，证明，由三角形内角和定理可得出； ②由三角形面积及勾股定理可得出答案； （3）分别以点、为圆心，对角线长的一半为半径画弧，分别交、边于点E和F，则可得出答案． 【小问1详解】 解：嘉嘉发现的结论是正确的； 证明：由折叠知， ∴， 在图2中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 所以嘉嘉的结论是正确的； 【小问2详解】 解：①证明：如图，连接，与相交于点O，设与相交于点P， 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴是直角． ②在中，，， ∴， ∴， 由面积公式得：， ∴， 由折叠得， ∴ 在中，根据勾股定理：； 【小问3详解】 解：如图，即矩形为所求． 3.（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，是中线，是等边三角形，点，分别在直线，的上方，（，且），是的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）若． ①判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，，求证：． （2）若，，直接写出点与点距离的最大值． 【答案】（1）①，且，理由见解析；②证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）①容易证明，则，，进而证明； ②由直角三角形的性质可得，根据题意容易判断是等边三角形，则，．由①可知，则，．结合是等边三角形可得，，从而证明，因此； （2）连接，由和是等边三角形，容易证明也是等边三角形，则．由直角三角形的性质和三角函数计算得，由线段公理可知，，当、、三点共线时，取得最大值，因此的最大值为． 【小问1详解】 解：①，且，理由如下： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； ②证明：∵，是中线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由①可知，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）可知，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最大值，此时，符合题意， ∴的最大值为． 4.（2026·河北唐山·一模）如图，已知在中，，，，点、分别在边、射线上，且，过点作，垂足为点，联结，以、为邻边作平行四边形，设，平行四边形的面积为． （1）当平行四边形为矩形时，求的正切值； （2）当点在内，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当过点且平行于的直线经过平行四边形一边的中点时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3），． 【解析】 【分析】（1）当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．根据tan∠PQM＝求解即可． （2）如图1中，延长QN交AB于K．求出MK，PM，根据y＝PM•MK求解即可． （3）分两种情形：①如图3−1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．根据EG＝PC构建方程求解．②如图3−2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．根据PC＝GH构建方程求解即可． 【详解】（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10， 当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB． ∴tan∠PQM＝＝． （2）如图1中，延长QN交AB于K． ∵∠C＝90，AC＝8，BC＝6，AB=10 ∴sinA=cosB==,cosA=sinB=， 由，得BQ＝6−x，QN＝PM＝APsinA=x，AM＝APcosA=x，KQ＝BQsinB=BQ＝，BK＝BQcosB=BQ＝， ∴MK＝AB−AM−BK＝， ∵QN＜QK， ∴x＜， ∴x＜， ∴y＝PM•MK＝x×=（0≤x＜）． （3）①如图3−1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G． ∵PD∥BC，EN∥BC， ∴PD∥NE， ∵PE∥DN， ∴四边形PDNE是平行四边形， ∴PE＝DN， ∵DN＝DM，PQ＝MN， ∴PE＝EQ， ∵EG∥PC， ∴CG＝GQ， ∴EG＝PC， ∵四边形EGHN是矩形， ∵ ∴QN⊥AB 则∠ABC+∠NQH=∠NQH +∠QNH=90° ∴∠ABC=∠QNH ∴NH＝EG＝NQcos∠QNH= NQcos∠ABC =NQ＝PM＝×x =x，PC＝8−x， ∴x＝•（8−x）， 解得x＝． ②如图3−2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H． ∵DH＝PC， ∴8−x＝•x， 解得x＝， 综上所述，满足条件x的值为或． 5.（2026·河北张家口·摸底） 综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，．点在边或边上运动，将沿直线折叠，点的对应点为，连接，与交于点． 请完成以下闯关任务： （1）第一关·初试锋芒 如图2，当点在边上且点恰好落在边上时，完成基础探究： ①直接写出：________，________； ②此时与的位置关系是________． （2）第二关·解锁规律 ①当点为边上任意一点时，与在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由． ②如图3，取的中点，连接，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．（参考数据：，，） （3）第三关·终极挑战 当到的距离为时，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1），；垂直 （2）存在，理由见解析； （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，，，在中，利用勾股定理求得，进而得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； 由折叠的性质即可得解； （2）由折叠的性质即可得解； 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，从而得到点的运动轨迹为以为圆心，半径为的一段圆弧，当点运动到点时，根据可求得的度数，然后根据外角的性质即可得到，最后根据弧长公式求解即可； （3）分4种情况讨论：当点在边上，在上方时；当点在边上，在下方时；当点在边上，在上方时；当点在边上，在下方时；过点构造矩形，通过勾股定理解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，，， 由折叠可知，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 即； 由折叠可知，是的对称轴，即垂直平分， ； 【小问2详解】 解：存在，仍然成立； 理由：由折叠可知，点与点关于直线对称， 根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线， 垂直平分， ； 由知，， ， 是的中点， ， ， ，是定值， 点的运动轨迹为以为圆心，半径为的一段圆弧， 当点在点时，点与点重合；当点运动到点时，如图所示， 此时， ， ， 点的运动路径长为； 【小问3详解】 解：当点在边上，在上方时，如图所示，过点作交于，交于，作于，则四边形、、是矩形， 当到的距离为时，即， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 即， ， ； 当点在边上，到下方时，如图所示，过点作交于，交于，作于，则四边形、、是矩形， 当到的距离为时，即， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 即， ， ； 当点在边上，如图所示，过点作轴交轴于，作轴于，过点作于，则四边形、、是矩形， 如图，当点在第三象限时， 当到的距离为时，即， ， ， ， 设，则， ，， 在中，， 即，解得， ， ； 如图，当点在第二象限时， 当到的距离为时，即， ， ， ， 设，则， ，， 在中，， 即， 解得， ， ； 综上，满足条件的点的坐标为或或或． 6.（2026·河北石家庄长安区·一模）如图，在中，，，，点在射线上（点不与点重合）；过点作，垂足为，以点为圆心，为半径在上方画半圆，交射线于点，两点（点在的左侧），设． （1）当点为中点时，求的值； （2）如图2，当点与点重合时，连接，求弧及弦的长； （3）当半圆与边无交点时，直接写出的取值范围．（参考数据：取，取，取） 【答案】（1） （2）弧的长度为：，弦的长度为 （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，即可求解； （2）先对运用等面积法求解，然后求解的度数，即可求解，再由弧长公式求解弧；过点作于，证明，求出，，则，再对运用勾股定理求解即可； （3）找到两个临界位置，即①当点O在点C左侧，且与相切时；②当点O在点C右侧，且与相切时，然后通过求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ． 点为中点， ． ， ． ． ， ． ，即， ． 【小问2详解】 解：当点与点重合时，为边的高， ，即：， ． ，， ， ， ． 弧的长度为：． 过点作于（如图）， ． ， ． ． ，即． ，． ． 在中，． 【小问3详解】 解：①当点O在点C左侧，且与相切时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当半圆O在的左侧，且与无交点时，x的取值范围为：； ②当点O在点C右侧，且与相切时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当半圆O在的右侧，且与无交点时，x的取值范围为：； 综上，当半圆与无交点时，x的取值范围是或． 7.（2026·河北唐山·模拟）如图，的半径为4，弦，弦，，且圆心O在弦，之间，点M是劣弧上任意一点，连接，将弦左下方的图形沿折叠，折叠后的图形记为G（阴影部分），设，（）． （1）若． ①求与之间的距离； ②当线段在G的内部（不含边界）时，确定的取值范围； （2）当线段与折叠后的所在圆相切时，且切点到弦中点的距离为1，直接写出折痕的长． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①过点O作，垂足为E，交于点F，连接，由题意易得，，，然后问题可求解； ②由题意可分当为的直径时，此时线段恰好在G的内部，当点M与点A重合时，此时线段满足在G的内部，连接，然后分类进行求解即可； （2）设的中点为R，折叠后的所在圆的圆心为，且与线段的切点为Q，连接，与交于点K，过点O作，由题意易得由折叠及切线的性质可知所在圆的半径，且，，，由（1）可知：，，然后根据勾股定理及垂径定理可进行求解． 【小问1详解】 解：①过点O作，垂足为E，交于点F，连接， ∵的半径为4，弦， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即与之间的距离为； ②当为的直径时，此时线段恰好在G的内部，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴； 当点M与点A重合时，此时线段满足在G的内部，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， 由①可知：所对圆心角的度数为， ∴， ∵， ∴所对圆心角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当线段在G的内部（不含边界）时，的取值范围为； 【小问2详解】 解：设的中点为R，折叠后的所在圆的圆心为，且与线段的切点为Q，连接，与交于点K，过点O作，如图所示： ∴，， 由折叠及切线的性质可知所在圆的的半径，且，，， 由（1）可知：，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 8.（2026·河北廊坊广阳区·一模）抛物线：（m为常数，）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为点P． （1）如图1，若点C的坐标为． ①求抛物线的函数解析式及点P的坐标； ②过点P作x轴的垂线，垂足为Q，与直线交于点M，求的长； （2）设点B到直线的距离为，点P到直线的距离为，，判断h是否为定值，如果是，求出h的值；如果不是，说明理由； （3）如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线与y轴交于点F，抛物线，相交于D，E两点，若四边形的面积为，直接写出m的值． 【答案】（1）①，；② （2）h为定值，2 （3）m的值为3 【解析】 【分析】（1）①将代入求出，即可得到抛物线的解析式；然后配方成顶点式即可求出点P的坐标； ②首先求出，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式为，然后求出，进而求解即可； （2）首先求出，，，，直线的函数解析式为，然后求出，然后得到，分别过点P，B作的垂线，垂足为G，H，则，，解直角三角形表示出，，然后代入求解即可； （3）作直线，得到抛物线和抛物线关于原点对称，推出，，四边形为平行四边形，设点，则点，联立求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点C的坐标为， ∴代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； ∴， ∴点； ②∵抛物线的解析式为 ∴当时， 解得，， ∴． 设直线的函数解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：h为定值2； ∵抛物线： ∴当时，， 解得，， ∴，． ∴，， 又∵， ∴ ∴直线的函数解析式为． 在中，，， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，， ∴． 如图1，分别过点P，B作的垂线，垂足为G，H，则，． 在和中，， ∴． 在中，， 在中，， ∴，为定值； 【小问3详解】 解：如图2，作直线， ∵将抛物线绕点旋转，得到抛物线 ∴抛物线和抛物线关于原点对称 ∴，， ∴四边形为平行四边形． 设点，则点， ∴可得直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式，得， 解得（负值舍去）． ∴， ∴四边形的面积为，即， 解得． 9.（2026·河北石家庄高新区·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，点C为抛物线W的顶点，且抛物线W过点A． （1）求A，B两点的坐标，并直接写出点C的坐标； （2）求抛物线W的解析式； （3）抛物线和W关于y轴对称，直线交抛物线于点A和点D，点A是否为线段的中点？请给予说明； （4）将抛物线W向右平移m个单位长度得到抛物线，若点，，均在抛物线上，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），，； （2）； （3）点A不是线段的中点；理由见解析 （4）m的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用轴对称的性质求得抛物线的解析式为，联立求得，再利用坐标中点公式即可判断； （4）利用平移的性质求得抛物线的解析式为，分别用表示出，，，根据，列不等式组，据此求解即可． 【小问1详解】 解：对于直线， 令，可得， ∴． 令，即，移项可得， 解得，∴． 因为点C为线段的中点，根据中点坐标公式， 可得C点坐标为，即． 因此，，，； 【小问2详解】 解：∵点为抛物线W的顶点， ∴设抛物线W的解析式为． ∵抛物线W过点， ∴将代入中， 可得，即， 解得． 将代入中， 可得； ∴抛物线W的解析式为； 【小问3详解】 解：点A不是线段的中点，理由如下， ∵抛物线和关于y轴对称，对于抛物线， 其关于y轴对称的抛物线，只需将x换成， 可得， 即抛物线的解析式为． 联立直线与抛物线的方程得， 可得， 移项可得， 因式分解得， 则或， 解得，． 当时，，即； 当时，，即． 已知，，， 根据中点坐标公式，线段的中点坐标为，即， 与不重合， ∴点A不是线段的中点； 【小问4详解】 解：∵将抛物线W向右平移m个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为． 已知点，，均在抛物线上， ∴， ， ， ∵， ∴， 解不等式①得； 解不等式②得； 因此，m的取值范围为． 10.（2026·河北石家庄新华区·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． （1）求抛物线的表达式，并求出顶点坐标； （2）已知直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． ①C（ ， ）； ②当时，如图，直线与轴交于点，与直线x＝2交于点E，当抛物线与线段仅有一个交点时，求k的取值范围； ③过点C与垂直直线d交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．R为抛物线的对称轴上一点，射线，与x轴分别交于H，S．试探究：当m变化时，是否存在以为顶角的等腰，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）①；②或；③ 【解析】 【分析】（1）将代入中，得到，推出抛物线的表达式为，配方成顶点式，可得到顶点坐标； （2）①由直线与x轴交于点C，令，得到，结合，得到，求得，得到点； ②当时，直线为，根据题意求得点，点，由抛物线可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线沿对称轴上下平移，从而当抛物线与线段相切时有一个交点，；当抛物线经过点时，有两个交点，；当抛物线经过点时，有一个交点，；即可求得k的取值范围； ③存在，设， 直线与抛物线联立，求得，根据点是的中点，得到；再求得直线解析式为，然后直线与抛物线联立得，，求得，由点是的中点，得到；由题意知，求出，，代入得，要使对任意都成立，有，解得，即可得到点． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴将代入中，得， 解得，， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①∵直线与x轴交于点C， ∴当时，，即， ∵， ∴，解得， ∴点； ② 当时，直线为， ∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴点， ∵直线与直线交于点， ∴， ∴点， 由抛物线可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线沿对称轴上下平移， 当抛物线与线段相切时有一个交点，此时， 整理得，， ∴，即，解得； 当抛物线经过点时，有两个交点，； 当抛物线经过点时，有一个交点，； 综上可知，当抛物线与线段仅有一个交点时，或； ③存在，理由： ∵抛物线为，对称轴为，点为抛物线的对称轴上一点， ∴设， 直线与抛物线联立得，， 整理得，， ∴， ∵点是的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即； ∵直线与直线：垂直， ∴直线的斜率为：，解析式为， ∴直线与抛物线联立得，， 整理得，， ∴， ∵点是的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即； ∵等腰的顶角为，即，且，关于对称轴对称， ∴， ∵，， ∴，化简得， 整理得，， ∵要使对任意都成立， ∴，解得， ∴． 11.（2026·河北邢台第三中学·一模）已知，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． （1）抛物线的对称轴为直线_____（用含有的式子表示）； （2）若，函数值随着的增大而减小，求的取值范围； （3）如图，当时． ①将抛物线向左平移个单位长度后，当时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为6，请求出的值； ②点为第四象限内抛物线上的一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围为或 （3）①的值为或；② 【解析】 【分析】（1）直接根据抛物线对称轴公式求解即可； （2）分两种情况：若，若，运用二次函数的性质分别求得a的取值范围即可； （３）①求出平移后抛物线解析式，得对称轴为，再分、和三种情况讨论求解即可； ②根据图象折叠的对称性，得点，根据翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，可得且，即可求得答案． 【小问1详解】 解：的对称轴为：， 所以，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为，开口方向由决定： 当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即； 当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即． 综上，的取值范围为或． 【小问3详解】 解：当时，抛物线的解析式为． ①抛物线向左平移个单位后，解析式为，对称轴为； 情况1：对称轴在区间左侧：时，即，在上随的增大而增大， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 情况2：对称轴在区间内， 当时，即，函数在顶点处取得最小值为，最大值为时的较大值， 此时，时，值较大，为， 所以，， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，即，函数在顶点处取得最小值为，最大值为时的较大值， 此时，时，值较大，为， 所以，， 解得：或（不合题意，舍去）； 情况3：对称轴在区间右侧：时，即，在上，随的增大而减小， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 综上，的值为或； ②∵， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线, ∵点为第四象限内抛物线上的一点，且轴， ∴、关于对称轴对称，且, 以直线（即直线）为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，原顶点关于直线的对称点即为翻折后图象的顶点．则， 设翻折后函数解析式为， 令，得： ∴ ∴，且， ∴，且， 设两个交点的横坐标为，则或， ∵， ∴，则恒为正数； 要使交点都位于轴上正半轴上，则， ∴ 解得， ∴． 12.（2026·河北张家口·一模）如图，抛物线经过点，顶点为．抛物线的顶点在上，与轴交于点，与交于点． （1）求的解析式，并用含的式子表示； （2）嘉嘉说：若，总经过一个定点．嘉嘉说得正确吗？若正确，求出这个点的坐标；若不正确，请说明理由； （3）若，与两个交点的对称中心在轴上，求的值； （4）若点和都在上，且，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）嘉嘉说得正确，定点坐标为 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）将点代入求得，根据的解析式可得点，代入可得； （2）将和代入，可得，观察可知，当时，为定值，因此过定点； （3）联立抛物线与，求得交点坐标为，，则两个点的对称中心的坐标为，由该点在轴可知，，解得； （4）根据可得，在抛物线中，点离对称轴直线越近，对应的函数值越大，结合可知，，解得． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ， 解得， ∴的解析式为， 抛物线的顶点的坐标为， 将点代入，得； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴， 当时，为定值， ∴嘉嘉说得正确，定点坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线为， 联立抛物线与，得， ， 解得或， ∴抛物线与的两个交点的坐标为，，对称中心的坐标为， ∵两个交点的对称中心在轴上， ∴，解得； 【小问4详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下， ∴在抛物线中，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵的对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴， 平方，得， 整理，得， 解得． 13.（2026·河北唐山·一模）中国女排队员平时刻苦训练，掌握了纯熟的技能，在赛场上敢拼敢打，是国民的骄傲，为备战杭州亚运会，女排队员克服重重困难，进行封闭集训．已知排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． （1）若某队员第一次在O处正上方2米发球，当排球运行至离O的水平距离为6米时，到达最大高度2.8米． ①求排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式； ②这次所发的球能否过网________（填“能”或“否”）． （2）若该队员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问：该队员此次发球有没有出界？并说明理由． 【答案】（1）；能 （2）没有出界．理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线的图像性质解题． （1）根据顶点式列出抛物线方程，然后代入点求得a，即可得到函数关系式． （2）根据抛物线图像性质求解即可． 【小问1详解】 解：（1）①由题意可得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 所求函数关系为． ②当时，则， 故能过网． 【小问2详解】 令，则， 解得（舍），． ， 没有出界． 14.（2026·河北石家庄·摸底）已知抛物线过和． （1）与之间的数量关系是_____； （2）若该抛物线开口向下，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标； （3）对于该抛物线上的两点，，设，当时，均有，请直接写出的取值范围； （4）在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上对称轴右侧的一点，过点作轴的平行线交直线于点，过点分别作轴的平行线交抛物线的对称轴于点．过点作的平行线交轴于点，当四边形在直线，直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，请直接写出点的横坐标的值． 【答案】（1） （2）点的坐标为，点的坐标为 （3）的取值范围为 （4）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一次函数函数的结合，函数与几何图形的结合，方程与不等式，矩形的判定和性质等知识点． （1）根据抛物线的对称性得到与之间的数量关系． （2）根据抛物线的图象和性质，得到点和点所在的位置，进而得到两点的坐标． （3）根据抛物线的图象和性质，判断当时，均有时的取值范围，进而得到的取值范围． （4）根据抛物线与坐标轴的交点坐标，得到直线和直线的表达式，由题意得四边形为矩形，根据当点位于第一象限时和当位于第四象限时，分两种情况讨论，得到对应的或，列出关于的一元二次方程，解得的值． 【小问1详解】 解：∵抛物线过和， ∴和的纵坐标相同， ∴和是关于抛物线对称轴对称的两点， ∴抛物线的对称轴为：，即； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为：，由抛物线图象可知， ∴当时，抛物线的最高点的横坐标为，最低点的横坐标为， ∵点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 由（1）知抛物线的表达式为：， ∴代入点的坐标，得：，解得：， ∴抛物线的表达式为：，即， ∴抛物线的顶点坐标为：，即点的坐标为； 【小问3详解】 解：由（1）知抛物线的表达式为：， ∵抛物线上的两点，，当时，均有， ∴当时，， 根据抛物线的对称性可知，当时，也有， ∵，当时，有， ∴当，且，解得：时，满足要求，有， ∴的取值范围为； 【小问4详解】 解：由（2）知， ∴点，点，点， ∴设直线的表达式为：， 代入点，点，得直线的表达式为：， 设直线的表达式为：， 代入点，得直线的表达式为：， 点在抛物线上， ， 点均在对称轴所在直线上， ， 由题意得四边形为矩形， 如图，当点位于第一象限时，当与共线时，满足在直线之间的部分的面积恰好是矩形面积的一半， 此时四边形为正方形，， ， 即， 解得：， ∵点是对称轴右侧的一点， ∴，取， 如图，当位于第四象限时，对角线不在上时，令交对称轴于， 交于，根据矩形对称性，当时，则， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去）或， 综上，的值为或． 15.（2026·河北石家庄长安区·一模）在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比它的横坐标的2倍还大1个单位长度，那么我们把这样的点叫做“好点”，如点和都是“好点”．如图，抛物线的顶点是“好点”，并且抛物线的开口方向和大小都不变．已知当顶点为时，与轴的交点为，直线与轴轴分别交于点，，设顶点的横坐标为． （1）当时，求与轴交点的坐标； （2）下面是关于的两个结论： 甲：与轴的交点有最高点． 乙：与轴的交点会沿轴的正半轴无限延伸． 请你判断哪个结论是正确的？并通过计算或推理说明理由． （3）若点在内部（不含边界），则对于上的点和点，比较与的大小； （4）当与线段只有一个公共点（含端点）时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）或 （2）甲正确，乙的说法不正确，见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由已知顶点、过，求得抛物线．时，为“好点”，故．令，解得，则可得到与轴的交点； （2）抛物线顶点，，故．令，得，由二次函数性质，，故轴交点有最高点，进而即可判断； （3）联立与，得交点，在内，故．抛物线开口向下，对称轴，在对称轴右侧，随增大而减小，进而即可得解； （4）分两种情况：①与相切，联立方程得，解得；②过，代入得，仅时仅一个交点，进而即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，当抛物线的顶点为时， 设的函数表达式为，其中． 又此时与轴的交点为， ， 解得． 当时，根据“好点”定义可得的顶点是， 则此时的函数表达式为． 当时，有， 解得． 与轴交点的坐标为或； 【小问2详解】 解：甲正确，乙的说法不正确，理由如下： ∵点和都是“好点”， ∴当顶点的横坐标为时，且为好点时， 其纵坐标为， ∴抛物线的顶点的坐标为． 设的函数表达式为， 当时， ， ，且当时，取得最大值2， 即抛物线与轴的交点有最高点． 【小问3详解】 解：由（2）得，顶点的坐标为， 设，，则可得顶点所在函数图象的表达式为． ， 解得， 则该直线与的交点为， 又与轴的交点为，抛物线的对称轴为． 点在内部（不含边界）， ． 对于上的点和点，有， ∴点和点均在的对称轴右侧的图象上． 抛物线开口向下，在对称轴右侧的图象随的增大而减小， ； 【小问4详解】 解：由（2）得，的函数表达式为， 在线段中，当时，； 当时， 解得， ∴，， ①当与相切时，与线段只有一个公共点， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得； ②当经过点时，代入得 解得或． 当时，对称轴右侧的图象经过点，此时与线段有两个公共点； 当时，对称轴左侧的图象经过点，此时与线段只有一个公共点． 当时，与线段只有一个公共点． 综上所述，所求为或． 16.（2026·河北唐山·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线P：（b是常数）经过点，抛物线Q：． （1）求P的解析式及对称轴； （2）将P向上平移，使每次平移后的图象与x轴的左、右交点分别向左、右平移1个单位长度，设平移后抛物线的最高点与x轴的距离为d． ①当时，求平移的次数； ②当平移第n次后，求d（用含n的式子表示）． （3）将P按照（2）中的平移方式向上平移一次得到抛物线，Q恰好经过与x轴的左交点，与组成新函数L，当时，L的最小值为，最大值为，直接写出t的取值范围． 【答案】（1），对称轴为直线 （2）①平移次数为3；② （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出b，进而可求解； （2）①由题意，设平移后的抛物线的解析式为，当时，平移后的抛物线的顶点坐标为，进而可求得，求出平移后的抛物线与x轴的交点坐标即可求解； ②根据题意，平移后的抛物线与x轴的左交点坐标为，右交点坐标为，则平移后的抛物线的解析式为，求出时的函数值即可求解； （3）先求出抛物线的解析式，抛物线Q的解析式，进而得到新函数L，可画出草图，然后利用二次函数的性质，结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：将代入中，得， 解得， ∴ ∴P的解析式为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：①由题意，设平移后的抛物线的解析式为， 当时，平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴将代入中，得， 解得， ∴， 当时，由得，， ∴平移后的图象与x轴的交点坐标为和，又， 故平移的次数为3； ②由得，，则抛物线P与坐标轴的交点为和 根据题意，当平移第n次后，平移后的抛物线与x轴的左交点坐标为，右交点坐标为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，， 故； 【小问3详解】 解：由题意，平移一次后的抛物线与x轴的左、右交点坐标为，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线Q恰好经过抛物线与x轴的左交点， ∴，解得， ∴抛物线Q的解析式为， ∴抛物线Q的开口向上，对称轴为直线， 对于抛物线与抛物线组成新函数L，如图， 当时，，此时L取得最小值， ∵对于当时，L的最小值为，最大值为， ∴，解得，则最大值为， 由得， ∴，（不合题意，舍去）， ∴，解得． 17.（2026·河北石家庄二十八中·一模） 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． （1）若点和都是相反点，则_____，_____． （2）小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式； （3）小芳在研究抛物线：时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”．请你帮她求出a，b的值． （4）在（3）的条件下将抛物线向上平移个单位得到抛物线，若上有两个“相反点”分别是，（其中，且） ①求m的值； ②当时，直接写出中y的最大值与最小值的差． 【答案】（1）； （2） （3）， （4）①；② 【解析】 【分析】（1）根据相反点的定义求解即可； （2）根据相反点的定义得到所有相反点都满足，据此解答即可； （3）由（2）知，相反点在上，与抛物线解析式联立得到，根据抛物线的图象上有且只有一个“相反点”得到判别式为0，将代入得到，据此求解即可； （4）①由（3）可知，抛物线：，则平移后抛物线的解析式为，与直线L的解析式联立得，由韦达定理得：、，利用求解即可； ②由①知，抛物线的解析式为，则对称轴为，求出点、的坐标，最后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：点是相反点， ， ， 点是相反点， ； 【小问2详解】 解：设是“相反点”， ， ， 所有相反点都满足， 直线L的解析式为； 【小问3详解】 解：由（2）知，相反点在上， ， 整理得：， 抛物线的图象上有且只有一个“相反点”， 判别式， 将代入得：，即， 将代入得： ， 解得：， ； 【小问4详解】 解：①由（3）可知，抛物线：， 平移后抛物线的解析式为， 根据题意得：， 整理得：， 抛物线上有两个“相反点”， 设方程有两个不等实根、， 由韦达定理得：、， ，是相反点， 、， ， ， ， ， ， 解得：； ②由①知，，则抛物线的解析式为， 该抛物线对称轴为， 将代入得： ， 解得：，， 当时， 在对称轴处有最大值，最大值为：， 将代入的解析式得：， 将代入的解析式得：， 中y的最大值与最小值的差为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $