压轴解答题训练一-二-【夺冠百分百】2026年中考数学组合练（河北专用）

压轴解答题训练一 1.(2025河北保定二模)如图，已知抛物线C 2.(2024河北邯郸大名三模)如图，在 的顶点坐标为(2,7)，与y轴交于点(0,3). Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6. D是AB的中点.点P从点A出发，沿AC 方向以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，点Q从点A出发，以每秒2个单位 长度的速度沿折线AB一BC向终点C运 O(C C2 动，连接PQ,取PQ的中点E,连接DE, (1)求抛物线C1的解析式； P,Q两点同时出发，设点P运动的时间 (2)将抛物线C1向下平移3个单位长度， 为t秒(t>0). 再向左平移4个单位长度，得到新的抛物 (1)求线段AC的长； 线C2,C2的顶点为A,与x轴的交点为B, (2)当点Q在AB上运动时，求tan∠PQA C(点B在点C左侧)，连接AB; 的值； ①求出点A和点B的坐标； (3)当DE与△ABC的直角边平行时，求 ②P为抛物线C2在第二象限内任意一点 DQ的长； (不与点A重合)，过点P作PD⊥x轴，垂 (4)若点P从点C沿CA方向以每秒1个 足为D,直线AP交y轴于点Q,连接DQ. 单位长度的速度向终点A运动，其他条件 求证：AB∥DQ; 不变，当点Q在AB上运动，PQ与△ABC (3)若直线y=)x+6与抛物线C,C共 的一边垂直时，直接写出t的值 有两个公共点，请直接写出b的取值范围. BA DOBA 备用图1 备用图2 21 压轴解答题训练二 1.(2025河北唐山二模)如图1，平面上，在四 地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中， 边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC,AB= 图2是其截面图，已知绿道路面宽OA= 4,AD=5,BC=8.点P从点C出发，沿折线 3.5m,河道坝高AE=5m,坝面AB的坡 CB一BA向点A运动，连接PD.点C关于 比为i=1：0.5(其中i=tan∠ABE),当水 直线PD的对称点为C,连接CD,设点P 柱离喷水口O处水平距离为2m时，离地 在折线上运动的路径长为x(x>0) 平面距离的最大值为3m. 绿道A D 喷水口O 备用图 E B 图1 图2 以O为原点建立平面直角坐标系，解决 问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； 图2 (2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安 (1)PD的最小值为 ,CD的长 装护栏，若护栏高度为1.2m,判断水柱能 为 否喷射到护栏上，说明理由； (2)当点C落在CD的延长线上时， (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面 ①点P在线段 (选填“AB”或 的距离会随着天气的变化而变化，水柱落 “BC”)上； 人水中能荡起美丽的水花，从美观角度考 ②求此时x的值； 虑，水柱落水点要在水面上 (3)作点B关于直线PD的对称点B',连 ①河水离地平面AD距离为多少时，刚好 接PB 使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交 ①若点P在AB上，当PB'∥CD时，如图 点处？ 2,求x的值； ②为保证水柱的落水点始终在水面上，决 ②连接B'C',当直线BC'经过点A时，直 定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面 接写出x的值. 离地平面距离为hm,喷水口离地平面的 最小高度m随着h的变化而变化，直接写 出m与h的关系式. 2.(2024河北云家庄模拟)为打造旅游休闲 城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲 河边打造喷水景观（如图1）.为保持绿道 26.证明：(1)AC平分∠BAD, ∴∠DAC=∠BAC, ..DC=BC, .∠CBD=∠CDB. (2)·DC=BC, .'DC=BC. ,'四边形ABCD内接于⊙O, ,.∠ADC+∠ABC=180°. 点E在AB的延长线上， ∴.∠EBC+∠ABC=180°， ∴.∠ADC=∠EBC 在△ADC和△EBC中， (DC=BC, ∠ADC=∠EBC, AD-EB, ∴.△ADC≌△EBC(SAS), ∠DAC=∠E '∠DAC=∠BDC, ∴.∠E=∠BDC, :∠EAC=∠DAC,∠DBC=∠DAC, '.∠EAC=∠DBC, .△EAC∽△DBC, .AC AE ·BC-BD 器器 又AE=AB+BE=AB+AD, AC BC ∴AB十ADBD1 压轴解答题训练一 1.(1)解：已知抛物线C1的顶点为(2,7)， .设其顶点式为y=a(x-2)2十7， 代入点(0,3)，得3=a(0一2)2十7，解得a=一1， 故抛物线C的解析式为y=一(x一2)2十7. (2)①解：由题可知原顶点(2,7)平移后为（一2,4），即顶，点 A(-2,4),则抛物线C2的解析式为y=一(x十2)2+4， 令y=0,解得x=一4或x=0, 又点B在点C左侧， .点B的坐标为（一4,0） ②如图，作AELx轴于点E..点 P为抛物线C2在第二象限内任意 一点（不与点A重合)，.设点 P(m,-m2-4m),m≠-2，m<0, -m2-4m>0, -4B D PD⊥x轴，.OD=一m, 设直线AP的解析式为y=kx+n(≠0)， (-2k十n=4, (k=-m-2, 则 解得 km+n=-m2-4m, n=-2m, .直线AP的解析式为y=-(m十2)x-2m, 当x=0时，y=-2m,∴.Q(0,-2m),∴.OQ=-2m, 在Ra0Q中，amQ0-8器-二2=2， OD ∴.tan∠QDO=tan∠ABE,∴.∠QDO=∠ABE, .AB∥DQ (3)解船<6<器。 97 y=-(x-2)2+7, 提示：联立 1 (y=22+6, 整理，得-子十》=0， 则判别式4=一6十贸=0，解得6=器， 4 y=-(x+2)2+4, (y=2x+b, 誉理，得2+号x+6=0, 别别式4：-到-仙=0， 解得6-器 1 ”直线y=乞x十b与抛物线C,C共有两个公共点，故6 的取位龙国为器<器 2.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6, AC=√AB2-BC=√102-6=8. (2)如图1，作PF⊥AB,垂足为F, C E A F DQ B 图1 :∠A=∠A,∠AFP=∠C=90°， △AFPO△ACB,A铝瓷-能 .AC=8,AB=10,BC=6,AP=t, AF-音，PF-， 4 6 :QF=AQ-AF=2L-51=号， ∴tan∠PQA= QF (3)分情况讨论： ①如图2，当DE∥BC时，过点P作PF⊥AB于点F,过点 E作EG⊥AB于点G, H B 图2 .'DE∥BC,.∠B=∠ADE, .tan∠ADE= 器-mB-瓷=8-合 GD GD-3EG. E为PQ的中点，EG∥PF, EG QE_GQ_1 ∴△QEGAQPF,P=QP-F0=2' BG=PF= GD=是BG=品 QF-St.DQ-AQ-AD-2-5, c0-Q-， GD=G0-DQ-号-(2：-5)=5-子4， 即0=5-子，解得1铝， D0=2x8-5=号 15 ②当DE∥AC时，如图3，点Q与点B重合， B(O) 图3 :.DQ-DB-zAB-5, 综上所运，DQ的长为吕气5. (④当PQ与△ABC的一边套直时：的值为9我铝 提示：①当PQ⊥AB时，如图4，则∠AQP=∠C=90°. 图4 ∠A=∠A, △APQAARC,.器-怨， ∴AP=A8.AB,即8-1=2X号， AC 解得4=9 ②当PQ⊥AC时，如图5，则∠APQ=∠C=90°， 图5 :∠A=∠A, 六△APQn△ACB,A2=AQ ·ACAB ∴AP-8·AC,即8-1-21×告，解得1-智 ③.t>0, .很明显PQ与BC边不垂直， 鲸上，当PQ与△ABC的一边垂直时，的值为9或铝 压轴解答题训练二 1.解：(1)45[解析]作DE⊥BC交BC于点E,则∠DEB= ∠DE℃=90°，如图1. PE 图1 ,∠A=90°，AD∥BC,.∠ABC=180°-∠A=90°， .四边形ABED为矩形，∴.BE=AD=5,DE=AB=4, ∴.CE=BC-BE=3. 在Rt△DEC中，CD=/CE+DE=5; 当点P在BC上时，当点P与点E重合时，DP最小，为4， 当点P在AB上时，当点P与点A重合时，DP最小，为5， 故PD的最小值为4. (2)①AB ②由翻折，得∠PDC=∠PDC=90°，如图2. 图2 由(1)知∠A=∠CED=∠ADE=90°，CE=3,DE=4, ∴.∠ADC+∠CDE=90° :∠ADC+∠ADP=90, ∴∠CDE=∠ADP,.△CDE△PDA, 瓷品号子Ap-只 Γ4 i.BP-AB-AP--BC+BP-8+ (3)①当，点P在AB上时，延长CD,BA相交于点E,延长 DP到点F,如图3， 图3 :AD∥BC, .△ADE∽△BCE, 能熙品 ÷品B即写-音 ED=5 解得AE=9,ED- 点B与点B关于DP对称， ∠BPF=∠B'PF. PB∥CD, ∠B'PF=∠EDP. ∠BPF=∠APD, .∠EPD=∠EDP, EP-ED- ·AP=EP-AE=25-20=5 333 PB=AB-AP=4-号=子， x=BC+BP=8+了- ②z=5或吕提示：(1)当点P在BC上时，如周4， A(C B 图4 由翻折可知，点C与点C'关于DP对称， .'DC'=DC=5,PC'=CP. .AD=5, .'DC'=AD. 又，点B与点B'关于DP对称，BC'经过点A, 此时，点A与点C重合， 则AP=CP, ..BP=BC-PC=8-PC, 由勾股定理，得AB2十BP2=AP, .42+(8-PC)2=PC, 解得PC=5, ∴.x=5. (i)当点P在AB上时，过点D作DE⊥BC于点E,DF⊥ B'C'于点F,如图5. 图5 由翻折可得∠DCE=∠DCF,DC=DC, ∴点C与点C'关于DP对称， DE⊥BC,DF⊥B'C', .∠DEC=∠DFC=90°. (∠DEC=/DFC', 在△DEC和△DFC中，{∠DCE=∠DCF, DC=DC, .△DEC≌△DFC(AAS), .'DF-DE. 由(1)知DE=4, .DF=4, .AF=√AD-DF=3. 点B与点B'关于DP对称， ..PB=PB'. :点C与点C'关于DP对称， .四边形DPBC与DPB'C关于DP对称， ∠B=∠B=90°， .∠B=∠DFB'=90° .∠B'AP+∠B'PA=90°. B'C'经过，点A,∠BAD=90°， .∠B'AP+∠DAF=90°， ∠B'PA=∠FAD, .△B'APC∽△FDA, .PA=PB "ADAF· PA-AB-PB,:.AB-PB_PB AD AF :4-PB=PB,解得PB=多 5 3 2· x=BC+BP=8+号-号. 综上，当直线BC经过点A时，x的值为5或号 2.解：(1)由题意，得二次函数的顶点坐标为(2,3) ,.设该二次函数的解析式为y=a(x一2)2十3(a≠0). ,二次函数经过原点， a(0-2)2+3=0,即4a十3=0，解得a=-子， 该二次画数的解析式为y=-子（红-2）2+3. (2)水柱不能喷射到护栏上，理由如下： 当x=3.5时y=-是(8.5-22+3=1.3125， 1.3125>1.2, 水柱不能喷射到护栏上。 (3)①，河道坝高AE=5m,坝面AB的坡比为i=1:0.5 (其中i=tan∠ABE), 能=10.5，即BE=2.5 则点B与原，点0的水平距离为3.5十2.5=6， .点B的坐标为(6，一5). 又点A的坐标为(3.5,0)， 设直线AB的解析式为y1=kx十b(k≠0)，代入A,B的 坐标， 13.5k+b=0, k=一2， 得 解得{ （6k+b=-5, b=7, .y1=-2x+7(3.5≤x≤6). 令-2z+1=-(x-22+3, 解得工=2（不符合题意，合去），西，=14 31 当2=时y=-子， 即河水离地平面AD的距离为了m时，水柱刚好落在坝 面截线AB与水面截线的交，点处， ②3k+2h-21=16m提示：将抛物线y=-号x-2》+3向 上平移mm, 则可得新的抛物线解析式为y=一3（红一2)2+3十m, 4 当坝中水面离地平面距离为hm, 则坝面截线AB与水面截线的交点G的纵坐标为一h,如图， y 绿道A 喷水口O G 结合直线AB的解析式可求出点G的坐标为(3.5+，-h), :点G在抛物线)=一是（红一2十3十m的图象上， ÷-（3.5+2A-2)°+3+m=-, 整理，得3h2+2h-21=16m, 即m与h的关系式为3h2+2h-21=16m. 压轴解答题训练三 1.解：(1)①EF=BE+DF 提示：如题图1， ,'把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与 AD重合， .∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°， ,∠ADC=90°， .∠ADC+∠ADG=180°， 点F,D,G共线. :∠BAD=90°，∠EAF=45°， .∠BAE+∠DAF=45°， ∴.∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°. AF-AF, 在△EAF和△GAF中，∠EAF=∠GAF, LAE-AG, .△EAF≌△GAF(SAS), .'EF=GF. .BE=DG, .EF-GF-DF+DG-DF+BE. ②成立.理由如下：如图1，把△ABE绕点A旋转到 △ADG,使AB和AD重合， 图1 则AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG, :∠B+∠ADC=180°， .∠ADC+∠ADG=180°， C,D,G三点在一条直线上， 与①同理，得∠EAF=∠GAF=45°， (AF-AF, 在△EAF和△GAF中，∠EAF=∠GAF, LAE=AG, ∴.△EAF≌△GAF(SAS),.EF=GF BE=DG,.'.EF=GF=BE+DF. (②)DE=号.提示：在△ABC中，AB=AC=2VE, ∠BAC=90°， .∠ABC=∠C=45. 由勾股定理，得BC=√AB2十AC=4, 如图2，把△AEC绕点A旋转到△AFB,使AB和AC重 合，连接DF E 图2 则AF=AE,∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE. ∠DAE=45°， .∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD= ∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45. (AD-AD. 在△FAD和△EAD中，{∠FAD=∠EAD, AF-AE,