专题12.3 一次函数与二元一次方程（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦一次函数与二元一次方程的核心关联，系统梳理二元一次方程与一次函数的转化方法，明确方程组解与函数图象交点坐标的对应关系，构建从代数方程到几何图象的学习支架，助力学生理解数形结合本质。 资料通过即学即练夯实基础、典例变式深化理解、综合题型提升能力，突出几何直观与推理意识培养，如结合直线位置关系判断方程组解的情况。课中辅助教师落实转化思想教学，课后学生可通过分层练习查漏补缺，强化知识应用与思维构建。

专题12.3 一次函数与二元一次方程 教学目标 1.理解二元一次方程与一次函数解析式之间的转化关系，掌握二元一次方程化为一次函数形式的方法，明确任意一个二元一次方程都可以对应一个一次函数，对应一条直线。 2.理解二元一次方程组的解与两个一次函数图象交点坐标的内在联系，掌握利用一次函数图象求解二元一次方程组近似解的原理与方法。 3.能熟练将二元一次方程转化为一次函数解析式，能根据一次函数图象上点的坐标判断对应二元一次方程的解，实现方程与函数的双向转化。 4.掌握图象法解二元一次方程组的基本步骤：画出两个函数图象、确定交点坐标、得到方程组的解，能规范完成图象法解题过程。 5.能根据两个一次函数图象的位置关系，判断对应二元一次方程组的解的情况（唯一解、无解、无数组解），理解图象平行、相交与方程组解的关联。 6.体会数形结合思想、转化思想，感受代数方程与几何图象的内在统一性，提升数形转化、几何直观与综合分析问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握二元一次方程与一次函数的相互转化方法，理解二者的对应关系； （2）掌握二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标的一一对应关系； （3）掌握利用一次函数图象交点坐标求解二元一次方程组解的方法与步骤； （4）能根据一次函数图象位置判断二元一次方程组解的情况。 2. 难点 （1）深度理解“数（方程的解）”与“形（图象上的点）”的双向对应关系，突破代数与几何割裂的思维误区； （2）根据两个一次函数的平行、相交、重合位置关系，准确判定对应二元一次方程组无解、唯一解、无数解的情况； （3）熟练运用图象法求方程组近似解，理解图象法存在误差的特点，区分代数解法与图象解法的优劣； （4）灵活运用一次函数与二元一次方程的关系，解决简单综合题型，构建数形结合的解题思维体系。 知识点01 一次函数与二元一次方程 1. 二元一次方程与一次函数的等价转化： 任意二元一次方程：可变形为一次函数形式： 。 2.本质结论：以二元一次方程所有解为坐标的点，全部在对应一次函数的直线上；一次函数直线上每一个点的横、纵坐标，都是这个二元一次方程的一组解。 3. 二元一次方程组与两条一次函数直线 把二元一次方程组的两个方程分别化为、两条直线： 方程组的解 = 两条直线交点的坐标；反过来：两条直线交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。 4.三种位置关系（方程组解的三种情况）： 两条直线斜率、截距关系 直线位置 方程组解的情况 图像特征 （斜率不等） 两条直线 存在唯一交点 （斜率相等，截距不等） 两条直线平行 无公共点 （斜率、截距全相等） 两条直线 直线上所有点都是解 【即学即练】 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数与的图象的交点为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2. 若一次函数和图象的交点位于第一象限，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 知识点02 图象法解二元一次方程组（数形结合） 1.图象法解二元一次方程组的一般步骤： ①把方程组中两个二元一次方程，分别化成形式； ②在同一平面直角坐标系中画出两条直线； ③读出两条直线交点的横、纵坐标； ④写出方程组的解。 注：图像法得到的解是近似值，精确解需要用代入/加减消元法。 【即学即练】 1．如图，一次函数与的图象在同一平面直角坐标系中，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，若直线（，为常数，且）与直线交于点，关于的二元一次方程组的解为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 知识点03 利用方程组求两条直线交点坐标 1．利用方程组求两条直线交点坐标一般步骤： ①联立两条直线解析式，得到二元一次方程组； ②用代入消元或加减消元法解方程组； ③方程组的解就是交点坐标。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，若直线与直线交于点．则关于的方程的解为________． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则函数（a，b为常数，且）与函数（c为常数，且）图象的交点坐标为________． 题型01 一次函数与二元一次方程组结合 【典例1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）已知关于，的二元一次方程组没有解，则一次函数与的图象必定（   ） A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定 （1）核心数形关系：两个一次函数直线的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； （2）图像法解方程组：画出两条直线，读取交点坐标，直接作为方程组的解； （3）代数法求交点：联立两个一次函数解析式，组成二元一次方程组，求解得到交点坐标。 【变式1】（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图，直线与的交点的横坐标为1，若直线与x轴的夹角为，则①关于x，y的方程组的解为；②关于x的不等式的解集为；③直线与x轴的交点为；④两条直线与x轴围成的三角形面积为8．以上结论中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）三条直线，，相交于一点，则的值是__________． 【变式3】已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________个． 题型02 求直线围成的图形面积 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点B，A，且与直线相交于点． (1)求a和k的值． (2)求面积． (3)直接写出不等式的解集． （1）通用面积公式：，坐标系中底和高优先选取坐标轴上的线段，避免斜边长计算； （2）截距速算法：利用x轴、y轴截距，结合绝对值计算，； （3）割补法：不规则多边形、斜三角形，采用分割成直角三角形/矩形、补全矩形减周围三角形面积求解。 【变式1】已知：如图，一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积． (3)结合图象，直接写出时x的取值范围． 【变式2】一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，正比例函数与交于点． (1)求m的值及的解析式； (2)若点D在x轴上，且满足，求点D的坐标． 【变式3】如图，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为1．    (1)求的函数表达式． (2)若点在轴负半轴，且满足，求点的坐标． 题型03 一次函数中动点问题 【典例1】如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，动点在直线上运动． (1)求点的坐标及的值； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出这时点的坐标． （1）设参建模：设动点运动时间为，结合运动速度、方向，用含的代数式表示动点坐标； （2）范围限定：根据动点运动路径，确定的有效取值范围，提前锁定定义域； （3）动态求值：结合一次函数解析式、线段长度、面积等条件，列含的方程求解； （4）分段讨论：动点在不同线段、不同象限运动时，坐标表达式不同，必须分段分析。 【变式1】如图，直线：与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，另一直线：过点，与轴交于点． (1)求点的坐标和的表达式； (2)若动点从点开始以每秒个单位的速度向轴正方向移动．设点的运动时间为秒． ①当点在运动过程中，请直接写出的面积与的函数关系式； ②求出当为多少时，的面积等于； 【变式2】如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，另一直线过点． （1）求点坐标和的值； （2）若点是直线与轴的交点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴正方向移动．设点的运动时间为秒； ①请写出当点在运动过程中，的面积与的函数关系式； ②直接写出当为何值时的面积等于4.5，并写出此时点的坐标． 题型04 一次函数的存在性问题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数为的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与轴交于点C． (1)填空：①直线的表达式为______ ②当时，的取值范围是______ (2)在y轴上是否存在一点P，满足，若存在请求出点P坐标． （1）解题核心：设动点坐标→根据几何条件列方程→解方程→结合范围验证存在性； （2）分类讨论原则：等腰三角形分三边为底边、三边为腰；直角三角形分三顶点为直角顶点，做到不重不漏； （3）取舍规则：解出参数后，舍去不在定义域、不符合几何位置的解。 【变式1】综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，直线经过点A，并与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及b的值； (2)动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线AB，AC于点D，E．设点P运动的时间为秒， ①点D的坐标__________，点E的坐标为__________（均用含的式子表示） ②点P在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，求出此时t的值；若不存在请说明理由． ③若设的面积为S，请直接写出S与的函数关系式． 【变式2】如图1，在平面直角坐标中，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，与相交于点． （1）请直接写出点，点，点的坐标：_________，________，_______． （2）如图2，动直线分别与直线、交于、两点． ①若，求的值； ②若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中将向下平移3个单位长度得到直线，直线与x轴交于点C；直线与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线交于点D．    (1)填空：点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)直线的表达式为_____________． (3)在直线上是否存在点F，使？若存在，则求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在直线上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，与轴，轴分别交于点，点，直线的函数表达式为，与轴，轴分别交于点，点，直线与交于点，已知点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)已知是线段上的动点，过点作直线平行于轴，交直线于点，过点作轴的垂线，交轴于点，是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型05 一次函数与几何综合 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为 (1)求直线的表达式． (2)若y轴上有一点M，且三角形的面积为12，求M点的坐标； (3)如图，把直线以每秒2个单位的速度向右平移，问经过几秒后，该直线与y轴交于点？（直接写答案） 【变式1】在平面直角坐标系中，点，，，且． (1)若，求点和点的坐标； (2)如图，在（1）的条件下，过点作轴，交于点，求点的坐标； (3)若，且，求的值． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知，，且． (1)求点、的坐标； (2)如图，点，平移线段所得的线段的一个端点为点，且点在线段上，对应线段记为； ①若，点的对应点为点，求的面积； ②若，直线交轴于点，求证：为定值． 1．若关于的二元一次方程组无解，则一次函数的图象不经过的象限（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 2．（2025·宁夏银川·二模）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，直线与相交于点A，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·四川成都·期末）已知无论k取何值，直线：与直线：都交于一个固定的点，则这个点的坐标是________． 6．（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，一次函数与一次函数（为常数，且）的图像相交于点，求关于的方程组的解． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数交于点C，与坐标轴分别交于点A和点B，． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点P是x轴上的一个动点，连接，当时，请求出点P的坐标． 8．如图，直线与坐标轴交于 A，B两点． (1)求点 A 与点 B 的坐标; (2)若 P 为直线上一点，当时，求点 P的坐标． 1．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西百色·期中）已知一次函数与的图象交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 3．已知方程组的解是，那么直线与的交点坐标是________． 4．（25-26八年级上·重庆·期末）若二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为________． 5．已知在同一坐标系内，一次函数，与的图象相交于同一点，求k的值． 6．如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A (1)求点A坐标； (2)满足的的取值范围是_____． 8．（25-26八年级下·广东阳江·期末）已知直线的解析式为，直线的解析式为，如图所示，它们相交于点． (1)b的值是______；关于x、y的方程组的解是______． (2)一次函数的图象是否也经过点P？请说明理由． 9．（2026·河北保定·三模）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)当的面积是面积的时，是否存在整数点，若存在写出的坐标． 10．（25-26七年级下·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，且与满足条件 (1)求点，的坐标． (2)如图2，在轴上是否存在一点，使三角形的面积等于三角形面积的倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 11．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与轴、轴分别交于点、，经过点的另一条直线与轴交于点，点在轴负半轴上，． (1)求直线的函数解析式； (2)点是线段上的点，连接，若，求点的坐标． 12．（25-26八年级下·湖南湘西·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的横坐标为1． (1)求直线的函数解析式； (2)连接，求的面积； (3)点P是直线上一点（不与点D重合），设点P的横坐标为m，的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式． 13．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：经过点和点，且与相交于点，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当取何值时，？ (3)求的面积； (4)已知点为轴上一点，且在轴的左侧，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.3 一次函数与二元一次方程 教学目标 1.理解二元一次方程与一次函数解析式之间的转化关系，掌握二元一次方程化为一次函数形式的方法，明确任意一个二元一次方程都可以对应一个一次函数，对应一条直线。 2.理解二元一次方程组的解与两个一次函数图象交点坐标的内在联系，掌握利用一次函数图象求解二元一次方程组近似解的原理与方法。 3.能熟练将二元一次方程转化为一次函数解析式，能根据一次函数图象上点的坐标判断对应二元一次方程的解，实现方程与函数的双向转化。 4.掌握图象法解二元一次方程组的基本步骤：画出两个函数图象、确定交点坐标、得到方程组的解，能规范完成图象法解题过程。 5.能根据两个一次函数图象的位置关系，判断对应二元一次方程组的解的情况（唯一解、无解、无数组解），理解图象平行、相交与方程组解的关联。 6.体会数形结合思想、转化思想，感受代数方程与几何图象的内在统一性，提升数形转化、几何直观与综合分析问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握二元一次方程与一次函数的相互转化方法，理解二者的对应关系； （2）掌握二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标的一一对应关系； （3）掌握利用一次函数图象交点坐标求解二元一次方程组解的方法与步骤； （4）能根据一次函数图象位置判断二元一次方程组解的情况。 2. 难点 （1）深度理解“数（方程的解）”与“形（图象上的点）”的双向对应关系，突破代数与几何割裂的思维误区； （2）根据两个一次函数的平行、相交、重合位置关系，准确判定对应二元一次方程组无解、唯一解、无数解的情况； （3）熟练运用图象法求方程组近似解，理解图象法存在误差的特点，区分代数解法与图象解法的优劣； （4）灵活运用一次函数与二元一次方程的关系，解决简单综合题型，构建数形结合的解题思维体系。 知识点01 一次函数与二元一次方程 1. 二元一次方程与一次函数的等价转化： 任意二元一次方程：可变形为一次函数形式： 。 2.本质结论：以二元一次方程所有解为坐标的点，全部在对应一次函数的直线上；一次函数直线上每一个点的横、纵坐标，都是这个二元一次方程的一组解。 3. 二元一次方程组与两条一次函数直线 把二元一次方程组的两个方程分别化为、两条直线： 方程组的解 = 两条直线交点的坐标；反过来：两条直线交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。 4.三种位置关系（方程组解的三种情况）： 两条直线斜率、截距关系 直线位置 方程组解的情况 图像特征 （斜率不等） 两条直线相交 有唯一一组解 存在唯一交点 （斜率相等，截距不等） 两条直线平行无交点 无解 无公共点 （斜率、截距全相等） 两条直线重合 无数组解 直线上所有点都是解 【即学即练】 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数与的图象的交点为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数与的图象的交点为， ∴方程组的解为． 故选C． 2. 若一次函数和图象的交点位于第一象限，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先联立两个一次函数的解析式求出交点坐标，再根据第一象限内点的横纵坐标都大于0，列出不等式组即可求解 的取值范围； 【详解】解：根据题意，得， 故， 解得， 将代入，得， 因此交点坐标为， ∵交点位于第一象限， ∴， 解第一个不等式得 ，解第二个不等式得， ∴ 的取值范围是 ； 知识点02 图象法解二元一次方程组（数形结合） 1.图象法解二元一次方程组的一般步骤： ①把方程组中两个二元一次方程，分别化成形式； ②在同一平面直角坐标系中画出两条直线； ③读出两条直线交点的横、纵坐标； ④写出方程组的解。 注：图像法得到的解是近似值，精确解需要用代入/加减消元法。 【即学即练】 1．如图，一次函数与的图象在同一平面直角坐标系中，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）．根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点的坐标，即可解题． 【详解】解：由图知，二元一次方程组的解是， 故选：B． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，若直线（，为常数，且）与直线交于点，关于的二元一次方程组的解为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系.先求出点P的坐标为，再根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解解答即可. 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴点P的坐标为， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：A. 知识点03 利用方程组求两条直线交点坐标 1．利用方程组求两条直线交点坐标一般步骤： ①联立两条直线解析式，得到二元一次方程组； ②用代入消元或加减消元法解方程组； ③方程组的解就是交点坐标。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，若直线与直线交于点．则关于的方程的解为________． 【答案】 【分析】方程的几何意义是两条直线函数值相等时对应的自变量取值，其解为两条直线交点的横坐标，结合已知交点坐标即可得到方程的解． 【详解】解：直线与直线交于点， 关于的方程的解为． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则函数（a，b为常数，且）与函数（c为常数，且）图象的交点坐标为________． 【答案】 【分析】根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【详解】解∶∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴函数（a，b为常数，且）与函数（c为常数，且）图象的交点坐标为． 题型01 一次函数与二元一次方程组结合 【典例1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）已知关于，的二元一次方程组没有解，则一次函数与的图象必定（   ） A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的关系，利用方程组无解的条件判断对应一次函数图象的位置关系． 【详解】解：∵将方程组中的方程化为一次函数形式． 第二个方程两边同时除以2，得，即． 第一个方程移项得． 又∵该二元一次方程组没有解． ∴一次函数与的图象无交点． ∴这两个一次函数的图象必定平行． 故选：B． （1）核心数形关系：两个一次函数直线的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； （2）图像法解方程组：画出两条直线，读取交点坐标，直接作为方程组的解； （3）代数法求交点：联立两个一次函数解析式，组成二元一次方程组，求解得到交点坐标。 【变式1】（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图，直线与的交点的横坐标为1，若直线与x轴的夹角为，则①关于x，y的方程组的解为；②关于x的不等式的解集为；③直线与x轴的交点为；④两条直线与x轴围成的三角形面积为8．以上结论中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：如图， ∵点的横坐标为1， ∴， ∴点， ∴关于x，y的方程组的解为，故①正确； 关于x的不等式的解集为，故②正确； ∵直线与x轴的夹角为， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标为，即直线与x轴的交点为，故③正确； 令，则，解得， ∴点， ∴， ∴，即两条直线与x轴围成的三角形面积为4， 故④错误； 综上，正确的有①②③共3个． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）三条直线，，相交于一点，则的值是__________． 【答案】 【分析】先求出和的交点坐标，三条直线相交于一点，则该点同时在三条直线上，再将交点代入的方程即可求出的值． 【详解】解：联立，解得：， 直线和交于点， 三条直线相交于一点， 直线经过点， ， 解得：． 【变式3】已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________个． 【答案】3 【分析】利用一次函数的图像与性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ，． 故②正确． ∵一次函数与轴的交点在轴的下方， ． 故①正确． ∵当时，， ∴关于的方程的解为． 故③正确． ∵当时， 一次函数在一次函数的上方， ∴当时，． 故④错误． 综上所述，其中正确的结论有3个． 题型02 求直线围成的图形面积 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点B，A，且与直线相交于点． (1)求a和k的值． (2)求面积． (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，两直线围成的图形面积，一次函数与不等式之间的关系： （1）分别代入两个直线解析式中进行求解即可； （2）根据（1）所求先求出点B坐标，进而求出的长，再根据进行求解即可； （3）利用图象法求解即可． 【详解】（1）解；∵直线与x轴，y轴分别交于点B，A，且与直线相交于点 ∴， ∴； （2）解；在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可知，当时，直线的函数图象在直线的函数图象上方或二者交点处， ∴当时，． （1）通用面积公式：，坐标系中底和高优先选取坐标轴上的线段，避免斜边长计算； （2）截距速算法：利用x轴、y轴截距，结合绝对值计算，； （3）割补法：不规则多边形、斜三角形，采用分割成直角三角形/矩形、补全矩形减周围三角形面积求解。 【变式1】已知：如图，一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积． (3)结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键． （1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果． 【详解】（1）解：联立，解得， ∴点A坐标为． （2）解：当时，，即，则B点坐标为； 当时，，即，则C点坐标为； ， 的面积为：． （3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是． 【变式2】一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，正比例函数与交于点． (1)求m的值及的解析式； (2)若点D在x轴上，且满足，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，熟知待定系数法是解题的关键． （1）将点坐标代入的函数解析式可求出，再将点坐标代入的函数解析式中求解即可； （2）根据和的面积关系，可求出的长，进而解决问题． 【详解】（1）解：将代入一次函数解析式中，得， 解得． 则点坐标为． 设的解析式为， 将点坐标代入，得， 解得， 所以的解析式为； （2）解：将代入中，得， ∴点坐标为，又， 故． ∵， ∴，又， 则， 解得， 又点坐标为， ∴点坐标为或． 【变式3】如图，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为1．    (1)求的函数表达式． (2)若点在轴负半轴，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得点的坐标，再根据待定系数法即可得到的函数表达式； （2）设，，依据，即可得出，进而得到． 【详解】（1）解：当时，， ， 将 ，代入， 得，解得， 直线的解析式是； （2）中，令，则， ， 设，， ， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是利用待定系数法求出、的值． 题型03 一次函数中动点问题 【典例1】如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，动点在直线上运动． (1)求点的坐标及的值； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出这时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）把点把点代入可求出的值，令可求出点的坐标； （2）已知点，点的坐标，可知的底边长，高，由三角形的面积公式即可求解； （3）已知的面积为，的面积是的面积的，可求出的面积为，动点在直线上运动，设点的坐标为，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， ∴， ∴， 当，， ∴点的坐标为． （2）解：如图所示，过点作轴于，且，， ∴，， ∴， ∴的面积为． （3）解：如图所示，直线，即，动点在直线上运动，设点的坐标为， ∵， ∴， ∵，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴当时，点， 当时，点， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质和特点，掌握一次函数图像的交点，待定系数法求函数解析式，图形结合分析是解题的关键． （1）设参建模：设动点运动时间为，结合运动速度、方向，用含的代数式表示动点坐标； （2）范围限定：根据动点运动路径，确定的有效取值范围，提前锁定定义域； （3）动态求值：结合一次函数解析式、线段长度、面积等条件，列含的方程求解； （4）分段讨论：动点在不同线段、不同象限运动时，坐标表达式不同，必须分段分析。 【变式1】如图，直线：与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，另一直线：过点，与轴交于点． (1)求点的坐标和的表达式； (2)若动点从点开始以每秒个单位的速度向轴正方向移动．设点的运动时间为秒． ①当点在运动过程中，请直接写出的面积与的函数关系式； ②求出当为多少时，的面积等于； 【答案】(1)； (2)①当在、之间时，；当在的右边时，；②秒或秒 【分析】本题考查一次函数的性质、三角形面积公式，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）将点P坐标代入直线表达式求出点P坐标，再将点P坐标代入直线的表达式，求出的值； （2）①先求出点A、C的坐标，进而得到的长度，再根据点Q的运动情况分类讨论的面积与的函数关系式； ②将代入①中得到的函数表达式，求出的值． 【详解】（1）解：点为直线上一点， ，解得， 点的坐标为， 把点的坐标代入，得，，解得， 的表达式为； （2）解：①由题意可知，到轴的距离为， 令可得，解得， 点坐标为， 在中，令可得，解得， 点坐标为； ， 当在、之间时，则， ； 当在的右边时，则， ； 令可得或， 解得或， 即当的值为秒或秒时的面积等于． 【变式2】如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，另一直线过点． （1）求点坐标和的值； （2）若点是直线与轴的交点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴正方向移动．设点的运动时间为秒； ①请写出当点在运动过程中，的面积与的函数关系式； ②直接写出当为何值时的面积等于4.5，并写出此时点的坐标． 【答案】（1），；（2）①S＝−t＋（0＜t＜9）或S＝t−（t＞9）；②点的坐标为（−1，0）或（5，0） 【分析】（1）把P（m，3）的坐标代入直线l1上的解析式即可求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得b； （2）根据直线l2的解析式得出C的坐标，①根据题意得出AQ＝9−t，然后根据S＝AQ•|yP|即可求得△APQ的面积S与t的函数关系式；②通过解方程−t＋＝4.5或t−＝4.5，求得t的值，即可求得Q的坐标． 【详解】解：（1）∵点P（m，3）为直线l1上一点， ∴3＝−m＋2，解得m＝−1， ∴点P的坐标为（−1，3）， 把点P的坐标代入y2＝x＋b得，3＝×（−1）＋b， 解得b＝； （2）∵直线l2的解析式为y＝x＋， ∴C点的坐标为（−7，0）， ①由直线l1：y1＝−x＋2可知A（2，0）， ∴当Q在A、C之间时，AQ＝2＋7−t＝9−t（0＜t＜9）， ∴S＝AQ•|yP|＝×（9−t）×3＝−t； 当Q在A的右边时，AQ＝t−9（t＞9）， ∴S＝AQ•|yP|＝×（t−9）×3＝t−； 即△APQ的面积S与t的函数关系式为S＝−t＋（0＜t＜9）或S＝t−（t＞9）； ②∵S＝4.5， ∴−t＋＝4.5或t−＝4.5， 解得t＝6或t＝12， -7+6=-1，-7+12=5 ∴Q的坐标为（−1，0）或（5，0）． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求解析式以及三角形的面积等，分类讨论是解题关键． 题型04 一次函数的存在性问题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数为的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与轴交于点C． (1)填空：①直线的表达式为______ ②当时，的取值范围是______ (2)在y轴上是否存在一点P，满足，若存在请求出点P坐标． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，直线围成的三角形面积，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）①先将点代入正比例函数解析式，求出的值，再将点A和点坐标代入一次函数解析式求解即可； ②根据一次函数的交点坐标即可得到结论； （2）先求出的面积，根据求出，然后求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：①将点代入正比例函数， 得， 解得， 点坐标为， 将点，点代入一次函数， 得， 解得， 一次函数解析式为， 故答案为：； ②一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， 当时，的取值范围是； 故答案为：； （2）解：一次函数解析式为， 当时，， 点的坐标为， ∵， ∴， ， ∴, 解得：， ∴点P的坐标为或． （1）解题核心：设动点坐标→根据几何条件列方程→解方程→结合范围验证存在性； （2）分类讨论原则：等腰三角形分三边为底边、三边为腰；直角三角形分三顶点为直角顶点，做到不重不漏； （3）取舍规则：解出参数后，舍去不在定义域、不符合几何位置的解。 【变式1】综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，直线经过点A，并与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及b的值； (2)动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线AB，AC于点D，E．设点P运动的时间为秒， ①点D的坐标__________，点E的坐标为__________（均用含的式子表示） ②点P在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，求出此时t的值；若不存在请说明理由． ③若设的面积为S，请直接写出S与的函数关系式． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，； (2)① ；②存在，t的值为或；③ 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、动点问题、三角形面积的计算等； （1）分别令、即可求出A，B两点的坐标，将A点的坐标代入即可求出； （2）①把代入即可求出点D的坐标，代入求出点E的坐标； ②根据①求出，列方程求解即可； ③根据计算即可． 【详解】（1）令可得， ∴B点的坐标 令可得，解得， ∴A点的坐标 把代入可得， 解得； （2）①把代入得， ∴ 把代入代入得， ∴ ②∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或 ∴存在，t的值为或； ③∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图1，在平面直角坐标中，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，与相交于点． （1）请直接写出点，点，点的坐标：_________，________，_______． （2）如图2，动直线分别与直线、交于、两点． ①若，求的值； ②若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（-1，0）、（1，0）、（2，3）；（2）①t=1或3；②（0，-3）或（4，9） 【分析】（1）根据一次函数与x轴的交点纵坐标为0即可求出AB坐标，联立两个一次函数即可求出C点坐标； （2）①设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），则PQ=|t+1-3t+3|=2，即可求解； ②在y轴负半轴取点M使NM=NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，进而求解；当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），进而求解． 【详解】（1）对于直线l2：y=3x-3①， 令y=3x-3=0，解得x=1，故点B（1，0）， 对于l1：y=x+1，同理可得：点A（-1，0）， 则，解得， 故点C的坐标为（2，3）， 故答案为：（-1，0）、（1，0）、（2，3）； （2）①点P在直线l1上，则设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3）， 则PQ=|t+1-3t+3|=2， 解得t=1或3； ②当点Q在x轴下方时，如下图， 设直线l1交y轴于点K，过点B作直线n∥AC交y轴于点N， 在y轴负半轴取点M使NM=2NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点， 理由：∵M、Q在直线m上，且m∥AC， ∴S△MAC=S△QAC， 同理S△NAC=S△BAC， ∵MN=2KN，则m、l1之间的距离等于2倍n、l1之间的距离， ∴S△AQC=2S△ABC， 由直线l1的表达式知点K（0，1）， 设直线n的表达式为y=x+b，将点B的坐标代入上式并解得b=-1， ∴ N（0，-1）， ∵NK=1-（-1）=2， ∴MN=NK=2， ∴M（0，-3）， 在直线m的表达式为y=x-3②， 联立①②解得， ∴Q（0，-3）； ②当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5）， 同理可得，过点M且平行于AC的直线表达式为y=x+5③， 联立①③解得， ∴ Q的坐标为（4，9）； 综上，点Q的坐标为（0，-3）或（4，9）． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的应用、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中将向下平移3个单位长度得到直线，直线与x轴交于点C；直线与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线交于点D．    (1)填空：点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)直线的表达式为_____________． (3)在直线上是否存在点F，使？若存在，则求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在直线上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；或 (4)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）分别将代入，即可求得、两点的坐标； （2）根据一次函数图象的平移特点求解即可； （3）先求出的面积，然后根据三角形的面积关系即可求得点的纵坐标，再代入，即可求得点的横坐标； （4）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得， 把代入得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：∵将直线向下平移3个单位长度得到直线， ∴的解析式为， 故答案为：； （3）解：存在； 把代入得， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， 将代入，得， ∴点F的坐标为或； （4）解：存在； ∵，， ∴， 设点，则： ， ， 当时，， 即， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 当时，， 即， 解得：或， 此时点P的坐标为或； 当时，， 即， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移问题，一次函数图象上点的坐标特点，等腰三角形的定义，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，与轴，轴分别交于点，点，直线的函数表达式为，与轴，轴分别交于点，点，直线与交于点，已知点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)已知是线段上的动点，过点作直线平行于轴，交直线于点，过点作轴的垂线，交轴于点，是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，满足条件的所有点M的坐标为或． 【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合，解题的关键是掌握一次函数性质，运用分类讨论思想解答； （1）将点的横坐标，代入求得点E的坐标为，再利用待定系数法求得直线的函数表达式； （2）根据，解出或，将其代入即可解答； （3）设点，则，，表示出，，分两种情况：①当时，②当时，分别进行计算即可解答； 【详解】（1）解：对于，当时，． 所以点E的坐标为． 将，代入， 得， 解得． ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， 解得或． 当时，， 解得； 当时，， 解得． ∴点P的坐标为或； （3）解：存在． 设点，则，． 所以，． 分两种情况： ①当时，， 解得或（舍去）． 所以点M的坐标为； ②当时，， 解得或（舍去）． 所以点M的坐标为． 综上，满足条件的所有点M的坐标为或． 题型05 一次函数与几何综合 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为 (1)求直线的表达式． (2)若y轴上有一点M，且三角形的面积为12，求M点的坐标； (3)如图，把直线以每秒2个单位的速度向右平移，问经过几秒后，该直线与y轴交于点？（直接写答案） 【答案】(1) (2)或 (3)2秒 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，求一次函数的解析式，一次函数图象的平移，几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据待定系数法求得直线的解析式， （2）设，则，根据，求得m的值，可求得M的坐标； （3）根据平行直线的解析式的k值相等设出平移后直线的解析式为，然后把点代入求出t，即可得解． 【详解】（1）解：依题意，设直线的表达式为， 把代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：依题意，设， 由（1）得直线的表达式为； 令，则， ∴直线与轴的交点坐标为， ∴， ∵三角形的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）解：设经过t秒后，该直线与y轴交于点， 则平移后的解析式为， 把代入， 得， ∵， ∴， 故经过2秒后，该直线与y轴交于点． 【变式1】在平面直角坐标系中，点，，，且． (1)若，求点和点的坐标； (2)如图，在（1）的条件下，过点作轴，交于点，求点的坐标； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）由题意得，推出，即可求解； （2）由，设直线的解析式为：，将代入求得直线的解析式为：；根据轴，得，推出，即可求解； （3）根据（2）可得直线的解析式为：；推出；根据，推出；结合，得，解得：或；根据，作出取舍即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∴； （2）解：由，设直线的解析式为：， 将代入可得： 解得：， ∴直线的解析式为：； ∵轴， ∴， ∴，解得：， ∴； （3）解：由，设直线的解析式为：， 将代入可得： 解得：， ∴直线的解析式为：； 依然作轴，则， ∴，解得：， ∴； ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 解得：或； ∵， ∴， ∴或； 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知，，且． (1)求点、的坐标； (2)如图，点，平移线段所得的线段的一个端点为点，且点在线段上，对应线段记为； ①若，点的对应点为点，求的面积； ②若，直线交轴于点，求证：为定值． 【答案】(1)， (2)①4；②见解析 【分析】（1）根据算术平方根的非负性求出，然后求出，即可求解； （2）①首先得到，然后得到平移方式，然后求出点Q的坐标为，然后利用三角形面积公式求解； ②根据题分两种情况讨论，分别求出所在直线表达式，然后求出点M的坐标，然后表示出，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，； （2）证明：①若， ∴ ∵点的对应点为点 ∴平移方式为向右平移2个单位，向下平移1个单位 ∴点Q的坐标为 ∴的面积； ②当点的对应点为点时，点的对应点为点，如图 ∴平移方式为向右平移2个单位，向下平移个单位 ∴点Q的坐标为 设所在直线表达式为 ∴ 解得 ∴所在直线表达式为 ∴当时， ∴ ∴， ∴； 当点的对应点为点时，点的对应点为点，如图 ∴平移方式为向左平移2个单位，向下平移个单位 ∴点Q的坐标为 同理可得，所在直线表达式为 ∴当时， ∴ ∴， ∴； 综上所述，为定值1． 1．若关于的二元一次方程组无解，则一次函数的图象不经过的象限（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，一次函数的性质，根据题意得到关于k的方程是解题的关键． 根据方程组无解可知两条直线无交点，即两直线平行，从而列方程求得k的值，然后再根据一次函数图象性质作出判断． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组无解， ∴直线与直线无交点，即两直线平行， ∴， 解得：， 当时，一次函数， ∵， ∴y随x的增大而增大，且与y轴交于负半轴 ∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：C． 2．（2025·宁夏银川·二模）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与方程的关系，依据题意，由一次函数与方程的关系，列方程组求解． 【详解】解：由题意，联立方程组， ， ， 在第二象限． 故选：B． 3．如图，直线与相交于点A，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图像和交点问题，属于简单题，熟悉一次函数图像交点的含义是解题的关键． 根据一次函数图像的交点即为方程的解，即可解答． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴关于x的方程的解是． 故选：D． 4．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，先求出交点纵坐标再根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可． 【详解】解：根据题意，将代入直线， 得， ∴直线与交点坐标为， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故选：C． 5．（25-26八年级上·四川成都·期末）已知无论k取何值，直线：与直线：都交于一个固定的点，则这个点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数交点问题，欲求两直线的固定交点，可联立两直线方程，通过消去参数求出交点坐标，解方程求出，再代入求，即可解答． 【详解】解：由题意得， 整理得， 解得． 将代入， 得． 所以这个点的坐标是． 故答案为． 6．（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，一次函数与一次函数（为常数，且）的图像相交于点，求关于的方程组的解． 【答案】 【分析】由交点坐标，先求出m的值，再结合图像确定方程组的解即可． 【详解】解：将点代入一次函数，得 ， 解得 ∴， 结合图像可知，关于的方程组的解是． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数交于点C，与坐标轴分别交于点A和点B，． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点P是x轴上的一个动点，连接，当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，直角坐标系下三角形面积的求解，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． （1）根据可得点A和点B的坐标，将点代入求解即可； （2）先求解点C的坐标，再由三角形面积公式求解即可； （3）先由面积求解出的长度，由此可得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，即，， ∴，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：； （2）解：由题意，联立，解得， ∴点C的坐标为， ∴； （3）解：∵，解得， 设点P的坐标为， ∵点，即， ∴，， 解得，， ∴或． 8．如图，直线与坐标轴交于 A，B两点． (1)求点 A 与点 B 的坐标; (2)若 P 为直线上一点，当时，求点 P的坐标． 【答案】(1)； (2)点 P 的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别令，，即可得出、的坐标； （2）设点P的坐标为，根据得出，求出或，即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， 解得：， ，； （2）解：设点P的坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点 P 的坐标为或． 1．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．两个一次函数的交点坐标为，那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：将代入得， ∴一次函数和的图象交于点， ∴点满足二元一次方程组； ∴方程组的解是． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广西百色·期中）已知一次函数与的图象交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数之间的关系，两个一次函数的图象交点的横纵坐标即为两个一次函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故选：A． 3．已知方程组的解是，那么直线与的交点坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解即为两条直线交点的坐标，因此直接利用给定解可得交点． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴两条直线的交点坐标为． 故答案为： 4．（25-26八年级上·重庆·期末）若二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组的解的关系． 二元一次方程组的解即为对应两条直线的交点坐标，因此直接使用给定的解即可得到交点坐标． 【详解】解：由题意可知，二元一次方程组即的解为， ∴直线与直线的交点坐标为． 故答案为：． 5．已知在同一坐标系内，一次函数，与的图象相交于同一点，求k的值． 【答案】 【分析】先联立两个已知函数表达式求出交点坐标，再将交点坐标代入求出k的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 交点坐标为， 把代入得：， 解得． 6．如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式； （2）解方程组求出点的坐标； （3）利用数形结合思想解答． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得， 直线的解析式为：； （2）解：由（1）得直线的解析式为； ∵直线与直线相交于点， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：由（2）得点的坐标为 ∴根据图象可得关于的不等式的解集为． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A (1)求点A坐标； (2)满足的的取值范围是_____． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． （1）根据正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A可得，即可解答． （2）观察图像，根据正比例函数与一次函数的图像性质，即可解答． 【详解】（1）解：由解得 ∴点A坐标为（4，3）． （2）由图象得． 8．（25-26八年级下·广东阳江·期末）已知直线的解析式为，直线的解析式为，如图所示，它们相交于点． (1)b的值是______；关于x、y的方程组的解是______． (2)一次函数的图象是否也经过点P？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)直线经过点P．理由如下： 因为经过点， 所以， 所以直线也经过P点． 【分析】（1）直接把代入求出b的值，再利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】（1）解：把代入得； 即交点坐标为， 所以方程组的解为． （2）略 9．（2026·河北保定·三模）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)当的面积是面积的时，是否存在整数点，若存在写出的坐标． 【答案】(1) (2)存在；或 【分析】（1）利用待定系数法求解直线的解析式； （2）先求出点C的坐标，再求出的面积，进而求出的面积，求出边上的高为，即点M的横坐标为2，利用待定系数法求解直线的解析式，分情况讨论点的位置，从而求出点的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式是， 将、代入得： ， 解得：， 直线的解析式是； （2）解：在中，令，得， ， ， ， ， ， 边上的高为，即点M的横坐标为2， 设直线解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线解析式为， 当点M在上时： 将代入的：， 点M的坐标是， 当点M在上时： 将代入的：， 点M的坐标是， 综上所述，点M的坐标是或． 10．（25-26七年级下·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，且与满足条件 (1)求点，的坐标． (2)如图2，在轴上是否存在一点，使三角形的面积等于三角形面积的倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】（1）根据绝对值和二次根式的非负性得出，即可； （2）根据点的坐标求出，然后设，根据三角形面积公式列出方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ，， ，； （2）解：存在．理由如下： ，，， ， ． 设， 由题意，得：， 即， ， ， 或． 11．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与轴、轴分别交于点、，经过点的另一条直线与轴交于点，点在轴负半轴上，． (1)求直线的函数解析式； (2)点是线段上的点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点的坐标，进而可得点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出的面积，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将代入得：，解得， ∴， 将代入得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式． （2）解：由（1）已得：，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，设点的坐标为， ∵点是线段上的点， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 12．（25-26八年级下·湖南湘西·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的横坐标为1． (1)求直线的函数解析式； (2)连接，求的面积； (3)点P是直线上一点（不与点D重合），设点P的横坐标为m，的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式． 【答案】(1)直线BD的函数解析式为 (2) (3) 【分析】（1）把代入函数，即可求出点D的坐标，再运用待定系数法求出直线的函数解析式即可； （2）对于一次函数，令，求出点A的坐标，得到的长，对于一次函数，令，求出点C的坐标，根据求解即可； （3）分三种情况讨论：①点P在之间；②点P在B点下方；③点P在D点的上方，根据，，三者的面积关系求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象过点D，且点D的横坐标为1， ∴当时，， ∴． ∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：∵对于一次函数，令，则， ∴， ∵， ∴． ∵对于一次函数，令，则，解得， ∴． ∴ ； （3）解：分以下三种情况讨论： ①如图，点P在之间，即， ， 即； ②点P在B点下方，即时， ， ∴； ③点P在D点的上方，即时， ， 即． 综上所述，S与m之间的关系式为． 13．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：经过点和点，且与相交于点，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当取何值时，？ (3)求的面积； (4)已知点为轴上一点，且在轴的左侧，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为：；直线的表达式为：； (2)时， (3)15 (4)点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立两直线，求得交点的横坐标，结合图形判断即可； （3）先求出点坐标，利用求三角形的面积即可； （4）可判断，再利用待定系数法求出直线，即可作答． 【详解】（1）解：将代入直线得：， 则直线的表达式为：； 将点和点分别代入直线得：， 解得， 则直线的表达式为：； （2）解：令，得， 解得， 则点，结合图象可知时，； （3）解：将代入，得到，解得， ∴点， ∵， ∴， ∴． （4）解：当点在轴左侧时， ， ． 设的解析式为， 把代入解析式，得， 故直线的表达式为， 令得， 则点的坐标为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $