专题12.1 函数（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦初中数学函数核心知识点，从常量与变量的概念切入，系统构建函数定义（强调唯一对应关系）、三种表示方法（列表法、解析式法、图象法）、函数值与自变量取值范围的确定，到函数图像绘制与识别的完整学习支架。 资料通过“即学即练”及时巩固概念，题型分类（如函数概念辨析、图像识别）强化应用，结合汽车耗油量等实际情境培养模型意识，图像分析提升几何直观，助力课中教学高效推进，课后学生可通过分层练习查漏补缺，深化对函数动态思维的理解。

专题12.1 函数 教学目标 1.理解常量、变量的概念，理解函数的定义，掌握自变量、因变量（函数）的概念，明确函数的唯一对应关系，能判断两个变量是否构成函数关系，辨析非函数关系的易错情形。 2.掌握函数的定义，理解自变量、因变量的含义，把握“唯一对应”的核心，能准确判断两个变量是否为函数关系。 3.了解函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法，掌握三种表示方法的特点并能简单转化。 4.会根据代数式意义和实际情境，确定自变量的取值范围，能根据自变量的值求对应的函数值。 5.初步建立函数模型思想，能用函数视角分析简单实际问题，提升数形结合与数学建模素养。 教学重难点 1.重点 （1）区分常量与变量，理解函数的概念与唯一对应关系； （2）掌握自变量取值范围的求解方法，会求函数值； （3）认识函数的三种表示方式，能读懂简单函数表格与图象。 2. 难点 （1）深度理解函数“唯一对应”的本质，能辨析非函数关系； （2）结合实际情境综合确定自变量取值范围，兼顾式子意义与实际意义； （3）摆脱静态算式思维，建立变量动态变化的函数思维。 知识点01 函数的概念 1.变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量。 2.函数的定义：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 【即学即练】 1．圆周长公式中，下列说法错误的是（     ） A．r是自变量，C是r的函数 B．C、r是变量，是常量 C．C、、r是变量，2是常量 D．当自变量时，函数 【答案】C 【分析】根据常量、变量与函数的定义逐一判断选项即可得到错误说法． 【详解】解：∵是固定不变的圆周率，是常数， ∴在圆周长公式中，和都是常量，和是变量． A选项，是自变量，是的函数，说法正确，不符合题意； B选项，、是变量，是常量，说法正确，不符合题意； C选项，错误将归为变量，说法错误，符合题意； D选项，将代入公式，得，说法正确，不符合题意． 2．（25-26八年级上·广西崇左·期末）下列关系式中y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义，判断每个选项中对于x的每一个确定值，y是否有唯一确定的值与之对应，若存在一个x对应多个y，则y不是x的函数，本题考查了函数的定义． 【详解】解：∵函数的定义为：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应 对于选项A，当x取正数时，例如，由可得或，即一个x值对应两个不同的y值 ∴y不是x的函数 对于选项B、C、D，任意给定一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，符合函数定义 综上，答案选A， 故选：A． 知识点02 函数的三种表示方法 1.函数的三种表示方法：列表法、解析法、图象法。 定义 特点 备注 列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法 能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛 解析法 用数学式子表示函数关系的方法 准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然 其中的数学式子叫作函数表达式或函数解析式 图象法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法 直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律 【即学即练】 1．下列曲线中，能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义：对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，再逐一分析即可． 【详解】解：A．图象中给定一个x，只有1个y值与它对应，能表示是的函数，符合题意， B．图象中出现给定一个x，存在两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； C．图象中出现给定一个x，存在两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； D．图象中出现给定一个x，存在三个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意． 2．如果每盒铅笔12支，售价8元，那么铅笔的售价y（元）与铅笔的支数x（支）之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列函数关系式，找准等量关系是解题的关键．先求出单价，再根据等量关系：总价单价支数，列出关系式即可． 【详解】解：∵每盒铅笔12支，售价8元， ∴单价为元， ∴. 故选：B． 3．某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验，在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的余油量（升）与汽车的行驶时间（小时）之间的关系如表： （小时） 0 1 2 3 （升） 120 112 104 96 则用关系式法表示因变量（升）与自变量（小时）之间的关系为______． 【答案】 【分析】根据表格数据即可表示因变量y（升）与自变量t（小时）之间的关系． 【详解】解：根据表格数据可知： 因变量y（升）与自变量t（小时）之间的关系为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的表示方法、常量与变量，解决本题的关键是函数的表示方法． 知识点03 函数值与函数自变量的取值范围 1.函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值。 2.自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义： ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x； ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零； ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零； ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义。 【即学即练】 1．点在下列哪个函数的图象上（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判断给出的点是否在函数图像上，将点的坐标代入函数解析式即可判断． 【详解】解：将点代入，等式不成立，A选项不符合题意； 将点代入，等式成立，B选项符合题意； 将点代入，等式不成立，C选项不符合题意； 将点代入，等式不成立，D选项不符合题意； 故选：B． 2．函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数自变量的取值范围．根据分式的分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：A． 3．当时，函数的值是（   ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【分析】本题比较容易，考查求函数值，根据函数的定义，把代入函数关系式即可求得的值． 【详解】解：直接把代入得 ． 故选：D． 知识点04 函数的图像 1.函数的图象定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数的每对对应值作为点的横、纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象． 2.由函数表达式画函数图象的一般步骤： ①列表：列出自变量与函数的一些对应值； ②描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； ③连线：按照自变量的大小顺序，把所描各点用平滑的曲线依次连接起来。 【即学即练】 1．通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 m 2 1 n 3 4 … (1)列表，补全表格：______，______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____． 【答案】(1)3，2 (2)见解析 (3)1，1 【分析】本题主要考查了画函数图象，求函数值． 对于（1），将，代入函数关系式，可得答案； 对于（2），用描点、连线的方法来画出函数图象； 对于（3），观察图象可得答案． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， 故答案为：3，2； （2）解：如图： （3）解：当时，该函数的因变量的值最小，最小值为1． 故答案为：1，1． 题型01 函数的概念 【典例1】下列关系式中，y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断，若对于的每一个确定取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：选项A，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义； 选项B，中，任意给定一个合法的x值，都有唯一确定的y值与之对应，符合函数定义； 选项C，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义； 选项D，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义． （1）判断核心标准：在一个变化过程中有两个变量（自变量）、（因变量），对于每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，则是的函数； （2）快速判断三步：①存在两个变量；②给定一个值；③只对应一个。 【变式1】变量，有如下关系：①；②；③．其中是的函数的是________．（填序号） 【答案】①③ 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的定义判断即可． 【详解】解：①，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意； ②，任意给一个正数x，y都有两个值与x对应，不符合函数的定义，不符合题意； ③，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了函数的概念，关键是对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即一一对应． 【变式2】下列关系式中，不是的函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义判断：对于的每一个确定值，必须有唯一确定的值与之对应，才是的函数，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵根据函数的定义，对于的每一个确定值，必须有唯一确定的值与之对应，才是的函数， ∴、符合函数定义，不符合题意； 、符合函数定义，不符合题意； 、，当时，可得，解得或，即取一个确定值时，有两个不同的值与之对应，不满足函数定义，符合题意； 、符合函数定义，不符合题意． 【变式3】下列四个选项中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的定义，根据初中函数的定义，判断每个选项中对于x的每一个确定值，y是否有唯一确定的值与之对应，若存在一个x对应多个y，则y不是x的函数． 【详解】解：∵函数的定义是：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应． ∴对各选项分析如下： A选项：对于x的每一个确定值，代入都能得到唯一的y值，符合函数定义； B选项：对于的每一个确定值，代入都能得到唯一的y值，符合函数定义； C选项：对于x的每一个确定值，代入都能得到唯一的y值，符合函数定义； D选项：当x取一个确定值时，y有两个值与之对应（如时，或），不符合函数定义． 故选：D． 题型02 函数的三种表达方式 【典例1】小明从地到地（两地相距40千米）的骑车速度为10千米/小时，则小明离地的距离（千米）与骑车时间（小时）之间的函数解析式（不写自变量的取值范围）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合路程=速度时间列方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 故选：C． 【点睛】本题考查利用函数的表示解实际问题，读懂题意，准确利用表达式表示函数关系是解决问题的关键． 转化技巧：三种形式可互相转化；表格多组点可画出图像，图像取点可列出表格、推导解析式。 【变式1】下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（　　） 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图表，观察发现w的值是r的值的2倍可得w与r之间的表达式． 【详解】根据表格可知，w与r之间的关系式是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛． 【变式2】小强将自己家的汽车油箱加满后进行耗油实验，根据记录的数据绘制出了如图所示的趋势图，根据趋势图可推测，当汽车行驶时，油箱中的剩余油量是_________L． 【答案】10 【分析】本题考查用图象表示两个变量的关系，根据图象 【详解】解：根据图象，得汽车每行驶，油箱中的剩余油量减少， ∴当汽车行驶时，油箱中的剩余油量是， 故答案为：10． 题型03 函数图像的识别 【典例1】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）下列图象中，不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，对于每一个确定的的值都有唯一确定的值与之对应，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项D的图象中，不符合每一个确定的的值都有唯一确定的值与之对应，不能表示是的函数. 竖线检验法：垂直 x 轴直线和图像至多一个交点，满足则为函数图像。 【变式1】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据函数的定义，对于自变量 的每一个值， 都有唯一确定的值与之对应.在图象上体现为：作垂直于 轴的直线，该直线与函数图象最只有一个交点. A. 作垂直于 轴的直线，可能与图象有多个交点，故 不是 的函数； B. 作垂直于 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 不是 的函数； C. 作垂直于 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 不是 的函数； D. 作垂直于 轴的直线，与图象只有一个交点，故 是 的函数. 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）下列各曲线，不能表示是的函数的为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．由此逐项判断即可． 【详解】解：A、B、C选项中，对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数； D选项中，对于一定范围内x取值时，y可能有2个值与之相对应，所以y不是x的函数． 【变式3】下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．由此逐项判断即可． 【详解】解：C、B、D选项中，对于一定范围内自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以是的函数； A选项中，对于一定范围内取值时，有个值与之相对应，所以不是的函数． 题型04 画函数图像 【典例1】用描点法画出函数y＝x＋2的图象． 【答案】见解析 【详解】解：列表、描点、连线后得到的图象，如图所示. 【变式1】在平面直角坐标系中画出函数的图象．在图象上标出横坐标为的点A，并写出它的坐标； … 0 1 2 3 … … … 【答案】见解析， 【分析】先列表，再在坐标系内描点，再连线即可． 【详解】解：列表如下： … 0 1 2 3 … … 6 5 4 3 2 1 0 … 点A坐标， 描点并连线： 【点睛】本题考查的是利用描点法画函数的图形，掌握列表，描点，连线画函数的图象是解本题的关键． 【变式2】小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)如表是y与x的几组对应值： 0 1 2 3 1 3 写出表中m的值_________； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象： 【答案】(1)全体实数 (2)0 (3)见详解 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）由图表可知可以是任意实数； （2）把代入即可求得； （3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可． 【详解】（1）解：函数中自变量可以是全体实数； 故答案为：全体实数； （2）解：当时，， ∴； （3）解：函数图象如图所示； ； 题型05 求自变量或函数值 【典例1】函数中自变量x的取值范围是（  ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围．根据题意，函数的分母不为0即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：D． （1）已知求（函数值）：将自变量数值整体代入解析式，按运算顺序计算，结果即为函数值； （2）已知求：把函数值代入等式，解关于的方程，多解需结合自变量取值范围取舍； （3）分式型自变量范围：分母；二次根式：被开方数；实际问题结合场景限制取值。 【变式1】已知关系式，当时，，则当时，y的值是（   ） A．17 B．12 C．15 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了求函数解析式，熟练掌握利用待定系数法解答是解题的关键．把，代入求出函数解析式，再把代入即可求出y的值． 【详解】解：把，代入，得 ， ∴， ∴， 当时， ． 故选C． 【变式2】下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图象上点的坐标特点，将点代入各个函数解析式进行判断即可． 【详解】解：A.把代入得，所以，函数的图象不经过点，故选项A不符合题意； B. 把代入得，所以，函数的图象经过点，故选项B符合题意； C. 把代入得，所以，函数的图象不经过点，故选项C不符合题意； D. 把代入得，所以，函数的图象不经过点，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式3】根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是（   ） A．9 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求函数值，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程． 依据题意，输入的值是时，输出的值即可． 【详解】解：∵， 当时，， 故选：D． 【变式4】热力学温度与摄氏温度之间有如下数量关系：，，当时，相应的热力学温度T是______K． 【答案】 【分析】将代入相应的关系式，即可得到T的值，本题得以解决． 【详解】解： ， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查函数关系式、函数值，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数值． 题型06 从函数图象获取信息 【典例1】，两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距（），甲行驶的时间为（），与的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是； ②甲出发后被乙追上； ③甲比乙晚到； ④甲车行驶或，甲，乙两车相距； 其中错误的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象，能从函数图象中获取准确信息，利用数形结合思想解答是解题的关键． 根据图象可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发，乙出发后追上甲，可得到乙车行驶的速度是，故①正确；故②正确；根据图象可得当乙到达地时，甲乙相距，从而得到甲比乙晚到，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达地时和当乙车到达地后时，可得④不正确． 【详解】解：①由图可得，甲车行驶的速度是， ∵甲先出发，乙出发后追上甲， ∴， ∴， 即乙车行驶的速度是，故①正确，不符合题意； ②∵当时，乙出发，当时，乙追上甲， ∴甲出发后被乙追上，故②正确，不符合题意； ③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距， ∴甲比乙晚到，故③正确，不符合题意； ④设甲车行驶，甲，乙两车相距， 由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则 解得； 当乙车到达地后时，， 解得， ∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④不正确，符合题意； 综上所述，错误的个数是1个． 故选：B． （1）基础读取：图像上任意一点横坐标为自变量，纵坐标为对应函数值； （2）变化趋势：从左往右上升→随增大而增大；下降→随增大而减小；水平→不变； （3）最值读取：图像最高点纵坐标是函数最大值，最低点纵坐标是最小值； （4）实际图像解读：交点代表两个变量取值相等；分段拐点代表状态发生改变。 【变式1】光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大，植物生长越快．某机构在水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：）对某品种草莓光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，得到如图所示的图象，根据图象分析，下列四个结论中不正确的是（ ） A．草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小 B．当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大 C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大 D．草莓生长最快时的温度约为 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是能够从函数图象中获得相应的信息．根据统计图获得相应的信息，进行判断即可得． 【详解】解：由图象，可知草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小，故选项A正确； 由图象，当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率曲线达到最高点，草莓的呼吸作用耗氧速率最大，故选项B正确； 由图象，可知光合作用产氧速率不总是大于呼吸作用耗氧速率，故选项C不正确； 由图象，当温度约为时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差最大，结合题意可知此时草莓生长最快，故选项D正确； 故选：C． 【变式2】如图，一只蚂蚁从点出发，沿着半圆的边缘爬了一周，又回到点，下面可以描述蚂蚁与点距离变化的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了函数图象，解题的关键是分析路程随着时间的变化而变化的趋势，学会数形结合的方法，才能解决实际的问题． 一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小．据此判断． 【详解】解：A．第一段路程随着时间的增加而增加，第二段路程不变，第三段路程随着时间的增加而减小．符合蚂蚁与O点距离变化的描述； B．图中只有两段路程，反映的是蚂蚁从O点出发后，就直接原路返回来了，所以不符合蚂蚁与O点距离变化的描述； C．图中一开始蚂蚁就处在离O比较远的距离，显然不符合题意； D．图中只有两段路程，第一段路程随着时间的增加而增加，而第二段路程不变，说明蚂蚁一直在半圆上运动，而没有回到O点，所以不符合蚂蚁与O点距离变化的描述． 故选：A． 【变式3】小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离与时间的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前的平均速度是；②他在时在家中逗留；③他在时离家越来越远；④他在后到家．其中，正确的是（   ） A．①②③④ B．①④ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查函数图象，关键是利用已知信息和图象所给的数据分析题意，依次解答．由图象可以直接得出前分钟小亮的平均速度，从而得出正确；由图象可知从分到分小亮又返回学校，可以判断错误，正确；求出小亮分钟离家距离，可以判断正确. 【详解】解：由图可知，前分钟的平均速度为：（米/分），故正确； 由图象可知，小亮第分钟又返回学校，故错误； 由图象可知，他在第分钟时离家越来越远故正确； 由图象可知：第41分钟离家距离为，故正确， 故选：． 1．（25-26八年级下·天津河北·期末）当时，函数的值是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】直接把代入对应的关系式中求值即可． 【详解】解：将代入解析式得． 2．（25-26八年级下·福建漳州·期末）函数的自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的分母不为0的性质列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应. 结合图象，利用“垂直于轴的直线与图象最多只有一个交点”这一性质进行判断即可． 【详解】解：.对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，该选项不符合题意； . 对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，该选项不符合题意； . 存在某个的值，对应多个的值（作垂直于轴的直线与图象有多个交点），故不是的函数，该选项符合题意； . 对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，该选项不符合题意． 4．（25-26七年级下·山东淄博·期末）用一根长的铁丝围成一个长方形，下列选项中是常量的是（     ） A．长方形的长 B．长方形的宽 C．长方形的周长 D．长方形的面积 【答案】C 【分析】根据常量与变量的定义，变化过程中固定不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量，据此判断各量的情况即可作答． 【详解】解：∵铁丝总长度固定为，围成的长方形的周长等于铁丝的长度， ∴长方形的周长是固定不变的量， 改变长方形的长时，长方形的宽会随之变化，长方形的面积也会随之变化， 因此长、宽、面积都是变量，只有周长是常量． 5．（25-26八年级下·福建厦门·期中）某车油箱中存油25升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余油量等于总存油量减去流出的油量，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：∵流速为升/分钟，流出时间为分钟， ∴分钟流出的油量为升， 又∵剩余油量总存油量流出油量，总存油量为升， ∴． 6．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）某商场销售某种商品，原价240元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 230 260 290 320 根据以上信息，当售价为240元时，该商品日销售量为__________件． 【答案】 【分析】观察表格数据可得，每降价5元，日销售量增加30件，售价为240元即未降价，据此可计算出对应日销售量． 【详解】解：由表格可知，每降价5元，日销售量增加30件， 当售价为240元时，降价金额为0元，比降价5元时少30件销售量， 因此日销售量为 （件）． 7．在广州乘坐公交车，刷羊城通每次收费3元，李明在羊城通中存入100元，此后他乘坐公交车x次，羊城通中的余额为y元，写出y与x的函数解析式为________． 【答案】/ 【分析】找出羊城通余额与乘坐公交车次数之间的数量关系，即余额等于存入的钱数减去乘坐公交车的总花费． 【详解】解：∵刷羊城通每次收费3元，李明乘坐公交车x次， ∴乘坐公交车的总花费为元， ∵李明在羊城通中存入100元， ∴羊城通中的余额y等于存入的钱数100元减去乘坐公交车的总花费元，即， ∴y与x的函数解析式为． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）点______（填“在”或“不在”）函数的图象上． 【答案】在 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到函数值后，与点的纵坐标比较，若二者相等，则点在函数图象上，否则点不在函数图象上，据此求解即可． 【详解】解：将代入函数解析式，得， 则点在函数的图象上． 9．（25-26八年级下·北京·期中）下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是_____（填写序号）． 【答案】①② 【分析】根据函数的定义逐个分析即可． 【详解】解：①，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ②，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ③，不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y不是x的函数； 综上所述，y是x的函数的是①②． 10．在平面直角坐标系中画出的图象． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作二次函数的图像，作图的基本步骤，列表、描点、再用平滑的曲线连接是解题的关键． 根据题意，列表、描点、再用平滑的曲线连接即可． 【详解】解：列表 0 1 2 3 1 1 描点，再用平滑的曲线连接如图： 11．在平面直角坐标系中画出的图像 解：列表（将下表填写完整） 描点 连线 【答案】见解析 【分析】先取出一些数据，填表；然后根据一次函数的解析式画出图象即可． 本题考查了描点法画函数图象，熟练掌握图象的画法是解题的关键． 【详解】解： 1．（25-26七年级下·山东烟台·期末）弹簧在能承受的范围内，挂上物体后会伸长，已知一根弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 10 15 20 下列说法错误的是（     ） A．弹簧在没挂物体时，长度为 B．弹簧长度随物体质量的变化而变化，物体质量是因变量，弹簧长度是自变量 C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体质量每增加，弹簧长度就增加 D．在弹簧能承受的范围内，当物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】根据表格数据，结合自变量和因变量的定义，逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：A、∵当物体质量为时，弹簧长度为， ∴弹簧没挂物体时长度为，故该选项正确，不符合题意； B、∵弹簧长度随物体质量的变化而变化，主动变化的量是物体质量， ∴物体质量是自变量，弹簧长度是因变量，故该选项错误，符合题意； C、由表格数据可知，，， 以此类推，可得所挂物体质量每增加，弹簧长度就增加，故该选项正确，不符合题意； D、∵物体质量为时弹簧长度为，增加后长度增加， ∴，即物体质量为时弹簧长度为，故该选项正确，不符合题意． 2．（25-26八年级下·北京西城·期末）小明从家出发骑车去郊游，途中依次在，两个景点各停留了一段时间，然后沿原路骑行回到家．小明离家的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，下列说法中正确的是（     ） A．小明在景点停留了 B．小明从景点回到家骑行了 C．当时，小明离家的距离为 D．当时，小明离家的距离的取值范围是 【答案】C 【分析】根据函数图象所给信息，逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知， 小明在景点停留了，故A选项错误，不符合题意， 小明从景点回到家骑行了，故B选项错误，不符合题意， 从家出发到景点的速度为， ∴当时，小明离家的距离为，故C选项正确，符合题意， 当时，小明离家的距离的取值范围是，故D选项错误，不符合题意． 3．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）张华从教室到寝室花了少许时间取书，20分钟后返回教室，设离开教室时间为x（分钟），张华与教室的距离为y（米），则y关于x的函数图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据张华的运动过程分析随的变化情况：从教室出发距离增加，在寝室取书距离不变，返回教室距离减小，且总时间为20分钟，进行判断即可. 【详解】解：由题意，y关于x的函数图像大致为 4．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系： 甲：运动员推球时，铅球的高度与水平距离之间的关系； 乙：学校图书室需购买一批座椅，支付的费用与购买座椅的数量的关系； 丙：往一个原有部分水的长方体水池匀速注水，水池中水面的高度与注水时间的关系（水未溢出）； 丁：小明周末离家去看电影，结束后原速原路返回，小明离家的距离与时间的关系． 用下面的图像刻画上述情境，排序正确的是（     ） A．③②①④ B．③①②④ C．④③①② D．④③②① 【答案】B 【分析】根据四种情境中变量间的关系判断函数图像的形状、起点及变化趋势，据此即可获得答案． 【详解】解：甲：运动员推铅球时，铅球的高度随着水平距离的增加，先升高再降低，对应图像③； 乙：学校图书室购买一批座椅，支付的费用与购买座椅的数量成正比例关系，对应图像①； 丙：往一个原有部分水的长方体水池匀速注水，水池中水面的高度与注水时间的关系为一次函数关系，对应图像②； 丁：小明周末离家去看电影，结束后原速原路返回，则离家的距离随时间增大而增大，看电影时不变，返回时随时间增大而减小，对应的图像是④． 5．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应， 结合图像判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的值与它对应， A、图像是一条直线，对于每一个，都有唯一的与之对应，是函数； B、图像是一条曲线，对于每一个，都有唯一的与之对应，是函数； C、图像是抛物线，对于每一个，都有唯一的与之对应，是函数； D、图像中，对于部分的值（例如或的某些区域），一个对应两个，不符合函数的定义， 不能表示是的函数的是D． 6．如图，在中，，且，，点P是线段上一个动点由B向C以2移动，运动至点C停止，则的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为______． 【答案】 【分析】因为点速度为，运动时间为秒，所以可得出的长度表达式，再结合三角形面积公式，即可推导出关系式．因为点P从B运动到C停止，所以需要确定x的取值范围，从而完善关系式． 【详解】解：∵点速度为，运动时间为秒， ∴； ∵点从运动到停止，， ∴，即． ∵ ， ∴与的关系式为． 7．如图，有一个球形容器，小厉在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是V的函数；④V是h的函数，其中正确的是________．（填序号） 【答案】 ①③④ 【分析】由函数的概念求解即可． 【详解】①：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面的面积都有唯一值与之对应，所以是的函数，符合题意； ②：由题意可知，对于水面的面积的每一个数值，注水量的值不一定唯一，所以不是的函数，不符合题意； ③：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面的高度h都有唯一值与之对应，所以h是V的函数，符合题意； ④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，注水量V都有唯一值与之对应，所以V是h的函数，符合题意； 所以正确的是①③④． 8．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点出发，沿箭头所示方向经过点跑到点，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为（单位：秒），他与教练的距离为（单位：米），表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的_____．（填四点之一） 【答案】 Q 【分析】观察函数图象，随的变化趋势是先增大，再减小，最后增大，且 时的函数值大于时的值，分别分析点、、、作为观察点时，小翔与观察点的距离变化情况，即可得出结论． 【详解】解：由图2可知，与的函数图象大致分为三段：先上升，再下降，最后上升，且起始点的纵坐标大于终点的纵坐标， 若观察点在点，小翔从到的过程中，他与点的距离等于半圆的半径，保持不变，图象应有一段水平线，与图2不符，故排除点； 若观察点在点，点与点关于点中心对称，则小翔在点和点时与点的距离相等，即和时值应相等，与图2不符，故排除点； 若观察点在点，小翔从到的过程中，他与点的距离逐渐减小，图象应一直下降，而图2最后一段是上升的，与图2不符，故排除点； 若观察点在点，小翔从出发运动到点时，距离先增大，再减小，从最右端经点运动到中点（点正上方）的过程中，距离逐渐减小，从中点运动到的过程中，距离逐渐增大，且点离点的距离大于点离点的距离，故起点值大于终点值，符合图2特征，则这个固定位置可能是点． 9．若一次函数与的图像关于y轴对称，则______ ，______． 【答案】 3 【分析】此题考查了一次函数的图象与几何变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得m、n的值是解题的关键． 根据函数图像关于y轴对称的性质，对应点坐标满足横坐标互为相反数、纵坐标相等，直线关于y轴对称的直线为，然后通过系数比较即可求解． 【详解】解：直线关于y轴对称的直线为， ∵一次函数与的图像关于y轴对称， ∴， 故答案为：，3． 10．学校组织郊外活动，两个课外兴趣小组匀速步行前进，第一组比第二组早出发，第一组经过抵达目的地．两组之间的距离y（单位：m）和第一组出发后的时间x（单位：）之间的关系如图所示． (1)请大致描述两组之间的距离的变化情况． (2)第二组从出发到抵达目的地共用了多长时间？ 【答案】(1)先增加后减少，其中减少分为两段，先减少的慢，后减少的快 (2) 【分析】（1）通过分析图象中两组之间的距离随第一组出发时间的变化趋势，即可解答； （2）通过分析图象得出第二组的出发时间和抵达时间，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知， 在时，第一组出发，第二组没出发，两组之间的距离增加， 在时，两组同时匀速前进，两组之间的距离减少， 在时，第一组已抵达目的地，两组之间的距离减少的更快． （2）解：由题意可知，第二组在时出发，在时抵达目的地， 故第二组从出发到抵达目的地共用了． 11．（25-26六年级下·山东威海·期末）小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值： 凳子的数量（个） 1 2 3 4 … 叠放凳子的总高度（） 47 52 57 62 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是_______________，因变量是_______________； (2)写出叠放凳子的总高度（）与凳子的数量（个）之间的关系式_____________； (3)按这样的规律，将若干个凳子叠放后总高度为，求凳子的数量． 【答案】(1) 凳子的数量；叠放凳子的总高度 (2) （为正整数） (3) 个 【分析】（1）根据因变量和自变量的概念解题即可； （2）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，据此求解即可； （3）根据（2）所求求出当时，n的值即可得到结论． 【详解】（1）解：叠放凳子的总高度随的变化而变化，因此自变量是凳子的数量，因变量是叠放凳子的总高度； （2）解：由题意得，， ∴； （3）解：当时，， 故凳子的数量为10个． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.1 函数 教学目标 1.理解常量、变量的概念，理解函数的定义，掌握自变量、因变量（函数）的概念，明确函数的唯一对应关系，能判断两个变量是否构成函数关系，辨析非函数关系的易错情形。 2.掌握函数的定义，理解自变量、因变量的含义，把握“唯一对应”的核心，能准确判断两个变量是否为函数关系。 3.了解函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法，掌握三种表示方法的特点并能简单转化。 4.会根据代数式意义和实际情境，确定自变量的取值范围，能根据自变量的值求对应的函数值。 5.初步建立函数模型思想，能用函数视角分析简单实际问题，提升数形结合与数学建模素养。 教学重难点 1.重点 （1）区分常量与变量，理解函数的概念与唯一对应关系； （2）掌握自变量取值范围的求解方法，会求函数值； （3）认识函数的三种表示方式，能读懂简单函数表格与图象。 2. 难点 （1）深度理解函数“唯一对应”的本质，能辨析非函数关系； （2）结合实际情境综合确定自变量取值范围，兼顾式子意义与实际意义； （3）摆脱静态算式思维，建立变量动态变化的函数思维。 知识点01 函数的概念 1.变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量。 2.函数的定义：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有 确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 【即学即练】 1．圆周长公式中，下列说法错误的是（     ） A．r是自变量，C是r的函数 B．C、r是变量，是常量 C．C、、r是变量，2是常量 D．当自变量时，函数 2．（25-26八年级上·广西崇左·期末）下列关系式中y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 函数的三种表示方法 1.函数的三种表示方法： 。 定义 特点 备注 列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法 能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛 解析法 用数学式子表示函数关系的方法 准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然 其中的数学式子叫作函数表达式或函数解析式 图象法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法 直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律 【即学即练】 1．下列曲线中，能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．如果每盒铅笔12支，售价8元，那么铅笔的售价y（元）与铅笔的支数x（支）之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 3．某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验，在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的余油量（升）与汽车的行驶时间（小时）之间的关系如表： （小时） 0 1 2 3 （升） 120 112 104 96 则用关系式法表示因变量（升）与自变量（小时）之间的关系为______． 知识点03 函数值与函数自变量的取值范围 1.函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值。 2.自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义： ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x； ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零； ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零； ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义。 【即学即练】 1．点在下列哪个函数的图象上（    ） A． B． C． D． 2．函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．当时，函数的值是（   ） A．1 B．-1 C． D． 知识点04 函数的图像 1.函数的图象定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数的每对对应值作为点的横、纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象． 2.由函数表达式画函数图象的一般步骤： ① ：列出自变量与函数的一些对应值； ② ：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； ③ ：按照自变量的大小顺序，把所描各点用平滑的曲线依次连接起来。 【即学即练】 1．通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 m 2 1 n 3 4 … (1)列表，补全表格：______，______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____． 题型01 函数的概念 【典例1】下列关系式中，y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． （1）判断核心标准：在一个变化过程中有两个变量（自变量）、（因变量），对于每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，则是的函数； （2）快速判断三步：①存在两个变量；②给定一个值；③只对应一个。 【变式1】变量，有如下关系：①；②；③．其中是的函数的是________．（填序号） 【变式2】下列关系式中，不是的函数的是（） A． B． C． D． 【变式3】下列四个选项中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 题型02 函数的三种表达方式 【典例1】小明从地到地（两地相距40千米）的骑车速度为10千米/小时，则小明离地的距离（千米）与骑车时间（小时）之间的函数解析式（不写自变量的取值范围）为（    ） A． B． C． D． 转化技巧：三种形式可互相转化；表格多组点可画出图像，图像取点可列出表格、推导解析式。 【变式1】下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（　　） 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 A． B． C． D． 【变式2】小强将自己家的汽车油箱加满后进行耗油实验，根据记录的数据绘制出了如图所示的趋势图，根据趋势图可推测，当汽车行驶时，油箱中的剩余油量是_________L． 题型03 函数图像的识别 【典例1】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）下列图象中，不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 竖线检验法：垂直 x 轴直线和图像至多一个交点，满足则为函数图像。 【变式1】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）下列各曲线，不能表示是的函数的为（  ） A． B． C． D． 【变式3】下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 题型04 画函数图像 【典例1】用描点法画出函数y＝x＋2的图象． 【变式1】在平面直角坐标系中画出函数的图象．在图象上标出横坐标为的点A，并写出它的坐标； … 0 1 2 3 … … … 【变式2】小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)如表是y与x的几组对应值： 0 1 2 3 1 3 写出表中m的值_________； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象： 题型05 求自变量或函数值 【典例1】函数中自变量x的取值范围是（  ） A． B． C．且 D． （1）已知求（函数值）：将自变量数值整体代入解析式，按运算顺序计算，结果即为函数值； （2）已知求：把函数值代入等式，解关于的方程，多解需结合自变量取值范围取舍； （3）分式型自变量范围：分母；二次根式：被开方数；实际问题结合场景限制取值。 【变式1】已知关系式，当时，，则当时，y的值是（   ） A．17 B．12 C．15 D．14 【变式2】下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是（   ） A．9 B．7 C． D． 【变式4】热力学温度与摄氏温度之间有如下数量关系：，，当时，相应的热力学温度T是______K． 题型06 从函数图象获取信息 【典例1】，两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距（），甲行驶的时间为（），与的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是； ②甲出发后被乙追上； ③甲比乙晚到； ④甲车行驶或，甲，乙两车相距； 其中错误的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 （1）基础读取：图像上任意一点横坐标为自变量，纵坐标为对应函数值； （2）变化趋势：从左往右上升→随增大而增大；下降→随增大而减小；水平→不变； （3）最值读取：图像最高点纵坐标是函数最大值，最低点纵坐标是最小值； （4）实际图像解读：交点代表两个变量取值相等；分段拐点代表状态发生改变。 【变式1】光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大，植物生长越快．某机构在水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：）对某品种草莓光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，得到如图所示的图象，根据图象分析，下列四个结论中不正确的是（ ） A．草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小 B．当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大 C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大 D．草莓生长最快时的温度约为 【变式2】如图，一只蚂蚁从点出发，沿着半圆的边缘爬了一周，又回到点，下面可以描述蚂蚁与点距离变化的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离与时间的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前的平均速度是；②他在时在家中逗留；③他在时离家越来越远；④他在后到家．其中，正确的是（   ） A．①②③④ B．①④ C．①③ D．①③④ 1．（25-26八年级下·天津河北·期末）当时，函数的值是（     ） A． B． C．0 D．1 2．（25-26八年级下·福建漳州·期末）函数的自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山东淄博·期末）用一根长的铁丝围成一个长方形，下列选项中是常量的是（     ） A．长方形的长 B．长方形的宽 C．长方形的周长 D．长方形的面积 5．（25-26八年级下·福建厦门·期中）某车油箱中存油25升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）某商场销售某种商品，原价240元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 230 260 290 320 根据以上信息，当售价为240元时，该商品日销售量为__________件． 7．在广州乘坐公交车，刷羊城通每次收费3元，李明在羊城通中存入100元，此后他乘坐公交车x次，羊城通中的余额为y元，写出y与x的函数解析式为________． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）点______（填“在”或“不在”）函数的图象上． 9．（25-26八年级下·北京·期中）下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是_____（填写序号）． 10．在平面直角坐标系中画出的图象． 11．在平面直角坐标系中画出的图像 解：列表（将下表填写完整） 描点 连线 1．（25-26七年级下·山东烟台·期末）弹簧在能承受的范围内，挂上物体后会伸长，已知一根弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 10 15 20 下列说法错误的是（     ） A．弹簧在没挂物体时，长度为 B．弹簧长度随物体质量的变化而变化，物体质量是因变量，弹簧长度是自变量 C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体质量每增加，弹簧长度就增加 D．在弹簧能承受的范围内，当物体质量为时，弹簧长度为 2．（25-26八年级下·北京西城·期末）小明从家出发骑车去郊游，途中依次在，两个景点各停留了一段时间，然后沿原路骑行回到家．小明离家的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，下列说法中正确的是（     ） A．小明在景点停留了 B．小明从景点回到家骑行了 C．当时，小明离家的距离为 D．当时，小明离家的距离的取值范围是 3．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）张华从教室到寝室花了少许时间取书，20分钟后返回教室，设离开教室时间为x（分钟），张华与教室的距离为y（米），则y关于x的函数图像大致为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系： 甲：运动员推球时，铅球的高度与水平距离之间的关系； 乙：学校图书室需购买一批座椅，支付的费用与购买座椅的数量的关系； 丙：往一个原有部分水的长方体水池匀速注水，水池中水面的高度与注水时间的关系（水未溢出）； 丁：小明周末离家去看电影，结束后原速原路返回，小明离家的距离与时间的关系． 用下面的图像刻画上述情境，排序正确的是（     ） A．③②①④ B．③①②④ C．④③①② D．④③②① 5．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，且，，点P是线段上一个动点由B向C以2移动，运动至点C停止，则的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为______． 7．如图，有一个球形容器，小厉在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是V的函数；④V是h的函数，其中正确的是________．（填序号） 8．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点出发，沿箭头所示方向经过点跑到点，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为（单位：秒），他与教练的距离为（单位：米），表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的_____．（填四点之一） 9．若一次函数与的图像关于y轴对称，则______ ，______． 10．学校组织郊外活动，两个课外兴趣小组匀速步行前进，第一组比第二组早出发，第一组经过抵达目的地．两组之间的距离y（单位：m）和第一组出发后的时间x（单位：）之间的关系如图所示． (1)请大致描述两组之间的距离的变化情况． (2)第二组从出发到抵达目的地共用了多长时间？ 11．（25-26六年级下·山东威海·期末）小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值： 凳子的数量（个） 1 2 3 4 … 叠放凳子的总高度（） 47 52 57 62 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是_______________，因变量是_______________； (2)写出叠放凳子的总高度（）与凳子的数量（个）之间的关系式_____________； (3)按这样的规律，将若干个凳子叠放后总高度为，求凳子的数量． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $